段考詳解範圍：三角函數與指數函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期、指數函數的圖形、按比例成長與衰退）

苑裡高中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

卷頭印「高中二年級第一次月考數學B 試題」。配分照卷面，卷面前後不一致：單一選擇題標題印每題 4 分、說明印 5 分；多重選擇題標題印每題 6 分、說明與答案卷印 8 分；填充題 15 格共 60 分。本頁題號全卷連續：第 1 至 4 題是單一選擇題，第 5 至 7 題是多重選擇題，第 8 至 19 題是填充題 A 至 L。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單一選擇題（每題 4 分，共 16 分）說明：1 至 4 題，每題選出最適當的一個選項。每題答對得 5 分，答錯不倒扣。

請判斷下圖為下列何者函數圖形？

(A) $y = sin x + \frac{π}{3}$
(B) $y = sin x - \frac{π}{3}$
(C) $y = sin (x + \frac{π}{3})$
(D) $y = sin (x - \frac{π}{3})$

載入中...

試問有多少個實數

x

滿足

\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{3 π}{2}

且

cos x^{\circ} \leq cos x

？

(A) $0$ 個
(B) $1$ 個
(C) $2$ 個
(D) $3$ 個

將

y = sin x

以

y

軸為中心伸長

2

倍後，再向右平移

\frac{π}{2}

會出現以下哪種圖形？

(A) $y = sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{2})$
(B) $y = sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{4})$
(C) $y = sin (2 x - π)$
(D) $y = sin (2 x - \frac{π}{2})$

在一培養皿中有一細菌，每經過

1

小時，細菌數量變為原來的

2

倍。已知一開始放入一隻細菌，經過

72

小時後細菌會充滿培養皿。如果一開始放入

2

隻細菌，則需大約多少時間，細菌會充滿培養皿？

(A) $9$ ～ $10$ 小時
(B) $34$ ～ $36$ 小時
(C) $68$ ～ $69$ 小時
(D) $70$ ～ $71$ 小時

二、多重選擇題（每題 6 分，共 24 分）說明：第 1 至 3 題，每題至少有一個選項是正確的，選出正確選項。每題答對得 8 分，每錯一個選項扣 3 分，錯三個選項以上者則該題扣 8 分。

關於

y = 2 sin (x + 3) + 1

的敘述，試選出正確的選項

(A) 振幅為 $2$
(B) 週期為 $π$
(C) 基準值為 $1$
(D) 頻率為 $\frac{1}{2 π}$
(E) 最大值 $2$ ，最小值 $- 2$

請選出關於指數函數圖形的正確敘述。

(A) $y = a^{x}$ （ $a > 0$ ， $a \neq = 1$ ）的圖形必通過 $(1, 0)$
(B) $a > 1$ ， $y = a^{x}$ 與 $y = (\frac{1}{a})^{x}$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(C) $y = (0.5)^{x}$ 的圖形有漸近線 $y = 0$
(D) $y = (\frac{1}{3})^{x}$ 的圖形凹口向下
(E) $y = 5^{x}$ 的圖形恆在 $y = 3^{x}$ 圖形的上方

甲醛在工業上被製造為合成樹脂，但甲醛有致癌性，被世界衛生組織（WHO）列為一級致癌物。下圖為一新裝潢好的室內空間甲醛濃度與時間的關係圖，試問下列敘述何者正確？

(A) 此指數函數的底數為 $\frac{1}{2}$
(B) $1.5$ 小時，室內甲醛濃度小於 $0.75$ ppm
(C) 需要超過 $5$ 小時，甲醛濃度才會降到安全標準的 $0.08$ ppm
(D) 濃度在第 $1$ 到第 $3$ 小時的下降平均速度等於第 $2$ 到第 $4$ 小時的下降平均速度
(E) 此函數的圖形為線性衰退

載入中...

三、填充題（共 60 分）說明：第 A 至 L 題，與答案不符者不與給分。

(1)

13 5^{\circ}

轉成弧度量為 ____（弳）。 (2)

5

（弳）等於 ____ 度。

求

sin \frac{π}{6} + cos \frac{π}{3} + tan \frac{3 π}{4} =

____。

已知

sin θ = \frac{3}{4}

，且

\frac{π}{2} < θ < π

，求

tan θ =

____。

已知扇形半徑為

5

，圓心角為

\frac{3 π}{5}

，扇形弧長為 ____。

如下圖，扇形的半徑為

2

公分，角度為

12 0^{\circ}

，求塗色面積 ____ 平方公分。

載入中...

設一張紙厚

0.2

毫米（參考資料：

1

毫米＝

0.001

公尺，對摺一次厚度為原來的

2

倍）。甲將它不斷的對摺，並觀察其厚度變化，試求： (1) 若對摺了

10

次，請問厚度為 ____。（請標示出單位，若無單位不予計分） (2) 甲身高

180

公分，請問至少對摺幾次，紙張的厚度可以超越甲身高？____。

請比較

a = (\frac{1}{10})^{3}

、

b = 3 0.001

、

c = (100)^{0.3}

三數的大小關係 ____。

將

y = 3^{x}

的函數圖形向右平移

a

單位，向上平移

b

單位，可得

y = 9 \times 3^{x} + 1

的函數圖形，試求數對

(a, b) =

____。

求

y = sin x

與

y = \frac{1}{3}

在

0 \leq x \leq 4 π

的範圍內的交點數有 ____ 個。

f (x) = (\frac{1}{3})^{x}

，

f_{1} (x)

與

f (x)

對稱於原點，請問

f_{1} (x)

