武陵高中 114 上
高一第三次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (A)(B)(E)。

① 由除法原理，設 $f(x)=(2x-3{)}^{2}Q(x)+r$。

② 也就是說，把 $x=\frac{3}{2}$ 代入得 $f\left(\frac{3}{2}\right)=r$。

(A) 正確。 由餘式定理，$f(x)$ 除以 $2x-3$ 的餘式是 $f\left(\frac{3}{2}\right)=r$。

(B) 正確。 把 $x$ 換成 $\frac{x}{2}$：$f\left(\frac{x}{2}\right)={\left(2\cdot \frac{x}{2}-3\right)}^{2}Q\left(\frac{x}{2}\right)+r=(x-3{)}^{2}Q\left(\frac{x}{2}\right)+r$，餘式是 $r$。

(C) 錯誤。 ${\left[f(x)\right]}^2=(2x-3{)}^2\left[(2x-3{)}^2{Q}^2+2rQ\right]+r^2$，餘式是 $r^2$，一般不等於 $r$（例如 $r=2$ 時餘式是 $4$）。

(D) 錯誤。 餘式是 $3f\left(\frac{3}{2}\right)=3r$，一般不等於 $r$。

(E) 正確。 餘式是 $\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}\cdot f\left(\frac{3}{2}\right)=r$。

答案 (C)(E)。

① 條件 i：$1-t$ 與 $-3+t$ 的中點是 $\frac{(1-t)+(-3+t)}{2}=-1$，函數值永遠相等，所以對稱軸是 $x=-1$。

② 由對稱軸，$f(-4)=f(2)$。條件 ii 變成 $f(2)<0<f(3)$。

③ 若 $a<0$（開口向下），離對稱軸越遠函數值越小；$3$ 比 $2$ 離 $x=-1$ 更遠，會得到 $f(3)<f(2)<0$，矛盾。所以 $a>0$。

④ 對稱軸 $-\frac{b}{2a}=-1$，得 $b=2a>0$。

⑤ $f(2)<0<f(3)$，所以有一根在 $2$ 與 $3$ 之間；另一根與它對稱於 $x=-1$，在 $-5$ 與 $-4$ 之間。

(A) 錯誤。 $a>0$。

(B) 錯誤。 $b=2a>0$。

(C) 正確。 $0$ 在兩根之間，開口向上，所以 $c=f(0)<0$。

(D) 錯誤。 $5a-b=5a-2a=3a>0$。

(E) 正確。 設兩根為 $-1\pm d$，由 ⑤ 得 $3<d<4$，所以 $\left|\alpha -\beta \right|=2d$ 介於 $6$ 與 $8$ 之間。

答案 (D)。

(A) 錯誤。 分母不能是 $0$，所以 $x\ne -1$；約分後是 $x+1\le 0$ 且 $x\ne -1$，解為 $x<-1$。而 $x+1\le 0$ 的解是 $x\le -1$，兩者差了 $x=-1$。

(B) 錯誤。 $(x-2{)}^2\ge 0$，所以 $(x+1)(x-2{)}^2\le 0$ 的解是 $x\le -1$ 或 $x=2$，多了 $x=2$。

(C) 錯誤。 $\frac{1}{x}<1$ 移項得 $\frac{1-x}{x}<0$，即 $x(x-1)>0$ 且 $x\ne 0$，解為 $x<0$ 或 $x>1$，多了 $x<0$ 這段。

(D) 正確。 $x^2-x+1={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$，除以它不改變正負；$(x-2{)}^3$ 與 $x-2$ 正負號相同。兩個不等式都等價於 $(x-2)(2x+1)(x-1)<0$，解都是 $x<-\frac{1}{2}$ 或 $1<x<2$。

(E) 錯誤。 $x=1$ 時左式等於 $0$，不滿足「$<0$」；所以前者的解是 $-\frac{1}{2}<x<2$ 且 $x\ne 1$，後者的解是 $-\frac{1}{2}<x<2$，差了 $x=1$。

答案 (B)(C)。

① $y=a{x}^3+bx$ 就是 $a(x-0{)}^3+b(x-0)+0$，所以圖形的對稱中心是原點，一定通過原點。

② 三次函數 $a(x-h{)}^3+p(x-h)+k$ 的形狀：$a>0$ 時右端往上，$a<0$ 時右端往下；$a$ 與 $p$ 同號（或 $p=0$）時一路上升或一路下降，$a$ 與 $p$ 異號時會有一高一低兩個轉折。這裡 $p=b$。

