段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

建國中學 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單選題 2 題（每題 5 分，共 10 分）、多重選擇題 3 題（每題 9 分，共 27 分；答錯 1 個選項得 6 分，答錯 2 個選項得 3 分，答錯多於 2 個選項或未作答得 0 分）、填充題 9 題（每題 6 分，共 54 分；若有 2 格，每格 3 分）、證明題 1 題（共 9 分），合計 100 分。原卷各大題的題號各自從 1 起算，本頁改成全卷連續編號：第 1、2 題是單選題第 1、2 題，第 3～5 題是多重選擇題第 1～3 題，第 6～14 題是填充題第 1～9 題，第 15 題是證明題第 1 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題（每題 5 分，共 10 分）

已知下列五個圖形中有一個是

y = - x cos x

的部分圖形，判斷哪一個選項是該圖形？

(A) 見圖 (A)
(B) 見圖 (B)
(C) 見圖 (C)
(D) 見圖 (D)
(E) 見圖 (E)

載入中...

化簡

1 + sin 34 0^{\circ} - 1 - sin 34 0^{\circ}

之值可表為

(A) $2 cos 1 0^{\circ}$
(B) $2 sin 1 0^{\circ}$
(C) $- 2 cos 1 0^{\circ}$
(D) $- 2 sin 1 0^{\circ}$
(E) 以上皆非

二、多重選擇題（每題 9 分，共 27 分）：每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 9 分；答錯 1 個選項者，得 6 分；答錯 2 個選項者，得 3 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

附圖為三角函數

y = 3 sin (a x - b)

的部分圖形，其中

a > 0

，則下列各項敘述何者正確？

(A) $B (0, - 3)$
(B) $b = \frac{π}{6}$
(C) $C (\frac{5 π}{6}, 0)$
(D) $y$ 的週期為 $\frac{2 π}{3}$
(E) 其圖形可由 $y = 3 sin 3 x$ 向右平移 $\frac{π}{6}$ 而得

載入中...

令

tan θ = u

，則下列何者正確？

(A) $sin 2 θ = \frac{2 u}{1 + u ^{2}}$
(B) $cos 2 θ = \frac{1 - u ^{2}}{1 + u ^{2}}$
(C) $tan 2 θ = \frac{2 u}{1 - u ^{2}}$
(D) $sin 4 θ = \frac{4 u ^{2}}{1 + u ^{4}}$
(E) $cos 4 θ = \frac{1 - 6 u ^{2} + u ^{4}}{1 + 2 u ^{2} + u ^{4}}$

若

cos 2 θ

為無理數，則下列何者必為無理數？

(A) $cos 4 θ$
(B) $cos θ$
(C) $tan 2 θ$
(D) $sin θ$
(E) $tan \frac{θ}{2}$

三、填充題（每題 6 分，共 54 分；若有 2 格，每格 3 分）

有一半徑為

15

公分的滾輪，它與地面接觸於

A

點，現在讓滾輪在地上逆時針滾動了

20 π

公分的距離，設此時

A

點繞圓心滾動了

θ

弧度，試回答下列各小題：(1)

θ

的值等於多少？(2)

A

點離地面幾公分？

載入中...

試問坐標平面上函數

y = sin x

的圖形和

y = \frac{x}{10 π}

的圖形有多少個交點？

皮帶傳動是利用張緊在圓輪上的皮帶進行運動或動力傳遞的一種機械傳動，已知有大小兩圓輪，其半徑分別為

2

公尺與

4

公尺，且兩輪圓心相距

12

公尺，今以皮帶交叉環繞兩輪，試求皮帶長為多少公尺？

載入中...

以

\overline{A B} = 4

為直徑畫一半圓，二弦

\overline{C D}

，

\overline{E F}

均平行於

\overline{A B}

且

\overline{C D} = 23

，

\overline{E F} = 2

，如附圖，

\overline{C D}

與

\overline{E F}

間斜線部份面積為

a

，且弓形

E GF

部分之面積為

b

，則

a =

____、

b =

____。

載入中...

