段考詳解範圍：週期性數學模型（弧度量、扇形的弧長與面積、正弦函數的圖形與週期）

建國中學 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單選題 4 題（每題 6 分，共 24 分）、多重選擇題 2 題（每題 11 分，共 22 分；答錯 1 個選項得 8 分，答錯 2 個選項得 5 分，答錯 3 個選項得 2 分，答錯多於 3 個選項或所有選項均未作答得零分）、填充題 9 題（每題 6 分，共 54 分），合計 100 分。原卷三大題各自從第 1 題編號，本頁依序編為第 1～15 題：單選是第 1～4 題，多選是第 5、6 題，填充是第 7～15 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題（每題 6 分，共 24 分）

試問有多少個實數

x

滿足

\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{3 π}{2}

且

cos x^{\circ} \leq cos x

？

(A) $0$ 個
(B) $1$ 個
(C) $2$ 個
(D) $4$ 個
(E) 無窮多個

如附圖，兩同心圓的半徑分別是

3

和

5

，且

A B ⌢

的長度是

5

，求陰影部分的面積是？

(A) $8$
(B) $16$
(C) $4 π$
(D) $8 π$
(E) $\frac{20 π}{3}$

載入中...

牆上有一時鐘，其半徑為

50

公分，若早上

8

點整小瑛起床，則小瑛發現時針與分針重合時是經過幾分鐘後？

(A) $43$ 分鐘
(B) $\frac{480}{11}$ 分鐘
(C) $44$ 分鐘
(D) $\frac{490}{11}$ 分鐘
(E) $45$ 分鐘

函數

y = - 2 sin (2 π x - 2) + 2

最大值為

a

，最小值為

b

，週期為

c

，振幅為

d

。求

a + b + c + d =

(A) $5$
(B) $6$
(C) $7$
(D) $8$
(E) $9$

二、多重選擇題（每題 11 分，共 22 分）｜每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 11 分；答錯 1 個選項者，得 8 分；答錯 2 個選項者，得 5 分；答錯 3 個選項者，得 2 分；答錯多於 3 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

如附圖，以邊長為

4

的正三角形

A B C

之每邊為直徑作三個半圓，兩兩分別交於

D, E, F

點。試選出正確的選項。

(A) $A F ⌢$ 弧長是 $\frac{π}{3}$
(B) 扇形 $A F E$ 的面積是 $\frac{2 π}{3}$
(C) $△ D E F$ 的面積是 $3$
(D) 套色區域的周長是 $π$
(E) 套色區域的面積是 $2 π - 23$

載入中...

附圖為三角函數

y = 3 sin (a x - b)

的部分圖形，其中

a > 0

，則下列各項敘述何者正確？

(A) $B (0, - 3)$
(B) $b = \frac{π}{6}$
(C) $C (\frac{5 π}{6}, 0)$
(D) $y$ 的週期為 $\frac{2 π}{3}$
(E) 其圖形可由 $y = 3 sin 3 x$ 向右平移 $\frac{π}{6}$ 而得

載入中...

三、填充題（每題 6 分，共 54 分）

附圖中，

\overline{A B} = 20

，以

\overline{A B}

為直徑的半圓，

C

為

A B ⌢

中點，今以

B

為圓心，

\overline{A B}

為半徑作一圓弧與直線

B C

交於

D

點，則灰色部分面積為 ____。

載入中...

已知扇形的圓心角為

2 θ

，半徑為

R

，而其內切圓半徑為

r

，則

r =

____。

如附圖，直圓錐底面直徑

\overline{B C} = 4

，且

\overline{A B} = 12

，若一隻螞蟻由

C

點沿錐面繞一圈到

D

點，已知

\overline{A D} = 6

，求這隻螞蟻所走的最短路徑長為 ____。

載入中...

將

y = sin x

經水平伸縮為

\frac{1}{3}

倍，再向左平移

1

單位，再鉛直伸縮為

2

倍，得到的函數為

y = a sin (b x + c) + d

，求實數對

(a, b, c, d) =

____。

設

0 \leq x \leq 2 π

，若

sin \frac{x}{2} \geq \frac{1}{2}

，則

x

的範圍為 ____。

方程式

12 sin x = x

，共有 ____ 個實數解。

有一輪子，半徑

50

公分，讓它在地上滾動

200

公分的長度，問輪子繞軸轉動多少度（度以下四捨五入）？

皮帶傳動是利用張緊在圓輪上的皮帶進行運動或動力傳遞的一種機械傳動，已知有大小兩圓輪，其半徑分別為

2

公尺與

4

公尺，且兩輪圓心相距

12

公尺，今以皮帶交叉環繞兩輪，試求皮帶長為多少公尺？

載入中...

比較

a = sin 3

，

b = sin 4

，

c = sin 5

，

d = sin 6

，

e = sin 7

之大小為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(A)

第 3 題(B)

第 4 題(C)

第 5 題(B)(C)(E)

第 6 題(A)(C)(D)(E)

第 7 題

50 π - 100

第 8 題

\frac{R s i n θ}{1 + s i n θ}

第 9 題

63

第 10 題

(2, 3, 3, 0)

第 11 題

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{5 π}{3}

第 12 題

7

第 13 題

229

度

第 14 題

8 π + 123

公尺

第 15 題

e > a > d > b > c

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：弧度與度、環形扇形的面積

第 1 題答案 (A)。沒有度的記號就是弧度。

x

介於

\frac{π}{2} \approx 1.57

與

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

之間。先看右邊

cos x

：

x

弧度落在

9 0^{\circ}

到

27 0^{\circ}

之間，是第二、三象限的角或在象限的邊界上，所以

cos x \leq 0

。再看左邊

cos x^{\circ}

：

x^{\circ}

是大約

1.5 7^{\circ}

到

4.7 1^{\circ}

的小銳角，所以

cos x^{\circ} > 0

（而且很接近

1

）。左邊恆為正、右邊恆不為正，

cos x^{\circ} \leq cos x

不可能成立，滿足條件的

x

有

0

個。

同一個數

x

，寫成

x^{\circ}

與寫成

x

（弧度）是兩個不同的角：

1

弧度約

57. 3^{\circ}

。

第 2 題答案 (A)。弧

A B

在半徑

5

的大圓上，弧長

=

半徑

\times

圓心角，所以圓心角

θ = \frac{5}{5} = 1

（弧度）。陰影部分是大扇形

O A B

去掉小扇形

O C D

，兩個扇形的圓心角都是

1

：

\frac{1}{2} \times 5^{2} \times 1 - \frac{1}{2} \times 3^{2} \times 1 = \frac{25}{2} - \frac{9}{2} = 8

