段考詳解範圍：數列的極限、無窮級數、函數與反函數、函數的極限、連續函數與勘根定理

武陵高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 武陵高中 113 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 武陵高中 113 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題選項 (4) 的項數會隨 n 增加，不能把極限拆開逐項計算，選項 (5) 的極限存在並不能推出函數在該點的值；第 6 題的遞迴數列其實發散，直接假設極限存在會算出錯誤的 3；第 8 題解出兩個 x 之後要用收斂條件捨去一個；第 12 題要分公比的各種情形討論，才能確定公比只能是 7。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

多重選擇題 3 題（每題全對得 8 分，錯一個選項得 5 分，錯二個選項得 2 分，未作答得 0 分，共 24 分）、填充題 10 題（依答對格數給分：答對 1～10 格依序得 10、20、27、34、40、46、50、54、57、60 分）、計算題 2 題各 2 小題（每小題 4 分，共 16 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對

一.多重選擇題(每題全對得 8 分，錯一個選項得 5 分，錯二個選項得 2 分，未作答得 0 分)（原卷第 1～3 題，本頁第 1～3 題）

下列哪些選項的極限值或和不存在？

(1) $n \to \infty lim (\frac{5}{3})^{n} (\frac{2}{5})^{n - 1}$
(2) $n \to \infty lim \frac{n !}{n ^{n}}$
(3) $x \to 0 lim [x^{2}]$ （ $[]$ 為高斯符號）
(4) $x \to 0 lim \frac{x ^{2} - 2 x}{∣ x ∣}$
(5) $n = 1 \sum \infty \frac{1}{n + 1 + n}$

下列哪些選項是正確的？

(1) 若已知數列 $⟨ a_{n} ⟩$ ， $a_{n} < 1$ 恆成立，且 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂，則 $n \to \infty lim a_{n} < 1$
(2) 數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 的前 $n$ 項和為 $S_{n}$ ，若數列 $⟨ S_{n} ⟩$ 收斂，則數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 必收斂到 $0$
(3) 有三數列 $⟨ a_{n} ⟩, ⟨ b_{n} ⟩, ⟨ c_{n} ⟩$ 對所有的正整數 $n$ ， $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ 恆成立，若 $⟨ a_{n} ⟩, ⟨ c_{n} ⟩$ 均為收斂數列，則 $⟨ b_{n} ⟩$ 亦為收斂數列
(4) $n \to \infty lim \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n ^{2}} = n \to \infty lim \frac{1}{n ^{2}} + n \to \infty lim \frac{2}{n ^{2}} + n \to \infty lim \frac{3}{n ^{2}} + \dots + n \to \infty lim \frac{n}{n ^{2}}$
(5) 已知 $f (x)$ 為實函數，若 $x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1}$ 存在，則 $f (1) = 0$

已知函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} - a}{x - 3}, m, 當 x \neq = 3 時 當 x = 3 時

，

g (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{- x ^{2} + b}{x + 7}, n, 當 x \neq = - 7 時 當 x = - 7 時

，其中

a, b, m, n \in R

，試問下列哪些選項是正確的？

(1) 無論 $a, m$ 為何值， $x \to 3 lim f (x) = m$
(2) 無論 $b, n$ 為何值， $x \to 5 lim g (x) = g (5)$
(3) 當 $a = 9, b = 49$ 時， $x \to 2 lim f (x) + x \to 2 lim g (x) = 10$
(4) 當 $a = 9, b = 49$ 時， $x \to t lim f (x) + x \to t lim g (x) = 10$ ，其中 $t \in R$
(5) 若 $a = 9, b = 49$ 且 $f (x)$ 與 $g (x)$ 皆為連續函數，則 $m + n = 20$

二.填充題（答對格數 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 格，得分依序為 10、20、27、34、40、46、50、54、57、60 分）(如果極限不存在，請填入「不存在」)（原卷第 1～10 題，本頁接續編為第 4～13 題）

求極限值

n \to \infty lim \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} =

____。

求極限值

x \to 2 lim (\frac{x ^{2} - 2 x}{x ^{2} - 5 x + 6} + \frac{3 x + 1}{x ^{2} - 1}) =

____。

已知數列

⟨ a_{n} ⟩

滿足：

a_{1} = 1

，

a_{n + 1} = 2 a_{n} - 3

，

n \in N

，試求

n \to \infty lim a_{n} =

____。

如右圖，在半徑為

10

的圓

C_{1}

內作一個內接正六邊形

A_{1}

，再作此正六邊形

A_{1}

的內切圓

C_{2}

，在圓

C_{2}

內再作內接正六邊形

A_{2}

，如此繼續做下去。若

S_{n}

為前

n

個圓

C_{1}, C_{2}, C_{3}, \dots, C_{n}

的面積之和，則

n \to \infty lim S_{n} =

____。

載入中...

