段考詳解範圍：數與式、指數與常用對數

武陵高中 115 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 武陵高中 115 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 武陵高中 115 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題各選項要先判斷式子是不是 a 與 b 的加權平均（係數和為 1），不是的要靠 a、b 一負一正來判斷，第 3 題 (E) 用算幾不等式時右邊不是定值、等號成立處不是最小值，第 11 題 x 等於 5 不是解要翻成 a 的範圍，以及第 17 題最接近 10 要比較相鄰兩個音的弦長。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

多選題 3 題（24 分，每題 8 分，錯一個選項得 5 分、錯二個得 2 分、錯三個以上或未作答得 0 分）、填充題 11 題（共 66 分，依配分表計分，配分表未印在卷面）、混合題 1 題（10 分：(1) 3 分、(2) 3 分、(3) 4 分，每一小題皆須寫出計算過程）。本頁第 4～14 題依序為原卷填充第 1～11 題，第 15～17 題為原卷混合題第 1 題的 (1)(2)(3) 小題。學校尚未公布答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、多選題(每題8分，錯一個選項得5分，錯二個選項得2分，錯三個以上選項或未作答得0分)

小武在上課過程中，對於數據

(7 + 5)^{4}

感到興趣，他令

x = 7 + 5

，

y = 7 - 5

，則下列何者正確？

(A) $x y = 2$
(B) $x^{2} + y^{2} = 24$
(C) $x^{4} + y^{4} = 568$
(D) $y^{4} > 1$
(E) $x^{4}$ 的整數部分為 $567$

已知

a < 0

且

b > 0

，則下列哪些選項的大小關係必定成立？

(A) $\frac{a + b}{2} < \frac{3 a + b}{4}$
(B) $\frac{3 a + b}{4} < \frac{4 a + 3 b}{7}$
(C) $\frac{a + 2 b}{4} < \frac{a + 3 b}{5}$
(D) $a < \frac{5 a + 6 b}{11} < b$
(E) $\frac{∣ a ∣ + ∣ b ∣}{2} \leq \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2}$

下列哪些選項是正確的？

(A) 若 $a$ 為有理數、 $b$ 為無理數，則 $\frac{5 a}{12 b}$ 必為無理數
(B) 任兩個相異的有理數之間至少有一個無理數
(C) $\frac{126}{525}$ 可以化為有限小數
(D) 若 $a = \frac{1 + 5}{2}$ ，則 $a + 1$ 之值和 $a$ 相同
(E) 由 $\frac{( 3 x + 1 ) ^{2} + ( x + 3 ) ^{2}}{2} \geq (3 x + 1)^{2} (x + 3)^{2}$ 可知 $\frac{( 3 x + 1 ) ^{2} + ( x + 3 ) ^{2}}{2}$ 的最小值產生在 $(3 x + 1)^{2} = (x + 3)^{2}$ 時

二、填充題(依配分表計分，共 66 分)

雖然現在的汽車可以使用年限長久，但一輛車的保養、耗材費，會因使用年限增加而有所提升，因此一輛車不太可能陪伴自己走完一生，所以換車是必須要考慮的，那麼一輛車開多久才會划算呢？假設一輛新車價為

64

萬元，第一年的維修、保養費為

1

萬元，之後每年比前一年多

2

萬元，則最佳使用年限為 ____ 年，會使得年平均總花費（包含購車的價錢）最低。（例：若使用

3

年，則其年平均總花費

= (64

萬

+ 1

萬

+ 3

萬

+ 5

萬

) \div 3 = \frac{73}{3}

）

有個社會學的研究發現：在總學生數為

p

（百人）的高級中學，其步行速度

v

（公尺/秒），可近似於以下的關係式：

v = 0.3 (2 + lo g p) + 0.1

。請根據這個關係式，社會學家在奇異果高中統計出學生的步行速度約為

1.1029

公尺/秒，若利用上述關係來估計此高級中學的人口數，則約為 ____（百人）（以兩位有效數字表示）。（

lo g 2.1 \approx 0.3222

、

lo g 2.2 \approx 0.3424

、

lo g 2.3 \approx 0.3617

、

lo g 2.4 \approx 0.3802

、

lo g 2.5 \approx 0.3979

）

設

a

、

b

、

c

為整數，且

∣ a - 1∣ + 2∣ b + 2∣ + 4 (c - 3)^{2} = 4

，則序組

(a, b, c)