求

f (x) = sin^{2} x + 6 sin x cos x - 8 cos^{2} x

的最大值與最小值。

設

f (x) = (sin x + cos x)^{2} + 2 (sin x + cos x)

，求

f (x)

的最大值與最小值。

(1) 設

α + β = 4 5^{\circ}

，試求

(1 + tan α) (1 + tan β)

的值。(2) 試求

tan 1 2^{\circ} + tan 3 3^{\circ} + tan 1 2^{\circ} \cdot tan 3 3^{\circ}

的值。

設

\frac{π}{2} < α < π

，

\frac{3 π}{2} < β < 2 π

，且

cos α = - \frac{3}{5}

，

sin β = - \frac{8}{17}

，求

sin (α - β)

與

cos (α - β)

之值。

若

α + β + γ = 18 0^{\circ}

，且

12 sin α = 13 cos β cos γ

，則

tan β + tan γ =

____。（

α, β, γ

皆非

9 0^{\circ}

）

四、證明題（共 9 分）

證明：

tan 3 θ = \frac{3 tan θ - tan ^{3} θ}{1 - 3 tan ^{2} θ}

。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(D)

第 3 題(A)(C)(D)(E)

第 4 題(A)(B)(C)(E)（(C) 在

u = \pm 1

時兩邊同時無意義，其餘情形成立，見詳解）

第 5 題(B)(D)(E)

第 6 題(1)

\frac{4 π}{3}

；(2)

\frac{45}{2}

公分

第 7 題

19

個

第 8 題

123 + 8 π

公尺

第 9 題

a = \frac{2 π}{3}

，

b = \frac{2 π}{3} - 3

第 10 題最大值

\frac{- 7 + 3 13}{2}

，最小值

\frac{- 7 - 3 13}{2}

第 11 題最大值

2 + 22

，最小值

- 1

第 12 題(1)

2

；(2)

1

第 13 題

sin (α - β) = \frac{36}{85}

，

cos (α - β) = - \frac{77}{85}

第 14 題

\frac{13}{12}

第 15 題證明見詳解

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1、2 題（單選題）：由對稱與正負號認圖形、根號裡配成完全平方

第 1 題答案 (B)。設

f (x) = - x cos x

。先看對稱：

f (- x) = - (- x) cos (- x) = x cos x = - f (x)

，是奇函數，圖形對稱於原點。圖 (D)、(E) 對稱於

y

軸，不合；圖 (C) 中同一個

x

對應到不只一個

y

，不是函數圖形，也不合。剩下 (A)、(B) 都對稱於原點，再看正負號：

0 < x < \frac{π}{2}

時

x > 0

、

cos x > 0

，所以

f (x) < 0

，圖形在原點右邊緊接著的那一段要在

x

軸下方。圖 (A) 在原點右邊是往上的，圖 (B) 是往下的，所以選 (B)。

圖 (A) 是

y = x cos x

的樣子，只差一個負號；先用奇偶性刪掉三個，再代一個容易算的範圍看正負號。

第 2 題答案 (D)。

sin 34 0^{\circ} = sin (36 0^{\circ} - 2 0^{\circ}) = - sin 2 0^{\circ}

，所以原式

= 1 - sin 2 0^{\circ} - 1 + sin 2 0^{\circ}

。用

1 = sin^{2} 1 0^{\circ} + cos^{2} 1 0^{\circ}

與

sin 2 0^{\circ} = 2 sin 1 0^{\circ} cos 1 0^{\circ}

：

1 - sin 2 0^{\circ} = (cos 1 0^{\circ} - sin 1 0^{\circ})^{2}

，

1 + sin 2 0^{\circ} = (cos 1 0^{\circ} + sin 1 0^{\circ})^{2}

。因為

cos 1 0^{\circ} > sin 1 0^{\circ} > 0

，開根號後分別是

cos 1 0^{\circ} - sin 1 0^{\circ}

與

cos 1 0^{\circ} + sin 1 0^{\circ}

。原式

= (cos 1 0^{\circ} - sin 1 0^{\circ}) - (cos 1 0^{\circ} + sin 1 0^{\circ}) = - 2 sin 1 0^{\circ}

