段考詳解範圍：指數與對數（指數函數、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數方程式及不等式、指數與對數的應用）

武陵高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 1 題（5 分）、多重選擇題 2 題（每題 10 分，錯一個選項得 6 分，錯兩個選項得 2 分）、選填題 A～J 共 10 題（卷面印每格 6 分，以每題 6 分計共 60 分）、混合題或非選擇題 4 小題（2、5、3、5 分，共 15 分），合計 100 分；選填題 A～J 依序為本頁第 4～13 題，第四大題第 1～4 題依序為本頁第 14～17 題（學校答案卷註明的給分：第 1 題寫對一半給 1 分，第 2 題圖形與四個坐標各 1 分，第 4 題交點 3 分、a 的值 2 分，閱卷老師可視情況斟酌給分）。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題（每題 5 分）

武陵銀行推出年利率 4%優惠專案，A 方案為以半年複利計息，B 方案為以一年複利計息，供客戶自由選擇。若聰明的幻周在此銀行存 1 萬元，並且選擇了對自己較優惠的方案，則 10 年後幻周可領回的本利和最接近下列哪個選項：（請利用以下所給對數值作計算：

lo g 1.02 \approx 0.0086

，

lo g 1.04 \approx 0.0170

，

lo g 1.219 \approx 0.0860

，

lo g 1.479 \approx 0.1700

，

lo g 1.486 \approx 0.1720

，

lo g 2.187 \approx 0.3400

）

(1) 12190 元
(2) 14790 元
(3) 14860 元
(4) 21870 元
(5) 2 億元

二、多重選擇題：（每題 10 分，錯一個選項得 6 分，錯兩個選項得 2 分）

已知

e \approx 2.7

，

π \approx 3.1

，

lo g e \approx 0.434

，

lo g π \approx 0.497

，試選出正確的選項。

(1) $lo g_{e} π > lo g_{π} e$
(2) $e^{- e} > π^{- π}$
(3) $e^{l o g π} > π^{l o g e}$
(4) $e^{l o g e} > π^{l o g π}$
(5) $e^{π} > π^{e}$

阿平在研究函數

f (x) = x

時發現，456 雖位於 123 及 789 的正中間，然而

f (456)

卻比較靠近

f (789)

，即

∣ f (123) - f (456) ∣ > ∣ f (456) - f (789) ∣

，試從下列各選項中，選出亦會滿足

∣ f_{i} (123) - f_{i} (456) ∣ > ∣ f_{i} (456) - f_{i} (789) ∣

的函數。

(1) $f_{1} (x) = 2^{x}$
(2) $f_{2} (x) = - 0.952 7^{x}$
(3) $f_{3} (x) = lo g_{\frac{1}{π}} x$
(4) $f_{4} (x) = lo g_{3} (1000 - x)$
(5) $f_{5} (x) = lo g_{2} x + lo g_{3} x$

三、選填題：（每格 6 分）

A. 試求

lo g_{3} 7 - lo g_{3} 42 + lo g_{3} 2 =

____。

B. 設

x > 0

，解方程式

x^{- 3 + l o g_{2} x^{2}} = \frac{x ^{6}}{16}

，得

x =

____ 或

□

。

C. 若方程式

4^{x} - 8 \cdot 2^{x} + 15 = 0

的所有根之和為

lo g_{4} k

，則

k =

____。

D. 若正實數

x

與

y

滿足方程式

lo g_{4} x = lo g_{2} 4 y = \frac{5}{2}

，則與

lo g_{3} (x + 9 y)

最接近的正整數為 ____。

E. 試問有 ____ 個不大於 30 的正整數

x

滿足不等式

(\frac{x}{10})^{(x - 10)^{2}} \geq (\frac{x}{10})^{9}

。

F. 已知

0 \leq x \leq 2

，

f (x) = - 2^{- 2 x} + 2^{- x} + 2

，若

f (x)

的最大值為

M

，最小值為

m

，則數對

(M, m) =

____。

G. 根據英國研究指出，武陵高中學生的數學能力每經過一節認真的數學課可變為原本的 1.44 倍，請問至少需要上 ____ 節認真的數學課，武陵高中學生的數學能力才會變成原本的 10 倍。（答案請無條件進位至整數）

H. 武陵高中段考前都會流傳一張梗圖（如右圖），某屆學長研究過，段考前對這張照片膜拜時數

t

（單位：小時）與考試時獲得的家麒庇佑之力

E

（單位：查克拉）有著以下關係式：

lo g_{2} E = 0.87 + 0.2 t

。若此學長的研究屬實，且甲生在段考前對此張梗圖膜拜了 80 小時，乙生則是只有膜拜了 20 小時，求甲生考試時獲得的家麒庇佑之力為乙生的 ____ 倍。（原卷附了一張圖片，本頁沒有重畫）

