段考詳解範圍：弧度量、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期、週期性現象的數學模型

高雄新興高中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 高雄新興高中 109 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 高雄新興高中 109 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題沒有度的記號的 2、3 都是弧度，要拿它們和六分之五圓周率這類特別角比大小；第 7 題要把圓錐側面攤開成扇形，最短路徑是扇形上的直線段；第 12 題別漏掉靠近正負圓周率的那兩段；第 14 題要看清楚範圍裡正弦值為正的區間有幾個；第 15 題的一片是切開後的一片，兩種披薩切的片數不同。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 2 題（每題 6 分，共 12 分）、多重選擇題 2 題（每題 6 分，共 12 分）、填充題 10 題（依配分表給分，共 58 分）、計算素養題 2 題共 4 小題（共 18 分），合計 100 分。填充題的配分表：答對題數 1～10 依序得 8、16、24、30、36、42、46、50、54、58 分。原卷四大題各自從 1 編號，本頁全卷連續編號：第 3、4 題為原卷多重選擇第 1、2 題，第 5～14 題為原卷填充第 1～10 題，第 15、16 題為原卷計算第 1 題的 (1)(2)（配分 2 分、6 分），第 17、18 題為原卷計算第 2 題的 (1)(2)（配分 2 分、8 分）。填充題卷面的圖 1～圖 3 印在題目上方，本頁排在各題下方。卷頭沒有印學期，依來源的編號判定為上學期。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題：（每題 6 分，共 12 分）

2 cos (\frac{7}{4} π) + sin (\frac{3 π}{2}) - sin (- \frac{π}{3}) =

(A) $0$
(B) $\frac{- 1}{2}$
(C) $\frac{1}{2}$
(D) $\frac{3}{2}$
(E) $\frac{5}{2}$

坐標平面上，點

(sin 4, tan 8)

在第幾象限內？

(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(E) 坐標軸上

二、多重選擇題：（每題 6 分，共 12 分，答錯 1 個選項給 4 分，答錯 2 個選項給 2 分，答錯 3 個以上不給分）

關於三角函數的敘述下列哪些正確？

(A) $sin 2 > 0$
(B) $cos 3 > 0$
(C) $sin 3 < sin 2$
(D) $∣ cos 3∣ > \frac{1}{2}$
(E) $∣ sin 3∣ < ∣ cos 3∣$

一個彈簧振子的位移量滿足函數

h (t) = \frac{1}{4} sin (120 π t)

公分，則

(A) 振幅 $= \frac{1}{2}$
(B) 週期 $= \frac{1}{60}$
(C) 週期 $= 60$
(D) 頻率 $= 60$
(E) 此位移量最大值為 $\frac{1}{4}$

三、填充題：（依配分表給分，共 58 分）

- 7 5^{\circ} = A

弧度，

\frac{5}{24} π = B

度，數對

(A, B) =

____。

鐘錶行擺放展示的時鐘或手錶最喜歡將時間調為

10

點

10

分，此時時針與分針的銳夾角換算成弧度

=

____。

如上圖 1，直圓錐底圓的直徑

\overline{B C} = 4

，且

\overline{A B} = 12

，若一隻螞蟻由

C

點沿錐面繞一圈到

D

點，已知

\overline{A D} = 6

，求這隻螞蟻所走的最短路徑長為 ____。

載入中...

如上圖 2，正方形

A B C D

邊長為

6

，分別以

A

、

B

為圓心，

6

為半徑作弧

A C

與弧

B D

交於

O

點，試求

A O B

區域面積

=

____。

載入中...

函數

y = f (x) = sin x 鉛直 伸縮 \frac{1}{2} 倍 g (x) 下移 2 h (x)

，請寫出

h (x) =

____。

將

y = sin x

的圖形先沿水平方向伸縮為原來的

\frac{1}{2}

倍，再往左平移

\frac{π}{6}

後，得到的圖形為

y = sin (a x + b)

，則數對

(a, b) =

____。

上圖 3 為函數

y = a sin (x + b) + c

之部分圖形，且

a > 0

，

- π \leq b \leq π

，則數對

(b, c) =

____。

載入中...