。

開根號得到的是絕對值，要先確定括號裡是正的：

cos 1 0^{\circ} \approx 0.985

，

sin 1 0^{\circ} \approx 0.174

。原式的值約

- 0.347

。

認圖形先看對稱，再挑一小段看正負號；

1 \pm sin 2 A

可以配成

(cos A \pm sin A)^{2}

，開根號時記得判斷正負。

02第 3～5 題（多重選擇題）：由圖形定係數、用正切表示倍角、有理數與無理數

第 3 題答案 (A)(C)(D)(E)。先讀圖：圖形在

x = \frac{π}{6}

由下往上穿過

x

軸，在

x = \frac{π}{3}

到最高點，在

x = \frac{π}{2}

由上往下穿過

x

軸。相鄰兩個穿過

x

軸的點相距半個週期，所以週期是

2 (\frac{π}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 π}{3}

；又

a > 0

，週期

\frac{2 π}{a} = \frac{2 π}{3}

，得

a = 3

。圖形在

x = \frac{π}{6}

上升穿過

x

軸，表示這時括號裡的角是

2 π

的整數倍：

3 \cdot \frac{π}{6} - b = 2 k π

，

b = \frac{π}{2} - 2 k π

（

k

是整數）。不論

k

取多少，函數都是

y = 3 sin (3 x - \frac{π}{2})

。(A) 正確。

B

是圖形與

y

軸的交點，

x = 0

時

y = 3 sin (- \frac{π}{2}) = - 3

，所以

B (0, - 3)

。(B) 錯誤。

b = \frac{π}{2} - 2 k π

，沒有一個整數

k

會讓它等於

\frac{π}{6}

；直接檢查也可以：若

b = \frac{π}{6}

，

x = \frac{π}{6}

時

y = 3 sin \frac{π}{3} \neq = 0

，與圖不合。(C) 正確。

C

是下一個上升穿過

x

軸的點，與

x = \frac{π}{6}

相距一個週期：

\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} = \frac{5 π}{6}

。(D) 正確。 週期是

\frac{2 π}{3}

。(E) 正確。

y = 3 sin 3 x

向右平移

\frac{π}{6}

是把

x

換成

x - \frac{π}{6}

，得到

3 sin 3 (x - \frac{π}{6}) = 3 sin (3 x - \frac{π}{2})

，就是這個函數。

題目沒有限制

b

的範圍，所以

b

不只一個值（

\frac{π}{2}

加上

2 π

的整數倍都可以）。(B) 的

\frac{π}{6}

是平移量，不是

b

：平移量要把

x

的係數提出來看，

3 x - \frac{π}{2} = 3 (x - \frac{π}{6})

。

第 4 題答案 (A)(B)(C)(E)。

tan θ

有定義，所以

cos θ \neq = 0

，可以把式子的分子分母同除以

cos^{2} θ

。(A) 正確。

sin 2 θ = \frac{2 sin θ cos θ}{sin ^{2} θ + cos ^{2} θ}

，分子分母同除以

cos^{2} θ

，得

\frac{2 u}{u ^{2} + 1}

。(B) 正確。

cos 2 θ = \frac{cos ^{2} θ - sin ^{2} θ}{cos ^{2} θ + sin ^{2} θ}

，同除以

cos^{2} θ

，得

\frac{1 - u ^{2}}{1 + u ^{2}}

。(C) 正確。 這就是正切的二倍角公式

tan 2 θ = \frac{2 tan θ}{1 - tan ^{2} θ}

。(D) 錯誤。

sin 4 θ = 2 sin 2 θ cos 2 θ = 2 \cdot \frac{2 u}{1 + u ^{2}} \cdot \frac{1 - u ^{2}}{1 + u ^{2}} = \frac{4 u ( 1 - u ^{2} )}{( 1 + u ^{2} ) ^{2}}