之方程式為何為 ____。

若一個扇形的弧長與面積值相等，試求出此扇形的半徑 ____。

甲買了一輛百萬名車，已知汽車折舊率為

20%

（其價值每年會變為原來的

80%

）： (1) 請問二年後甲的車價值變為多少錢？____。（請標示出單位，若無單位不予計分） (2) 請問至少幾年後其價值會小於原本的一半？____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(A)

第 3 題(B)

第 4 題(D)

第 5 題(A)(C)(D)

第 6 題(B)(C)

第 7 題(A)(B)

第 8 題(1)

\frac{3 π}{4}

　(2)

\frac{900}{π}

第 9 題

0

第 10 題

- \frac{3 7}{7}

第 11 題

3 π

第 12 題

\frac{4 π}{3} - 3

第 13 題(1)

20.48

公分　(2)

14

第 14 題

a < b < c

第 15 題

(- 2, 1)

第 16 題

4

第 17 題

f_{1} (x) = - 3^{x}

第 18 題

2

第 19 題(1)

64

萬元　(2)

4

年

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單一選擇題：圖形的平移與伸縮、度與弧度、倍增

第 1 題答案 (C)。圖形的最高點高度是

1

、最低點高度是

- 1

，上下的範圍與

y = sin x

相同，所以沒有上下平移。(A)

y = sin x + \frac{π}{3}

是把

y = sin x

向上平移

\frac{π}{3} \approx 1.05

，最大值約

2.05

；(B) 是向下平移，最小值約

- 2.05

；都不合。

y = sin x

的圖形通過原點後往上走到最高點；圖中這個「由下往上穿過

x

軸」的點在原點的左邊，與

y

軸交在原點上方，所以圖形是把

y = sin x

向左平移得到的。向左平移是把

x

換成

x

加一個正數，四個選項中只有 (C)

y = sin (x + \frac{π}{3})

符合；(D)

y = sin (x - \frac{π}{3})

是向右平移

\frac{π}{3}

，在

x = 0

時的值是負的，不合。

題目說選「最適當」的一個。本頁的圖照原卷重畫：原卷的曲線與

x

軸交在

- \frac{π}{2}

與

0

的正中間附近，看起來平移量接近

\frac{π}{4}

，比

\frac{π}{3}

略小；但只有 (C) 是向左平移而且不上下移動，學校公布的答案也是 (C)。若照 (C) 精確作圖，曲線由下往上與

x

軸的交點在

- \frac{π}{3}

、最高點在

\frac{π}{6}

。

第 2 題答案 (A)。

cos x

的

x

是弧度：

\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{3 π}{2}

是第二、三象限角（含兩端在坐標軸上的角），所以

cos x \leq 0

。

cos x^{\circ}

的

x

則當作度數：

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，所以

x^{\circ}

介於約

1.5 7^{\circ}

與

4.7 1^{\circ}

之間，是很小的銳角，

cos x^{\circ} > 0

（接近

1

）。左邊是正數、右邊不是正數，

cos x^{\circ} \leq cos x

不可能成立，滿足的實數

x

有

0

個。

同一個數

x

，寫

x^{\circ}

是度、沒有記號是弧度，兩個角差很多。

第 3 題答案 (B)。以

y

軸為中心伸長

2

倍，是把圖形上每一點的

x

坐標變成

2

倍，函數式把

x

換成

\frac{x}{2}

，得

y = sin \frac{x}{2}

（週期由

2 π

變成

4 π

）。再向右平移

\frac{π}{2}

，把

x

換成

x - \frac{π}{2}

：

y = sin [\frac{1}{2} (x - \frac{π}{2})] = sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{4})

。

平移時只把

x

換掉，

\frac{1}{2}

要乘進括號裡，所以是

\frac{π}{4}

不是

\frac{π}{2}

。檢查：原來的

(0, 0)

伸長後仍在

(0, 0)

，右移後到

(\frac{π}{2}, 0)

；代入 (B)，

sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{4}) = 0

。

第 4 題答案 (D)。放

1

隻時，

t

小時後有

2^{t}

隻，

72

小時充滿，所以充滿時是

2^{72}

隻。放

2

隻時，

t

小時後有

2 \times 2^{t} = 2^{t + 1}

隻；充滿時

2^{t + 1} = 2^{72}

，

t = 71

。需要

71

小時，落在

70

～

71

小時。

從

1

隻開始，過

1

小時就是

2

隻；一開始就放

2

隻，等於省掉第一個小時，

72 - 1 = 71

。數量加倍只省一小時，不是時間減半。

x 換成 x 加正數是向左平移；x 換成二分之 x 是橫向伸長 2 倍；倍增的過程裡，起始數量加倍只會提早一個倍增時間。

02多重選擇題：正弦型函數的各種量、指數函數的圖形、甲醛濃度的衰退

第 5 題答案 (A)(C)(D)。

sin (x + 3)

的值在

- 1

與

1

之間，所以

y = 2 sin (x + 3) + 1

的最大值是

2 + 1 = 3

，最小值是

- 2 + 1 = - 1

。(A) 正確。振幅是最大值與最小值的差的一半，

\frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2

。(B) 錯誤。

x

的係數是

1

，週期與

y = sin x

相同，是

2 π

，不是

π

；括號裡加

3

只是左右平移，不改變週期。(C) 正確。基準值（圖形上下振動的中心）是最大值與最小值的平均，

\frac{3 + ( - 1 )}{2} = 1

。(D) 正確。頻率是週期的倒數，

\frac{1}{2 π}

。(E) 錯誤。最大值是

3

、最小值是

- 1

；

2

與

- 2

是還沒加

1

時

2 sin (x + 3)