設

- π \leq x \leq π

，不等式

- 1 \leq 2 sin x \leq 1

的解為 ____。

方程式

sin x = \frac{x}{π}

有 ____ 個實根。

設

- 7 \leq x \leq 5

，則

3 sin x = 2

有 ____ 個實數解。

四、計算素養題：（依配分，兩題共 18 分）

第 15～16 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 15～16 題）　披薩(PIZZA)是全世界最受歡迎的食物之一，尤其是在美國。在美國一共有

6

萬

9

千家披薩店，每年一共會烤出

30

億份披薩，美國人平均每天會吃掉

100

英畝的披薩。披薩的尺寸指的是直徑大小，全球統一，分為

10

吋(

6

片)、

12

吋(

8

片)以及

14

吋(

8

片)，不過為了迎合顧客需求，各種尺寸的披薩也都有店家販售。請問：

(1) 一片

12

吋的披薩面積比一片

10

吋的披薩大多少平方吋？（2 分）

(2) 仙道想買一個

5

吋的披薩，售價

200

元，但是店家只剩

3

吋的披薩，售價

100

元，老闆說：「賣你兩個

3

吋的披薩，剛好也是

200

元，你還多賺

1

吋呢！」你覺得老闆這樣說是對的嗎？（2 分）為什麼？（4 分）

第 17～18 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 17～18 題）　探痣郎與妹妹迷痘子發現敵人「十二鬼月」的動向與月球亮面大小有關，決定觀察月球亮面的比例，遂在連續幾十天的每天夜晚同一時間拍攝月球，並計算月球亮面的比例，最後擬合所得的資料，繪製圖形如下圖。迷痘子發現可用正弦函數

y = a sin (b x - c) + d

（其中

a > 0

，

b > 0

，

0 \leq c \leq \frac{π}{2}

）來描述所觀察的資料，請問：

(1) 此函數的週期是 ____（2 分）

載入中...

(2)

a

、

b

、

c

、

d

的值分別是多少？（8 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(C)

第 3 題(A)(C)(D)(E)

第 4 題(B)(D)(E)

第 5 題

(- \frac{5}{12} π, \frac{75}{2})

第 6 題

\frac{23}{36} π

（即

11 5^{\circ}

；兩針的夾角是鈍角，卷面印作「銳夾角」，見詳解）

第 7 題

63

第 8 題

12 π - 93

（若只算三角形 AOB 是

93

，見詳解）

第 9 題

\frac{1}{2} sin x - 2

第 10 題

(2, \frac{π}{3})

（照題目作法得到的一組，其他寫法見詳解）

第 11 題

(- \frac{π}{2}, 1)

第 12 題

- π \leq x \leq - \frac{5 π}{6}

或

- \frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6} \leq x \leq π

第 13 題

3

第 14 題

4

第 15 題

\frac{π}{3}

平方吋（一片指切開後的一片；若讀成整個披薩則是

11 π

平方吋，見詳解）

第 16 題不對。兩個

3

吋披薩的面積合計

\frac{9}{2} π

平方吋，比一個

5

吋披薩的

\frac{25}{4} π

平方吋小

第 17 題

28

（日）

第 18 題

a = \frac{1}{2}

，

b = \frac{π}{14}

，

c = \frac{3 π}{14}

，

d = \frac{1}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：弧度特別角的函數值、弧度角所在的象限

第 1 題答案 (D)。逐項算：

\frac{7}{4} π = 31 5^{\circ}

是第四象限角，參考角

4 5^{\circ}

，

cos \frac{7}{4} π = \frac{2}{2}

，所以

2 cos \frac{7}{4} π = 2 \times \frac{2}{2} = 1

。

\frac{3 π}{2} = 27 0^{\circ}

，

sin \frac{3 π}{2} = - 1

。

- \frac{π}{3} = - 6 0^{\circ}

是第四象限角，

sin (- \frac{π}{3}) = - \frac{3}{2}

。原式

= 1 + (- 1) - (- \frac{3}{2}) = \frac{3}{2}

。

最後一項是「減去負的」，會變成加。

第 2 題答案 (C)。沒有寫「°」的角都是弧度。

4

介於

π \approx 3.14

與

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

之間，是第三象限角，

sin 4 < 0

。

8

減去一圈

2 π \approx 6.28

剩下約

1.72

，介於

\frac{π}{2} \approx 1.57

與

π \approx 3.14

之間，是第二象限角，正切為負，

tan 8 < 0

。

x

坐標與

y

坐標都是負的，點在第三象限。

數值約為

(- 0.757, - 6.800)

