段考詳解範圍：指數與對數的運算、指數與對數函數的圖形、按比例成長模型（單利與複利、指數成長與衰退、位數估計）、黃金比例

北一女中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 北一女中 109 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 11 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 北一女中 109 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題第 5 個選項要看出指數函數的圖形先對鉛直軸鏡射、再對斜對角線鏡射，合起來就是轉四分之一圈；第 4 題第 1 小題三個數都是負的，要先比出絕對值再反過來；第 6 題的方案 B 是按月複利，要把年利率除以十二、期數乘以十二，第 2 小題是每年存一筆、每一筆生息的年數都不同；第 7 題第 2 小題算出來非常接近九十九，中間的對數值要多留幾位再進位。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 11 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 11 題，照原卷順序

多重選擇題 2 題（每題 5 個選項，每個選項 2 分，共 20 分）、填充題 6 題共 13 格（依答對格數配分：答對 1 到 13 格依序得 7、14、20、26、31、36、41、46、51、55、59、62、65 分）、混合題組 3 題（共 15 分，第 1 題填充、第 2 題單選各 4 分，第 3 題計算題 7 分），合計 100 分。卷面註明本試卷題型均可以自行判斷採用計算器為計算工具。題目卷卷頭印的命題範圍是按比例成長模型、黃金比例與費氏數列，答案卷卷頭印的是指數與對數函數。原卷三個大題各自從 1 編號，本頁題號全卷連續：第 1、2 題是多重選擇題，第 3 到第 8 題是填充題第 1 到第 6 題，第 9 到第 11 題是混合題組第 1 到第 3 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部相同。

一、多重選擇題（每題均有 5 個選項，至少有一個選項是正確的，每個選項 2 分，共 20 分）

下列有關指數與對數的運算敘述，哪些是正確的？

(1) $lo g_{0} 1 = 0$
(2) $lo g_{2} (\frac{1}{3}) = - lo g_{2} 9$
(3) $(- 3)^{2} = 9 \Rightarrow lo g_{(- 3)} 9 = 2$
(4) $lo g (4 + \frac{4}{3}) = lo g 4 + lo g \frac{4}{3}$
(5) $lo g x^{2} = 6 \Rightarrow lo g x = 3$

下列關於指數函數與對數函數的敘述，哪些是正確的？

(1) 若 $0 < x < 1$ ，則 $y = e^{x}$ 的圖形在 $y = π^{x}$ 的圖形的上方
(2) 若 $0 < x < 1$ ，則 $y = lo g_{e} x$ 的圖形在 $y = lo g_{π} x$ 的圖形的下方
(3) $y = a^{- x}$ 的圖形和 $y = lo g_{a} x$ 的圖形的凹向性一致
(4) $y = a^{- x}$ 的圖形和 $y = lo g_{a} x$ 的圖形的遞增遞減性一致
(5) $y = a^{- x}$ 的圖形可以經過旋轉平移後和 $y = lo g_{a} x$ 的圖形重合

二、填充題（依下表答題格數配分）

試求下列各式的值：　(1)

lo g_{2} ((3 \times 2^{6})^{\frac{2}{3}} \times \frac{1}{3 81} \div 2^{\frac{- 4}{3}} \times (\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}})

　(2)

4 lo g_{5} 5 - \frac{1}{3} lo g_{5} 2 + lo g_{125} 250

　(3)

[lo g_{2} (4 lo g_{2} 4)] (lo g_{8} 2 + 1)

試比較

a

、

b

、

c

之大小：　(1)

a = lo g_{π} \frac{1}{e}, b = lo g_{e} \frac{1}{π}, c = lo g_{e} \frac{1}{π}

　(2)

a = (\frac{1}{2})^{500}, b = (\frac{1}{3})^{333}, c = (\frac{1}{5})^{225}

如右圖，一正五邊形

A B C D E

，其中

\overline{A D}

和

\overline{B E}

交於

F

。若

\overline{A F} = 1

，則

\overline{A B}

長度為何？

載入中...

小綠在

17

歲生日當天想考慮存錢進銀行，某銀行提供三種利率方案供小綠選擇：方案 A：

17

歲時一次存入本金

100

萬，利息按年單利計算，年利率

1.3%

。方案 B：

17

歲時一次存入本金

100

萬，利息按月複利計算，年利率

1.2%

。方案 C：從

17

歲開始每年固定存

10

萬，利息按年複利計算，年利率

1%

　試回答下列問題：　(1) 若小綠預計在

27

歲生日隔天將這筆儲蓄提領出來，則她採用方案 A 和方案 B 領出的金額會相差多少元？（四捨五入取到整數位）　(2) 若小綠選擇方案 C，則

27

歲生日隔天共能領出多少錢？（四捨五入取到整數位）

「根據中華民國人口推估（2018 至 2065 年）之中推估結果，…相關重點數據如下：一、總人口數：將於

110

年達人口最高峰為

2, 361

萬人，隨後遞減至

154

年時剩下

1, 735

萬人。…」（資料來源：內政部戶政司全球資訊網）試回答下列問題：　(1) 假設我國總人口數呈線性遞減，試預測從

110

年開始算起，最少約在幾年後總人口數為

110

年高峰時的一半？（無條件進位到整數位）　(2) 假設我國總人口數呈指數遞減，試預測從

110

年開始算起，最少約在幾年後總人口數為

110

年高峰時的一半？（無條件進位到整數位）

小綠某天數學課看到題目中有自然常數

e

的

300

次方，心血來潮想用計算機按按看，但因她手上的計算機的顯示轉換成科學記號只能顯示

100

位數，小綠發現

e^{300}

直接利用計算機按出來螢幕會顯示 ERROR，試回答下列問題：　(1) 小綠先假設

1 0^{k} \leq e^{300} < 1 0^{k + 1}

，其中

k

值為正整數，請問

k

值為何？　(2) 承上題，

3^{240}

為幾位數？　(3) 若是

e^{x} = 1 0^{100}

，則

x

值大約為何？（四捨五入取到小數點後第二位）

三、混合題組（共 15 分，第 1 題填充、第 2 題單選各 4 分，第 3 題計算題 7 分）

某國傳染病大流行時，經統計發現高峰期間染病人數每兩個月增加為十倍，以

f (t)