，與選項的式子不同。例如

θ = 4 5^{\circ}

時

u = 1

，

sin 18 0^{\circ} = 0

，但選項的式子等於

\frac{4}{2} = 2

。(E) 正確。

cos 4 θ = 2 cos^{2} 2 θ - 1 = \frac{2 ( 1 - u ^{2} ) ^{2} - ( 1 + u ^{2} ) ^{2}}{( 1 + u ^{2} ) ^{2}} = \frac{1 - 6 u ^{2} + u ^{4}}{1 + 2 u ^{2} + u ^{4}}

。

u = \pm 1

時兩邊同時沒有定義（

2 θ

的終邊在

y

軸上，右邊分母為

0

），其餘情形兩邊相等，所以視為正確。(D) 的值若成立會超過

1

，一看就知道不可能是正弦值。

第 5 題答案 (B)(D)(E)。有理數經過加減乘除（除數不為

0

）還是有理數，用這件事反過來推。(A) 錯誤。 取

θ = 22. 5^{\circ}

：

cos 2 θ = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

是無理數，但

cos 4 θ = cos 9 0^{\circ} = 0

是有理數。(B) 正確。

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1

。如果

cos θ

是有理數，

cos 2 θ

就會是有理數，與已知不合，所以

cos θ

一定是無理數。(C) 錯誤。 同樣取

θ = 22. 5^{\circ}

，

tan 2 θ = tan 4 5^{\circ} = 1

是有理數。(D) 正確。

cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ

。如果

sin θ

是有理數，

cos 2 θ

就會是有理數，所以

sin θ

一定是無理數。(E) 正確。 設

t = tan \frac{θ}{2}

。由上一題選項 (B) 的式子（把

θ

換成

\frac{θ}{2}

），

cos θ = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}

。如果

t

是有理數，

cos θ

就是有理數，

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1

也是有理數，與已知不合，所以

t

一定是無理數。

(E) 還要確認

tan \frac{θ}{2}

有定義：它沒有定義時

θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} \cdot k

，這時

cos 2 θ = 1

是有理數，不在題目討論的範圍內。「必為」的選項要證明，「不一定」的選項舉一個反例就夠。

由圖形定係數：先用相鄰的零點或最高最低點求週期，再代一個已知的點；

sin 2 θ

、

cos 2 θ

、

tan 2 θ

都可以只用

tan θ

表示。

03第 6～9 題（填充題第 1～4 題）：滾輪、交點個數、皮帶長、弓形面積

第 6 題(1) 滾輪在地上滾動而不滑動時，走過的距離等於輪緣轉過的弧長：

15 θ = 20 π

，

θ = \frac{4 π}{3}

。(2) 圓心離地面永遠是

15

公分。一開始

A

在圓心的正下方，轉了

\frac{4 π}{3}

之後，圓心到

A

的半徑與「正下方」的方向夾

\frac{4 π}{3}

，

A

比圓心低

15 cos \frac{4 π}{3} = - \frac{15}{2}

公分，也就是比圓心高

\frac{15}{2}

公分。所以

A

離地面

15 + \frac{15}{2} = \frac{45}{2}

公分。

高度只和轉了多少有關，順時針或逆時針算出來相同。也可以用轉了

24 0^{\circ}

來想：超過最高點（

18 0^{\circ}

）再多轉

6 0^{\circ}

，

A

在圓心上方

15 cos 6 0^{\circ} = 7.5

公分。

第 7 題

- 1 \leq sin x \leq 1

，所以交點只會出現在

- 1 \leq \frac{x}{10 π} \leq 1

，也就是

- 10 π \leq x \leq 10 π

。兩個函數都是奇函數，圖形都對稱於原點，原點本身是一個交點，其餘的交點左右成對，只要數

x > 0

的部分。

x > 0

時直線在

x

軸上方，只會和正弦曲線在

x

軸上方的拱相交，這些拱是

(0, π)

、

(2 π, 3 π)

、

(4 π, 5 π)

