段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數與對數函數的圖形、對數律與換底公式、指對數方程式與不等式、常用對數的應用）

北一女中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 北一女中 109 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 13 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 北一女中 109 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充題第 4 題（本頁第 6 題）要分兩段數交點，直線剛好通過點 (0,1) 時仍算一個交點，答案的等號不能漏；填充題第 8 題第 3 小題（本頁第 10 題）求開頭四個數字時 log 3 要用計算器的完整位數，只取四位小數會算錯；多選第 1 題的選項 (4) 是剛好成立的特例、選項 (5) 漏掉負的那個解；填充題第 7 題（本頁第 9 題）按月複利要先把年利率除以 12，期數是 120。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 13 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 13 題，照原卷順序

卷頭印「第一次期中考高二理A 題目卷」，命題範圍是第三冊數A 指數與對數函數，並註明本卷可以使用指定機型的計算器。全卷 13 題，滿分 100 分：多重選擇題 2 題共 20 分、填充題 8 題共 14 格（依答對格數給分，全對 65 分）、混合題組 3 題共 15 分（填充 4 分、單選 4 分、計算 7 分）。原卷三個大題各自從 1 編號，本頁改成全卷連續：第 1～2 題是多重選擇題第 1～2 題，第 3～10 題是填充題第 1～8 題，第 11～13 題是混合題組第 1～3 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，多選 2 題、填充 14 格、混合題組 3 題全部一致。

一、多重選擇題(每題均有 5 個選項，至少有一個選項是正確的，每個選項 2 分，共 20 分)

下列有關指數與對數的運算敘述，哪些是正確的？

(1) $lo g_{0} 1 = 0$
(2) $lo g_{2} (\frac{1}{3}) = - lo g_{2} 9$
(3) $(- 3)^{2} = 9 \Rightarrow lo g_{(- 3)} 9 = 2$
(4) $lo g (4 + \frac{4}{3}) = lo g 4 + lo g \frac{4}{3}$
(5) $lo g x^{2} = 6 \Rightarrow lo g x = 3$

下列關於指數函數

y = 2^{x}

與對數函數

y = lo g_{2} x

的敘述哪些是正確的？

(1) $y = lo g_{2} (x + 2)$ 的圖形是 $y = lo g_{2} x$ 的圖形向右平移兩單位後得到的。
(2) $y = 2^{x + 2}$ 與 $y = lo g_{2} (x + 2)$ 的圖形對稱直線 $x - y + 2 = 0$
(3) $y = lo g_{2} x$ 和 $y = lo g_{4} x^{2}$ 的圖形重合
(4) $\frac{lo g _{2} 20 + lo g _{2} 40}{2} < lo g_{2} 30$
(5) 方程式 $(\frac{1}{2})^{x} = - lo g_{2} x$ 的唯一實根 $α$ 滿足 $0 < α < 1$ 。

二、填充題(依下表答題格數配分)（答對 1～14 格依序得 7、13、19、25、30、35、40、44、48、52、56、59、62、65 分）

試求下列各式的值： (1)

lo g_{2} ((3 \times 2^{6})^{\frac{2}{3}} \times \frac{1}{3 81} \div 2^{\frac{- 4}{3}} \times (\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}})

(2)

4 lo g_{5} 5 - \frac{1}{3} lo g_{5} 2 + lo g_{125} 250

(3)

[lo g_{2} (4 lo g_{2} 4)] (lo g_{8} 2 + 1)

解下列方程式與不等式： (1)

{3^{x} - 8 \cdot 3^{y} = 27 lo g_{2} (x + 3) - lo g_{2} (y + 1) = 1

(2)

2^{- 2 x + 5} - 18 \cdot 2^{- x} + 1 \leq 0

(3)

lo g (2 x + 3) - lo g (x - 1) \geq lo g (x + 5)

試比較

a

、

b

、

c

之大小：

a = (\frac{1}{2})^{500}

，

b = (\frac{1}{3})^{333}

，

c = (\frac{1}{5})^{225}

。

已知函數

f (x) = {1 0^{x} lo g x (當 x \leq 0 時) (當 x > 0 時)

，函數

g (x) = - x + a

，已知函數

f (x)

和

g (x)

有兩交點，求

a

的取值範圍？

將對數函數

f (x) = lo g_{2} x

對

y

軸做對稱，得到函數

y = g (x)

的圖形。若將函數

f (x)

向左平移

1

單位、向上平移

1

單位，得到函數

y = h (x)

的圖形，試求

y = g (x)

和

y = h (x)

兩圖形的交點

x

坐標？

在坐標平面上，

A (a, r)

、

B (b, s)

為

y = lo g x

上之兩點，其中

a < b

，已知

\overline{A B}

斜率為

\frac{1}{9}

，

\overline{A B} = 82

。且

C (r, a)

、

D (s, b)

為

y = 1 0^{x}

上之兩點，求

C D

直線方程式。

小綠在

17

歲生日當天將

100

萬存入銀行，某銀行提供兩種利率方案供小綠選擇：方案 A：一次存入本金，利息按年單利計算，年利率

1.3%

。方案 B：一次存入本金，利息按月複利計算，年利率

1.2%

。若小綠預計在

27

歲生日隔天將這筆儲蓄提領出來，則她採用方案 A 和方案 B 領出的金額會相差多少元？(四捨五入取到整數位)

小綠某天數學課使用計算機要計算

3

的次方，但因她手上的計算機的顯示轉換成科學記號只能顯示

100

位數，超過

100

位數的數字就會顯示 ERROR，試回答下列問題： (1) 請問小綠利用計算機連乘求

3^{n}

的值，求

n

的最小值，會讓計算機顯示 ERROR。 (2) 小綠想起可以用對數方法求

3^{300}

的值，請問

3^{300}

是幾位數？ (3) 小綠想把

3^{300}

寫成科學記號，請問

3^{300}

的開頭四個位數數字分別為何？

三、混合題組(共 15 分，第 1 題填充、第 2 題單選各 4 分，第 3 題計算題 7 分)

某國傳染病大流行時，經統計發現高峰期間染病人數每兩個月增加為十倍，以

f (t)

表示

t = 0

開始時，染病人數隨時間

t

變化的函數，並假設

f (0) = k

(k \in N)

