武陵高中 113 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (5)。

先看拋物線 $y=a{x}^2+bx+c$：開口向下，所以 $a<0$；與 $y$ 軸交在正的地方，所以 $c>0$；頂點在 $y$ 軸右邊，頂點的 $x$ 坐標 $-\frac{b}{2a}>0$，而 $a<0$，所以 $b>0$。

再看 $y=b{x}^3+c{x}^2+ax+2$：

1. 最高次項係數 $b>0$，大域特徵像 $y=b{x}^3$，圖形右端往上、左端往下。圖 (1)(2)(4) 都是左端往上、右端往下，不合。 2. 把三次函數寫成 $b(x-h{)}^3+p(x-h)+k$ 的形式，比較 $x^2$ 項係數得 $-3bh=c$，所以對稱中心的 $x$ 坐標 $h=-\frac{c}{3b}<0$，對稱中心在 $y$ 軸左邊。圖 (3) 的對稱中心在 $y$ 軸右邊，不合。 3. 檢查圖 (5)：$x=0$ 時 $y=2>0$，圖形與 $y$ 軸交在正的地方；在 $x=0$ 附近的一次近似是 $y=ax+2$，斜率 $a<0$，所以圖形在 $y$ 軸附近往右下降。圖 (5) 都符合。

答案 (2)(3)。由因式定理，$f(1)=0$：$1-a-(a+1)+a^2=a^2-2a=0$，得 $a=0$ 或 $a=2$。

當 $a=0$：$f(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1)$。當 $a=2$：$f(x)=x^3-2x^2-3x+4=(x-1)(x^2-x-4)$。

(1) 錯誤。 $a$ 只能是 $0$ 或 $2$；代 $a=1$ 得 $f(1)=1-1-2+1=-1\ne 0$。

(2) 正確。 $a=2$ 時 $f(1)=1-2-3+4=0$。

(3) 正確。 $a=0$ 時 $f(x)=x(x-1)(x+1)$，有因式 $x+1$。

(4) 錯誤。 $a=0$ 時 $f(-2)=-8+2=-6$；$a=2$ 時 $f(-2)=-8-8+6+4=-6$。兩種情形都不是 $0$，所以 $x+2$ 不會是因式。

(5) 錯誤。 $a=0$ 時 $f(x)=x(x-1)(x+1)>0$ 的解是 $-1<x<0$ 或 $x>1$；$a=2$ 時 $x^2-x-4=0$ 的根是 $\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}$，$f(x)>0$ 的解是 $\frac{1-\sqrt{17}}{2}<x<1$ 或 $x>\frac{1+\sqrt{17}}{2}$。兩種都不是「$x>1$ 或 $x<0$」。

答案 (2)(3)。令 $t=x-2$，$f(x)=5t^3+4t^2+t+7=t^2(5t+4)+(t+7)$。

(1) 錯誤。 由上式，$f(x)=(x-2{)}^2[5(x-2)+4]+[(x-2)+7]$，商式是 $5(x-2)+4=5x-6$，不是 $5x-10$。

(2) 正確。 餘式是 $(x-2)+7=x+5$，次數比除式低。

(3) 正確。 展開後最高次項是 $5x^3$，所以大域特徵近似於 $y=5x^3$。

(4) 錯誤。 $x=1.999$ 時 $t=-0.001$：$f(1.999)=5(-0.001{)}^3+4(-0.001{)}^2+(-0.001)+7=-0.000000005+0.000004-0.001+7=6.999003995$，四捨五入到小數點後第三位是 $6.999$。

(5) 錯誤。 對稱中心的形式 $a(x-h{)}^3+p(x-h)+k$ 沒有 $(x-h{)}^2$ 項，而 $f(x)$ 以 $x-2$ 展開有 $4(x-2{)}^2$ 項，所以 $(2,7)$ 不是對稱中心。實際上展開後 $x^3$ 與 $x^2$ 的係數分別是 $5$ 與 $-30+4=-26$，對稱中心的 $x$ 坐標是 $\frac{26}{15}$。

先把 $f(x)$ 寫成對稱中心的形式。$x^3$ 係數 $2$，$x^2$ 係數 $-12$，對稱中心的 $x$ 坐標是 $\frac{12}{3\times 2}=2$，$f(2)=16-48+20+7=-5$。

$2(x-2{)}^3=2x^3-12x^2+24x-16$，所以 $f(x)-2(x-2{)}^3=-14x+23=-14(x-2)-5$，即 $f(x)=2(x-2{)}^3-14(x-2)-5$。

向右平移 $3$ 單位、向上平移 $2$ 單位：$g(x)=2(x-5{)}^3-14(x-5)-3$。所以 $a=2$，$p=-14$，$h=5$，$k=-3$，$a+p+h+k=-10$。

全部移到左邊，提出公因式：$(x-2{)}^3(x^2+x+1)(2x+5)\left[x-(x-2{)}^2\right]\ge 0$。

其中 $x-(x-2{)}^2=-x^2+5x-4=-(x-1)(x-4)$，而 $x^2+x+1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$，可以約去。所以不等式等價於 $(x-2{)}^3(2x+5)(x-1)(x-4)\le 0$。

$(x-2{)}^3$ 與 $x-2$ 正負號相同，分界點是 $-\frac{5}{2}$、$1$、$2$、$4$。由右往左正負交替：$x>4$ 為正，$2<x<4$ 為負，$1<x<2$ 為正，$-\frac{5}{2}<x<1$ 為負，$x<-\frac{5}{2}$ 為正。解為 $-\frac{5}{2}\le x\le 1$ 或 $2\le x\le 4$。