的最大、最小值。

第 6 題答案 (B)(C)。(A) 錯誤。

x = 0

時

a^{0} = 1

，圖形必通過的是

(0, 1)

。

x = 1

時

y = a

是正數而不是

0

，所以圖形不通過

(1, 0)

。(B) 正確。

(\frac{1}{a})^{x} = a^{- x}

；

y = a^{x}

上的點

(t, a^{t})

對

y

軸的對稱點是

(- t, a^{t})

，代入

y = a^{- x}

：

a^{- (- t)} = a^{t}

，成立，所以兩個圖形對稱於

y

軸。(C) 正確。

x

越大，

(0.5)^{x}

越接近

0

但恆為正，圖形往右越來越貼近

x

軸而不相交，

x

軸（

y = 0

）是漸近線。(D) 錯誤。指數函數的圖形不論底數大於

1

或介於

0

與

1

之間，都是凹口向上；例如

y = (\frac{1}{3})^{x}

上的

(0, 1)

與

(2, \frac{1}{9})

，連線中點高度是

\frac{5}{9}

，而圖形在

x = 1

的高度

\frac{1}{3}

比它低，圖形在弦的下方。(E) 錯誤。

x = 0

時兩者都是

1

，交在

(0, 1)

；

x = - 1

時

5^{- 1} = \frac{1}{5}

比

3^{- 1} = \frac{1}{3}

小。只有

x > 0

時

y = 5^{x}

才在上方。

(B) 的條件

a > 1

換成

0 < a < 1

結論也一樣。(E) 的「恆」字要求每個

x

都成立，找到一個不成立的

x

就是錯。

第 7 題答案 (A)(B)。圖上標出的點是

(0, 2)

、

(1, 1)

、

(2, 0.5)

、

(3, 0.25)

：每過

1

小時濃度變成原來的

\frac{1}{2}

，所以濃度

y = 2 \times (\frac{1}{2})^{x}

（ppm，

x

的單位是小時）。(A) 正確。每小時乘

\frac{1}{2}

，底數是

\frac{1}{2}

。(B) 正確。

x = 1.5

時

y = 2 \times (\frac{1}{2})^{1.5} = 2 \times \frac{1}{2 2} = \frac{2}{2} \approx 0.707

，小於

0.75

。(C) 錯誤。

x = 4

時

y = \frac{2}{16} = 0.125

，

x = 5

時

y = \frac{2}{32} = 0.0625

；

0.0625

已經比

0.08

小，所以濃度在第

4

到第

5

小時之間就降到

0.08

，不需要超過

5

小時。(D) 錯誤。第

1

到第

3

小時下降

1 - 0.25 = 0.75

，平均每小時

0.375

；第

2

到第

4

小時下降

0.5 - 0.125 = 0.375

，平均每小時

0.1875

，兩者不相等。(E) 錯誤。線性衰退是每小時減少固定的量、圖形是直線；這裡三個小時分別減少

1

、

0.5

、

0.25

，是每小時乘固定的倍數，圖形是曲線。

(B) 也可以不算根號：圖形凹口向上，曲線在

(1, 1)

與

(2, 0.5)

的連線下方，而連線在

x = 1.5

的高度正好是

0.75

。第

4

、

5

小時的濃度是照同一個函數往後推算的。

正弦型函數先求最大值與最小值，振幅是差的一半、基準值是平均；指數衰退看每隔固定時間乘上的倍數。

03填充題 A～C：度與弧度互換、特殊角的三角函數值、由正弦求正切

第 8 題

18 0^{\circ} = π

弳。(1)

13 5^{\circ} = 135 \times \frac{π}{180} = \frac{3 π}{4}

（弳）。(2)

1

弳

= \frac{180}{π}

度，所以

5

弳

= 5 \times \frac{180}{π} = \frac{900}{π}

度。

\frac{900}{π}

度約是

286. 5^{\circ}

。

π

在分母，不能約掉。

第 9 題

sin \frac{π}{6} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

；

cos \frac{π}{3} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

；

\frac{3 π}{4} = 13 5^{\circ}

是第二象限角，與

x

軸的夾角是

4 5^{\circ}

，正切為負，

tan \frac{3 π}{4} = - 1

。原式

= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 0

。

第 10 題

\frac{π}{2} < θ < π

，

θ

是第二象限角，餘弦為負、正切為負。由

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

：

cos^{2} θ = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}

，取負值

cos θ = - \frac{7}{4}

。

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = \frac{3}{4} \div (- \frac{7}{4}) = - \frac{3}{7} = - \frac{3 7}{7}

。

也可以畫斜邊

4

、對邊

3

的直角三角形，鄰邊是

16 - 9 = 7

，再依第二象限補上負號。

度與弧度互換記住 180 度等於 π 弳；三角函數值先看與 x 軸的夾角，再由象限決定正負號。

04填充題 D、E：弧長、弓形面積

第 11 題圓心角用弧度表示時，弧長

=

半徑

\times

圓心角

= 5 \times \frac{3 π}{5} = 3 π

。

第 12 題塗色部分是弦與圓弧之間的弓形，面積

=

扇形面積

-

兩條半徑與弦圍成的三角形面積。

12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

弳，扇形面積

= \frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{3}

。三角形是兩腰為

2

、頂角

12 0^{\circ}

的等腰三角形，兩個底角各

3 0^{\circ}

；從圓心向弦作高，高

= 2 sin 3 0^{\circ} = 1

，弦長的一半

= 2 cos 3 0^{\circ} = 3

，弦長

23

，面積

= \frac{1}{2} \times 23 \times 1 = 3

。塗色面積

= \frac{4 π}{3} - 3

（平方公分）。

三角形面積也可以用

\frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times sin 12 0^{\circ} = 3