。若

t

以月為單位(不考慮每月天數)，試寫出可以代表某國於染病高峰期間染病人數的函數模型：

f (t) =

。

承上題，已知某國初始染病人數為

30000

人，小綠為了分析染病時間與染病人數的直線相關程度，而將其

y

坐標改成

lo g y

，請問將坐標軸改變後，

t

與

lo g y

的函數圖形為哪一條直線？（五個選項是下圖的 (1)～(5)，各圖的縱軸上都標了

(0, 3)

、

(0, 4)

、

(0, 5)

、

(0, 6)

四個點）

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

承上題，假設某國人口為

5

千萬人，若傳染率以及總人口數不變，請問最少經過多少個月，全國確診人數會達到全國人口

50%

？(取到整數位)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)(4)

第 2 題(2)(4)(5)

第 3 題(1)

4

；(2)

3

；(3)

4

第 4 題(1)

(x, y) = (5, 3)

；(2)

1 \leq x \leq 4

；(3)

1 < x \leq 2

第 5 題

a > c > b

第 6 題

a \leq 1

第 7 題

- \frac{2}{3}

第 8 題

y = 9 x + 1

第 9 題

2571

元

第 10 題(1)

210

；(2)

144

；(3)

1

、

3

、

6

、

8

（即

1368

）

第 11 題

f (t) = k \times 1 0^{\frac{t}{2}}

第 12 題(3)

第 13 題

6

個月

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～2 題：多重選擇題

1 (1)錯誤。對數

lo g_{a} b

要有意義，底數必須

a > 0

且

a \neq = 1

，真數必須

b > 0

。底數是

0

，

lo g_{0} 1

沒有意義（

0

的任何正數次方都是

0

，不會是

1

）。

1 (2)正確。

2 = 2^{\frac{1}{2}}

，所以

lo g_{2} \frac{1}{3} = \frac{lo g _{2} \frac{1}{3}}{lo g _{2} 2 ^{\frac{1}{2}}} = 2 lo g_{2} \frac{1}{3} = lo g_{2} \frac{1}{9} = - lo g_{2} 9

。

1 (3)錯誤。

(- 3)^{2} = 9

是對的，但對數的底數不可以是負數，

lo g_{(- 3)} 9

沒有意義。

1 (4)正確。左邊是

lo g \frac{16}{3}

；右邊

lo g 4 + lo g \frac{4}{3} = lo g (4 \times \frac{4}{3}) = lo g \frac{16}{3}

。兩邊相等。

1 (5)錯誤。

lo g x^{2} = 6

得

x^{2} = 1 0^{6}

，

x = 1000

或

x = - 1000

。

x = - 1000

時

lo g x

沒有意義，所以推不出

lo g x = 3

。

(4) 是剛好成立的特例：一般來說

lo g (a + b)

不等於

lo g a + lo g b

，只有

a + b = ab

時才相等，而

4 + \frac{4}{3}

與

4 \times \frac{4}{3}

都是

\frac{16}{3}

。(5) 的

lo g x^{2} = 2 lo g x

只在

x > 0

時成立，一般要寫成

2 lo g ∣ x ∣

。

2 (1)錯誤。把

x

換成

x + 2

是向左平移

2

單位（例如

y = lo g_{2} x

上的

(1, 0)

移到

(- 1, 0)

）；向右平移

2

單位得到的是

y = lo g_{2} (x - 2)

。

2 (2)正確。

y = 2^{x}

與

y = lo g_{2} x

的圖形對稱於直線

y = x

。把兩個圖形和這條對稱軸一起向左平移

2

單位：兩個圖形變成

y = 2^{x + 2}

與

y = lo g_{2} (x + 2)

，對稱軸變成

y = x + 2

，也就是

x - y + 2 = 0

。

2 (3)錯誤。

x > 0

時

lo g_{4} x^{2} = \frac{lo g _{2} x ^{2}}{lo g _{2} 4} = \frac{2 lo g _{2} x}{2} = lo g_{2} x

，兩者相同；但

y = lo g_{4} x^{2}

在

x < 0

時也有圖形（例如點

(- 2, 1)

），

y = lo g_{2} x

只有

x > 0

的部分，所以不重合。

2 (4)正確。左邊

= \frac{1}{2} lo g_{2} (20 \times 40) = lo g_{2} 800

。

800 < 900

，所以

800 < 30

；底數

2

大於

1

，真數大的對數值大，故

lo g_{2} 800 < lo g_{2} 30

。

2 (5)正確。

lo g_{2} x

在

x \leq 0

時沒有定義，所以實根一定是正的。

x \geq 1

時左邊

(\frac{1}{2})^{x}

是正的，右邊

- lo g_{2} x \leq 0

，兩邊不可能相等。因此任何實根都落在

0

與

1

之間。再看這個範圍裡確實有根：

x = \frac{1}{2}

時左邊

(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} \approx 0.71

小於右邊

- lo g_{2} \frac{1}{2} = 1

；

x = 1

時左邊

\frac{1}{2}

大於右邊

0

。兩邊的大小關係對調，所以

\frac{1}{2}

與

1

之間有根。題目已說實根只有一個，這個根

α

就滿足

0 < α < 1

。

(4) 也可以從圖形看：

y = lo g_{2} x

的圖形凹口向下，

20

與

40

兩處函數值的平均，會比中點

30

處的函數值小。(5) 的「唯一」是題目給的；把

y = (\frac{1}{2})^{x}

與

y = - lo g_{2} x = lo g_{\frac{1}{2}} x

畫出來，也看得到兩個圖形只交於一點。這一題的交點恰好在直線

y = x

上，用計算器可得

α \approx 0.64

。

02第 3～5 題：填充題第 1～3 題（化簡求值、方程式與不等式、比大小）

第 3 題(1) 把括號裡每一項都寫成

2

與

3

的次方：

(3 \times 2^{6})^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{2}{3}} \times 2^{4}

；

\frac{1}{3 81} = 3^{- \frac{4}{3}}

；除以

2^{- \frac{4}{3}}

等於乘以

2^{\frac{4}{3}}

；

(\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{2}{3}} \times 2^{- \frac{4}{3}}

。

3

的指數合計

\frac{2}{3} - \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = 0

，

2

的指數合計

4 + \frac{4}{3} - \frac{4}{3} = 4

，括號裡等於

2^{4}

，所以原式

= lo g_{2} 2^{4} = 4

。 (2)

