段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角公式、正餘弦的疊合）

高雄新興高中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

複選題 3 題（每題 5 分，共 15 分）、單選題 3 題（每題 5 分，共 15 分）、填充題 8 題共 9 格（共 54 分，依答對題數給分）、計算題 2 題（每題 8 分，共 16 分，第 2 題兩小題各 4 分），合計 100 分。卷頭科目印的是「高二數學科」，沒有印數學A。本頁題號全卷連續：第 1～3 題是原卷複選第 1～3 題，第 4～6 題是單選第 1～3 題，第 7～9 題是填充第 1～3 題，第 10、11 題是填充第 4 題的兩格，第 12～15 題是填充第 5～8 題，第 16 題是計算第 1 題，第 17、18 題是計算第 2 題的 (1)(2)。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

第一大題：複選題（每題至少一個選項是正確的），每題 5 分，共 15 分（每題全對得 5 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個以上得 0 分）

有關函數

f (x) = - 2 sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{3}) + 1

的敘述，下列哪些選項正確？

(A) 最小正週期為 $4 π$
(B) 最大值為 $3$
(C) 圖形對稱於直線 $x = - \frac{π}{6}$
(D) 振幅為 $2$
(E) 圖形平移後可與 $y = cos (\frac{1}{2} x)$ 的圖形重疊

關於函數值的大小，下列哪些選項是正確的？

(A) $cos 10 > sin 10$
(B) $sin \frac{1}{2} > \frac{1}{2}$
(C) $cos 1 > sin 1^{\circ}$
(D) $sin π > sin π^{\circ}$
(E) $cos \frac{π}{6} > sin \frac{π}{6}$

若點

(cos θ, sin θ)

在第三象限，則下列選項哪些正確？

(A) $θ$ 為第三象限角
(B) $\frac{θ}{2}$ 必為第二象限角
(C) 點 $(tan θ sin θ, cos θ)$ 在第三象限
(D) 點 $(sin 2 θ, cos 2 θ)$ 在第二象限
(E) $tan 2 θ$ 必大於 $0$

第二大題：單選題，每題 5 分，共 15 分

若

0 \leq x < 2 π

，

3 cos x + 4 sin x

的最大值為多少？

(A) $7$
(B) $5$
(C) $4$
(D) $3$
(E) $2$

10

弳是第幾象限角？

(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(E) 都不是

下列哪一個函數值最大？

(A) $sin \frac{3 π}{4}$
(B) $cos \frac{π}{5}$
(C) $sin 1$
(D) $cos 1$
(E) $sin 2$

第三大題：填充題，共 54 分（答對題數 1、2、3、4、5、6、7、8、9，得分依序為 8、16、24、30、36、42、46、50、54）

求

sin \frac{5 π}{8} cos \frac{5 π}{8} =

____。

△ A B C

中，若

tan A = 2

，

tan B = 3

，則

∠ C =

____ 弳。

求方程式

3 sin x = \frac{1}{2} x - 1

的實數解有 ____ 個。

第 10～11 題為同一題的兩格（原卷填充第 4 題）（第 10～11 題）　一扇形的圓心角為

\frac{π}{3}

，半徑為

9

，有一內切圓（如圖），其灰色部分的周界長為 ____(1)____，面積為 ____(2)____。

(1) 灰色部分的周界長為 ____。

載入中...

(2) 灰色部分的面積為 ____。

設

f (x) = 2 sin x - 23 sin (x - \frac{π}{6})

，若

f (x)

週期為

A

、振幅為

B

，求

(A, B)

為 ____。

如附圖，

A B C D

，

C D E F

，

E F G H

，

G H I J

皆為正方形，若

∠ A O C = θ

，則

tan θ

為 ____。

載入中...

求

\frac{1}{3 sin 1 0 ^{\circ}} - \frac{3}{3 cos 1 0 ^{\circ}}

之值為 ____。

若

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{7 π}{6}

，若

y = sin x - 3 cos x

，求

y

的範圍為 ____。

第四大題：計算題，每題 8 分，共 16 分（請在答案卷上寫下計算過程）

有一函數

y = a sin (b x + c) + d

（

a, b

都是正數，

0 < c < 2 π

），其部分圖形如下，試求：

a, b, c, d

各是多少。

載入中...