I. 若

n

為使

lo g_{3} (lo g_{5} (lo g_{7} n))

為正整數的最小正整數，則

n

為 ____ 位數，且

n

的最高位數為 ____。

J. 方程式

2^{3^{x}} - 3^{x} = 3

共有 ____ 個不同的實數解。

四、混合題或非選擇題：（共 15 分）

（簡答題，2 分）試以文字敘述

y = lo g_{2} (2 x - 2)

的圖形要如何從

y = lo g_{2} x

的圖形平移（不可伸縮）得到。

（作圖題，5 分）試在下圖中畫出

y = lo g_{2} (2 x - 2)

的圖形與

y = 2^{x - 2}

的圖形，並標出這兩個函數圖形的所有交點坐標及兩個圖形與

x

軸、

y

軸的交點坐標。

載入中...

（單選題，3 分）承上題，若

y = lo g_{2} (2 x - 2)

的圖形與

y = 2^{x - 2}

的圖形對稱於直線

L

，則直線

L

的方程式為？

(1) $y = x$
(2) $y = - x$
(3) $y = x + 1$
(4) $y = - x + 1$
(5) $y = x - 1$

（計算題，需有計算過程，5 分）設

a > 1

，若坐標平面上三函數

f (x) = a^{x - 2}

、

g (x) = lo g_{a} (a x - a)

與

h (x) = x^{2} - 2 x - 5

有共同的交點，試求交點坐標及

a

的值。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(1)(2)(5)

第 3 題(2)(3)(5)

第 4 題

- 1

第 5 題

x = 16

或

2

第 6 題

225

第 7 題

4

第 8 題

22

第 9 題

(\frac{9}{4}, 2)

第 10 題

7

第 11 題

4096

第 12 題

106

位數，最高位數為

4

第 13 題

1

第 14 題向右平移 1 單位，再向上平移 1 單位

第 15 題交點

(2, 1)

、

(3, 2)

；

y = lo g_{2} (2 x - 2)

與

x

軸交於

(\frac{3}{2}, 0)

，與

y

軸不相交；

y = 2^{x - 2}

與

y

軸交於

(0, \frac{1}{4})

，與

x

軸不相交

第 16 題(5)

第 17 題交點

(4, 3)

，

a = 3

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1、多選 2～3：複利比較、取對數比大小、函數值增加的快慢

第 1 題

A 方案半年複利，每期利率 $2%$ ，10 年共 $20$ 期，本利和 $10000 \times 1.0 2^{20}$ 元；B 方案一年複利，10 年共 $10$ 期，本利和 $10000 \times 1.0 4^{10}$ 元。

取常用對數： $lo g 1.0 2^{20} = 20 \times 0.0086 = 0.172 \approx lo g 1.486$ ， $lo g 1.0 4^{10} = 10 \times 0.0170 = 0.170 \approx lo g 1.479$ 。

所以 A 方案約 $14860$ 元、B 方案約 $14790$ 元，A 方案較優惠，幻周會選 A，選 (3)。

同樣的年利率，計息次數越多本利和越大。選項 (1)(4) 分別是

1.0 2^{10}

、

1.0 4^{20}

的誤用。

第 2 題

答案 (1)(2)(5)。

(1) 正確。 $lo g_{e} π = \frac{l o g π}{l o g e} \approx \frac{0.497}{0.434} > 1$ ，而 $lo g_{π} e = \frac{l o g e}{l o g π} < 1$ 。

(2) 正確。 $e^{- e} > π^{- π}$ 等價於 $e^{e} < π^{π}$ 。因為 $1 < e < π$ ， $e^{e} < π^{e} < π^{π}$ ，成立。

(3) 錯誤。兩邊取常用對數： $lo g (e^{l o g π}) = lo g π \cdot lo g e$ ， $lo g (π^{l o g e}) = lo g e \cdot lo g π$ ，兩者相等，所以 $e^{l o g π} = π^{l o g e}$ ，不是大於。