表示

t = 0

開始時，染病人數隨時間

t

變化的函數，並假設

f (0) = k

（

k \in N

）。若

t

以月為單位（不考慮每月天數），試寫出可以代表某國於染病高峰期間染病人數的函數模型：

f (t) =

____。

承上題，已知某國初始染病人數為

30000

人，小綠為了分析染病時間與染病人數的直線相關程度，而將其

y

坐標改成

lo g y

，請問將坐標軸改變後，

t

與

lo g y

的函數圖形為哪一條直線？

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

承上題，假設某國人口為

5

千萬人，若傳染率以及總人口數不變，請問最少經過多少個月，全國確診人數會達到全國人口

50%

？（取到整數位）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)(4)

第 2 題(2)(5)

第 3 題(1)

4

；(2)

3

；(3)

4

第 4 題(1)

a > b > c

；(2)

a > c > b

第 5 題

\frac{1 + 5}{2}

第 6 題(1)

2571

元；(2)

1056683

元

第 7 題(1)

83

年；(2)

99

年

第 8 題(1)

130

；(2)

115

位；(3)

230.26

第 9 題

k \times 1 0^{\frac{t}{2}}

第 10 題(3)

第 11 題

6

個月

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題（第 1、2 題）：對數的規定與運算、指數與對數函數的圖形

第 1 題答案 (2)(4)。(1) 錯誤。 對數的底數規定是不等於

1

的正數，

0

不能當底數，

lo g_{0} 1

沒有意義。(2) 正確。 設

lo g_{2} \frac{1}{3} = t

，即

(2)^{t} = \frac{1}{3}

，也就是

2^{\frac{t}{2}} = 3^{- 1}

，所以

\frac{t}{2} = - lo g_{2} 3

，

t = - 2 lo g_{2} 3 = - lo g_{2} 3^{2} = - lo g_{2} 9

。(3) 錯誤。

(- 3)^{2} = 9

是對的，但負數不能當對數的底數，

lo g_{(- 3)} 9

沒有意義，推不出後面的式子。(4) 正確。 左邊是

lo g (4 + \frac{4}{3}) = lo g \frac{16}{3}

；右邊是

lo g 4 + lo g \frac{4}{3} = lo g (4 \times \frac{4}{3}) = lo g \frac{16}{3}

，兩邊相等。(5) 錯誤。

lo g x^{2} = 6

只表示

x^{2} = 1 0^{6}

，

x = 1000

或

x = - 1000

。取

x = - 1000

時前面的式子成立，但

lo g (- 1000)

沒有意義，後面的式子不成立。

(4) 平常

lo g (M + N)

不等於

lo g M + lo g N

；這裡剛好

4 + \frac{4}{3} = 4 \times \frac{4}{3}

，所以相等。(5) 在

x > 0

的前提下才有

lo g x^{2} = 2 lo g x

。

第 2 題答案 (2)(5)。(1) 錯誤。

x

是正數時，底數愈大、同次方的值愈大。因為

e < π

，所以

e^{x} < π^{x}

，

y = e^{x}

的圖形在下方。例如

x = \frac{1}{2}

時

e \approx 1.649

，

π \approx 1.772

。(2) 正確。

0 < x < 1

時兩個對數都是負的。設

lo g_{e} x = - p

、

lo g_{π} x = - q

（

p

、

q

是正數），則

e^{p} = π^{q} = \frac{1}{x}

，是同一個大於

1

的數。

π

比

e

大，要乘到同一個數，

π

的次方比較小，所以

q < p

，於是

- p < - q

，即

lo g_{e} x < lo g_{π} x

，

y = lo g_{e} x

的圖形在下方。例如

x = \frac{1}{e}

時

lo g_{e} x = - 1

，

lo g_{π} x \approx - 0.874

。(3) 錯誤。

y = a^{- x} = (\frac{1}{a})^{x}

是指數函數，不論底數是多少，圖形都是凹口向上。

y = lo g_{a} x

在

a > 1

時凹口向下（例如

y = lo g_{2} x

），這時兩者凹向不同。(4) 錯誤。

a > 1

時

y = a^{- x} = (\frac{1}{a})^{x}

遞減、

y = lo g_{a} x

遞增；

0 < a < 1

時

y = a^{- x}

遞增、

y = lo g_{a} x

遞減。兩種情形都是一增一減。(5) 正確。

y = a^{- x}

的圖形與

y = a^{x}

的圖形對稱於

y

軸，

y = a^{x}

的圖形與

y = lo g_{a} x

的圖形對稱於直線

y = x

。先對

y

軸鏡射、再對直線

y = x

鏡射，合起來是以原點為中心順時針旋轉

9 0^{\circ}

：點

(s, a^{- s})

先變成

(- s, a^{- s})

，再變成

(a^{- s}, - s)

，而

lo g_{a} (a^{- s}) = - s

，這個點確實在

y = lo g_{a} x

的圖形上。所以把

y = a^{- x}

的圖形旋轉後就和

y = lo g_{a} x

的圖形重合（平移量是

0

）。

(3) 在

0 < a < 1

時兩個圖形都凹口向上，但敘述沒有限定

a

的範圍，只要有一種底數不成立就不能選。(5) 用

a = 2

檢查：

y = 2^{- x}

上的點

(- 1, 2)

、

(0, 1)

、

(1, \frac{1}{2})

，順時針轉

9 0^{\circ}

（把

(x, y)

