武陵高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (B)(C)。不論視窗移到哪裡，畫面中的曲線都要同時滿足：只出現在 $x>0$ 的地方；一路上升；越往右上升越慢（向下彎）；而且格線上的數值要對得起來。

(A) 錯誤。 圖中曲線的下半段（$y$ 約 $-2$ 到 $-1.4$）在 $y$ 軸左邊，也就是 $x<0$ 的地方，但 $\log x$ 只在 $x>0$ 有定義。而且 $\log x=-2$ 時 $x=0.01$、$\log x=-1.2$ 時 $x=10^{-1.2}\approx 0.063$，曲線應在 $y$ 軸右邊。

(B) 正確。 對照格線：$\log 0.1=-1$，$\log 0.4\approx -0.40$，$\log 0.63\approx -0.20$，$\log 0.8\approx -0.10$，都和圖上曲線經過的位置相符，而且曲線向下彎。

(C) 正確。 曲線通過 $(1,0)$；$\log 0.8\approx -0.10$，$\log 1.6\approx 0.20$，$\log 0.5\approx -0.30$，都和圖相符，而且上升越來越慢。

(D) 錯誤。 圖中曲線往右下降，但 $y=\log x$ 是遞增函數；而且 $\log 2\approx 0.30$，圖上 $x=2$ 處只有約 $0.14$。

(E) 錯誤。 圖中曲線越往右上升越快（向上彎），與「上升越來越慢」相反；而且 $\log 3\approx 0.48$，圖上 $x=3$ 處約 $0.57$，$\log 3.6\approx 0.56$，圖上約 $0.95$。

答案 (B)(C)。

(A) 錯誤。 由換底，${\log }_{5}2=\frac{1}{{\log }_{2}5}$。令 $t={\log }_{2}5$，因為 $4<5<8$，$2<t<3$，所以 $t+\frac{1}{t}>2$，不可能等於 $1$（實際約 $2.32+0.43=2.75$）。

(B) 正確。 $(-3{)}^2=9>0$，真數有意義：${\log }_{4}9=\frac{\log 9}{\log 4}=\frac{2\log 3}{2\log 2}=\frac{\log 3}{\log 2}$。

(C) 正確。 $\frac{\log 15+\log 25}{2}=\frac{1}{2}\log 375=\log \sqrt{375}$，而 $\sqrt{375}<\sqrt{400}=20$，$y=\log x$ 遞增，所以小於 $\log 20$。

(D) 錯誤。 $2^{2{\log }_{2}3}={\left(2^{{\log }_{2}3}\right)}^2=3^2=9\ne 8$。

(E) 錯誤。 兩邊取常用對數：$\log \left(2^{\log 3}\right)=\log 3\cdot \log 2$，$\log \left(3^{\log 2}\right)=\log 2\cdot \log 3$，兩者相等，所以 $2^{\log 3}=3^{\log 2}$，不是大於。

答案 (B)(C)(E)。兩個圖形對稱於直線 $y=x$，就是把其中一個的 $x$、$y$ 互換後會得到另一個。

(A) 錯誤。 $y=\log (-x)$ 是把 $y=\log x$ 的 $x$ 換成 $-x$，兩者對稱於 $y$ 軸。例如 $(10,1)$ 在 $y=\log x$ 上，對 $y=x$ 的對稱點 $(1,10)$ 不在 $y=\log (-x)$ 上（$x=1$ 時無意義）。

(B) 正確。 $y=10^x$ 的 $x$、$y$ 互換得 $x=10^y$，即 $y=\log x$。

(C) 正確。 $y=10^{-x}$ 互換得 $x=10^{-y}$，$-y=\log x$，即 $y=-\log x$。

(D) 錯誤。 $y=10^x+2$ 互換得 $x=10^y+2$，$10^y=x-2$，即 $y=\log (x-2)$，不是 $\log x+2$。例如 $(0,3)$ 在 $y=10^x+2$ 上，對稱點 $(3,0)$ 代入 $\log x+2$ 得 $\log 3+2\ne 0$。

(E) 正確。 $y=10^{x+2}$ 互換得 $x=10^{y+2}$，$y+2=\log x$，即 $y=\log x-2$。

答案 (D)(E)。先讀圖：四條曲線都通過 $(1,0)$。$y=a\log x$ 的圖形往右上升，所以 $a>0$；在 $x>1$ 時它低於 $y=\log x$，表示 $0<a<1$。$y=b\log x$ 與 $y=a\log x$ 對稱於 $x$ 軸，把 $y$ 換成 $-y$：$-y=a\log x$，所以 $b=-a$。同理 $y=c\log x$ 與 $y=\log x$ 對稱於 $x$ 軸，$c=-1$。

(A) 錯誤。 $0<a<1$。

(B) 錯誤。 $a\cdot b=-a^2<0$，不會等於 $1$。

(C) 錯誤。 $c=-1$。

(D) 正確。 $0<a<1$，所以 $b=-a>-1=c$。

(E) 正確。 $a\ne 0$，$y=a\log x$（$a>0$）在 $x>0$ 上嚴格遞增，函數值可以是任何實數；對任一實數 $k$，$a\log x=k$ 恰有一解 $x=10^{\frac{k}{a}}$，所以任何水平線 $y=k$ 都恰交一點。