4 lo g_{5} 5 = 4 \times \frac{1}{2} = 2

。

lo g_{125} 250 = \frac{lo g _{5} 250}{lo g _{5} 125} = \frac{1}{3} lo g_{5} 250

。原式

= 2 + \frac{1}{3} (lo g_{5} 250 - lo g_{5} 2) = 2 + \frac{1}{3} lo g_{5} 125 = 2 + 1 = 3

。 (3)

lo g_{2} 4 = 2

，所以

lo g_{2} (4 lo g_{2} 4) = lo g_{2} 8 = 3

；

lo g_{8} 2 = \frac{1}{3}

（因為

8^{\frac{1}{3}} = 2

），

lo g_{8} 2 + 1 = \frac{4}{3}

。原式

= 3 \times \frac{4}{3} = 4

。

(1) 的

2^{\frac{- 4}{3}}

前面是除號，指數要變號；

381 = 3^{\frac{4}{3}}

，不是

3^{\frac{3}{4}}

。(3) 的

4 lo g_{2} 4

是

4 \times 2 = 8

，不是

lo g_{2} 4^{4}

再取一次。

第 4 題(1) 真數條件：

x + 3 > 0

且

y + 1 > 0

。第二式：

lo g_{2} \frac{x + 3}{y + 1} = 1

，

x + 3 = 2 (y + 1)

，

x = 2 y - 1

。代入第一式：

3^{2 y - 1} - 8 \cdot 3^{y} = 27

。令

u = 3^{y}

（

u > 0

），

\frac{u ^{2}}{3} - 8 u - 27 = 0

，

u^{2} - 24 u - 81 = 0

，

(u - 27) (u + 3) = 0

，取

u = 27

，

y = 3

，

x = 5

。檢查：

3^{5} - 8 \cdot 3^{3} = 243 - 216 = 27

；

lo g_{2} 8 - lo g_{2} 4 = 3 - 2 = 1

。所以

(x, y) = (5, 3)

。 (2)

2^{- 2 x + 5} = 32 \cdot (2^{- x})^{2}

。令

u = 2^{- x}

（

u > 0

）：

32 u^{2} - 18 u + 1 \leq 0

，

(16 u - 1) (2 u - 1) \leq 0

，

\frac{1}{16} \leq u \leq \frac{1}{2}

，即

2^{- 4} \leq 2^{- x} \leq 2^{- 1}

。底數

2

大於

1

，所以

- 4 \leq - x \leq - 1

，

1 \leq x \leq 4

。 (3) 真數條件：

2 x + 3 > 0

、

x - 1 > 0

、

x + 5 > 0

，合起來是

x > 1

。把

lo g (x - 1)

移到右邊：

lo g (2 x + 3) \geq lo g [(x - 1) (x + 5)]

，底數

10

大於

1

，所以

2 x + 3 \geq x^{2} + 4 x - 5

，

x^{2} + 2 x - 8 \leq 0

，

(x + 4) (x - 2) \leq 0

，

- 4 \leq x \leq 2

。與

x > 1

取共同部分：

1 < x \leq 2

。

(2) 最後一步

- 4 \leq - x \leq - 1

同乘

- 1

時不等號要反向。(3) 一定要先寫真數條件，否則會多出

- 4 \leq x \leq 1

這一段。

第 5 題三個數都是正的，取常用對數比較（

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 5 = 1 - lo g 2 \approx 0.6990

）：

lo g a = - 500 lo g 2 \approx - 150.5

；

lo g b = - 333 lo g 3 \approx - 158.9

；

lo g c = - 225 lo g 5 \approx - 157.3

。

- 150.5 > - 157.3 > - 158.9

，而

y = lo g x

是遞增函數，所以

a > c > b

。

這三個數都是分數的高次方，次方數大的不一定小，要換成同一種尺度（這裡是常用對數）再比。等於是比

2^{500}

、

5^{225}

、

3^{333}

的位數：分別約

151

、

158

、

159

位，分母愈大的數愈小。

03第 6～8 題：填充題第 4～6 題（圖形的交點、平移與對稱）

第 6 題分兩段數交點。

x \leq 0

這一段：交點滿足

1 0^{x} = - x + a

，即

1 0^{x} + x = a

。

1 0^{x}

與

x

都隨

x

增加而增加，所以

1 0^{x} + x

是遞增的，在

x = 0

時最大，值為

1

；

x

愈往負的方向它就愈小，沒有下限。因此

a \leq 1

時這一段恰有

1

個交點，

a > 1

時沒有交點。

x > 0

這一段：交點滿足

lo g x + x = a

。

lo g x + x

也是遞增的，

x

接近

0

時它可以任意小，

x

很大時可以任意大，所以不論

a

是多少，這一段都恰有

1

個交點。合計要有兩個交點，條件是

a \leq 1

。

從圖形看：

y = - x + a

是斜率

- 1

的直線，

a

是它與

y

軸的交點高度。

y = 1 0^{x}

在

x \leq 0

的部分右端是

(0, 1)

，這個點有包含在內，所以

a = 1

時直線剛好通過

(0, 1)

，仍然算一個交點，答案的等號要留著。

第 7 題對

y

軸做對稱是把

x

換成

- x

：

g (x) = lo g_{2} (- x)

，定義在

x < 0

。向左平移

1

單位是把

x

換成

x + 1

，再向上平移

1

單位是整個加

1

：

h (x) = lo g_{2} (x + 1) + 1 = lo g_{2} [2 (x + 1)]

，定義在

x > - 1

。令

g (x) = h (x)

：

- x = 2 (x + 1)

，

3 x = - 2

，

x = - \frac{2}{3}

。

- 1 < - \frac{2}{3} < 0

，兩個函數在這裡都有定義，所以交點的

x

坐標是

- \frac{2}{3}

。

把常數

1

寫成

lo g_{2} 2

併進真數，兩邊就都是以

2

為底的對數，可以直接比真數。解出來的

x

要落在兩個函數共同的定義範圍

- 1 < x < 0

內。

第 8 題

A

、

B

在

y = lo g x

上，所以

r = lo g a

、

s = lo g b

。斜率

\frac{s - r}{b - a} = \frac{1}{9}

，即

s - r = \frac{b - a}{9}

。距離：

(b - a)^{2} + (s - r)^{2} = 82

，代入得

(b - a)^{2} (1 + \frac{1}{81}) = 82

，

(b - a)^{2} = 81

；因為

a < b

，

b - a = 9

，於是

s - r = 1

。

s - r = lo g b - lo g a = lo g \frac{b}{a} = 1

，所以

b = 10 a

；與

b - a = 9

聯立得

a = 1

、

b = 10

，因此

r = lo g 1 = 0

、

s = lo g 10 = 1

。

C (r, a) = (0, 1)