若無窮級數

x + x (2 x - 5) + x (2 x - 5)^{2} + \dots + x (2 x - 5)^{n - 1} + \dots

收斂，且其和為

\frac{- 5}{16 x - 42}

，則

x =

____。

若實函數

g (x)

為實函數

f (x) = (x - 1)^{3} + 3 (x - 1)^{2} + 3 (x - 1)

的反函數，則

g (x) =

____。

令

S_{n} = k = 1 \sum n 3 k (3 k - 1)

，則

n \to \infty lim \frac{S _{n}}{n ^{2}} =

____。

已知數列

⟨ a_{n} ⟩ = ⟨ \frac{3 ^{n + 1} + 2 ^{n + 3}}{3 ^{n - 1}} ⟩

收斂至

k

，若希望

∣ a_{n} - k ∣ < 1 0^{- 8}

，則最小的正整數

n =

____。

(lo g 2 \approx 0.3010, lo g 3 \approx 0.4771)

設無窮等比數列

⟨ a_{n} ⟩

的公比為

r

，且

n \to \infty lim \frac{a _{1} + a _{2} + a _{3} + \dots + a _{n}}{7 ^{n}} = 9

，試求數對

(a_{1}, r) =

____。

一般來說，我們知道

n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n} = e

，試求極限值

n \to \infty lim (\frac{2 n}{2 n + 3})^{2 n} =

____。

三.計算題(共 16 分)（原卷第 1 題的 (1)(2) 為本頁第 14～15 題，第 2 題的 (1)(2) 為本頁第 16～17 題）

計算題第 1 題（本頁第 14～15 題）（第 14～15 題）　設多項式

f (x) = x^{3} + a x^{2} + 16 x

，

a < 0

，已知

f (x) = 0

的解中，有二個相等的實根，試回答下二問題：

(1) 試求

a

值。(4 分)

(2) 方程式

f (x) = - 3 x^{2} + 13 x - 5

在哪些相鄰的整數之間有實根？(4 分)

計算題第 2 題（本頁第 16～17 題）（第 16～17 題）　若

a, b

為實數且

x \to 0 lim \frac{a - cos b x}{x sin b x} = \frac{1}{4}

，試回答下二問題：（可能用得到的公式：

x \to \infty lim \frac{sin x}{x} = 0

，

x \to \infty lim \frac{cos x}{x ^{2}} = 0

，

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

，

x \to 0 lim (x cos x) = 0

，

x \to 0 lim cos x = 1

，

sin 2 x = 2 sin x cos x

，

cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x

）

(1) 試求

a

值。(4 分)

(2) 試求

b

值。(4 分)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)(5)

第 2 題(2)

第 3 題(2)(3)(4)(5)

第 4 題

0

第 5 題

\frac{1}{3}

第 6 題不存在

第 7 題

400 π

第 8 題

\frac{5}{2}

第 9 題

3 x + 1

第 10 題

\frac{3}{2}

第 11 題

54

第 12 題

(54, 7)

第 13 題

\frac{1}{e ^{3}}

第 14 題

a = - 8

第 15 題在

- 1

與

0

之間、

1

與

2

之間、

3

與

4

之間各有一個實根

第 16 題

a = 1

第 17 題

b = \frac{1}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1：哪些極限值或和不存在

第 1 題答案 (4)(5)。(1) 存在：

(\frac{5}{3})^{n} (\frac{2}{5})^{n - 1} = \frac{5}{2} (\frac{5}{3} \cdot \frac{2}{5})^{n} = \frac{5}{2} (\frac{2}{3})^{n}

，公比

\frac{2}{3}

的絕對值小於

1

，極限為

0

。(2) 存在：

\frac{n !}{n ^{n}} = \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \dots \frac{n}{n}

