武陵高中 114 上
高二第三次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (1)(4)(5)。

(1) 正確。 內積有分配律，且 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}$：

$$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}{|}^2-|\overrightarrow{b}{|}^2$$

(2) 錯誤。 左邊與 $\overrightarrow{c}$ 平行，右邊與 $\overrightarrow{a}$ 平行。反例 $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}=(1,0)$、$\overrightarrow{c}=(0,1)$：左邊 $1\cdot (0,1)=(0,1)$，右邊 $0\cdot (1,0)=(0,0)$。

(3) 錯誤。 正射影要落在 $\overrightarrow{b}$ 的方向上：

$$\overrightarrow{a}\text{ 在 }\overrightarrow{b}\text{ 上的正射影}=\left(\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}{|}^2}\right)\overrightarrow{b}=\left(\frac{|\overrightarrow{a}|\cos \theta }{|\overrightarrow{b}|}\right)\overrightarrow{b}$$

而 $(\cos \theta )\overrightarrow{a}$ 與 $\overrightarrow{a}$ 平行。反例 $\overrightarrow{a}=(1,1)$、$\overrightarrow{b}=(1,0)$，$\theta =45^{\circ }$：正射影是 $(1,0)$，但 $(\cos 45^{\circ })\overrightarrow{a}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。

(4) 正確。 正射影長 $=\frac{|\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|}=\frac{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}||\cos \theta |}{|\overrightarrow{b}|}=|\cos \theta ||\overrightarrow{a}|$。

(5) 正確。 $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$ 且都不是零向量，兩者不平行，平面上的 $\overrightarrow{c}$ 可寫成 $\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$。

兩邊與 $\overrightarrow{a}$ 內積：$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=x|\overrightarrow{a}{|}^2+y(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a})=x|\overrightarrow{a}{|}^2$，所以 $x=\frac{\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}{|}^2}$。

同理與 $\overrightarrow{b}$ 內積得 $y=\frac{\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}{|}^2}$。

答案 (2)(3)(4)。

① $\overrightarrow{OA}=(a,a-2)$，$\overrightarrow{OB}=(a,a+3)$：

$$\left|\begin{array}{cc}a& a-2\\ a& a+3\end{array}\right|=a(a+3)-a(a-2)=5a\ne 0$$

(1) 錯誤。 行列式不為 $0$，兩向量不平行。

(2) 正確。 若 $m\ne 0$，則 $\overrightarrow{OA}=-\frac{n}{m}\overrightarrow{OB}$，兩向量平行，矛盾；所以 $m=0$，再由 $n\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$ 得 $n=0$。

(3) 正確。 $|\overrightarrow{OC}{|}^2=m^2|\overrightarrow{OA}{|}^2+2m(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB})+|\overrightarrow{OB}{|}^2$ 是 $m$ 的二次函數，在 $m=-\frac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}{|}^2}$ 時最小。

這時 $\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}=m|\overrightarrow{OA}{|}^2+\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$；反過來 $\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}=0$ 也只有這個 $m$ 做得到。而 $\overrightarrow{OA}=(a,a-2)$，所以就是 $\overrightarrow{OC}\cdot (a,a-2)=0$ 時最小。

(4) 正確。 $\overrightarrow{OC}=m(a,a-2)+(1-m)(a,a+3)=(a,a+3-5m)$。

$x$ 坐標恆為 $a$，$m$ 取遍實數時 $y=a+3-5m$ 取遍實數，所以圖形是直線 $x=a$。

(5) 錯誤。 $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OA}+(n-1)\overrightarrow{OB}$，$0\le m\le 2$、$0\le n-1\le 3$。

區域是以 $2\overrightarrow{OA}$、$3\overrightarrow{OB}$ 為兩鄰邊的平行四邊形（平移 $\overrightarrow{OB}$），面積

$$\left|\left|\begin{array}{cc}2a& 2(a-2)\\ 3a& 3(a+3)\end{array}\right|\right|=6|5a|=30|a|\ne 15|a|$$

答案 (1)(2)。

① 第二組無解，係數行列式要為 $0$：$\left|\begin{array}{cc}-1& 4\\ 2& c\end{array}\right|=-c-8=0$，所以 $c=-8$。