。

判斷弧度角的象限，就拿它和

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

2 π \approx 6.28

比；超過一圈先減

2 π

。

02多重選擇第 1、2 題（本頁第 3、4 題）：弧度角比大小、彈簧振子

第 3 題答案 (A)(C)(D)(E)。先定位：

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

\frac{2 π}{3} \approx 2.09

、

\frac{5 π}{6} \approx 2.62

、

π \approx 3.14

，所以

\frac{π}{2} < 2 < \frac{2 π}{3}

，

\frac{5 π}{6} < 3 < π

，

2

與

3

都是第二象限角。在第二象限，角愈大，正弦值愈小（由

1

降到

0

），餘弦值也愈小（由

0

降到

- 1

）。因此

sin 2 > sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}

，

0 < sin 3 < sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

，

cos 3 < cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}

。 (A) 正確。 第二象限角的正弦為正。 (B) 錯誤。 第二象限角的餘弦為負，

cos 3 < 0

。 (C) 正確。

sin 3 < \frac{1}{2} < \frac{3}{2} < sin 2

。 (D) 正確。

cos 3 < - \frac{3}{2}

，所以

∣ cos 3∣ > \frac{3}{2} > \frac{1}{2}

。 (E) 正確。

∣ sin 3∣ < \frac{1}{2}

而

∣ cos 3∣ > \frac{3}{2}

，所以

∣ sin 3∣ < ∣ cos 3∣

。

數值約為

sin 2 \approx 0.909

、

sin 3 \approx 0.141

、

cos 3 \approx - 0.990

。

3

弳很接近

π

，所以正弦接近

0

、餘弦接近

- 1

。

第 4 題答案 (B)(D)(E)。

h (t) = \frac{1}{4} sin (120 π t)

。 (A) 錯誤。 振幅是

sin

前面的係數

\frac{1}{4}

，不是

\frac{1}{2}

。 (B) 正確。 週期

= \frac{2 π}{120 π} = \frac{1}{60}

。 (C) 錯誤。 週期是

\frac{1}{60}

，

60

是頻率。 (D) 正確。 頻率是週期的倒數，等於

60

。 (E) 正確。

sin (120 π t)

最大是

1

，位移量最大值是

\frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{4}

。

y = a sin b t

（

a > 0

、

b > 0

）的振幅是

a

、週期是

\frac{2 π}{b}

、頻率是

\frac{b}{2 π}

。選項 (A) 的

\frac{1}{2}

是最大值與最小值的差。

弧度角比大小，先找出它夾在哪兩個特別角之間；振幅看

sin

前面的係數，週期看變數前面的係數。

03填充第 1、2 題（本頁第 5、6 題）：度與弧度互換、時鐘

第 5 題

18 0^{\circ} = π

弧度。

- 7 5^{\circ} = - 75 \times \frac{π}{180} = - \frac{5}{12} π

，所以

A = - \frac{5}{12} π

。

\frac{5}{24} π = \frac{5}{24} \times 18 0^{\circ} = 37. 5^{\circ}

，所以

B = \frac{75}{2}

。數對

(A, B) = (- \frac{5}{12} π, \frac{75}{2})

。

B

寫成

37.5

也可以。

第 6 題從

12

的位置順時針量：分針在

10

分，指著

2

，位置是

6 0^{\circ}

。時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

10

點

10

分時的位置是

10 \times 3 0^{\circ} + 10 \times 0. 5^{\circ} = 30 5^{\circ}

。兩針相差

30 5^{\circ} - 6 0^{\circ} = 24 5^{\circ}

，取較小的那一側：

36 0^{\circ} - 24 5^{\circ} = 11 5^{\circ}

。換成弧度是

115 \times \frac{π}{180} = \frac{23}{36} π

。

卷面寫「銳夾角」，但

10

點

10

分時兩針的夾角

11 5^{\circ}

是鈍角，這裡照題幹的時刻算出兩針的夾角（較小的那一個）。若把兩針看成兩條直線，直線所夾的銳角是

18 0^{\circ} - 11 5^{\circ} = 6 5^{\circ}

（即

\frac{13}{36} π

）。本卷沒有學校公布的答案，兩種看法都列出。

度與弧度互換只記

18 0^{\circ} = π

弧度；時鐘題把兩針的位置都換成「從 12 順時針幾度」再相減。

04填充第 3、4 題（本頁第 7、8 題）：圓錐上的最短路徑、正方形內的兩弧

第 7 題沿母線

\overline{A C}

把圓錐的側面剪開攤平，得到一個扇形：半徑是母線長

12

（直圓錐的母線等長，

\overline{A C} = \overline{A B} = 12

），弧長是底圓的圓周長

2 π \times 2 = 4 π

（底圓直徑

4

，半徑

2

）。由弧長

s = r θ

得圓心角

θ = \frac{4 π}{12} = \frac{π}{3}

。攤平後，剪開的母線變成扇形的兩條邊，

C

在其中一條邊的端點；螞蟻繞一圈後到達的

D

在另一條邊上，與圓心

A

的距離是

6

。錐面上的最短路徑攤平後是直線段

\overline{C D}

。在三角形

A C D

中，

\overline{A C} = 12

、

\overline{A D} = 6

、夾角

\frac{π}{3}

，由餘弦定理

\overline{C D}^{2} = 1 2^{2} + 6^{2} - 2 \times 12 \times 6 \times cos \frac{π}{3} = 144 + 36 - 72 = 108

