段考詳解範圍：第一章按比例成長模型（指數與對數：對數的定義與對數律、指數函數與對數函數的圖形、成長模型）

武陵高中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

是非題 10 題（每題 2 分，共 20 分）、多重選擇題 2 題（每題 8 分，錯一個選項得 5 分，錯兩個選項得 2 分）、填充題 9 格（每格 6 分，共 54 分）、計算作圖題 1 題分 3 小題（共 10 分）。原卷四個大題各自從 1 編號，本頁全卷連續編號：第 1～10 題是是非題，第 11～12 題是多重選擇題第 1～2 題，第 13～21 題是填充題第 1～9 題，第 22～24 題是計算作圖題第 1 題的 (1)(2)(3)。卷面沒有印是非題的作答記號，學校的答案用 ○ 表示正確、× 表示錯誤。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部相同。

一、是非題（每題 2 分，共 20 分）

2^{l o g_{2} 3} = 3

對數

lo g_{a} b

中的底數

a

，可以是大於

0

的任意實數

坐標平面上，

y = 3^{x}

與

y = (0.3)^{x}

的圖形會對稱

y

軸。

lo g (5 + 9) = lo g 5 \times lo g 9

lo g_{2} 3 = lo g_{2} 3 = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} = lo g_{4} 9

對數函數

y = lo g x

的圖形是凹口向上

lo g_{3} 2 = \frac{lo g 2}{lo g 3}

lo g 0.9 > lo g 0.8

0.9 9^{- 0.5} < 0.9 9^{- 0.6}

lo g_{1} 1

沒有意義

二、多重選擇題（每題 8 分，錯一個選項得 5 分，錯兩個選項得 2 分）

設

lo g_{2} 3 = a

，

lo g_{3} 5 = b

，選出正確的選項：

(A) $lo g_{2} 5 = ab$
(B) $lo g_{5} 2 = \frac{1}{ab}$
(C) $lo g_{2} 10 = 1 + ab$
(D) $lo g_{2} 6 = 2 a$
(E) $lo g_{6} 5 = \frac{b}{1 + a}$

觀察下圖一與圖二，選出正確的選項：

(A) 函數 $y = 1 0^{x}$ 、 $y = x$ 、 $y = x^{2}$ 皆為遞增函數
(B) $1 0^{x} = x$ 有實數解
(C) $1 0^{x} = x^{2}$ 有實數解
(D) $1 0^{x} > x$ 恆成立
(E) 當 $x > 0$ 時， $1 0^{x} > x^{2}$ 恆成立

載入中...

三、填充題（每格 6 分，共 54 分）

求

- lo g_{2} (lo g_{2} 2)

的值為 ____

設

lo g_{3} 243 = α

；

lo g_{8} 0.25 = β

；

lo g_{\frac{4}{3}} \frac{3}{4} = γ

，試求實數數對

(α, β, γ) =

____

化簡

1 + 2 lo g 8 + lo g 45 - lo g 16 + lo g 15 - 3 lo g 3 =

____

試求

(lo g_{3} 4 + lo g_{27} 16) (lo g_{4} 9 - lo g_{16} 3)

的值為 ____

比較

\frac{3 ^{1.2} + 3 ^{2.6}}{2}

與

3^{1.9}

的大小：

\frac{3 ^{1.2} + 3 ^{2.6}}{2}

____

3^{1.9}

（填入「大於」、「小於」或「等於」）

根據英國研究指出，武陵高中學生學習數 B 的能力每經過一節認真的數學課可變為原本的

1.04

倍，問需要上 ____ 節認真的數學課，武陵高中學生學習數 B 的能力才會變成原本的兩倍。（答案請填最接近的整數；可使用七二法則^^）

求滿足

(1.1)^{n} > 3

的最小正整數

n =

____（已知

lo g 1.1 = 0.0414

）

欲使對數

lo g_{(x - 1)} (2 x^{2} - x - 3)

有意義，求實數

x

的範圍為 ____

二圖形

Γ_{1}

：

y = 2^{x}

，

Γ_{2}

：

y = 3^{x}

與直線

y = 6

分別交於

A (a, b)

、

B (c, d)

兩點，則

\frac{b}{a} + \frac{d}{c} =

____

四、計算作圖題（共 10 分）

計算作圖題第 1 題（第 22～24 題）　（編按：原卷計算作圖題只有第 1 題，分 (1)、(2)、(3) 三小題，三小題都畫在同一張方格坐標圖上；那張圖附在本頁第 22 題。）

(1) 試在下圖中畫出

y = 1 0^{x}

與

y = lo g x

的圖形。（請標明清楚，一個圖形 3%）

載入中...

(2) 再畫出直線

L

：

x + y = 5

。（1%）

(3) 承上題，設直線

L

與

y = 1 0^{x}

的交點為

(x_{1}, y_{1})

；

L

與

y = lo g x

的交點為

(x_{2}, y_{2})

，求

x_{1} + x_{2}

之值。（3%）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：○＝正確、×＝錯誤（照原卷作答規定）

1○

2×

3×

4×

5○

6×

7○

8○

9○

10○

第 11 題(A)(B)(C)

第 12 題(C)(D)(E)

第 13 題

3

第 14 題

(5, - \frac{2}{3}, - 1)

第 15 題

3

第 16 題

\frac{5}{2}

第 17 題大於

第 18 題

18

第 19 題

12

第 20 題

x > \frac{3}{2}

且

x \neq = 2

第 21 題

6

第 22 題圖形見詳解（

y = 1 0^{x}

通過

(0, 1)

、

(1, 10)

；

y = lo g x

通過

(1, 0)

、

(10, 1)

）

第 23 題圖形見詳解（通過

(5, 0)

與

(0, 5)