、

(6 π, 7 π)

、

(8 π, 9 π)

。第一個拱：兩個圖形都從原點出發，

x = \frac{π}{2}

時曲線的高度

1

大於直線的高度

\frac{1}{20}

，

x = π

時曲線的高度

0

小於直線的高度

\frac{1}{10}

，所以除了原點以外還有

1

個交點。後面四個拱：兩端曲線的高度是

0

，在直線下方；拱頂的高度是

1

，而直線在

x = \frac{17 π}{2}

（最後一個拱頂）的高度才

\frac{17}{20}

，所以每個拱頂都在直線上方，每個拱與直線有

2

個交點。

x = 10 π

時直線的高度是

1

，曲線的高度是

0

，不相交。

x > 0

的交點共

1 + 2 \times 4 = 9

個，

x < 0

也是

9

個，加上原點，共

9 + 9 + 1 = 19

個。

容易錯的地方有兩個：原點只能算一次；第一個拱在原點右邊只有

1

個交點，不是

2

個。

第 8 題設大輪的圓心為

O_{1}

（半徑

4

）、小輪的圓心為

O_{2}

（半徑

2

），皮帶交叉的直線部分是兩圓的內公切線，設其中一條切大輪於

P

、切小輪於

Q

。

\overline{O_{1} P}

與

\overline{O_{2} Q}

都垂直於

\overline{P Q}

，而且

P

、

Q

在連心線的兩側。過

O_{2}

作

\overline{P Q}

的平行線，交直線

O_{1} P

於

H

，則

P Q O_{2} H

是矩形，

\overline{O_{1} H} = 4 + 2 = 6

，

\overline{O_{2} H} = \overline{P Q}

。直角三角形

O_{1} H O_{2}

中，

\overline{P Q} = 1 2^{2} - 6^{2} = 108 = 63

，

cos ∠ H O_{1} O_{2} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

，

∠ P O_{1} O_{2} = \frac{π}{3}

。大輪上兩個切點在靠近小輪的那一側，夾的圓心角是

2 \cdot \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

，皮帶繞在另一側，圓心角是

2 π - \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{3}

。

\overline{O_{2} Q}

與

\overline{O_{1} P}

平行，所以小輪的情形相同，皮帶繞的圓心角也是

\frac{4 π}{3}

。皮帶長

= 2 \cdot 63 + 4 \cdot \frac{4 π}{3} + 2 \cdot \frac{4 π}{3} = 123 + 8 π

公尺。

卷面寫「大小兩圓輪，其半徑分別為

2

公尺與

4

公尺」，大小與數字的順序相反，不影響答案。交叉繞（內公切線）時直角三角形的一股是兩半徑的和；若是不交叉的繞法（外公切線），那一股才是兩半徑的差。

第 9 題半圓的圓心

O

是

\overline{A B}

的中點，半徑

2

。弦

\overline{E F} = 2

：

\overline{O E} = \overline{O F} = \overline{E F} = 2

，三角形

O E F

是正三角形，

∠ E O F = \frac{π}{3}

。弓形

E GF =

扇形

O E F - △ O E F = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} \cdot \frac{π}{3} - \frac{3}{4} \cdot 2^{2} = \frac{2 π}{3} - 3

，所以

b = \frac{2 π}{3} - 3

。弦

\overline{C D} = 23

：

O

到

\overline{C D}

的距離是

2^{2} - (3)^{2} = 1

，是半徑的一半，所以半徑

\overline{O C}

與這條垂線夾

\frac{π}{3}

，

∠ C O D = \frac{2 π}{3}

。

\overline{C D}

上方的弓形

= \frac{1}{2} \cdot 2^{2} \cdot \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \cdot 23 \cdot 1 = \frac{4 π}{3} - 3