，所以

\overline{C D} = 108 = 63

。

約

10.39

。也可以看出這是

3 0^{\circ}

–

6 0^{\circ}

–

9 0^{\circ}

的直角三角形：夾角

6 0^{\circ}

的兩邊是

12

與

6

（二比一），所以

∠ A D C = 9 0^{\circ}

，

\overline{C D} = 63

。

第 8 題弧

B D

以

A

為圓心、弧

A C

以

B

為圓心，半徑都是

6

。交點

O

同時在兩弧上，所以

\overline{A O} = \overline{B O} = 6 = \overline{A B}

，

△ A O B

是正三角形，

∠ O A B = ∠ O B A = \frac{π}{3}

。

A O B

區域是由

\overline{A B}

、弧

A O

、弧

B O

圍成的區域，它等於以

A

為圓心的扇形

A B O

加上以

B

為圓心的扇形

B A O

，再扣掉重複算的正三角形

A O B

：

2 \times \frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{π}{3} - \frac{3}{4} \times 6^{2} = 12 π - 93

。

約

22.11

。原卷的圖沒有畫出線段

\overline{A O}

、

\overline{B O}

，所以「

A O B

區域」依圖取兩弧與

\overline{A B}

圍成的區域；若只算正三角形

A O B

，面積是

93

。

圓錐側面展開成扇形：扇形半徑＝母線長，扇形弧長＝底面圓周長；錐面上的最短路徑就是展開圖上的直線段。

05填充第 5～7 題（本頁第 9～11 題）：伸縮與平移、由圖形定係數

第 9 題鉛直伸縮為

\frac{1}{2}

倍，是把每個

y

值乘以

\frac{1}{2}

：

g (x) = \frac{1}{2} sin x

。再向下平移

2

單位，是把每個

y

值減

2

：

h (x) = \frac{1}{2} sin x - 2

。

鉛直方向的伸縮與平移都寫在整個函數值上，

x

不變。

第 10 題沿水平方向伸縮為原來的

\frac{1}{2}

倍，是把

x

換成

2 x

：

y = sin 2 x

（週期由

2 π

變成

π

）。再往左平移

\frac{π}{6}

，是把

x

換成

x + \frac{π}{6}

：

y = sin 2 (x + \frac{π}{6}) = sin (2 x + \frac{π}{3})

。所以

(a, b) = (2, \frac{π}{3})

。

平移時是把「

x

」換掉，所以

\frac{π}{6}

要乘上前面的

2

，

b

是

\frac{π}{3}

不是

\frac{π}{6}

。這是照題目的作法直接得到的一組。題目沒有限制

a

、

b

的範圍，所以還有別的寫法：

b

加上

2 π

的整數倍是同一個圖形；

a

也可以是負的，由補角關係

sin θ = sin (π - θ)

，

sin (2 x + \frac{π}{3}) = sin (π - 2 x - \frac{π}{3}) = sin (- 2 x + \frac{2 π}{3})

，所以

(- 2, \frac{2 π}{3})

（

b

再加

2 π

的整數倍）也是同一個圖形。

第 11 題由圖，最大值是

3

、最小值是

- 1

。因為

a > 0

，

c + a = 3

、

c - a = - 1

，解得

c = 1

、

a = 2

。最高點在

x = π

，所以

sin (π + b) = 1

，

π + b = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

是整數），

b = - \frac{π}{2} + 2 k π

；在

- π \leq b \leq π

的範圍內只有

b = - \frac{π}{2}

。所以

(b, c) = (- \frac{π}{2}, 1)