的直線）

第 24 題

5

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非題第 1、2、10 題：對數的定義與底數的限制

第 1 題○答 ○。

lo g_{2} 3

的意思是「

2

的幾次方等於

3

」的那個次方。把

2

取這個次方，得到的就是

3

，所以

2^{l o g_{2} 3} = 3

。

一般的寫法是

a^{l o g_{a} b} = b

（

a > 0

、

a \neq = 1

、

b > 0

）。

第 2 題×答 ×。底數除了要大於

0

，還不能等於

1

。

1

的任何次方都是

1

，用

1

當底數定不出對數，所以底數的條件是

a > 0

且

a \neq = 1

。

第 10 題○答 ○。對數的底數不能是

1

。

1

的任何次方都等於

1

，「

1

的幾次方等於

1

」的答案可以是任何實數，定不出唯一的值，所以

lo g_{1} 1

沒有意義。

不要因為

1^{1} = 1

就說

lo g_{1} 1 = 1

；

1^{0}

、

1^{2}

也都等於

1

。

lo g_{a} b

有意義的條件：底數

a > 0

且

a \neq = 1

，真數

b > 0

。

02是非題第 3、6、8、9 題：指數函數與對數函數的圖形

第 3 題×答 ×。把

y = 3^{x}

的圖形對

y

軸鏡射，是把

x

換成

- x

，得到

y = 3^{- x} = (\frac{1}{3})^{x}

。與

y = 3^{x}

對稱於

y

軸的是

y = (\frac{1}{3})^{x}

，而

\frac{1}{3} = 0.333 \dots

，不等於

0.3

。

用一個點檢查：

(1, 3)

在

y = 3^{x}

上，它對

y

軸的對稱點是

(- 1, 3)

；但

(0.3)^{- 1} = \frac{10}{3} \neq = 3

，這個點不在

y = (0.3)^{x}

上。

第 6 題×答 ×。

y = lo g x

的圖形是凹口向下：

x

從

1

到

10

增加了

9

，

y

才增加

1

；

x

從

10

到

100

增加了

90

，

y

也只增加

1

，越往右上升得越慢，圖形向下彎。

凹口向上的是指數函數

y = 1 0^{x}

的圖形。

第 8 題○答 ○。常用對數的底數是

10

，比

1

大，

y = lo g x

是遞增函數，真數大的對數值就大。

0.9 > 0.8

，所以

lo g 0.9 > lo g 0.8

。

兩個值都是負數（約

- 0.046

與

- 0.097

），仍然是

lo g 0.9

比較大。

第 9 題○答 ○。底數

0.99

介於

0

與

1

之間，

y = 0.9 9^{x}

是遞減函數，指數大的值反而小。

- 0.5 > - 0.6

，所以

0.9 9^{- 0.5} < 0.9 9^{- 0.6}

。

也可以改寫成

0.9 9^{- 0.5} = (\frac{100}{99})^{0.5}

、

0.9 9^{- 0.6} = (\frac{100}{99})^{0.6}

，底數大於

1

，指數

0.6

的比較大。

底數大於

1

時函數遞增，介於

0

與

1

之間時遞減；比大小先看底數。

03是非題第 4、5、7 題：對數律與換底公式

第 4 題×答 ×。對數律是

lo g 5 + lo g 9 = lo g (5 \times 9) = lo g 45

，「相加」對應的是真數「相乘」，沒有反過來的公式。實際的值：

lo g (5 + 9) = lo g 14 \approx 1.146

，而

lo g 5 \times lo g 9 \approx 0.699 \times 0.954 \approx 0.667

，兩邊不相等。

第 5 題○答 ○。由換底公式，

lo g_{a^{k}} b^{k} = \frac{lo g b ^{k}}{lo g a ^{k}} = \frac{k lo g b}{k lo g a} = lo g_{a} b

（

k \neq = 0

），底數與真數同時取相同的次方，對數值不變。

2 = 2^{\frac{1}{2}}

、

3 = 3^{\frac{1}{2}}

（同取

\frac{1}{2}

次方）；

\frac{1}{2} = 2^{- 1}

、

\frac{1}{3} = 3^{- 1}

（同取

- 1

次方）；

4 = 2^{2}

、

9 = 3^{2}

（同取

2

次方）。所以四個對數都等於

lo g_{2} 3

。

第 7 題○答 ○。這就是換底公式：

lo g_{a} b = \frac{lo g b}{lo g a}

。取

a = 3

、

b = 2

，得

lo g_{3} 2 = \frac{lo g 2}{lo g 3}

。

真數在分子、底數在分母，不要寫反。

04多重選擇題第 1 題：用 a、b 表示其他對數

第 11 題答案 (A)(B)(C)。先用換底公式把

a

、

b

相乘：

ab = lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 5 = \frac{lo g 3}{lo g 2} \times \frac{lo g 5}{lo g 3} = \frac{lo g 5}{lo g 2} = lo g_{2} 5