、

D (s, b) = (1, 10)

（確實在

y = 1 0^{x}

上）。直線

C D

的斜率是

\frac{10 - 1}{1 - 0} = 9

，過

(0, 1)

，方程式為

y = 9 x + 1

。

C

、

D

是把

A

、

B

的兩個坐標對調，也就是對直線

y = x

的對稱點，所以直線

C D

的斜率是直線

A B

斜率的倒數

9

。只知道斜率還不夠，要把

a

、

b

真的解出來才定得出直線通過哪一點。

04第 9～10 題：填充題第 7～8 題（單利與複利、位數與首位數字）

第 9 題

17

歲生日存入，到

27

歲生日剛好滿

10

年，隔天提領時

10

年的利息都已經算入。方案 A（按年單利）：每年的利息都是本金的

1.3%

，

10

年後本利和

= 1000000 \times (1 + 0.013 \times 10) = 1130000

元。方案 B（按月複利）：月利率

= \frac{1.2%}{12} = 0.1%

，

10

年共

120

期，本利和

= 1000000 \times 1.00 1^{120}

。用計算器得

1.00 1^{120} \approx 1.12742925

，本利和約

1127429.25

元。相差

1130000 - 1127429.25 = 2570.75

，四捨五入到整數位是

2571

元。

按月複利時，年利率要先除以

12

變成月利率，期數是

120

個月，不是

10

。這一題年利率低的方案雖然是複利，

10

年下來仍然比單利

1.3%

少。

1.00 1^{120}

要保留到小數點後第七、八位，乘上一百萬後個位數才準。

第 10 題正整數

N

是幾位數，看

lo g N

的整數部分：若

m \leq lo g N < m + 1

，則

N

是

m + 1

位數。 (1) 超過

100

位數就是至少

101

位數，即

3^{n} \geq 1 0^{100}

，

n lo g 3 \geq 100

，

n \geq \frac{100}{lo g 3} \approx \frac{100}{0.4771} \approx 209.6

。所以

n

最小是

210

（

209 lo g 3 \approx 99.72

，

3^{209}

是

100

位數，還顯示得出來；

210 lo g 3 \approx 100.20

，

3^{210}

是

101

位數）。 (2)

lo g 3^{300} = 300 lo g 3 \approx 300 \times 0.47712 = 143.136

，整數部分是

143

，所以

3^{300}

是

144

位數。 (3) 用計算器的

lo g 3 \approx 0.47712125

：

300 lo g 3 \approx 143.13638

，所以

3^{300} = 1 0^{143.13638} = 1 0^{0.13638} \times 1 0^{143}

。用計算器求

1 0^{0.13638} \approx 1.3689

，即

3^{300} \approx 1.3689 \times 1 0^{143}

，開頭四個數字依序是

1

、

3

、

6

、

8

（照抄前四個數字，不是四捨五入）。

(1) 問的是「超過

100

位」，門檻是

1 0^{100}

（最小的

101

位數），不是

1 0^{99}

。(3) 的

lo g 3

取幾位會直接影響答案：取

0.4771

得

300 lo g 3 \approx 143.13

，

1 0^{0.13} \approx 1.3489

，前四個數字變成

1348

；取

0.47712

得

143.136

，

1 0^{0.136} \approx 1.3677

，變成

1367

；取到

0.477121

得

143.1363

，

1 0^{0.1363} \approx 1.3687

，才是

1368

。所以

lo g 3

至少要取到

0.477121

，直接用計算器的完整位數最保險。

05第 11～13 題：混合題組第 1～3 題（傳染病人數的指數模型）

第 11 題每兩個月變成

10

倍：經過

t

個月相當於經過

\frac{t}{2}

個「兩個月」，人數乘了

\frac{t}{2}

次

10

，所以

f (t) = k \times 1 0^{\frac{t}{2}}

。檢查：

f (0) = k

；

f (t + 2) = k \times 1 0^{\frac{t}{2} + 1} = 10 f (t)

。

也可以寫成

f (t) = k (10)^{t}

，意思是每個月變成

10 \approx 3.16

倍。指數是

\frac{t}{2}

，不是

2 t

：

2 t

的話是每半個月就變成

10

倍。

第 12 題答案 (3)。

k = 30000

，

y = 30000 \times 1 0^{\frac{t}{2}}

。兩邊取常用對數：

lo g y = lo g 30000 + \frac{t}{2} = \frac{1}{2} t + (4 + lo g 3) \approx \frac{1}{2} t + 4.477

。這是一條斜率

\frac{1}{2}

（正的，往右上升）的直線，與縱軸交於

(0, 4.477)

，交點在

(0, 4)

與

(0, 5)

之間。五張圖裡，圖 (1) 與圖 (4) 是往右下降的直線，不合；圖 (2) 與縱軸交在

(0, 5)

與

(0, 6)

之間，圖 (5) 交在

(0, 3)

與

(0, 4)

之間，都不合；只有圖 (3) 往右上升且交在

(0, 4)

與

(0, 5)

之間。

30000

介於

1 0^{4}

與

1 0^{5}

之間，所以

lo g 30000

介於

4

與

5

之間，不必真的算出

4.477

也能選。指數函數取對數後變成直線，斜率就是指數裡

t

的係數。本頁的圖是照原卷各圖的升降與交點位置重畫的，橫向與縱向的單位長不同。

第 13 題全國人口的

50%

是

50000000 \times 50% = 25000000

人。要

f (t) = 30000 \times 1 0^{\frac{t}{2}} \geq 25000000

，即

1 0^{\frac{t}{2}} \geq \frac{2500}{3}

。兩邊取常用對數（底數

10

大於

1

，不等號方向不變）：

\frac{t}{2} \geq lo g \frac{2500}{3}

，

t \geq 2 lo g \frac{2500}{3} = 2 (lo g 2500 - lo g 3) \approx 2 (3.3979 - 0.4771) = 5.8416