變成

(y, - x)

）得到

(2, 1)

、

(1, 0)

、

(\frac{1}{2}, - 1)

，都在

y = lo g_{2} x

上。

02填充題第 1、2 題（本頁第 3、4 題）：化簡求值、比大小

第 3 題(1) 把括號裡每一項都寫成

2

與

3

的次方：

(3 \times 2^{6})^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{2}{3}} \times 2^{4}

；

\frac{1}{3 81} = \frac{1}{3 ^{\frac{4}{3}}} = 3^{- \frac{4}{3}}

；除以

2^{- \frac{4}{3}}

等於乘以

2^{\frac{4}{3}}

；

(\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{2}{3}} \times 2^{- \frac{4}{3}}

。

3

的次方合計

\frac{2}{3} - \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = 0

，

2

的次方合計

4 + \frac{4}{3} - \frac{4}{3} = 4

，所以括號裡等於

2^{4}

，原式

= lo g_{2} 2^{4} = 4

。(2)

4 lo g_{5} 5 = 4 \times \frac{1}{2} = 2

。設

lo g_{125} 250 = y

，即

12 5^{y} = 250

，也就是

5^{3 y} = 250

，所以

3 y = lo g_{5} 250

，

y = \frac{1}{3} lo g_{5} 250

。所以原式

= 2 + \frac{1}{3} (lo g_{5} 250 - lo g_{5} 2) = 2 + \frac{1}{3} lo g_{5} 125 = 2 + \frac{1}{3} \times 3 = 3

。(3)

lo g_{2} 4 = 2

，所以

4 lo g_{2} 4 = 8

，

lo g_{2} 8 = 3

；

lo g_{8} 2 = \frac{1}{3}

（因為

8^{\frac{1}{3}} = 2

），

lo g_{8} 2 + 1 = \frac{4}{3}

。原式

= 3 \times \frac{4}{3} = 4

。

(1) 的

2^{\frac{- 4}{3}}

前面是除號，最容易把正負號弄反。用計算器檢查：括號裡的值約為

16

。

第 4 題(1) 把三個數都用

lo g_{e} π

表示。

a = lo g_{π} \frac{1}{e} = - lo g_{π} e = - \frac{1}{l o g _{e} π}

；

b = lo g_{e} \frac{1}{π} = - lo g_{e} π

；

c

滿足

(e)^{c} = \frac{1}{π}

，即

e^{\frac{c}{2}} = π^{- 1}

，所以

c = - 2 lo g_{e} π

。因為

π > e

，所以

lo g_{e} π > 1

（用計算器約

1.1447

）。於是

a \approx - 0.874

、

b \approx - 1.145

、

c \approx - 2.289

，

a > b > c

。(2) 三個數都很小，取常用對數來比：

lo g a = - 500 lo g 2 \approx - 150.51

，

lo g b = - 333 lo g 3 \approx - 158.88

，

lo g c = - 225 lo g 5 \approx - 157.27

。對數值愈大的數愈大，所以

a > c > b

。

(1) 不用計算器也能比：

lo g_{e} π > 1

，所以

b < - 1

；

a

是

b

的倒數，落在

- 1

與

0

之間；

c = 2 b

比

b

更小。(2)

b

與

c

很接近，

3^{333}

與

5^{225}

只用

3^{3} > 5^{2}

這種粗略的比法分不出來，要用對數值。

比大小時，同底的化成同一個量來比，底數與次方都不同的就取常用對數。

03填充題第 3 題（本頁第 5 題）：正五邊形與黃金比例

第 5 題正五邊形每個內角是

10 8^{\circ}

。三角形

A B E

中

\overline{A B} = \overline{A E}

、頂角

∠ E A B = 10 8^{\circ}

，所以兩個底角

∠ A B E = ∠ A E B = 3 6^{\circ}

。同理三角形

A E D

中

\overline{E A} = \overline{E D}

、頂角

10 8^{\circ}

，所以

∠ E A D = 3 6^{\circ}

。看三角形

A F E

：

∠ F A E = 3 6^{\circ}

、

∠ F E A = 3 6^{\circ}

，所以

\overline{F E} = \overline{A F} = 1

。看三角形

A B F

：

∠ F A B = 10 8^{\circ} - 3 6^{\circ} = 7 2^{\circ}

，

∠ A B F = 3 6^{\circ}

，所以

∠ A F B = 18 0^{\circ} - 7 2^{\circ} - 3 6^{\circ} = 7 2^{\circ}

，兩個角相等，

\overline{B F} = \overline{A B}

。設

\overline{A B} = x

，則

\overline{A E} = x

、

\overline{B E} = \overline{B F} + \overline{F E} = x + 1

。三角形

F A E

與三角形

A B E

的三個角都是

3 6^{\circ}

、

3 6^{\circ}

、

10 8^{\circ}

，兩者相似，腰比底相等：

\frac{F A}{A E} = \frac{A B}{B E}

，即

\frac{1}{x} = \frac{x}{x + 1}

，

x^{2} = x + 1

，

x^{2} - x - 1 = 0

，取正根

x = \frac{1 + 5}{2}

。

這個值就是黃金比例，約

1.618

。順帶得到對角線

\overline{B E} = x + 1 = x^{2} \approx 2.618

，對角線與邊長的比也是黃金比例。

04填充題第 4～6 題（本頁第 6～8 題）：存款的本利和、人口模型、位數估計

第 6 題從

17

歲生日到

27

歲生日共

10

年。(1) 方案 A 按年單利：每年利息都是

1000000 \times 1.3% = 13000

元，

10

年後領出

1000000 + 13000 \times 10 = 1130000

元。方案 B 按月複利：月利率是

1.2% \div 12 = 0.1%

，

10

年共

120

個月，領出

1000000 \times 1.00 1^{120} \approx 1127429.25

元。相差

1130000 - 1127429.25 = 2570.75

，四捨五入是

2571

元。(2) 方案 C 在

17

歲到

26

歲的生日各存入

10

萬，共

10

筆，到

27

歲生日時依序生息

10

年、

9

年、…、

1

年，本利和是

100000 (1.0 1^{10} + 1.0 1^{9} + \dots + 1.01)