。(A) 對：就是上面這一式。(B) 對：

lo g_{5} 2 = \frac{lo g 2}{lo g 5} = \frac{1}{lo g _{2} 5} = \frac{1}{ab}

。(C) 對：

lo g_{2} 10 = lo g_{2} (2 \times 5) = lo g_{2} 2 + lo g_{2} 5 = 1 + ab

。(D) 錯：

lo g_{2} 6 = lo g_{2} (2 \times 3) = 1 + lo g_{2} 3 = 1 + a

；要等於

2 a

必須

a = 1

，但

a = lo g_{2} 3 \approx 1.585

。(E) 錯：

lo g_{6} 5 = \frac{lo g _{2} 5}{lo g _{2} 6} = \frac{ab}{1 + a}

，分子是

ab

不是

b

。

(E) 換底時分子、分母要換成同一個底數。

b = lo g_{3} 5

是以

3

為底，換成以

2

為底要再乘上

a

。

連乘的對數用換底公式會前後約掉：

lo g_{a} b \times lo g_{b} c = lo g_{a} c

。

05多重選擇題第 2 題：由圖形比較三個函數

第 12 題答案 (C)(D)(E)。(A) 錯：

y = 1 0^{x}

與

y = x

是遞增函數，但

y = x^{2}

在

x < 0

時是遞減的（圖二的拋物線左半邊往右是下降的）。(B) 錯：由圖一，

y = 1 0^{x}

的圖形整條在直線

y = x

的上方，兩個圖形沒有交點，所以

1 0^{x} = x

沒有實數解。(C) 對：由圖二，

y = 1 0^{x}

與

y = x^{2}

在

y

軸左邊有一個交點。用數值檢查：

x = - 1

時

1 0^{- 1} = 0.1 < 1 = (- 1)^{2}

，

x = 0

時

1 0^{0} = 1 > 0

，兩個圖形在

- 1

與

0

之間上下互換，中間必有交點。(D) 對：由圖一，

y = 1 0^{x}

的圖形恆在

y = x

的上方。(E) 對：由圖二，在

y

軸右邊

y = 1 0^{x}

的圖形恆在拋物線的上方。

(D)、(E) 也可以不靠圖：

x \leq 0

時

1 0^{x} > 0 \geq x

；

0 < x < 1

時

1 0^{x} > 1

，而

x

與

x^{2}

都小於

1

；

x \geq 1

時設

n \leq x < n + 1

（

n

是正整數），則

1 0^{x} \geq 1 0^{n}

，而

x^{2} < (n + 1)^{2}

，

n = 1, 2, 3

時

10, 100, 1000

分別大於

4, 9, 16

，之後

1 0^{n}

每次變成

10

倍、

(n + 1)^{2}

每次增加不到

4

倍，所以

1 0^{x} > x^{2} \geq x

。

方程式有沒有實數解，就看兩個圖形有沒有交點；不等式恆成立，就看一個圖形是不是整條在另一個的上方。

06填充題第 1、2 題：由定義求對數值

第 13 題由內往外算。每開一次平方根，指數變成一半：

2 = 2^{\frac{1}{2}}

，

2 = 2^{\frac{1}{4}}

，

2 = 2^{\frac{1}{8}}

。所以

lo g_{2} 2 = \frac{1}{8}

。再取一次：

lo g_{2} \frac{1}{8} = lo g_{2} 2^{- 3} = - 3

。最前面還有一個負號，所求

= - (- 3) = 3

。

題目的根號有三層；負號在最外面，最後才處理。

第 14 題

243 = 3^{5}

，所以

α = lo g_{3} 243 = 5

。設

8^{β} = 0.25

，即

(2^{3})^{β} = \frac{1}{4} = 2^{- 2}

，

3 β = - 2

，

β = - \frac{2}{3}

。

\frac{3}{4}

是

\frac{4}{3}

的倒數，

\frac{3}{4} = (\frac{4}{3})^{- 1}

，所以

γ = - 1

。

(α, β, γ) = (5, - \frac{2}{3}, - 1)

。

求對數值先把真數寫成底數的次方；底數不同時兩邊都化成同一個質數的次方。

07填充題第 3、4 題：對數律與換底

第 15 題把每一項都寫成一個對數：

1 = lo g 10

，

2 lo g 8 = lo g 8^{2} = lo g 64

，

3 lo g 3 = lo g 3^{3} = lo g 27

。相加的放分子、相減的放分母：原式

= lo g \frac{10 \times 64 \times 45 \times 15}{16 \times 27}

。約分：

\frac{64}{16} = 4

，

\frac{45 \times 15}{27} = \frac{675}{27} = 25

，所以真數是

10 \times 4 \times 25 = 1000

，原式

= lo g 1000 = 3

。

也可以全部拆成

lo g 2

、

lo g 3

、

lo g 5

：

lo g 2

的係數

6 - 4 = 2

，

lo g 3

的係數

2 + 1 - 3 = 0

，

lo g 5

的係數

1 + 1 = 2

，原式

= 1 + 2 lo g 2 + 2 lo g 5 = 1 + 2 lo g 10 = 3

。

第 16 題前一個括號化成

lo g_{3} 2

：

lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2

；

lo g_{27} 16 = \frac{lo g 16}{lo g 27} = \frac{4 lo g 2}{3 lo g 3} = \frac{4}{3} lo g_{3} 2

。相加得

\frac{10}{3} lo g_{3} 2

。後一個括號化成

lo g_{2} 3

：

lo g_{4} 9 = \frac{2 lo g 3}{2 lo g 2} = lo g_{2} 3

；

lo g_{16} 3 = \frac{lo g 3}{4 lo g 2} = \frac{1}{4} lo g_{2} 3

。相減得

\frac{3}{4} lo g_{2} 3

。兩者相乘：

\frac{10}{3} \times \frac{3}{4} \times lo g_{3} 2 \times lo g_{2} 3 = \frac{5}{2} \times 1 = \frac{5}{2}

。

lo g_{3} 2 \times lo g_{2} 3 = \frac{lo g 2}{lo g 3} \times \frac{lo g 3}{lo g 2} = 1

