段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期、週期性數學模型）

高師大附中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 高師大附中 109 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 23 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 高師大附中 109 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 5 題三個角的單位不同，要先換成同一種單位再比；多重選擇第 9 題要從圖上的零點與最高點讀出週期，平移量要先把 x 的係數提出來再看；選填 B（本頁第 15 題）的灰色區域要拆成扇形減去半圓的一部分，再加一塊弓形；選填 E 的 (a)（第 19 題）要先用弦長與弓形的高求出半徑。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

卷頭印「高二數B(孝和)試卷」，考試時間 80 分鐘。單選題 5 題每題 4 分共 20 分、多重選擇題 5 題每題 6 分共 30 分、選填題 10 題每題 4 分共 40 分、混和題 10 分（三小題依序 4 分、3 分、3 分），合計 100 分。卷面題號：單選 1～5、多重選擇 6～10、選填題 A～E、混和題第 1 題 (1)(2)(3)；本頁連續編為第 1～23 題，選填 A 的 (a)(b)(c)(d) 是第 11～14 題、B 是第 15 題、C 的 (a)(b) 是第 16、17 題、D 是第 18 題、E 的 (a)(b) 是第 19、20 題，混和題 (1)(2)(3) 是第 21～23 題。選填題卷面另附答案卡畫記的作答說明與範例，本頁從略。答案已與學校公布的答案逐題核對，學校有列出的各題全部一致；選填 C 的 (a) 與混和題 (3) 學校沒有列出答案，由本站計算與作圖。

一、單選題（每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得 4 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。本大題共計 20 分）

沖積扇是山地河流出口處的堆積地貌，外形如同摺扇，故名為沖積扇。假設某一地區的沖積扇平原其扇形面積恰為

150 π

（平方公里），且其半徑 20 公里，則其扇形的夾角為

(A) $\frac{π}{6}$
(B) $\frac{π}{4}$
(C) $\frac{π}{3}$
(D) $\frac{2 π}{3}$
(E) $\frac{3 π}{4}$

早上 6 點整小明起床，則他發現時針與分針重合時是經過幾分鐘後？

(A) $32$
(B) $33$
(C) $34$
(D) $\frac{360}{11}$
(E) $\frac{400}{11}$

函數

y = - 2 sin (2 π x - 2) + 2

最大值為

a

，最小值為

b

，週期為

c

，振幅為

d

。求

a + b + c + d =

(A) $6$
(B) $7$
(C) $8$
(D) $9$
(E) 以上皆非

方程式

x = 5 sin x

的解有（　　）個

(A) $0$
(B) $1$
(C) $3$
(D) $5$
(E) 無限多

試比較

a = 14 π^{\circ}

，

b = 0.7749

弳，

c = \frac{14}{57} π

弳的大小

(A) $b > c > a$
(B) $a > b > c$
(C) $c > b > a$
(D) $b > a > c$
(E) $c > a > b$

二、多重選擇題（每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 6 分；答錯 1 個選項者，得 4 分；答錯 2 個選項者，得 2 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。本大題共計 30 分）

設

sin θ = - \frac{3}{5}

，且

θ

為第四象限角，試選出正確的選項

(A) $cos θ = \frac{4}{5}$
(B) $tan θ = - \frac{4}{3}$
(C) $sin (π + θ) = \frac{3}{5}$
(D) $cos (\frac{π}{2} + θ) = \frac{3}{5}$
(E) $tan (θ - π) = \frac{3}{4}$

考慮函數

f (x) = 3 sin 2 x - 1

，試問下列選項何者為真？

(A) 值域為 $[- 3, 3]$
(B) $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{2}$ 時有最大值
(C) $f (x)$ 的週期為 $\frac{2 π}{3}$
(D) $y = f (x)$ 的圖形對稱於直線 $x = π$
(E) $f (1) > 0$

關於三角函數的敘述，下列哪些正確？

(A) $sin 3 < 0$
(B) $cos 3 > 0$
(C) $sin 3 < \frac{1}{2}$
(D) $∣ cos 3∣ < \frac{1}{2}$
(E) $∣ sin 3∣ < ∣ cos 3∣$