的解有 ____ 組。

有個最簡分數，其分子、分母皆為正整數且兩者之和為

35

，若將此分數化為小數並四捨五入取到小數點後第一位，得到

0.6

，則此分數為 ____。

設

b > 0

，若對任意正數

a

，

a + \frac{9 b ^{2}}{a} \geq b + 10

恆成立，試問

b

的最小值為 ____。

設

x

為實數，若

\frac{2 ^{3 x} - 2 ^{- 3 x}}{2 ^{x} - 2 ^{- x}} = \frac{21}{4}

，試求

x =

____。

已知

a < 0

，

b > 0

，且

a^{2} = \frac{5 - 2}{5 + 2}

，

b^{2} = \frac{5 + 2}{5 - 2}

，則

a^{3} - b^{3} =

____。

定義區間

[a, b]

的長度為

b - a

，例如區間

[- 2, 3]

的長度為

5

。設

a

、

b

為實數，若不等式

∣2 x - a ∣ \leq b

的解所形成的區間長度為

4

，且

x = 5

不是這個不等式的解，則

a

的範圍為 ____。

已知

x

、

y

、

z

為非零實數，

2^{x} = 2 5^{y} = 1 0^{z}

，若

\frac{6}{x} + \frac{3}{y} = \frac{k}{z}

，則實數

k =

____。

x

，

y

為正整數，若

2^{2 x} - 3^{2 y} = 175

，試求

x y =

____。

2019 年谷歌的量子 AI 實驗室負責人尼文提出了未來的量子電腦會依循著「尼文定律」：經過

1, 2, 3, \dots, n

個週期後，其運算速度會變成原來的

2^{2^{1}} = 2^{2}, 2^{2^{2}} = 2^{4}, 2^{2^{3}} = 2^{8}, \dots, 2^{2^{n}}

倍。設某台量子電腦經過

8

個週期後，其運算速度變為原來的

b

倍，且

b = 1 0^{k}

，求

k =

____。（四捨五入到整數位，已知

lo g 2 \approx 0.3010

）

三、混合題(共10分，每一小題皆須寫出計算過程，若未寫出完整過程不予給分)

混合題第 1 題（第 15～17 題）　「十二平均律」是鋼琴音階的依循規則：每一個音的弦長都是前一個音弦長的

122

倍。設第一個音的弦長為

1

，此時，第

n

個音的弦長為

(122)^{n - 1}

。

(1) 選出第

5

個音的弦長。（3 分）

(A) $2$
(B) $32$
(C) $42$
(D) $62$

(2) 已知第

m

個音的弦長為

8

，求正整數

m

的值為 ____。（3 分）

(3) 已知第

k

個音的弦長最接近

10

，求正整數

k

的值。（

lo g 2 \approx 0.3010

）（4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)(C)(E)

第 2 題(B)(C)(D)

第 3 題(B)(C)(D)

第 4 題

8

第 5 題

22

第 6 題

10

第 7 題

\frac{13}{22}

第 8 題

2

第 9 題

1

或

- 1

第 10 題

- 345

第 11 題

a < 6

或

a > 14

第 12 題

6

第 13 題

8

第 14 題

77

第 15 題(B)