圓心角是

1

弧度，不含

π

，所以面積也不含

π

；選項 (C)(D)(E) 都可以先排除。

半徑

r

、圓心角

θ

（弧度）的扇形：弧長

r θ

，面積

\frac{1}{2} r^{2} θ

。

02單選第 3、4 題：時針與分針、正弦型函數的四個量

第 3 題答案 (B)。分針每

60

分鐘轉一圈，每分鐘轉

6^{\circ}

；時針每

12

小時轉一圈，每分鐘轉

0. 5^{\circ}

。

8

點整時分針指著

12

、時針指著

8

，時針在分針前面

8 \times 3 0^{\circ} = 24 0^{\circ}

。分針每分鐘比時針多轉

6^{\circ} - 0. 5^{\circ} = 5. 5^{\circ}

，要追上

24 0^{\circ}

需要

\frac{240}{5.5} = \frac{480}{11}

分鐘（約

43.6

分鐘）。

時鐘的半徑

50

公分用不到：重合與否只看兩根針轉過的角度。用弧度算也一樣：分針每分鐘比時針多轉

\frac{π}{30} - \frac{π}{360} = \frac{11 π}{360}

，要追上的角是

\frac{4 π}{3}

：

\frac{4 π}{3} \div \frac{11 π}{360} = \frac{480}{11}

第 4 題答案 (C)。

- 1 \leq sin (2 π x - 2) \leq 1

，乘以

- 2

後仍在

- 2

與

2

之間，再加

2

：

0 \leq y \leq 4

，兩端都取得到，所以最大值

a = 4

，最小值

b = 0

。

x

的係數是

2 π

，週期

c = \frac{2 π}{2 π} = 1

。振幅是最大值與最小值之差的一半，

d = \frac{4 - 0}{2} = 2

。

a + b + c + d = 4 + 0 + 1 + 2 = 7

。

振幅是正的量：

sin

前面的係數是

- 2

，振幅是

2

不是

- 2

。週期是

1

，不是

π

。

y = p sin (q x + s) + k

（

q > 0

）：振幅

∣ p ∣

、週期

\frac{2 π}{q}

、最大值

k + ∣ p ∣

、最小值

k - ∣ p ∣

。

03多選第 1 題（本頁第 5 題）：正三角形與三個半圓

第 5 題答案 (B)(C)(E)。先弄清楚圖：以

\overline{A B}

為直徑的圓，直徑所對的圓周角是直角，所以它與

\overline{B C}

的交點是由

A

到

\overline{B C}

的垂足；正三角形的高就是中線，所以這個交點是

\overline{B C}

的中點。同理，

D, E, F

依序是

\overline{B C}, \overline{C A}, \overline{A B}

的中點，也就是三個半圓的圓心，半徑都是

2

。連接三個中點，把正三角形

A B C

分成四個邊長

2

的小正三角形

A F E, F B D, E D C, D E F

。 (A) 錯誤。

A

與

F

到

E

的距離都是

2

，弧

A F

在以

E

為圓心、半徑

2

的半圓上，所對的圓心角

∠ A E F = 6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

，弧長

= 2 \times \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

，不是

\frac{π}{3}

。 (B) 正確。 扇形

A F E

的半徑是

2

、圓心角是

\frac{π}{3}

，面積

= \frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

。 (C) 正確。

△ D E F

是邊長

2

的正三角形，面積

= \frac{3}{4} \times 2^{2} = 3

。 (D) 錯誤。 套色區域由三段弧圍成：弧

F E

（圓心

D

）、弧

E D

（圓心

F

）、弧

D F

（圓心

E

），每段的半徑都是

2

、圓心角都是

\frac{π}{3}

，每段長

\frac{2 π}{3}

，周長

= 3 \times \frac{2 π}{3} = 2 π

，不是

π

。 (E) 正確。 套色區域可以看成三個扇形

D - F E

、

F - E D

、

E - D F

疊起來，三個扇形都蓋到

△ D E F

，所以

△ D E F

被算了三次，要扣掉兩次：

3 \times \frac{2 π}{3} - 2 \times 3 = 2 π - 23

。

選項 (B) 的扇形不論把圓心看成

E

（弧

A F

）或

F

（弧

A E

），半徑與圓心角都一樣，面積都是

\frac{2 π}{3}

。(E) 也可以算成

△ D E F

加上三個弓形：每個弓形

= \frac{2 π}{3} - 3

，合計

3 + 3 (\frac{2 π}{3} - 3) = 2 π - 23

。

圖上的弧先找出圓心與半徑，再用弧長

r θ

、扇形面積

\frac{1}{2} r^{2} θ

；幾個扇形疊起來時，把重複算的部分扣掉。

04多選第 2 題（本頁第 6 題）：由圖形決定正弦函數

第 6 題答案 (A)(C)(D)(E)。先用圖上印的三個刻度求週期與

a

：圖形在

x = \frac{π}{6}

由下往上通過

x

軸，在

x = \frac{π}{3}

到最高點，在

x = \frac{π}{2}

由上往下通過

x

軸。相鄰兩個零點相差半個週期：

\frac{π}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

所以週期是

\frac{2 π}{3}

，四分之一週期是

\frac{π}{6}

。由

\frac{2 π}{a} = \frac{2 π}{3}

（

a > 0

）得

a = 3

。最高點與相鄰的最低點相差半個週期：由最高點

x = \frac{π}{3}

往左半個週期

\frac{π}{3}

，正好是

x = 0

，所以圖形在

x = 0

位於最低點。 (A) 正確。

y = 3 sin (a x - b)

的最小值是

- 3

，而最低點在

x = 0

，就是

y

軸上的

B

，所以

B (0, - 3)

。 (B) 錯誤。

x = 0

時

y = - 3

，即

3 sin (- b) = - 3

，

sin b = 1

，所以

b = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），不可能是

\frac{π}{6}

。直接檢查也可以：若

b = \frac{π}{6}

，

x = 0

時

y = 3 sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{3}{2}

，不是最低點。 (C) 正確。

C

是下一次由下往上通過

x

軸的點，與

x = \frac{π}{6}

相差一個週期：

\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} = \frac{5 π}{6}

所以

C (\frac{5 π}{6}, 0)

。 (D) 正確。 前面已求出週期是

\frac{2 π}{3}

。 (E) 正確。 取

b = \frac{π}{2}

：

y = 3 sin (3 x - \frac{π}{2}) = 3 sin 3 (x - \frac{π}{6})