附圖為三角函數

y = 3 sin (a x - b)

的部分圖形，其中

a > 0

，則下列各項敘述哪些正確？

(A) $B (0, - 3)$
(B) $b = \frac{π}{2}$
(C) $C (\frac{5 π}{6}, 0)$
(D) $y = f (x)$ 的週期為 $\frac{π}{2}$
(E) 其圖形可由 $y = 3 sin 3 x$ 向左平移 $\frac{π}{6}$ 而得

載入中...

阿月欲觀察月球亮面的比例，遂在某月的每天夜晚同一時間拍攝月球相片，並計算月球亮面的比例。最後根據所得的資料，繪製圖形如下，並發現可用正弦函數

y = a sin (b x - c) + d

（其中

a, b, d

為正數，

0 \leq c \leq \frac{π}{2}

）來描述所觀察的資料。試選出下列正確的選項

(A) 週期 30 天
(B) $b = \frac{π}{7}$
(C) $c = \frac{3 π}{7}$
(D) $c = 3 b$
(E) $a = d$

載入中...

三、選填題（請將答案畫記在答案卡所標示的列號（11–48）。每題完全答對給 4 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。本大題共 10 題，共計 40 分）

選填題 A（第 11～14 題）　試完成下表角度互換：（分數請約到最簡；小數請四捨五入至小數以下第二位）

題號 度 弧度 A.(a) 382. 5^{\circ} \frac{12 13}{11} π A.(b) - 7 5^{\circ} \frac{16 17}{14 15} π A.(c) 20 0^{\circ} 18.1920 A.(d) 212223.24 25^{\circ} π^{2}

A.(a)　

382. 5^{\circ} = \frac{12 13}{11} π

弧度。

A.(b)　

- 7 5^{\circ} = \frac{16 17}{14 15} π

弧度。

A.(c)　

20 0^{\circ} = 18.1920

弧度。

A.(d)　

π^{2}

弧度

= 212223.24 25^{\circ}

。

B. 附圖中，

\overline{A B} = 20

，以

\overline{A B}

為直徑的半圓，

C

為

A B

弧中點，今以

B

為圓心，

\overline{A B}

為半徑作一圓弧與直線

B C

交於

D

點，則灰色部分面積為

2627 π - 282930

。

載入中...

選填題 C（第 16～17 題）　一直圓錐底半徑 5 cm，高 12 cm。

C.(a)　其側表面積為

3132 π cm^{2}

。

C.(b)　沿斜高剪開成一扇形，此扇形中心角

\frac{35 36}{33 34} π

弧度。（約至最簡分數）

D. 設

- 7 \leq x \leq 5

，則

sin x = \frac{1}{2}

有

37

個實數解。

選填題 E（第 19～20 題）　臺中市文心森林公園內有座全臺最大，可容納約 16000 名觀眾的大型表演戶外環型劇場－圓滿戶外劇場，其簡化示意圖（僅為示意圖，比例不一定正確）如附圖，若

\overline{A B} = 363

，

\overline{K L} = 18

，三區觀眾席中

∠ C O D = 10 5^{\circ}

，

\overline{O E} = 20

，

\overline{GE} = 25

，

\overline{G I} = 30

，且舞臺區與三區觀眾席都以

O

為圓心所組成。試回答下列問題：

E.(a)　舞臺區的面積為

383940 π - 41424344

。

載入中...

