段考詳解範圍：數乙第一章：數列與函數的極限（數列的極限、無窮等比級數、函數、函數的極限與連續、勘根定理）

武陵高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 武陵高中 113 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 武陵高中 113 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 3 題含高斯符號的極限要分左右兩邊看；多選第 4 題的選項 (C) 與 (E) 要分清楚極限值與函數值；填充第 6 題的螺旋曲線要先找出半徑與圓心的規律；填充第 5 題要用夾擠定理，先確認兩邊在 x 等於 2 的值相同。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

多重選擇題 4 題（每題 8 分，共 32 分；答錯一個選項得 5 分，答錯兩個選項得 2 分，答錯三個選項以上或未作答者得 0 分）、填充題 6 題共 12 格（每格 5 分，共 60 分）、混合題 3 題（共 8 分：單選 2 分、填充 2 分、計算 4 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部相同。

一、多重選擇題（每題 8 分，共 32 分，答錯一個選項得 5 分，答錯兩個選項得 2 分，答錯三個選項以上或未作答者得 0 分）（原卷第 1～4 題，本頁第 1～4 題）

下列各選項中，何者的極限存在？

(A) $n \to \infty lim (- 1)^{n}$
(B) $n \to \infty lim (n + (\frac{- 1}{3})^{n})$
(C) $n \to \infty lim (\frac{8}{π})^{n}$
(D) $n = 1 \sum \infty (\frac{100}{99})^{n}$
(E) $n = 1 \sum \infty (\frac{2 ^{n} - 3 ^{n}}{5 ^{n}})$

已知函數

y = f (x)

的圖形如圖，選出正確的選項。

(A) $x \to 0 lim f (x)$ 極限存在
(B) $x \to 2 lim f (x)$ 極限存在
(C) $x \to 0^{-} lim f (x) = x \to 1 lim f (x)$
(D) $f (x)$ 在 $x = 1$ 處連續
(E) $f (x)$ 在 $x = 3$ 處連續

載入中...

下列各選項中，何者的極限存在？（註：

[x]

為高斯符號）

(A) $x \to 3 lim \frac{[ x - 3 ]}{x - 3}$
(B) $x \to π lim \frac{[ x - 3 ]}{x - 3}$
(C) $x \to 1 lim \frac{∣ x - 1∣}{x - 1}$
(D) $x \to - 1 lim \frac{∣ x - 1∣}{x - 1}$
(E) $x \to 2 lim x [\frac{2}{x}]$

已知函數

f

滿足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 6

，下列哪些敘述正確？

(A) $x \to 1 lim (\frac{f ( x )}{x - 1} + \frac{x - 1}{x}) = 6$
(B) $x \to 1 lim \frac{f ( x )}{2 ( x - 1 )} = 3$
(C) $x \to 1 lim \frac{f ( x )}{( x - 1 ) ^{2}} = 6$
(D) $x \to 1 lim f (x) = 0$
(E) $x \to 1 lim (x \cdot f (x)) = f (1)$

二、填充題（每格 5 分，共 60 分）（原卷題號重新從 1 編起：本頁第 5～9 題是原卷第 1 題的 (1)～(5)，第 10 題是原卷第 2 題，第 11、12 題是原卷第 3 題的 (1)(2)，第 13、14 題是原卷第 4、5 題，第 15、16 題是原卷第 6 題的 (1)(2)）

填充題第 1 題（本頁第 5～9 題）（第 5～9 題）　求下列各極限值。（若所求無極限，請填不存在）：

(1)

n \to \infty lim (5 + \frac{1}{7 ^{n}}) =

____。

(2)

n \to \infty lim (\frac{2 n ^{2} + 5 n}{3 n ^{2} - 4 n + 1}) =

____。

(3)

x \to 1 lim (\frac{x ^{2} + 2}{x ^{3} + 4 x - 1}) =

____。

(4)

x \to 5 lim (\frac{x ^{2} - 2 x - 15}{x ^{2} - 6 x + 5}) =

____。

(5)

x \to 1 lim \frac{( x + 1 ) ^{3} - 8}{x - 1} =

____。

已知首項為

a

，公比為

0. \overline{12}

的無窮等比級數和為

33

，求首項

a

的值為 ____。

填充題第 3 題（本頁第 11～12 題）（第 11～12 題）　已知

f (x) = x + 9

，

g (x) = - x^{2} + x - 3

，則：

(1)

(\frac{f}{g} + g \circ f) (0) =

____。

(2) 若

(f \circ g) (x)

的定義域為

{x ∣ x \in R, p \leq x \leq q}

，則

(p, q) =

____。

設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ - x^{2} + 5, \frac{a}{x + 2} - 1, b x + 9, x < - 1 - 1 \leq x < 3 x \geq 3

，若

f

在實數上為連續函數，則

(a, b) =

____。

已知對任意實數

x

，函數

f

滿足

- 2 x^{2} + 10 x - 8 \leq f (x) \cdot (x + 2) \leq 2 x

，則

x \to 2 lim f (x) =

____。

填充題第 6 題（本頁第 15～16 題）（第 15～16 題）　天命人踏上尋找大聖根器的旅程時，不慎闖入了一個螺旋曲線迷宮。該迷宮的設計方式是：『設

O

為

x

軸上的原點，以

O

為圓心，半徑為

4

畫一個上半圓，交

x

軸於

A (- 4)

、

B (4)

兩點後，以

B

、

O

的中點

X_{1}

為圓心，畫一個下半圓，如圖(一)所示；再以

O

、

X_{1}

的中點

X_{2}

為圓心，畫一個上半圓，如圖(二)所示；接著以

X_{1}

、

X_{2}

的中點

X_{3}

為圓心，畫一個下半圓，如圖(三)所示。循此規律，持續以

X_{n - 2}

、

X_{n - 1}

的中點

X_{n}

為圓心（

n = 3, 4, 5, \dots

）交錯畫出下、上半圓形，便可得到一條由無窮多個半圓形所組成的螺旋曲線。』（圖(一)、圖(二) 附在本頁第 15 題，圖(三)、圖(

n

) 附在本頁第 16 題。）

(1) 若以

A

點為起點，沿著這條螺旋曲線一直向內行走，試問曲線的總長度為 ____。

載入中...