(4) 錯誤。取常用對數：左邊 $(lo g e)^{2} \approx 0.188$ ，右邊 $(lo g π)^{2} \approx 0.247$ ，左邊較小。

(5) 正確。取常用對數比較 $π lo g e$ 與 $e lo g π$ ，等價於比較 $\frac{l o g e}{e}$ 與 $\frac{l o g π}{π}$ ： $\frac{0.434}{2.7} \approx 0.1607$ ， $\frac{0.497}{3.1} \approx 0.1603$ ，前者較大，所以 $e^{π} > π^{e}$ 。

(5) 兩邊非常接近（

e^{π} \approx 23.14

，

π^{e} \approx 22.46

），用題目給的近似值仍分得出大小。

第 3 題

答案 (2)(3)(5)。三個數 $123$ 、 $456$ 、 $789$ 間隔都是 $333$ ，題目問的是「前一段的變化量」是否比「後一段的變化量」大。

(1) 錯誤。 $2^{456} - 2^{123} = 2^{123} (2^{333} - 1)$ ， $2^{789} - 2^{456} = 2^{456} (2^{333} - 1)$ ，後者較大。

(2) 正確。設 $b = 0.9527$ ， $0 < b < 1$ 。 $∣ f_{2} (123) - f_{2} (456) ∣ = b^{123} - b^{456} = b^{123} (1 - b^{333})$ ， $∣ f_{2} (456) - f_{2} (789) ∣ = b^{456} (1 - b^{333})$ 。因為 $b^{123} > b^{456}$ ，前者較大。

(3) 正確。 $∣ f_{3} (123) - f_{3} (456) ∣ = lo g_{\frac{1}{π}} \frac{123}{456} = lo g_{π} \frac{456}{123}$ ， $∣ f_{3} (456) - f_{3} (789) ∣ = lo g_{π} \frac{789}{456}$ 。 $\frac{456}{123} \approx 3.71 > \frac{789}{456} \approx 1.73$ ，而 $lo g_{π}$ 遞增，前者較大。

(4) 錯誤。 $1000 - 123 = 877$ ， $1000 - 456 = 544$ ， $1000 - 789 = 211$ 。前者 $lo g_{3} \frac{877}{544}$ ，後者 $lo g_{3} \frac{544}{211}$ ； $\frac{877}{544} \approx 1.61 < \frac{544}{211} \approx 2.58$ ，後者較大。

(5) 正確。 $f_{5} (x) = lo g x (\frac{1}{l o g 2} + \frac{1}{l o g 3})$ ，是 $lo g x$ 乘上一個正數。前者正比於 $lo g \frac{456}{123}$ ，後者正比於 $lo g \frac{789}{456}$ ，同 (3) 的理由，前者較大。

凡是「同樣間隔、變化量越來越小」的函數（例如

x

、底數大於 1 的對數函數）都會滿足；

2^{x}

是變化量越來越大。(4) 雖然也是對數，但

1000 - x

把順序倒過來，變化量變成越來越大。

比較兩個指數式的大小，先兩邊取同一個底的對數，把指數拉下來變成乘法。

02選填 A～E：對數律、指數與對數方程式、指數不等式

第 4 題

lo g_{3} 7 - lo g_{3} 42 + lo g_{3} 2 = lo g_{3} \frac{7 \times 2}{42} = lo g_{3} \frac{1}{3} = - 1

。

第 5 題

$x > 0$ ，兩邊取以 $2$ 為底的對數，設 $t = lo g_{2} x$ ，則 $lo g_{2} x^{2} = 2 t$ 。

左邊： $(- 3 + 2 t) t$ ；右邊： $lo g_{2} \frac{x ^{6}}{16} = 6 t - 4$ 。

$2 t^{2} - 3 t = 6 t - 4$ ，即 $2 t^{2} - 9 t + 4 = 0$ ， $(2 t - 1) (t - 4) = 0$ ， $t = \frac{1}{2}$ 或 $t = 4$ 。

所以 $x = 2^{4} = 16$ 或 $x = 2^{\frac{1}{2}} = 2$ 。

卷面指數是

lo g_{2} x^{2}

（

x

的平方在對數裡面），所以是

2 lo g_{2} x

，不是

(lo g_{2} x)^{2}

。

第 6 題

設 $t = 2^{x} > 0$ ，方程式變成 $t^{2} - 8 t + 15 = 0$ ， $(t - 3) (t - 5) = 0$ ， $t = 3$ 或 $5$ ，都大於 $0$ 。

