武陵高中 114 上
高三第三次段考
數學試題、答案與詳解

① 把 $[0,4]$ 與 $[4,8]$ 接起來就是 $[0,8]$：

$${\int }_0^{8}f(x)dx={\int }_0^{4}f(x)dx+{\int }_4^{8}f(x)dx=3+(-1)=2$$

② $[0,8]$ 又可以拆成 $[0,2]$ 與 $[2,8]$：

$${\int }_2^{8}f(x)dx={\int }_0^{8}f(x)dx-{\int }_0^{2}f(x)dx=2-2=0$$

答案 0。

① 由微積分基本定理，$\frac{x^2}{2}$ 是 $x$ 的一個反導函數：

$${\int }_{-2}^{2}xdx={\left[\frac{x^2}{2}\right]}_{-2}^2=\frac{4}{2}-\frac{4}{2}=0$$

② 也可以看圖：$y=x$ 在 $[0,2]$ 與 $x$ 軸圍成面積 $2$ 的三角形（在上方，記 $+2$），在 $[-2,0]$ 圍成同樣大的三角形（在下方，記 $-2$），兩者抵消。

答案 0。

① $y=\sqrt{16-x^2}$ 平方得 $x^2+y^2=16$（$y\ge 0$），是圓心在原點、半徑 $4$ 的上半圓。所求是這個半圓在 $x=0$ 到 $x=2$ 之間、$x$ 軸上方的面積。

② 取圓上的點 $P(2,2\sqrt{3})$，連 $\overline{OP}$，把區域切成兩塊。

③ 直角三角形：頂點 $O$、$(2,0)$、$P$，面積 $\frac{1}{2}\times 2\times 2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。

④ 扇形：$\overline{OP}$ 與 $x$ 軸的夾角滿足 $\cos \theta =\frac{2}{4}$，$\theta =60^{\circ }$，所以扇形的圓心角是 $90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$，面積 $\frac{1}{2}\times 4^2\times \frac{\pi }{6}=\frac{4}{3}\pi$。

⑤ 相加：

$${\int }_0^2\sqrt{16-x^2}dx=\frac{4}{3}\pi +2\sqrt{3}$$

答案 $\frac{4}{3}\pi +2\sqrt{3}$，四格依序填 $4$、$3$、$2$、$3$。

① 區域繞 $x$ 軸旋轉時，在 $x$ 處垂直 $x$ 軸的截面是半徑 $x^2$ 的圓，截面積 $\pi (x^2{)}^2=\pi x^4$。

② 體積是截面積從 $1$ 積到 $3$：

$$V={\int }_1^3\pi x^{4}dx=\pi {\left[\frac{x^5}{5}\right]}_1^3=\pi \cdot \frac{243-1}{5}=\frac{242}{5}\pi$$

答案 $\frac{242}{5}\pi$，分子三格填 $2$、$4$、$2$，分母填 $5$。

答案 (2)(3)(4)(5)。

由圖，在 $0\le x\le 3$ 上 $0\le g(x)\le f(x)\le 1$，矩形 $ABCD$ 的面積是 $3\times 1=3=p+q+r$。

(1) 錯誤。 $y=f(x)$ 下方的面積是 $q+r={\int }_0^{3}f(x)dx$，所以 $p=3-{\int }_0^{3}f(x)dx$，不是 $1-{\int }_0^{3}f(x)dx$（矩形面積是 $3$ 不是 $1$）。

(2) 正確。 $g(x)\ge 0$，$R$ 就是 $y=g(x)$ 與 $x$ 軸在 $[0,3]$ 之間所圍的區域，$r={\int }_0^{3}g(x)dx$。

(3) 正確。 $f(x)\ge 0$，$y=f(x)$ 下方的區域正好是 $Q$ 與 $R$ 合起來，所以 $q+r={\int }_0^{3}f(x)dx$。

(4) 正確。 $P$ 夾在上方 $y=1$ 與下方 $y=f(x)$ 之間，$p={\int }_0^3(1-f(x))dx=3-{\int }_0^{3}f(x)dx$，與 (1) 的推導一致。

(5) 正確。 $Q$ 夾在上方 $y=f(x)$ 與下方 $y=g(x)$ 之間，$q={\int }_0^3(f(x)-g(x))dx$。

答案 (2)。

① 分成 $n$ 等分，每段寬 $\frac{3}{n}$，分點 $x_k=\frac{3k}{n}$。$f(x)=x^3$ 在 $[0,3]$ 遞增，每段的最大值在右端點、最小值在左端點。

② 上和：

$$U_n=\sum _{k=1}^n\frac{3}{n}{\left(\frac{3k}{n}\right)}^3=\frac{81}{n^4}\cdot \frac{n^2(n+1{)}^2}{4}=\frac{81(n+1{)}^2}{4n^2}$$

③ 下和：

$$L_n=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{3}{n}{\left(\frac{3k}{n}\right)}^3=\frac{81}{n^4}\cdot \frac{(n-1{)}^2{n}^2}{4}=\frac{81(n-1{)}^2}{4n^2}$$