(2) 依上述規則可知，圓心

X_{1}

在

x

軸上的坐標為

2

，圓心

X_{2}

在

x

軸上的坐標為

1

，試問

n \to \infty lim X_{n}

在

x

軸上的坐標為 ____。

載入中...

三、混合題（共 8 分）（原卷第 1～3 題，本頁第 17～19 題：第 17 題單選 2 分，第 18 題填充 2 分，第 19 題計算題 4 分，請詳列計算過程）

混合題（本頁第 17～19 題）（第 17～19 題）　小聖在複習數學的時候，正好在自己的筆記本上看到勘根定理的相關內容，他在筆記本中寫的定理內容是：「設實數

a < b

，若函數

f : [a, b] \to R

滿足

f (a) \cdot f (b) □ 0

，則至少有一實數

c

滿足

a < c < b

使得

f (c) = 0

，即

c

為方程式

f (x) = 0

的實根。」

請問上述定理中的

□

應該填入什麼？（單選，2 分）

(A) $>$
(B) $\geq$
(C) $<$
(D) $\leq$
(E) $=$

承 1（指混合題第 1 題，即本頁第 17 題）填入正確的內容後，小聖反覆思索後，覺得定理內容有點怪怪的，似乎缺少了一個條件，請問缺少的條件是什麼？（填充，2 分）

承上，終於有了正確的定理內容，請你利用勘根定理幫助小聖回答下列問題。「若函數

f (x) = x^{3} + x^{2} - 3 x - 1

，已知方程式

f (x) = 0

有三個實根，試判斷

f (x) = 0

在哪些連續整數之間有實根？」（計算題，請詳列計算過程，4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)(E)

第 2 題(C)(E)

第 3 題(B)(D)

第 4 題(A)(B)(D)

第 5 題

5

第 6 題

\frac{2}{3}

第 7 題

\frac{3}{4}

第 8 題

2

第 9 題

12

第 10 題

29

第 11 題

- 10

第 12 題

(- 2, 3)

第 13 題

(5, - 3)

第 14 題

1

第 15 題

8 π

第 16 題

\frac{4}{3}

第 17 題(C)

第 18 題

f

在閉區間

[a, b]

上連續（

f

為

[a, b]

上的連續函數）

第 19 題三個實根分別在

- 3

與

- 2

之間、

- 1

與

0

之間、

1

與

2

之間

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題（第 1～4 題）：收斂判斷、看圖判斷極限與連續、高斯符號、極限的運算性質

第 1 題答案 (C)(E)。(A) 錯：

(- 1)^{n}

在

- 1

與

1

之間來回跳動，不會接近某一個定值，極限不存在。(B) 錯：

(\frac{- 1}{3})^{n}

趨近

0

，但

n

愈來愈大、沒有上限，所以

n + (\frac{- 1}{3})^{n}

發散。(C) 對：

8 = 22 \approx 2.83

，

π \approx 3.14

，所以

0 < \frac{8}{π} < 1

，公比的絕對值小於

1

，極限為

0

。(D) 錯：這是公比

\frac{100}{99}

的無窮等比級數，公比大於

1

，級數發散。(E) 對：

\frac{2 ^{n} - 3 ^{n}}{5 ^{n}} = (\frac{2}{5})^{n} - (\frac{3}{5})^{n}

，兩個無窮等比級數的公比

\frac{2}{5}

、

\frac{3}{5}

都在

- 1

與

1

之間，各自收斂，和為

\frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{2}{5}} - \frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{2}{3} - \frac{3}{2} = - \frac{5}{6}

。

無窮級數「極限存在」是指部分和數列收斂，也就是級數的和存在。

第 2 題答案 (C)(E)。先從圖讀出：

x

從左邊接近

0

時，圖形接近空心點

(0, 2)

；

x

從右邊接近

0

時，圖形接近實心點

(0, 1)

。

x

從左、右兩邊接近

1

時，圖形都接近空心點

(1, 2)

，而

f (1) = 1

（實心點

(1, 1)

）。

x = 2

的左邊圖形一直往上、右邊圖形一直往下。

x = 3

附近圖形沒有斷開，通過實心點

(3, 2)

。(A) 錯：左極限

2

、右極限

1

，不相等，極限不存在。(B) 錯：

x

接近

2

時函數值不會接近任何定值，極限不存在。(C) 對：

x \to 0^{-} lim f (x) = 2

，

x \to 1 lim f (x) = 2

，兩者相等。(D) 錯：

x \to 1 lim f (x) = 2

，但

f (1) = 1

，極限值不等於函數值，不連續。(E) 對：

x \to 3 lim f (x) = 2 = f (3)

