01 · 試題原卷 17 題，照原卷順序
多選題 3 題（第 1～3 題）、填充題 12 小題（原卷第 1～10 題，第 1、2 題各有兩小題，本頁第 4～15 題）、計算證明題 2 題（原卷第 1、2 題，本頁第 16、17 題；答案卷印第 1 題 (1) 2 分，(2) 的兩問各 3 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對。
一、多選題(每題 8 分，錯 1 個選項 5 分、錯 2 個選項 2 分，錯 3 個選項以上 0 分，共 24 分)
1
下列哪些函數在 x=0 處可微分？- (A) f(x)=x
- (B) f(x)=∣x−1∣
- (C) f(x)=[x]，[x] 表高斯符號
- (D) f(x)=x∣x∣
- (E) f(x)=x[x]
2
已知函數 f(x) 的導函數 f′(x)=(x+3)(1−x)，則下列選項哪些是正確的？- (A) f(x) 為三次多項式且最高次項係數為負
- (B) f(x) 在區間 [−3,1] 遞增
- (C) f(x) 在 x=3 有最小值
- (D) (−1,f(−1)) 為 f(x) 圖形的反曲點
- (E) f(x) 與 x 軸恰交於一點。
3
下圖為三次函數 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的圖形，其中黑點為反曲點，選出正確的選項。- (A) a>0
- (B) b>0
- (C) c>0
- (D) d>0
- (E) b2−3ac>0
二、填充題(每小題 5 分，共 60 分)
填充題第 1 題（本頁第 4～5 題）（第 4～5 題） 已知 f(x)=x3−x2+x+5，求
4
(1) x→1limx−1f(x)−f(1)= ____。
5
(2) x→1limx−1f′(x)−f′(1)= ____。
填充題第 2 題（本頁第 6～7 題）（第 6～7 題） 利潤函數 P(x) 定義為 P(x)=R(x)−C(x)，其中 R(x) 與 C(x) 分別表示總收益及總成本函數，而 x 為該商品的生產或銷售數量。而利潤函數 P(x) 的導函數 P′(x) 為邊際利潤函數，即生產並銷售 x 件產品時，邊際利潤 P′(x)≈P(x+1)−P(x)。
已知某年奇異果生產 x 公斤時的成本函數 C(x)=30x+40，而賣到果菜市場 100 公斤內的收益函數為 R(x)=−0.2x2+80x。試回答下列問題：
6
(1) 該年奇異果 100 公斤內的利潤函數 P(x) 為何？
7
(2) 求賣量從 60 公斤增加到 61 公斤的利潤約增加多少元？(邊際利潤)
8
設 f(x)=ax3+bx2+cx+d 且滿足 x→5limx−5f(x)−1=41，試求 f(x) 的圖形上以 (5,f(5)) 為切點的切線方程式。
9
若函數 f(x)=x3+ax2+bx+2 圖形的反曲點為 (−1,2)，則數對 (a,b)= ____。
10
設 y=x3−3x2+ax+1 在 x∈R 實數上為遞增函數，求實數 a 的範圍為 ____。
11
求 y=9−x2 以點 P(2,5) 為切點的切線斜率為 ____。 12
已知三次函數 f(x) 在 x=0 處有極大值 3，且此函數圖形在點 (−1,0) 與直線 y=7x+7 相切，則 f(x)= ____。
13
曲線 y=x3−3x2−8x+a 的兩條斜率為 1 之切線間的距離為 ____。
14
如下圖，拋物線 y=4−x2 交 x 軸於 A、B 兩點，AB 固定，CD 移動時，內接梯形 ABCD 的最大面積為 ____。（圖上 C、D 在拋物線上，CD 與 x 軸平行） 15
已知函數 f(x)=x3+ax2+bx+c，在 x=−6 處有極大值 149，在 x=32 處有極小值，求序組 (a,b,c)= ____。
三、計算證明題(每題 8 分，共 16 分)
16
已知甲生每日上學遲到的機率為 x，準時的機率為 1−x，每日遲到與否互相獨立，其中 0<x<1。連續三個上學日中，只有一天遲到的機率為 f(x)，試問：
(1) f(x)= ____。
(2) 當機率 x 為多少時 f(x) 有最大值？f(x) 最大值為多少？