，後面

n - 1

個因式都不超過

1

，所以

0 < \frac{n !}{n ^{n}} \leq \frac{1}{n}

，由夾擠定理極限為

0

。(3) 存在：當

0 < ∣ x ∣ < 1

時

0 < x^{2} < 1

，

[x^{2}] = 0

，所以極限為

0

。(4) 不存在：

x > 0

時

\frac{x ^{2} - 2 x}{∣ x ∣} = x - 2

，右極限為

- 2

；

x < 0

時

\frac{x ^{2} - 2 x}{∣ x ∣} = - x + 2

，左極限為

2

；左右極限不相等。(5) 不存在：

\frac{1}{n + 1 + n} = n + 1 - n

，前

N

項的和為

N + 1 - 1

，

N

越大它就越大、沒有上界，級數發散。

(3) 的

x

是趨近

0

而不等於

0

，在

0

的兩側

x^{2}

都是小於

1

的正數，所以高斯符號的值固定是

0

，左右極限相同。

02多選 2：數列與函數極限的性質

第 2 題答案 (2)。(1) 錯：取

a_{n} = 1 - \frac{1}{n}

，每一項都小於

1

，但極限等於

1

；只能推得極限小於或等於

1

。(2) 對：設

n \to \infty lim S_{n} = S

，當

n \geq 2

時

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

，所以

n \to \infty lim a_{n} = S - S = 0

。(3) 錯：取

a_{n} = - 1

、

c_{n} = 1

、

b_{n} = (- 1)^{n}

，

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

恆成立，

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ c_{n} ⟩

都收斂，但

⟨ b_{n} ⟩

發散；夾擠定理還需要

⟨ a_{n} ⟩

與

⟨ c_{n} ⟩

的極限相等。(4) 錯：左式

= n \to \infty lim \frac{n ( n + 1 )}{2 n ^{2}} = \frac{1}{2}

；右式每一項的極限都是

0

，加起來不會是

\frac{1}{2}

。極限的加法性質只能用在固定個數的數列相加，這裡的項數隨

n

增加，不能拆開。(5) 錯：極限只看

x

接近

1

但不等於

1

時的函數值，與

f (1)

無關。例如

f (x) = {x - 1, 5, x \neq = 1 x = 1

，

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 1

存在，但

f (1) = 5

。

(5) 若多加「

f (x)

在

x = 1

連續」（例如

f (x)

是多項式），才能由

x \to 1 lim f (x) = 0

推得

f (1) = 0

。

03多選 3：分段定義的函數，極限與連續

第 3 題答案 (2)(3)(4)(5)。(1) 錯：

x \to 3

時分母趨近

0

。若

a \neq = 9

，分子趨近

9 - a \neq = 0

，極限不存在；若

a = 9

，

f (x) = x + 3

（

x \neq = 3

），極限為

6

，而

m

可以是任何數，不一定等於

6

。(2) 對：在

x = 5

附近

g (x) = \frac{- x ^{2} + b}{x + 7}

，分母在

x = 5

的值為

12 \neq = 0

，有理函數在分母不為

0

處連續，所以

x \to 5 lim g (x) = \frac{- 25 + b}{12} = g (5)

，無論

b, n

為何值，這個等式都成立。(3) 對：

a = 9

時

f (x) = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3

（

x \neq = 3

）；

b = 49

時

g (x) = \frac{( 7 - x ) ( 7 + x )}{x + 7} = 7 - x

（

x \neq = - 7

）。

x \to 2 lim f (x) + x \to 2 lim g (x) = 5 + 5 = 10

。(4) 對：對任意實數

t

（包含

t = 3

與

t = - 7

，因為極限不看該點的函數值），

x \to t lim f (x) = t + 3

、

x \to t lim g (x) = 7 - t

，和為

10

。(5) 對：

f (x)

在

x = 3

連續，

m = f (3) = x \to 3 lim f (x) = 6

；

g (x)

在

x = - 7

連續，

n = g (- 7) = x \to - 7 lim g (x) = 14

；

m + n = 20

。

04填充第 1～3 題（本頁 4～6）：基本的極限計算

第 4 題

- \frac{1}{n} \leq \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} \leq \frac{1}{n}