，連續。

空心點表示函數在那一點沒有取那個值，但求極限只看「附近」的走勢，與那一點本身的函數值無關。

第 3 題答案 (B)(D)。(A) 錯：

x

從右邊接近

3

時

0 < x - 3 < 1

，

[x - 3] = 0

，分式為

0

；

x

從左邊接近

3

時

- 1 < x - 3 < 0

，

[x - 3] = - 1

，分式為

\frac{- 1}{x - 3}

，分母是很接近

0

的負數，值愈來愈大、沒有上限。左極限不存在，所以極限不存在。(B) 對：

π \approx 3.14

，

x

接近

π

時

0 < x - 3 < 1

，

[x - 3] = 0

，分式恆為

0

，極限為

0

。(C) 錯：

x > 1

時

\frac{∣ x - 1∣}{x - 1} = 1

，

x < 1

時

\frac{∣ x - 1∣}{x - 1} = - 1

，右極限

1

、左極限

- 1

，不相等。(D) 對：

x

接近

- 1

時

x - 1 < 0

，

\frac{∣ x - 1∣}{x - 1} = \frac{- ( x - 1 )}{x - 1} = - 1

，極限為

- 1

。(E) 錯：

x

從左邊接近

2

（

1 < x < 2

）時

1 < \frac{2}{x} < 2

，

[\frac{2}{x}] = 1

，

x [\frac{2}{x}] = x

趨近

2

；

x

從右邊接近

2

時

0 < \frac{2}{x} < 1

，

[\frac{2}{x}] = 0

，

x [\frac{2}{x}] = 0

。左極限

2

、右極限

0

，不相等。

x

接近哪個數：絕對值裡面變號的地方是

x = 1

，所以只有

x \to 1

時左右兩邊才不一樣。

第 4 題答案 (A)(B)(D)。(A) 對：

x \to 1 lim \frac{x - 1}{x} = \frac{0}{1} = 0

，兩個極限都存在，相加得

6 + 0 = 6

。(B) 對：

\frac{f ( x )}{2 ( x - 1 )} = \frac{1}{2} \cdot \frac{f ( x )}{x - 1}

，極限為

\frac{1}{2} \times 6 = 3

。(C) 錯：假設

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{( x - 1 ) ^{2}}

存在並等於某個數

L

，則

\frac{f ( x )}{x - 1} = \frac{f ( x )}{( x - 1 ) ^{2}} \cdot (x - 1)

的極限會是

L \times 0 = 0

，與已知的

6

矛盾，所以這個極限不存在，更不會等於

6

。(D) 對：

f (x) = \frac{f ( x )}{x - 1} \cdot (x - 1)

，極限為

6 \times 0 = 0

。(E) 錯：由 (D)，

x \to 1 lim (x \cdot f (x)) = 1 \times 0 = 0

；但題目的條件只和

x = 1

附近的函數值有關，沒有規定

f (1)

是多少，

f (1)

不一定是

0

。例如

x \neq = 1

時

f (x) = 6 (x - 1)

、

f (1) = 5

，這個函數滿足題目條件，但

0 \neq = 5

。

(E) 要成立必須另外知道

f

在

x = 1

連續（此時

f (1) = 0

）；題目沒有給這個條件。

判斷極限存不存在，先看左右兩邊是不是接近同一個定值；極限值和那一點的函數值是兩回事。

02填充題第 1 題（第 5～9 題）：五個極限值

第 5 題

\frac{1}{7 ^{n}} = (\frac{1}{7})^{n}

，公比

\frac{1}{7}

在

- 1

與

1

之間，所以趨近

0

。極限為

5 + 0 = 5

。

第 6 題分子、分母同除以

n^{2}

：

\frac{2 n ^{2} + 5 n}{3 n ^{2} - 4 n + 1} = \frac{2 + \frac{5}{n}}{3 - \frac{4}{n} + \frac{1}{n ^{2}}}

。

n \to \infty

時

\frac{5}{n}

、

\frac{4}{n}

、

\frac{1}{n ^{2}}

都趨近

0

，極限為

\frac{2 + 0}{3 - 0 + 0} = \frac{2}{3}

。

第 7 題

x = 1

代入分母得

1 + 4 - 1 = 4 \neq = 0

，可以直接代入：分子

1 + 2 = 3

，極限為

\frac{3}{4}

。

第 8 題

x = 5

代入，分子、分母都是

0

，先因式分解：

\frac{x ^{2} - 2 x - 15}{x ^{2} - 6 x + 5} = \frac{( x - 5 ) ( x + 3 )}{( x - 5 ) ( x - 1 )}

。

x \neq = 5

時約去

x - 5

得

\frac{x + 3}{x - 1}

，極限為

\frac{5 + 3}{5 - 1} = 2

。

第 9 題

x = 1

代入，分子

2^{3} - 8 = 0

、分母

0

。把分子展開：

(x + 1)^{3} - 8 = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 7 = (x - 1) (x^{2} + 4 x + 7)

。

x \neq = 1

時約去

x - 1

得

x^{2} + 4 x + 7

，極限為

1 + 4 + 7 = 12

。

也可以用立方差公式：

(x + 1)^{3} - 2^{3} = ((x + 1) - 2) ((x + 1)^{2} + 2 (x + 1) + 4)

，

x = 1

代入後面的括號得

4 + 4 + 4 = 12

。

代入後分母不是 0 就直接代；出現 0 分之 0 就先因式分解、約去公因式再代。

03填充題第 2 題（第 10 題）：公比是循環小數的無窮等比級數

第 10 題先把公比化成分數：

0. \overline{12} = 0.121212 \dots = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}

。公比在

- 1

與

1

之間，級數收斂，和為

\frac{a}{1 - \frac{4}{33}} = \frac{a}{\frac{29}{33}} = \frac{33 a}{29}

。由

\frac{33 a}{29} = 33

得

a = 29

。

卷面的循環節記號橫線蓋在

1

與

2

兩個數字上，循環節是

12

。

0. \overline{12}

本身也是無窮等比級數

0.12 + 0.0012 + \dots = \frac{0.12}{1 - 0.01} = \frac{12}{99}

。

04填充題第 3 題（第 11～12 題）：函數的運算與合成

第 11 題

f (0) = 9 = 3

，

g (0) = - 3

，所以

(\frac{f}{g}) (0) = \frac{3}{- 3} = - 1

。

(g \circ f) (0) = g (f (0)) = g (3) = - 9 + 3 - 3 = - 9

。相加得

- 1 + (- 9) = - 10

。

第 12 題

(f \circ g) (x) = f (g (x)) = g (x) + 9 = - x^{2} + x + 6

。

g

對所有實數都有定義，所以只需要根號內不為負：

- x^{2} + x + 6 \geq 0

，即

x^{2} - x - 6 \leq 0

，

(x - 3) (x + 2) \leq 0

，得

- 2 \leq x \leq 3

。所以

(p, q) = (- 2, 3)