這是把

y = 3 sin 3 x

的

x

換成

x - \frac{π}{6}

，也就是向右平移

\frac{π}{6}

。

b

取

\frac{π}{2} + 2 k π

的其他值時是同一個函數。

若把

b

誤當成平移量會選到 (B)；平移量是

\frac{b}{a} = \frac{π}{6}

，

b

本身是

\frac{π}{2}

（或再加

2 π

的整數倍）。

由圖形決定

y = p sin (a x - b)

：先用相鄰零點或最高最低點的距離定週期與

a

，再代一個已知點定

b

；左右平移量要把

a

提出來再看。

05填充第 1、2 題（本頁第 7、8 題）：扇形與半圓、扇形的內切圓

第 7 題設

\overline{A B}

的中點為

O

，半圓的半徑是

10

。

C

是半圓弧的中點，所以

\overline{O C} ⊥ \overline{A B}

，

△ O B C

是等腰直角三角形，

∠ A B C = 4 5^{\circ} = \frac{π}{4}

。灰色部分有兩塊。右邊那塊是弦

\overline{B C}

與弧

B C

圍成的弓形：扇形

O B C

（半徑

10

、圓心角

\frac{π}{2}

）減去

△ O B C

，

\frac{1}{2} \times 1 0^{2} \times \frac{π}{2} - \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 25 π - 50

。左邊那塊是扇形

B A D

（圓心

B

、半徑

20

、圓心角

\frac{π}{4}

）去掉其中屬於半圓的部分。扇形

B A D

的面積

= \frac{1}{2} \times 2 0^{2} \times \frac{π}{4} = 50 π

。半圓被

\overline{B C}

切成兩部分，在扇形

B A D

裡的是半圓減去右邊的弓形：

\frac{1}{2} \times π \times 1 0^{2} - (25 π - 50) = 25 π + 50

。所以左邊那塊

= 50 π - (25 π + 50) = 25 π - 50

。灰色部分面積

= (25 π - 50) + (25 π - 50) = 50 π - 100

。

扇形

B A D

與半圓的面積恰好都是

50 π

，所以兩塊灰色的面積相等。數值約

57.1

。

第 8 題這裡的扇形圓心角

2 θ

小於平角，即

0 < θ < \frac{π}{2}

。設扇形的圓心為

O

，內切圓的圓心為

I

。內切圓與兩條半徑都相切，所以

I

在圓心角的平分線上，

\overline{O I}

與每條半徑的夾角都是

θ

。由

I

向其中一條半徑作垂線，垂足是切點，垂線長是

r

，在這個直角三角形中

sin θ = \frac{r}{O I}

，所以

\overline{O I} = \frac{r}{sin θ}

。內切圓又與扇形的弧內切，切點在

\overline{O I}

的延長線上，所以

\overline{O I} + r = R

。代入：

\frac{r}{sin θ} + r = R

，

r (1 + sin θ) = R sin θ

，

r = \frac{R sin θ}{1 + sin θ}

。

圓心角小於平角時，垂足才會落在半徑上，這個公式才成立。檢查：圓心角是

\frac{π}{3}

時

θ = \frac{π}{6}

，

r = \frac{R /2}{3/2} = \frac{R}{3}

。

與兩條半徑都相切的圓，圓心在角平分線上；與弧內切時，兩個圓心的距離等於半徑相減。

06填充第 3、4 題（本頁第 9、10 題）：圓錐上的最短路徑、圖形的伸縮與平移

第 9 題把圓錐的側面沿著

\overline{A C}

剪開攤平，得到一個以

A

為圓心、半徑為

12

的扇形（

\overline{A C} = \overline{A B} = 12

）。扇形的弧長等於底面的圓周長；底面直徑是

4

，圓周長是

4 π

，所以扇形的圓心角是

\frac{4 π}{12} = \frac{π}{3}

剪開後

\overline{A C}

變成扇形的兩條邊：

C

是其中一條邊的端點，繞一圈後到達的

D

在另一條邊上，且

\overline{A D} = 6

。攤平後最短的路徑是連接

C

與

D

的線段。由

C

向另一條邊作垂線，垂足設為

H

。直角三角形

A C H

中

∠ C A H = 6 0^{\circ}

、斜邊

\overline{A C} = 12

，所以

\overline{A H} = 12 cos 6 0^{\circ} = 6

。而

\overline{A D} = 6

，可見垂足

H

就是

D

，

△ A C D

是

3 0^{\circ}

、

6 0^{\circ}

、

9 0^{\circ}

的直角三角形，直角在

D

。因此

\overline{C D} = 12 sin 6 0^{\circ} = 63

另解（餘弦定理）：

\overline{C D}^{2} = 1 2^{2} + 6^{2} - 2 \times 12 \times 6 \times cos 6 0^{\circ} = 108

，同樣得到

63

。線段

\overline{C D}

整段都在扇形內，是走得到的路徑。

第 10 題依序做：① 水平伸縮為

\frac{1}{3}

倍：把

x

換成

3 x

，得

y = sin 3 x

。② 向左平移

1

單位：把

x

換成

x + 1

，得

y = sin 3 (x + 1) = sin (3 x + 3)

。③ 鉛直伸縮為

2

倍：

y = 2 sin (3 x + 3)

。沒有上下平移，

d = 0

。所以

(a, b, c, d) = (2, 3, 3, 0)

。

先伸縮再平移：向左平移

1

是把

x

整個換成

x + 1

，括號裡要乘上

3

，

c

是

3

不是

1

。題目沒有限制

a, b, c

的範圍，同一個函數還有別的寫法（例如

c

加上

2 π

的整數倍）；這裡取照步驟直接得到的那一組。

曲面上的最短路徑先攤平成平面再連直線；圓錐側面攤開是扇形，圓心角

= \frac{底面圓周長}{母線長}

。

07填充第 5、6 題（本頁第 11、12 題）：正弦不等式、數解的個數

第 11 題令

t = \frac{x}{2}

，由

0 \leq x \leq 2 π

得

0 \leq t \leq π

。在

0 \leq t \leq π

這段，

y = sin t

的圖形先由

0

升到

1

再降回

0

。圖形高度等於

\frac{1}{2}

的地方是

t = \frac{π}{6}

與

t = \frac{5 π}{6}

，在這兩點之間圖形不低於

\frac{1}{2}

，所以

\frac{π}{6} \leq t \leq \frac{5 π}{6}

各項乘以

2

，得

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{5 π}{3}

。

先把

\frac{x}{2}

的範圍換好再看圖，最後記得換回

x

（乘以

2

）。

第 12 題把方程式寫成

sin x = \frac{x}{12}

，解的個數就是

y = sin x

的圖形與直線

y = \frac{x}{12}

的交點個數。因為

- 1 \leq sin x \leq 1

，交點只會出現在

- 12 \leq x \leq 12

。 ①

x = 0

：兩邊都是

0

，是一個解。 ②

x > 0

：直線的值為正，只看

sin x > 0

的區間。

π \approx 3.14

，所以

12

介於

3 π \approx 9.42

與

4 π \approx 12.57

之間，

0 < x \leq 12

內

sin x > 0

的區間只有

(0, π)