。扇形面積公式裡的角要用弧度。

弧長是半徑乘圓心角，扇形面積是二分之一半徑平方乘圓心角，角都要用弧度；弓形是扇形減三角形。

05填充題 F、G、H：對摺的厚度、比較大小、指數函數圖形的平移

第 13 題對摺一次厚度變成

2

倍，對摺

n

次後厚度是

0.2 \times 2^{n}

毫米。(1)

n = 10

：

0.2 \times 2^{10} = 0.2 \times 1024 = 204.8

毫米。

1

公分

= 10

毫米，所以是

20.48

公分。(2)

180

公分

= 1800

毫米。要

0.2 \times 2^{n} > 1800

，即

2^{n} > 9000

。

2^{13} = 8192 < 9000

，

2^{14} = 16384 > 9000

，所以至少對摺

14

次。

(1) 寫

204.8

毫米或

0.2048

公尺是同一個厚度，學校答案寫

20.48

公分；題目規定要寫單位。(2) 檢查：對摺

13

次是

1638.4

毫米（約

163.8

公分），還不到；

14

次是

3276.8

毫米（約

327.7

公分）。

第 14 題都化成以

10

為底：

a = (\frac{1}{10})^{3} = 1 0^{- 3}

；

0.001 = 1 0^{- 3}

，

b = 3 1 0^{- 3} = (1 0^{- 3})^{\frac{1}{3}} = 1 0^{- 1}

；

c = (100)^{0.3} = (1 0^{2})^{0.3} = 1 0^{0.6}

。底數

10 > 1

，指數越大值越大；

- 3 < - 1 < 0.6

，所以

a < b < c

。

數值是

a = 0.001

、

b = 0.1

、

c = 1 0^{0.6} \approx 3.98

。

第 15 題

y = 3^{x}

向右平移

a

單位、向上平移

b

單位後是

y = 3^{x - a} + b

。另一方面

9 \times 3^{x} + 1 = 3^{2} \times 3^{x} + 1 = 3^{x + 2} + 1

。比較兩式：

x - a = x + 2

，

a = - 2

；

b = 1

。所以

(a, b) = (- 2, 1)

。

a = - 2

表示實際上是向左平移

2

單位。檢查：

y = 3^{x}

上的

(0, 1)

向右

- 2

、向上

1

後到

(- 2, 2)

，代入

9 \times 3^{- 2} + 1 = 2

，成立。

每次乘固定倍數的問題先列出 n 次後的式子；指數的比較與平移都先化成同底數。

06填充題 I、J：正弦函數圖形與水平線的交點、對稱於原點的圖形

第 16 題畫出

y = sin x

在

0 \leq x \leq 4 π

的圖形，正好是兩個週期。在第一個週期

0 \leq x \leq 2 π

裡：

0 < x < π

這一段圖形在

x

軸上方，從

0

升到最高點

1

再降回

0

，水平線

y = \frac{1}{3}

的高度在

0

與

1

之間，上升時交一次、下降時交一次，共

2

個交點；

π \leq x \leq 2 π

這一段

sin x \leq 0

，碰不到

y = \frac{1}{3}

。第二個週期

2 π \leq x \leq 4 π

的圖形與第一個週期完全相同，也是

2

個交點。共

2 + 2 = 4

個。

端點

x = 0

、

x = 4 π

的函數值是

0

，不是交點。

第 17 題兩個圖形對稱於原點：

y = f (x)

上的點

(t, s)

對應到

y = f_{1} (x)

上的點

(- t, - s)

。設

(x, y)

在

y = f_{1} (x)

的圖形上，則

(- x, - y)

在

y = f (x)

的圖形上：

- y = (\frac{1}{3})^{- x} = 3^{x}

，所以

y = - 3^{x}

，即

f_{1} (x) = - 3^{x}

。

- 3^{x}

是

3^{x}

的相反數，不是

(- 3)^{x}

。檢查：

f (x)

上的

(1, \frac{1}{3})

對原點的對稱點是

(- 1, - \frac{1}{3})

，而

f_{1} (- 1) = - 3^{- 1} = - \frac{1}{3}

。

數交點個數先畫一個週期再看範圍裡有幾個週期；對稱於原點是把 x 與 y 同時換成相反數。

07填充題 K、L：弧長與面積相等的扇形、汽車折舊

第 18 題設半徑為

r

、圓心角為

θ

弳（

r > 0

，

θ > 0

）。弧長

= r θ

，面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ

。兩者的值相等：

r θ = \frac{1}{2} r^{2} θ

，兩邊同除以

r θ

，得

1 = \frac{1}{2} r

，

r = 2

。

也可以用面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長：面積與弧長相等時

\frac{1}{2} r = 1

，同樣得到

r = 2

，而且與圓心角的大小無關。

第 19 題「百萬名車」原價

100

萬元，每年價值變為原來的

0.8

倍，

n

年後價值是

100 \times (0.8)^{n}

萬元。(1) 二年後：

100 \times 0. 8^{2} = 100 \times 0.64 = 64

萬元。(2) 要

(0.8)^{n} < 0.5

。逐年試算：

0. 8^{1} = 0.8

，

0. 8^{2} = 0.64

，

0. 8^{3} = 0.512

，

0. 8^{4} = 0.4096

。第

3

年還比一半多一點，第

4

年才小於一半，所以至少

4

年後。

折舊

20%

是每年乘

0.8

，不是每年固定減

20

萬元；若用每年減

20

萬元去算，二年後會錯算成

60

萬元。

扇形面積也等於二分之一乘半徑乘弧長；求至少幾年就把 0.8 的次方逐一列出來和一半比。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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上傳考卷