17
試證：若函數 f(x) 在 x=a 處可微分，則 f(x) 在 x=a 處連續。
第 1 題(A)(B)(D)
第 2 題(A)(B)(D)
第 3 題(A)(B)(C)(E)
第 4 題2
第 5 題4
第 6 題P(x)=−0.2x2+50x−40
第 7 題26 元
第 8 題x−4y−1=0
第 9 題(3,2)
第 10 題a≥3
第 12 題x3−2x2+3
第 14 題27256
第 15 題(8,−12,5)
第 16 題(1) f(x)=3x3−6x2+3x；(2) x=31 時有最大值 94
第 17 題證明見詳解
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01多選第 1 題與填充第 1 題（第 1、4、5 題）：導數的定義
第 1 題答案 (A)(B)(D)。用定義看 h→0limhf(h)−f(0) 是否存在。
(A) 正確。 hh−0=1，極限為 1，f′(0)=1。
(B) 正確。 x 在 0 附近時 x−1<0，f(x)=∣x−1∣=1−x，所以 hf(h)−f(0)=h(1−h)−1=−1，極限為 −1。
(C) 錯誤。 f(0)=[0]=0。h 從右邊接近 0 時 [h]=0，分式為 0；h 從左邊接近 0 時 [h]=−1，分式為 h−1，分母是很接近 0 的負數，值愈來愈大、沒有上限，極限不存在。（[x] 在 x=0 根本不連續。）
(D) 正確。 hh∣h∣−0=∣h∣，極限為 0，f′(0)=0。
(E) 錯誤。 hh[h]−0=[h]，右極限 0、左極限 −1，不相等，極限不存在。
x∣x∣ 的差商是 ∣h∣，左右都趨近 0，所以可微；x[x] 的差商是 [h]，左右極限是 −1 與 0，不可微分。
第 4 題這個極限就是導數的定義 f′(1)。f′(x)=3x2−2x+1，所以 f′(1)=3−2+1=2。
第 5 題這個極限是函數 f′(x) 在 x=1 的導數，也就是二階導數 f′′(1)。f′(x)=3x2−2x+1，f′′(x)=6x−2，所以 f′′(1)=4。
也可以直接算：f′(x)−f′(1)=3x2−2x−1=(x−1)(3x+1)，約去 x−1 後 x→1 得 3+1=4。
看到「函數值的差除以 x 的差」的極限就是導數的定義；判斷可不可微分要看左右兩邊的極限是否相同。
02多選第 2、3 題（第 2、3 題）：由導函數與圖形判斷性質
第 2 題答案 (A)(B)(D)。f′(x)=(x+3)(1−x)=−x2−2x+3。設 f(x)=px3+qx2+rx+s，則 f′(x)=3px2+2qx+r，比較係數得 p=−31，q=−1，r=3，s 不能確定。所以 f(x)=−31x3−x2+3x+s。
(A) 正確。 最高次項 −31x3，三次且係數為負。
(B) 正確。 −3<x<1 時 x+3>0、1−x>0，f′(x)>0，只有兩端點 f′=0，所以 f(x) 在 [−3,1] 遞增。
(C) 錯誤。 f′(3)=6×(−2)=−12=0，x=3 連極值都不是；而且 x>1 時 f′(x)<0，f(x) 一直遞減、沒有下限，f(x) 沒有最小值。
(D) 正確。 f′′(x)=−2x−2，x<−1 時 f′′(x)>0（凹口向上），x>−1 時 f′′(x)<0（凹口向下），凹凸在 x=−1 改變，所以 (−1,f(−1)) 是反曲點。
(E) 錯誤。 極小值 f(−3)=9−9−9+s=s−9，極大值 f(1)=−31−1+3+s=s+35，與 s 有關。例如 s=0 時極大值 35>0、極小值 −9<0，圖形與 x 軸交於三點；s=10 時極小值 1>0，只交於一點。所以不一定恰交於一點。
只知道導函數時，f(x) 的常數項不確定，相當於整個圖形可以上下平移；與 x 軸交點的個數會跟著變。
第 3 題答案 (A)(B)(C)(E)。f′(x)=3ax2+2bx+c，f′′(x)=6ax+2b。
(A) 正確。 圖形往右上升到很高、往左下降到很低，所以最高次項係數 a>0。
(B) 正確。 反曲點的 x 坐標是 f′′(x)=0 的解 x=−3ab。黑點在 y 軸左側，所以 −3ab<0；又 a>0，得 b>0。