。斜線部分是這個大弓形扣掉弓形

E GF

：

a = (\frac{4 π}{3} - 3) - (\frac{2 π}{3} - 3) = \frac{2 π}{3}

。

a \approx 2.09

，

b \approx 0.36

。斜線部分的左右兩邊是圓弧，不是梯形，要用兩個弓形相減。

弧長

=

半徑

\times

圓心角（弧度）、扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

^{2} \times

圓心角；弓形

=

扇形

-

三角形；數交點先用值域把範圍框住，再一個拱一個拱數。

04第 10、11 題（填充題第 5、6 題）：降次後疊合、換元成二次函數

第 10 題用倍角公式降次：

sin^{2} x = \frac{1 - c o s 2 x}{2}

，

cos^{2} x = \frac{1 + c o s 2 x}{2}

，

2 sin x cos x = sin 2 x

。

f (x) = \frac{1 - c o s 2 x}{2} + 3 sin 2 x - 4 (1 + cos 2 x) = 3 sin 2 x - \frac{9}{2} cos 2 x - \frac{7}{2}

。疊合：

3 sin 2 x - \frac{9}{2} cos 2 x

的最大值是

3^{2} + (\frac{9}{2})^{2} = \frac{117}{4} = \frac{3 13}{2}

，最小值是

- \frac{3 13}{2}

，而

x

可以是任意實數，兩個值都取得到。所以最大值是

\frac{- 7 + 3 13}{2}

，最小值是

\frac{- 7 - 3 13}{2}

。

最大值約

1.91

，最小值約

- 8.91

。常數項

- \frac{7}{2}

是

\frac{1}{2} - 4

，降次時不要漏掉。

第 11 題設

t = sin x + cos x

。疊合：

t = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，所以

- 2 \leq t \leq 2

。

f = t^{2} + 2 t = (t + 1)^{2} - 1

，是

t

的二次函數，圖形開口向上、頂點在

t = - 1

。

t = - 1

在

- 2

與

2

之間，所以最小值是

- 1

。最大值在離

t = - 1

較遠的端點

t = 2

：

(2)^{2} + 22 = 2 + 22

。

另一個端點

t = - 2

的值是

2 - 22 \approx - 0.83

，比

- 1

大，不是最小值；最小值在頂點。換元以後一定要先寫出

t

的範圍。

二次的

sin

、

cos

先用倍角公式降成

sin 2 x

、

cos 2 x

的一次式再疊合；整個式子只和

sin x + cos x

有關時，把它換成

t

，先定出

t

的範圍。

05第 12～14 題（填充題第 7～9 題）：正切和角公式的變形、差角公式、正切相加

第 12 題(1)

tan (α + β) = tan 4 5^{\circ} = 1

，由正切的和角公式

\frac{tan α + tan β}{1 - tan α tan β} = 1

，所以

tan α + tan β = 1 - tan α tan β

，即

tan α + tan β + tan α tan β = 1

。

(1 + tan α) (1 + tan β) = 1 + tan α + tan β + tan α tan β = 1 + 1 = 2

。(2)

1 2^{\circ} + 3 3^{\circ} = 4 5^{\circ}

，由 (1) 的過程，

tan 1 2^{\circ} + tan 3 3^{\circ} + tan 1 2^{\circ} \cdot tan 3 3^{\circ} = 1

。

(1) 是在

tan α

、

tan β

都有定義的前提下算的。兩角的和是

4 5^{\circ}

時，「正切的和加上正切的積等於

1

」是常用的結果。

第 13 題

α

是第二象限角：

sin α = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}

。

β

是第四象限角：

cos β = 1 - \frac{64}{289} = \frac{15}{17}

。

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β = \frac{4}{5} \cdot \frac{15}{17} - (- \frac{3}{5}) (- \frac{8}{17}) = \frac{60 - 24}{85} = \frac{36}{85}

。

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β = (- \frac{3}{5}) \cdot \frac{15}{17} + \frac{4}{5} \cdot (- \frac{8}{17}) = \frac{- 45 - 32}{85} = - \frac{77}{85}