整數解是 $-2,-1,0,1,2,3,4$，總和為 $7$。

對稱中心為 $(-1,2)$，設 $f(x)=a(x+1{)}^3+p(x+1)+2$。展開：$f(x)=a{x}^3+3a{x}^2+(3a+p)x+(a+p+2)$。

$x=0$ 附近的一次近似就是展開式中的一次項與常數項，所以 $3a+p=-1$，$a+p+2=5$。兩式相減得 $2a=-4$，$a=-2$，$p=5$。

$f(1)=-2\times 2^3+5\times 2+2=-4$。

$f(2)=f(-1)=4$，所以 $f(x)-4$ 有因式 $(x-2)(x+1)$。又 $f(x)$ 是三次式，設 $f(x)=(x-2)(x+1)(ax+b)+4$。

由餘式定理：$f(1)=(-1)(2)(a+b)+4=-10$，得 $a+b=7$；$f(-2)=(-4)(-1)(-2a+b)+4=-28$，得 $-2a+b=-8$。解得 $a=5$，$b=2$。

$f(3)=(1)(4)(17)+4=72$。

$A(s,t)$ 對直線 $y=x$ 的對稱點 $B(t,s)$，對 $x$ 軸的對稱點 $C(t,-s)$，對 $y$ 軸的對稱點 $D(-t,-s)$。

$\overline{AD}=\sqrt{(s+t{)}^2+(t+s{)}^2}=\sqrt{2}|s+t|$。

$A$ 在拋物線上，$t=\frac{s^2}{2}+\frac{7}{2}$，所以 $s+t=\frac{1}{2}(s^2+2s+7)=\frac{1}{2}(s+1{)}^2+3\ge 3$，在 $s=-1$ 時等號成立。

$\overline{AD}$ 的最小值為 $3\sqrt{2}$。

除式是三次，餘式 $r(x)$ 至多二次。$f(x)=(x+2)(x^2-x+1)Q(x)+r(x)$，而 $r(x)$ 除以 $x^2-x+1$ 的餘式要和 $f(x)$ 的一樣，所以設 $r(x)=c(x^2-x+1)+5x-1$。

由餘式定理 $r(-2)=f(-2)=3$：$c(4+2+1)-10-1=3$，$7c=14$，$c=2$。

$r(x)=2(x^2-x+1)+5x-1=2x^2+3x+1$，$r(1)=6$。

$x+3$ 不是 $x-1$ 或 $x+4$ 的因式，所以它是 $2x^3-x^2+kx+15$ 的因式：$2(-27)-9-3k+15=0$，$k=-16$。

綜合除法得 $2x^3-x^2-16x+15=(x+3)(2x^2-7x+5)=(x+3)(x-1)(2x-5)$。所以 $f(x)=(x-1{)}^{2020}(x+4{)}^{2018}(x+3)(2x-5)$。

$(x-1{)}^{2020}$ 與 $(x+4{)}^{2018}$ 是偶次方，不是負數；它們不等於 $0$ 時，$f(x)$ 的正負號由 $(x+3)(2x-5)$ 決定。$f(x)\le 0$ 的解為 $-3\le x\le \frac{5}{2}$，再加上使 $f(x)=0$ 的 $x=-4$（$x=1$ 已在區間內）。

整數解是 $-4,-3,-2,-1,0,1,2$，總和為 $-7$。

$x^2-x+1={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$，可以兩邊同乘而不等號不變：$x^2-mx+1<3x^2-3x+3$，即 $2x^2+(m-3)x+2>0$ 對任意實數 $x$ 恆成立。

領導係數 $2>0$，所以要判別式小於 $0$：$(m-3{)}^2-16<0$，$-4<m-3<4$，$-1<m<7$。

整數 $m=0,1,2,3,4,5,6$，總和為 $21$。

$f(x)=g(x)[g(x)+2]$，所以 $f(x)=0⟺g(x)=0$ 或 $g(x)=-2$。兩個方程式不會有共同的根（同一個 $x$ 不能讓 $g(x)$ 同時是 $0$ 和 $-2$），交點個數就是兩個方程式相異實根個數的和。

$g(x)=0$：$x^2-2kx+k=0$，判別式的四分之一為 $k^2-k=k(k-1)$。

$g(x)=-2$：$x^2-2kx+k+2=0$，判別式的四分之一為 $k^2-k-2=(k-2)(k+1)$。

逐段計算兩者的根數（$2$、$1$、$0$ 分別對應判別式為正、零、負）：

$$\begin{array}{cccc}k\text{ 的範圍}& g(x)=0& g(x)=-2& \text{合計}\\ k<-1& 2& 2& 4\\ k=-1& 2& 1& 3\\ -1<k<0& 2& 0& 2\\ k=0\text{ 或 }k=1& 1& 0& 1\\ 0<k<1& 0& 0& 0\\ 1<k<2& 2& 0& 2\\ k=2& 2& 1& 3\\ k>2& 2& 2& 4\end{array}$$

恰有兩個相異交點時 $-1<k<0$ 或 $1<k<2$。卷面印「實數 $k$」，但作答格式只有一個區間；若限定 $k$ 為正數，範圍是 $1<k<2$，本頁照這一段作答。