，兩者互為倒數。

08填充題第 5 題：平均與中間值比大小

第 17 題

1.9

正好是

1.2

與

2.6

的平均，所以

3^{1.9} = 3^{\frac{1.2 + 2.6}{2}} = 3^{1.2} \times 3^{2.6}

，是

3^{1.2}

與

3^{2.6}

的幾何平均；左邊是這兩個正數的算術平均。由算幾不等式，算術平均大於或等於幾何平均，等號只在兩數相等時成立；

3^{1.2} \neq = 3^{2.6}

，所以

\frac{3 ^{1.2} + 3 ^{2.6}}{2} > 3^{1.9}

，填「大於」。

用圖形看：

y = 3^{x}

的圖形凹口向上，連接圖形上

x = 1.2

與

x = 2.6

兩點的線段在圖形的上方，線段中點的高度

\frac{3 ^{1.2} + 3 ^{2.6}}{2}

比圖形在

x = 1.9

的高度

3^{1.9}

高。用計算機：左邊約

10.57

，右邊約

8.06

。

指數函數的圖形凹口向上：兩個函數值的平均，比中間那一點的函數值大。

09填充題第 6、7 題：成長倍數的估算

第 18 題每上一節課變成

1.04

倍，就是每次成長

4%

。七二法則：每次成長

r %

時，變成兩倍大約需要

\frac{72}{r}

次，所以大約需要

\frac{72}{4} = 18

節。

用對數檢查：

1.0 4^{n} = 2

時

n = \frac{lo g 2}{lo g 1.04} \approx \frac{0.3010}{0.0170} \approx 17.7

，最接近的整數是

18

；用計算機可得

1.0 4^{17} \approx 1.948

、

1.0 4^{18} \approx 2.026

，上到第

18

節才超過兩倍。

第 19 題兩邊取常用對數（

y = lo g x

遞增，不等號方向不變）：

n lo g 1.1 > lo g 3

。代入

lo g 1.1 = 0.0414

與

lo g 3 \approx 0.4771

：

n > \frac{0.4771}{0.0414} \approx 11.52

。最小的正整數是

n = 12

。

卷面只給

lo g 1.1

，

lo g 3 \approx 0.4771

要自己記得。用計算機檢查：

1. 1^{11} \approx 2.853 < 3

，

1. 1^{12} \approx 3.138 > 3

。

指數裡的未知數，兩邊取常用對數就能搬下來。

10填充題第 8 題：對數有意義的條件

第 20 題三個條件要同時成立。①底數大於

0

：

x - 1 > 0

，

x > 1

。②底數不等於

1

：

x - 1 \neq = 1

，

x \neq = 2

。③真數大於

0

：

2 x^{2} - x - 3 > 0

，因式分解

(2 x - 3) (x + 1) > 0

，得

x < - 1

或

x > \frac{3}{2}

。取交集：

x > 1

與「

x < - 1

或

x > \frac{3}{2}

」的共同部分是

x > \frac{3}{2}

，再去掉

x = 2

。所以

x > \frac{3}{2}

且

x \neq = 2

。

x = 2

在

x > \frac{3}{2}

的範圍裡，一定要另外挖掉；也可以寫成

\frac{3}{2} < x < 2

或

x > 2

。

11填充題第 9 題：指數圖形與水平線的交點

第 21 題

A

、

B

都在直線

y = 6

上，所以

b = d = 6

。

A

在

y = 2^{x}

上：

2^{a} = 6

，

a = lo g_{2} 6

。

B

在

y = 3^{x}

上：

3^{c} = 6

，

c = lo g_{3} 6

。由換底公式，

\frac{1}{a} = \frac{1}{lo g _{2} 6} = lo g_{6} 2

，

\frac{1}{c} = lo g_{6} 3

。所以

\frac{b}{a} + \frac{d}{c} = 6 (lo g_{6} 2 + lo g_{6} 3) = 6 lo g_{6} 6 = 6

。

\frac{1}{lo g _{a} b} = lo g_{b} a

：底數與真數對調就是倒數。把兩個倒數換成同一個底數

6

才能相加。

12計算作圖題第 1 題：指數函數、對數函數與直線

第 22 題

y = 1 0^{x}

：通過

(0, 1)

、

(1, 10)

，

x

是負數時

y

仍為正且很小（

x = - 1

時

y = 0.1

），圖形貼近

x

軸但碰不到；往右急速上升，凹口向上。

y = lo g x

：只在

x > 0

有圖形，通過

(1, 0)

、

(10, 1)

，

x

接近

0

時圖形貼近

y

軸往下；往右緩慢上升，凹口向下。兩個圖形對稱於直線

y = x

：

(0, 1)

對應

(1, 0)

，

(1, 10)

對應

(10, 1)

。

載入中...

「標明清楚」要寫出每條曲線是哪一個函數，並標出通過的點；

y = 1 0^{x}

不會碰到

x

軸，

y = lo g x

不會碰到

y

軸。

第 23 題

x + y = 5

：令

y = 0

得

x = 5

，令

x = 0

得

y = 5

，直線通過

(5, 0)

與

(0, 5)

，把這兩點連起來並往兩邊延長。

載入中...

第 24 題兩個交點的坐標都解不出確切的值，改用對稱。

y = 1 0^{x}

與

y = lo g x

的圖形對稱於直線

y = x

；直線

L

：

x + y = 5

把

x

、

y

對調後還是同一個式子，所以

L

自己也對稱於

y = x

。

(x_{1}, y_{1})

同時在

y = 1 0^{x}

與

L

上，把它對

y = x

鏡射成

(y_{1}, x_{1})

，這個點就同時在

y = lo g x

與

L

上。

y = lo g x

遞增、

L

往右下降，兩者只有一個交點，所以

(x_{2}, y_{2}) = (y_{1}, x_{1})

，即

x_{2} = y_{1}

。又

(x_{1}, y_{1})

在

L

上，

x_{1} + y_{1} = 5

，因此

x_{1} + x_{2} = x_{1} + y_{1} = 5

。

載入中...

