段考詳解範圍：微分（導數的定義、微分公式、切線與一次近似、遞增遞減與極值、凹凸與反曲點、最大最小值、牛頓法）

武陵高中 114 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

多重選擇題 3 題（每題 10 分，每個選項判斷正確得 2 分）、填充題 I 共 5 題（每題 8 分，共 40 分）、填充題 II（每題 3 分，共 15 分；F 題分 (1)(2) 兩格，連同 G、H、I 共 5 個答案）、混合題共 15 分（第 1 題 5 分；第 2 題三小題依序 2、4、4 分，未完整作答不予給分），合計 100 分。填充題 I 的 A～E 依序為本頁第 4～8 題，填充題 II 的 F(1)、F(2)、G、H、I 依序為本頁第 9～13 題，混合題第 1 題為第 14 題、第 2 題 (1)～(3) 為第 15～17 題（學校答案卷註明的給分：第 2 題 (2)(3) 切線方程式與答案各 2 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多重選擇題(每題 10 分，每個選項判斷正確得 2 分)

若

f (x)

為可微分函數，試判斷下列哪些選項可以表示

f^{'} (1)

。

(1) $h \to 1 lim \frac{f ( h ) - f ( 1 )}{h - 1}$
(2) $h \to 0 lim \frac{f ( 1 ) - f ( 1 - h )}{h}$
(3) $h \to 0 lim \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 - h )}{2 h}$
(4) $x \to 1 lim \frac{f ( x ^{2} ) - f ( 1 )}{x - 1}$
(5) $x \to 1 lim \frac{x \cdot f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}$

四次多項式

f (x)

的導函數

f^{'} (x)

與

x

軸相切於

(a, 0)

，另有一交點

(c, 0)

，且

f^{'} (b)

為

f^{'} (x)

的一個極小值，

f^{'} (x)

的圖形如下圖所示。則下列選項哪些是正確的？

(1) $f^{'} (a) = 0$
(2) $f (x)$ 在 $x = a$ 時有極值 $f (a)$
(3) $f (x)$ 在區間 $(- \infty, c]$ 嚴格遞減
(4) $f^{''} (b) = 0$
(5) $(b, f (b))$ 為 $f (x)$ 的一個反曲點

載入中...

已知函數

f (x)

對任意實數

x

，

f^{'} (x)

與

f^{''} (x)

皆存在，下列選項哪些是正確的？

(1) 函數 $f (x)$ 為連續函數
(2) 若 $f^{'} (x) > 0$ 恆成立，則 $f (x)$ 嚴格遞增
(3) 若 $f (x)$ 沒有極值，則函數 $f^{'} (x)$ 的圖形與 $x$ 軸沒有交點
(4) 若 $(c, f (c))$ 為 $f (x)$ 的一個反曲點，則 $f^{'} (c)$ 為函數 $f^{'} (x)$ 的一個極值
(5) 若 $f (x)$ 的圖形恆凹向上，則 $f^{''} (x) > 0$ 恆成立

二、填充題 I (每題 8 分，共 40 分)　答案如為分數，請約至最簡分數，如有負號請放置於分子，如未約至最簡分數不予給分。

A. 設

a

為實數，已知函數

f (x) = (x^{2} + a x + 3) (x^{2} + 2)

的圖形上通過切點

(1, f (1))

的切線斜率為

- 1

，求

a =

____。

B. 試求函數

f (x) = (x^{2} + x + 1)^{3}

在

x = - 1

附近的一次近似為

y = a x + b

，求數對

(a, b) =

____。

C. 設

a

、

b

為實數，一個運動質點

P

的位移函數為

f (t) = a t^{2} + b t

，且此質點在

t = 1

到

t = 2

的平均速度為

8

，又

t = 2

時的瞬時速度為

6

，求數對

(a, b) =

____。

D. 函數

f (x) = \frac{( x - 1 ) ^{2} ( x - 2 )}{( x - 3 ) ^{4} ( x - 4 ) ^{3}}

，試求

f^{'} (2) =

____。（約至最簡分數）

E. 設

a

、

b

為實數，設

f (x) = {x^{3} + a, x^{2} + b x + 7, x > 2 x \leq 2

，且

f (x)

