段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角公式、倍角與半角公式、正餘弦的疊合）

高師大附中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

卷頭印的班別是高二數 A（仁～忠）。單選題 1 題 5 分、多重選擇題 4 題 24 分、選填題 12 題 60 分、混合題 2 小題 11 分，合計 100 分。原卷題號是單選第 1 題、多選第 2～5 題、選填 A～L、混合題第 1 題的 (1)(2)，本頁依序編為第 1 題、第 2～5 題、第 6～17 題、第 18～19 題；選填題題幹裡的 (6)～(37) 是原卷答案卡的列號。本站取得的原檔在轉檔時算式走樣、部分的圖遺失：各題算式是本站依殘存的符號、選項與答案格數推定後重打，推定有疑義之處在題末括號註明，其中第 2 題選項 (5)、第 11 題（選填 F）、第 13 題（選填 H）、第 17 題（選填 L）的讀法會改變答案，另一種讀法與對應的答案寫在各題的答案附註與詳解；第 8、10、18 題的附圖是本站重畫的示意圖。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題（每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。本大題共計 5 分）

已知

a = cos 1

，

b = cos 3

，

c = cos (4 - π)

，

d = sin (\frac{19}{2} π + 1)

，則下列哪一個選項是正確的？（原檔算式走樣，

c

、

d

兩式為本站依殘存符號推定）

(1) $a > b > c > d$
(2) $b > a > d > c$
(3) $a > c > b > d$
(4) $c > a > d > b$
(5) $d > c > b > a$

二、多重選擇題（每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 6 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。本大題共計 24 分）

已知

\frac{3}{2} π < α < 2 π

，

sin α + cos α = \frac{1}{5}

，則下列敘述哪些是正確？

(1) $sin 2 α = - \frac{12}{25}$
(2) $sin α - cos α = - \frac{7}{5}$
(3) $cos α = \frac{3}{5}$
(4) $tan \frac{α}{2} = - \frac{1}{3}$
(5) $sin (\frac{3}{2} π - α) = \frac{4}{5}$ （原檔此式走樣，括號內兩項的先後為本站推定）

已知

α, β \in R

，則下列敘述哪些是正確的？

(1) $4 sin α + 3 cos β$ 的最大值為 $7$
(2) $4 sin α + 3 cos β$ 的最小值為 $- 5$
(3) $4 sin 2 α + 3 cos 2 α$ 的最大值為 $7$
(4) $4 sin 2 α + 3 cos 2 α$ 的最小值為 $- 5$
(5) $4 sin (2 α - 2 0^{\circ}) + 3 cos (2 α - 2 0^{\circ})$ 有可能為 $- 3.5$

下列敘述哪些是正確的？（原檔算式走樣，各選項的方程式為本站依殘存符號推定）

(1) 方程式 $sin x = \frac{x}{10}$ 有奇數個解
(2) 方程式 $cos x = \frac{x}{4 π}$ 有偶數個解
(3) 方程式 $sin (π x) = \frac{x}{10 π}$ 有奇數個解
(4) $y = sin (π x)$ 的圖形與 $y = \frac{x}{10}$ 的圖形有偶數個交點
(5) $y = sin x$ 的圖形與 $y = \frac{x}{10 π}$ 的圖形有奇數個交點

下列有關三角函數圖形的平移與伸縮，哪些敘述是正確的？

(1) $y = sin (x + 2)$ 的圖形可利用 $y = sin x$ 的圖形向右平移 $2$ 弳得到。
(2) $y = sin (2 x - 2)$ 的圖形可利用 $y = sin x$ 的圖形先向右平移 $2$ 弳，再以 $y$ 軸為中心，水平方向伸縮 $2$ 倍得到。
(3) $y = sin (2 x - 2)$ 的圖形可利用 $y = sin x$ 的圖形先以 $y$ 軸為中心，水平方向伸縮 $2$ 倍，再向右平移 $2$ 弳得到。
(4) $y = 2 sin x - 3$ 的圖形可利用 $y = sin x$ 的圖形先以 $x$ 軸為中心，鉛直方向伸縮 $2$ 倍，再向下平移 $3$ 單位得到。
(5) $y = 2 sin x - 3$ 的圖形可利用 $y = sin x$ 的圖形先向下平移 $3$ 單位，再以 $x$ 軸為中心，鉛直方向伸縮 $2$ 倍得到。

三、選填題（請將答案畫記在答案卡所標示的列號（6–37）。每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。本大題共 12 題，共計 60 分）

A. 如右圖，

△ A B C

為直角三角形，

\overline{A B} = 4

，

\overline{B C} = 3

，若以

\overline{B C}

為一邊向外做出一正方形

B C E D

，則

∠ C A E =

(6)(7) 度（請四捨五入到整數）。（附圖為示意，未照實際比例）

載入中...