所以兩根為 $x = lo g_{2} 3$ 、 $x = lo g_{2} 5$ ，和為 $lo g_{2} 15 = lo g_{4} 1 5^{2} = lo g_{4} 225$ ， $k = 225$ 。

也可以直接用根與係數：兩根對應的

2^{x_{1}} \cdot 2^{x_{2}} = 15

，所以

2^{x_{1} + x_{2}} = 15

。

第 7 題

$lo g_{4} x = \frac{5}{2}$ ， $x = 4^{\frac{5}{2}} = 32$ 。

$lo g_{2} 4 y = \frac{5}{2}$ ， $4 y = 2^{\frac{5}{2}} = 42$ ， $y = 2$ ， $y = 2$ 。

$x + 9 y = 32 + 18 = 50$ 。 $lo g_{3} 50 = \frac{l o g 50}{l o g 3} = \frac{2 - l o g 2}{l o g 3} \approx \frac{1.6990}{0.4771} \approx 3.56$ ，最接近的正整數是 $4$ 。

也可以用

3^{3.5} = 273 \approx 46.8 < 50

判斷

lo g_{3} 50 > 3.5

。

第 8 題

底數 $\frac{x}{10}$ 與 $1$ 的大小決定不等號方向，分三種情形（ $x$ 為 $1$ 到 $30$ 的正整數）：

1. $x = 10$ ：底數為 $1$ ，兩邊都是 $1$ ， $1 \geq 1$ 成立， $1$ 個。

2. $x > 10$ ：底數大於 $1$ ，函數遞增，要 $(x - 10)^{2} \geq 9$ ，即 $x - 10 \geq 3$ ， $x \geq 13$ 。 $x = 13, 14, \dots, 30$ ，共 $18$ 個。

3. $1 \leq x < 10$ ： $0 <$ 底數 $< 1$ ，函數遞減，要 $(x - 10)^{2} \leq 9$ ，即 $- 3 \leq x - 10 \leq 3$ ， $7 \leq x \leq 13$ ，配合 $x < 10$ 得 $x = 7, 8, 9$ ，共 $3$ 個。

合計 $1 + 18 + 3 = 22$ 個。

底數等於

1

的

x = 10

最容易漏掉。

指數不等式先看底數：大於 1 不等號方向不變，介於 0 與 1 之間要反向，等於 1 另外討論。

03選填 F～J：換元求極值、成長倍率、位數、圖形交點

第 9 題

設 $t = 2^{- x}$ 。 $0 \leq x \leq 2$ 時 $t$ 從 $1$ 遞減到 $\frac{1}{4}$ ，所以 $\frac{1}{4} \leq t \leq 1$ 。

$f = - t^{2} + t + 2 = - (t - \frac{1}{2})^{2} + \frac{9}{4}$ 。

$t = \frac{1}{2}$ （即 $x = 1$ ）在範圍內，最大值 $M = \frac{9}{4}$ 。最小值在離 $\frac{1}{2}$ 較遠的端點： $t = 1$ 時 $f = 2$ ， $t = \frac{1}{4}$ 時 $f = \frac{35}{16}$ ，所以 $m = 2$ 。 $(M, m) = (\frac{9}{4}, 2)$ 。

t

的範圍是

[\frac{1}{4}, 1]

，不是

[1, 4]

；

2^{- x}

隨

x

增加而變小。

第 10 題

上 $n$ 節課後能力變為原本的 $1.4 4^{n}$ 倍，要 $1.4 4^{n} \geq 10$ ，取常用對數： $n lo g 1.44 \geq 1$ 。

$lo g 1.44 = lo g \frac{1 2 ^{2}}{100} = 2 lo g 12 - 2 = 2 (2 lo g 2 + lo g 3) - 2 = 2 \times 1.0791 - 2 = 0.1582$ 。

$n \geq \frac{1}{0.1582} \approx 6.32$ ，無條件進位，至少 $7$ 節。

驗證：

1.4 4^{6} \approx 8.92

還不到

10

，

1.4 4^{7} \approx 12.84

超過

10

。

第 11 題

甲生： $lo g_{2} E_{甲} = 0.87 + 0.2 \times 80$ ；乙生： $lo g_{2} E_{乙} = 0.87 + 0.2 \times 20$ 。