第 17～18 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 17～18 題）　若

tan θ

為方程式

7 x^{2} - 18 x + 7 = 0

的一根，求：

(1)

sin 2 θ =

____。（4 分）

(2)

(sin θ - cos θ)^{2} =

____。（4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)(D)

第 2 題(C)(E)

第 3 題(A)(C)

第 4 題(B)

第 5 題(C)

第 6 題(E)

第 7 題

- \frac{2}{4}

第 8 題

\frac{π}{4}

第 9 題

5

第 10 題

63 + 2 π

第 11 題

93 - 3 π

第 12 題

(2 π, 2)

第 13 題

\frac{7}{11}

第 14 題

\frac{4}{3}

第 15 題

- 1 \leq y \leq 2

第 16 題

a = 3

，

b = \frac{π}{3}

，

c = \frac{π}{6}

，

d = \frac{1}{2}

第 17 題

\frac{7}{9}

第 18 題

\frac{2}{9}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01複選題（第 1～3 題）：正弦函數的性質、弧度與度、象限與正負

第 1 題答案 (A)(B)(D)。(A) 對：

x

的係數是

\frac{1}{2}

，週期

= \frac{2 π}{\frac{1}{2}} = 4 π

。(B) 對：

- 1 \leq sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{3}) \leq 1

，乘上

- 2

再加

1

，得

- 1 \leq f (x) \leq 3

，最大值

3

（在正弦值為

- 1

時取得）。(D) 對：振幅是最大值與最小值之差的一半，

\frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2

。(C) 錯：正弦曲線的對稱軸一定通過最高點或最低點，但

f (- \frac{π}{6}) = - 2 sin (- \frac{π}{12} + \frac{π}{3}) + 1 = - 2 sin \frac{π}{4} + 1 = 1 - 2

，既不是

3

也不是

- 1

。(E) 錯：平移不會改變圖形的高低差，

f (x)

的最大值與最小值相差

4

，而

y = cos (\frac{1}{2} x)

只相差

2

，怎麼平移都疊不起來。

對稱軸在

\frac{1}{2} x + \frac{π}{3} = \frac{π}{2} + k π

，即

x = \frac{π}{3} + 2 k π

（

k

為整數）。(E) 的兩個函數週期相同（都是

4 π

），差別只在振幅。

第 2 題答案 (C)(E)。沒有寫「°」的角是弧度。(A) 錯：

3 π \approx 9.42

、

\frac{7 π}{2} \approx 11.00

，所以

3 π < 10 < \frac{7 π}{2}

，

10

弳是第三象限角，而且

10 - 3 π \approx 0.58 < \frac{π}{4}

，也就是與

x

軸負向的夾角不到

\frac{π}{4}

：

cos 10 \approx - 0.84

，

sin 10 \approx - 0.54

，

cos 10 < sin 10

。(B) 錯：

\frac{π}{6} \approx 0.524

，所以

0 < \frac{1}{2} < \frac{π}{6}

；正弦在

0

到

\frac{π}{2}

遞增，

sin \frac{1}{2} < sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

。(C) 對：

1

弳約

57. 3^{\circ}

，

cos 1 > cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

；而

sin 1^{\circ} < sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

，所以

cos 1 > sin 1^{\circ}

。(D) 錯：

sin π = 0

，而

π^{\circ} \approx 3.1 4^{\circ}

是很小的正銳角，

sin π^{\circ} > 0

。(E) 對：

cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2} > \frac{1}{2} = sin \frac{π}{6}

。

(B) 是「正的弧度角

x

恆有

sin x < x

」的特例：單位圓上，弧長

x

比它對應的鉛直高度

sin x

長。

第 3 題答案 (A)(C)。點在第三象限，表示

cos θ < 0

且

sin θ < 0

。(A) 對：點

(cos θ, sin θ)

就是角

θ

的終邊與單位圓的交點，它在第三象限，

θ

就是第三象限角。(C) 對：

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} > 0

，所以

tan θ sin θ < 0

，又

cos θ < 0

，兩個坐標都是負的。(B) 錯：第三象限角可寫成

18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k < θ < 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k

（

k

為整數），所以

9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} k < \frac{θ}{2} < 13 5^{\circ} + 18 0^{\circ} k