B. 已知兩個標準位置角

α, β

的終邊對稱於

y

軸，且

sin α = \frac{1}{3}

，則

cos (α - β) = \frac{( 8 ) ( 9 )}{( 10 )}

。

C. 如右圖，扇形

A O B

中，

\overline{O A} = \overline{O B} = 14

，圓心角為

θ

，

P

為

A B

弧上一點。

\overline{P Q} ⊥ \overline{O A}

於

Q

，

\overline{P R} ⊥ \overline{O B}

於

R

，且

\overline{P Q} = 13

，

\overline{P R} = 11

，則

\overline{QR} = (11) (12)

。（原檔的圖遺失，附圖是本站重畫的示意圖，未照實際比例；答案格式裡的根號為本站依殘存版面推定）

載入中...

D. 在

△ A B C

中，

cos A = \frac{4}{5}

，

tan B = \frac{5}{12}

，且

△ A B C

的周長為

120

，則

△ A B C

的面積為 (13)(14)(15) 平方單位。

E. 如右圖，

\overline{A B}

為圓

O

的直徑，且

\overline{A B} = 4

，

\overline{B C} = 3

。已知

∠ A B C

的角平分線交半圓於

D

，則四邊形

A B C D

的面積為

\frac{( 16 ) ( 17 )}{( 18 )}

。（原檔的圖遺失，附圖是本站重畫的示意圖，未照實際比例，並依題意把

C

畫在半圓上；答案格式裡的根號為本站依殘存版面推定）

載入中...

F. 設

a > 0

，若將函數

y = sin (a x + 2) - 3 π

的圖形向右平移

4

單位後，發現會與原圖形重合，則

a

的最小值為

\frac{( 19 )}{( 20 )} π

（請約到最簡分數）。（原檔算式走樣，函數式裡 2、3、π 的位置為本站推定；若 2 是乘在

a x

前面的係數，例如

y = sin (2 a x + 3) - π

，答案是

\frac{1}{4} π

）

G. 若一扇形的周長等於其所在圓之周長的

\frac{1}{3}

，則此扇形的面積與其所在圓之面積的比值為 (21).(22)(23)（請四捨五入到小數點後第二位）。（原檔這個分數的分子分母併排成 1 與 3，本站讀作三分之一）

H. 已知

\frac{3}{2} π \leq x \leq 5 π

，則方程式

sin x = \frac{1}{3}

的所有實數解總和為 (24)(25)

π

。（原檔算式走樣，

x

的範圍與方程式為本站依殘存符號推定；另一種可能是

3 π \leq x \leq 5 π

、

sin 2 x = \frac{1}{3}

，那樣總和是

15 π

）

I. 已知

0 < x < π

，則方程式

3 cos 2 x - 7 cos x = 0

的解為 (26)(27)(28) 度（請四捨五入到整數）。

J. 已知

π < x < \frac{3}{2} π

，且

3 cos x + sin x = 2 sin 202 0^{\circ}

，則

x = \frac{( 29 ) ( 30 )}{( 31 )} π

（請約到最簡分數）。（原檔的根號變成黑色方塊，

3

為本站推定）

K. 已知

- \frac{π}{2} < x < 0

，且

3 sin 2 x - cos 2 x + 1 = 0

，則

x = \frac{( 32 ) ( 33 )}{( 34 )} π

（請約到最簡分數）。（原檔的根號變成黑色方塊，

3

為本站推定）

L. 已知

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

，

f (x) = 3 sin x + 4 cos x

，當

f (x)

有最大值時，

sin x = a

，

cos x = b

，則

4 b^{2} - a^{2} = \frac{( 35 ) ( 36 )}{( 37 )}

（請約到最簡分數）。（原檔算式走樣，

4

乘在哪一項無法確定，本站讀作

4 b^{2} - a^{2}

；若原卷是

b^{2} - 4 a^{2}

，答案是

- \frac{4}{5}

）

四、混合題（本大題共 2 小題，請於答案卡上作答，共計 11 分）

混合題第 1 題（第 18～19 題）　有一個半徑

50 m

的圓形廣場，在牆面上裝有一個探照燈，已知探照燈設出（卷面原字，意思是射出）的光線區域所張成的角為

\frac{π}{3}

，如右圖。則：（原檔的圖遺失，第 18 題的附圖是本站重畫的示意圖）

(1) 燈光打在圓形廣場牆面上的弧長為 ____

m

（請用

π

表示）。（5 分）

載入中...