常見問題

苑裡高中 109 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 109 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 2 題同一個 x 一邊當度、一邊當弧度，左邊是很小的銳角的餘弦所以是正的，右邊在第二三象限不是正的，一個解都沒有；單選第 3 題伸長 2 倍後再右移，二分之一要乘進括號，平移量變成四分之 π；多選第 3 題要自己把濃度往後推到第 4、第 5 小時，第 5 小時已經低於 0.08；填充 J 題對稱於原點要把 x 與 y 都換成相反數，答案是負的 3 的 x 次方。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自苑裡高中 109 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

苑裡高中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

一、單一選擇題（每題 4 分，共 16 分）說明：1 至 4 題，每題選出最適當的一個選項。每題答對得 5 分，答錯不倒扣。

請判斷下圖為下列何者函數圖形？

(A) $y = sin x + \frac{π}{3}$
(B) $y = sin x - \frac{π}{3}$
(C) $y = sin (x + \frac{π}{3})$
(D) $y = sin (x - \frac{π}{3})$

載入中...

試問有多少個實數

x

滿足

\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{3 π}{2}

且

cos x^{\circ} \leq cos x

？

(A) $0$ 個
(B) $1$ 個
(C) $2$ 個
(D) $3$ 個

將

y = sin x

以

y

軸為中心伸長

2

倍後，再向右平移

\frac{π}{2}

會出現以下哪種圖形？

(A) $y = sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{2})$
(B) $y = sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{4})$
(C) $y = sin (2 x - π)$
(D) $y = sin (2 x - \frac{π}{2})$

在一培養皿中有一細菌，每經過

1

小時，細菌數量變為原來的

2

倍。已知一開始放入一隻細菌，經過

72

小時後細菌會充滿培養皿。如果一開始放入

2

隻細菌，則需大約多少時間，細菌會充滿培養皿？

(A) $9$ ～ $10$ 小時
(B) $34$ ～ $36$ 小時
(C) $68$ ～ $69$ 小時
(D) $70$ ～ $71$ 小時

關於

y = 2 sin (x + 3) + 1

的敘述，試選出正確的選項

(A) 振幅為 $2$
(B) 週期為 $π$
(C) 基準值為 $1$
(D) 頻率為 $\frac{1}{2 π}$
(E) 最大值 $2$ ，最小值 $- 2$

請選出關於指數函數圖形的正確敘述。

(A) $y = a^{x}$ （ $a > 0$ ， $a \neq = 1$ ）的圖形必通過 $(1, 0)$
(B) $a > 1$ ， $y = a^{x}$ 與 $y = (\frac{1}{a})^{x}$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(C) $y = (0.5)^{x}$ 的圖形有漸近線 $y = 0$
(D) $y = (\frac{1}{3})^{x}$ 的圖形凹口向下
(E) $y = 5^{x}$ 的圖形恆在 $y = 3^{x}$ 圖形的上方

(A) 此指數函數的底數為 $\frac{1}{2}$
(B) $1.5$ 小時，室內甲醛濃度小於 $0.75$ ppm
(C) 需要超過 $5$ 小時，甲醛濃度才會降到安全標準的 $0.08$ ppm
(D) 濃度在第 $1$ 到第 $3$ 小時的下降平均速度等於第 $2$ 到第 $4$ 小時的下降平均速度
(E) 此函數的圖形為線性衰退

載入中...

三、填充題（共 60 分）說明：第 A 至 L 題，與答案不符者不與給分。

(1)

13 5^{\circ}

轉成弧度量為 ____（弳）。 (2)

5

（弳）等於 ____ 度。

求

sin \frac{π}{6} + cos \frac{π}{3} + tan \frac{3 π}{4} =

____。

已知

sin θ = \frac{3}{4}

，且

\frac{π}{2} < θ < π

，求

tan θ =

____。

已知扇形半徑為

5

，圓心角為

\frac{3 π}{5}

，扇形弧長為 ____。

如下圖，扇形的半徑為

2

公分，角度為

12 0^{\circ}

，求塗色面積 ____ 平方公分。

載入中...

設一張紙厚

0.2

毫米（參考資料：

1

毫米＝

0.001

公尺，對摺一次厚度為原來的

2

倍）。甲將它不斷的對摺，並觀察其厚度變化，試求： (1) 若對摺了

10

次，請問厚度為 ____。（請標示出單位，若無單位不予計分） (2) 甲身高

180

公分，請問至少對摺幾次，紙張的厚度可以超越甲身高？____。

請比較

a = (\frac{1}{10})^{3}

、

b = 3 0.001

、

c = (100)^{0.3}

三數的大小關係 ____。

將

y = 3^{x}

的函數圖形向右平移

a

單位，向上平移

b

單位，可得

y = 9 \times 3^{x} + 1

的函數圖形，試求數對

(a, b) =

____。

求

y = sin x

與

y = \frac{1}{3}

在

0 \leq x \leq 4 π

的範圍內的交點數有 ____ 個。

f (x) = (\frac{1}{3})^{x}

，

f_{1} (x)

與

f (x)

對稱於原點，請問

f_{1} (x)

之方程式為何為 ____。

若一個扇形的弧長與面積值相等，試求出此扇形的半徑 ____。

甲買了一輛百萬名車，已知汽車折舊率為

20%

（其價值每年會變為原來的

80%

）： (1) 請問二年後甲的車價值變為多少錢？____。（請標示出單位，若無單位不予計分） (2) 請問至少幾年後其價值會小於原本的一半？____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(A)

第 3 題(B)

第 4 題(D)

第 5 題(A)(C)(D)

第 6 題(B)(C)