，而

n \to \infty lim (- \frac{1}{n}) = n \to \infty lim \frac{1}{n} = 0

，由夾擠定理得極限為

0

。

第 5 題第一個分式：

\frac{x ^{2} - 2 x}{x ^{2} - 5 x + 6} = \frac{x ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x - 3 )} = \frac{x}{x - 3}

（

x \neq = 2

），

x \to 2

時趨近

\frac{2}{- 1} = - 2

。第二個分式的分母在

x = 2

的值為

3 \neq = 0

，直接代入得

\frac{7}{3}

。所求

= - 2 + \frac{7}{3} = \frac{1}{3}

。

第一個分式直接代

x = 2

會得到

\frac{0}{0}

，要先約去

x - 2

。

第 6 題把遞迴式改寫成

a_{n + 1} - 3 = 2 (a_{n} - 3)

，所以

⟨ a_{n} - 3 ⟩

是首項

a_{1} - 3 = - 2

、公比

2

的等比數列，

a_{n} - 3 = - 2 \cdot 2^{n - 1} = - 2^{n}

，即

a_{n} = 3 - 2^{n}

。

n

越大

a_{n}

就越小、沒有下界，數列發散，極限不存在。

如果先假設極限為

α

，代入得

α = 2 α - 3

、

α = 3

，那是錯的；這個做法要先確定數列收斂才能用。實際算前幾項

1, - 1, - 5, - 13, \dots

就看得出來它不收斂。

05填充第 4～5 題（本頁 7～8）：無窮等比級數

第 7 題設圓

C_{n}

的半徑為

r_{n}

，

r_{1} = 10

。圓

C_{n}

的內接正六邊形

A_{n}

邊長等於

r_{n}

，它的內切圓半徑是中心到邊的距離

\frac{3}{2} r_{n}

，所以

r_{n + 1} = \frac{3}{2} r_{n}

。各圓面積

π r_{n}^{2}

成等比數列，首項

100 π

，公比

(\frac{3}{2})^{2} = \frac{3}{4}

。公比的絕對值小於

1

，所以

n \to \infty lim S_{n} = \frac{100 π}{1 - \frac{3}{4}} = 400 π

。

半徑的比是

\frac{3}{2}

，面積的比要平方，是

\frac{3}{4}

。

第 8 題這是首項

x

、公比

2 x - 5

的無窮等比級數。若

x = 0

，每一項都是

0

，和為

0

，但

\frac{- 5}{16 \cdot 0 - 42} = \frac{5}{42} \neq = 0

，不合。所以

x \neq = 0

，級數收斂的條件是

∣2 x - 5∣ < 1

，即

2 < x < 3

，此時和為

\frac{x}{1 - ( 2 x - 5 )} = \frac{x}{6 - 2 x}

。令

\frac{x}{6 - 2 x} = \frac{- 5}{16 x - 42}

，交叉相乘得

x (16 x - 42) = - 5 (6 - 2 x)

，整理為

8 x^{2} - 26 x + 15 = 0

，即

(2 x - 5) (4 x - 3) = 0

，

x = \frac{5}{2}

或

x = \frac{3}{4}

。只有

x = \frac{5}{2}

在

2 < x < 3

內，故

x = \frac{5}{2}

。

x = \frac{3}{4}

時公比為

- \frac{7}{2}

，級數發散，要捨去。

06填充第 6 題（本頁 9）：反函數

第 9 題由

(t + 1)^{3} = t^{3} + 3 t^{2} + 3 t + 1

，取

t = x - 1

，得

f (x) = (x - 1)^{3} + 3 (x - 1)^{2} + 3 (x - 1) = ((x - 1) + 1)^{3} - 1 = x^{3} - 1

。令

y = x^{3} - 1

，則

x^{3} = y + 1

，

x = 3 y + 1

。把

x, y

對調，得反函數

g (x) = 3 x + 1

。

驗算：

f (g (x)) = (3 x + 1)^{3} - 1 = x

。

07填充第 7～10 題（本頁 10～13）：夾擠定理、誤差估計、等比數列的和、e 的極限

第 10 題對每個正整數

k

，

(3 k - 1)^{2} < 3 k (3 k - 1) < (3 k)^{2}

，所以

3 k - 1 < 3 k (3 k - 1) < 3 k

。從

k = 1

加到

n

：

\frac{3 n ( n + 1 )}{2} - n < S_{n} < \frac{3 n ( n + 1 )}{2}

，即

\frac{3 n ^{2} + n}{2} < S_{n} < \frac{3 n ^{2} + 3 n}{2}

。同除以

n^{2}

：

\frac{3 n ^{2} + n}{2 n ^{2}} < \frac{S _{n}}{n ^{2}} < \frac{3 n ^{2} + 3 n}{2 n ^{2}}