與

(2 π, 3 π)

。在

(0, π)

：兩個圖形都從原點出發，

x = \frac{π}{2}

時曲線高度

1

、直線高度約

0.13

，曲線在上；

x = π

時曲線回到

0

、直線高度約

0.26

，曲線在下，所以有交點；這一段曲線是先升後降的一個拱形，直線由原點一路上升，離開原點後只會穿過拱形一次，所以交

1

點。在

(2 π, 3 π)

：左端曲線高度

0

、直線高度約

0.52

，曲線在下；波峰

x = \frac{5 π}{2}

處曲線高度

1

、直線高度約

0.65

，曲線在上；右端曲線回到

0

，曲線在下。上升時交

1

點、下降時再交

1

點，共

2

點。正的解有

1 + 2 = 3

個。 ③

x < 0

：

y = sin x

與

y = \frac{x}{12}

的圖形都對稱於原點，負的解也有

3

個。合計

3 + 1 + 3 = 7

個。

下一個波峰在

x = \frac{9 π}{2} \approx 14.1

，已經超過

12

，直線高度大於

1

，交不到。原點那個解只算一次。

一邊是正弦曲線、一邊是直線的方程式：先用正弦值的範圍把

x

框住，再一個波峰一個波峰比高低來數交點，並利用對稱性。

08填充第 7、8 題（本頁第 13、14 題）：輪子的轉動、交叉皮帶

第 13 題輪子滾動而不打滑時，在地上滾過的長度等於輪緣轉過的弧長。弧長

200

、半徑

50

，轉動的角度

= \frac{200}{50} = 4

（弧度）。換成度：

4 \times \frac{18 0 ^{\circ}}{π} = \frac{72 0 ^{\circ}}{π} \approx 229.1 8^{\circ}

，四捨五入到整數是

229

度。

1

弧度約

57. 3^{\circ}

，

4

弧度約

229. 2^{\circ}

。用

π \approx 3.1416

計算：

720 \div 3.1416 \approx 229.18

。

第 14 題設大輪圓心

O_{1}

（半徑

4

）、小輪圓心

O_{2}

（半徑

2

），

\overline{O_{1} O_{2}} = 12

。皮帶由兩段直線與兩段弧組成。兩段直線在兩輪之間交叉於

P

，由對稱性

P

在

\overline{O_{1} O_{2}}

上。設其中一段直線與大輪切於

T_{1}

、與小輪切於

T_{2}

。半徑垂直於切線，所以

△ O_{1} T_{1} P

與

△ O_{2} T_{2} P

都是直角三角形，且在

P

的角是對頂角，兩個三角形相似，

\overline{O_{1} P} : \overline{O_{2} P} = 4 : 2

。因此

\overline{O_{1} P} = 8

，

\overline{O_{2} P} = 4

。在

△ O_{1} T_{1} P

中，

\overline{O_{1} T_{1}} = 4

、斜邊

\overline{O_{1} P} = 8

，所以

∠ T_{1} O_{1} P = 6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

，

\overline{T_{1} P} = 43

。同理

∠ T_{2} O_{2} P = \frac{π}{3}

，

\overline{T_{2} P} = 23

。一段直線長

43 + 23 = 63

，兩段共

123

。大輪上兩個切點在

\overline{O_{1} P}

的兩側各夾

\frac{π}{3}

，皮帶繞的是背對

P

的那一段弧，圓心角

= 2 π - \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{3}

，弧長

= 4 \times \frac{4 π}{3} = \frac{16 π}{3}

。小輪同理，弧長

= 2 \times \frac{4 π}{3} = \frac{8 π}{3}

。皮帶長

= 123 + \frac{16 π}{3} + \frac{8 π}{3} = 8 π + 123

（公尺）。

數值約

45.9

公尺。交叉皮帶繞在每個輪子上的部分都超過半圈（

\frac{4 π}{3} > π

）；若把弧的圓心角取成

\frac{2 π}{3}

會少算。

皮帶問題：直線段用「半徑垂直切線」的直角三角形求長度與角度，弧的部分用弧長

r θ

，圓心角要看皮帶實際貼住的是哪一段。

09填充第 9 題（本頁第 15 題）：弧度角的正弦值比大小

第 15 題

3, 4, 5, 6, 7

都是弧度。用

π \approx 3.14

、

2 π \approx 6.28

判斷象限，再換成銳角（弧度介於

0

與

\frac{π}{2} \approx 1.57

之間）的正弦值：

a = sin 3

：

3

在第二象限，

sin 3 = sin (π - 3) \approx sin 0.14

，為正。

e = sin 7

：

7

比

2 π

多一點，在第一象限，

sin 7 = sin (7 - 2 π) \approx sin 0.72

，為正。

d = sin 6

：

6

在第四象限，

sin 6 = - sin (2 π - 6) \approx - sin 0.28

，為負。

b = sin 4

：

4

在第三象限，

sin 4 = - sin (4 - π) \approx - sin 0.86

，為負。

c = sin 5

：

5

在第四象限，

sin 5 = - sin (2 π - 5) \approx - sin 1.28

，為負。銳角越大正弦值越大：

sin 0.14 < sin 0.28 < sin 0.72 < sin 0.86 < sin 1.28

。正的兩個：

e > a

；負的三個，絕對值越大的越小：

d > b > c

。所以

e > a > d > b > c

。

實際的值約為

sin 7 \approx 0.66

、

sin 3 \approx 0.14

、

sin 6 \approx - 0.28

、

sin 4 \approx - 0.76

、

sin 5 \approx - 0.96

。

比較弧度角的正弦值：先用

π \approx 3.14

判斷象限定正負，再換成銳角，用「銳角越大正弦值越大」來比。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