第 7 題(A)(B)

第 8 題(1)

\frac{3 π}{4}

　(2)

\frac{900}{π}

第 9 題

0

第 10 題

- \frac{3 7}{7}

第 11 題

3 π

第 12 題

\frac{4 π}{3} - 3

第 13 題(1)

20.48

公分　(2)

14

第 14 題

a < b < c

第 15 題

(- 2, 1)

第 16 題

4

第 17 題

f_{1} (x) = - 3^{x}

第 18 題

2

第 19 題(1)

64

萬元　(2)

4

年

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單一選擇題：圖形的平移與伸縮、度與弧度、倍增

第 1 題答案 (C)。圖形的最高點高度是

1

、最低點高度是

- 1

，上下的範圍與

y = sin x

相同，所以沒有上下平移。(A)

y = sin x + \frac{π}{3}

是把

y = sin x

向上平移

\frac{π}{3} \approx 1.05

，最大值約

2.05

；(B) 是向下平移，最小值約

- 2.05

；都不合。

y = sin x

的圖形通過原點後往上走到最高點；圖中這個「由下往上穿過

x

軸」的點在原點的左邊，與

y

軸交在原點上方，所以圖形是把

y = sin x

向左平移得到的。向左平移是把

x

換成

x

加一個正數，四個選項中只有 (C)

y = sin (x + \frac{π}{3})

符合；(D)

y = sin (x - \frac{π}{3})

是向右平移

\frac{π}{3}

，在

x = 0

時的值是負的，不合。

題目說選「最適當」的一個。本頁的圖照原卷重畫：原卷的曲線與

x

軸交在

- \frac{π}{2}

與

0

的正中間附近，看起來平移量接近

\frac{π}{4}

，比

\frac{π}{3}

略小；但只有 (C) 是向左平移而且不上下移動，學校公布的答案也是 (C)。若照 (C) 精確作圖，曲線由下往上與

x

軸的交點在

- \frac{π}{3}

、最高點在

\frac{π}{6}

。

第 2 題答案 (A)。

cos x

的

x

是弧度：

\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{3 π}{2}

是第二、三象限角（含兩端在坐標軸上的角），所以

cos x \leq 0

。

cos x^{\circ}

的

x

則當作度數：

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，所以

x^{\circ}

介於約

1.5 7^{\circ}

與

4.7 1^{\circ}

之間，是很小的銳角，

cos x^{\circ} > 0

（接近

1

）。左邊是正數、右邊不是正數，

cos x^{\circ} \leq cos x

不可能成立，滿足的實數

x

有

0

個。

同一個數

x

，寫

x^{\circ}

是度、沒有記號是弧度，兩個角差很多。

第 3 題答案 (B)。以

y

軸為中心伸長

2

倍，是把圖形上每一點的

x

坐標變成

2

倍，函數式把

x

換成

\frac{x}{2}

，得

y = sin \frac{x}{2}

（週期由

2 π

變成

4 π

）。再向右平移

\frac{π}{2}

，把

x

換成

x - \frac{π}{2}

：

y = sin [\frac{1}{2} (x - \frac{π}{2})] = sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{4})

。

平移時只把

x

換掉，

\frac{1}{2}

要乘進括號裡，所以是

\frac{π}{4}

不是

\frac{π}{2}

。檢查：原來的

(0, 0)

伸長後仍在

(0, 0)

，右移後到

(\frac{π}{2}, 0)

；代入 (B)，

sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{4}) = 0

。

第 4 題答案 (D)。放

1

隻時，

t

小時後有

2^{t}

隻，

72

小時充滿，所以充滿時是

2^{72}

隻。放

2

隻時，

t

小時後有

2 \times 2^{t} = 2^{t + 1}

隻；充滿時

2^{t + 1} = 2^{72}

，

t = 71

。需要

71

小時，落在

70

～

71

小時。

從

1

隻開始，過

1

小時就是

2

隻；一開始就放

2

隻，等於省掉第一個小時，

72 - 1 = 71

。數量加倍只省一小時，不是時間減半。

x 換成 x 加正數是向左平移；x 換成二分之 x 是橫向伸長 2 倍；倍增的過程裡，起始數量加倍只會提早一個倍增時間。

02多重選擇題：正弦型函數的各種量、指數函數的圖形、甲醛濃度的衰退

第 5 題答案 (A)(C)(D)。

sin (x + 3)

的值在

- 1

與

1

之間，所以

y = 2 sin (x + 3) + 1

的最大值是

2 + 1 = 3

，最小值是

- 2 + 1 = - 1

。(A) 正確。振幅是最大值與最小值的差的一半，

\frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2

。(B) 錯誤。

x

的係數是

1

，週期與

y = sin x

相同，是

2 π

，不是

π

；括號裡加

3

只是左右平移，不改變週期。(C) 正確。基準值（圖形上下振動的中心）是最大值與最小值的平均，

\frac{3 + ( - 1 )}{2} = 1

。(D) 正確。頻率是週期的倒數，

\frac{1}{2 π}

。(E) 錯誤。最大值是

3

、最小值是

- 1

；

2

與

- 2

是還沒加

1

時

2 sin (x + 3)

的最大、最小值。

第 6 題答案 (B)(C)。(A) 錯誤。

x = 0

時

a^{0} = 1

，圖形必通過的是

(0, 1)

。

x = 1

時

y = a

是正數而不是

0

，所以圖形不通過

(1, 0)

。(B) 正確。

(\frac{1}{a})^{x} = a^{- x}

；

y = a^{x}

上的點

(t, a^{t})

對

y

軸的對稱點是

(- t, a^{t})