。

合成函數

f \circ g

的定義域：

x

要在

g

的定義域內（所有實數），而且

g (x)

要能代進

f

，也就是

g (x) \geq - 9

。

05填充題第 4、5 題（第 13～14 題）：分段函數的連續、夾擠定理

第 13 題三段各自在自己的範圍內都連續（中間那段的分母

x + 2

在

- 1 \leq x < 3

內不為

0

），只要讓兩個接點連續。在

x = - 1

：左極限

- (- 1)^{2} + 5 = 4

，

f (- 1) = \frac{a}{- 1 + 2} - 1 = a - 1

，令

a - 1 = 4

得

a = 5

。在

x = 3

：左極限

\frac{5}{3 + 2} - 1 = 0

，

f (3) = 3 b + 9

，令

3 b + 9 = 0

得

b = - 3

。所以

(a, b) = (5, - 3)

。

第 14 題

x

接近

2

時

x + 2 > 0

，不等式各項同除以

x + 2

，方向不變：

\frac{- 2 x ^{2} + 10 x - 8}{x + 2} \leq f (x) \leq \frac{2 x}{x + 2}

。左邊的極限：

x \to 2 lim \frac{- 2 x ^{2} + 10 x - 8}{x + 2} = \frac{- 8 + 20 - 8}{4} = 1

；右邊的極限：

x \to 2 lim \frac{2 x}{x + 2} = \frac{4}{4} = 1

。兩邊的極限都是

1

，由夾擠定理得

x \to 2 lim f (x) = 1

。

也可以先對

f (x) \cdot (x + 2)

用夾擠定理得到它的極限是

4

，再除以

x \to 2 lim (x + 2) = 4

。

06填充題第 6 題（第 15～16 題）：螺旋曲線的總長與圓心的極限

第 15 題第一個半圓以

O

為圓心，半徑

4

。第二個半圓以

X_{1}

（坐標

2

）為圓心，從

B (4)

接到

O (0)

，半徑

2

。第三個半圓以

X_{2}

（坐標

1

）為圓心，從

O

接到

X_{1}

，半徑

1

。每一個新半圓的直徑，正好是前一個半圓的半徑，所以半徑每次變成一半：

4, 2, 1, \frac{1}{2}, \dots

。半徑

r

的半圓弧長是

π r

，總長度為

π (4 + 2 + 1 + \frac{1}{2} + \dots) = π \cdot \frac{4}{1 - \frac{1}{2}} = 8 π

。

第 16 題由

X_{n} = \frac{X _{n - 1} + X _{n - 2}}{2}

得

X_{n} - X_{n - 1} = - \frac{1}{2} (X_{n - 1} - X_{n - 2})

，也就是相鄰兩個圓心的坐標差，每次乘上

- \frac{1}{2}

。

X_{1} = 2

，

X_{2} - X_{1} = - 1

，所以

X_{3} - X_{2} = \frac{1}{2}

，

X_{4} - X_{3} = - \frac{1}{4}

，……。把這些差加起來：

X_{n} = 2 + (- 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \dots)

（括號內共

n - 1

項）。括號內是首項

- 1

、公比

- \frac{1}{2}

的等比級數，

n \to \infty

時和為

\frac{- 1}{1 - ( - \frac{1}{2} )} = - \frac{2}{3}

。所以

n \to \infty lim X_{n} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}

。

檢查前幾項：

X_{3} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2}

，

X_{4} = \frac{5}{4}

，

X_{5} = \frac{11}{8}

，

X_{6} = \frac{21}{16}

，在

\frac{4}{3} \approx 1.333

的兩側來回、愈來愈靠近。

圖形一直重複同一個規則時，先寫出前三四項，找出公比，再用無窮等比級數的和。

07混合題（第 17～19 題）：勘根定理

第 17 題答案 (C)。勘根定理的條件是兩端點的函數值異號，也就是一正一負，乘積為負：

f (a) \cdot f (b) < 0

。

(D) 的

\leq

不對：乘積等於

0

時根可能就在端點

a

或

b

，不保證在

a < c < b

裡面有根。

第 18 題缺少的條件是：

f

在閉區間

[a, b]

上連續（

f

是

[a, b]

上的連續函數）。函數圖形如果中間斷開，就可以從

x

軸的一側直接跳到另一側而不經過

x

軸。

例如

x < 0

時

f (x) = - 1

、

x \geq 0

時

f (x) = 1

：

f (- 1) \cdot f (1) < 0

，但

f (x) = 0

沒有實根。

第 19 題

f (x) = x^{3} + x^{2} - 3 x - 1

是多項式函數，在任何閉區間上都連續，可以用勘根定理。把整數逐一代入：

f (- 3) = - 27 + 9 + 9 - 1 = - 10

，

f (- 2) = - 8 + 4 + 6 - 1 = 1

，

f (- 1) = - 1 + 1 + 3 - 1 = 2

，

f (0) = - 1

，

f (1) = 1 + 1 - 3 - 1 = - 2

，

f (2) = 8 + 4 - 6 - 1 = 5

。因為

f (- 3) \cdot f (- 2) < 0

、

f (- 1) \cdot f (0) < 0

、

f (1) \cdot f (2) < 0

，由勘根定理，在

- 3

與

- 2

之間、

- 1

與

0

之間、

1

與

2

之間各至少有一個實根。三次方程式最多只有三個實根，所以三個實根正好各在這三個區間內一個，其他的連續整數之間沒有實根。

代入的整數都不是根（函數值都不為

0

），所以三個根都不是整數。

勘根定理要兩個條件：在閉區間上連續、兩端函數值異號；它只保證有根，不告訴你根是多少。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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上傳考卷