建國中學 109 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

建國中學 109 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題把 x 度與 x 弧度放在一起比，x 度只是一個一到五度之間的小銳角，餘弦值接近一，而 x 弧度落在第二、三象限，餘弦值不是正的；第 5 題的套色區域由三段弧圍成，周長是三段弧的和，面積要用三個扇形減去重複算到的正三角形；第 12 題的直線很平，要一個波峰一個波峰去數交點，第二個波峰還交得到、第三個波峰已經超過十二；第 14 題交叉皮帶繞在每個輪子上的部分超過半圈，要先由直角三角形找出六十度。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自建國中學 109 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：週期性數學模型（弧度量、扇形的弧長與面積、正弦函數的圖形與週期）

建國中學 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

一、單選題（每題 6 分，共 24 分）

試問有多少個實數

x

滿足

\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{3 π}{2}

且

cos x^{\circ} \leq cos x

？

(A) $0$ 個
(B) $1$ 個
(C) $2$ 個
(D) $4$ 個
(E) 無窮多個

如附圖，兩同心圓的半徑分別是

3

和

5

，且

A B ⌢

的長度是

5

，求陰影部分的面積是？

(A) $8$
(B) $16$
(C) $4 π$
(D) $8 π$
(E) $\frac{20 π}{3}$

載入中...

牆上有一時鐘，其半徑為

50

公分，若早上

8

點整小瑛起床，則小瑛發現時針與分針重合時是經過幾分鐘後？

(A) $43$ 分鐘
(B) $\frac{480}{11}$ 分鐘
(C) $44$ 分鐘
(D) $\frac{490}{11}$ 分鐘
(E) $45$ 分鐘

函數

y = - 2 sin (2 π x - 2) + 2

最大值為

a

，最小值為

b

，週期為

c

，振幅為

d

。求

a + b + c + d =

(A) $5$
(B) $6$
(C) $7$
(D) $8$
(E) $9$

如附圖，以邊長為

4

的正三角形

A B C

之每邊為直徑作三個半圓，兩兩分別交於

D, E, F

點。試選出正確的選項。

(A) $A F ⌢$ 弧長是 $\frac{π}{3}$
(B) 扇形 $A F E$ 的面積是 $\frac{2 π}{3}$
(C) $△ D E F$ 的面積是 $3$
(D) 套色區域的周長是 $π$
(E) 套色區域的面積是 $2 π - 23$

載入中...

附圖為三角函數

y = 3 sin (a x - b)

的部分圖形，其中

a > 0

，則下列各項敘述何者正確？

(A) $B (0, - 3)$
(B) $b = \frac{π}{6}$
(C) $C (\frac{5 π}{6}, 0)$
(D) $y$ 的週期為 $\frac{2 π}{3}$
(E) 其圖形可由 $y = 3 sin 3 x$ 向右平移 $\frac{π}{6}$ 而得

載入中...

三、填充題（每題 6 分，共 54 分）

附圖中，

\overline{A B} = 20

，以

\overline{A B}

為直徑的半圓，

C

為

A B ⌢

中點，今以

B

為圓心，

\overline{A B}

為半徑作一圓弧與直線

B C

交於

D

點，則灰色部分面積為 ____。

載入中...

已知扇形的圓心角為

2 θ

，半徑為

R

，而其內切圓半徑為

r

，則

r =

____。

如附圖，直圓錐底面直徑

\overline{B C} = 4

，且

\overline{A B} = 12

，若一隻螞蟻由

C

點沿錐面繞一圈到

D

點，已知

\overline{A D} = 6

，求這隻螞蟻所走的最短路徑長為 ____。

載入中...

將

y = sin x

經水平伸縮為

\frac{1}{3}

倍，再向左平移

1

單位，再鉛直伸縮為

2

倍，得到的函數為

y = a sin (b x + c) + d

，求實數對

(a, b, c, d) =

____。

設

0 \leq x \leq 2 π

，若

sin \frac{x}{2} \geq \frac{1}{2}

，則

x

的範圍為 ____。

方程式

12 sin x = x

，共有 ____ 個實數解。

有一輪子，半徑

50

公分，讓它在地上滾動

200

公分的長度，問輪子繞軸轉動多少度（度以下四捨五入）？

皮帶傳動是利用張緊在圓輪上的皮帶進行運動或動力傳遞的一種機械傳動，已知有大小兩圓輪，其半徑分別為

2

公尺與

4

公尺，且兩輪圓心相距

12

公尺，今以皮帶交叉環繞兩輪，試求皮帶長為多少公尺？

載入中...

比較

a = sin 3

，

b = sin 4

，

c = sin 5

，

d = sin 6

，

e = sin 7

之大小為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(A)

第 3 題(B)

第 4 題(C)

第 5 題(B)(C)(E)

第 6 題(A)(C)(D)(E)

第 7 題

50 π - 100

第 8 題

\frac{R s i n θ}{1 + s i n θ}

第 9 題

63

第 10 題

(2, 3, 3, 0)

第 11 題

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{5 π}{3}

第 12 題

7

第 13 題

229

度

第 14 題

8 π + 123

公尺

第 15 題

e > a > d > b > c

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：弧度與度、環形扇形的面積

第 1 題答案 (A)。沒有度的記號就是弧度。

x

介於

\frac{π}{2} \approx 1.57

與

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

之間。先看右邊

cos x

：

x

弧度落在

9 0^{\circ}

到

27 0^{\circ}

之間，是第二、三象限的角或在象限的邊界上，所以

cos x \leq 0

。再看左邊

cos x^{\circ}

：

x^{\circ}

是大約

1.5 7^{\circ}

到

4.7 1^{\circ}

的小銳角，所以

cos x^{\circ} > 0

（而且很接近

1

）。左邊恆為正、右邊恆不為正，

cos x^{\circ} \leq cos x

不可能成立，滿足條件的

x

有

0

個。

同一個數

x

，寫成

x^{\circ}

與寫成

x

（弧度）是兩個不同的角：

1

弧度約

57. 3^{\circ}

。

第 2 題答案 (A)。弧

A B

在半徑

5

的大圓上，弧長

=

半徑

\times

圓心角，所以圓心角

θ = \frac{5}{5} = 1

（弧度）。陰影部分是大扇形

O A B

去掉小扇形

O C D

，兩個扇形的圓心角都是

1

：

\frac{1}{2} \times 5^{2} \times 1 - \frac{1}{2} \times 3^{2} \times 1 = \frac{25}{2} - \frac{9}{2} = 8