，代入

y = a^{- x}

：

a^{- (- t)} = a^{t}

，成立，所以兩個圖形對稱於

y

軸。(C) 正確。

x

越大，

(0.5)^{x}

越接近

0

但恆為正，圖形往右越來越貼近

x

軸而不相交，

x

軸（

y = 0

）是漸近線。(D) 錯誤。指數函數的圖形不論底數大於

1

或介於

0

與

1

之間，都是凹口向上；例如

y = (\frac{1}{3})^{x}

上的

(0, 1)

與

(2, \frac{1}{9})

，連線中點高度是

\frac{5}{9}

，而圖形在

x = 1

的高度

\frac{1}{3}

比它低，圖形在弦的下方。(E) 錯誤。

x = 0

時兩者都是

1

，交在

(0, 1)

；

x = - 1

時

5^{- 1} = \frac{1}{5}

比

3^{- 1} = \frac{1}{3}

小。只有

x > 0

時

y = 5^{x}

才在上方。

(B) 的條件

a > 1

換成

0 < a < 1

結論也一樣。(E) 的「恆」字要求每個

x

都成立，找到一個不成立的

x

就是錯。

第 7 題答案 (A)(B)。圖上標出的點是

(0, 2)

、

(1, 1)

、

(2, 0.5)

、

(3, 0.25)

：每過

1

小時濃度變成原來的

\frac{1}{2}

，所以濃度

y = 2 \times (\frac{1}{2})^{x}

（ppm，

x

的單位是小時）。(A) 正確。每小時乘

\frac{1}{2}

，底數是

\frac{1}{2}

。(B) 正確。

x = 1.5

時

y = 2 \times (\frac{1}{2})^{1.5} = 2 \times \frac{1}{2 2} = \frac{2}{2} \approx 0.707

，小於

0.75

。(C) 錯誤。

x = 4

時

y = \frac{2}{16} = 0.125

，

x = 5

時

y = \frac{2}{32} = 0.0625

；

0.0625

已經比

0.08

小，所以濃度在第

4

到第

5

小時之間就降到

0.08

，不需要超過

5

小時。(D) 錯誤。第

1

到第

3

小時下降

1 - 0.25 = 0.75

，平均每小時

0.375

；第

2

到第

4

小時下降

0.5 - 0.125 = 0.375

，平均每小時

0.1875

，兩者不相等。(E) 錯誤。線性衰退是每小時減少固定的量、圖形是直線；這裡三個小時分別減少

1

、

0.5

、

0.25

，是每小時乘固定的倍數，圖形是曲線。

(B) 也可以不算根號：圖形凹口向上，曲線在

(1, 1)

與

(2, 0.5)

的連線下方，而連線在

x = 1.5

的高度正好是

0.75

。第

4

、

5

小時的濃度是照同一個函數往後推算的。

正弦型函數先求最大值與最小值，振幅是差的一半、基準值是平均；指數衰退看每隔固定時間乘上的倍數。

03填充題 A～C：度與弧度互換、特殊角的三角函數值、由正弦求正切

第 8 題

18 0^{\circ} = π

弳。(1)

13 5^{\circ} = 135 \times \frac{π}{180} = \frac{3 π}{4}

（弳）。(2)

1

弳

= \frac{180}{π}

度，所以

5

弳

= 5 \times \frac{180}{π} = \frac{900}{π}

度。

\frac{900}{π}

度約是

286. 5^{\circ}

。

π

在分母，不能約掉。

第 9 題

sin \frac{π}{6} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

；

cos \frac{π}{3} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

；

\frac{3 π}{4} = 13 5^{\circ}

是第二象限角，與

x

軸的夾角是

4 5^{\circ}

，正切為負，

tan \frac{3 π}{4} = - 1

。原式

= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 0

。

第 10 題

\frac{π}{2} < θ < π

，

θ

是第二象限角，餘弦為負、正切為負。由

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

：

cos^{2} θ = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}

，取負值

cos θ = - \frac{7}{4}

。

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = \frac{3}{4} \div (- \frac{7}{4}) = - \frac{3}{7} = - \frac{3 7}{7}

。

也可以畫斜邊

4

、對邊

3

的直角三角形，鄰邊是

16 - 9 = 7

，再依第二象限補上負號。

度與弧度互換記住 180 度等於 π 弳；三角函數值先看與 x 軸的夾角，再由象限決定正負號。

04填充題 D、E：弧長、弓形面積

第 11 題圓心角用弧度表示時，弧長

=

半徑

\times

圓心角

= 5 \times \frac{3 π}{5} = 3 π

。

第 12 題塗色部分是弦與圓弧之間的弓形，面積

=

扇形面積

-

兩條半徑與弦圍成的三角形面積。

12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

弳，扇形面積

= \frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{3}

。三角形是兩腰為

2

、頂角

12 0^{\circ}

的等腰三角形，兩個底角各

3 0^{\circ}

；從圓心向弦作高，高

= 2 sin 3 0^{\circ} = 1

，弦長的一半

= 2 cos 3 0^{\circ} = 3

，弦長

23

，面積

= \frac{1}{2} \times 23 \times 1 = 3

。塗色面積

= \frac{4 π}{3} - 3

（平方公分）。

三角形面積也可以用

\frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times sin 12 0^{\circ} = 3

。扇形面積公式裡的角要用弧度。

弧長是半徑乘圓心角，扇形面積是二分之一半徑平方乘圓心角，角都要用弧度；弓形是扇形減三角形。

05填充題 F、G、H：對摺的厚度、比較大小、指數函數圖形的平移

第 13 題對摺一次厚度變成

2

倍，對摺

n

次後厚度是

0.2 \times 2^{n}

毫米。(1)

n = 10

：

0.2 \times 2^{10} = 0.2 \times 1024 = 204.8

毫米。

1

公分

= 10

毫米，所以是

20.48

公分。(2)