(2) 燈光所照射的區域面積最大為多少

m^{2}

？（請寫出完整的計算過程，否則不予計分）（6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(2)(4)（選項 (5) 原檔走樣，本站讀作

sin (\frac{3}{2} π - α)

；若原卷是

sin (α - \frac{3}{2} π)

，答案是 (2)(4)(5)）

第 3 題(1)(4)(5)

第 4 題(1)(3)(5)

第 5 題(4)

第 6 題

14

第 7 題

- \frac{7}{9}

第 8 題

73

（附圖是本站重畫的示意圖）

第 9 題

420

第 10 題

\frac{7 7}{4}

（附圖是本站重畫的示意圖，以 C 在半圓上計算）

第 11 題

\frac{1}{2} π

（依本站推定的讀法；若原卷的 2 是

x

項的係數，答案是

\frac{1}{4} π

）

第 12 題

0.02

（比值約

0.01502

，離捨入界線很近；

π

取

3.14

會算成

0.01

）

第 13 題

14 π

（依本站推定的讀法；若原卷是

3 π \leq x \leq 5 π

、

sin 2 x = \frac{1}{3}

，答案是

15 π

）

第 14 題

109

第 15 題

\frac{13}{9} π

第 16 題

- \frac{1}{3} π

第 17 題

\frac{11}{5}

（依本站推定的讀法；若原卷是

b^{2} - 4 a^{2}

，答案是

- \frac{4}{5}

）

第 18 題

\frac{100}{3} π

（附圖是本站重畫的示意圖）

第 19 題

\frac{2500}{3} π + 12503

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1 題）：弧度制下比大小

第 1 題答案 (4)。把四個數都寫成

0

到

π

之間某個角的餘弦。

a = cos 1

、

b = cos 3

已經是；

c = cos (4 - π)

，其中

4 - π \approx 0.86

。再看

d

：

\frac{19}{2} π = 8 π + \frac{3}{2} π

，所以

d = sin (\frac{3}{2} π + 1) = - cos 1 = cos (π - 1)

，其中

π - 1 \approx 2.14

。餘弦函數在

0

到

π

之間遞減，而

4 - π < 1 < π - 1 < 3

，所以

cos (4 - π) > cos 1 > cos (π - 1) > cos 3

，即

c > a > d > b

。

這裡的

1

、

3

、

4

都是弧度，

1

弧度約

57. 3^{\circ}

。原檔

c

、

d

兩式的零件散開，本站讀作

c = cos (4 - π)

、

d = sin (\frac{19}{2} π + 1)

；

c

若讀成

- cos 4

，值與

cos (4 - π)

相同，答案不變。照這個讀法，五個選項裡恰有 (4) 成立。

02多選題（第 2、3 題）：和的平方與半角、同角與不同角的極值

2 (1)錯誤。把

sin α + cos α = \frac{1}{5}

兩邊平方：

1 + 2 sin α cos α = \frac{1}{25}

，所以

sin 2 α = 2 sin α cos α = - \frac{24}{25}

。

- \frac{12}{25}

是

sin α cos α

的值，少乘了

2

。

2 (2)正確。

(sin α - cos α)^{2} = 1 - 2 sin α cos α = 1 + \frac{24}{25} = \frac{49}{25}

。

α

在第四象限，

sin α < 0

、

cos α > 0

，所以

sin α - cos α < 0

，得

sin α - cos α = - \frac{7}{5}

。

2 (3)錯誤。

sin α + cos α = \frac{1}{5}

與

sin α - cos α = - \frac{7}{5}

相加、相減，得

sin α = - \frac{3}{5}

、

cos α = \frac{4}{5}

，不是

\frac{3}{5}

。

2 (4)正確。分子分母同乘

2 cos \frac{α}{2}

：

tan \frac{α}{2} = \frac{2 sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2}}{2 cos ^{2} \frac{α}{2}} = \frac{sin α}{1 + cos α}

（倍角公式）。代入得

\frac{- \frac{3}{5}}{1 + \frac{4}{5}} = - \frac{1}{3}

。

也可以用半角公式：

tan^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 - cos α}{1 + cos α} = \frac{1}{9}

，而

\frac{3}{4} π < \frac{α}{2} < π

在第二象限，正切為負。

2 (5)錯誤。用差角公式：

sin (\frac{3}{2} π - α) = sin \frac{3}{2} π cos α - cos \frac{3}{2} π sin α = - cos α = - \frac{4}{5}

，差一個負號。

原檔這個選項的算式走樣，看得出的零件是

sin

、

\frac{3}{2} π

、

α

、一個減號與

\frac{4}{5}

，括號內兩項誰在前無法確定。本站採

\frac{3}{2} π - α

；如果原卷是

sin (α - \frac{3}{2} π)

，它的值是

cos α = \frac{4}{5}

，這個選項就會是正確的，本題答案要改成 (2)(4)(5)。

3 (1)正確。

α

、

β

是兩個互不相干的角。

4 sin α \leq 4

、

3 cos β \leq 3

，所以和不超過

7

；取

α = \frac{π}{2}

、

β = 0

時兩個等號同時成立，最大值是

7

。

3 (2)錯誤。取

α = - \frac{π}{2}

、

β = π

，得

- 4 - 3 = - 7

，比

- 5

還小；最小值是

- 7

。

3 (3)錯誤。這裡正弦與餘弦是同一個角

2 α

，要用疊合：

4 sin 2 α + 3 cos 2 α = 5 (\frac{4}{5} sin 2 α + \frac{3}{5} cos 2 α) = 5 sin (2 α + φ)