在

x = 2

處可微分，則數對

(a, b) =

____。

三、填充題 II (每題 3 分，共 15 分)　答案如為分數，請約至最簡分數，如有負號請放置於分子，如未約至最簡分數不予給分。

填充題 II 第 F 題（本頁第 9～10 題）（第 9～10 題）　左圖為邊長

102

的正方形，將白色部份的 4 個全等等腰三角形剪去後，沿虛線摺起形成一個四角錐如右圖，設其底面正方形的邊長為

2 x

，若四角錐的體積用

x

表示為

a 5 \times b x^{4} - x^{5}

，試求：

F. (1)

(a, b) =

____。

載入中...

F. (2) 四角錐體積最大值為 ____

5

。（約至最簡分數）

G. 設

a

為實數，若多項方程式

x^{3} - 3 a x^{2} + 24 = 0

有三相異實根，則

a

的範圍為

a > 3 □

。

H. 四次多項式

f (x)

有兩個反曲點

(0, 0)

與

(1, 1)

，且

f (x)

通過切點

(1, 1)

的切線為

y = 1

，則

f (x)

的最小值為 ____。（約至最簡分數）

I. 設

k

為實數，已知通過函數

f (x) = x^{2} + x + k

的圖形外一點

O (0, 0)

的兩條切線互相垂直，求實數

k =

____。（約至最簡分數）

四、混合題 (共 15 分，未完整作答不予給分)

1. 函數

f (x) = x^{2} + 1

，利用導數的定義求

f^{'} (a)

，其中

a

為任意實數。(5 分) (以連鎖律求出

f (x)

的導函數不予給分)

混合題第 2 題（本頁第 15～17 題）（第 15～17 題）　設函數

f (x) = x^{3} - 3

，

33

為

f (x) = 0

的唯一實根。利用牛頓法可按下列步驟得到

33

的近似值。

2. (1)

33

介於兩相鄰整數

n

與

n + 1

之間，求

n =

____。(2 分，無需過程可直接作答)

2. (2) 令

a_{0} = n

，以

(a_{0}, f (a_{0}))

為切點作

f (x)

的切線與

x

軸交於

(a_{1}, 0)

，求

a_{1} =

____。(4 分)

2. (3) 以

(a_{1}, f (a_{1}))

為切點作

f (x)

的切線與

x

軸交於

(a_{2}, 0)

，求

a_{2} =

____。(4 分)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(2)(3)

第 2 題(1)(3)(4)(5)

第 3 題(1)(2)(4)

第 4 題

- 3

第 5 題

(- 3, - 2)

第 6 題

(- 2, 14)

第 7 題

\frac{- 1}{8}

第 8 題

(19, 8)

第 9 題

(\frac{8}{3}, 5)

第 10 題

\frac{128}{3}

（體積最大值為

\frac{128}{3} 5

）

第 11 題

6

（範圍為

a > 36

）

第 12 題

\frac{- 11}{16}

第 13 題

\frac{1}{2}

第 14 題

f^{'} (a) = \frac{a}{a ^{2} + 1}

第 15 題

1

第 16 題

\frac{5}{3}

第 17 題

\frac{331}{225}

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1：哪些極限式等於 f′(1)

第 1 題

答案 (1)(2)(3)。

(1) 正確。 這就是導數的定義 $f^{'} (1) = x \to 1 lim \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}$ ，只是把變數 $x$ 換成 $h$ 。

(2) 正確。 令 $k = - h$ ， $h \to 0$ 時 $k \to 0$ ：

$\frac{f ( 1 ) - f ( 1 - h )}{h} = \frac{f ( 1 + k ) - f ( 1 )}{k} \to f^{'} (1)$

(3) 正確。 拆成兩項：

$\frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 - h )}{2 h} = \frac{1}{2} \cdot \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} + \frac{1}{2} \cdot \frac{f ( 1 ) - f ( 1 - h )}{h}$