E.(b)　若某人繞著第三區走一圈，總共走了

4546 π + 4748

四、混和題（本大題共計 10 分）

1. (1) 設

0 \leq x < 2 π

，則滿足不等式

sin x \leq \frac{3}{2}

之

x

的範圍是 ____。（4 分）

(2) 將

y = sin x

的圖形先沿水平方向伸縮為原來的

\frac{1}{2}

倍，再往左平移

\frac{π}{6}

後，得到的圖形為

y = sin (a x + b)

，則數對

(a, b) =

____。（3 分，全對才給分）

(3) 試畫出第 (2) 小題圖形（至少兩個週期）。（3 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(D)

第 3 題(B)

第 4 題(C)

第 5 題(A)

第 6 題(A)(C)(D)

第 7 題(E)

第 8 題(C)(E)

第 9 題(A)(B)(C)（照學校公布的答案；題目沒有限制 b 的範圍，(B) 的值只是其中一個可能，見詳解）

第 10 題(D)(E)

第 11 題

\frac{17}{8} π

第 12 題

\frac{- 5}{12} π

第 13 題

3.49

第 14 題

565.49

第 15 題

50 π - 100

第 16 題

65 π

（學校公布的答案沒有列出這一格，本站計算）

第 17 題

\frac{10}{13} π

第 18 題

4

第 19 題

432 π - 3243

第 20 題

70 π + 60

第 21 題

0 \leq x \leq \frac{π}{3}

或

\frac{2 π}{3} \leq x < 2 π

第 22 題

(2, \frac{π}{3})

第 23 題圖形見詳解（學校公布的答案寫「略」，本站作圖）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～5 題）：扇形面積、時鐘、正弦型函數的性質、交點個數、角的大小

第 1 題答案 (E)。扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ

（

θ

用弧度）。代入

r = 20

：

\frac{1}{2} \times 2 0^{2} \times θ = 150 π

，

200 θ = 150 π

，所以夾角

θ = \frac{3 π}{4}

弳，選 (E)。

第 2 題答案 (D)。分針每分鐘轉

6^{\circ}

，時針每分鐘轉

0. 5^{\circ}

。從 12 的位置順時針量，6 點整時分針在

0^{\circ}

、時針在

18 0^{\circ}

。設

t

分鐘後重合：

6 t = 180 + 0.5 t

，

5.5 t = 180

，

t = \frac{360}{11}

。

\frac{360}{11} \approx 32.7

，介於 32 與 33 之間，不是整數分鐘。

第 3 題答案 (B)。

- 1 \leq sin (2 π x - 2) \leq 1

，乘上

- 2

後

- 2 \leq - 2 sin (2 π x - 2) \leq 2

，再加

2

得

0 \leq y \leq 4

，所以最大值

a = 4

、最小值

b = 0

。週期

c = \frac{2 π}{2 π} = 1

。振幅

d = ∣ - 2∣ = 2

。

a + b + c + d = 4 + 0 + 1 + 2 = 7

。

振幅是係數的絕對值，不是

- 2

；週期只看

x

的係數

2 π

。

第 4 題答案 (C)。

x = 5 sin x

即

sin x = \frac{x}{5}

，看

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{5}

的交點。因為

- 1 \leq sin x \leq 1

，交點只可能在

- 5 \leq x \leq 5

。

x = 0

是一個交點。在

0 < x < π

：正弦曲線在原點附近比直線陡，先在直線上方，到

x = π

時

sin π = 0 < \frac{π}{5}

已在直線下方，中間交

1

次。在

π \leq x \leq 5

：因為

5 < 2 π \approx 6.28

，這一段

sin x \leq 0

而直線為正，沒有交點。兩個圖形都對稱於原點，所以

x < 0

也有

1

個。共

3

個解。

第 5 題答案 (A)。先把三個角都看成弧度。

1

弳

= \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx 57. 3^{\circ}

，所以

a = 14 π^{\circ} = \frac{14 π}{57.3}

弳（約

0.7676

），而

c = \frac{14 π}{57}

弳：分子相同、

c

的分母較小，所以

c > a

。再算

c = \frac{14 \times 3.1416}{57} \approx \frac{43.98}{57} \approx 0.7716 < 0.7749 = b