，其中

cos φ = \frac{4}{5}

、

sin φ = \frac{3}{5}

。最大值是

5

，到不了

7

（

sin 2 α

與

cos 2 α

不可能同時是

1

）。

3 (4)正確。承 (3)，

5 sin (2 α + φ)

的最小值是

- 5

，在

2 α + φ = \frac{3}{2} π

時取到。

3 (5)正確。令

t = 2 α - 2 0^{\circ}

，

α

取遍實數時

t

也取遍所有角度。

4 sin t + 3 cos t = 5 sin (t + φ)

的值可以是

- 5

到

5

之間的任何數，

- 3.5

在這個範圍內，所以有可能。

第 3 題的重點：兩個角不同時各自取極值再相加；同一個角時要先疊合，振幅是

4^{2} + 3^{2} = 5

。

03多選題（第 4、5 題）：解的個數、平移與伸縮

4 (1)正確。畫出

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{10}

數交點。

x = 0

是一個解。看

x > 0

：直線在

x = 10

時高度是

1

，之後超過

1

，不會再有交點，而

3 π \approx 9.42 < 10

。在

0 < x < π

這一拱，

x = \frac{π}{2}

時曲線高

1

、直線高約

0.16

，

x = π

時曲線回到

0

、直線高約

0.31

，交

1

次；在

2 π < x < 3 π

這一拱，兩端曲線是

0

、在直線下方，拱頂

x = \frac{5}{2} π

時曲線高

1

、直線高約

0.79

，交

2

次；其餘的

x

上

sin x \leq 0

，在直線下方。所以正的解有

3

個。兩個圖形都對稱於原點，負的解也是

3

個，一共

7

個，是奇數。

4 (2)錯誤。畫出

y = cos x

與直線

y = \frac{x}{4 π}

。直線在

x = 4 π

時高度是

1

、在

x = - 4 π

時是

- 1

，交點只會在

- 4 π \leq x \leq 4 π

。

x > 0

：

0 < x < \frac{π}{2}

曲線由

1

降到

0

、直線由

0

升到

0.125

，交

1

次；

\frac{3}{2} π < x < \frac{5}{2} π

這一拱兩端曲線是

0

、在直線下方，拱頂

x = 2 π

時曲線高

1

、直線高

0.5

，交

2

次；

\frac{7}{2} π < x \leq 4 π

曲線由

0

升到

1

，

x = 4 π

時兩者都是

1

，是一個交點，在它之前曲線先由下方穿到直線上方（

x = 3.9 π

時曲線約

0.951

、直線

0.975

；

x = 3.99 π

時曲線約

0.9995

、直線

0.9975

），再交

1

次。正的解共

5

個。

x < 0

：直線是負的，只看

cos x < 0

的兩個谷。

- \frac{3}{2} π < x < - \frac{π}{2}

兩端曲線是

0

、在直線上方，谷底

x = - π

時曲線是

- 1

、直線是

- 0.25

，交

2

次；

- \frac{7}{2} π < x < - \frac{5}{2} π

同理（谷底

x = - 3 π

時直線是

- 0.75

），交

2

次；

x = - 4 π

時曲線是

1

、直線是

- 1

，不是交點。負的解共

4

個。一共

9

個，是奇數，不是偶數。

餘弦的圖形對稱於

y

軸，直線對稱於原點，左右兩邊的交點個數不必相同，這一個選項只能老實數。原檔此式走樣，本站讀作

cos x = \frac{x}{4 π}

；

π

若在分子（

cos x = \frac{π x}{4}

）則只有

1

個解，仍是奇數，這個選項一樣是錯誤的。

4 (3)正確。

y = sin (π x)

與

y = \frac{x}{10 π}

的圖形都通過原點，也都對稱於原點：

x = t

是解時

x = - t

也是解。

∣ x ∣ > 10 π

時直線的高度超出

- 1

到

1

，沒有解，所以解的個數有限；不是

0

的解兩兩成對，再加上

x = 0

，總數一定是奇數。

實際去數：

x > 0

時，

0 < x < 1

這一拱交

1

次，

2 < x < 3

、

4 < x < 5

、…、

30 < x < 31

這

15

拱各交

2

次，共

31

個正解，全部是

63

個。原檔此式走樣，

π

在等號右邊的位置無法確定；只要兩邊都是對稱於原點的圖形，結論都是奇數個。

4 (4)錯誤。與 (3) 同理，

y = sin (π x)