。

檢查：

3 6^{2} + 7 7^{2} = 1296 + 5929 = 7225 = 8 5^{2}

，兩個值的平方和是

1

。

第 14 題

β

、

γ

都不是

9 0^{\circ}

，

cos β cos γ \neq = 0

。通分：

tan β + tan γ = \frac{sin β cos γ + cos β sin γ}{cos β cos γ} = \frac{sin ( β + γ )}{cos β cos γ}

。因為

β + γ = 18 0^{\circ} - α

，

sin (β + γ) = sin α

。已知

12 sin α = 13 cos β cos γ

，即

\frac{sin α}{cos β cos γ} = \frac{13}{12}

，所以

tan β + tan γ = \frac{13}{12}

。

兩個正切相加，通分後分子剛好是正弦的和角公式。

正切的和角公式去分母以後，可以把「正切的和」與「正切的積」互相換；由一個三角函數值求另一個，先看象限定正負號。

06第 15 題（證明題）：正切的三倍角公式

第 15 題等式左邊要

tan 3 θ

有定義、右邊要

tan θ

有定義，也就是

cos 3 θ \neq = 0

且

cos θ \neq = 0

，以下在這個前提下證明。先用和角公式與二倍角公式把

sin 3 θ

、

cos 3 θ

寫成

sin θ

、

cos θ

的式子。

sin 3 θ = sin (2 θ + θ) = sin 2 θ cos θ + cos 2 θ sin θ = 2 sin θ cos^{2} θ + (cos^{2} θ - sin^{2} θ) sin θ = 3 sin θ cos^{2} θ - sin^{3} θ

。

cos 3 θ = cos (2 θ + θ) = cos 2 θ cos θ - sin 2 θ sin θ = (cos^{2} θ - sin^{2} θ) cos θ - 2 sin^{2} θ cos θ = cos^{3} θ - 3 sin^{2} θ cos θ

。所以

tan 3 θ = \frac{s i n 3 θ}{c o s 3 θ} = \frac{3 s i n θ c o s ^{2} θ - s i n ^{3} θ}{c o s ^{3} θ - 3 s i n ^{2} θ c o s θ}

。因為

cos θ \neq = 0

，分子分母同除以

cos^{3} θ

：分子變成

3 tan θ - tan^{3} θ

，分母變成

1 - 3 tan^{2} θ

。因此

tan 3 θ = \frac{3 t a n θ - t a n ^{3} θ}{1 - 3 t a n ^{2} θ}

，得證。

這個寫法不經過

tan 2 θ

，所以

tan 2 θ

沒有定義的角（例如

θ = 4 5^{\circ}

）不必另外討論。若改用

tan (2 θ + θ)

的和角公式來證，

tan^{2} θ = 1

的情形要另外驗算。

三倍角拆成二倍角加一倍角，用和角公式與二倍角公式把

sin 3 θ

、

cos 3 θ

展開成

sin θ

、

cos θ

的式子，相除後分子分母同除以

cos^{3} θ

，就全部換成

tan θ

。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

建國中學 109 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

建國中學 109 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 7 題原點只能算一次，而且原點右邊第一個拱只多一個交點，總數是十九個；第 5 題要分清楚哪些選項要證明、哪些舉一個反例就夠；第 8 題皮帶交叉繞，直角三角形的一股是兩個半徑相加，繞在輪子上的是比較長的那段弧；第 11 題換元後最小值在頂點，不在端點。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自建國中學 109 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

建國中學 109 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 15 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01第 1、2 題（單選題）：由對稱與正負號認圖形、根號裡配成完全平方

02第 3～5 題（多重選擇題）：由圖形定係數、用正切表示倍角、有理數與無理數

03第 6～9 題（填充題第 1～4 題）：滾輪、交點個數、皮帶長、弓形面積

04第 10、11 題（填充題第 5、6 題）：降次後疊合、換元成二次函數

05第 12～14 題（填充題第 7～9 題）：正切和角公式的變形、差角公式、正切相加

06第 15 題（證明題）：正切的三倍角公式

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

建國中學 109 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

建國中學 109 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

建國中學 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

建國中學 109 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

建國中學 109 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？