兩項都趨近 $f^{'} (1)$ ，所以極限為 $\frac{1}{2} f^{'} (1) + \frac{1}{2} f^{'} (1) = f^{'} (1)$ 。

(4) 錯誤。 $x \neq = 1$ 且 $x$ 接近 $1$ 時 $x^{2} \neq = 1$ ，可寫成

$\frac{f ( x ^{2} ) - f ( 1 )}{x - 1} = \frac{f ( x ^{2} ) - f ( 1 )}{x ^{2} - 1} \cdot (x + 1)$

$x \to 1$ 時 $x^{2} \to 1$ ，前一個因式趨近 $f^{'} (1)$ ，後一個趨近 $2$ ，極限為 $2 f^{'} (1)$ 。只要 $f^{'} (1) \neq = 0$ 就不等於 $f^{'} (1)$ ，例如 $f (x) = x$ 時極限是 $2$ 、 $f^{'} (1) = 1$ 。

(5) 錯誤。 分子加減 $x \cdot f (1)$ ：

$\frac{x f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1} = x \cdot \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1} + f (1)$

極限為 $f^{'} (1) + f (1)$ 。例如 $f (x) = x$ 時極限是 $2$ ，不等於 $f^{'} (1) = 1$ 。

(5) 其實是函數

x \cdot f (x)

在

x = 1

的導數，依乘積的微分就是

f (1) + f^{'} (1)

。

02多選 2：由 f′(x) 的圖形看 f(x)

第 2 題

答案 (1)(3)(4)(5)。

由圖： $x \leq c$ 時 $f^{'} (x) \leq 0$ ，等號只在 $x = a$ 與 $x = c$ 成立； $x > c$ 時 $f^{'} (x) > 0$ 。 $f^{'} (x)$ 在 $x = a$ 有極大值 $0$ ，在 $x = b$ 有極小值。

(1) 正確。 $f^{'} (x)$ 的圖形通過 $(a, 0)$ ，所以 $f^{'} (a) = 0$ 。

(2) 錯誤。 $f^{'} (x)$ 在 $x = a$ 的左右兩側都小於 $0$ ，沒有變號，所以 $f (a)$ 不是極值（ $f (x)$ 在 $a$ 的兩側都遞減）。

(3) 正確。 $f (x)$ 是多項式，處處連續。在 $(- \infty, a)$ 上 $f^{'} (x) < 0$ ，所以 $f (x)$ 在 $(- \infty, a]$ 嚴格遞減；在 $(a, c)$ 上 $f^{'} (x) < 0$ ，所以 $f (x)$ 在 $[a, c]$ 嚴格遞減。任取 $x_{1} < x_{2} \leq c$ ：若兩點在同一段，已知 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ；若 $x_{1} < a < x_{2}$ ，則 $f (x_{1}) > f (a) > f (x_{2})$ 。所以 $f (x)$ 在 $(- \infty, c]$ 嚴格遞減。

(4) 正確。 $f^{'} (b)$ 是 $f^{'} (x)$ 的極小值，而 $f^{'} (x)$ 可微分，所以它的導數 $f^{''} (b) = 0$ 。

(5) 正確。 在 $b$ 的左側 $f^{'} (x)$ 遞減， $f (x)$ 凹向下；在 $b$ 的右側 $f^{'} (x)$ 遞增， $f (x)$ 凹向上。凹向在 $x = b$ 改變，所以 $(b, f (b))$ 是反曲點。

f^{'} (a) = 0

只表示

x = a

是可能的極值位置，還要看

f^{'} (x)

在

a

的左右有沒有變號。本題

(a, f (a))

其實也是一個反曲點：

f^{'} (x)