③ 直線 $y=ax-b$ 的斜率是 $a$，與 $y$ 軸交在 $(0,-b)$。

(A) 錯誤。 三次函數右端往上而且沒有轉折，所以 $a>0$、$b\ge 0$；但直線與 $y$ 軸交在正的地方，$-b>0$，得 $b<0$，矛盾。

(B) 正確。 三次函數右端往上而且有轉折，$a>0$、$b<0$；直線斜率為正、$y$ 截距為正，$a>0$、$-b>0$，一致。例如 $a=1$、$b=-3$。

(C) 正確。 三次函數右端往下、沒有轉折，$a<0$、$b\le 0$；直線斜率為負、$y$ 截距為正，$a<0$、$b<0$，一致。例如 $a=-1$、$b=-1$。

(D) 錯誤。 三次函數右端往下，$a<0$；但直線斜率為正，$a>0$，矛盾。

(E) 錯誤。 這個三次函數的圖形沒有通過原點，不可能是 $y=a{x}^3+bx$。

① 逐項代入 $x=-\frac{2}{3}$：

$$27\cdot \frac{16}{81}+33\cdot \left(-\frac{8}{27}\right)-20\cdot \frac{4}{9}-\frac{2}{3}$$

② 化成分母 $9$：$\frac{48}{9}-\frac{88}{9}-\frac{80}{9}-\frac{6}{9}=-\frac{126}{9}=-14$。

答案 $-14$。

① $f(x)$ 的每一項都是三次以下，所以 $f(x)$ 是次數不超過 $3$ 的多項式。

② 令 $h(x)=f(x)-114$，它的次數也不超過 $3$，卻有 $4$、$-7$、$13$、$45$ 四個相異的根。

③ 次數不超過 $3$ 的多項式若有四個相異根，只能是零多項式，所以 $f(x)=114$ 對所有 $x$ 都成立。

④ 代 $x=0$：後三項都含因式 $x$，等於 $0$，所以 $f(0)=a(-1)(-2)(-3)=-6a=114$。

答案 $a=-19$。

① 由因式定理，$x=c$ 代入為 $0$：$c(c-a)(c-b)+17=0$，即 $c(c-a)(c-b)=-17$。

② 因為 $0<a<b$，三個整數的大小是 $c>c-a>c-b$，彼此相異。

③ $17$ 是質數，三個相異整數相乘的絕對值是 $17$，只能是 $1$、$1$、$17$ 這三個絕對值；要相異，兩個 $1$ 必須一正一負，也就是 $1$ 與 $-1$；乘積是 $-17$，第三個是 $17$。

④ 由大到小對應：$c=17$，$c-a=1$，$c-b=-1$，得 $a=16$，$b=18$。

答案 $a+b+c=51$。

① 設 ${\Gamma }_1$ 為 $y=p(x)$。沿 $x$ 軸負向移 $1$、沿 $y$ 軸正向移 $4$，就是 ${\Gamma }_2$ 為 $y=p(x+1)+4$ 的意思。

② 反過來，${\Gamma }_1$ 是把 ${\Gamma }_2$ 往右移 $1$、往下移 $4$：把 $x$ 換成 $x-1$，再減 $4$。

$$y=2(x-1{)}^3+6(x-1{)}^2+3(x-1)-5-4$$

③ 展開：$2x^3-6x^2+6x-2+6x^2-12x+6+3x-3-9=2x^3-3x-8$。

答案 $(a,b,c,d)=(2,0,-3,-8)$。

① $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$，由餘式定理：$f(1)=3$，$f(3)=13$，$g(1)=-2$，$g(3)=0$。

② $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$：$f(-1)=-1$，$f(-2)=-5$，$g(-1)=-1$，$g(-2)=-3$。

③ 除式 $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$，設 $f(x)g(x)$ 除以它的餘式為 $px+q$。