與

y = \frac{x}{10}

都通過原點且對稱於原點，交點個數是奇數。實際去數：

x > 0

時直線在

x = 10

才升到

1

，

0 < x < 1

交

1

次，

2 < x < 3

、

4 < x < 5

、

6 < x < 7

、

8 < x < 9

各交

2

次，共

9

個；全部是

9 + 9 + 1 = 19

個。

4 (5)正確。與 (3) 同理，交點個數是奇數。實際去數：直線在

x = 10 π

才升到

1

（那裡

sin x = 0

），

0 < x < π

交

1

次，

2 π < x < 3 π

、

4 π < x < 5 π

、

6 π < x < 7 π

、

8 π < x < 9 π

各交

2

次，共

9

個正的交點；全部是

19

個。

5 (1)錯誤。向右平移

2

是把

x

換成

x - 2

，得到

y = sin (x - 2)

。

y = sin (x + 2)

是向左平移

2

。

5 (2)錯誤。先向右平移

2

：

y = sin (x - 2)

。再以

y

軸為中心水平伸縮

2

倍：把

x

換成

\frac{x}{2}

，得到

y = sin (\frac{x}{2} - 2)

，不是

y = sin (2 x - 2)

。

要得到

y = sin (2 x - 2)

，第二步應該是水平伸縮

\frac{1}{2}

倍（把

x

換成

2 x

）。原檔 (2)(3) 的函數式零件是

sin

、兩個

2

、一個減號與一對括號，本站讀作

sin (2 x - 2)

；若是

sin 2 (x - 2)

，這兩個選項照樣不成立。另外，本頁照字面把「水平方向伸縮

2

倍」當成圖形橫向拉寬為

2

倍；如果出題時是把它當成「把

x

換成

2 x

」，(2) 就會成立，本題答案會是 (2)(4)。

5 (3)錯誤。先水平伸縮

2

倍：

y = sin \frac{x}{2}

。再向右平移

2

：把

x

換成

x - 2

，得到

y = sin \frac{x - 2}{2} = sin (\frac{x}{2} - 1)

，不是

y = sin (2 x - 2)

。

5 (4)正確。以

x

軸為中心鉛直伸縮

2

倍：

y = 2 sin x

。再向下平移

3

：

y = 2 sin x - 3

。

5 (5)錯誤。先向下平移

3

：

y = sin x - 3

。再鉛直伸縮

2

倍，整個函數值乘以

2

：

y = 2 (sin x - 3) = 2 sin x - 6

，常數項也跟著放大了。

平移與伸縮的順序不能對調：水平方向每一步都只對

x

本身代換，鉛直方向每一步都作用在整個函數值上。

04選填 A～E（第 6～10 題）：差角、倍角、和角與半角公式的幾何應用

第 6 題設

∠ C A B = α

、

∠ E A D = β

，所求

∠ C A E = α - β

。直角三角形

A B C

中

tan α = \frac{3}{4}

；

\overline{A D} = 4 + 3 = 7

、

\overline{D E} = 3

，直角三角形

A D E

中

tan β = \frac{3}{7}

。由正切的差角公式，

tan (α - β) = \frac{\frac{3}{4} - \frac{3}{7}}{1 + \frac{3}{4} \times \frac{3}{7}} = \frac{\frac{9}{28}}{\frac{37}{28}} = \frac{9}{37} \approx 0.2432

。對照三角函數值：

tan 13. 5^{\circ} \approx 0.2401

、

tan 1 4^{\circ} \approx 0.2493

，所以這個角介於

13. 5^{\circ}

與

1 4^{\circ}

之間，四捨五入是

14

度。

這一題與選填 I 最後都要把三角函數值換回角度，需要三角函數值的對照表或計算機；本站取得的檔案裡沒有看到附表。附圖的邊長比例刻意不照

4 : 3

，不能用量的。

第 7 題兩角的終邊對稱於

y

軸，表示

β

與

π - α

是同界角，

β = π - α + 2 k π

（

k

為整數）。所以

α - β = 2 α - π - 2 k π

，

cos (α - β) = cos (2 α - π) = - cos 2 α = - (1 - 2 sin^{2} α) = - (1 - \frac{2}{9}) = - \frac{7}{9}

。答案格式的 (8) 是負號、(9) 是

7

、(10) 是

9

。

也可以直接用差角公式：對稱於

y

軸時

sin β = sin α

、

cos β = - cos α

，

cos (α - β) = - cos^{2} α + sin^{2} α = - \frac{8}{9} + \frac{1}{9}

。

第 8 題

P

在弧上，

\overline{O P} = 14

。直角三角形

O P Q

中

sin ∠ P O A = \frac{13}{14}

，

\overline{O Q} = 1 4^{2} - 1 3^{2} = 33

，

cos ∠ P O A = \frac{3 3}{14}

；直角三角形

O P R

中

sin ∠ P O B = \frac{11}{14}

，

\overline{O R} = 1 4^{2} - 1 1^{2} = 53

，

cos ∠ P O B = \frac{5 3}{14}

。

θ = ∠ P O A + ∠ P O B

，由和角公式

cos θ = \frac{3 3}{14} \times \frac{5 3}{14} - \frac{13}{14} \times \frac{11}{14} = \frac{45 - 143}{196} = - \frac{1}{2}