在

a

左側遞增、右側遞減。

03多選 3：可微分與凹凸的觀念

第 3 題

答案 (1)(2)(4)。

(1) 正確。 $f^{'} (x)$ 對每個實數 $x$ 都存在，表示 $f (x)$ 處處可微分；可微分的點一定連續，所以 $f (x)$ 是連續函數。

(2) 正確。 $f (x)$ 處處可微分且 $f^{'} (x) > 0$ 恆成立，由導數與遞增遞減的關係， $f (x)$ 在整條數線上嚴格遞增。

(3) 錯誤。 反例： $f (x) = x^{3}$ ， $f^{'} (x) = 3 x^{2} \geq 0$ ， $f (x)$ 嚴格遞增，沒有極值；但 $f^{'} (x)$ 的圖形與 $x$ 軸交於 $(0, 0)$ 。

(4) 正確。 $(c, f (c))$ 是反曲點，表示圖形在 $x = c$ 的兩側凹向不同：一側凹向上（ $f^{'} (x)$ 遞增）、另一側凹向下（ $f^{'} (x)$ 遞減）。因為 $f^{''} (x)$ 存在， $f^{'} (x)$ 是連續函數，所以 $f^{'} (c)$ 是 $f^{'} (x)$ 的極大值或極小值。

(5) 錯誤。 反例： $f (x) = x^{4}$ ， $f^{'} (x) = 4 x^{3}$ 在整條數線上嚴格遞增，所以圖形恆凹向上；但 $f^{''} (x) = 12 x^{2}$ ， $f^{''} (0) = 0$ ，不是恆大於 $0$ 。

(2) 與 (5) 的方向不同：

f^{'} (x) > 0

可以推出嚴格遞增，反過來嚴格遞增不能推出

f^{'} (x) > 0

（

x^{3}

在

0

的導數是

0

）；同樣

f^{''} (x) > 0

可以推出凹向上，凹向上不能推出

f^{''} (x) > 0

。

04填充 I 的 A、B（本頁 4～5）：切線斜率與一次近似

第 4 題

由乘積的微分：

$f^{'} (x) = (2 x + a) (x^{2} + 2) + (x^{2} + a x + 3) \cdot 2 x$

代入 $x = 1$ ： $f^{'} (1) = (2 + a) \cdot 3 + (4 + a) \cdot 2 = 5 a + 14$ 。切線斜率為 $- 1$ ，所以 $5 a + 14 = - 1$ ， $a = - 3$ 。

第 5 題

$f (- 1) = (1 - 1 + 1)^{3} = 1$ 。由連鎖律 $f^{'} (x) = 3 (x^{2} + x + 1)^{2} (2 x + 1)$ ，所以 $f^{'} (- 1) = 3 \cdot 1 \cdot (- 1) = - 3$ 。

在 $x = - 1$ 附近的一次近似就是過 $(- 1, 1)$ 的切線：

$y = f (- 1) + f^{'} (- 1) (x + 1) = 1 - 3 (x + 1) = - 3 x - 2$

所以 $(a, b) = (- 3, - 2)$ 。

05填充 I 的 C（本頁 6）：平均速度與瞬時速度

第 6 題

$t = 1$ 到 $t = 2$ 的平均速度是

$\frac{f ( 2 ) - f ( 1 )}{2 - 1} = (4 a + 2 b) - (a + b) = 3 a + b$

所以 $3 a + b = 8$ 。

瞬時速度是位移函數的導數： $f^{'} (t) = 2 a t + b$ ， $f^{'} (2) = 4 a + b = 6$ 。

兩式相減得 $a = - 2$ ，代回得 $b = 14$ 。所以 $(a, b) = (- 2, 14)$ 。

06填充 I 的 D（本頁 7）：抓住 (x−2) 這個因式

第 7 題

令 $g (x) = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{( x - 3 ) ^{4} ( x - 4 ) ^{3}}$ ，則 $f (x) = (x - 2) g (x)$ ，而 $g (x)$ 在 $x = 2$ 可微分。由乘積的微分：

$f^{'} (x) = g (x) + (x - 2) g^{'} (x)$

代入 $x = 2$ ，第二項為 $0$ ：

$f^{'} (2) = g (2) = \frac{1 ^{2}}{( - 1 ) ^{4} \cdot ( - 2 ) ^{3}} = \frac{1}{- 8}$