相減： $lo g_{2} \frac{E _{甲}}{E _{乙}} = 0.2 \times (80 - 20) = 12$ ，所以 $\frac{E _{甲}}{E _{乙}} = 2^{12} = 4096$ 倍。

常數

0.87

相減後消掉，不必算出各自的

E

。

第 12 題

$lo g_{3} (lo g_{5} (lo g_{7} n))$ 為正整數，最小的情形是等於 $1$ ：

$lo g_{5} (lo g_{7} n) = 3$ ， $lo g_{7} n = 5^{3} = 125$ ， $n = 7^{125}$ 。

（ $n$ 越大這個值越大，比 $7^{125}$ 小的 $n$ 都使它小於 $1$ ，所以 $n = 7^{125}$ 是最小的。）

$lo g n = 125 lo g 7 \approx 125 \times 0.8451 = 105.6375$ ，首數 $105$ ，所以 $n$ 是 $106$ 位數。

尾數 $0.6375$ ： $lo g 4 \approx 0.6020 < 0.6375 < 0.6990 \approx lo g 5$ ，所以最高位數字是 $4$ 。

位數＝首數＋1；最高位數字看尾數落在哪兩個

lo g k

之間。

第 13 題

$2^{3^{x}} = 2^{\frac{3 ^{x}}{2}}$ 。設 $u = 3^{x}$ ，每個正數 $u$ 恰對應一個實數 $x$ ，方程式變成 $2^{\frac{u}{2}} = u + 3$ （ $u > 0$ ）。

看 $y = 2^{\frac{u}{2}}$ 與直線 $y = u + 3$ 在 $u > 0$ 的交點： $u = 0$ 時指數函數的值 $1$ 小於直線的 $3$ ； $u = 6$ 時 $8 < 9$ 仍在下方； $u = 8$ 時 $16 > 11$ 已在上方，所以在 $6$ 與 $8$ 之間有交點。

指數函數 $y = 2^{\frac{u}{2}}$ 的圖形凹向上，與一條直線最多交兩點；而它在 $u < 0$ 時也與直線相交一次（ $u = - 2$ 時指數函數的值 $\frac{1}{2}$ 小於直線的 $1$ ， $u = - 3$ 時指數函數的值 $2^{- 1.5}$ 大於直線的 $0$ ，兩者之間有一交點），所以 $u > 0$ 的部分只有一個交點。

方程式共有 $1$ 個實數解。

換元後要記得

u = 3^{x} > 0

；直線與

y = 2^{\frac{u}{2}}

的另一個交點在

u < 0

，不對應任何實數

x

。

換元時一定寫出新變數的範圍：

2^{- x}

、

3^{x}

這類式子的範圍決定最後有幾個解、極值在哪裡。

04第四大題：對數圖形的平移、作圖、對稱軸、共同交點

第 14 題

$y = lo g_{2} (2 x - 2) = lo g_{2} 2 + lo g_{2} (x - 1) = 1 + lo g_{2} (x - 1)$ 。

把 $y = lo g_{2} x$ 的圖形向右平移 $1$ 單位得到 $y = lo g_{2} (x - 1)$ ，再向上平移 $1$ 單位得到 $y = 1 + lo g_{2} (x - 1)$ 。

兩次平移的順序可以交換。

第 15 題

由上題， $y = lo g_{2} (2 x - 2) = 1 + lo g_{2} (x - 1)$ ，定義域 $x > 1$ ，過 $(\frac{3}{2}, 0)$ 、 $(2, 1)$ 、 $(3, 2)$ 、 $(5, 3)$ 。

$y = 2^{x - 2}$ 過 $(0, \frac{1}{4})$ 、 $(1, \frac{1}{2})$ 、 $(2, 1)$ 、 $(3, 2)$ 、 $(4, 4)$ 。

交點：兩圖形對稱於直線 $y = x - 1$ （見下一題），且兩函數都遞增，所以交點都在直線 $y = x - 1$ 上（若交點 $(p, q)$ 不在這條線上，它的對稱點也是交點，兩點會使遞增的函數出現矛盾）。解 $2^{x - 2} = x - 1$ ： $x = 2$ 時 $1 = 1$ ， $x = 3$ 時 $2 = 2$ ； $y = 2^{x - 2}$ 凹向上，與直線最多交兩點。所以交點為 $(2, 1)$ 、 $(3, 2)$ 。