；

k

是奇數時

\frac{θ}{2}

在第四象限（例如

θ = - 15 0^{\circ}

，

\frac{θ}{2} = - 7 5^{\circ}

），不是「必為」第二象限角。(D) 錯：這個點的橫坐標是

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ > 0

，點一定在

y

軸的右側，不可能在第二象限（例如

θ = 20 0^{\circ}

時，

2 θ = 40 0^{\circ}

與

4 0^{\circ}

同界，

sin 2 θ > 0

、

cos 2 θ > 0

，點在第一象限）。(E) 錯：取

θ = 24 0^{\circ}

，

2 θ = 48 0^{\circ}

與

12 0^{\circ}

同界，

tan 2 θ = - 3 < 0

。

(D) 要注意坐標的順序是

(sin 2 θ, cos 2 θ)

，正弦在前。至於角

2 θ

本身，終邊落在

x

軸上方（

sin 2 θ > 0

），可能是第一象限角、第二象限角，也可能剛好在

y

軸正向（

θ = 22 5^{\circ}

時

tan 2 θ

沒有定義）。若把

θ

限定在

18 0^{\circ}

到

27 0^{\circ}

，

\frac{θ}{2}

落在

9 0^{\circ}

到

13 5^{\circ}

，(B) 就成立；題目沒有這個限制，所以本頁判 (B) 錯。

02單選題（第 4～6 題，原卷單選第 1～3 題）：疊合求最大值、弧度與象限、比大小

第 4 題答案 (B)。疊合：

3^{2} + 4^{2} = 5

，

3 cos x + 4 sin x = 5 (\frac{4}{5} sin x + \frac{3}{5} cos x) = 5 sin (x + φ)

，其中

cos φ = \frac{4}{5}

、

sin φ = \frac{3}{5}

。

0 \leq x < 2 π

剛好走完一整個週期，

sin (x + φ)

取得到

1

，所以最大值是

5

。

最大值發生在

x + φ = \frac{π}{2}

，這時

sin x = cos φ = \frac{4}{5}

、

cos x = sin φ = \frac{3}{5}

，代回

3 \times \frac{3}{5} + 4 \times \frac{4}{5} = 5

。把係數直接相加得到

7

是錯的，因為

sin x

與

cos x

不會同時等於

1

。

第 5 題答案 (C)。轉一圈是

2 π \approx 6.28

弳，

10 - 2 π \approx 3.72

，所以

10

弳與

3.72

弳同界。

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，

π < 3.72 < \frac{3 π}{2}

，是第三象限角。

換成度來看：

10

弳

\approx 57 3^{\circ}

，

57 3^{\circ} - 36 0^{\circ} = 21 3^{\circ}

，在

18 0^{\circ}

與

27 0^{\circ}

之間。

第 6 題答案 (E)。把五個值都化成

0

到

\frac{π}{2}

之間的正弦：

sin \frac{3 π}{4} = sin \frac{π}{4}

（

\frac{π}{4} \approx 0.785

）；

cos \frac{π}{5} = sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{5}) = sin \frac{3 π}{10}

（

\frac{3 π}{10} \approx 0.942

）；

sin 1

；

cos 1 = sin (\frac{π}{2} - 1)

（

\frac{π}{2} - 1 \approx 0.571

）；

sin 2 = sin (π - 2)

（

π - 2 \approx 1.142

）。正弦在

0

到

\frac{π}{2}

遞增，角最大的是

π - 2

，所以

sin 2

最大。

五個值大約是

0.707

、

0.809

、

0.841

、

0.540

、

0.909

。

03填充題（第 7～9 題，原卷填充第 1～3 題）：二倍角、三角形的內角、解的個數

第 7 題用正弦的二倍角公式

sin 2 α = 2 sin α cos α

：

sin \frac{5 π}{8} cos \frac{5 π}{8} = \frac{1}{2} sin \frac{5 π}{4} = \frac{1}{2} \times (- \frac{2}{2}) = - \frac{2}{4}

。

\frac{5 π}{8}

是第二象限角，正弦為正、餘弦為負，乘積是負的，與答案的正負相符。

第 8 題三角形內角和是

π

，

C = π - (A + B)

，所以

tan C = - tan (A + B)