。括號裡是首項

1.01

、公比

1.01

、共

10

項的等比級數，和為

\frac{1.01 ( 1.0 1 ^{10} - 1 )}{1.01 - 1} = 101 (1.0 1^{10} - 1)

。

1.0 1^{10} \approx 1.104622125

，和

= 101 \times 0.104622125 \approx 10.5668346

，領出

100000 \times 10.5668346 \approx 1056683.46

，四捨五入是

1056683

元。

(1) 方案 B 若誤用按年複利，會算成

1000000 \times 1.01 2^{10} \approx 1126692

元，差額變成

3308

元，與題意不合。(2) 小數部分約是

0.47

，離進位只差一點，請在計算器上一路算到底；若要中途抄寫，

1.0 1^{10}

至少留到小數點後第九位（

1.104622125

）。這裡把存款算成

17

歲到

26

歲共

10

筆、每一筆至少生息一年，學校答案也是這樣算。

第 7 題

110

年到

154

年共

44

年，人口從

2361

萬降到

1735

萬；高峰的一半是

1180.5

萬。(1) 線性遞減：每年減少的人數固定，是

\frac{2361 - 1735}{44} = \frac{626}{44}

萬人。要減少

2361 - 1180.5 = 1180.5

萬人，需要

1180.5 \div \frac{626}{44} = \frac{1180.5 \times 44}{626} \approx 82.97

年，無條件進位是

83

年。(2) 指數遞減：每年變成前一年的

r

倍，

t

年後的人口是

2361 \times r^{t}

萬人。由

154

年的數據，

r^{44} = \frac{1735}{2361}

，兩邊取常用對數得

44 lo g r = lo g \frac{1735}{2361} \approx - 0.133797

。要

r^{t} = \frac{1}{2}

，即

t lo g r = lo g \frac{1}{2} \approx - 0.301030

。兩式相除：

t = 44 \times \frac{- 0.301030}{- 0.133797} \approx 98.996

，無條件進位是

99

年。

(2) 的結果非常接近

99

，中間的對數值如果只取三、四位小數，可能算出略大於

99

的數而進位成

100

；計算器上請一路算到底，不要中途抄寫再輸入。兩個模型比較：同樣的兩個數據，指數遞減愈到後面減得愈慢，所以降到一半要比較久。

第 8 題(1) 兩邊取常用對數：

lo g e^{300} = 300 lo g e \approx 300 \times 0.434294 = 130.288

，所以

e^{300} = 1 0^{130.288}

，介於

1 0^{130}

與

1 0^{131}

之間，

k = 130

。(2) 同樣的做法：

lo g 3^{240} = 240 lo g 3 \approx 240 \times 0.477121 = 114.509

，所以

1 0^{114} \leq 3^{240} < 1 0^{115}

。

1 0^{114}

是

115

位數裡最小的一個，

1 0^{115}

是

116

位數裡最小的一個，所以

3^{240}

是

115

位數。(3)

e^{x} = 1 0^{100}

兩邊取常用對數：

x lo g e = 100

，

x = \frac{100}{l o g e} \approx \frac{100}{0.4342945} \approx 230.2585

，四捨五入到小數點後第二位是

230.26

。

(1) 的結果表示

e^{300}

是

131

位數，超過計算機能顯示的範圍，所以才會出現 ERROR。(3) 也可以寫成

x = 100 lo g_{e} 10 \approx 100 \times 2.302585

。

數字太大或太小、計算器按不出來時，先取常用對數，把次方變成乘法再算。

05混合題組（本頁第 9～11 題）：每兩個月變成十倍的傳染病模型

第 9 題每兩個月變成

10

倍：

t = 2

時是

10 k

，

t = 4

時是

1 0^{2} k

，

t = 6

時是

1 0^{3} k

。

t

個月裡有

\frac{t}{2}

個「兩個月」，所以

f (t) = k \times 1 0^{\frac{t}{2}}

。

也可以寫成

k (10)^{t}

，意思是每個月變成

10 \approx 3.16

倍。代

t = 0

得

f (0) = k

，與題目的假設相符。

第 10 題答案 (3)。

k = 30000

，所以

y = 30000 \times 1 0^{\frac{t}{2}}

。兩邊取常用對數：

lo g y = lo g 30000 + \frac{t}{2} = 4 + lo g 3 + \frac{t}{2} \approx 4.477 + 0.5 t

。這是一條斜率為正的直線，

t = 0

時

lo g y \approx 4.477

，與縱軸的交點在

(0, 4)

與

(0, 5)

之間。圖 (1) 與圖 (4) 的直線由左上往右下，斜率為負，不合；圖 (2) 的直線與縱軸交在

(0, 5)

與

(0, 6)

之間，圖 (5) 交在

(0, 3)

與

(0, 4)

之間，都不合；圖 (3) 的直線由左下往右上，而且交在

(0, 4)

與

(0, 5)

之間，符合。

30000

是五位數，所以

lo g 30000

一定在

4

與

5

之間，不用計算器也能判斷。

第 11 題全國人口的

50%

是

50000000 \times 50% = 25000000

人。要

f (t) = 30000 \times 1 0^{\frac{t}{2}} \geq 25000000

，兩邊除以

30000

得

1 0^{\frac{t}{2}} \geq \frac{2500}{3}

。兩邊取常用對數（底數

10

大於

1

，不等號方向不變）：

\frac{t}{2} \geq lo g \frac{2500}{3}

，

t \geq 2 lo g \frac{2500}{3} \approx 2 \times 2.92082 = 5.84

。

t

取整數，最少要經過

6

個月。

檢查：

t = 5

時

30000 \times 1 0^{2.5} \approx 9486833

人，還不到

2500

萬；

t = 6

時

30000 \times 1 0^{3} = 30000000

人，已經超過。

指數成長的模型取對數以後變成直線：斜率看成長的快慢，縱軸截距看起始值是幾位數。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