(C) 正確。 c=f′(0) 是圖形在 x=0 的切線斜率。極小點在 y 軸左側，過了極小點之後圖形一直上升，所以在 x=0 處圖形正在上升，f′(0)>0，即 c>0。
(D) 錯誤。 d=f(0) 是圖形與 y 軸交點的 y 坐標，圖形與 y 軸交在 x 軸下方，d<0。
(E) 正確。 圖形有極大點與極小點，f′(x)=0 有兩個相異實根，判別式 (2b)2−4⋅3a⋅c>0，即 b2−3ac>0。
三次函數 ax³＋bx²＋cx＋d：a 看右端往上或往下，反曲點橫坐標是 −b／(3a)，c 是 x＝0 的切線斜率，d 是 y 截距。
03填充第 2 題（第 6、7 題）：利潤函數與邊際利潤
第 6 題P(x)=R(x)−C(x)=(−0.2x2+80x)−(30x+40)=−0.2x2+50x−40（0≤x≤100）。
第 7 題邊際利潤 P′(x)=−0.4x+50。賣量從 60 公斤增加到 61 公斤，利潤約增加 P′(60)=−24+50=26（元）。
實際的增加量是 P(61)−P(60)=−0.2×(612−602)+50=−24.2+50=25.8（元），與 26 很接近；題目問「約」增加多少，用邊際利潤 P′(60)。
邊際利潤是利潤函數的導數，用來估計多賣一單位時利潤增加多少。
04填充第 3、6、8 題（第 8、11、13 題）：切線
第 8 題x→5 時分母 x−5→0，而極限存在，所以分子也要趨近 0：f(5)−1=0，f(5)=1（多項式函數連續）。於是 x→5limx−5f(x)−f(5)=f′(5)=41。切點 (5,1)、斜率 41，切線為 y−1=41(x−5)，整理得 x−4y−1=0。
第 11 題y=9−x2 的圖形是圓 x2+y2=9 的上半圓，P(2,5) 在圓上（4+5=9）。圓的切線垂直於過切點的半徑，半徑 OP 的斜率為 25，所以切線斜率為 −52=−525。 數乙只學多項式函數的微分；這題的圖形是半圓，用圓的切線垂直半徑求斜率。
第 13 題y′=3x2−6x−8。令 3x2−6x−8=1，得 x2−2x−3=0，x=3 或 x=−1。
x=3 時 y=27−27−24+a=a−24，切線 y=x+a−27；x=−1 時 y=−1−3+8+a=a+4，切線 y=x+a+5。
兩平行線 x−y+(a−27)=0 與 x−y+(a+5)=0 的距離為 12+(−1)2∣(a+5)−(a−27)∣=232=162。
距離與 a 無關：改變 a 只是把整個曲線與兩條切線一起上下平移。
求切線先找切點與斜率；斜率由導數給出，非多項式的圓則用切線垂直半徑。
05填充第 4、5、7、10 題（第 9、10、12、15 題）：由反曲點、遞增與極值求係數
第 9 題f′(x)=3x2+2ax+b，f′′(x)=6x+2a。反曲點的 x 坐標是 −1：f′′(−1)=−6+2a=0，a=3。反曲點在圖形上：f(−1)=−1+a−b+2=4−b=2，b=2。所以 (a,b)=(3,2)。
a=3 時 f′′(x)=6(x+1) 在 x=−1 左右變號，(−1,2) 確實是反曲點。
第 10 題y′=3x2−6x+a。要在所有實數上遞增，需 y′≥0 對所有 x 成立，也就是開口向上的二次式判別式不為正：36−12a≤0，a≥3。
a=3 時 y′=3(x−1)2，只在 x=1 這一點等於 0，其餘都大於 0，函數仍然遞增，所以 a=3 也要算進去。
第 12 題設 f(x)=px3+qx2+rx+s，f′(x)=3px2+2qx+r。
在 x=0 有極大值 3：f′(0)=r=0，f(0)=s=3。
在 (−1,0) 與 y=7x+7 相切：點在圖形上 f(−1)=−p+q+3=0，切線斜率 f′(−1)=3p−2q=7。由 q=p−3 代入得 3p−2p+6=7，p=1，q=−2。
所以 f(x)=x3−2x2+3。
檢查：f′′(x)=6x−4，f′′(0)=−4<0，x=0 確實是極大；(−1,0) 也在直線 y=7x+7 上。