④ 面積：$R={\int }_0^3{x}^{3}dx=\frac{81}{4}$。

(1) 錯誤。 選項的式子是 $\frac{1}{n^4}\sum _{k=1}^{3n}{k}^3=\frac{(3n{)}^2(3n+1{)}^2}{4n^4}=\frac{9(3n+1{)}^2}{4n^2}$，那是分成 $3n$ 段（每段寬 $\frac{1}{n}$）的上和。例如 $n=1$ 時選項的值是 $36$，而 $U_1=81$。

(2) 正確。 $L_n=\frac{81(n-1{)}^2}{4n^2}={\left[\frac{9(n-1)}{2n}\right]}^2$。

(3) 錯誤。 $U_{114}=\frac{81}{4}\cdot \frac{115^2}{114^2}$ 大於 $\frac{81}{4}$，$L_{115}=\frac{81}{4}\cdot \frac{114^2}{115^2}$ 小於 $\frac{81}{4}$，兩者不相等。

(4) 錯誤。 $\frac{U_n+L_n}{2}=\frac{81}{4}\cdot \frac{(n+1{)}^2+(n-1{)}^2}{2n^2}=\frac{81}{4}\cdot \frac{n^2+1}{n^2}$，比 $R=\frac{81}{4}$ 大，所以 $n=114$ 時不相等。

(5) 錯誤。 $\frac{U_{114}}{3}=\frac{27}{4}\cdot \frac{115^2}{114^2}$，比 $\frac{27}{4}$ 大。只有極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{U_n}{3}=\frac{27}{4}$。

答案 (4)(5)。

① 在 $x=t$ 的切點，切線斜率 $2t+1$，切線為 $y=(2t+1)(x-t)+t^2+t+h$。

② 切線過 $O(0,0)$：$0=-(2t+1)t+t^2+t+h=-t^2+h$，所以 $t=\pm \sqrt{h}$，兩條切線斜率是 $1+2\sqrt{h}$ 與 $1-2\sqrt{h}$。

③ 兩切線垂直：$(1+2\sqrt{h})(1-2\sqrt{h})=1-4h=-1$，得 $h=\frac{1}{2}$，切點的 $x$ 坐標是 $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。

④ $m_1>m_2$，所以 $A$ 在 $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$、$B$ 在 $x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$：$A\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，$B\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$；$L_1:y=(1+\sqrt{2})x$，$L_2:y=(1-\sqrt{2})x$。

(1) 錯誤。 $h=\frac{1}{2}$。

(2) 錯誤。 $A$ 點是 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。

(3) 錯誤。 $B$ 點是 $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。

(4) 正確。 $L_1$ 過原點、斜率 $1+\sqrt{2}$。

(5) 正確。 拋物線減切線剛好是完全平方：

$$\Gamma -L_1=x^2-\sqrt{2}x+\frac{1}{2}={\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2,\Gamma -L_2={\left(x+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$$

區域在 $-\frac{\sqrt{2}}{2}\le x\le 0$ 的下緣是 $L_2$、在 $0\le x\le \frac{\sqrt{2}}{2}$ 的下緣是 $L_1$。令 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$：

$${\int }_{-a}^0(x+a{)}^{2}dx+{\int }_0^a(x-a{)}^{2}dx=\frac{a^3}{3}+\frac{a^3}{3}=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{6}$$

答案 (1)(4)(5)。

① $f(1+x)=f(1-x)$ 表示圖形對稱於 $x=1$，頂點的 $x$ 坐標 $-\frac{b}{2}=1$，$b=-2$，$f(x)=(x-1{)}^2+c-1$。

② 在 $[-3,2]$ 上，最小值在頂點 $f(1)=c-1$，最大值在離 $1$ 最遠的 $x=-3$：$f(-3)=16+c-1=c+15$。

③ $c+15=5(c-1)$，得 $c=5$，$f(x)=x^2-2x+5=(x-1{)}^2+4$。

(1) 正確。 $b=-2$。

(2) 錯誤。 $c=5$。

(3) 錯誤。 $F^{\prime }(x)=f(x)=(x-1{)}^2+4>0$ 恆成立，$F(x)$ 嚴格遞增，沒有極值。

(4) 正確。 $x^2-2x+5$ 的一個反導函數是 $G(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+5x$。

$${\int }_0^{t}f(x)dx=G(t)-G(0)=\frac{t^3}{3}-t^2+5t$$

$${\int }_{2-t}^{2}f(x)dx=G(2)-G(2-t)=\frac{26}{3}-\left(\frac{26}{3}-5t+t^2-\frac{t^3}{3}\right)=\frac{t^3}{3}-t^2+5t$$

兩者相等，對任意實數 $t$ 都成立。從圖看：$[0,t]$ 與 $[2-t,2]$ 對 $x=1$ 互相對稱，曲線也對稱，所以兩塊面積一樣。

(5) 正確。 $F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)=2x-2$，在 $x=1$ 的左邊小於 $0$、右邊大於 $0$，凹向改變，所以 $(1,F(1))$ 是反曲點。