180

公分

= 1800

毫米。要

0.2 \times 2^{n} > 1800

，即

2^{n} > 9000

。

2^{13} = 8192 < 9000

，

2^{14} = 16384 > 9000

，所以至少對摺

14

次。

(1) 寫

204.8

毫米或

0.2048

公尺是同一個厚度，學校答案寫

20.48

公分；題目規定要寫單位。(2) 檢查：對摺

13

次是

1638.4

毫米（約

163.8

公分），還不到；

14

次是

3276.8

毫米（約

327.7

公分）。

第 14 題都化成以

10

為底：

a = (\frac{1}{10})^{3} = 1 0^{- 3}

；

0.001 = 1 0^{- 3}

，

b = 3 1 0^{- 3} = (1 0^{- 3})^{\frac{1}{3}} = 1 0^{- 1}

；

c = (100)^{0.3} = (1 0^{2})^{0.3} = 1 0^{0.6}

。底數

10 > 1

，指數越大值越大；

- 3 < - 1 < 0.6

，所以

a < b < c

。

數值是

a = 0.001

、

b = 0.1

、

c = 1 0^{0.6} \approx 3.98

。

第 15 題

y = 3^{x}

向右平移

a

單位、向上平移

b

單位後是

y = 3^{x - a} + b

。另一方面

9 \times 3^{x} + 1 = 3^{2} \times 3^{x} + 1 = 3^{x + 2} + 1

。比較兩式：

x - a = x + 2

，

a = - 2

；

b = 1

。所以

(a, b) = (- 2, 1)

。

a = - 2

表示實際上是向左平移

2

單位。檢查：

y = 3^{x}

上的

(0, 1)

向右

- 2

、向上

1

後到

(- 2, 2)

，代入

9 \times 3^{- 2} + 1 = 2

，成立。

每次乘固定倍數的問題先列出 n 次後的式子；指數的比較與平移都先化成同底數。

06填充題 I、J：正弦函數圖形與水平線的交點、對稱於原點的圖形

第 16 題畫出

y = sin x

在

0 \leq x \leq 4 π

的圖形，正好是兩個週期。在第一個週期

0 \leq x \leq 2 π

裡：

0 < x < π

這一段圖形在

x

軸上方，從

0

升到最高點

1

再降回

0

，水平線

y = \frac{1}{3}

的高度在

0

與

1

之間，上升時交一次、下降時交一次，共

2

個交點；

π \leq x \leq 2 π

這一段

sin x \leq 0

，碰不到

y = \frac{1}{3}

。第二個週期

2 π \leq x \leq 4 π

的圖形與第一個週期完全相同，也是

2

個交點。共

2 + 2 = 4

個。

端點

x = 0

、

x = 4 π

的函數值是

0

，不是交點。

第 17 題兩個圖形對稱於原點：

y = f (x)

上的點

(t, s)

對應到

y = f_{1} (x)

上的點

(- t, - s)

。設

(x, y)

在

y = f_{1} (x)

的圖形上，則

(- x, - y)

在

y = f (x)

的圖形上：

- y = (\frac{1}{3})^{- x} = 3^{x}

，所以

y = - 3^{x}

，即

f_{1} (x) = - 3^{x}

。

- 3^{x}

是

3^{x}

的相反數，不是

(- 3)^{x}

。檢查：

f (x)

上的

(1, \frac{1}{3})

對原點的對稱點是

(- 1, - \frac{1}{3})

，而

f_{1} (- 1) = - 3^{- 1} = - \frac{1}{3}

。

數交點個數先畫一個週期再看範圍裡有幾個週期；對稱於原點是把 x 與 y 同時換成相反數。

07填充題 K、L：弧長與面積相等的扇形、汽車折舊

第 18 題設半徑為

r

、圓心角為

θ

弳（

r > 0

，

θ > 0

）。弧長

= r θ

，面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ

。兩者的值相等：

r θ = \frac{1}{2} r^{2} θ

，兩邊同除以

r θ

，得

1 = \frac{1}{2} r

，

r = 2

。

也可以用面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長：面積與弧長相等時

\frac{1}{2} r = 1

，同樣得到

r = 2

，而且與圓心角的大小無關。

第 19 題「百萬名車」原價

100

萬元，每年價值變為原來的

0.8

倍，

n

年後價值是

100 \times (0.8)^{n}

萬元。(1) 二年後：

100 \times 0. 8^{2} = 100 \times 0.64 = 64

萬元。(2) 要

(0.8)^{n} < 0.5

。逐年試算：

0. 8^{1} = 0.8

，

0. 8^{2} = 0.64

，

0. 8^{3} = 0.512

，

0. 8^{4} = 0.4096

。第

3

年還比一半多一點，第

4

年才小於一半，所以至少

4

年後。

折舊

20%

是每年乘

0.8

，不是每年固定減

20

萬元；若用每年減

20

萬元去算，二年後會錯算成

60

萬元。

扇形面積也等於二分之一乘半徑乘弧長；求至少幾年就把 0.8 的次方逐一列出來和一半比。

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03填充題 A～C：度與弧度互換、特殊角的三角函數值、由正弦求正切

04填充題 D、E：弧長、弓形面積

05填充題 F、G、H：對摺的厚度、比較大小、指數函數圖形的平移

06填充題 I、J：正弦函數圖形與水平線的交點、對稱於原點的圖形

07填充題 K、L：弧長與面積相等的扇形、汽車折舊

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