依作答規定負號放在分子，答 $\frac{- 1}{8}$ 。

不必把整個商的微分寫出來；只要

f (x)

有

(x - a)

這個一次因式，

f^{'} (a)

就等於拿掉這個因式之後在

a

的值。也可以直接用定義：

f^{'} (2) = x \to 2 lim \frac{f ( x ) - 0}{x - 2} = x \to 2 lim g (x) = g (2)

。

07填充 I 的 E（本頁 8）：分段函數在接點可微分

第 8 題

可微分的點一定連續。 $x = 2$ 時 $f (2) = 4 + 2 b + 7 = 2 b + 11$ ，右極限為 $8 + a$ ，所以 $8 + a = 2 b + 11$ 。

左右導數也要相等。左邊用 $x^{2} + b x + 7$ ：左導數為 $2 \cdot 2 + b = 4 + b$ 。右邊用 $x^{3} + a$ ：在連續的條件下，

$x \to 2^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2} = x \to 2^{+} lim \frac{x ^{3} - 8}{x - 2} = x \to 2^{+} lim (x^{2} + 2 x + 4) = 12$

所以 $4 + b = 12$ ， $b = 8$ ；代回 $8 + a = 27$ ， $a = 19$ 。 $(a, b) = (19, 8)$ 。

算右導數時用到

f (2) = 8 + a

，這正是連續條件；沒有先確定連續，右側的差商分子不會是

x^{3} - 8

，極限也不存在。

08填充 II 的 F（本頁 9～10）：紙片摺成四角錐

第 9 題

正方形的對角線長 $102 \times 2 = 20$ ，中心到每個頂點的距離是 $10$ 。

虛線正方形（四角錐的底面）邊長 $2 x$ ，與大正方形同中心，每一條虛線邊都和一條對角線垂直，中心到每條虛線邊的距離是 $x$ 。剩下的四個灰色等腰三角形是四角錐的側面，底邊是虛線邊，頂點是大正方形的頂點，所以側面三角形的高（斜高）是 $10 - x$ 。

摺起後，頂點在底面中心的正上方。由斜高、底面中心到底邊的距離 $x$ 、錐高 $h$ 構成直角三角形：

$h = (10 - x)^{2} - x^{2} = 100 - 20 x = 25 5 - x$

體積

$V = \frac{1}{3} \cdot (2 x)^{2} \cdot 25 5 - x = \frac{8}{3} 5 \cdot x^{2} 5 - x = \frac{8}{3} 5 \times 5 x^{4} - x^{5}$

（ $0 < x < 5$ ， $x^{2} = x^{4}$ ）。所以 $(a, b) = (\frac{8}{3}, 5)$ 。

x

的範圍：要摺得起來，斜高

10 - x

要大於

x

，即

x < 5

。

第 10 題

令 $g (x) = 5 x^{4} - x^{5}$ （ $0 < x < 5$ ），體積 $V = \frac{8}{3} 5 g (x)$ 在 $g (x)$ 最大時最大。

$g^{'} (x) = 20 x^{3} - 5 x^{4} = 5 x^{3} (4 - x)$

$0 < x < 4$ 時 $g^{'} (x) > 0$ ， $g (x)$ 遞增； $4 < x < 5$ 時 $g^{'} (x) < 0$ ， $g (x)$ 遞減。所以 $x = 4$ 時 $g (x)$ 有最大值

$g (4) = 5 \cdot 256 - 1024 = 256$

體積最大值為 $\frac{8}{3} 5 \cdot 256 = \frac{128}{3} 5$ ，空格填 $\frac{128}{3}$ 。

此時底面邊長

2 x = 8

，錐高

h = 100 - 80 = 25

，代回

\frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 25 = \frac{128}{3} 5

，相符。

09填充 II 的 G（本頁 11）：三次方程式有三相異實根

第 11 題

令 $g (x) = x^{3} - 3 a x^{2} + 24$ ， $g^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 a x = 3 x (x - 2 a)$ 。