常見問題

武陵高中 113 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

武陵高中 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 3 題含高斯符號的極限要分左右兩邊看；多選第 4 題的選項 (C) 與 (E) 要分清楚極限值與函數值；填充第 6 題的螺旋曲線要先找出半徑與圓心的規律；填充第 5 題要用夾擠定理，先確認兩邊在 x 等於 2 的值相同。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自武陵高中 113 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：數乙第一章：數列與函數的極限（數列的極限、無窮等比級數、函數、函數的極限與連續、勘根定理）

武陵高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

下列各選項中，何者的極限存在？

(A) $n \to \infty lim (- 1)^{n}$
(B) $n \to \infty lim (n + (\frac{- 1}{3})^{n})$
(C) $n \to \infty lim (\frac{8}{π})^{n}$
(D) $n = 1 \sum \infty (\frac{100}{99})^{n}$
(E) $n = 1 \sum \infty (\frac{2 ^{n} - 3 ^{n}}{5 ^{n}})$

已知函數

y = f (x)

的圖形如圖，選出正確的選項。

(A) $x \to 0 lim f (x)$ 極限存在
(B) $x \to 2 lim f (x)$ 極限存在
(C) $x \to 0^{-} lim f (x) = x \to 1 lim f (x)$
(D) $f (x)$ 在 $x = 1$ 處連續
(E) $f (x)$ 在 $x = 3$ 處連續

載入中...

下列各選項中，何者的極限存在？（註：

[x]

為高斯符號）

(A) $x \to 3 lim \frac{[ x - 3 ]}{x - 3}$
(B) $x \to π lim \frac{[ x - 3 ]}{x - 3}$
(C) $x \to 1 lim \frac{∣ x - 1∣}{x - 1}$
(D) $x \to - 1 lim \frac{∣ x - 1∣}{x - 1}$
(E) $x \to 2 lim x [\frac{2}{x}]$

已知函數

f

滿足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 6

，下列哪些敘述正確？

(A) $x \to 1 lim (\frac{f ( x )}{x - 1} + \frac{x - 1}{x}) = 6$
(B) $x \to 1 lim \frac{f ( x )}{2 ( x - 1 )} = 3$
(C) $x \to 1 lim \frac{f ( x )}{( x - 1 ) ^{2}} = 6$
(D) $x \to 1 lim f (x) = 0$
(E) $x \to 1 lim (x \cdot f (x)) = f (1)$

填充題第 1 題（本頁第 5～9 題）（第 5～9 題）　求下列各極限值。（若所求無極限，請填不存在）：

(1)

n \to \infty lim (5 + \frac{1}{7 ^{n}}) =

____。

(2)

n \to \infty lim (\frac{2 n ^{2} + 5 n}{3 n ^{2} - 4 n + 1}) =

____。

(3)

x \to 1 lim (\frac{x ^{2} + 2}{x ^{3} + 4 x - 1}) =

____。

(4)

x \to 5 lim (\frac{x ^{2} - 2 x - 15}{x ^{2} - 6 x + 5}) =

____。

(5)

x \to 1 lim \frac{( x + 1 ) ^{3} - 8}{x - 1} =

____。

已知首項為

a

，公比為

0. \overline{12}

的無窮等比級數和為

33

，求首項

a

的值為 ____。

填充題第 3 題（本頁第 11～12 題）（第 11～12 題）　已知

f (x) = x + 9

，

g (x) = - x^{2} + x - 3

，則：

(1)

(\frac{f}{g} + g \circ f) (0) =

____。

(2) 若

(f \circ g) (x)

的定義域為

{x ∣ x \in R, p \leq x \leq q}

，則

(p, q) =

____。

設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ - x^{2} + 5, \frac{a}{x + 2} - 1, b x + 9, x < - 1 - 1 \leq x < 3 x \geq 3

，若

f

在實數上為連續函數，則

(a, b) =

____。

已知對任意實數

x

，函數

f

滿足

- 2 x^{2} + 10 x - 8 \leq f (x) \cdot (x + 2) \leq 2 x

，則

x \to 2 lim f (x) =

____。

填充題第 6 題（本頁第 15～16 題）（第 15～16 題）　天命人踏上尋找大聖根器的旅程時，不慎闖入了一個螺旋曲線迷宮。該迷宮的設計方式是：『設

O

為

x

軸上的原點，以

O

為圓心，半徑為

4

畫一個上半圓，交

x

軸於

A (- 4)

、

B (4)

兩點後，以

B

、

O

的中點

X_{1}

為圓心，畫一個下半圓，如圖(一)所示；再以

O

、

X_{1}

的中點

X_{2}

為圓心，畫一個上半圓，如圖(二)所示；接著以

X_{1}

、

X_{2}

的中點

X_{3}

為圓心，畫一個下半圓，如圖(三)所示。循此規律，持續以

X_{n - 2}

、

X_{n - 1}

的中點

X_{n}

為圓心（

n = 3, 4, 5, \dots

）交錯畫出下、上半圓形，便可得到一條由無窮多個半圓形所組成的螺旋曲線。』（圖(一)、圖(二) 附在本頁第 15 題，圖(三)、圖(

n

) 附在本頁第 16 題。）

(1) 若以

A

點為起點，沿著這條螺旋曲線一直向內行走，試問曲線的總長度為 ____。

載入中...