用計算機可以確認：

x_{1} \approx 0.64

、

x_{2} \approx 4.36

，和是

5

。

指數函數與同底的對數函數對稱於直線

y = x

；遇到同樣對稱於

y = x

的直線，交點也會成對對調。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳考卷

常見問題

武陵高中 111 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 24 題的答案，是非題 10 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

武陵高中 111 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題要比較四個底數與真數都不同的對數，考的是底數與真數同時取相同次方時對數值的變化；第 9 題底數小於 1，指數大的反而小；第 11 題要把不同底數的對數換成同一個底數再用 a、b 表示，換底時分子與分母都要換；第 17 題不用算出數值，用算幾不等式或圖形凹口向上就能比大小；第 20 題除了底數與真數都要大於 0，還要記得底數不能等於 1；第 24 題兩個交點都解不出確切的值，要用兩個圖形對稱於直線 y=x 來求和。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自武陵高中 111 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：第一章按比例成長模型（指數與對數：對數的定義與對數律、指數函數與對數函數的圖形、成長模型）

武陵高中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

一、是非題（每題 2 分，共 20 分）

2^{l o g_{2} 3} = 3

對數

lo g_{a} b

中的底數

a

，可以是大於

0

的任意實數

坐標平面上，

y = 3^{x}

與

y = (0.3)^{x}

的圖形會對稱

y

軸。

lo g (5 + 9) = lo g 5 \times lo g 9

lo g_{2} 3 = lo g_{2} 3 = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} = lo g_{4} 9

對數函數

y = lo g x

的圖形是凹口向上

lo g_{3} 2 = \frac{lo g 2}{lo g 3}

lo g 0.9 > lo g 0.8

0.9 9^{- 0.5} < 0.9 9^{- 0.6}

lo g_{1} 1

沒有意義

二、多重選擇題（每題 8 分，錯一個選項得 5 分，錯兩個選項得 2 分）

設

lo g_{2} 3 = a

，

lo g_{3} 5 = b

，選出正確的選項：

(A) $lo g_{2} 5 = ab$
(B) $lo g_{5} 2 = \frac{1}{ab}$
(C) $lo g_{2} 10 = 1 + ab$
(D) $lo g_{2} 6 = 2 a$
(E) $lo g_{6} 5 = \frac{b}{1 + a}$

觀察下圖一與圖二，選出正確的選項：

(A) 函數 $y = 1 0^{x}$ 、 $y = x$ 、 $y = x^{2}$ 皆為遞增函數
(B) $1 0^{x} = x$ 有實數解
(C) $1 0^{x} = x^{2}$ 有實數解
(D) $1 0^{x} > x$ 恆成立
(E) 當 $x > 0$ 時， $1 0^{x} > x^{2}$ 恆成立

載入中...

三、填充題（每格 6 分，共 54 分）

求

- lo g_{2} (lo g_{2} 2)

的值為 ____

設

lo g_{3} 243 = α

；

lo g_{8} 0.25 = β

；

lo g_{\frac{4}{3}} \frac{3}{4} = γ

，試求實數數對

(α, β, γ) =

____

化簡

1 + 2 lo g 8 + lo g 45 - lo g 16 + lo g 15 - 3 lo g 3 =

____

試求

(lo g_{3} 4 + lo g_{27} 16) (lo g_{4} 9 - lo g_{16} 3)

的值為 ____

比較

\frac{3 ^{1.2} + 3 ^{2.6}}{2}

與

3^{1.9}

的大小：

\frac{3 ^{1.2} + 3 ^{2.6}}{2}

____

3^{1.9}

（填入「大於」、「小於」或「等於」）

根據英國研究指出，武陵高中學生學習數 B 的能力每經過一節認真的數學課可變為原本的

1.04

倍，問需要上 ____ 節認真的數學課，武陵高中學生學習數 B 的能力才會變成原本的兩倍。（答案請填最接近的整數；可使用七二法則^^）

求滿足

(1.1)^{n} > 3

的最小正整數

n =

____（已知

lo g 1.1 = 0.0414

）

欲使對數

lo g_{(x - 1)} (2 x^{2} - x - 3)

有意義，求實數

x

的範圍為 ____

二圖形

Γ_{1}

：

y = 2^{x}

，

Γ_{2}

：

y = 3^{x}

與直線

y = 6

分別交於

A (a, b)

、

B (c, d)

兩點，則

\frac{b}{a} + \frac{d}{c} =

____

四、計算作圖題（共 10 分）

(1) 試在下圖中畫出

y = 1 0^{x}

與

y = lo g x

的圖形。（請標明清楚，一個圖形 3%）

載入中...

(2) 再畫出直線

L

：

x + y = 5

。（1%）

(3) 承上題，設直線

L

與

y = 1 0^{x}

的交點為

(x_{1}, y_{1})

；

L

與

y = lo g x

的交點為

(x_{2}, y_{2})

，求

x_{1} + x_{2}

之值。（3%）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：○＝正確、×＝錯誤（照原卷作答規定）

1○

2×

3×

4×

5○

6×

7○

8○

9○

10○

第 11 題(A)(B)(C)

第 12 題(C)(D)(E)

第 13 題

3

第 14 題

(5, - \frac{2}{3}, - 1)

第 15 題

3

第 16 題

\frac{5}{2}

第 17 題大於

第 18 題

18

第 19 題

12

第 20 題

x > \frac{3}{2}

且

x \neq = 2

第 21 題

6

第 22 題圖形見詳解（

y = 1 0^{x}

通過

(0, 1)

、

(1, 10)

；

y = lo g x

通過

(1, 0)

、

(10, 1)

）

第 23 題圖形見詳解（通過

(5, 0)

與

(0, 5)