圓心角是

1

弧度，不含

π

，所以面積也不含

π

；選項 (C)(D)(E) 都可以先排除。

半徑

r

、圓心角

θ

（弧度）的扇形：弧長

r θ

，面積

\frac{1}{2} r^{2} θ

。

02單選第 3、4 題：時針與分針、正弦型函數的四個量

第 3 題答案 (B)。分針每

60

分鐘轉一圈，每分鐘轉

6^{\circ}

；時針每

12

小時轉一圈，每分鐘轉

0. 5^{\circ}

。

8

點整時分針指著

12

、時針指著

8

，時針在分針前面

8 \times 3 0^{\circ} = 24 0^{\circ}

。分針每分鐘比時針多轉

6^{\circ} - 0. 5^{\circ} = 5. 5^{\circ}

，要追上

24 0^{\circ}

需要

\frac{240}{5.5} = \frac{480}{11}

分鐘（約

43.6

分鐘）。

時鐘的半徑

50

公分用不到：重合與否只看兩根針轉過的角度。用弧度算也一樣：分針每分鐘比時針多轉

\frac{π}{30} - \frac{π}{360} = \frac{11 π}{360}

，要追上的角是

\frac{4 π}{3}

：

\frac{4 π}{3} \div \frac{11 π}{360} = \frac{480}{11}

第 4 題答案 (C)。

- 1 \leq sin (2 π x - 2) \leq 1

，乘以

- 2

後仍在

- 2

與

2

之間，再加

2

：

0 \leq y \leq 4

，兩端都取得到，所以最大值

a = 4

，最小值

b = 0

。

x

的係數是

2 π

，週期

c = \frac{2 π}{2 π} = 1

。振幅是最大值與最小值之差的一半，

d = \frac{4 - 0}{2} = 2

。

a + b + c + d = 4 + 0 + 1 + 2 = 7

。

振幅是正的量：

sin

前面的係數是

- 2

，振幅是

2

不是

- 2

。週期是

1

，不是

π

。

y = p sin (q x + s) + k

（

q > 0

）：振幅

∣ p ∣

、週期

\frac{2 π}{q}

、最大值

k + ∣ p ∣

、最小值

k - ∣ p ∣

。

03多選第 1 題（本頁第 5 題）：正三角形與三個半圓

第 5 題答案 (B)(C)(E)。先弄清楚圖：以

\overline{A B}

為直徑的圓，直徑所對的圓周角是直角，所以它與

\overline{B C}

的交點是由

A

到

\overline{B C}

的垂足；正三角形的高就是中線，所以這個交點是

\overline{B C}

的中點。同理，

D, E, F

依序是

\overline{B C}, \overline{C A}, \overline{A B}

的中點，也就是三個半圓的圓心，半徑都是

2

。連接三個中點，把正三角形

A B C

分成四個邊長

2

的小正三角形

A F E, F B D, E D C, D E F

。 (A) 錯誤。

A

與

F

到

E

的距離都是

2

，弧

A F

在以

E

為圓心、半徑

2

的半圓上，所對的圓心角

∠ A E F = 6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

，弧長

= 2 \times \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

，不是

\frac{π}{3}

。 (B) 正確。 扇形

A F E

的半徑是

2

、圓心角是

\frac{π}{3}

，面積

= \frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

。 (C) 正確。

△ D E F

是邊長

2

的正三角形，面積

= \frac{3}{4} \times 2^{2} = 3

。 (D) 錯誤。 套色區域由三段弧圍成：弧

F E

（圓心

D

）、弧

E D

（圓心

F

）、弧

D F

（圓心

E

），每段的半徑都是

2

、圓心角都是

\frac{π}{3}

，每段長

\frac{2 π}{3}

，周長

= 3 \times \frac{2 π}{3} = 2 π

，不是

π

。 (E) 正確。 套色區域可以看成三個扇形

D - F E

、

F - E D

、

E - D F

疊起來，三個扇形都蓋到

△ D E F

，所以

△ D E F

被算了三次，要扣掉兩次：

3 \times \frac{2 π}{3} - 2 \times 3 = 2 π - 23

。

選項 (B) 的扇形不論把圓心看成

E

（弧

A F

）或

F

（弧

A E

），半徑與圓心角都一樣，面積都是

\frac{2 π}{3}

。(E) 也可以算成

△ D E F

加上三個弓形：每個弓形

= \frac{2 π}{3} - 3

，合計

3 + 3 (\frac{2 π}{3} - 3) = 2 π - 23

。

圖上的弧先找出圓心與半徑，再用弧長

r θ

、扇形面積

\frac{1}{2} r^{2} θ

；幾個扇形疊起來時，把重複算的部分扣掉。

04多選第 2 題（本頁第 6 題）：由圖形決定正弦函數

第 6 題答案 (A)(C)(D)(E)。先用圖上印的三個刻度求週期與

a

：圖形在

x = \frac{π}{6}

由下往上通過

x

軸，在

x = \frac{π}{3}

到最高點，在

x = \frac{π}{2}

由上往下通過

x

軸。相鄰兩個零點相差半個週期：

\frac{π}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

所以週期是

\frac{2 π}{3}

，四分之一週期是

\frac{π}{6}

。由

\frac{2 π}{a} = \frac{2 π}{3}

（

a > 0

）得

a = 3

。最高點與相鄰的最低點相差半個週期：由最高點

x = \frac{π}{3}

往左半個週期

\frac{π}{3}

，正好是

x = 0

，所以圖形在

x = 0

位於最低點。 (A) 正確。

y = 3 sin (a x - b)

的最小值是

- 3

，而最低點在

x = 0

，就是

y

軸上的

B

，所以

B (0, - 3)

。 (B) 錯誤。

x = 0

時

y = - 3

，即

3 sin (- b) = - 3

，

sin b = 1

，所以

b = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），不可能是

\frac{π}{6}

。直接檢查也可以：若

b = \frac{π}{6}

，

x = 0

時

y = 3 sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{3}{2}

，不是最低點。 (C) 正確。

C

是下一次由下往上通過

x

軸的點，與

x = \frac{π}{6}

相差一個週期：

\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} = \frac{5 π}{6}

所以

C (\frac{5 π}{6}, 0)

。 (D) 正確。 前面已求出週期是

\frac{2 π}{3}

。 (E) 正確。 取

b = \frac{π}{2}

：

y = 3 sin (3 x - \frac{π}{2}) = 3 sin 3 (x - \frac{π}{6})

這是把

y = 3 sin 3 x

的

x

換成

x - \frac{π}{6}

，也就是向右平移

\frac{π}{6}

。

b

取

\frac{π}{2} + 2 k π

的其他值時是同一個函數。

若把

b

誤當成平移量會選到 (B)；平移量是

\frac{b}{a} = \frac{π}{6}

，

b

本身是

\frac{π}{2}

（或再加

2 π

的整數倍）。

由圖形決定

y = p sin (a x - b)