。在三角形

O QR

用餘弦定理：

\overline{QR}^{2} = (33)^{2} + (53)^{2} - 2 \times 33 \times 53 \times (- \frac{1}{2}) = 27 + 75 + 45 = 147

，所以

\overline{QR} = 73

。

由

cos θ = - \frac{1}{2}

知道圓心角其實是

12 0^{\circ}

。附圖是本站重畫的示意圖（原檔的圖遺失），圓心角與

P

的位置刻意不照實際大小畫。

第 9 題

A

、

B

都是三角形的內角。

cos A = \frac{4}{5}

，

sin A = \frac{3}{5}

；

tan B = \frac{5}{12}

，

B

是銳角，

sin B = \frac{5}{13}

、

cos B = \frac{12}{13}

。

sin C = sin (A + B) = \frac{3}{5} \times \frac{12}{13} + \frac{4}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{56}{65}

。由正弦定理，三邊比

a : b : c = sin A : sin B : sin C = \frac{39}{65} : \frac{25}{65} : \frac{56}{65} = 39 : 25 : 56

，而

39 + 25 + 56 = 120

正好是周長，所以

a = 39

、

b = 25

、

c = 56

。面積

= \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} \times 25 \times 56 \times \frac{3}{5} = 420

。

sin C

用的是

C = 18 0^{\circ} - (A + B)

，

sin C = sin (A + B)

。原檔兩個條件的零件散開，本站依殘存順序配成

cos A

與

tan B

；兩個角對調的話三角形只是換了頂點的名字，面積一樣是

420

。

第 10 題

C

在以

\overline{A B}

為直徑的半圓上，

∠ A C B = 9 0^{\circ}

，所以

cos B = \frac{3}{4}

、

\overline{A C} = 4^{2} - 3^{2} = 7

。

\overline{B D}

平分

∠ A B C

，記

∠ A B D = ∠ D B C = \frac{B}{2}

。半角公式：

sin^{2} \frac{B}{2} = \frac{1 - cos B}{2} = \frac{1}{8}

、

cos^{2} \frac{B}{2} = \frac{1 + cos B}{2} = \frac{7}{8}

。

D

也在半圓上，

∠ A D B = 9 0^{\circ}

，直角三角形

A B D

中

\overline{A D} = 4 sin \frac{B}{2} = 2

、

\overline{B D} = 4 cos \frac{B}{2} = 14

。四邊形

A B C D

被對角線

\overline{B D}

分成兩個三角形：三角形

A B D

的面積

= \frac{1}{2} \times 2 \times 14 = 7

；三角形

B C D

的面積

= \frac{1}{2} \times \overline{B C} \times \overline{B D} \times sin \frac{B}{2} = \frac{1}{2} \times 3 \times 14 \times \frac{1}{2 2} = \frac{3 7}{4}

。合計

7 + \frac{3 7}{4} = \frac{7 7}{4}

。

原檔的圖遺失，附圖是本站重畫的示意圖；題目沒有明寫

C

的位置，本站依「交半圓於

D

」與答案格式判斷

C

在半圓上，算出的

\frac{7 7}{4}

正好符合三格的格式。

05選填 F～I（第 11～14 題）：週期、扇形、圖形的對稱、倍角方程式

第 11 題

y = sin (a x + 2) - 3 π

的週期是

\frac{2 π}{a}

（常數

2

與

- 3 π

只是平移，不影響週期）。圖形向右平移

4

單位後與原圖形重合，表示

4

是週期的正整數倍：

4 = k \times \frac{2 π}{a}

，

a = \frac{k π}{2}

（

k

為正整數）。

k = 1

時最小，

a = \frac{1}{2} π

。

不是「週期等於

4

」才行，週期是

2

、

\frac{4}{3}

、

1

時平移

4

也會重合，但那些對應的

a

比較大。原檔這個函數式的零件是

sin

、

2

、

3

、一對空括號與括號後的

π

，本站讀作

y = sin (a x + 2) - 3 π

，常數不影響週期；若

2

是乘在

a x

前面的係數（例如

y = sin (2 a x + 3) - π

），週期變成

\frac{π}{a}

，

4 = k \times \frac{π}{a}

，最小的

a

是

\frac{1}{4} π

，同樣符合 (19)、(20) 兩格。

第 12 題設圓半徑

r

、扇形圓心角

θ

弳。扇形周長是兩條半徑加弧長：

2 r + r θ = \frac{1}{3} \times 2 π r

，所以

θ = \frac{2 π}{3} - 2

。面積的比值

= \frac{\frac{1}{2} r ^{2} θ}{π r ^{2}} = \frac{θ}{2 π} = \frac{1}{3} - \frac{1}{π} \approx 0.33333 - 0.31831 = 0.01502