的直線）

第 24 題

5

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非題第 1、2、10 題：對數的定義與底數的限制

第 1 題○答 ○。

lo g_{2} 3

的意思是「

2

的幾次方等於

3

」的那個次方。把

2

取這個次方，得到的就是

3

，所以

2^{l o g_{2} 3} = 3

。

一般的寫法是

a^{l o g_{a} b} = b

（

a > 0

、

a \neq = 1

、

b > 0

）。

第 2 題×答 ×。底數除了要大於

0

，還不能等於

1

。

1

的任何次方都是

1

，用

1

當底數定不出對數，所以底數的條件是

a > 0

且

a \neq = 1

。

第 10 題○答 ○。對數的底數不能是

1

。

1

的任何次方都等於

1

，「

1

的幾次方等於

1

」的答案可以是任何實數，定不出唯一的值，所以

lo g_{1} 1

沒有意義。

不要因為

1^{1} = 1

就說

lo g_{1} 1 = 1

；

1^{0}

、

1^{2}

也都等於

1

。

lo g_{a} b

有意義的條件：底數

a > 0

且

a \neq = 1

，真數

b > 0

。

02是非題第 3、6、8、9 題：指數函數與對數函數的圖形

第 3 題×答 ×。把

y = 3^{x}

的圖形對

y

軸鏡射，是把

x

換成

- x

，得到

y = 3^{- x} = (\frac{1}{3})^{x}

。與

y = 3^{x}

對稱於

y

軸的是

y = (\frac{1}{3})^{x}

，而

\frac{1}{3} = 0.333 \dots

，不等於

0.3

。

用一個點檢查：

(1, 3)

在

y = 3^{x}

上，它對

y

軸的對稱點是

(- 1, 3)

；但

(0.3)^{- 1} = \frac{10}{3} \neq = 3

，這個點不在

y = (0.3)^{x}

上。

第 6 題×答 ×。

y = lo g x

的圖形是凹口向下：

x

從

1

到

10

增加了

9

，

y

才增加

1

；

x

從

10

到

100

增加了

90

，

y

也只增加

1

，越往右上升得越慢，圖形向下彎。

凹口向上的是指數函數

y = 1 0^{x}

的圖形。

第 8 題○答 ○。常用對數的底數是

10

，比

1

大，

y = lo g x

是遞增函數，真數大的對數值就大。

0.9 > 0.8

，所以

lo g 0.9 > lo g 0.8

。

兩個值都是負數（約

- 0.046

與

- 0.097

），仍然是

lo g 0.9

比較大。

第 9 題○答 ○。底數

0.99

介於

0

與

1

之間，

y = 0.9 9^{x}

是遞減函數，指數大的值反而小。

- 0.5 > - 0.6

，所以

0.9 9^{- 0.5} < 0.9 9^{- 0.6}

。

也可以改寫成

0.9 9^{- 0.5} = (\frac{100}{99})^{0.5}

、

0.9 9^{- 0.6} = (\frac{100}{99})^{0.6}

，底數大於

1

，指數

0.6

的比較大。

底數大於

1

時函數遞增，介於

0

與

1

之間時遞減；比大小先看底數。

03是非題第 4、5、7 題：對數律與換底公式

第 4 題×答 ×。對數律是

lo g 5 + lo g 9 = lo g (5 \times 9) = lo g 45

，「相加」對應的是真數「相乘」，沒有反過來的公式。實際的值：

lo g (5 + 9) = lo g 14 \approx 1.146

，而

lo g 5 \times lo g 9 \approx 0.699 \times 0.954 \approx 0.667

，兩邊不相等。

第 5 題○答 ○。由換底公式，

lo g_{a^{k}} b^{k} = \frac{lo g b ^{k}}{lo g a ^{k}} = \frac{k lo g b}{k lo g a} = lo g_{a} b

（

k \neq = 0

），底數與真數同時取相同的次方，對數值不變。

2 = 2^{\frac{1}{2}}

、

3 = 3^{\frac{1}{2}}

（同取

\frac{1}{2}

次方）；

\frac{1}{2} = 2^{- 1}

、

\frac{1}{3} = 3^{- 1}

（同取

- 1

次方）；

4 = 2^{2}

、

9 = 3^{2}

（同取

2

次方）。所以四個對數都等於

lo g_{2} 3

。

第 7 題○答 ○。這就是換底公式：

lo g_{a} b = \frac{lo g b}{lo g a}

。取

a = 3

、

b = 2

，得

lo g_{3} 2 = \frac{lo g 2}{lo g 3}

。

真數在分子、底數在分母，不要寫反。

04多重選擇題第 1 題：用 a、b 表示其他對數

第 11 題答案 (A)(B)(C)。先用換底公式把

a

、

b

相乘：

ab = lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 5 = \frac{lo g 3}{lo g 2} \times \frac{lo g 5}{lo g 3} = \frac{lo g 5}{lo g 2} = lo g_{2} 5