。

tan (A + B) = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B} = \frac{2 + 3}{1 - 6} = - 1

，得

tan C = 1

。

C

是三角形的內角，

0 < C < π

，所以

∠ C = \frac{π}{4}

。

題目要的單位是弳，不要寫成

4 5^{\circ}

。

第 9 題在同一個坐標平面畫

y = 3 sin x

與直線

y = \frac{1}{2} x - 1

，數交點。

- 3 \leq 3 sin x \leq 3

，交點只可能在

- 3 \leq \frac{1}{2} x - 1 \leq 3

，即

- 4 \leq x \leq 8

。分段看：①

- 4 \leq x \leq - π

：這段

sin x \geq 0

，直線的值不超過

- \frac{π}{2} - 1 < 0

，沒有交點。②

- π < x < 0

：曲線是一個往下的谷，由

0

降到

- 3

再回到

0

；直線由約

- 2.57

升到

- 1

。兩端曲線都在直線上方，谷底

x = - \frac{π}{2}

處曲線是

- 3

、直線約

- 1.79

，曲線在下方，所以谷底的左右兩側各至少交一次；這一段曲線是向上彎的（開口朝上的谷），與一條直線最多交

2

點，所以恰交

2

點。③

0 \leq x \leq π

：

x = 0

時曲線（

0

）在直線（

- 1

）上方，

x = π

時曲線（

0

）在直線（約

0.57

）下方，兩端一上一下，中間至少交一次；這一段曲線是向下彎的（開口朝下的峰），與一條直線最多交

2

點，而交

2

點時兩端會在直線的同一側，所以恰交

1

點。④

π < x \leq 2 π

：

sin x \leq 0

，直線是正的，沒有交點。⑤

2 π < x \leq 8

：

x = 2 π

時直線（約

2.14

）在上；

x = \frac{5 π}{2} \approx 7.85

時曲線到最高點

3

，直線是

\frac{5 π}{4} - 1 \approx 2.93

，曲線在上；

x = 8

時直線剛好是

3

，曲線是

3 sin 8 \approx 2.97

，直線又在上，所以峰頂的左右兩側各至少交一次；這一段曲線是向下彎的（開口朝下的峰），與一條直線最多交

2

點，所以恰交

2

點。合計

2 + 1 + 2 = 5

個。

五個解大約是

x = - 2.33

、

- 0.41

、

2.98

、

7.40

、

7.96

。最後兩個靠得很近：關鍵是直線在

x = \frac{5 π}{2}

的高度

\frac{5 π}{4} - 1

比

3

小一點點（因為

π < 3.2

），曲線的峰頂剛好冒出直線上方；畫圖時這裡要用數字確認，不能只憑目測。

04填充題（第 10、11 題，原卷填充第 4 題的兩格）：扇形的內切圓

第 10 題設扇形的圓心為

O

，內切圓的圓心為

R

、半徑為

r

，內切圓與兩條半徑的切點為

P

、

Q

。

R

到兩條半徑等距，所以在圓心角的平分線上，

∠ R O P = \frac{π}{6}

；直角三角形

O R P

中

\overline{O R} = \frac{r}{sin \frac{π}{6}} = 2 r

。內切圓又與扇形的弧相切，切點在

\overline{O R}

的延長線上：

\overline{O R} + r = 9

，

3 r = 9

，

r = 3

，

\overline{O R} = 6

，

\overline{O P} = \overline{O Q} = 6^{2} - 3^{2} = 33

。灰色部分由

\overline{O P}

、

\overline{O Q}

與內切圓上靠近

O

的弧

P Q

圍成。

∠ P R Q = 2 \times (\frac{π}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 π}{3}

，弧

P Q

的長

= 3 \times \frac{2 π}{3} = 2 π

。周界長

= 33 + 33 + 2 π = 63 + 2 π

。

P

、

Q

、

R

是本頁為了說明自己取的名字，原卷的圖沒有標。周界長約

16.68

。弧長

r θ

的

θ

要用弧度。

第 11 題沿用上一格的記號。灰色部分

=

四邊形

O P R Q -

扇形

R P Q

。四邊形

O P R Q

是兩個全等的直角三角形，面積

= 2 \times \frac{1}{2} \times 33 \times 3 = 93

。扇形

R P Q

的半徑

3

、圓心角

\frac{2 π}{3}

，面積

= \frac{1}{2} \times 3^{2} \times \frac{2 π}{3} = 3 π

。所以灰色部分的面積

= 93 - 3 π

。

約

6.16

。

05填充題（第 12、13 題，原卷填充第 5、6 題）：展開後疊合、方格中的夾角

第 12 題先用差角公式展開：

sin (x - \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} sin x - \frac{1}{2} cos x