第 16 題

37

第 17 題

k = 41

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題：根式、比大小與實數的性質

第 1 題答案 (A)(B)(C)(E)。 (A) 正確。

x y = (7 + 5) (7 - 5) = 7 - 5 = 2

。 (B) 正確。

x^{2} + y^{2} = (12 + 235) + (12 - 235) = 24

。 (C) 正確。

x^{4} + y^{4} = (x^{2} + y^{2})^{2} - 2 (x y)^{2} = 2 4^{2} - 2 \times 4 = 568

。 (D) 錯誤。

y = \frac{2}{7 + 5}

，而

7 + 5 > 2

，所以

0 < y < 1

，得

0 < y^{4} < 1

。 (E) 正確。 由 (C)，

x^{4} = 568 - y^{4}

，又

0 < y^{4} < 1

，所以

567 < x^{4} < 568

，整數部分為

567

。

y

很小，所以

x^{4}

只比整數

568

少一點點；這是「共軛」根式的常見用法。

第 2 題答案 (B)(C)(D)。由

a < 0 < b

知

a < b

，每個選項都通分後移項比較。 (A) 錯誤。 兩邊乘

4

：

2 a + 2 b < 3 a + b

等價於

b < a

，不成立。 (B) 正確。 兩邊乘

28

：

21 a + 7 b < 16 a + 12 b

等價於

5 a < 5 b

，即

a < b

，成立。 (C) 正確。 兩邊乘

20

：

5 a + 10 b < 4 a + 12 b

等價於

a < 2 b

，因

a < 0 < 2 b

，成立。 (D) 正確。 中間的式子

= \frac{5}{11} a + \frac{6}{11} b

。因

a < 0

且

\frac{5}{11} < 1

，得

\frac{5}{11} a > a

；又

\frac{6}{11} b > 0

，所以中間的式子大於

a

。同理

\frac{6}{11} b < b

且

\frac{5}{11} a < 0

，所以中間的式子小於

b

。 (E) 錯誤。 反例：

a = - \frac{1}{10}

，

b = \frac{1}{10}

，左邊

= \frac{1}{10}

，右邊

= \frac{1}{100}

，左邊比較大。

(D) 的兩個係數相加不等於

1

，不是

a, b

的分點；這裡是靠

a, b

一負一正才成立。

第 3 題答案 (B)(C)(D)。 (A) 錯誤。 反例：

a = 0

時

\frac{5 a}{12 b} = 0

是有理數。 (B) 正確。 設有理數

p < q

，則

p + \frac{q - p}{2}

是無理數（若它是有理數，移項得

2

為有理數，矛盾），且因

0 < \frac{1}{2} < 1

，它落在

p

與

q

之間。 (C) 正確。

126 = 2 \times 3^{2} \times 7

，

525 = 3 \times 5^{2} \times 7

，約分得

\frac{6}{25}

，分母只有質因數

5

，可化為有限小數

0.24

。 (D) 正確。

a^{2} = \frac{6 + 2 5}{4} = \frac{3 + 5}{2} = a + 1

，又

a > 0

，所以

a + 1 = a^{2} = a

。 (E) 錯誤。 右邊

(3 x + 1)^{2} (x + 3)^{2} = ∣ (3 x + 1) (x + 3) ∣

會隨

x

改變，不是定值，等號成立的地方不一定是最小值。實際上

\frac{( 3 x + 1 ) ^{2} + ( x + 3 ) ^{2}}{2} = 5 x^{2} + 6 x + 5 = 5 (x + \frac{3}{5})^{2} + \frac{16}{5}

最小值

\frac{16}{5}

在

x = - \frac{3}{5}

時取得；而

(3 x + 1)^{2} = (x + 3)^{2}

的

x = 1

或

x = - 1

，代入分別得

16

與

4

，都不是最小值。

用算幾不等式求極值，一定要「乘積是定值」而且等號取得到。

比大小先通分移項化成最簡單的不等式；說「必為」「最小值」的敘述，找一個反例就能推翻。

02填充 1～5：算幾不等式、查表與計數

第 4 題使用

n

年的維修保養費為

1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1)