。所以

b > c > a

。

原卷電子檔在 14 之後、度的符號之前還有一個

π

，本頁讀作

14 π^{\circ}

。若讀作

1 4^{\circ}

（約

0.2443

弳），

a

仍是最小，答案同樣是 (A)。

沒有寫「°」的角是弧度；度與弧度混在一起比大小時，先全部換成同一種單位。

02多重選擇題（第 6～8 題）：三角函數值、正弦型函數的性質、3 弧度

第 6 題答案 (A)(C)(D)。

θ

在第四象限，終邊上取點

(4, - 3)

，到原點的距離

r = 5

。(A) 正確。

cos θ = \frac{4}{5}

。(B) 錯誤。

tan θ = \frac{- 3}{4} = - \frac{3}{4}

，不是

- \frac{4}{3}

。(C) 正確。

sin (π + θ) = - sin θ = \frac{3}{5}

。(D) 正確。

cos (\frac{π}{2} + θ) = - sin θ = \frac{3}{5}

。(E) 錯誤。 正切的週期是

π

，

tan (θ - π) = tan θ = - \frac{3}{4}

。

第 7 題答案 (E)。(A) 錯誤。

- 3 \leq 3 sin 2 x \leq 3

，減

1

後值域是

[- 4, 2]

。(B) 錯誤。

f (\frac{π}{2}) = 3 sin π - 1 = - 1

，而最大值是

2

（例如

x = \frac{π}{4}

時）。(C) 錯誤。 週期是

\frac{2 π}{2} = π

。(D) 錯誤。 若對稱於

x = π

，則左右等距的兩點要等高；但

f (\frac{3 π}{4}) = 3 sin \frac{3 π}{2} - 1 = - 4

，

f (\frac{5 π}{4}) = 3 sin \frac{5 π}{2} - 1 = 2

，不相等。(E) 正確。

f (1) = 3 sin 2 - 1

。

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 2 < \frac{5 π}{6} \approx 2.62

，正弦在

\frac{π}{2}

到

π

之間遞減，所以

sin 2 > sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

，

f (1) > \frac{3}{2} - 1 > 0

。

對稱軸要通過最高點或最低點；

x = π

時

f (π) = - 1

在中心線上，那裡是對稱中心而不是對稱軸。

第 8 題答案 (C)(E)。

\frac{5 π}{6} \approx 2.618 < 3 < π \approx 3.142

，

3

弧度是第二象限角，參考角

π - 3 \approx 0.142

，比

\frac{π}{6} \approx 0.524

小。(A) 錯誤。 第二象限的正弦為正。(B) 錯誤。 第二象限的餘弦為負。(C) 正確。

sin 3 = sin (π - 3) < sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

。(D) 錯誤。

∣ cos 3∣ = cos (π - 3) > cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2} > \frac{1}{2}

。(E) 正確。 由前兩項，

∣ sin 3∣ < \frac{1}{2} < \frac{3}{2} < ∣ cos 3∣

。

用計算機檢查：

sin 3 \approx 0.141

，

cos 3 \approx - 0.990

。

弧度角先用

π \approx 3.14

夾在兩個熟悉的角之間，定出象限與參考角，再判斷函數值的正負與大小。

03多重選擇題（第 9、10 題）：由圖形決定正弦型函數

第 9 題答案 (A)(B)(C)。由圖：圖形在

x = \frac{π}{6}

由下往上通過

x

軸，在

x = \frac{π}{3}

到最高點

3

，在

x = \frac{π}{2}

由上往下通過

x

軸。相鄰兩個零點相隔半個週期：

\frac{π}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

，所以週期是

\frac{2 π}{3}

，

a = 2 π \div \frac{2 π}{3} = 3

。(D) 錯誤。 週期是

\frac{2 π}{3}

。(A) 正確。 最高點

x = \frac{π}{3}

往左半個週期是

x = 0

，那裡是最低點，所以

B (0, - 3)

。(B) 正確（照學校公布的答案）。

x = 0

時

3 sin (- b) = - 3

，

sin b = 1

，

b = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），其中最簡單的是

b = \frac{π}{2}

。(C) 正確。 最低點在最高點之後半個週期，

x = \frac{π}{3} + \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

；

C

是再過四分之一週期、由下往上通過

x

軸的點，

x = \frac{2 π}{3} + \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}

。(E) 錯誤。

3 sin (3 x - \frac{π}{2}) = 3 sin 3 (x - \frac{π}{6})