。所以大約要

5.84

個月才達到；取到整數位，最少要經過

6

個月。

檢查：

t = 5

時

30000 \times 1 0^{2.5} \approx 949

萬人，還不到

2500

萬；

t = 6

時

30000 \times 1 0^{3} = 3000

萬人，已經超過。問「最少經過幾個月」，

5.84

要無條件進位成

6

，不是因為四捨五入。

固定時間變成固定倍數的量，用指數函數來寫；取常用對數後變成直線，位數、首位數字、要等多久這類問題都可以在對數那一邊解決。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

北一女中 109 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 13 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 109 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充題第 4 題（本頁第 6 題）要分兩段數交點，直線剛好通過點 (0,1) 時仍算一個交點，答案的等號不能漏；填充題第 8 題第 3 小題（本頁第 10 題）求開頭四個數字時 log 3 要用計算器的完整位數，只取四位小數會算錯；多選第 1 題的選項 (4) 是剛好成立的特例、選項 (5) 漏掉負的那個解；填充題第 7 題（本頁第 9 題）按月複利要先把年利率除以 12，期數是 120。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自北一女中 109 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數與對數函數的圖形、對數律與換底公式、指對數方程式與不等式、常用對數的應用）

北一女中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 13 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 13 題，照原卷順序

一、多重選擇題(每題均有 5 個選項，至少有一個選項是正確的，每個選項 2 分，共 20 分)

下列有關指數與對數的運算敘述，哪些是正確的？

(1) $lo g_{0} 1 = 0$
(2) $lo g_{2} (\frac{1}{3}) = - lo g_{2} 9$
(3) $(- 3)^{2} = 9 \Rightarrow lo g_{(- 3)} 9 = 2$
(4) $lo g (4 + \frac{4}{3}) = lo g 4 + lo g \frac{4}{3}$
(5) $lo g x^{2} = 6 \Rightarrow lo g x = 3$

下列關於指數函數

y = 2^{x}

與對數函數

y = lo g_{2} x

的敘述哪些是正確的？

(1) $y = lo g_{2} (x + 2)$ 的圖形是 $y = lo g_{2} x$ 的圖形向右平移兩單位後得到的。
(2) $y = 2^{x + 2}$ 與 $y = lo g_{2} (x + 2)$ 的圖形對稱直線 $x - y + 2 = 0$
(3) $y = lo g_{2} x$ 和 $y = lo g_{4} x^{2}$ 的圖形重合
(4) $\frac{lo g _{2} 20 + lo g _{2} 40}{2} < lo g_{2} 30$
(5) 方程式 $(\frac{1}{2})^{x} = - lo g_{2} x$ 的唯一實根 $α$ 滿足 $0 < α < 1$ 。

二、填充題(依下表答題格數配分)（答對 1～14 格依序得 7、13、19、25、30、35、40、44、48、52、56、59、62、65 分）

試求下列各式的值： (1)

lo g_{2} ((3 \times 2^{6})^{\frac{2}{3}} \times \frac{1}{3 81} \div 2^{\frac{- 4}{3}} \times (\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}})

(2)

4 lo g_{5} 5 - \frac{1}{3} lo g_{5} 2 + lo g_{125} 250

(3)

[lo g_{2} (4 lo g_{2} 4)] (lo g_{8} 2 + 1)

解下列方程式與不等式： (1)

{3^{x} - 8 \cdot 3^{y} = 27 lo g_{2} (x + 3) - lo g_{2} (y + 1) = 1

(2)

2^{- 2 x + 5} - 18 \cdot 2^{- x} + 1 \leq 0

(3)

lo g (2 x + 3) - lo g (x - 1) \geq lo g (x + 5)

試比較

a

、

b

、

c

之大小：

a = (\frac{1}{2})^{500}

，

b = (\frac{1}{3})^{333}

，

c = (\frac{1}{5})^{225}

。

已知函數

f (x) = {1 0^{x} lo g x (當 x \leq 0 時) (當 x > 0 時)

，函數

g (x) = - x + a

，已知函數

f (x)

和

g (x)

有兩交點，求

a

的取值範圍？

將對數函數

f (x) = lo g_{2} x

對

y

軸做對稱，得到函數

y = g (x)

的圖形。若將函數

f (x)

向左平移

1

單位、向上平移

1

單位，得到函數

y = h (x)

的圖形，試求

y = g (x)

和

y = h (x)

兩圖形的交點

x

坐標？

在坐標平面上，

A (a, r)

、

B (b, s)

為

y = lo g x

上之兩點，其中

a < b

，已知

\overline{A B}

斜率為

\frac{1}{9}

，

\overline{A B} = 82

。且

C (r, a)

、

D (s, b)

為

y = 1 0^{x}

上之兩點，求

C D

直線方程式。

小綠在

17

歲生日當天將

100

萬存入銀行，某銀行提供兩種利率方案供小綠選擇：方案 A：一次存入本金，利息按年單利計算，年利率

1.3%

。方案 B：一次存入本金，利息按月複利計算，年利率

1.2%

。若小綠預計在

27

歲生日隔天將這筆儲蓄提領出來，則她採用方案 A 和方案 B 領出的金額會相差多少元？(四捨五入取到整數位)

小綠某天數學課使用計算機要計算

3

的次方，但因她手上的計算機的顯示轉換成科學記號只能顯示

100

位數，超過

100

位數的數字就會顯示 ERROR，試回答下列問題： (1) 請問小綠利用計算機連乘求

3^{n}

的值，求

n

的最小值，會讓計算機顯示 ERROR。 (2) 小綠想起可以用對數方法求

3^{300}

的值，請問

3^{300}

是幾位數？ (3) 小綠想把

3^{300}

寫成科學記號，請問

3^{300}

的開頭四個位數數字分別為何？

三、混合題組(共 15 分，第 1 題填充、第 2 題單選各 4 分，第 3 題計算題 7 分)

某國傳染病大流行時，經統計發現高峰期間染病人數每兩個月增加為十倍，以

f (t)

表示

t = 0

開始時，染病人數隨時間

t

變化的函數，並假設

f (0) = k

(k \in N)

。若

t

以月為單位(不考慮每月天數)，試寫出可以代表某國於染病高峰期間染病人數的函數模型：

f (t) =

。

承上題，已知某國初始染病人數為

30000

人，小綠為了分析染病時間與染病人數的直線相關程度，而將其

y

坐標改成

lo g y

，請問將坐標軸改變後，

t

與

lo g y

的函數圖形為哪一條直線？（五個選項是下圖的 (1)～(5)，各圖的縱軸上都標了

(0, 3)