。

檢查：

y = 2 sin (x - \frac{π}{2}) + 1

在

x = 0

與

x = 2 π

時都是

2 \times (- 1) + 1 = - 1

，與圖上的最低點相符。也可以看成

y = 2 sin x + 1

的圖形向右平移

\frac{π}{2}

。

y = a sin (x + b) + c

（

a > 0

）：中心線是

y = c

、振幅是

a

，

b

用最高點的位置來定。

06填充第 8～10 題（本頁第 12～14 題）：用正弦圖形解不等式、數交點

第 12 題各項同除以

2

：

- \frac{1}{2} \leq sin x \leq \frac{1}{2}

。在

- π \leq x \leq π

畫出

y = sin x

與兩條水平線

y = \frac{1}{2}

、

y = - \frac{1}{2}

。

sin x = \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

；

sin x = - \frac{1}{2}

的解是

x = - \frac{π}{6}

、

- \frac{5 π}{6}

。圖形夾在兩條水平線之間（含線上）的部分有三段：從

x = - π

（

sin x = 0

）往右降到

- \frac{1}{2}

的

- π \leq x \leq - \frac{5 π}{6}

；中間由

- \frac{1}{2}

升到

\frac{1}{2}

的

- \frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{6}

；以及由

\frac{1}{2}

降回

0

的

\frac{5 π}{6} \leq x \leq π

。

- \frac{5 π}{6} < x < - \frac{π}{6}

時

sin x < - \frac{1}{2}

，

\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}

時

sin x > \frac{1}{2}

，這兩段不合。靠近

\pm π

的兩段容易漏掉。

第 13 題實根就是

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{π}

的交點。

- 1 \leq sin x \leq 1

，所以交點只可能在

- π \leq x \leq π

之間。先看

x \geq 0

：

x = 0

時兩邊都是

0

，是一個交點。在

0 < x < π

，正弦圖形是一個拱形，直線由

0

升到

1

；在

x = \frac{π}{2}

時

sin x = 1

比直線的

\frac{1}{2}

高，在

x = π

時

sin x = 0

比直線的

1

低，所以拱形在這一段與直線有交點。而且只有一個：在

0 < x \leq \frac{π}{2}

這一段，正弦圖形向上凸，位在連接

(0, 0)

與

(\frac{π}{2}, 1)