(2) 依上述規則可知，圓心

X_{1}

在

x

軸上的坐標為

2

，圓心

X_{2}

在

x

軸上的坐標為

1

，試問

n \to \infty lim X_{n}

在

x

軸上的坐標為 ____。

載入中...

三、混合題（共 8 分）（原卷第 1～3 題，本頁第 17～19 題：第 17 題單選 2 分，第 18 題填充 2 分，第 19 題計算題 4 分，請詳列計算過程）

a < b

，若函數

f : [a, b] \to R

滿足

f (a) \cdot f (b) □ 0

，則至少有一實數

c

滿足

a < c < b

使得

f (c) = 0

，即

c

為方程式

f (x) = 0

的實根。」

請問上述定理中的

□

應該填入什麼？（單選，2 分）

(A) $>$
(B) $\geq$
(C) $<$
(D) $\leq$
(E) $=$

承上，終於有了正確的定理內容，請你利用勘根定理幫助小聖回答下列問題。「若函數

f (x) = x^{3} + x^{2} - 3 x - 1

，已知方程式

f (x) = 0

有三個實根，試判斷

f (x) = 0

在哪些連續整數之間有實根？」（計算題，請詳列計算過程，4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)(E)

第 2 題(C)(E)

第 3 題(B)(D)

第 4 題(A)(B)(D)

第 5 題

5

第 6 題

\frac{2}{3}

第 7 題

\frac{3}{4}

第 8 題

2

第 9 題

12

第 10 題

29

第 11 題

- 10

第 12 題

(- 2, 3)

第 13 題

(5, - 3)

第 14 題

1

第 15 題

8 π

第 16 題

\frac{4}{3}

第 17 題(C)

第 18 題

f

在閉區間

[a, b]

上連續（

f

為

[a, b]

上的連續函數）

第 19 題三個實根分別在

- 3

與

- 2

之間、

- 1

與

0

之間、

1

與

2

之間

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題（第 1～4 題）：收斂判斷、看圖判斷極限與連續、高斯符號、極限的運算性質

第 1 題答案 (C)(E)。(A) 錯：

(- 1)^{n}

在

- 1

與

1

之間來回跳動，不會接近某一個定值，極限不存在。(B) 錯：

(\frac{- 1}{3})^{n}

趨近

0

，但

n

愈來愈大、沒有上限，所以

n + (\frac{- 1}{3})^{n}

發散。(C) 對：

8 = 22 \approx 2.83

，

π \approx 3.14

，所以

0 < \frac{8}{π} < 1

，公比的絕對值小於

1

，極限為

0

。(D) 錯：這是公比

\frac{100}{99}

的無窮等比級數，公比大於

1

，級數發散。(E) 對：

\frac{2 ^{n} - 3 ^{n}}{5 ^{n}} = (\frac{2}{5})^{n} - (\frac{3}{5})^{n}

，兩個無窮等比級數的公比

\frac{2}{5}

、

\frac{3}{5}

都在

- 1

與

1

之間，各自收斂，和為

\frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{2}{5}} - \frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{2}{3} - \frac{3}{2} = - \frac{5}{6}

。

無窮級數「極限存在」是指部分和數列收斂，也就是級數的和存在。

第 2 題答案 (C)(E)。先從圖讀出：

x

從左邊接近

0

時，圖形接近空心點

(0, 2)

；

x

從右邊接近

0

時，圖形接近實心點

(0, 1)

。

x

從左、右兩邊接近

1

時，圖形都接近空心點

(1, 2)

，而

f (1) = 1

（實心點

(1, 1)

）。

x = 2

的左邊圖形一直往上、右邊圖形一直往下。

x = 3

附近圖形沒有斷開，通過實心點

(3, 2)

。(A) 錯：左極限

2

、右極限

1

，不相等，極限不存在。(B) 錯：

x

接近

2

時函數值不會接近任何定值，極限不存在。(C) 對：

x \to 0^{-} lim f (x) = 2

，

x \to 1 lim f (x) = 2

，兩者相等。(D) 錯：

x \to 1 lim f (x) = 2

，但

f (1) = 1

，極限值不等於函數值，不連續。(E) 對：

x \to 3 lim f (x) = 2 = f (3)