，所以

23 sin (x - \frac{π}{6}) = 3 sin x - 3 cos x

，

f (x) = 2 sin x - 3 sin x + 3 cos x = - sin x + 3 cos x

。疊合：

(- 1)^{2} + (3)^{2} = 2

，

f (x) = 2 (- \frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x) = 2 sin (x + \frac{2 π}{3})

。週期

A = 2 π

，振幅

B = 2

，

(A, B) = (2 π, 2)

。

也可以寫成

2 cos (x + \frac{π}{6})

，週期與振幅相同。不可以把兩項的振幅

2

與

23

直接相加或相減。

第 13 題設正方形邊長為

1

。

A

、

O

、

J

共線，

C

、

O

、

I

共線。設

∠ A J B = α

、

∠ I C J = β

：直角三角形

A B J

中

tan α = \frac{A B}{B J} = \frac{1}{4}

；直角三角形

C J I

中

tan β = \frac{I J}{C J} = \frac{1}{3}

。在三角形

O C J

中，

∠ O J C = α

、

∠ O C J = β

，而

∠ A O C

是它在頂點

O

的外角，所以

θ = α + β

。

tan θ = \frac{tan α + tan β}{1 - tan α tan β} = \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{12}} = \frac{\frac{7}{12}}{\frac{11}{12}} = \frac{7}{11}

。

本頁的附圖是示意圖，方格畫得比正方形略寬，角度不要用量的。用坐標檢查：取

B (0, 0)

，則

A (0, 1)

、

C (1, 0)

、

I (4, 1)

、

J (4, 0)

，兩線交於

O (\frac{16}{7}, \frac{3}{7})

，結果相同。

06填充題（第 14、15 題，原卷填充第 7、8 題）：通分後疊合、在範圍內求值域

第 14 題通分：

\frac{1}{3 sin 1 0 ^{\circ}} - \frac{3}{3 cos 1 0 ^{\circ}} = \frac{cos 1 0 ^{\circ} - 3 sin 1 0 ^{\circ}}{3 sin 1 0 ^{\circ} cos 1 0 ^{\circ}}

。分子疊合：

cos 1 0^{\circ} - 3 sin 1 0^{\circ} = 2 (\frac{1}{2} cos 1 0^{\circ} - \frac{3}{2} sin 1 0^{\circ}) = 2 (sin 3 0^{\circ} cos 1 0^{\circ} - cos 3 0^{\circ} sin 1 0^{\circ}) = 2 sin 2 0^{\circ}

。分母用二倍角：

3 sin 1 0^{\circ} cos 1 0^{\circ} = \frac{3}{2} sin 2 0^{\circ}

。所以原式

= \frac{2 sin 2 0 ^{\circ}}{\frac{3}{2} sin 2 0 ^{\circ}} = \frac{4}{3}

。

第 15 題疊合：

y = sin x - 3 cos x = 2 (\frac{1}{2} sin x - \frac{3}{2} cos x) = 2 sin (x - \frac{π}{3})

。

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{7 π}{6}

時，

- \frac{π}{6} \leq x - \frac{π}{3} \leq \frac{5 π}{6}

。這段角度包含

\frac{π}{2}

，正弦最大是

1

；兩個端點

sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}

、

sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

，最小是

- \frac{1}{2}

。所以

- \frac{1}{2} \leq sin (x - \frac{π}{3}) \leq 1

，

- 1 \leq y \leq 2

。

最大值

2

在

x = \frac{5 π}{6}

，最小值

- 1

在左端點

x = \frac{π}{6}

。最小值不是

- 2

，因為角度走不到波谷。

07計算題一（第 16 題，原卷計算第 1 題）：由圖形決定正弦函數的係數

第 16 題由圖，最高點是

(1, \frac{7}{2})