：先用相鄰零點或最高最低點的距離定週期與

a

，再代一個已知點定

b

；左右平移量要把

a

提出來再看。

05填充第 1、2 題（本頁第 7、8 題）：扇形與半圓、扇形的內切圓

第 7 題設

\overline{A B}

的中點為

O

，半圓的半徑是

10

。

C

是半圓弧的中點，所以

\overline{O C} ⊥ \overline{A B}

，

△ O B C

是等腰直角三角形，

∠ A B C = 4 5^{\circ} = \frac{π}{4}

。灰色部分有兩塊。右邊那塊是弦

\overline{B C}

與弧

B C

圍成的弓形：扇形

O B C

（半徑

10

、圓心角

\frac{π}{2}

）減去

△ O B C

，

\frac{1}{2} \times 1 0^{2} \times \frac{π}{2} - \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 25 π - 50

。左邊那塊是扇形

B A D

（圓心

B

、半徑

20

、圓心角

\frac{π}{4}

）去掉其中屬於半圓的部分。扇形

B A D

的面積

= \frac{1}{2} \times 2 0^{2} \times \frac{π}{4} = 50 π

。半圓被

\overline{B C}

切成兩部分，在扇形

B A D

裡的是半圓減去右邊的弓形：

\frac{1}{2} \times π \times 1 0^{2} - (25 π - 50) = 25 π + 50

。所以左邊那塊

= 50 π - (25 π + 50) = 25 π - 50

。灰色部分面積

= (25 π - 50) + (25 π - 50) = 50 π - 100

。

扇形

B A D

與半圓的面積恰好都是

50 π

，所以兩塊灰色的面積相等。數值約

57.1

。

第 8 題這裡的扇形圓心角

2 θ

小於平角，即

0 < θ < \frac{π}{2}

。設扇形的圓心為

O

，內切圓的圓心為

I

。內切圓與兩條半徑都相切，所以

I

在圓心角的平分線上，

\overline{O I}

與每條半徑的夾角都是

θ

。由

I

向其中一條半徑作垂線，垂足是切點，垂線長是

r

，在這個直角三角形中

sin θ = \frac{r}{O I}

，所以

\overline{O I} = \frac{r}{sin θ}

。內切圓又與扇形的弧內切，切點在

\overline{O I}

的延長線上，所以

\overline{O I} + r = R

。代入：

\frac{r}{sin θ} + r = R

，

r (1 + sin θ) = R sin θ

，

r = \frac{R sin θ}{1 + sin θ}

。

圓心角小於平角時，垂足才會落在半徑上，這個公式才成立。檢查：圓心角是

\frac{π}{3}

時

θ = \frac{π}{6}

，

r = \frac{R /2}{3/2} = \frac{R}{3}

。

與兩條半徑都相切的圓，圓心在角平分線上；與弧內切時，兩個圓心的距離等於半徑相減。

06填充第 3、4 題（本頁第 9、10 題）：圓錐上的最短路徑、圖形的伸縮與平移

第 9 題把圓錐的側面沿著

\overline{A C}

剪開攤平，得到一個以

A

為圓心、半徑為

12

的扇形（

\overline{A C} = \overline{A B} = 12

）。扇形的弧長等於底面的圓周長；底面直徑是

4

，圓周長是

4 π

，所以扇形的圓心角是

\frac{4 π}{12} = \frac{π}{3}

剪開後

\overline{A C}

變成扇形的兩條邊：

C

是其中一條邊的端點，繞一圈後到達的

D

在另一條邊上，且

\overline{A D} = 6

。攤平後最短的路徑是連接

C

與

D

的線段。由

C

向另一條邊作垂線，垂足設為

H

。直角三角形

A C H

中

∠ C A H = 6 0^{\circ}

、斜邊

\overline{A C} = 12

，所以

\overline{A H} = 12 cos 6 0^{\circ} = 6

。而

\overline{A D} = 6

，可見垂足

H

就是

D

，

△ A C D

是

3 0^{\circ}

、

6 0^{\circ}

、

9 0^{\circ}

的直角三角形，直角在

D

。因此

\overline{C D} = 12 sin 6 0^{\circ} = 63

另解（餘弦定理）：

\overline{C D}^{2} = 1 2^{2} + 6^{2} - 2 \times 12 \times 6 \times cos 6 0^{\circ} = 108

，同樣得到

63

。線段

\overline{C D}

整段都在扇形內，是走得到的路徑。

第 10 題依序做：① 水平伸縮為

\frac{1}{3}

倍：把

x

換成

3 x

，得

y = sin 3 x

。② 向左平移

1

單位：把

x

換成

x + 1

，得

y = sin 3 (x + 1) = sin (3 x + 3)

。③ 鉛直伸縮為

2

倍：

y = 2 sin (3 x + 3)

。沒有上下平移，

d = 0

。所以

(a, b, c, d) = (2, 3, 3, 0)

。

先伸縮再平移：向左平移

1

是把

x

整個換成

x + 1

，括號裡要乘上

3

，

c

是

3

不是

1

。題目沒有限制

a, b, c

的範圍，同一個函數還有別的寫法（例如

c

加上

2 π

的整數倍）；這裡取照步驟直接得到的那一組。

曲面上的最短路徑先攤平成平面再連直線；圓錐側面攤開是扇形，圓心角

= \frac{底面圓周長}{母線長}

。

07填充第 5、6 題（本頁第 11、12 題）：正弦不等式、數解的個數

第 11 題令

t = \frac{x}{2}

，由

0 \leq x \leq 2 π

得

0 \leq t \leq π

。在

0 \leq t \leq π

這段，

y = sin t

的圖形先由

0

升到

1

再降回

0

。圖形高度等於

\frac{1}{2}

的地方是

t = \frac{π}{6}

與

t = \frac{5 π}{6}

，在這兩點之間圖形不低於

\frac{1}{2}

，所以

\frac{π}{6} \leq t \leq \frac{5 π}{6}

各項乘以

2

，得

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{5 π}{3}

。

先把

\frac{x}{2}

的範圍換好再看圖，最後記得換回

x

（乘以

2

）。

第 12 題把方程式寫成

sin x = \frac{x}{12}

，解的個數就是

y = sin x

的圖形與直線

y = \frac{x}{12}

的交點個數。因為

- 1 \leq sin x \leq 1

，交點只會出現在

- 12 \leq x \leq 12

。 ①

x = 0

：兩邊都是

0

，是一個解。 ②

x > 0

：直線的值為正，只看

sin x > 0

的區間。

π \approx 3.14

，所以

12

介於

3 π \approx 9.42

與

4 π \approx 12.57

之間，

0 < x \leq 12

內

sin x > 0

的區間只有

(0, π)