、

(0, 4)

、

(0, 5)

、

(0, 6)

四個點）

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

承上題，假設某國人口為

5

千萬人，若傳染率以及總人口數不變，請問最少經過多少個月，全國確診人數會達到全國人口

50%

？(取到整數位)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)(4)

第 2 題(2)(4)(5)

第 3 題(1)

4

；(2)

3

；(3)

4

第 4 題(1)

(x, y) = (5, 3)

；(2)

1 \leq x \leq 4

；(3)

1 < x \leq 2

第 5 題

a > c > b

第 6 題

a \leq 1

第 7 題

- \frac{2}{3}

第 8 題

y = 9 x + 1

第 9 題

2571

元

第 10 題(1)

210

；(2)

144

；(3)

1

、

3

、

6

、

8

（即

1368

）

第 11 題

f (t) = k \times 1 0^{\frac{t}{2}}

第 12 題(3)

第 13 題

6

個月

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～2 題：多重選擇題

1 (1)錯誤。對數

lo g_{a} b

要有意義，底數必須

a > 0

且

a \neq = 1

，真數必須

b > 0

。底數是

0

，

lo g_{0} 1

沒有意義（

0

的任何正數次方都是

0

，不會是

1

）。

1 (2)正確。

2 = 2^{\frac{1}{2}}

，所以

lo g_{2} \frac{1}{3} = \frac{lo g _{2} \frac{1}{3}}{lo g _{2} 2 ^{\frac{1}{2}}} = 2 lo g_{2} \frac{1}{3} = lo g_{2} \frac{1}{9} = - lo g_{2} 9

。

1 (3)錯誤。

(- 3)^{2} = 9

是對的，但對數的底數不可以是負數，

lo g_{(- 3)} 9

沒有意義。

1 (4)正確。左邊是

lo g \frac{16}{3}

；右邊

lo g 4 + lo g \frac{4}{3} = lo g (4 \times \frac{4}{3}) = lo g \frac{16}{3}

。兩邊相等。

1 (5)錯誤。

lo g x^{2} = 6

得

x^{2} = 1 0^{6}

，

x = 1000

或

x = - 1000

。

x = - 1000

時

lo g x

沒有意義，所以推不出

lo g x = 3

。

(4) 是剛好成立的特例：一般來說

lo g (a + b)

不等於

lo g a + lo g b

，只有

a + b = ab

時才相等，而

4 + \frac{4}{3}

與

4 \times \frac{4}{3}

都是

\frac{16}{3}

。(5) 的

lo g x^{2} = 2 lo g x

只在

x > 0

時成立，一般要寫成

2 lo g ∣ x ∣

。

2 (1)錯誤。把

x

換成

x + 2

是向左平移

2

單位（例如

y = lo g_{2} x

上的

(1, 0)

移到

(- 1, 0)

）；向右平移

2

單位得到的是

y = lo g_{2} (x - 2)

。

2 (2)正確。

y = 2^{x}

與

y = lo g_{2} x

的圖形對稱於直線

y = x

。把兩個圖形和這條對稱軸一起向左平移

2

單位：兩個圖形變成

y = 2^{x + 2}

與

y = lo g_{2} (x + 2)

，對稱軸變成

y = x + 2

，也就是

x - y + 2 = 0

。

2 (3)錯誤。

x > 0

時

lo g_{4} x^{2} = \frac{lo g _{2} x ^{2}}{lo g _{2} 4} = \frac{2 lo g _{2} x}{2} = lo g_{2} x

，兩者相同；但

y = lo g_{4} x^{2}

在

x < 0

時也有圖形（例如點

(- 2, 1)

），

y = lo g_{2} x

只有

x > 0

的部分，所以不重合。

2 (4)正確。左邊

= \frac{1}{2} lo g_{2} (20 \times 40) = lo g_{2} 800

。

800 < 900

，所以

800 < 30

；底數

2

大於

1

，真數大的對數值大，故

lo g_{2} 800 < lo g_{2} 30

。

2 (5)正確。

lo g_{2} x

在

x \leq 0

時沒有定義，所以實根一定是正的。

x \geq 1

時左邊

(\frac{1}{2})^{x}

是正的，右邊

- lo g_{2} x \leq 0

，兩邊不可能相等。因此任何實根都落在

0

與

1

之間。再看這個範圍裡確實有根：

x = \frac{1}{2}

時左邊

(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} \approx 0.71

小於右邊

- lo g_{2} \frac{1}{2} = 1

；

x = 1

時左邊

\frac{1}{2}

大於右邊

0

。兩邊的大小關係對調，所以

\frac{1}{2}

與

1

之間有根。題目已說實根只有一個，這個根

α

就滿足

0 < α < 1

。

(4) 也可以從圖形看：

y = lo g_{2} x

的圖形凹口向下，

20

與

40

兩處函數值的平均，會比中點

30

處的函數值小。(5) 的「唯一」是題目給的；把

y = (\frac{1}{2})^{x}

與

y = - lo g_{2} x = lo g_{\frac{1}{2}} x

畫出來，也看得到兩個圖形只交於一點。這一題的交點恰好在直線

y = x

上，用計算器可得

α \approx 0.64

。

02第 3～5 題：填充題第 1～3 題（化簡求值、方程式與不等式、比大小）

第 3 題(1) 把括號裡每一項都寫成

2

與

3

的次方：

(3 \times 2^{6})^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{2}{3}} \times 2^{4}

；

\frac{1}{3 81} = 3^{- \frac{4}{3}}

；除以

2^{- \frac{4}{3}}

等於乘以

2^{\frac{4}{3}}

；

(\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{2}{3}} \times 2^{- \frac{4}{3}}

。

3

的指數合計

\frac{2}{3} - \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = 0

，

2

的指數合計

4 + \frac{4}{3} - \frac{4}{3} = 4

，括號裡等於

2^{4}

，所以原式

= lo g_{2} 2^{4} = 4

。 (2)

4 lo g_{5} 5 = 4 \times \frac{1}{2} = 2

。

lo g_{125} 250 = \frac{lo g _{5} 250}{lo g _{5} 125} = \frac{1}{3} lo g_{5} 250

。原式

= 2 + \frac{1}{3} (lo g_{5} 250 - lo g_{5} 2) = 2 + \frac{1}{3} lo g_{5} 125 = 2 + 1 = 3