，把這

n

項正著寫一遍、倒著寫一遍再上下相加，每一組都是

2 n

，共

n

組，得

2 S = 2 n \cdot n

，所以總和

S = n^{2}

（例如

1 + 3 + 5 = 9 = 3^{2}

）。年平均總花費（萬元）為

\frac{64 + n ^{2}}{n} = n + \frac{64}{n}

由算幾不等式

n + \frac{64}{n} \geq 2 n \cdot \frac{64}{n} = 16

，等號在

n = \frac{64}{n}

，即

n = 8

時成立。最佳使用年限為

8

年。

代回檢查：

n = 3

時

3 + \frac{64}{3} = \frac{73}{3}

，與題目的例子相符。

第 5 題代入

v = 1.1029

：

0.3 (2 + lo g p) + 0.1 = 1.1029

，得

2 + lo g p = \frac{1.0029}{0.3} = 3.343

，所以

lo g p = 1.343 = 1 + 0.343

。查表：

0.343

介於

lo g 2.2 \approx 0.3424

與

lo g 2.3 \approx 0.3617

之間，且非常接近

0.3424

，所以

p \approx 10 \times 2.2 = 22

（百人）。

首數

1

決定位數（乘以

10

），尾數

0.343

對照表上的數字。

第 6 題

(c - 3)^{2} = ∣ c - 3∣

，原式為

∣ a - 1∣ + 2∣ b + 2∣ + 4∣ c - 3∣ = 4

，三項都是非負整數。若

∣ c - 3∣ = 1

（

c = 2

或

4

，

2

種），則

∣ a - 1∣ = ∣ b + 2∣ = 0

，

a, b

各

1

種，共

2

組。若

∣ c - 3∣ = 0

（

c = 3

），則

∣ a - 1∣ + 2∣ b + 2∣ = 4

：

∣ b + 2∣ = 0

時

∣ a - 1∣ = 4

，

a

有

2

種，共

2

組；

∣ b + 2∣ = 1

時

b

有

2

種、

∣ a - 1∣ = 2

使

a

有

2

種，共

4

組；

∣ b + 2∣ = 2

時

b

有

2

種、

∣ a - 1∣ = 0

使

a

有

1

種，共

2

組。合計

2 + 2 + 4 + 2 = 10

組。

(c - 3)^{2}

是

∣ c - 3∣

，不是

c - 3

；絕對值等於正數

k

時有兩個值，等於

0

時只有一個。

第 7 題設分數為

\frac{p}{35 - p}

，四捨五入得

0.6

表示

0.55 \leq \frac{p}{35 - p} < 0.65

。由

\frac{p}{35 - p} \geq 0.55

：

p \geq 19.25 - 0.55 p

，

1.55 p \geq 19.25

，

p \geq 12.4 \dots

，所以

p \geq 13

。由

\frac{p}{35 - p} < 0.65

：

p < 22.75 - 0.65 p

，

1.65 p < 22.75

，

p < 13.7 \dots

，所以

p \leq 13

。得

p = 13

，分數為

\frac{13}{22} \approx 0.59

，且

13

與

22

互質，是最簡分數。

第 8 題由算幾不等式（

a > 0

、

b > 0

）：

a + \frac{9 b ^{2}}{a} \geq 2 a \cdot \frac{9 b ^{2}}{a} = 6 b

，等號在

a = 3 b

時成立，所以

a + \frac{9 b ^{2}}{a}

的最小值是

6 b

。要對任意正數

a

都成立，只要最小值

6 b \geq b + 10

，即

5 b \geq 10

，

b \geq 2

。

b

的最小值為

2

。

「對任意

a

恆成立」就是「左邊的最小值也要滿足」。

03填充 6～11：指數、根式、絕對值與對數

第 9 題令

t = 2^{x}

，分母

t - t^{- 1} \neq = 0

，所以

x \neq = 0

。由立方差公式

t^{3} - t^{- 3} = (t - t^{- 1}) (t^{2} + 1 + t^{- 2})

，原式化為

4^{x} + 1 + 4^{- x} = \frac{21}{4}

即

4^{x} + 4^{- x} = \frac{17}{4}

。令

u = 4^{x} > 0

：

4 u^{2} - 17 u + 4 = 0

，

(4 u - 1) (u - 4) = 0

，

u = 4

或

\frac{1}{4}

。所以

x = 1

或

x = - 1

。

兩個

x

都不等於

0

，分母不為

0

，都要寫。

第 10 題有理化：

a^{2} = \frac{( 5 - 2 ) ^{2}}{( 5 + 2 ) ( 5 - 2 )} = (5 - 2)^{2}

，

b^{2} = (5 + 2)^{2}

。因

a < 0

、

b > 0

，得

a = - (5 - 2) = 2 - 5

，

b = 5 + 2

。

a - b = - 25

，

ab = (2 - 5) (2 + 5) = - 1

，

a^{2} + b^{2} = (9 - 45) + (9 + 45) = 18

。

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) = - 25 \times (18 - 1) = - 345