，是由

y = 3 sin 3 x

向右平移

\frac{π}{6}

。

題目只給

a > 0

，沒有限制

b

的範圍，所以嚴格來說

b

也可以是

\frac{5 π}{2}

、

- \frac{3 π}{2}

等值，圖形完全相同；學校的答案把 (B) 算作正確，是取

b = \frac{π}{2}

這個最簡單的值。(D) 的

y = f (x)

指的就是這個函數。(E) 向左平移

\frac{π}{6}

會得到

3 sin (3 x + \frac{π}{2})

，在

x = 0

是最高點，與圖不合。

第 10 題答案 (D)(E)。由圖：最高點

(10, 1)

，最低點在

x = 24

、高度

0

。振幅

a = \frac{1 - 0}{2} = \frac{1}{2}

，中心線

d = \frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2}

，(E) 正確。 最高點到相鄰最低點是半個週期：

24 - 10 = 14

，週期是

28

天；點

(17, \frac{1}{2})

在中心線上，正好在兩者正中間，與此相符。(A) 錯誤。 週期是

28

天。(B) 錯誤。

b = \frac{2 π}{28} = \frac{π}{14}

。

x = 10

在最高點：

\frac{π}{14} \times 10 - c = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），配合

0 \leq c \leq \frac{π}{2}

得

c = \frac{5 π}{7} - \frac{π}{2} = \frac{3 π}{14}

。(C) 錯誤。

c = \frac{3 π}{14}

，不是

\frac{3 π}{7}

。(D) 正確。

3 b = \frac{3 π}{14} = c

。

代回檢查：

x = 17

時

\frac{17 π}{14} - \frac{3 π}{14} = π

，

y = \frac{1}{2} sin π + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

；

x = 24

時角度是

\frac{3 π}{2}

，

y = 0

，都與圖相符。

振幅＝(最大值－最小值)÷2，中心線＝(最大值＋最小值)÷2；最高點到相鄰最低點是半個週期，零點到相鄰最高點是四分之一個週期。

04選填題 A（第 11～14 題）：度與弧度互換

第 11 題

18 0^{\circ} = π

弧度，所以

382. 5^{\circ} = \frac{382.5}{180} π = \frac{765}{360} π = \frac{17}{8} π

弧度。列號 (11) 填

8

，(12)(13) 填

17

。

第 12 題

- 7 5^{\circ} = - \frac{75}{180} π = - \frac{5}{12} π

弧度。答案格的分母有兩格、分子有兩格，負號畫在分子：(14)(15) 填

12

，(16)(17) 填

- 5

。

卷面作答說明舉的例子（答案是

\frac{- 7}{50}

）也是把負號寫在分子。

第 13 題

20 0^{\circ} = \frac{200}{180} π = \frac{10 π}{9} \approx \frac{31.416}{9} \approx 3.4907

，四捨五入到小數第二位是

3.49

弧度。

第 14 題

π

弧度

= 18 0^{\circ}

，所以

π^{2}

弧度

= π \times 18 0^{\circ} = 180 π^{\circ} \approx 180 \times 3.14159 = 565.486 \dots^{\circ}

，四捨五入到小數第二位是

565.4 9^{\circ}

。

這一格的弧度是

π^{2}

（

π

的平方，約

9.87

），不是

2 π

；

π

至少要取到

3.1416

；只用

3.14

會算成

565.20

。

05選填題 B、C、D（第 15～18 題）：灰色區域面積、圓錐展開、正弦方程式的解數

第 15 題設

M

是

\overline{A B}

的中點（半圓的圓心），半圓半徑

10

。

C

是弧

A B

的中點，所以

\overline{M C} ⊥ \overline{A B}

，

\overline{M C} = \overline{M B} = 10

，三角形

M B C

是等腰直角三角形，

∠ A B C = 4 5^{\circ} = \frac{π}{4}

。扇形

B A D

（圓心

B

、半徑

20

）面積

= \frac{1}{2} \times 2 0^{2} \times \frac{π}{4} = 50 π

。這個扇形裡沒有塗灰的部分，是半圓落在

\overline{B C}

左下方的那一塊，等於四分之一圓

M A C

加三角形

M B C

：

\frac{1}{4} π \times 1 0^{2} + \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 25 π + 50