。(A) 對：就是上面這一式。(B) 對：

lo g_{5} 2 = \frac{lo g 2}{lo g 5} = \frac{1}{lo g _{2} 5} = \frac{1}{ab}

。(C) 對：

lo g_{2} 10 = lo g_{2} (2 \times 5) = lo g_{2} 2 + lo g_{2} 5 = 1 + ab

。(D) 錯：

lo g_{2} 6 = lo g_{2} (2 \times 3) = 1 + lo g_{2} 3 = 1 + a

；要等於

2 a

必須

a = 1

，但

a = lo g_{2} 3 \approx 1.585

。(E) 錯：

lo g_{6} 5 = \frac{lo g _{2} 5}{lo g _{2} 6} = \frac{ab}{1 + a}

，分子是

ab

不是

b

。

(E) 換底時分子、分母要換成同一個底數。

b = lo g_{3} 5

是以

3

為底，換成以

2

為底要再乘上

a

。

連乘的對數用換底公式會前後約掉：

lo g_{a} b \times lo g_{b} c = lo g_{a} c

。

05多重選擇題第 2 題：由圖形比較三個函數

第 12 題答案 (C)(D)(E)。(A) 錯：

y = 1 0^{x}

與

y = x

是遞增函數，但

y = x^{2}

在

x < 0

時是遞減的（圖二的拋物線左半邊往右是下降的）。(B) 錯：由圖一，

y = 1 0^{x}

的圖形整條在直線

y = x

的上方，兩個圖形沒有交點，所以

1 0^{x} = x

沒有實數解。(C) 對：由圖二，

y = 1 0^{x}

與

y = x^{2}

在

y

軸左邊有一個交點。用數值檢查：

x = - 1

時

1 0^{- 1} = 0.1 < 1 = (- 1)^{2}

，

x = 0

時

1 0^{0} = 1 > 0

，兩個圖形在

- 1

與

0

之間上下互換，中間必有交點。(D) 對：由圖一，

y = 1 0^{x}

的圖形恆在

y = x

的上方。(E) 對：由圖二，在

y

軸右邊

y = 1 0^{x}

的圖形恆在拋物線的上方。

(D)、(E) 也可以不靠圖：

x \leq 0

時

1 0^{x} > 0 \geq x

；

0 < x < 1

時

1 0^{x} > 1

，而

x

與

x^{2}

都小於

1

；

x \geq 1

時設

n \leq x < n + 1

（

n

是正整數），則

1 0^{x} \geq 1 0^{n}

，而

x^{2} < (n + 1)^{2}

，

n = 1, 2, 3

時

10, 100, 1000

分別大於

4, 9, 16

，之後

1 0^{n}

每次變成

10

倍、

(n + 1)^{2}

每次增加不到

4

倍，所以

1 0^{x} > x^{2} \geq x

。

方程式有沒有實數解，就看兩個圖形有沒有交點；不等式恆成立，就看一個圖形是不是整條在另一個的上方。

06填充題第 1、2 題：由定義求對數值

第 13 題由內往外算。每開一次平方根，指數變成一半：

2 = 2^{\frac{1}{2}}

，

2 = 2^{\frac{1}{4}}

，

2 = 2^{\frac{1}{8}}

。所以

lo g_{2} 2 = \frac{1}{8}

。再取一次：

lo g_{2} \frac{1}{8} = lo g_{2} 2^{- 3} = - 3

。最前面還有一個負號，所求

= - (- 3) = 3

。

題目的根號有三層；負號在最外面，最後才處理。

第 14 題

243 = 3^{5}

，所以

α = lo g_{3} 243 = 5

。設

8^{β} = 0.25

，即

(2^{3})^{β} = \frac{1}{4} = 2^{- 2}

，

3 β = - 2

，

β = - \frac{2}{3}

。

\frac{3}{4}

是

\frac{4}{3}

的倒數，

\frac{3}{4} = (\frac{4}{3})^{- 1}

，所以

γ = - 1

。

(α, β, γ) = (5, - \frac{2}{3}, - 1)

。

求對數值先把真數寫成底數的次方；底數不同時兩邊都化成同一個質數的次方。

07填充題第 3、4 題：對數律與換底

第 15 題把每一項都寫成一個對數：

1 = lo g 10

，

2 lo g 8 = lo g 8^{2} = lo g 64

，

3 lo g 3 = lo g 3^{3} = lo g 27

。相加的放分子、相減的放分母：原式

= lo g \frac{10 \times 64 \times 45 \times 15}{16 \times 27}

。約分：

\frac{64}{16} = 4

，

\frac{45 \times 15}{27} = \frac{675}{27} = 25

，所以真數是

10 \times 4 \times 25 = 1000

，原式

= lo g 1000 = 3

。

也可以全部拆成

lo g 2

、

lo g 3

、

lo g 5

：

lo g 2

的係數

6 - 4 = 2

，

lo g 3

的係數

2 + 1 - 3 = 0

，

lo g 5

的係數

1 + 1 = 2

，原式

= 1 + 2 lo g 2 + 2 lo g 5 = 1 + 2 lo g 10 = 3

。

第 16 題前一個括號化成

lo g_{3} 2

：

lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2

；

lo g_{27} 16 = \frac{lo g 16}{lo g 27} = \frac{4 lo g 2}{3 lo g 3} = \frac{4}{3} lo g_{3} 2

。相加得

\frac{10}{3} lo g_{3} 2

。後一個括號化成

lo g_{2} 3

：

lo g_{4} 9 = \frac{2 lo g 3}{2 lo g 2} = lo g_{2} 3

；

lo g_{16} 3 = \frac{lo g 3}{4 lo g 2} = \frac{1}{4} lo g_{2} 3

。相減得

\frac{3}{4} lo g_{2} 3

。兩者相乘：

\frac{10}{3} \times \frac{3}{4} \times lo g_{3} 2 \times lo g_{2} 3 = \frac{5}{2} \times 1 = \frac{5}{2}

。

lo g_{3} 2 \times lo g_{2} 3 = \frac{lo g 2}{lo g 3} \times \frac{lo g 3}{lo g 2} = 1