，左右兩式的極限都是

\frac{3}{2}

，由夾擠定理得

n \to \infty lim \frac{S _{n}}{n ^{2}} = \frac{3}{2}

。

第 11 題

a_{n} = \frac{3 ^{n + 1}}{3 ^{n - 1}} + \frac{2 ^{n + 3}}{3 ^{n - 1}} = 9 + \frac{8 \cdot 2 ^{n}}{\frac{1}{3} \cdot 3 ^{n}} = 9 + 24 (\frac{2}{3})^{n}

，所以

k = 9

，

∣ a_{n} - k ∣ = 24 (\frac{2}{3})^{n}

。要

24 (\frac{2}{3})^{n} < 1 0^{- 8}

，兩邊取常用對數：

lo g 24 + n (lo g 2 - lo g 3) < - 8

。

lo g 24 = 3 lo g 2 + lo g 3 \approx 1.3801

，

lo g 2 - lo g 3 \approx - 0.1761

，所以

0.1761 n > 9.3801

，

n > 53.2 \dots

，最小的正整數

n = 54

。

lo g 2 - lo g 3

是負數，移項或同除時要留意不等號方向。

第 12 題等比數列的首項

a_{1} \neq = 0

。若

r = 1

，分子為

n a_{1}

，

\frac{n a _{1}}{7 ^{n}}

的極限是

0

，不合。若

r \neq = 1

，

\frac{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n}}{7 ^{n}} = \frac{a _{1} ( r ^{n} - 1 )}{( r - 1 ) \cdot 7 ^{n}} = \frac{a _{1}}{r - 1} [(\frac{r}{7})^{n} - (\frac{1}{7})^{n}]

，其中

(\frac{1}{7})^{n}

趨近

0

。若

∣ r ∣ < 7

，

(\frac{r}{7})^{n}

趨近

0

，極限為

0

，不合；若

∣ r ∣ > 7

或

r = - 7

，

(\frac{r}{7})^{n}

發散，極限不存在，不合。所以

r = 7

，此時極限為

\frac{a _{1}}{7 - 1} = \frac{a _{1}}{6} = 9

，

a_{1} = 54

。故

(a_{1}, r) = (54, 7)

。

第 13 題

(\frac{2 n}{2 n + 3})^{2 n} = \frac{1}{( \frac{2 n + 3}{2 n} ) ^{2 n}}

，先求分母的極限。令

N = 2 n

，把

\frac{N + 3}{N}

拆成三個分式相乘：

\frac{N + 3}{N} = \frac{N + 3}{N + 2} \cdot \frac{N + 2}{N + 1} \cdot \frac{N + 1}{N} = (1 + \frac{1}{N + 2}) (1 + \frac{1}{N + 1}) (1 + \frac{1}{N})

。對

j = 0, 1, 2

，

(1 + \frac{1}{N + j})^{N} = (1 + \frac{1}{N + j})^{N + j} \div (1 + \frac{1}{N + j})^{j}

；

N \to \infty

時，被除的那一項由題目給的極限趨近

e

，除的那一項趨近

1

，所以

(1 + \frac{1}{N + j})^{N}

趨近

e

。三個因式各自的

N

次方都趨近

e

，故分母

(\frac{N + 3}{N})^{N}

趨近

e^{3}

，所求極限為

\frac{1}{e ^{3}}

。

常見的寫法是令

m = \frac{2 n}{3}

，把分母寫成

[(1 + \frac{1}{m})^{m}]^{3}

再說它趨近

e^{3}

。這裡的

m

不一定是整數，那樣寫等於用了「

x

取實數趨向無限大時

(1 + \frac{1}{x})^{x}

也趨近

e

」這件事；答案相同，上面的拆法則只用到題目給的式子。

08計算題第 1 題（本頁 14～15）：重根與勘根定理

第 14 題

f (x) = x (x^{2} + a x + 16)