若 $a = 0$ ， $g^{'} (x) = 3 x^{2} \geq 0$ ， $g (x)$ 嚴格遞增，只有一個實根，不合。

$a \neq = 0$ 時 $g (x)$ 在 $x = 0$ 與 $x = 2 a$ 各有一個極值： $g (0) = 24$ ， $g (2 a) = 8 a^{3} - 12 a^{3} + 24 = 24 - 4 a^{3}$ 。三次函數的圖形與 $x$ 軸有三個交點，必須兩個極值異號：

$g (0) \cdot g (2 a) = 24 (24 - 4 a^{3}) < 0$

即 $a^{3} > 6$ ， $a > 36$ ，空格填 $6$ 。

a < 0

時

24 - 4 a^{3} > 0

，兩個極值都是正的，只有一個實根；所以

a

一定是正數。

10填充 II 的 H（本頁 12）：由反曲點定出四次函數

第 12 題

$f (x)$ 是四次多項式， $f^{''} (x)$ 是二次多項式。反曲點的 $x$ 坐標是 $0$ 與 $1$ ，所以 $f^{''} (0) = f^{''} (1) = 0$ ，可設 $f^{''} (x) = 12 p x (x - 1) = 12 p x^{2} - 12 p x$ （ $p \neq = 0$ ）。

反推 $f^{'} (x) = 4 p x^{3} - 6 p x^{2} + q$ 。切線 $y = 1$ 是水平線， $f^{'} (1) = 4 p - 6 p + q = 0$ ， $q = 2 p$ 。

再反推 $f (x) = p x^{4} - 2 p x^{3} + 2 p x + r$ 。 $f (0) = 0$ 得 $r = 0$ ； $f (1) = p - 2 p + 2 p = p = 1$ 。所以

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 2 x, f^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 = 2 (x - 1)^{2} (2 x + 1)$

$f^{'} (x)$ 只在 $x = - \frac{1}{2}$ 變號（ $x < - \frac{1}{2}$ 時為負、 $x > - \frac{1}{2}$ 時為正， $x = 1$ 是重根不變號），所以 $f (x)$ 在 $x = - \frac{1}{2}$ 有最小值

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{4} - 1 = - \frac{11}{16}$

依作答規定負號放在分子，答 $\frac{- 11}{16}$ 。

檢查：

f^{''} (x) = 12 x^{2} - 12 x = 12 x (x - 1)

在

0

與

1

的兩側都變號，兩點確實是反曲點；

f (1) = 1

、

f^{'} (1) = 0

，切線為

y = 1

。

11填充 II 的 I（本頁 13）：過圖形外一點的兩條切線

第 13 題

$O$ 不在圖形上，先設切點 $(t, t^{2} + t + k)$ 。 $f^{'} (x) = 2 x + 1$ ，切線為

$y - (t^{2} + t + k) = (2 t + 1) (x - t)$

切線通過 $O (0, 0)$ ： $- (t^{2} + t + k) = - (2 t + 1) t$ ，整理得 $t^{2} = k$ 。

要有兩條切線， $k > 0$ ，切點的 $x$ 坐標為 $t = k$ 與 $t = - k$ ，斜率分別是 $2 k + 1$ 與 $- 2 k + 1$ 。兩切線垂直：

$(1 + 2 k) (1 - 2 k) = 1 - 4 k = - 1$

得 $k = \frac{1}{2}$ 。

k = \frac{1}{2}

時

f (0) = \frac{1}{2} > 0

，

O

在拋物線的下方（圖形外），符合題意。

12混合題第 1 題（本頁 14）：用定義求導數

第 14 題

由導數的定義：

$f^{'} (a) = x \to a lim \frac{x ^{2} + 1 - a ^{2} + 1}{x - a}$

分子有理化（分子分母同乘 $x^{2} + 1 + a^{2} + 1$ ）：

$= x \to a lim \frac{( x ^{2} + 1 ) - ( a ^{2} + 1 )}{( x - a ) ( x ^{2} + 1 + a ^{2} + 1 )} = x \to a lim \frac{( x - a ) ( x + a )}{( x - a ) ( x ^{2} + 1 + a ^{2} + 1 )}$