，兩者互為倒數。

08填充題第 5 題：平均與中間值比大小

第 17 題

1.9

正好是

1.2

與

2.6

的平均，所以

3^{1.9} = 3^{\frac{1.2 + 2.6}{2}} = 3^{1.2} \times 3^{2.6}

，是

3^{1.2}

與

3^{2.6}

的幾何平均；左邊是這兩個正數的算術平均。由算幾不等式，算術平均大於或等於幾何平均，等號只在兩數相等時成立；

3^{1.2} \neq = 3^{2.6}

，所以

\frac{3 ^{1.2} + 3 ^{2.6}}{2} > 3^{1.9}

，填「大於」。

用圖形看：

y = 3^{x}

的圖形凹口向上，連接圖形上

x = 1.2

與

x = 2.6

兩點的線段在圖形的上方，線段中點的高度

\frac{3 ^{1.2} + 3 ^{2.6}}{2}

比圖形在

x = 1.9

的高度

3^{1.9}

高。用計算機：左邊約

10.57

，右邊約

8.06

。

指數函數的圖形凹口向上：兩個函數值的平均，比中間那一點的函數值大。

09填充題第 6、7 題：成長倍數的估算

第 18 題每上一節課變成

1.04

倍，就是每次成長

4%

。七二法則：每次成長

r %

時，變成兩倍大約需要

\frac{72}{r}

次，所以大約需要

\frac{72}{4} = 18

節。

用對數檢查：

1.0 4^{n} = 2

時

n = \frac{lo g 2}{lo g 1.04} \approx \frac{0.3010}{0.0170} \approx 17.7

，最接近的整數是

18

；用計算機可得

1.0 4^{17} \approx 1.948

、

1.0 4^{18} \approx 2.026

，上到第

18

節才超過兩倍。

第 19 題兩邊取常用對數（

y = lo g x

遞增，不等號方向不變）：

n lo g 1.1 > lo g 3

。代入

lo g 1.1 = 0.0414

與

lo g 3 \approx 0.4771

：

n > \frac{0.4771}{0.0414} \approx 11.52

。最小的正整數是

n = 12

。

卷面只給

lo g 1.1

，

lo g 3 \approx 0.4771

要自己記得。用計算機檢查：

1. 1^{11} \approx 2.853 < 3

，

1. 1^{12} \approx 3.138 > 3

。

指數裡的未知數，兩邊取常用對數就能搬下來。

10填充題第 8 題：對數有意義的條件

第 20 題三個條件要同時成立。①底數大於

0

：

x - 1 > 0

，

x > 1

。②底數不等於

1

：

x - 1 \neq = 1

，

x \neq = 2

。③真數大於

0

：

2 x^{2} - x - 3 > 0

，因式分解

(2 x - 3) (x + 1) > 0

，得

x < - 1

或

x > \frac{3}{2}

。取交集：

x > 1

與「

x < - 1

或

x > \frac{3}{2}

」的共同部分是

x > \frac{3}{2}

，再去掉

x = 2

。所以

x > \frac{3}{2}

且

x \neq = 2

。

x = 2

在

x > \frac{3}{2}

的範圍裡，一定要另外挖掉；也可以寫成

\frac{3}{2} < x < 2

或

x > 2

。

11填充題第 9 題：指數圖形與水平線的交點

第 21 題

A

、

B

都在直線

y = 6

上，所以

b = d = 6

。

A

在

y = 2^{x}

上：

2^{a} = 6

，

a = lo g_{2} 6

。

B

在

y = 3^{x}

上：

3^{c} = 6

，

c = lo g_{3} 6

。由換底公式，

\frac{1}{a} = \frac{1}{lo g _{2} 6} = lo g_{6} 2

，

\frac{1}{c} = lo g_{6} 3

。所以

\frac{b}{a} + \frac{d}{c} = 6 (lo g_{6} 2 + lo g_{6} 3) = 6 lo g_{6} 6 = 6

。

\frac{1}{lo g _{a} b} = lo g_{b} a

：底數與真數對調就是倒數。把兩個倒數換成同一個底數

6

才能相加。

12計算作圖題第 1 題：指數函數、對數函數與直線

第 22 題

y = 1 0^{x}

：通過

(0, 1)

、

(1, 10)

，

x

是負數時

y

仍為正且很小（

x = - 1

時

y = 0.1

），圖形貼近

x

軸但碰不到；往右急速上升，凹口向上。

y = lo g x

：只在

x > 0

有圖形，通過

(1, 0)

、

(10, 1)

，

x

接近

0

時圖形貼近

y

軸往下；往右緩慢上升，凹口向下。兩個圖形對稱於直線

y = x

：

(0, 1)

對應

(1, 0)

，

(1, 10)

對應

(10, 1)

。

載入中...

「標明清楚」要寫出每條曲線是哪一個函數，並標出通過的點；

y = 1 0^{x}

不會碰到

x

軸，

y = lo g x

不會碰到

y

軸。

第 23 題

x + y = 5

：令

y = 0

得

x = 5

，令

x = 0

得

y = 5

，直線通過

(5, 0)

與

(0, 5)

，把這兩點連起來並往兩邊延長。

載入中...

第 24 題兩個交點的坐標都解不出確切的值，改用對稱。

y = 1 0^{x}

與

y = lo g x

的圖形對稱於直線

y = x

；直線

L

：

x + y = 5

把

x

、

y

對調後還是同一個式子，所以

L

自己也對稱於

y = x

。

(x_{1}, y_{1})

同時在

y = 1 0^{x}

與

L

上，把它對

y = x

鏡射成

(y_{1}, x_{1})

，這個點就同時在

y = lo g x

與

L

上。

y = lo g x

遞增、

L

往右下降，兩者只有一個交點，所以

(x_{2}, y_{2}) = (y_{1}, x_{1})

，即

x_{2} = y_{1}

。又

(x_{1}, y_{1})

在

L

上，

x_{1} + y_{1} = 5

，因此

x_{1} + x_{2} = x_{1} + y_{1} = 5

。

載入中...

用計算機可以確認：

x_{1} \approx 0.64

、

x_{2} \approx 4.36

，和是

5

。

指數函數與同底的對數函數對稱於直線

y = x

；遇到同樣對稱於

y = x

的直線，交點也會成對對調。

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