② $c=-8$ 時第二式是 $2x-8y=4$，即 $-x+4y=-2$。若 $d=-2$，兩式是同一條直線（無限多解），所以無解還要 $d\ne -2$。

③ 第一組：$\left|\begin{array}{cc}2& -a\\ 6& 3\end{array}\right|=6+6a$。$a\ne -1$ 時恰有一組解；$a=-1$ 時兩式為 $2x+y=2$、$6x+3y=b$，$b=6$ 時有解（無限多組），$b\ne 6$ 時無解。

(1) 正確。 有可能：取 $a=-1$、$b=6$，第一組有解。

(2) 正確。 有可能：取 $b=5$、$a=0$，係數行列式 $6\ne 0$，恰有一組解。

(3) 錯誤。 不可能。由 ①，$c$ 只能是 $-8$。

(4) 錯誤。 不可能。由 ②，$d\ne -2$。

(5) 錯誤。 不可能。$c=-8$，$\left|\begin{array}{cc}6& 3\\ 2& -8\end{array}\right|=-48-6=-54\ne 0$，這組恰有一組解，不會無解。

① 兩個行列式的第二列相同，對第一列可以直接相減：

$$\left|\begin{array}{cc}597& 786\\ 45& 47\end{array}\right|-\left|\begin{array}{cc}549& 738\\ 45& 47\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}48& 48\\ 45& 47\end{array}\right|$$

② $=48\times 47-48\times 45=48\times 2=96$。

答案 96。

① 直線 $L$：$2x-3y=12$ 的法向量取 $\overrightarrow{n}=(2,-3)$。

② $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{n}=7\times 2+(-4)\times (-3)=26$，$|\overrightarrow{n}{|}^2=4+9=13$。

③ 正射影 $=\left(\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}{|}^2}\right)\overrightarrow{n}=\frac{26}{13}(2,-3)=(4,-6)$。

答案 (4,-6)。

① 把係數和湊成 $1$：

$$\overrightarrow{PA}=\frac{5}{3}\overrightarrow{PB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{PC}=\frac{7}{3}\left(\frac{5}{7}\overrightarrow{PB}+\frac{2}{7}\overrightarrow{PC}\right)$$

② 括號裡的係數 $\frac{5}{7}+\frac{2}{7}=1$ 且都是正數，所以 $\frac{5}{7}\overrightarrow{PB}+\frac{2}{7}\overrightarrow{PC}$ 的終點在線段 $\overline{BC}$ 上。

③ 這個向量又與 $\overrightarrow{PA}$ 同方向，終點就是 $\overline{PA}$ 與 $\overline{BC}$ 的交點 $D$：$\overrightarrow{PD}=\frac{5}{7}\overrightarrow{PB}+\frac{2}{7}\overrightarrow{PC}$。

④ $\overrightarrow{PA}=\frac{7}{3}\overrightarrow{PD}$，所以 $\overline{PD}:\overline{PA}=3:7$。

答案 3:7。

① 兩邊平方比較：$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^2$，$(|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|{)}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{b}{|}^2$。

② 相等要 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$，即夾角為 $0$：兩個非零向量同方向。

③ 同方向先要平行：$\left|\begin{array}{cc}t-10& 3\\ 8& t\end{array}\right|=t(t-10)-24=0$，$t^2-10t-24=0$，$(t-12)(t+2)=0$。

④ $t=12$：$\overrightarrow{a}=(2,3)$、$\overrightarrow{b}=(8,12)=4\overrightarrow{a}$，同方向，符合。

⑤ $t=-2$：$\overrightarrow{a}=(-12,3)$、$\overrightarrow{b}=(8,-2)=-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}$，反方向，不合。

答案 12。

① 邊長：$\overline{AB}=21$，$\overline{AD}=\sqrt{25+144}=13$，$\overline{BC}=\sqrt{49+576}=25$。