$x \neq = a$ ，約去 $x - a$ ：

$= x \to a lim \frac{x + a}{x ^{2} + 1 + a ^{2} + 1} = \frac{2 a}{2 a ^{2} + 1} = \frac{a}{a ^{2} + 1}$

最後一步用到 $x^{2} + 1$ 是連續函數，且分母的極限 $2 a^{2} + 1 \neq = 0$ 。

題目規定要用定義；用連鎖律直接寫

f^{'} (x) = \frac{2 x}{2 x ^{2} + 1}

不給分，但可以拿來核對答案。

13混合題第 2 題（本頁 15～17）：牛頓法

第 15 題

1^{3} = 1 < 3 < 8 = 2^{3}

，所以

1 < 33 < 2

，

n = 1

。

第 16 題

$a_{0} = 1$ ， $f (1) = 1 - 3 = - 2$ 。 $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ ， $f^{'} (1) = 3$ 。過切點 $(1, - 2)$ 的切線為

$y + 2 = 3 (x - 1)$

令 $y = 0$ ： $2 = 3 (x - 1)$ ， $x = \frac{5}{3}$ 。所以 $a_{1} = \frac{5}{3}$ 。

第 17 題

$a_{1} = \frac{5}{3}$ ，

$f (\frac{5}{3}) = \frac{125}{27} - 3 = \frac{44}{27}, f^{'} (\frac{5}{3}) = 3 \cdot \frac{25}{9} = \frac{25}{3}$

切線為

$y - \frac{44}{27} = \frac{25}{3} (x - \frac{5}{3})$

令 $y = 0$ ：

$x = \frac{5}{3} - \frac{44}{27} \cdot \frac{3}{25} = \frac{5}{3} - \frac{44}{225} = \frac{375 - 44}{225} = \frac{331}{225}$

所以 $a_{2} = \frac{331}{225}$ 。

一般式：切線與

x

軸的交點是

a_{k + 1} = a_{k} - \frac{f ( a _{k} )}{f ^{'} ( a _{k} )} = \frac{2}{3} a_{k} + \frac{1}{a _{k}^{2}}

，代

a_{1} = \frac{5}{3}

得

\frac{10}{9} + \frac{9}{25} = \frac{331}{225}

，相同。

\frac{331}{225} \approx 1.4711

，而

33 \approx 1.4422

，已經比

a_{1} \approx 1.6667

接近許多。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

武陵高中 114 上高三第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

武陵高中 114 上高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 2 題導函數在 a 點與 x 軸相切但不變號，f(a) 不是極值，而 f 在 c 左邊整段嚴格遞減；多選第 3 題要舉出 x 的三次方與 x 的四次方兩個反例；第 9、10 題要看出紙片中心到頂點是 10、斜高是 10 減 x，再用導數求體積最大值；第 12 題要由兩個反曲點與水平切線反推四次函數；第 13 題的點在圖形外，要先設切點。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自武陵高中 114 學年度上學期高三第二次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

武陵高中 114 上高三第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 17 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

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考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多選 1：哪些極限式等於 f′(1)

02多選 2：由 f′(x) 的圖形看 f(x)

03多選 3：可微分與凹凸的觀念

04填充 I 的 A、B（本頁 4～5）：切線斜率與一次近似

05填充 I 的 C（本頁 6）：平均速度與瞬時速度

06填充 I 的 D（本頁 7）：抓住 (x−2) 這個因式

07填充 I 的 E（本頁 8）：分段函數在接點可微分

08填充 II 的 F（本頁 9～10）：紙片摺成四角錐

09填充 II 的 G（本頁 11）：三次方程式有三相異實根

10填充 II 的 H（本頁 12）：由反曲點定出四次函數

11填充 II 的 I（本頁 13）：過圖形外一點的兩條切線

12混合題第 1 題（本頁 14）：用定義求導數

13混合題第 2 題（本頁 15～17）：牛頓法

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武陵高中 114 上 高三第二次段考數學的答案在哪裡？

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武陵高中 114 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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