，所以

f (x) = 0

的根是

0

與

x^{2} + a x + 16 = 0

的兩根。

x = 0

代入

x^{2} + a x + 16

得

16 \neq = 0

，所以

0

不是

x^{2} + a x + 16 = 0

的根，二個相等的實根只能是

x^{2} + a x + 16 = 0

的重根。判別式

a^{2} - 64 = 0

，

a = \pm 8

；又

a < 0

，故

a = - 8

。（此時

f (x) = x (x - 4)^{2}

。）

第 15 題由 (1)，

f (x) = x^{3} - 8 x^{2} + 16 x

。方程式

x^{3} - 8 x^{2} + 16 x = - 3 x^{2} + 13 x - 5

移項得

x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 5 = 0

。令

g (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 5

，它是多項式函數，處處連續。逐一代入整數：

g (- 1) = - 4

，

g (0) = 5

，

g (1) = 4

，

g (2) = - 1

，

g (3) = - 4

，

g (4) = 1

。

g (- 1) g (0) < 0

、

g (1) g (2) < 0

、

g (3) g (4) < 0

，由勘根定理，

g (x) = 0

在

- 1

與

0

之間、

1

與

2

之間、

3

與

4

之間各至少有一個實根。三次方程式最多有三個實根，所以恰好就是這三個，其他相鄰整數之間沒有實根。

最後要補一句「三次方程式最多三個實根」，才能確定沒有漏掉其他區間。

09計算題第 2 題（本頁 16～17）：含三角函數的極限

第 16 題若

b = 0

，分母

x sin b x

恆為

0

，式子沒有意義，所以

b \neq = 0

。

x \to 0

時分母

x sin b x

趨近

0

，而

a - cos b x = \frac{a - cos b x}{x sin b x} \cdot (x sin b x)

，兩個因式的極限分別是

\frac{1}{4}

與

0

，所以

x \to 0 lim (a - cos b x) = \frac{1}{4} \cdot 0 = 0

。又

x \to 0 lim cos b x = 1

，故

a - 1 = 0

，

a = 1

。

第 17 題

a = 1

時，分子分母同乘

1 + cos b x

：

\frac{1 - cos b x}{x sin b x} = \frac{1 - cos ^{2} b x}{x sin b x ( 1 + cos b x )} = \frac{sin ^{2} b x}{x sin b x ( 1 + cos b x )} = \frac{sin b x}{x} \cdot \frac{1}{1 + cos b x}

。其中

\frac{sin b x}{x} = b \cdot \frac{sin b x}{b x}

，

x \to 0

時

b x \to 0

，由

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

知它趨近

b

；而

\frac{1}{1 + cos b x}

趨近

\frac{1}{2}

。所以極限為

\frac{b}{2}

。令

\frac{b}{2} = \frac{1}{4}

，得

b = \frac{1}{2}

。

也可以用題目給的倍角公式：

1 - cos b x = 2 sin^{2} \frac{b x}{2}

、

sin b x = 2 sin \frac{b x}{2} cos \frac{b x}{2}

，約去

2 sin \frac{b x}{2}

後同樣得到

\frac{b}{2}

。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

武陵高中 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題選項 (4) 的項數會隨 n 增加，不能把極限拆開逐項計算，選項 (5) 的極限存在並不能推出函數在該點的值；第 6 題的遞迴數列其實發散，直接假設極限存在會算出錯誤的 3；第 8 題解出兩個 x 之後要用收斂條件捨去一個；第 12 題要分公比的各種情形討論，才能確定公比只能是 7。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自武陵高中 113 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

武陵高中 113 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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02多選 2：數列與函數極限的性質

03多選 3：分段定義的函數，極限與連續

04填充第 1～3 題（本頁 4～6）：基本的極限計算

05填充第 4～5 題（本頁 7～8）：無窮等比級數

06填充第 6 題（本頁 9）：反函數

07填充第 7～10 題（本頁 10～13）：夾擠定理、誤差估計、等比數列的和、e 的極限

08計算題第 1 題（本頁 14～15）：重根與勘根定理

09計算題第 2 題（本頁 16～17）：含三角函數的極限

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武陵高中 113 上
高三第一次段考
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