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上傳考卷

常見問題

北一女中 109 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 11 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 109 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題第 5 個選項要看出指數函數的圖形先對鉛直軸鏡射、再對斜對角線鏡射，合起來就是轉四分之一圈；第 4 題第 1 小題三個數都是負的，要先比出絕對值再反過來；第 6 題的方案 B 是按月複利，要把年利率除以十二、期數乘以十二，第 2 小題是每年存一筆、每一筆生息的年數都不同；第 7 題第 2 小題算出來非常接近九十九，中間的對數值要多留幾位再進位。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自北一女中 109 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數的運算、指數與對數函數的圖形、按比例成長模型（單利與複利、指數成長與衰退、位數估計）、黃金比例

北一女中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 11 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 11 題，照原卷順序

一、多重選擇題（每題均有 5 個選項，至少有一個選項是正確的，每個選項 2 分，共 20 分）

下列有關指數與對數的運算敘述，哪些是正確的？

(1) $lo g_{0} 1 = 0$
(2) $lo g_{2} (\frac{1}{3}) = - lo g_{2} 9$
(3) $(- 3)^{2} = 9 \Rightarrow lo g_{(- 3)} 9 = 2$
(4) $lo g (4 + \frac{4}{3}) = lo g 4 + lo g \frac{4}{3}$
(5) $lo g x^{2} = 6 \Rightarrow lo g x = 3$

下列關於指數函數與對數函數的敘述，哪些是正確的？

(1) 若 $0 < x < 1$ ，則 $y = e^{x}$ 的圖形在 $y = π^{x}$ 的圖形的上方
(2) 若 $0 < x < 1$ ，則 $y = lo g_{e} x$ 的圖形在 $y = lo g_{π} x$ 的圖形的下方
(3) $y = a^{- x}$ 的圖形和 $y = lo g_{a} x$ 的圖形的凹向性一致
(4) $y = a^{- x}$ 的圖形和 $y = lo g_{a} x$ 的圖形的遞增遞減性一致
(5) $y = a^{- x}$ 的圖形可以經過旋轉平移後和 $y = lo g_{a} x$ 的圖形重合

二、填充題（依下表答題格數配分）

試求下列各式的值：　(1)

lo g_{2} ((3 \times 2^{6})^{\frac{2}{3}} \times \frac{1}{3 81} \div 2^{\frac{- 4}{3}} \times (\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}})

　(2)

4 lo g_{5} 5 - \frac{1}{3} lo g_{5} 2 + lo g_{125} 250

　(3)

[lo g_{2} (4 lo g_{2} 4)] (lo g_{8} 2 + 1)

試比較

a

、

b

、

c

之大小：　(1)

a = lo g_{π} \frac{1}{e}, b = lo g_{e} \frac{1}{π}, c = lo g_{e} \frac{1}{π}

　(2)

a = (\frac{1}{2})^{500}, b = (\frac{1}{3})^{333}, c = (\frac{1}{5})^{225}

如右圖，一正五邊形

A B C D E

，其中

\overline{A D}

和

\overline{B E}

交於

F

。若

\overline{A F} = 1

，則

\overline{A B}

長度為何？

載入中...

小綠在

17

歲生日當天想考慮存錢進銀行，某銀行提供三種利率方案供小綠選擇：方案 A：

17

歲時一次存入本金

100

萬，利息按年單利計算，年利率

1.3%

。方案 B：

17

歲時一次存入本金

100

萬，利息按月複利計算，年利率

1.2%

。方案 C：從

17

歲開始每年固定存

10

萬，利息按年複利計算，年利率

1%

　試回答下列問題：　(1) 若小綠預計在

27

歲生日隔天將這筆儲蓄提領出來，則她採用方案 A 和方案 B 領出的金額會相差多少元？（四捨五入取到整數位）　(2) 若小綠選擇方案 C，則

27

歲生日隔天共能領出多少錢？（四捨五入取到整數位）

「根據中華民國人口推估（2018 至 2065 年）之中推估結果，…相關重點數據如下：一、總人口數：將於

110

年達人口最高峰為

2, 361

萬人，隨後遞減至

154

年時剩下

1, 735

萬人。…」（資料來源：內政部戶政司全球資訊網）試回答下列問題：　(1) 假設我國總人口數呈線性遞減，試預測從

110

年開始算起，最少約在幾年後總人口數為

110

年高峰時的一半？（無條件進位到整數位）　(2) 假設我國總人口數呈指數遞減，試預測從

110

年開始算起，最少約在幾年後總人口數為

110

年高峰時的一半？（無條件進位到整數位）

小綠某天數學課看到題目中有自然常數

e

的

300

次方，心血來潮想用計算機按按看，但因她手上的計算機的顯示轉換成科學記號只能顯示

100

位數，小綠發現

e^{300}

直接利用計算機按出來螢幕會顯示 ERROR，試回答下列問題：　(1) 小綠先假設

1 0^{k} \leq e^{300} < 1 0^{k + 1}

，其中

k

值為正整數，請問

k

值為何？　(2) 承上題，

3^{240}

為幾位數？　(3) 若是

e^{x} = 1 0^{100}

，則

x

值大約為何？（四捨五入取到小數點後第二位）

三、混合題組（共 15 分，第 1 題填充、第 2 題單選各 4 分，第 3 題計算題 7 分）

某國傳染病大流行時，經統計發現高峰期間染病人數每兩個月增加為十倍，以

f (t)