。 (3)

lo g_{2} 4 = 2

，所以

lo g_{2} (4 lo g_{2} 4) = lo g_{2} 8 = 3

；

lo g_{8} 2 = \frac{1}{3}

（因為

8^{\frac{1}{3}} = 2

），

lo g_{8} 2 + 1 = \frac{4}{3}

。原式

= 3 \times \frac{4}{3} = 4

。

(1) 的

2^{\frac{- 4}{3}}

前面是除號，指數要變號；

381 = 3^{\frac{4}{3}}

，不是

3^{\frac{3}{4}}

。(3) 的

4 lo g_{2} 4

是

4 \times 2 = 8

，不是

lo g_{2} 4^{4}

再取一次。

第 4 題(1) 真數條件：

x + 3 > 0

且

y + 1 > 0

。第二式：

lo g_{2} \frac{x + 3}{y + 1} = 1

，

x + 3 = 2 (y + 1)

，

x = 2 y - 1

。代入第一式：

3^{2 y - 1} - 8 \cdot 3^{y} = 27

。令

u = 3^{y}

（

u > 0

），

\frac{u ^{2}}{3} - 8 u - 27 = 0

，

u^{2} - 24 u - 81 = 0

，

(u - 27) (u + 3) = 0

，取

u = 27

，

y = 3

，

x = 5

。檢查：

3^{5} - 8 \cdot 3^{3} = 243 - 216 = 27

；

lo g_{2} 8 - lo g_{2} 4 = 3 - 2 = 1

。所以

(x, y) = (5, 3)

。 (2)

2^{- 2 x + 5} = 32 \cdot (2^{- x})^{2}

。令

u = 2^{- x}

（

u > 0

）：

32 u^{2} - 18 u + 1 \leq 0

，

(16 u - 1) (2 u - 1) \leq 0

，

\frac{1}{16} \leq u \leq \frac{1}{2}

，即

2^{- 4} \leq 2^{- x} \leq 2^{- 1}

。底數

2

大於

1

，所以

- 4 \leq - x \leq - 1

，

1 \leq x \leq 4

。 (3) 真數條件：

2 x + 3 > 0

、

x - 1 > 0

、

x + 5 > 0

，合起來是

x > 1

。把

lo g (x - 1)

移到右邊：

lo g (2 x + 3) \geq lo g [(x - 1) (x + 5)]

，底數

10

大於

1

，所以

2 x + 3 \geq x^{2} + 4 x - 5

，

x^{2} + 2 x - 8 \leq 0

，

(x + 4) (x - 2) \leq 0

，

- 4 \leq x \leq 2

。與

x > 1

取共同部分：

1 < x \leq 2

。

(2) 最後一步

- 4 \leq - x \leq - 1

同乘

- 1

時不等號要反向。(3) 一定要先寫真數條件，否則會多出

- 4 \leq x \leq 1

這一段。

第 5 題三個數都是正的，取常用對數比較（

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 5 = 1 - lo g 2 \approx 0.6990

）：

lo g a = - 500 lo g 2 \approx - 150.5

；

lo g b = - 333 lo g 3 \approx - 158.9

；

lo g c = - 225 lo g 5 \approx - 157.3

。

- 150.5 > - 157.3 > - 158.9

，而

y = lo g x

是遞增函數，所以

a > c > b

。

這三個數都是分數的高次方，次方數大的不一定小，要換成同一種尺度（這裡是常用對數）再比。等於是比

2^{500}

、

5^{225}

、

3^{333}

的位數：分別約

151

、

158

、

159

位，分母愈大的數愈小。

03第 6～8 題：填充題第 4～6 題（圖形的交點、平移與對稱）

第 6 題分兩段數交點。

x \leq 0

這一段：交點滿足

1 0^{x} = - x + a

，即

1 0^{x} + x = a

。

1 0^{x}

與

x

都隨

x

增加而增加，所以

1 0^{x} + x

是遞增的，在

x = 0

時最大，值為

1

；

x

愈往負的方向它就愈小，沒有下限。因此

a \leq 1

時這一段恰有

1

個交點，

a > 1

時沒有交點。

x > 0

這一段：交點滿足

lo g x + x = a

。

lo g x + x

也是遞增的，

x

接近

0

時它可以任意小，

x

很大時可以任意大，所以不論

a

是多少，這一段都恰有

1

個交點。合計要有兩個交點，條件是

a \leq 1

。

從圖形看：

y = - x + a

是斜率

- 1

的直線，

a

是它與

y

軸的交點高度。

y = 1 0^{x}

在

x \leq 0

的部分右端是

(0, 1)

，這個點有包含在內，所以

a = 1

時直線剛好通過

(0, 1)

，仍然算一個交點，答案的等號要留著。

第 7 題對

y

軸做對稱是把

x

換成

- x

：

g (x) = lo g_{2} (- x)

，定義在

x < 0

。向左平移

1

單位是把

x

換成

x + 1

，再向上平移

1

單位是整個加

1

：

h (x) = lo g_{2} (x + 1) + 1 = lo g_{2} [2 (x + 1)]

，定義在

x > - 1

。令

g (x) = h (x)

：

- x = 2 (x + 1)

，

3 x = - 2

，

x = - \frac{2}{3}

。

- 1 < - \frac{2}{3} < 0

，兩個函數在這裡都有定義，所以交點的

x

坐標是

- \frac{2}{3}

。

把常數

1

寫成

lo g_{2} 2

併進真數，兩邊就都是以

2

為底的對數，可以直接比真數。解出來的

x

要落在兩個函數共同的定義範圍

- 1 < x < 0

內。

第 8 題

A

、

B

在

y = lo g x

上，所以

r = lo g a

、

s = lo g b

。斜率

\frac{s - r}{b - a} = \frac{1}{9}

，即

s - r = \frac{b - a}{9}

。距離：

(b - a)^{2} + (s - r)^{2} = 82

，代入得

(b - a)^{2} (1 + \frac{1}{81}) = 82

，

(b - a)^{2} = 81

；因為

a < b

，

b - a = 9

，於是

s - r = 1

。

s - r = lo g b - lo g a = lo g \frac{b}{a} = 1

，所以

b = 10 a

；與

b - a = 9

聯立得

a = 1

、

b = 10

，因此

r = lo g 1 = 0

、

s = lo g 10 = 1

。

C (r, a) = (0, 1)

、

D (s, b) = (1, 10)