。所以左邊的灰色區域面積

= 50 π - (25 π + 50) = 25 π - 50

。右邊的灰色區域是弦

\overline{B C}

與弧

B C

所圍的弓形，面積

=

四分之一圓

M C B -

三角形

M B C = 25 π - 50

。兩塊合計

50 π - 100

。

估算檢查：

50 π - 100 \approx 57.1

，比扇形

B A D

的面積

50 π \approx 157.1

小，合理。

第 16 題斜高

= 5^{2} + 1 2^{2} = 13

。側面展開是半徑

13

的扇形，弧長等於底圓周長

2 π \times 5 = 10 π

，面積

= \frac{1}{2} \times 13 \times 10 π = 65 π

（平方公分）。

學校公布的答案在 C 只列了 (b) 的

\frac{10}{13}

，這一格由本站計算。

第 17 題展開的扇形半徑是斜高

13

，弧長是

10 π

，圓心角

= \frac{弧長}{半徑} = \frac{10 π}{13} = \frac{10}{13} π

弧度。(33)(34) 填

13

，(35)(36) 填

10

。

第 18 題

sin x = \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{π}{6} + 2 k π

或

x = \frac{5 π}{6} + 2 k π

（

k

為整數）。逐一列出並估值：

\frac{π}{6} \approx 0.52

、

\frac{5 π}{6} \approx 2.62

、

\frac{π}{6} - 2 π \approx - 5.76

、

\frac{5 π}{6} - 2 π \approx - 3.67

都在

- 7 \leq x \leq 5

內；再往右的

\frac{13 π}{6} \approx 6.81

超過

5

，再往左的

\frac{5 π}{6} - 4 π \approx - 9.95

小於

- 7

。共

4

個解。

範圍左右不對稱，兩邊要分開檢查：

5 < 2 π

，

- 7 < - 2 π \approx - 6.28

。

圓錐側面展開：扇形半徑＝斜高，扇形弧長＝底圓周長。

06選填題 E（第 19、20 題）：戶外劇場的舞臺與觀眾席

第 19 題由圖，舞臺區是以

O

為圓心的圓被弦

\overline{A B}

截下的弓形，

K

是

\overline{A B}

的中點，

O

、

K

、

L

在同一直線上且

\overline{O L} ⊥ \overline{A B}

。設圓半徑為

r

，則

\overline{O K} = r - 18

，

\overline{A K} = 183

。在直角三角形

O K A

中：

(r - 18)^{2} + (183)^{2} = r^{2}

，

- 36 r + 324 + 972 = 0

，

r = 36

。於是

\overline{O K} = 18

，

cos ∠ A O K = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}

，

∠ A O K = 6 0^{\circ}

，

∠ A O B = 12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

。扇形

O A B

面積

= \frac{1}{2} \times 3 6^{2} \times \frac{2 π}{3} = 432 π

；三角形

O A B

面積

= \frac{1}{2} \times 363 \times 18 = 3243

。舞臺區面積

= 432 π - 3243

。

題幹沒有用文字說明

K

、

L

的位置，這裡依附圖判讀（

K

在弦上、

L

在弧上、

\overline{K L}

垂直於弦）；照這個讀法算出的結果與答案格的格式相符。

第 20 題第三區是圓心角

10 5^{\circ} = \frac{7 π}{12}

、夾在半徑

\overline{O G}

與

\overline{O I}

之間的環形區域。

\overline{O G} = \overline{O E} + \overline{GE} = 20 + 25 = 45

，

\overline{O I} = 45 + 30 = 75

。內弧長

= 45 \times \frac{7 π}{12} = \frac{105 π}{4}

，外弧長

= 75 \times \frac{7 π}{12} = \frac{175 π}{4}

，兩弧合計

70 π

；兩側的直線邊各長

30

，合計

60

。繞一圈共走