與

(2 π, 3 π)

。在

(0, π)

：兩個圖形都從原點出發，

x = \frac{π}{2}

時曲線高度

1

、直線高度約

0.13

，曲線在上；

x = π

時曲線回到

0

、直線高度約

0.26

，曲線在下，所以有交點；這一段曲線是先升後降的一個拱形，直線由原點一路上升，離開原點後只會穿過拱形一次，所以交

1

點。在

(2 π, 3 π)

：左端曲線高度

0

、直線高度約

0.52

，曲線在下；波峰

x = \frac{5 π}{2}

處曲線高度

1

、直線高度約

0.65

，曲線在上；右端曲線回到

0

，曲線在下。上升時交

1

點、下降時再交

1

點，共

2

點。正的解有

1 + 2 = 3

個。 ③

x < 0

：

y = sin x

與

y = \frac{x}{12}

的圖形都對稱於原點，負的解也有

3

個。合計

3 + 1 + 3 = 7

個。

下一個波峰在

x = \frac{9 π}{2} \approx 14.1

，已經超過

12

，直線高度大於

1

，交不到。原點那個解只算一次。

一邊是正弦曲線、一邊是直線的方程式：先用正弦值的範圍把

x

框住，再一個波峰一個波峰比高低來數交點，並利用對稱性。

08填充第 7、8 題（本頁第 13、14 題）：輪子的轉動、交叉皮帶

第 13 題輪子滾動而不打滑時，在地上滾過的長度等於輪緣轉過的弧長。弧長

200

、半徑

50

，轉動的角度

= \frac{200}{50} = 4

（弧度）。換成度：

4 \times \frac{18 0 ^{\circ}}{π} = \frac{72 0 ^{\circ}}{π} \approx 229.1 8^{\circ}

，四捨五入到整數是

229

度。

1

弧度約

57. 3^{\circ}

，

4

弧度約

229. 2^{\circ}

。用

π \approx 3.1416

計算：

720 \div 3.1416 \approx 229.18

。

第 14 題設大輪圓心

O_{1}

（半徑

4

）、小輪圓心

O_{2}

（半徑

2

），

\overline{O_{1} O_{2}} = 12

。皮帶由兩段直線與兩段弧組成。兩段直線在兩輪之間交叉於

P

，由對稱性

P

在

\overline{O_{1} O_{2}}

上。設其中一段直線與大輪切於

T_{1}

、與小輪切於

T_{2}

。半徑垂直於切線，所以

△ O_{1} T_{1} P

與

△ O_{2} T_{2} P

都是直角三角形，且在

P

的角是對頂角，兩個三角形相似，

\overline{O_{1} P} : \overline{O_{2} P} = 4 : 2

。因此

\overline{O_{1} P} = 8

，

\overline{O_{2} P} = 4

。在

△ O_{1} T_{1} P

中，

\overline{O_{1} T_{1}} = 4

、斜邊

\overline{O_{1} P} = 8

，所以

∠ T_{1} O_{1} P = 6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

，

\overline{T_{1} P} = 43

。同理

∠ T_{2} O_{2} P = \frac{π}{3}

，

\overline{T_{2} P} = 23

。一段直線長

43 + 23 = 63

，兩段共

123

。大輪上兩個切點在

\overline{O_{1} P}

的兩側各夾

\frac{π}{3}

，皮帶繞的是背對

P

的那一段弧，圓心角

= 2 π - \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{3}

，弧長

= 4 \times \frac{4 π}{3} = \frac{16 π}{3}

。小輪同理，弧長

= 2 \times \frac{4 π}{3} = \frac{8 π}{3}

。皮帶長

= 123 + \frac{16 π}{3} + \frac{8 π}{3} = 8 π + 123

（公尺）。

數值約

45.9

公尺。交叉皮帶繞在每個輪子上的部分都超過半圈（

\frac{4 π}{3} > π

）；若把弧的圓心角取成

\frac{2 π}{3}

會少算。

皮帶問題：直線段用「半徑垂直切線」的直角三角形求長度與角度，弧的部分用弧長

r θ

，圓心角要看皮帶實際貼住的是哪一段。

09填充第 9 題（本頁第 15 題）：弧度角的正弦值比大小

第 15 題

3, 4, 5, 6, 7

都是弧度。用

π \approx 3.14

、

2 π \approx 6.28

判斷象限，再換成銳角（弧度介於

0

與

\frac{π}{2} \approx 1.57

之間）的正弦值：

a = sin 3

：

3

在第二象限，

sin 3 = sin (π - 3) \approx sin 0.14

，為正。

e = sin 7

：

7

比

2 π

多一點，在第一象限，

sin 7 = sin (7 - 2 π) \approx sin 0.72

，為正。

d = sin 6

：

6

在第四象限，

sin 6 = - sin (2 π - 6) \approx - sin 0.28

，為負。

b = sin 4

：

4

在第三象限，

sin 4 = - sin (4 - π) \approx - sin 0.86

，為負。

c = sin 5

：

5

在第四象限，

sin 5 = - sin (2 π - 5) \approx - sin 1.28

，為負。銳角越大正弦值越大：

sin 0.14 < sin 0.28 < sin 0.72 < sin 0.86 < sin 1.28

。正的兩個：

e > a

；負的三個，絕對值越大的越小：

d > b > c

。所以

e > a > d > b > c

。

實際的值約為

sin 7 \approx 0.66

、

sin 3 \approx 0.14

、

sin 6 \approx - 0.28

、

sin 4 \approx - 0.76

、

sin 5 \approx - 0.96

。

比較弧度角的正弦值：先用

π \approx 3.14

判斷象限定正負，再換成銳角，用「銳角越大正弦值越大」來比。

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03多選第 1 題（本頁第 5 題）：正三角形與三個半圓

04多選第 2 題（本頁第 6 題）：由圖形決定正弦函數

05填充第 1、2 題（本頁第 7、8 題）：扇形與半圓、扇形的內切圓

06填充第 3、4 題（本頁第 9、10 題）：圓錐上的最短路徑、圖形的伸縮與平移

07填充第 5、6 題（本頁第 11、12 題）：正弦不等式、數解的個數

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