，四捨五入到小數點後第二位是

0.02

。

這個值離

0.015

非常近：

π

只取

3.14

會算出

0.0149

而誤捨成

0.01

，至少要取到

3.1416

。原檔這個分數的分子分母併在一起，本站讀作

\frac{1}{3}

。

第 13 題畫出

y = sin x

與水平線

y = \frac{1}{3}

。在

\frac{3}{2} π \leq x \leq 5 π

內，

sin x

為正的區間是

2 π < x < 3 π

與

4 π < x < 5 π

兩拱，每一拱與水平線交

2

點。同一拱的兩個交點對稱於拱頂：第一拱對稱於

x = \frac{5}{2} π

，兩根的和是

5 π

；第二拱對稱於

x = \frac{9}{2} π

，兩根的和是

9 π

。所有實數解的總和是

5 π + 9 π = 14 π

。

原檔的範圍走樣，看得出的零件是

3

、

5

、兩個

π

、兩個

\leq

與一個

2

；本站讀作

\frac{3}{2} π \leq x \leq 5 π

，總和是兩位數乘以

π

，符合 (24)(25) 兩格。若把那個

2

讀進方程式（

3 π \leq x \leq 5 π

、

sin 2 x = \frac{1}{3}

），總和會是

15 π

。

第 14 題用倍角公式

cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1

：

3 (2 cos^{2} x - 1) - 7 cos x = 0

，

6 cos^{2} x - 7 cos x - 3 = 0

，

(2 cos x - 3) (3 cos x + 1) = 0

。

cos x = \frac{3}{2}

超過

1

，不合，所以

cos x = - \frac{1}{3}

，

x

是鈍角，

cos (18 0^{\circ} - x) = \frac{1}{3} \approx 0.3333

。對照三角函數值：

cos 70. 5^{\circ} \approx 0.3338

、

cos 7 1^{\circ} \approx 0.3256

，所以

18 0^{\circ} - x

介於

70. 5^{\circ}

與

7 1^{\circ}

之間，

x

介於

10 9^{\circ}

與

109. 5^{\circ}

之間，四捨五入是

109

度。

0 < x < π

內餘弦值等於

- \frac{1}{3}

的角只有一個。

06選填 J～L（第 15～17 題）：正餘弦的疊合

第 15 題左邊疊合：

3 cos x + sin x = 2 (sin x cos 6 0^{\circ} + cos x sin 6 0^{\circ}) = 2 sin (x + 6 0^{\circ})

。右邊：

202 0^{\circ} = 5 \times 36 0^{\circ} + 22 0^{\circ}

，

sin 202 0^{\circ} = sin 22 0^{\circ}

。所以

sin (x + 6 0^{\circ}) = sin 22 0^{\circ}

。

18 0^{\circ} < x < 27 0^{\circ}

時

24 0^{\circ} < x + 6 0^{\circ} < 33 0^{\circ}

；一圈內正弦值與

sin 22 0^{\circ}

相等的角是

22 0^{\circ}

與

18 0^{\circ} - 22 0^{\circ} + 36 0^{\circ} = 32 0^{\circ}

，只有

32 0^{\circ}

在範圍內。

x + 6 0^{\circ} = 32 0^{\circ}

，

x = 26 0^{\circ} = \frac{13}{9} π

。

22 0^{\circ}

對應

x = 16 0^{\circ}

，不在

π

到

\frac{3}{2} π

之間，要捨去。原檔的根號變成黑色方塊，補上

3

後答案

\frac{13}{9} π

正好符合「兩格分子、一格分母」的格式。

第 16 題疊合：

3 sin 2 x - cos 2 x = 2 (sin 2 x cos \frac{π}{6} - cos 2 x sin \frac{π}{6}) = 2 sin (2 x - \frac{π}{6})

。原式成為

2 sin (2 x - \frac{π}{6}) + 1 = 0

，

sin (2 x - \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}

。

- \frac{π}{2} < x < 0

時

- \frac{7}{6} π < 2 x - \frac{π}{6} < - \frac{π}{6}

，這個範圍內正弦值是

- \frac{1}{2}

的角只有

- \frac{5}{6} π

。

2 x - \frac{π}{6} = - \frac{5}{6} π

，

x = - \frac{1}{3} π

。

兩個端點

- \frac{7}{6} π

與

- \frac{π}{6}

都不包含在內（

- \frac{π}{6}

的正弦值也是

- \frac{1}{2}

，但它對應

x = 0

，不在範圍內）。答案格式的 (32) 是負號。

第 17 題疊合：

f (x) = 5 (\frac{3}{5} sin x + \frac{4}{5} cos x) = 5 sin (x + φ)