，連續。

空心點表示函數在那一點沒有取那個值，但求極限只看「附近」的走勢，與那一點本身的函數值無關。

第 3 題答案 (B)(D)。(A) 錯：

x

從右邊接近

3

時

0 < x - 3 < 1

，

[x - 3] = 0

，分式為

0

；

x

從左邊接近

3

時

- 1 < x - 3 < 0

，

[x - 3] = - 1

，分式為

\frac{- 1}{x - 3}

，分母是很接近

0

的負數，值愈來愈大、沒有上限。左極限不存在，所以極限不存在。(B) 對：

π \approx 3.14

，

x

接近

π

時

0 < x - 3 < 1

，

[x - 3] = 0

，分式恆為

0

，極限為

0

。(C) 錯：

x > 1

時

\frac{∣ x - 1∣}{x - 1} = 1

，

x < 1

時

\frac{∣ x - 1∣}{x - 1} = - 1

，右極限

1

、左極限

- 1

，不相等。(D) 對：

x

接近

- 1

時

x - 1 < 0

，

\frac{∣ x - 1∣}{x - 1} = \frac{- ( x - 1 )}{x - 1} = - 1

，極限為

- 1

。(E) 錯：

x

從左邊接近

2

（

1 < x < 2

）時

1 < \frac{2}{x} < 2

，

[\frac{2}{x}] = 1

，

x [\frac{2}{x}] = x

趨近

2

；

x

從右邊接近

2

時

0 < \frac{2}{x} < 1

，

[\frac{2}{x}] = 0

，

x [\frac{2}{x}] = 0

。左極限

2

、右極限

0

，不相等。

x

接近哪個數：絕對值裡面變號的地方是

x = 1

，所以只有

x \to 1

時左右兩邊才不一樣。

第 4 題答案 (A)(B)(D)。(A) 對：

x \to 1 lim \frac{x - 1}{x} = \frac{0}{1} = 0

，兩個極限都存在，相加得

6 + 0 = 6

。(B) 對：

\frac{f ( x )}{2 ( x - 1 )} = \frac{1}{2} \cdot \frac{f ( x )}{x - 1}

，極限為

\frac{1}{2} \times 6 = 3

。(C) 錯：假設

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{( x - 1 ) ^{2}}

存在並等於某個數

L

，則

\frac{f ( x )}{x - 1} = \frac{f ( x )}{( x - 1 ) ^{2}} \cdot (x - 1)

的極限會是

L \times 0 = 0

，與已知的

6

矛盾，所以這個極限不存在，更不會等於

6

。(D) 對：

f (x) = \frac{f ( x )}{x - 1} \cdot (x - 1)

，極限為

6 \times 0 = 0

。(E) 錯：由 (D)，

x \to 1 lim (x \cdot f (x)) = 1 \times 0 = 0

；但題目的條件只和

x = 1

附近的函數值有關，沒有規定

f (1)

是多少，

f (1)

不一定是

0

。例如

x \neq = 1

時

f (x) = 6 (x - 1)

、

f (1) = 5

，這個函數滿足題目條件，但

0 \neq = 5

。

(E) 要成立必須另外知道

f

在

x = 1

連續（此時

f (1) = 0

）；題目沒有給這個條件。

判斷極限存不存在，先看左右兩邊是不是接近同一個定值；極限值和那一點的函數值是兩回事。

02填充題第 1 題（第 5～9 題）：五個極限值

第 5 題

\frac{1}{7 ^{n}} = (\frac{1}{7})^{n}

，公比

\frac{1}{7}

在

- 1

與

1

之間，所以趨近

0

。極限為

5 + 0 = 5

。

第 6 題分子、分母同除以

n^{2}

：

\frac{2 n ^{2} + 5 n}{3 n ^{2} - 4 n + 1} = \frac{2 + \frac{5}{n}}{3 - \frac{4}{n} + \frac{1}{n ^{2}}}

。

n \to \infty

時

\frac{5}{n}

、

\frac{4}{n}

、

\frac{1}{n ^{2}}

都趨近

0

，極限為

\frac{2 + 0}{3 - 0 + 0} = \frac{2}{3}

。

第 7 題

x = 1

代入分母得

1 + 4 - 1 = 4 \neq = 0

，可以直接代入：分子

1 + 2 = 3

，極限為

\frac{3}{4}

。

第 8 題

x = 5

代入，分子、分母都是

0

，先因式分解：

\frac{x ^{2} - 2 x - 15}{x ^{2} - 6 x + 5} = \frac{( x - 5 ) ( x + 3 )}{( x - 5 ) ( x - 1 )}

。

x \neq = 5

時約去

x - 5

得

\frac{x + 3}{x - 1}

，極限為

\frac{5 + 3}{5 - 1} = 2

。

第 9 題

x = 1

代入，分子

2^{3} - 8 = 0

、分母

0

。把分子展開：

(x + 1)^{3} - 8 = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 7 = (x - 1) (x^{2} + 4 x + 7)

。

x \neq = 1

時約去

x - 1

得

x^{2} + 4 x + 7

，極限為

1 + 4 + 7 = 12

。

也可以用立方差公式：

(x + 1)^{3} - 2^{3} = ((x + 1) - 2) ((x + 1)^{2} + 2 (x + 1) + 4)

，

x = 1

代入後面的括號得

4 + 4 + 4 = 12

。

代入後分母不是 0 就直接代；出現 0 分之 0 就先因式分解、約去公因式再代。

03填充題第 2 題（第 10 題）：公比是循環小數的無窮等比級數

第 10 題先把公比化成分數：

0. \overline{12} = 0.121212 \dots = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}

。公比在

- 1

與

1

之間，級數收斂，和為

\frac{a}{1 - \frac{4}{33}} = \frac{a}{\frac{29}{33}} = \frac{33 a}{29}

。由

\frac{33 a}{29} = 33

得

a = 29

。

卷面的循環節記號橫線蓋在

1

與

2

兩個數字上，循環節是

12

。

0. \overline{12}

本身也是無窮等比級數

0.12 + 0.0012 + \dots = \frac{0.12}{1 - 0.01} = \frac{12}{99}

。

04填充題第 3 題（第 11～12 題）：函數的運算與合成

第 11 題

f (0) = 9 = 3

，

g (0) = - 3

，所以

(\frac{f}{g}) (0) = \frac{3}{- 3} = - 1

。

(g \circ f) (0) = g (f (0)) = g (3) = - 9 + 3 - 3 = - 9

。相加得

- 1 + (- 9) = - 10

。

第 12 題

(f \circ g) (x) = f (g (x)) = g (x) + 9 = - x^{2} + x + 6

。

g

對所有實數都有定義，所以只需要根號內不為負：

- x^{2} + x + 6 \geq 0

，即

x^{2} - x - 6 \leq 0

，

(x - 3) (x + 2) \leq 0

，得

- 2 \leq x \leq 3

。所以

(p, q) = (- 2, 3)

。

合成函數

f \circ g

的定義域：

x

要在

g

的定義域內（所有實數），而且

g (x)