表示

t = 0

開始時，染病人數隨時間

t

變化的函數，並假設

f (0) = k

（

k \in N

）。若

t

以月為單位（不考慮每月天數），試寫出可以代表某國於染病高峰期間染病人數的函數模型：

f (t) =

____。

承上題，已知某國初始染病人數為

30000

人，小綠為了分析染病時間與染病人數的直線相關程度，而將其

y

坐標改成

lo g y

，請問將坐標軸改變後，

t

與

lo g y

的函數圖形為哪一條直線？

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

承上題，假設某國人口為

5

千萬人，若傳染率以及總人口數不變，請問最少經過多少個月，全國確診人數會達到全國人口

50%

？（取到整數位）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)(4)

第 2 題(2)(5)

第 3 題(1)

4

；(2)

3

；(3)

4

第 4 題(1)

a > b > c

；(2)

a > c > b

第 5 題

\frac{1 + 5}{2}

第 6 題(1)

2571

元；(2)

1056683

元

第 7 題(1)

83

年；(2)

99

年

第 8 題(1)

130

；(2)

115

位；(3)

230.26

第 9 題

k \times 1 0^{\frac{t}{2}}

第 10 題(3)

第 11 題

6

個月

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題（第 1、2 題）：對數的規定與運算、指數與對數函數的圖形

第 1 題答案 (2)(4)。(1) 錯誤。 對數的底數規定是不等於

1

的正數，

0

不能當底數，

lo g_{0} 1

沒有意義。(2) 正確。 設

lo g_{2} \frac{1}{3} = t

，即

(2)^{t} = \frac{1}{3}

，也就是

2^{\frac{t}{2}} = 3^{- 1}

，所以

\frac{t}{2} = - lo g_{2} 3

，

t = - 2 lo g_{2} 3 = - lo g_{2} 3^{2} = - lo g_{2} 9

。(3) 錯誤。

(- 3)^{2} = 9

是對的，但負數不能當對數的底數，

lo g_{(- 3)} 9

沒有意義，推不出後面的式子。(4) 正確。 左邊是

lo g (4 + \frac{4}{3}) = lo g \frac{16}{3}

；右邊是

lo g 4 + lo g \frac{4}{3} = lo g (4 \times \frac{4}{3}) = lo g \frac{16}{3}

，兩邊相等。(5) 錯誤。

lo g x^{2} = 6

只表示

x^{2} = 1 0^{6}

，

x = 1000

或

x = - 1000

。取

x = - 1000

時前面的式子成立，但

lo g (- 1000)

沒有意義，後面的式子不成立。

(4) 平常

lo g (M + N)

不等於

lo g M + lo g N

；這裡剛好

4 + \frac{4}{3} = 4 \times \frac{4}{3}

，所以相等。(5) 在

x > 0

的前提下才有

lo g x^{2} = 2 lo g x

。

第 2 題答案 (2)(5)。(1) 錯誤。

x

是正數時，底數愈大、同次方的值愈大。因為

e < π

，所以

e^{x} < π^{x}

，

y = e^{x}

的圖形在下方。例如

x = \frac{1}{2}

時

e \approx 1.649

，

π \approx 1.772

。(2) 正確。

0 < x < 1

時兩個對數都是負的。設

lo g_{e} x = - p

、

lo g_{π} x = - q

（

p

、

q

是正數），則

e^{p} = π^{q} = \frac{1}{x}

，是同一個大於

1

的數。

π

比

e

大，要乘到同一個數，

π

的次方比較小，所以

q < p

，於是

- p < - q

，即

lo g_{e} x < lo g_{π} x

，

y = lo g_{e} x

的圖形在下方。例如

x = \frac{1}{e}

時

lo g_{e} x = - 1

，

lo g_{π} x \approx - 0.874

。(3) 錯誤。

y = a^{- x} = (\frac{1}{a})^{x}

是指數函數，不論底數是多少，圖形都是凹口向上。

y = lo g_{a} x

在

a > 1

時凹口向下（例如

y = lo g_{2} x

），這時兩者凹向不同。(4) 錯誤。

a > 1

時

y = a^{- x} = (\frac{1}{a})^{x}

遞減、

y = lo g_{a} x

遞增；

0 < a < 1

時

y = a^{- x}

遞增、

y = lo g_{a} x

遞減。兩種情形都是一增一減。(5) 正確。

y = a^{- x}

的圖形與

y = a^{x}

的圖形對稱於

y

軸，

y = a^{x}

的圖形與

y = lo g_{a} x

的圖形對稱於直線

y = x

。先對

y

軸鏡射、再對直線

y = x

鏡射，合起來是以原點為中心順時針旋轉

9 0^{\circ}

：點

(s, a^{- s})

先變成

(- s, a^{- s})

，再變成

(a^{- s}, - s)

，而

lo g_{a} (a^{- s}) = - s

，這個點確實在

y = lo g_{a} x

的圖形上。所以把

y = a^{- x}

的圖形旋轉後就和

y = lo g_{a} x

的圖形重合（平移量是

0

）。

(3) 在

0 < a < 1

時兩個圖形都凹口向上，但敘述沒有限定

a

的範圍，只要有一種底數不成立就不能選。(5) 用

a = 2

檢查：

y = 2^{- x}

上的點

(- 1, 2)

、

(0, 1)

、

(1, \frac{1}{2})

，順時針轉

9 0^{\circ}

（把

(x, y)

變成

(y, - x)

）得到

(2, 1)

、

(1, 0)

、

(\frac{1}{2}, - 1)

，都在

y = lo g_{2} x

上。

02填充題第 1、2 題（本頁第 3、4 題）：化簡求值、比大小

第 3 題(1) 把括號裡每一項都寫成

2

與

3

的次方：

(3 \times 2^{6})^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{2}{3}} \times 2^{4}