② 兩邊方向的單位向量相加，得到的是菱形的對角線，正好平分夾角。

③ $\angle DAB$：$\frac{1}{21}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{13}\overrightarrow{AD}=(1,0)+\left(-\frac{5}{13},\frac{12}{13}\right)=\left(\frac{8}{13},\frac{12}{13}\right)$，方向 $(2,3)$。

④ $\angle ABC$：$\frac{1}{21}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{25}\overrightarrow{BC}=(-1,0)+\left(-\frac{7}{25},\frac{24}{25}\right)=\left(-\frac{32}{25},\frac{24}{25}\right)$，方向 $(-4,3)$。

⑤ 設交點 $K=(2s,3s)=(21-4t,3t)$：由 $3s=3t$ 得 $s=t$，再由 $2s=21-4s$ 得 $s=\frac{7}{2}$。

⑥ $K=\left(7,\frac{21}{2}\right)$。

答案 (7, 21/2)。

① 一般地，

$$\left|\begin{array}{cc}\cos x& \sin x\\ \cos y& \sin y\end{array}\right|=\sin y\cos x-\cos y\sin x=\sin (y-x)$$

（正弦的差角公式）。

② 第一個：$y-x=\frac{\pi }{3}$，值為 $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

③ 第二個：第二列提出 $2$，值為 $2\sin \frac{2\pi }{3}=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。

④ 第三個：第二列提出 $3$，值為 $3\sin \pi =0$。

⑤ 取絕對值後相加：$\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}+0=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

答案 3√3/2。

① $\overrightarrow{AB}=(x-3,-4)$，$\overrightarrow{AC}=(-3,y-4)$。

② $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-3(x-3)-4(y-4)=25-(3x+4y)$。

③ $\overline{BC}=10$：$x^2+y^2=100$，也就是向量 $(x,y)$ 的長度為 $10$。

④ 由內積（柯西不等式）：$|3x+4y|=|(3,4)\cdot (x,y)|\le 5\times 10=50$，所以 $3x+4y\ge -50$。

⑤ 等號在 $(x,y)$ 與 $(3,4)$ 反方向、長 $10$ 時成立：$(x,y)=-2(3,4)=(-6,-8)$。

⑥ 最大值 $25-(-50)=75$。

答案 最大值 75，(x,y)=(-6,-8)。

① 坐標化：$D(0,0)$、$C(9,0)$，設 $A(p,h)$、$B(p+3,h)$，$h>0$。

② $\overrightarrow{AD}=(-p,-h)$，$\overrightarrow{BC}=(6-p,-h)$。垂直：$-p(6-p)+h^2=0$，即 $h^2=6p-p^2$。

③ 三等分點：$P(p+1,h)$、$Q(p+2,h)$、$S(3,0)$、$R(6,0)$。

④ $\overrightarrow{SP}=(p-2,h)$，$\overrightarrow{RQ}=(p-4,h)$。

⑤ $\overrightarrow{SP}\cdot \overrightarrow{RQ}=(p-2)(p-4)+h^2=p^2-6p+8+(6p-p^2)=8$。

答案 8。

① 從原點 $O$ 拆開：$\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{u}-\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{u}$。$P$、$Q$ 各自獨立，要 $\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{u}$ 最大、$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{u}$ 最小。

② 圓 $D$ 的圓心 $N(4,11)$、半徑 $3$：$\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{ON}\cdot \overrightarrow{u}+\overrightarrow{NQ}\cdot \overrightarrow{u}\le (12+44)+3\times 5=71$。

③ 圓 $C$ 的圓心 $M(1,2)$、半徑 $2$：$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{u}+\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{u}\ge (3+8)-2\times 5=1$。

④ 等號：$\overrightarrow{NQ}$ 與 $\overrightarrow{u}$ 同方向、$\overrightarrow{MP}$ 與 $\overrightarrow{u}$ 反方向，兩者可以同時做到。

⑤ 最大值 $71-1=70$。

答案 70。

① 克拉瑪公式的三個行列式：

$$\Delta =\left|\begin{array}{cc}k+1& 8\\ 14& -k\end{array}\right|=-k^2-k-112$$

$${\Delta }_x=\left|\begin{array}{cc}k-1& 8\\ -2& -k\end{array}\right|=-k^2+k+16,{\Delta }_y=\left|\begin{array}{cc}k+1& k-1\\ 14& -2\end{array}\right|=-16k+12$$