70 π + 60

。

周長要算四段：兩段弧加兩段直線邊。卷面這一題句末沒有印單位。

弓形面積＝扇形面積減三角形面積；弦、弦心距與半徑構成直角三角形。

07混和題（第 21～23 題）：正弦不等式、圖形的伸縮與平移、作圖

第 21 題在

0 \leq x < 2 π

內，

sin x = \frac{3}{2}

的解是

x = \frac{π}{3}

與

x = \frac{2 π}{3}

。看

y = sin x

的圖形：只有在這兩個解之間，圖形高於水平線

y = \frac{3}{2}

；其餘部分都在這條線上或下方。所以

0 \leq x \leq \frac{π}{3}

或

\frac{2 π}{3} \leq x < 2 π

。

不等式含等號，

\frac{π}{3}

與

\frac{2 π}{3}

兩個端點都要取；

x = 2 π

不在題目給的範圍內。

第 22 題水平方向伸縮為原來的

\frac{1}{2}

倍，是把

x

換成

2 x

，得

y = sin 2 x

。再往左平移

\frac{π}{6}

，是把

x

換成

x + \frac{π}{6}

，得

y = sin 2 (x + \frac{π}{6}) = sin (2 x + \frac{π}{3})

。所以

(a, b) = (2, \frac{π}{3})

。

平移是對

x

本身做代換，要連同係數

2

一起乘開；直接寫成

sin (2 x + \frac{π}{6})

是先平移再伸縮的結果。題目沒有限制

b

的範圍，這裡取直接展開得到的值。

第 23 題

y = sin (2 x + \frac{π}{3})

的振幅是

1

，週期是

π

。令

2 x + \frac{π}{3} = 0

得

x = - \frac{π}{6}

，圖形在這裡由下往上通過

x

軸；之後每隔四分之一週期

\frac{π}{4}

依序是最高點

(\frac{π}{12}, 1)

、零點

(\frac{π}{3}, 0)

、最低點

(\frac{7 π}{12}, - 1)

、零點

(\frac{5 π}{6}, 0)

，完成一個週期。再往右重複一次，到

x = \frac{11 π}{6}

為止就是兩個週期。與

y

軸交於

(0, \frac{3}{2})

。把這些點用平滑曲線連起來，如圖。

載入中...

作圖時標出振幅（最高

1

、最低

- 1

）與幾個零點的位置，並畫滿至少兩個週期。

畫正弦型函數的圖形：先找一個由下往上通過中心線的起點，再每隔四分之一週期標出最高點、零點、最低點、零點。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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高師大附中 109 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 23 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高師大附中 109 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 5 題三個角的單位不同，要先換成同一種單位再比；多重選擇第 9 題要從圖上的零點與最高點讀出週期，平移量要先把 x 的係數提出來再看；選填 B（本頁第 15 題）的灰色區域要拆成扇形減去半圓的一部分，再加一塊弓形；選填 E 的 (a)（第 19 題）要先用弦長與弓形的高求出半徑。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高師大附中 109 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高師大附中 109 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題（第 1～5 題）：扇形面積、時鐘、正弦型函數的性質、交點個數、角的大小

02多重選擇題（第 6～8 題）：三角函數值、正弦型函數的性質、3 弧度

03多重選擇題（第 9、10 題）：由圖形決定正弦型函數

04選填題 A（第 11～14 題）：度與弧度互換

05選填題 B、C、D（第 15～18 題）：灰色區域面積、圓錐展開、正弦方程式的解數

06選填題 E（第 19、20 題）：戶外劇場的舞臺與觀眾席

07混和題（第 21～23 題）：正弦不等式、圖形的伸縮與平移、作圖

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高師大附中 109 上
高二第一次段考
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