第 15 題f′(x)=3x2+2ax+b，x=−6 與 x=32 是 f′(x)=0 的兩根。由根與係數的關係：−6+32=−32a，得 a=8；(−6)×32=3b，得 b=−12。再由 f(−6)=−216+8×36−12×(−6)+c=144+c=149，得 c=5。所以 (a,b,c)=(8,−12,5)。
f′(x)=3x2+16x−12=(3x−2)(x+6)，在 −6 左正右負（極大）、在 32 左負右正（極小），符合題意。
極值點讓 f′＝0、反曲點讓 f″＝0、點在圖形上就代入原函數；條件數和未知數一樣多就能解。
06填充第 9 題（第 14 題）：拋物線內接梯形的最大面積
第 14 題4−x2=0 得 A(−2,0)、B(2,0)，AB=4。拋物線對稱於 y 軸，設 C(t,4−t2)、D(−t,4−t2)，0<t<2，上底 CD=2t，高 4−t2。
面積 S(t)=2(4+2t)(4−t2)=(2+t)(4−t2)=−t3−2t2+4t+8。
S′(t)=−3t2−4t+4=−(3t−2)(t+2)。在 0<t<2 中，0<t<32 時 S′(t)>0，32<t<2 時 S′(t)<0，所以 t=32 時面積最大：
S(32)=(2+32)(4−94)=38×932=27256
最大面積問題：用一個變數寫出面積，求導數為 0 的點，再看導數在左右的正負確定是最大。
07計算證明題（第 16、17 題）：機率函數的最大值、可微分必連續
第 16 題(1) 三天中選一天遲到有 C13=3 種，每種的機率都是 x(1−x)2（每日獨立），所以
f(x)=3x(1−x)2=3x3−6x2+3x
(2) f′(x)=9x2−12x+3=3(3x−1)(x−1)。在 0<x<1 中，0<x<31 時 f′(x)>0，31<x<1 時 f′(x)<0，所以 f(x) 先增後減，x=31 時有最大值
f(31)=3⋅31⋅(32)2=94
x=31 時「平均三天遲到一天」，此時恰好一天遲到的機率最大，符合直覺。
第 17 題因為 f(x) 在 x=a 處可微分，所以 f′(a)=x→alimx−af(x)−f(a) 存在。
x=a 時，f(x)=x−af(x)−f(a)⋅(x−a)+f(a)。兩個因式的極限都存在，由極限的運算性質：
x→alimf(x)=x→alimx−af(x)−f(a)⋅x→alim(x−a)+f(a)=f′(a)⋅0+f(a)=f(a)
x→alimf(x)=f(a)，所以 f(x) 在 x=a 處連續。
反過來不成立：f(x)=∣x∣ 在 x=0 連續，但左右斜率是 −1 與 1，不可微分。
求機率的最大值，先把機率寫成 x 的多項式，再用導數找增減；可微分一定連續，連續不一定可微分。
同一次段考的其他學校
同樣是高三第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。
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上傳考卷常見問題
武陵高中 114 上 高三第二次段考數學的答案在哪裡？
本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。
武陵高中 114 上 高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？
多選第 2 題只知道導函數時，常數項不確定，所以與 x 軸交點個數無法確定；多選第 3 題要從反曲點與 y 軸左右的走勢判斷 b 與 c 的正負；填充第 6 題是根號函數，要改用圓的切線垂直半徑來求斜率；填充第 9 題要把梯形面積寫成上底端點橫坐標的函數再求最大值。
我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？
可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。
這份段考卷可以下載列印嗎？
可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。
題目取自武陵高中 114 學年度上學期 高三第二次段考 數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。