；

\frac{1}{3 81} = \frac{1}{3 ^{\frac{4}{3}}} = 3^{- \frac{4}{3}}

；除以

2^{- \frac{4}{3}}

等於乘以

2^{\frac{4}{3}}

；

(\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{2}{3}} \times 2^{- \frac{4}{3}}

。

3

的次方合計

\frac{2}{3} - \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = 0

，

2

的次方合計

4 + \frac{4}{3} - \frac{4}{3} = 4

，所以括號裡等於

2^{4}

，原式

= lo g_{2} 2^{4} = 4

。(2)

4 lo g_{5} 5 = 4 \times \frac{1}{2} = 2

。設

lo g_{125} 250 = y

，即

12 5^{y} = 250

，也就是

5^{3 y} = 250

，所以

3 y = lo g_{5} 250

，

y = \frac{1}{3} lo g_{5} 250

。所以原式

= 2 + \frac{1}{3} (lo g_{5} 250 - lo g_{5} 2) = 2 + \frac{1}{3} lo g_{5} 125 = 2 + \frac{1}{3} \times 3 = 3

。(3)

lo g_{2} 4 = 2

，所以

4 lo g_{2} 4 = 8

，

lo g_{2} 8 = 3

；

lo g_{8} 2 = \frac{1}{3}

（因為

8^{\frac{1}{3}} = 2

），

lo g_{8} 2 + 1 = \frac{4}{3}

。原式

= 3 \times \frac{4}{3} = 4

。

(1) 的

2^{\frac{- 4}{3}}

前面是除號，最容易把正負號弄反。用計算器檢查：括號裡的值約為

16

。

第 4 題(1) 把三個數都用

lo g_{e} π

表示。

a = lo g_{π} \frac{1}{e} = - lo g_{π} e = - \frac{1}{l o g _{e} π}

；

b = lo g_{e} \frac{1}{π} = - lo g_{e} π

；

c

滿足

(e)^{c} = \frac{1}{π}

，即

e^{\frac{c}{2}} = π^{- 1}

，所以

c = - 2 lo g_{e} π

。因為

π > e

，所以

lo g_{e} π > 1

（用計算器約

1.1447

）。於是

a \approx - 0.874

、

b \approx - 1.145

、

c \approx - 2.289

，

a > b > c

。(2) 三個數都很小，取常用對數來比：

lo g a = - 500 lo g 2 \approx - 150.51

，

lo g b = - 333 lo g 3 \approx - 158.88

，

lo g c = - 225 lo g 5 \approx - 157.27

。對數值愈大的數愈大，所以

a > c > b

。

(1) 不用計算器也能比：

lo g_{e} π > 1

，所以

b < - 1

；

a

是

b

的倒數，落在

- 1

與

0

之間；

c = 2 b

比

b

更小。(2)

b

與

c

很接近，

3^{333}

與

5^{225}

只用

3^{3} > 5^{2}

這種粗略的比法分不出來，要用對數值。

比大小時，同底的化成同一個量來比，底數與次方都不同的就取常用對數。

03填充題第 3 題（本頁第 5 題）：正五邊形與黃金比例

第 5 題正五邊形每個內角是

10 8^{\circ}

。三角形

A B E

中

\overline{A B} = \overline{A E}

、頂角

∠ E A B = 10 8^{\circ}

，所以兩個底角

∠ A B E = ∠ A E B = 3 6^{\circ}

。同理三角形

A E D

中

\overline{E A} = \overline{E D}

、頂角

10 8^{\circ}

，所以

∠ E A D = 3 6^{\circ}

。看三角形

A F E

：

∠ F A E = 3 6^{\circ}

、

∠ F E A = 3 6^{\circ}

，所以

\overline{F E} = \overline{A F} = 1

。看三角形

A B F

：

∠ F A B = 10 8^{\circ} - 3 6^{\circ} = 7 2^{\circ}

，

∠ A B F = 3 6^{\circ}

，所以

∠ A F B = 18 0^{\circ} - 7 2^{\circ} - 3 6^{\circ} = 7 2^{\circ}

，兩個角相等，

\overline{B F} = \overline{A B}

。設

\overline{A B} = x

，則

\overline{A E} = x

、

\overline{B E} = \overline{B F} + \overline{F E} = x + 1

。三角形

F A E

與三角形

A B E

的三個角都是

3 6^{\circ}

、

3 6^{\circ}

、

10 8^{\circ}

，兩者相似，腰比底相等：

\frac{F A}{A E} = \frac{A B}{B E}

，即

\frac{1}{x} = \frac{x}{x + 1}

，

x^{2} = x + 1

，

x^{2} - x - 1 = 0

，取正根

x = \frac{1 + 5}{2}

。

這個值就是黃金比例，約

1.618

。順帶得到對角線

\overline{B E} = x + 1 = x^{2} \approx 2.618

，對角線與邊長的比也是黃金比例。

04填充題第 4～6 題（本頁第 6～8 題）：存款的本利和、人口模型、位數估計

第 6 題從

17

歲生日到

27

歲生日共

10

年。(1) 方案 A 按年單利：每年利息都是

1000000 \times 1.3% = 13000

元，

10

年後領出

1000000 + 13000 \times 10 = 1130000

元。方案 B 按月複利：月利率是

1.2% \div 12 = 0.1%

，

10

年共

120

個月，領出

1000000 \times 1.00 1^{120} \approx 1127429.25

元。相差

1130000 - 1127429.25 = 2570.75

，四捨五入是

2571

元。(2) 方案 C 在

17

歲到

26

歲的生日各存入

10

萬，共

10

筆，到

27

歲生日時依序生息

10

年、

9

年、…、

1

年，本利和是

100000 (1.0 1^{10} + 1.0 1^{9} + \dots + 1.01)