要能代進

f

，也就是

g (x) \geq - 9

。

05填充題第 4、5 題（第 13～14 題）：分段函數的連續、夾擠定理

第 13 題三段各自在自己的範圍內都連續（中間那段的分母

x + 2

在

- 1 \leq x < 3

內不為

0

），只要讓兩個接點連續。在

x = - 1

：左極限

- (- 1)^{2} + 5 = 4

，

f (- 1) = \frac{a}{- 1 + 2} - 1 = a - 1

，令

a - 1 = 4

得

a = 5

。在

x = 3

：左極限

\frac{5}{3 + 2} - 1 = 0

，

f (3) = 3 b + 9

，令

3 b + 9 = 0

得

b = - 3

。所以

(a, b) = (5, - 3)

。

第 14 題

x

接近

2

時

x + 2 > 0

，不等式各項同除以

x + 2

，方向不變：

\frac{- 2 x ^{2} + 10 x - 8}{x + 2} \leq f (x) \leq \frac{2 x}{x + 2}

。左邊的極限：

x \to 2 lim \frac{- 2 x ^{2} + 10 x - 8}{x + 2} = \frac{- 8 + 20 - 8}{4} = 1

；右邊的極限：

x \to 2 lim \frac{2 x}{x + 2} = \frac{4}{4} = 1

。兩邊的極限都是

1

，由夾擠定理得

x \to 2 lim f (x) = 1

。

也可以先對

f (x) \cdot (x + 2)

用夾擠定理得到它的極限是

4

，再除以

x \to 2 lim (x + 2) = 4

。

06填充題第 6 題（第 15～16 題）：螺旋曲線的總長與圓心的極限

第 15 題第一個半圓以

O

為圓心，半徑

4

。第二個半圓以

X_{1}

（坐標

2

）為圓心，從

B (4)

接到

O (0)

，半徑

2

。第三個半圓以

X_{2}

（坐標

1

）為圓心，從

O

接到

X_{1}

，半徑

1

。每一個新半圓的直徑，正好是前一個半圓的半徑，所以半徑每次變成一半：

4, 2, 1, \frac{1}{2}, \dots

。半徑

r

的半圓弧長是

π r

，總長度為

π (4 + 2 + 1 + \frac{1}{2} + \dots) = π \cdot \frac{4}{1 - \frac{1}{2}} = 8 π

。

第 16 題由

X_{n} = \frac{X _{n - 1} + X _{n - 2}}{2}

得

X_{n} - X_{n - 1} = - \frac{1}{2} (X_{n - 1} - X_{n - 2})

，也就是相鄰兩個圓心的坐標差，每次乘上

- \frac{1}{2}

。

X_{1} = 2

，

X_{2} - X_{1} = - 1

，所以

X_{3} - X_{2} = \frac{1}{2}

，

X_{4} - X_{3} = - \frac{1}{4}

，……。把這些差加起來：

X_{n} = 2 + (- 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \dots)

（括號內共

n - 1

項）。括號內是首項

- 1

、公比

- \frac{1}{2}

的等比級數，

n \to \infty

時和為

\frac{- 1}{1 - ( - \frac{1}{2} )} = - \frac{2}{3}

。所以

n \to \infty lim X_{n} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}

。

檢查前幾項：

X_{3} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2}

，

X_{4} = \frac{5}{4}

，

X_{5} = \frac{11}{8}

，

X_{6} = \frac{21}{16}

，在

\frac{4}{3} \approx 1.333

的兩側來回、愈來愈靠近。

圖形一直重複同一個規則時，先寫出前三四項，找出公比，再用無窮等比級數的和。

07混合題（第 17～19 題）：勘根定理

第 17 題答案 (C)。勘根定理的條件是兩端點的函數值異號，也就是一正一負，乘積為負：

f (a) \cdot f (b) < 0

。

(D) 的

\leq

不對：乘積等於

0

時根可能就在端點

a

或

b

，不保證在

a < c < b

裡面有根。

第 18 題缺少的條件是：

f

在閉區間

[a, b]

上連續（

f

是

[a, b]

上的連續函數）。函數圖形如果中間斷開，就可以從

x

軸的一側直接跳到另一側而不經過

x

軸。

例如

x < 0

時

f (x) = - 1

、

x \geq 0

時

f (x) = 1

：

f (- 1) \cdot f (1) < 0

，但

f (x) = 0

沒有實根。

第 19 題

f (x) = x^{3} + x^{2} - 3 x - 1

是多項式函數，在任何閉區間上都連續，可以用勘根定理。把整數逐一代入：

f (- 3) = - 27 + 9 + 9 - 1 = - 10

，

f (- 2) = - 8 + 4 + 6 - 1 = 1

，

f (- 1) = - 1 + 1 + 3 - 1 = 2

，

f (0) = - 1

，

f (1) = 1 + 1 - 3 - 1 = - 2

，

f (2) = 8 + 4 - 6 - 1 = 5

。因為

f (- 3) \cdot f (- 2) < 0

、

f (- 1) \cdot f (0) < 0

、

f (1) \cdot f (2) < 0

，由勘根定理，在

- 3

與

- 2

之間、

- 1

與

0

之間、

1

與

2

之間各至少有一個實根。三次方程式最多只有三個實根，所以三個實根正好各在這三個區間內一個，其他的連續整數之間沒有實根。

代入的整數都不是根（函數值都不為

0

），所以三個根都不是整數。

勘根定理要兩個條件：在閉區間上連續、兩端函數值異號；它只保證有根，不告訴你根是多少。

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02填充題第 1 題（第 5～9 題）：五個極限值

03填充題第 2 題（第 10 題）：公比是循環小數的無窮等比級數

04填充題第 3 題（第 11～12 題）：函數的運算與合成

05填充題第 4、5 題（第 13～14 題）：分段函數的連續、夾擠定理

06填充題第 6 題（第 15～16 題）：螺旋曲線的總長與圓心的極限

07混合題（第 17～19 題）：勘根定理

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高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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