與坐標軸： $y = lo g_{2} (2 x - 2)$ 令 $y = 0$ ， $2 x - 2 = 1$ ， $x = \frac{3}{2}$ ，與 $x$ 軸交於 $(\frac{3}{2}, 0)$ ；定義域 $x > 1$ ，與 $y$ 軸不相交。 $y = 2^{x - 2}$ 令 $x = 0$ ， $y = \frac{1}{4}$ ，與 $y$ 軸交於 $(0, \frac{1}{4})$ ； $2^{x - 2} > 0$ ，與 $x$ 軸不相交。

載入中...

y = lo g_{2} (2 x - 2)

以直線

x = 1

為漸近線；

y = 2^{x - 2}

以

x

軸為漸近線。

第 16 題

在 $y = 2^{x - 2}$ 上任取一點 $(t, 2^{t - 2})$ ，對直線 $y = x - 1$ 的對稱點是 $(2^{t - 2} + 1, t - 1)$ （把點沿垂直於直線的方向翻過去： $(p, q) \to (q + 1, p - 1)$ ）。

代入 $y = 1 + lo g_{2} (x - 1)$ ： $1 + lo g_{2} (2^{t - 2}) = 1 + (t - 2) = t - 1$ ，恰好成立。所以兩圖形對稱於 $y = x - 1$ ，選 (5)。

檢查：兩圖形的交點

(2, 1)

、

(3, 2)

都在

y = x - 1

上，與答案一致；選項 (1)

y = x

是

y = 2^{x}

與

y = lo g_{2} x

的對稱軸，這裡兩個圖形都經過平移，對稱軸也跟著移動。

第 17 題

$g (x) = lo g_{a} (a x - a) = 1 + lo g_{a} (x - 1)$ 。同上題的方法， $f (x) = a^{x - 2}$ 上的點 $(t, a^{t - 2})$ 對直線 $y = x - 1$ 的對稱點 $(a^{t - 2} + 1, t - 1)$ 滿足 $g$ ： $1 + lo g_{a} a^{t - 2} = t - 1$ 。所以 $y = f (x)$ 與 $y = g (x)$ 的圖形對稱於 $y = x - 1$ 。

$a > 1$ 時 $f$ 、 $g$ 都遞增，所以它們的交點都在直線 $y = x - 1$ 上。三圖形的共同交點因此是 $y = h (x)$ 與 $y = x - 1$ 的交點：

$x^{2} - 2 x - 5 = x - 1$ ， $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ ， $(x - 4) (x + 1) = 0$ ， $x = 4$ 或 $x = - 1$ 。

$x = - 1$ ：點 $(- 1, - 2)$ ，但 $f (x) = a^{x - 2} > 0$ ，不合（也不在 $g$ 的定義域 $x > 1$ 內）。

$x = 4$ ：點 $(4, 3)$ ，需 $f (4) = a^{2} = 3$ ， $a = 3$ （ $a > 1$ ）。檢查 $g (4) = lo g_{3} (43 - 3) = lo g_{3} 33 = 3$ ， $h (4) = 16 - 8 - 5 = 3$ ，三者都過 $(4, 3)$ 。

所以交點為 $(4, 3)$ ， $a = 3$ 。

「遞增函數與它對某條斜率 1 的直線的對稱圖形，交點都在那條直線上」：若交點

(p, q)

不在線上，對稱點

(q + 1, p - 1)

也是同一個遞增函數上的點，比較兩點的坐標大小會得到矛盾。

y = lo g_{a} (a x - a)

先拆成

1 + lo g_{a} (x - 1)

，就看得出它是由基本圖形平移來的，也看得出與

y = a^{x - 2}

的對稱關係。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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第 2 題選項 (5) 兩邊非常接近，要取對數後比較 log e 除以 e 與 log π 除以 π；第 8 題底數等於 1 的 x 等於 10 容易漏掉，底數小於 1 時不等號要反向；第 13 題換元後 3 的 x 次方必須是正數，直線在負的那一側的交點不算；第 17 題要先看出兩函數的圖形對稱於直線 y 等於 x 減 1，交點都在這條直線上。詳解逐題寫在本頁。

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02選填 A～E：對數律、指數與對數方程式、指數不等式

03選填 F～J：換元求極值、成長倍率、位數、圖形交點

04第四大題：對數圖形的平移、作圖、對稱軸、共同交點

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