，其中

cos φ = \frac{3}{5}

、

sin φ = \frac{4}{5}

，

φ

是銳角。

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

時

x + φ

可以取到

\frac{π}{2}

（這時

x = \frac{π}{2} - φ

在範圍內），

f (x)

有最大值

5

。此時

a = sin x = sin (\frac{π}{2} - φ) = cos φ = \frac{3}{5}

，

b = cos x = sin φ = \frac{4}{5}

。所以

4 b^{2} - a^{2} = \frac{64}{25} - \frac{9}{25} = \frac{55}{25} = \frac{11}{5}

。

最大值發生時

sin x

、

cos x

正好與係數

3

、

4

成比例：

sin x : cos x = 3 : 4

。原檔這一式的零件散開，看得出的是兩個平方、

4

、

b

、

a

與一個減號，

4

乘在

b^{2}

還是

a^{2}

無法確定。本站讀作

4 b^{2} - a^{2}

；若原卷是

b^{2} - 4 a^{2}

，值是

\frac{16}{25} - \frac{36}{25} = - \frac{4}{5}

，(35) 是負號、(36) 是

4

、(37) 是

5

，同樣符合格式。

疊合之後一定要回頭對照角度的範圍：先把

x

的範圍換成疊合後那個角的範圍，再挑出落在裡面的解。

07混合題（第 18、19 題）：圓周角、扇形與疊合求最大面積

第 18 題設探照燈在牆上的

L

點，光線的兩條邊界分別交牆面於

A

、

B

，圓心為

O

。

∠ A L B = \frac{π}{3}

是圓周角，它所對的弧

A B

的圓心角是

2 \times \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

。弧長

= 50 \times \frac{2 π}{3} = \frac{100}{3} π

（m）。

不論探照燈朝哪個方向照，被照到的弧長都一樣。原檔的圖遺失，附圖是本站重畫的示意圖。

第 19 題承上題的記號。弧

A B

的圓心角固定是

\frac{2 π}{3}

，扇形

O A B

的面積固定是

\frac{1}{2} \times 5 0^{2} \times \frac{2 π}{3} = \frac{2500}{3} π

。圓心在光線區域內時，被照到的區域

=

扇形

O A B

+

三角形

O L A

+

三角形

O L B

。設

∠ L O A = α

、

∠ L O B = β

，則

α + β = 2 π - \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{3}

，兩個三角形的面積和

= \frac{1}{2} \times 5 0^{2} (sin α + sin β) = 1250 [sin α + sin (\frac{4 π}{3} - α)]

。由差角公式

sin (\frac{4 π}{3} - α) = - \frac{3}{2} cos α + \frac{1}{2} sin α

，所以

sin α + sin β = \frac{3}{2} sin α - \frac{3}{2} cos α = 3 sin (α - \frac{π}{6})

，在

α = \frac{2 π}{3}

（此時

β = \frac{2 π}{3}

）時有最大值

3

。面積最大為

\frac{2500}{3} π + 12503

（平方公尺），約

4783

。

最大值發生在

α = β

，也就是光線區域對稱於通過探照燈的直徑時。圓心不在光線區域內時（

α

或

β

超過

π

），其中一個三角形要改成扣掉，而那個角的正弦值正好是負的，面積仍然是

\frac{2500}{3} π + 1250 (sin α + sin β)

，所以上面的最大值對所有方向都成立。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

高師大附中 109 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高師大附中 109 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 4 題要用圖形數解的個數：正弦曲線與通過原點的直線都對稱於原點，解一定是奇數個，但餘弦那個選項沒有這種對稱，得把正負兩邊分開數，還要注意直線碰到高度 1 的那一點。選填 C（本頁第 8 題）要先用和角公式求出圓心角的餘弦值，再用餘弦定理。選填 G（第 12 題）的比值非常接近 0.015，圓周率取得不夠準就會捨入錯誤。混合題第 2 小題（第 19 題）要把面積拆成固定的扇形與兩個三角形，再用疊合求最大值。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高師大附中 109 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高師大附中 109 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題（第 1 題）：弧度制下比大小

02多選題（第 2、3 題）：和的平方與半角、同角與不同角的極值

03多選題（第 4、5 題）：解的個數、平移與伸縮

04選填 A～E（第 6～10 題）：差角、倍角、和角與半角公式的幾何應用

05選填 F～I（第 11～14 題）：週期、扇形、圖形的對稱、倍角方程式

06選填 J～L（第 15～17 題）：正餘弦的疊合

07混合題（第 18、19 題）：圓周角、扇形與疊合求最大面積

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常見問題

高師大附中 109 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

高師大附中 109 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

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高師大附中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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