。括號裡是首項

1.01

、公比

1.01

、共

10

項的等比級數，和為

\frac{1.01 ( 1.0 1 ^{10} - 1 )}{1.01 - 1} = 101 (1.0 1^{10} - 1)

。

1.0 1^{10} \approx 1.104622125

，和

= 101 \times 0.104622125 \approx 10.5668346

，領出

100000 \times 10.5668346 \approx 1056683.46

，四捨五入是

1056683

元。

(1) 方案 B 若誤用按年複利，會算成

1000000 \times 1.01 2^{10} \approx 1126692

元，差額變成

3308

元，與題意不合。(2) 小數部分約是

0.47

，離進位只差一點，請在計算器上一路算到底；若要中途抄寫，

1.0 1^{10}

至少留到小數點後第九位（

1.104622125

）。這裡把存款算成

17

歲到

26

歲共

10

筆、每一筆至少生息一年，學校答案也是這樣算。

第 7 題

110

年到

154

年共

44

年，人口從

2361

萬降到

1735

萬；高峰的一半是

1180.5

萬。(1) 線性遞減：每年減少的人數固定，是

\frac{2361 - 1735}{44} = \frac{626}{44}

萬人。要減少

2361 - 1180.5 = 1180.5

萬人，需要

1180.5 \div \frac{626}{44} = \frac{1180.5 \times 44}{626} \approx 82.97

年，無條件進位是

83

年。(2) 指數遞減：每年變成前一年的

r

倍，

t

年後的人口是

2361 \times r^{t}

萬人。由

154

年的數據，

r^{44} = \frac{1735}{2361}

，兩邊取常用對數得

44 lo g r = lo g \frac{1735}{2361} \approx - 0.133797

。要

r^{t} = \frac{1}{2}

，即

t lo g r = lo g \frac{1}{2} \approx - 0.301030

。兩式相除：

t = 44 \times \frac{- 0.301030}{- 0.133797} \approx 98.996

，無條件進位是

99

年。

(2) 的結果非常接近

99

，中間的對數值如果只取三、四位小數，可能算出略大於

99

的數而進位成

100

；計算器上請一路算到底，不要中途抄寫再輸入。兩個模型比較：同樣的兩個數據，指數遞減愈到後面減得愈慢，所以降到一半要比較久。

第 8 題(1) 兩邊取常用對數：

lo g e^{300} = 300 lo g e \approx 300 \times 0.434294 = 130.288

，所以

e^{300} = 1 0^{130.288}

，介於

1 0^{130}

與

1 0^{131}

之間，

k = 130

。(2) 同樣的做法：

lo g 3^{240} = 240 lo g 3 \approx 240 \times 0.477121 = 114.509

，所以

1 0^{114} \leq 3^{240} < 1 0^{115}

。

1 0^{114}

是

115

位數裡最小的一個，

1 0^{115}

是

116

位數裡最小的一個，所以

3^{240}

是

115

位數。(3)

e^{x} = 1 0^{100}

兩邊取常用對數：

x lo g e = 100

，

x = \frac{100}{l o g e} \approx \frac{100}{0.4342945} \approx 230.2585

，四捨五入到小數點後第二位是

230.26

。

(1) 的結果表示

e^{300}

是

131

位數，超過計算機能顯示的範圍，所以才會出現 ERROR。(3) 也可以寫成

x = 100 lo g_{e} 10 \approx 100 \times 2.302585

。

數字太大或太小、計算器按不出來時，先取常用對數，把次方變成乘法再算。

05混合題組（本頁第 9～11 題）：每兩個月變成十倍的傳染病模型

第 9 題每兩個月變成

10

倍：

t = 2

時是

10 k

，

t = 4

時是

1 0^{2} k

，

t = 6

時是

1 0^{3} k

。

t

個月裡有

\frac{t}{2}

個「兩個月」，所以

f (t) = k \times 1 0^{\frac{t}{2}}

。

也可以寫成

k (10)^{t}

，意思是每個月變成

10 \approx 3.16

倍。代

t = 0

得

f (0) = k

，與題目的假設相符。

第 10 題答案 (3)。

k = 30000

，所以

y = 30000 \times 1 0^{\frac{t}{2}}

。兩邊取常用對數：

lo g y = lo g 30000 + \frac{t}{2} = 4 + lo g 3 + \frac{t}{2} \approx 4.477 + 0.5 t

。這是一條斜率為正的直線，

t = 0

時

lo g y \approx 4.477

，與縱軸的交點在

(0, 4)

與

(0, 5)

之間。圖 (1) 與圖 (4) 的直線由左上往右下，斜率為負，不合；圖 (2) 的直線與縱軸交在

(0, 5)

與

(0, 6)

之間，圖 (5) 交在

(0, 3)

與

(0, 4)

之間，都不合；圖 (3) 的直線由左下往右上，而且交在

(0, 4)

與

(0, 5)

之間，符合。

30000

是五位數，所以

lo g 30000

一定在

4

與

5

之間，不用計算器也能判斷。

第 11 題全國人口的

50%

是

50000000 \times 50% = 25000000

人。要

f (t) = 30000 \times 1 0^{\frac{t}{2}} \geq 25000000

，兩邊除以

30000

得

1 0^{\frac{t}{2}} \geq \frac{2500}{3}

。兩邊取常用對數（底數

10

大於

1

，不等號方向不變）：

\frac{t}{2} \geq lo g \frac{2500}{3}

，

t \geq 2 lo g \frac{2500}{3} \approx 2 \times 2.92082 = 5.84

。

t

取整數，最少要經過

6

個月。

檢查：

t = 5

時

30000 \times 1 0^{2.5} \approx 9486833

人，還不到

2500

萬；

t = 6

時

30000 \times 1 0^{3} = 30000000

人，已經超過。

指數成長的模型取對數以後變成直線：斜率看成長的快慢，縱軸截距看起始值是幾位數。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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高二第一次段考
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