④ 代 $x=3$：$3p+q=f(3)g(3)=13\cdot 0=0$。

⑤ 代 $x=-2$：$-2p+q=f(-2)g(-2)=(-5)(-3)=15$。

⑥ 兩式相減得 $5p=-15$，$p=-3$，$q=9$。

答案 $-3x+9$。

① 三次函數 $y=A{x}^3+B{x}^2+Cx+D$ 的對稱中心 $x$ 坐標是 $-\frac{B}{3A}$。

② 由 ${\Gamma }_1$：$-\frac{b}{3a}=3$，得 $b=-9a$。

③ $f(3)=11$：$27a+9b+3c+1=11$，代入 $b=-9a$ 得 $-54a+3c=10$。

④ ${\Gamma }_2$ 的對稱中心 $x$ 坐標是 $-\frac{-b}{3a}=\frac{b}{3a}=-3$。

⑤ $g(-3)=-27a-9b-3c+1=-27a+81a-3c+1=54a-3c+1=-10+1=-9$。

答案 $(-3,-9)$。

① 「${\Gamma }_1$ 恆在 ${\Gamma }_2$ 下方」就是對所有 $x$：$(m-2)x^2-2x-1<-mx+1$。

② 移項整理：$(m-2)x^2+(m-2)x-2<0$ 對所有實數 $x$ 成立。

③ 若 $m=2$：左式是 $-2<0$，恆成立，$m=2$ 可以。

④ 若 $m\ne 2$：二次函數要整條在 $x$ 軸下方，必須開口向下且判別式小於 $0$。

$$m-2<0,(m-2{)}^2+8(m-2)<0$$

⑤ 第二式就是 $(m-2)(m+6)<0$，得 $-6<m<2$，也滿足 $m<2$。

答案 $-6<m\le 2$。

① $f(x)>0$ 的解是 $-2<x<9$，所以 $f(x)=k(x+2)(x-9)$，且 $k<0$。

② 因為 $k<0$，$f(x)<0$ 的解是 $x<-2$ 或 $x>9$。

③ 把 $x$ 換成 $x^2$：$f\left(x^2\right)<0$ 等價於 $x^2<-2$ 或 $x^2>9$。

④ $x^2<-2$ 沒有實數解；$x^2>9$ 的解是 $x<-3$ 或 $x>3$。

答案 $x<-3$ 或 $x>3$。

要證明：圖形上任一點對 $(h,k)$ 的對稱點也在圖形上。

① 設 $P(h+t,k+s)$ 是圖形上任一點，$t$ 為任意實數。

② 代入：$k+s=f(h+t)=a{t}^3+pt+k$，所以 $s=a{t}^3+pt$。

③ $P$ 對 $(h,k)$ 的對稱點是 $P^{\prime }(h-t,k-s)$。計算

$$f(h-t)=a(-t{)}^3+p(-t)+k=-(a{t}^3+pt)+k=k-s$$

④ 所以 $P^{\prime }$ 也在圖形上。

因此圖形上每一點對 $(h,k)$ 的對稱點都在圖形上，$y=f(x)$ 的圖形對稱於點 $(h,k)$。

① 過 $(0,-3)$，得 $d=-3$。

② 過 $(1,3)$：$a+b+c-3=3$，即 $a+b+c=6$。

③ 過 $(4,-3)$：$64a+16b+4c-3=-3$，即 $16a+4b+c=0$。

④ 過 $(-2,9)$：$-8a+4b-2c-3=9$，即 $-4a+2b-c=6$。

⑤ ③ 減 ②：$15a+3b=-6$，即 $5a+b=-2$；② 加 ④：$-3a+3b=12$，即 $b-a=4$。

⑥ 解得 $a=-1$，$b=3$，$c=4$，所以 $f(x)=-x^3+3x^2+4x-3$。

⑦ 對稱中心的 $x$ 坐標 $h=-\frac{3}{3\cdot (-1)}=1$，$k=f(1)=3$。設 $f(x)=-(x-1{)}^3+p(x-1)+3$。

⑧ 比較 $x$ 的係數：$-(x-1{)}^3$ 的一次項是 $-3x$，所以 $-3+p=4$，$p=7$。（常數項 $1-7+3=-3$，也對。）

答案 $f(x)=-(x-1{)}^3+7(x-1)+3$。

① 把 $x=-3$ 代入：$f(-3)=-27a+9b-3c+d$。

② 所求 $27a-9b+3c-d=-f(-3)$。

③ $f(-3)=-(-4{)}^3+7(-4)+3=64-28+3=39$。

答案 $27a-9b+3c-d=-39$。

① 由第 13 題，圖形對稱於 $(1,3)$，所以 $f(1+t)+f(1-t)=2\cdot 3=6$ 對所有 $t$ 成立。

② $2026=1+2025$，$-2024=1-2025$，取 $t=2025$。

答案 $f(-2024)+f(2026)=6$。

① 令 $X=x-1$，兩圖形分別是 $y-3=-X^3+7X$ 與 $y-3=5X$，都通過對稱中心 $(1,3)$。

② 聯立：$-X^3+7X=5X$，即 $X^3-2X=0$，$X(X^2-2)=0$。

③ $X=0$ 或 $X=\pm \sqrt{2}$，三個相異實根，對應 $x=1$、$1+\sqrt{2}$、$1-\sqrt{2}$。

④ 從圖形看：直線過對稱中心，斜率 $5$ 比三次函數在 $(1,3)$ 附近的一次近似斜率 $7$ 小，所以中心右邊曲線先在直線上方、再因 $-X^3$ 往下穿過直線；左邊對稱，也穿過一次；加上中心這一點，共三個交點。

答案 $3$ 個。