（確實在

y = 1 0^{x}

上）。直線

C D

的斜率是

\frac{10 - 1}{1 - 0} = 9

，過

(0, 1)

，方程式為

y = 9 x + 1

。

C

、

D

是把

A

、

B

的兩個坐標對調，也就是對直線

y = x

的對稱點，所以直線

C D

的斜率是直線

A B

斜率的倒數

9

。只知道斜率還不夠，要把

a

、

b

真的解出來才定得出直線通過哪一點。

04第 9～10 題：填充題第 7～8 題（單利與複利、位數與首位數字）

第 9 題

17

歲生日存入，到

27

歲生日剛好滿

10

年，隔天提領時

10

年的利息都已經算入。方案 A（按年單利）：每年的利息都是本金的

1.3%

，

10

年後本利和

= 1000000 \times (1 + 0.013 \times 10) = 1130000

元。方案 B（按月複利）：月利率

= \frac{1.2%}{12} = 0.1%

，

10

年共

120

期，本利和

= 1000000 \times 1.00 1^{120}

。用計算器得

1.00 1^{120} \approx 1.12742925

，本利和約

1127429.25

元。相差

1130000 - 1127429.25 = 2570.75

，四捨五入到整數位是

2571

元。

按月複利時，年利率要先除以

12

變成月利率，期數是

120

個月，不是

10

。這一題年利率低的方案雖然是複利，

10

年下來仍然比單利

1.3%

少。

1.00 1^{120}

要保留到小數點後第七、八位，乘上一百萬後個位數才準。

第 10 題正整數

N

是幾位數，看

lo g N

的整數部分：若

m \leq lo g N < m + 1

，則

N

是

m + 1

位數。 (1) 超過

100

位數就是至少

101

位數，即

3^{n} \geq 1 0^{100}

，

n lo g 3 \geq 100

，

n \geq \frac{100}{lo g 3} \approx \frac{100}{0.4771} \approx 209.6

。所以

n

最小是

210

（

209 lo g 3 \approx 99.72

，

3^{209}

是

100

位數，還顯示得出來；

210 lo g 3 \approx 100.20

，

3^{210}

是

101

位數）。 (2)

lo g 3^{300} = 300 lo g 3 \approx 300 \times 0.47712 = 143.136

，整數部分是

143

，所以

3^{300}

是

144

位數。 (3) 用計算器的

lo g 3 \approx 0.47712125

：

300 lo g 3 \approx 143.13638

，所以

3^{300} = 1 0^{143.13638} = 1 0^{0.13638} \times 1 0^{143}

。用計算器求

1 0^{0.13638} \approx 1.3689

，即

3^{300} \approx 1.3689 \times 1 0^{143}

，開頭四個數字依序是

1

、

3

、

6

、

8

（照抄前四個數字，不是四捨五入）。

(1) 問的是「超過

100

位」，門檻是

1 0^{100}

（最小的

101

位數），不是

1 0^{99}

。(3) 的

lo g 3

取幾位會直接影響答案：取

0.4771

得

300 lo g 3 \approx 143.13

，

1 0^{0.13} \approx 1.3489

，前四個數字變成

1348

；取

0.47712

得

143.136

，

1 0^{0.136} \approx 1.3677

，變成

1367

；取到

0.477121

得

143.1363

，

1 0^{0.1363} \approx 1.3687

，才是

1368

。所以

lo g 3

至少要取到

0.477121

，直接用計算器的完整位數最保險。

05第 11～13 題：混合題組第 1～3 題（傳染病人數的指數模型）

第 11 題每兩個月變成

10

倍：經過

t

個月相當於經過

\frac{t}{2}

個「兩個月」，人數乘了

\frac{t}{2}

次

10

，所以

f (t) = k \times 1 0^{\frac{t}{2}}

。檢查：

f (0) = k

；

f (t + 2) = k \times 1 0^{\frac{t}{2} + 1} = 10 f (t)

。

也可以寫成

f (t) = k (10)^{t}

，意思是每個月變成

10 \approx 3.16

倍。指數是

\frac{t}{2}

，不是

2 t

：

2 t

的話是每半個月就變成

10

倍。

第 12 題答案 (3)。

k = 30000

，

y = 30000 \times 1 0^{\frac{t}{2}}

。兩邊取常用對數：

lo g y = lo g 30000 + \frac{t}{2} = \frac{1}{2} t + (4 + lo g 3) \approx \frac{1}{2} t + 4.477

。這是一條斜率

\frac{1}{2}

（正的，往右上升）的直線，與縱軸交於

(0, 4.477)

，交點在

(0, 4)

與

(0, 5)

之間。五張圖裡，圖 (1) 與圖 (4) 是往右下降的直線，不合；圖 (2) 與縱軸交在

(0, 5)

與

(0, 6)

之間，圖 (5) 交在

(0, 3)

與

(0, 4)

之間，都不合；只有圖 (3) 往右上升且交在

(0, 4)

與

(0, 5)

之間。

30000

介於

1 0^{4}

與

1 0^{5}

之間，所以

lo g 30000

介於

4

與

5

之間，不必真的算出

4.477

也能選。指數函數取對數後變成直線，斜率就是指數裡

t

的係數。本頁的圖是照原卷各圖的升降與交點位置重畫的，橫向與縱向的單位長不同。

第 13 題全國人口的

50%

是

50000000 \times 50% = 25000000

人。要

f (t) = 30000 \times 1 0^{\frac{t}{2}} \geq 25000000

，即

1 0^{\frac{t}{2}} \geq \frac{2500}{3}

。兩邊取常用對數（底數

10

大於

1

，不等號方向不變）：

\frac{t}{2} \geq lo g \frac{2500}{3}

，

t \geq 2 lo g \frac{2500}{3} = 2 (lo g 2500 - lo g 3) \approx 2 (3.3979 - 0.4771) = 5.8416

。所以大約要

5.84

個月才達到；取到整數位，最少要經過

6

個月。

檢查：

t = 5

時

30000 \times 1 0^{2.5} \approx 949

萬人，還不到

2500

萬；

t = 6

時

30000 \times 1 0^{3} = 3000

萬人，已經超過。問「最少經過幾個月」，

5.84

要無條件進位成

6

，不是因為四捨五入。

固定時間變成固定倍數的量，用指數函數來寫；取常用對數後變成直線，位數、首位數字、要等多久這類問題都可以在對數那一邊解決。

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