② $k^2+k+112={\left(k+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{447}{4}>0$，所以 $\Delta \ne 0$，任何 $k$ 都恰有一組解。

③ $x_0+y_0=\frac{{\Delta }_x+{\Delta }_y}{\Delta }=1$，所以 ${\Delta }_x+{\Delta }_y=\Delta$：

$$-k^2-15k+28=-k^2-k-112$$

④ $-14k=-140$，$k=10$。

⑤ 驗算：$k=10$ 時 $\Delta =-222$、${\Delta }_x=-74$、${\Delta }_y=-148$，$x_0=\frac{1}{3}$、$y_0=\frac{2}{3}$，和為 $1$。

答案 10。

① $E$ 是 $\overline{AC}$ 中點，$\overline{PE}\perp \overline{AC}$，所以 $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EP}$，其中 $\overrightarrow{EP}\cdot \overrightarrow{AC}=0$。

② $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{EP}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|}^2+0$。

③ $=\frac{1}{2}\times 16=8$。

答案 8。

① $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，兩邊平方：

$$|\overrightarrow{BC}{|}^2=|\overrightarrow{AC}{|}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+|\overrightarrow{AB}{|}^2$$

② 代入：$36=16-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+25$。

③ $2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5$，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{5}{2}$。

答案 5/2。

① 角平分線分對邊的比：$\overline{AD}:\overline{DB}=\overline{CA}:\overline{CB}=4:6=2:3$，所以 $\overrightarrow{AD}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$。

② $P$ 在 $\overline{CD}$ 上，設 $\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AD}+(1-s)\overrightarrow{AC}=\frac{2s}{5}\overrightarrow{AB}+(1-s)\overrightarrow{AC}$。

③ 所以 $x=\frac{2s}{5}$、$y=1-s$，消去 $s$：$\frac{5}{2}x+y=1$。

④ 用 (1)(2)：$\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AC}=x(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC})+y|\overrightarrow{AC}{|}^2$，即 $\frac{5}{2}x+16y=8$。

⑤ 兩式相減：$15y=7$，$y=\frac{7}{15}$；代回 $\frac{5}{2}x=1-\frac{7}{15}=\frac{8}{15}$，$x=\frac{16}{75}$。

答案 (16/75, 7/15)。

① $\angle C=90^{\circ }$，$\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{CB}$，所以 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB}=0$。

② $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$。

③ 兩邊與自己內積：

$${\overline{AB}}^2=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})\cdot (\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})=|\overrightarrow{AC}{|}^2+2\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB}+|\overrightarrow{CB}{|}^2$$

④ $={\overline{AC}}^2+0+{\overline{BC}}^2$，得證。

① $P$ 在 $\overline{BE}$ 上且 $\overline{BE}\perp \overline{AC}$，所以 $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CA}=0$；$P$ 在 $\overline{AD}$ 上且 $\overline{AD}\perp \overline{BC}$，所以 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{CB}=0$。

② 由 $\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{CP}-\overrightarrow{CB}$：$(\overrightarrow{CP}-\overrightarrow{CB})\cdot \overrightarrow{CA}=0$，即 $\overrightarrow{CP}\cdot \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CA}$。

③ 由 $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{CP}-\overrightarrow{CA}$：$(\overrightarrow{CP}-\overrightarrow{CA})\cdot \overrightarrow{CB}=0$，即 $\overrightarrow{CP}\cdot \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}$。

④ 兩式右邊相同，所以 $\overrightarrow{CP}\cdot \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CP}\cdot \overrightarrow{CB}$。

⑤ $\overrightarrow{CP}\cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CP}\cdot (\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})=\overrightarrow{CP}\cdot \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CP}\cdot \overrightarrow{CA}=0$。

⑥ 銳角三角形中 $P$ 在三角形內部，$\overrightarrow{CP}\ne \overrightarrow{0}$，所以 $\overrightarrow{CP}\perp \overrightarrow{AB}$，得證。