的線段

y = \frac{2 x}{π}

的上方或線上，比直線

y = \frac{x}{π}

高，沒有交點；在

\frac{π}{2} < x < π

這一段，正弦值一路下降、直線一路上升，所以只交一點。

x > π

時直線的高度超過

1

，沒有交點。兩個圖形都對稱於原點，所以

x < 0

的部分也恰有一個交點。共

1 + 1 + 1 = 3

個實根。

三個根是

x = 0

與

x \approx \pm 2.31

。別漏掉

x = 0

與負的那一個。

第 14 題

3 sin x = 2

就是

sin x = \frac{2}{3}

，看

y = sin x

與水平線

y = \frac{2}{3}

在

- 7 \leq x \leq 5

的交點。

sin x > 0

的區間是

0 < x < π

、

- 2 π < x < - π

、

2 π < x < 3 π

等等，每個區間的圖形是一個拱形，與

y = \frac{2}{3}

各交兩點。

0 < x < π

（約

0

到

3.14

）與

- 2 π < x < - π

（約

- 6.28

到

- 3.14

）都完全落在

- 7 \leq x \leq 5

裡，共

4

個交點。下一個拱形從

2 π \approx 6.28

才開始，已超過

5

；再往左的拱形在

- 4 π \approx - 12.57

到

- 3 π \approx - 9.42

，也在範圍外。所以共有

4

個實數解。

四個解約為

x \approx - 5.55

、

- 3.87

、

0.73

、

2.41

。

- 7

到

- 2 π

與

π

到

5

這兩小段

sin x < 0

，沒有解。

方程式或不等式的解用圖形看：先畫

y = sin x

，再畫另一邊的直線，數交點或找夾在中間的區段。

07計算第 1 題（本頁第 15、16 題）：披薩的面積

第 15 題披薩的尺寸是直徑。

12

吋的披薩半徑

6

吋，切成

8

片，一片的面積是

\frac{π \times 6 ^{2}}{8} = \frac{36 π}{8} = \frac{9 π}{2}

。

10

吋的披薩半徑

5

吋，切成

6

片，一片的面積是

\frac{π \times 5 ^{2}}{6} = \frac{25 π}{6}

。相差

\frac{9 π}{2} - \frac{25 π}{6} = \frac{27 π - 25 π}{6} = \frac{π}{3}

（平方吋）。

約

1.05

平方吋。每一片是扇形，也可以用扇形面積

\frac{1}{2} r^{2} θ

算：

\frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{2 π}{8} = \frac{9 π}{2}

、

\frac{1}{2} \times 5^{2} \times \frac{2 π}{6} = \frac{25 π}{6}

。這裡依題組敘述的「

12

吋(

8

片)、

10

吋(

6

片)」，把「一片」讀成切開後的一片；若把「一片」讀成一整個披薩，答案是

36 π - 25 π = 11 π

平方吋。本卷沒有學校公布的答案，兩種讀法都列出。

第 16 題不對。披薩的大小要比面積，不能把直徑直接相加。一個

5

吋的披薩半徑是

\frac{5}{2}

吋，面積

π \times (\frac{5}{2})^{2} = \frac{25}{4} π

平方吋。一個

3

吋的披薩半徑是

\frac{3}{2}

吋，面積

π \times (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4} π

平方吋，兩個合計

\frac{9}{2} π

平方吋。

\frac{9}{2} π = 4.5 π < 6.25 π = \frac{25}{4} π

，兩個

3

吋披薩比一個

5

吋披薩少了

\frac{7}{4} π

平方吋（約

5.5

平方吋），同樣花

200

元，吃到的反而比較少。

面積與直徑的平方成正比：

3^{2} + 3^{2} = 18 < 25 = 5^{2}

。兩個

3

吋披薩只有一個

5

吋披薩的

\frac{18}{25}

，也就是七成二。

圓與扇形的大小看面積，面積與半徑（直徑）的平方成正比，不是與直徑成正比。

08計算第 2 題（本頁第 17、18 題）：月球亮面比例的週期模型

第 17 題由圖，最高點是

(10, 1)

，接下來的最低點在

x = 24

（圖形在那裡碰到

x

軸）。相鄰的最高點與最低點相隔半個週期，所以半個週期是

24 - 10 = 14

，週期是

28

（日）。

用另一個點檢查：最高點

(10, 1)

往右到中心線上的點

(17, \frac{1}{2})

是四分之一個週期，

17 - 10 = 7

，週期

= 4 \times 7 = 28

，兩種算法一致。

第 18 題最大值是

1

、最小值是

0

。因為

a > 0

，

d + a = 1

、

d - a = 0

，解得

a = \frac{1}{2}

、

d = \frac{1}{2}

。由上一小題週期是

28

，

b > 0

，

\frac{2 π}{b} = 28

，

b = \frac{π}{14}

。最高點在

x = 10

，所以

sin (\frac{10 π}{14} - c) = 1

，

\frac{5 π}{7} - c = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

是整數），

c = \frac{5 π}{7} - \frac{π}{2} - 2 k π = \frac{3 π}{14} - 2 k π

；在

0 \leq c \leq \frac{π}{2}

的範圍內只有

c = \frac{3 π}{14}

。所以

a = \frac{1}{2}

，

b = \frac{π}{14}

，

c = \frac{3 π}{14}

，

d = \frac{1}{2}

。

檢查：

y = \frac{1}{2} sin (\frac{π x}{14} - \frac{3 π}{14}) + \frac{1}{2}

在

x = 17

時，括號裡是

\frac{17 π - 3 π}{14} = π

，

y = \frac{1}{2}

；在

x = 24

時，括號裡是

\frac{21 π}{14} = \frac{3 π}{2}

，

y = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0

，都與圖相符。

由圖形定

y = a sin (b x - c) + d

：最大最小值定

a

、

d

，最高點到最低點的距離定週期與

b

，最高點的位置定

c

。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 109 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題沒有度的記號的 2、3 都是弧度，要拿它們和六分之五圓周率這類特別角比大小；第 7 題要把圓錐側面攤開成扇形，最短路徑是扇形上的直線段；第 12 題別漏掉靠近正負圓周率的那兩段；第 14 題要看清楚範圍裡正弦值為正的區間有幾個；第 15 題的一片是切開後的一片，兩種披薩切的片數不同。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高雄新興高中 109 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高雄新興高中 109 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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03填充第 1、2 題（本頁第 5、6 題）：度與弧度互換、時鐘

04填充第 3、4 題（本頁第 7、8 題）：圓錐上的最短路徑、正方形內的兩弧

05填充第 5～7 題（本頁第 9～11 題）：伸縮與平移、由圖形定係數

06填充第 8～10 題（本頁第 12～14 題）：用正弦圖形解不等式、數交點

07計算第 1 題（本頁第 15、16 題）：披薩的面積

08計算第 2 題（本頁第 17、18 題）：月球亮面比例的週期模型

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高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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