。

開平方時要看正負：

a < 0

，所以

a

取負的那個根。

第 11 題

∣2 x - a ∣ \leq b

有解時

b \geq 0

，解為

- b \leq 2 x - a \leq b

，即

\frac{a - b}{2} \leq x \leq \frac{a + b}{2}

，區間長度為

b

，所以

b = 4

。

x = 5

不是解，表示

∣10 - a ∣ > 4

，即

10 - a > 4

或

10 - a < - 4

，得

a < 6

或

a > 14

。

區間長度是

\frac{a + b}{2} - \frac{a - b}{2} = b

，不是

2 b

。

第 12 題設

2^{x} = 2 5^{y} = 1 0^{z} = t

。因

z \neq = 0

，

t \neq = 1

，取對數得

x lo g 2 = 2 y lo g 5 = z = lo g t

，且

lo g t \neq = 0

。所以

\frac{1}{x} = \frac{l o g 2}{l o g t}

，

\frac{1}{y} = \frac{2 l o g 5}{l o g t}

，

\frac{1}{z} = \frac{1}{l o g t}

。

\frac{6}{x} + \frac{3}{y} = \frac{6 l o g 2 + 6 l o g 5}{l o g t} = \frac{6 l o g 10}{l o g t} = \frac{6}{l o g t} = \frac{6}{z}

，故

k = 6

。

第 13 題

2^{2 x} - 3^{2 y} = (2^{x} - 3^{y}) (2^{x} + 3^{y}) = 175 = 5^{2} \times 7

。兩個因數都是正整數（乘積為正且

2^{x} + 3^{y} > 0

），且

2^{x} + 3^{y} > 2^{x} - 3^{y}

，可能的分法為

1 \times 175

、

5 \times 35

、

7 \times 25

。兩式相加得

2 \cdot 2^{x}

分別為

176

、

40

、

32

，即

2^{x} = 88

、

20

、

16

，只有

16 = 2^{4}

是

2

的次方。此時

3^{y} = \frac{25 - 7}{2} = 9

，

y = 2

。

x = 4

，

y = 2

，

x y = 8

。

代回：

2^{8} - 3^{4} = 256 - 81 = 175

。

第 14 題經過

8

個週期後

b = 2^{2^{8}} = 2^{256}

。取對數：

k = lo g b = 256 lo g 2 \approx 256 \times 0.3010 = 77.056

，四捨五入到整數位得

k = 77

。

2^{2^{8}}

是

2

的

256

次方，不是

(2^{2})^{8} = 2^{16}

。

04混合題：十二平均律

第 15 題答案 (B)。第

5

個音的弦長

= (122)^{4} = 2^{\frac{4}{12}} = 2^{\frac{1}{3}} = 32

。

第 16 題

(122)^{m - 1} = 2^{\frac{m - 1}{12}} = 8 = 2^{3}

，所以

\frac{m - 1}{12} = 3

，

m = 37

。

第 17 題第

k

個音的弦長為

2^{\frac{k - 1}{12}}

。令它等於

10

並取對數：

\frac{k - 1}{12} lo g 2 = 1

，

k - 1 = \frac{12}{l o g 2} \approx \frac{12}{0.3010} \approx 39.87

。所以要比較

k - 1 = 39

與

k - 1 = 40

兩個音。

k - 1 = 40

：弦長

2^{\frac{40}{12}} = 2^{\frac{10}{3}}

，其三次方為

2^{10} = 1024

，而

10. 1^{3} = 1030.301

，所以

10 < 2^{\frac{10}{3}} < 10.1

，與

10

相差不到

0.1

。

k - 1 = 39

：弦長

2^{\frac{39}{12}} = 2^{\frac{13}{4}}

，其四次方為

2^{13} = 8192

，而

9. 9^{4} = 9605.9601

，所以

2^{\frac{13}{4}} < 9.9

，與

10

相差超過

0.1

。因此

k - 1 = 40

的弦長最接近

10

，

k = 41

。

用對數估計約

39.87

後，要回頭比較相鄰兩個整數；弦長約為

10.08

（

k = 41

）與

9.51

（

k = 40

）。

等比的弦長寫成

2

的分數指數，指數方程式就變成比較指數；「最接近」要比較相鄰兩個整數的實際值。

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武陵高中 115 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題各選項要先判斷式子是不是 a 與 b 的加權平均（係數和為 1），不是的要靠 a、b 一負一正來判斷，第 3 題 (E) 用算幾不等式時右邊不是定值、等號成立處不是最小值，第 11 題 x 等於 5 不是解要翻成 a 的範圍，以及第 17 題最接近 10 要比較相鄰兩個音的弦長。詳解逐題寫在本頁。

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01多選題：根式、比大小與實數的性質

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03填充 6～11：指數、根式、絕對值與對數

04混合題：十二平均律

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高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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