答案 (B)(C)。設年利率為 $r$，本金為 $P$，$n$ 年後本利和為 $P(1+r{)}^n$。題意是 $(1+r{)}^{14}<2$ 且 $(1+r{)}^{15}>2$。取常用對數：$14\log (1+r)<\log 2$ 且 $15\log (1+r)>\log 2$，即 $\frac{\log 2}{15}<\log (1+r)<\frac{\log 2}{14}$。用 $\log 2\approx 0.30103$：$0.02007<\log (1+r)<0.02150$。用計算機逐一檢查：

(A) 錯誤。 $\log 1.045\approx 0.01912$，太小（$1.045^{15}\approx 1.935$，第 15 年還沒到 $2$ 倍）。

(B) 正確。 $\log 1.0475\approx 0.02015$，在範圍內（$1.0475^{14}\approx 1.915$，$1.0475^{15}\approx 2.006$）。

(C) 正確。 $\log 1.05\approx 0.02119$，在範圍內（$1.05^{14}\approx 1.980$，$1.05^{15}\approx 2.079$）。

(D) 錯誤。 $\log 1.0525\approx 0.02222$，太大（$1.0525^{14}\approx 2.048$，第 14 年就超過 $2$ 倍）。

(E) 錯誤。 $\log 1.055\approx 0.02325$，太大。

答案 (B)(C)。每小時減少原來的 $\frac{1}{4}$，就是每小時變成原來的 $\frac{3}{4}$，停止喝酒 $t$ 小時後濃度為 $0.3\times {\left(\frac{3}{4}\right)}^t(\%)$。

(A) 錯誤。 若每分鐘減少 $\frac{1}{240}$，一小時後會變成 ${\left(\frac{239}{240}\right)}^{60}\approx 0.779$ 倍，不是 $0.75$ 倍。正確的每分鐘倍數是 ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{\frac{1}{60}}\approx 0.99522$，每分鐘約減少 $0.478\%$，不是 $\frac{1}{240}\approx 0.417\%$。

(B) 正確。 減少 $\frac{1}{4}$，剩下 $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。

(C) 正確。 $0.3\times \frac{3}{4}=0.225$，即 $0.225\%$。

(D) 錯誤。 $30$ 分鐘是 $\frac{1}{2}$ 小時：$0.3\times {\left(\frac{3}{4}\right)}^{\frac{1}{2}}=0.3\times \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.2598$，即約 $0.2598\%$。$0.2625\%$ 是把一小時的減少量平分成兩半（$0.3-0.0375$）得到的，濃度不是每段時間減少一樣多。

(E) 錯誤。 要 $0.3\times {\left(\frac{3}{4}\right)}^t\le 0.03$，即 ${\left(\frac{3}{4}\right)}^t\le 0.1$。取常用對數：$t\log \frac{3}{4}\le -1$，而 $\log \frac{3}{4}=\log 3-2\log 2\approx -0.12494<0$，除過去不等號反向，$t\ge \frac{-1}{\log \frac{3}{4}}\approx 8.004$。也就是剛好 $8$ 小時時，${\left(\frac{3}{4}\right)}^8=\frac{6561}{65536}\approx 0.1001>0.1$，濃度約 $0.03003\%$，仍超過 $0.03\%$。選項說「至少在停止喝酒後 $8$ 小時才能開車」，意思是最少等 $8$ 小時就能開車；但等滿 $8$ 小時還不能開，最少要等約 $8.004$ 小時，所以 (E) 不對（學校答案也不選 (E)）。

答案 (A)(D)(E)。

(A) 正確。 $P_1=\log 2\approx 0.301$，約 $30.1\%$。

(B) 錯誤。 $P_5=\log \frac{6}{5}=\log 1.2\approx 0.0792$，約 $7.9\%$；而 $\frac{1}{9}\approx 11.1\%$。

(C) 錯誤。 $P_9=\log \frac{10}{9}\approx 0.0458$，$P_8=\log \frac{9}{8}\approx 0.0512$。由 $\frac{10}{9}<\frac{9}{8}$ 也可直接比出 $P_9<P_8$：首位是 $9$ 的反而比較少。

(D) 正確。 $P_1+P_2=\log 2+\log \frac{3}{2}=\log 3\approx 0.477$，約 $47.7\%$，超過 $45\%$。

(E) 正確。 $P_1+\cdots +P_9=\log \left(\frac{2}{1}\times \frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\times \cdots \times \frac{10}{9}\right)=\log 10=1$。

答案 (B)(C)(E)。模型 $c(t)=9.86222\times 0.815918^t+2.79045$，底數 $0.815918$ 在 $0$ 與 $1$ 之間，所以 $0.815918^t$ 隨 $t$ 增加而遞減、恆為正、越來越接近 $0$。

(A) 錯誤。 一開始是 $t=0$：$c(0)=9.86222\times 1+2.79045=12.65267$，約 $12.65(mg/L)$。$2.79$ 是濃度長期會接近、但不會降到的值。

(B) 正確。 $0.815918^t$ 遞減，所以 $c(t)$ 遞減。

(C) 正確。 隔一週的下降量 $c(t)-c(t+1)=9.86222\times 0.815918^t\times (1-0.815918)$，其中 $0.815918^t$ 隨 $t$ 遞減，所以下降量越來越小。

(D) 錯誤。 $9.86222\times 0.815918^t>0$，所以 $c(t)>2.79045>2.5$，永遠不會少於 $2.5$。

(E) 正確。 $c(26)=9.86222\times 0.815918^{26}+2.79045$。用計算機（或取對數：$26\log 0.815918\approx 26\times (-0.08835)\approx -2.297$）得 $0.815918^{26}\approx 0.00504$，$c(26)\approx 0.0497+2.79045\approx 2.840$，約 $2.84(mg/L)$。