，它右邊相鄰的最低點是

(4, - \frac{5}{2})

。

a > 0

時，

y = a sin (b x + c) + d

的最大值是

d + a

、最小值是

d - a

：

d + a = \frac{7}{2}

，

d - a = - \frac{5}{2}

，解得

a = 3

，

d = \frac{1}{2}

。相鄰的最高點與最低點相隔半個週期：半週期

= 4 - 1 = 3

，週期

6

；

b > 0

，

\frac{2 π}{b} = 6

，

b = \frac{π}{3}

。

x = 1

是最高點，

sin (\frac{π}{3} + c) = 1

，

\frac{π}{3} + c = \frac{π}{2} + 2 k π

，

c = \frac{π}{6} + 2 k π

（

k

為整數）；在

0 < c < 2 π

內只有

c = \frac{π}{6}

。所以

a = 3

，

b = \frac{π}{3}

，

c = \frac{π}{6}

，

d = \frac{1}{2}

，即

y = 3 sin (\frac{π}{3} x + \frac{π}{6}) + \frac{1}{2}

。

檢查：

x = 4

時

\frac{4 π}{3} + \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}

，

y = - 3 + \frac{1}{2} = - \frac{5}{2}

，相符。圖上的

A

點是圖形與

y

軸的交點，

x = 0

時

y = 3 sin \frac{π}{6} + \frac{1}{2} = 2

，題目沒有問。

由圖求

y = a sin (b x + c) + d

：最高、最低的平均是

d

，差的一半是

a

；相鄰最高點與最低點的橫坐標差是半個週期，用來求

b

；最後代最高點求

c

。

08計算題二（第 17、18 題，原卷計算第 2 題）：用正切表示二倍角的正弦

第 17 題設

t = tan θ

。

t

是方程式的根：

7 t^{2} - 18 t + 7 = 0

，即

7 (t^{2} + 1) = 18 t

，

1 + t^{2} = \frac{18}{7} t

（

t = 0

不是根，所以

t \neq = 0

）。把二倍角的正弦用正切表示：

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = \frac{2 sin θ cos θ}{sin ^{2} θ + cos ^{2} θ}

，分子分母同除以

cos^{2} θ

，得

sin 2 θ = \frac{2 tan θ}{1 + tan ^{2} θ} = \frac{2 t}{\frac{18}{7} t} = \frac{7}{9}

。

方程式的兩根是

\frac{9 \pm 4 2}{7}

，兩根相乘等於

1

（互為倒數）。不論

tan θ

是哪一根，上面的算法都得到同一個值，所以不必把根解出來。

第 18 題展開：

(sin θ - cos θ)^{2} = sin^{2} θ - 2 sin θ cos θ + cos^{2} θ = 1 - sin 2 θ = 1 - \frac{7}{9} = \frac{2}{9}

。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 109 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要先分清楚哪些角是弧度、哪些是度，10 弳是第三象限角；第 3 題只知道 θ 是第三象限角，二分之 θ 可能在第二或第四象限，選項 D 的點橫坐標是 2θ 的正弦、一定是正的；第 9 題直線在 x 等於二分之五 π 的高度只比 3 低一點點，右邊那個峰會多出兩個交點，共五個解；第 15 題最小值在端點而不是波谷；第 17 題不必解出根，把二倍角的正弦用正切表示就能直接代。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自高雄新興高中 109 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高雄新興高中 109 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01複選題（第 1～3 題）：正弦函數的性質、弧度與度、象限與正負

02單選題（第 4～6 題，原卷單選第 1～3 題）：疊合求最大值、弧度與象限、比大小

03填充題（第 7～9 題，原卷填充第 1～3 題）：二倍角、三角形的內角、解的個數

04填充題（第 10、11 題，原卷填充第 4 題的兩格）：扇形的內切圓

05填充題（第 12、13 題，原卷填充第 5、6 題）：展開後疊合、方格中的夾角

06填充題（第 14、15 題，原卷填充第 7、8 題）：通分後疊合、在範圍內求值域

07計算題一（第 16 題，原卷計算第 1 題）：由圖形決定正弦函數的係數

08計算題二（第 17、18 題，原卷計算第 2 題）：用正切表示二倍角的正弦

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高雄新興高中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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