答案 (2)(3)(4)(5)。

圓 $C:(x-4{)}^2+y^2=25$，圓心 $(4,0)$、半徑 $5$；直線 $L$ 過定點 $(-6,-5)$、斜率 $m$。圓與 $y$ 軸交於 $(0,\pm 3)$，與 $x$ 軸交於 $(-1,0)$、$(9,0)$。

(1) 錯誤。 $P$ 在 $y$ 軸上，$P=(0,3)$ 或 $(0,-3)$。過 $(0,3)$ 時 $m=\frac{3+5}{6}=\frac{4}{3}$，此時 $L:4x-3y+9=0$，圓心到 $L$ 的距離 $\frac{|16+9|}{5}=5$ 等於半徑，$L$ 與圓相切，不是交於相異兩點，不合。

也可以代入檢查：$m=\frac{4}{3}$ 時 $L:y=\frac{4}{3}x+3$，代入圓得 $\frac{25}{9}{x}^2=0$，$x=0$ 是重根，$L$ 與圓只有 $(0,3)$ 一個交點。

所以只剩過 $(0,-3)$ 的 $m=\frac{1}{3}$，選項寫「$m=\frac{4}{3}$ or $\frac{1}{3}$」多了一個不合題意的值，判錯。

(2) 正確。 $m=\frac{1}{3}$ 時 $L:y=\frac{1}{3}x-3$，代入圓得 $\frac{10}{9}{x}^2-10x=0$，$x=0$ 或 $9$，另一交點 $Q=(9,0)$。

(3) 正確。 過 $(-6,-5)$ 的切線斜率滿足 $\frac{|10m-5|}{\sqrt{m^2+1}}=5$，得 $m=0$ 或 $\frac{4}{3}$，所以交於相異兩點時 $0<m<\frac{4}{3}$。

若 $\frac{1}{3}<m<\frac{4}{3}$，$L$ 與 $y$ 軸交在 $(0,6m-5)$，$-3<6m-5<3$ 在圓內，兩交點分在 $y$ 軸兩側，不在同一象限；$m=\frac{1}{3}$ 時交點在坐標軸上，也不算。

若 $0<m<\frac{1}{3}$：$x\le 0$ 時 $L$ 上的 $y\le 6m-5<-3$，而圓在 $-1\le x\le 0$ 的部分 $|y|\le 3$，所以兩交點都在 $x>0$。

又圓上的點 $x\le 9$，而 $x\le 9$ 時 $L$ 上的 $y\le 15m-5<0$，所以兩交點都在第四象限。

所以同一象限的條件是 $0<m<\frac{1}{3}$。

(4) 正確。 記 $L_0:y=\frac{1}{3}x-3$（$m=\frac{1}{3}$ 的直線，弦是 $(0,-3)$ 到 $(9,0)$）。$\sqrt{-x^2+8x+9}$ 是上半圓，所以題目的積分是 $[0,9]$ 上「上半圓與 $L_0$ 之間」的面積。

$0<m<\frac{1}{3}$ 時，$L$ 與 $L_0$ 同過 $(-6,-5)$ 而斜率較小，在 $x>-6$ 處 $L$ 都在 $L_0$ 下方。

$A_1$ 是圓在 $L$ 上方的部分，它包含圓在 $L_0$ 上方的部分；而圓在 $L_0$ 上方的部分，又比 $[0,9]$ 上的那一塊多出 $-1\le x\le 0$ 的一段。

所以 $A_1$ 大於所給的積分。

(5) 正確。 $-\sqrt{-x^2+8x+9}$ 是下半圓，所給的積分是 $[0,9]$ 上「$L_0$ 與下半圓之間」的面積，也就是 $L_0$ 切下的小弓形。

$L$ 在 $L_0$ 下方，它切下的小弓形 $A_2$ 完全落在 $L_0$ 的小弓形裡而且比較小，所以 $A_2$ 小於所給的積分。

答案 (3)(5)。

① $4\sin x-3\cos x=0$。$\cos x=0$ 時 $\sin x=\pm 1$，不滿足，所以可以同除 $\cos x$：$\tan x=\frac{3}{4}$。

② 取銳角 $\alpha$ 使 $\tan \alpha =\frac{3}{4}$（$\sin \alpha =\frac{3}{5}$、$\cos \alpha =\frac{4}{5}$），解為 $x=\alpha +k\pi$，$k$ 為整數。

③ 在 $[-5\pi ,5\pi ]$ 內：$-5\pi \le \alpha +k\pi \le 5\pi$，得 $k=-5,-4,\dots ,4$，共 $10$ 個解，$x_1=\alpha -5\pi$，$x_2=\alpha -4\pi$，$x_3=\alpha -3\pi$。

④ 關鍵性質：$f(x+\pi )=4\sin (x+\pi )-3\cos (x+\pi )=-f(x)$。圖形每往右移 $\pi$，就上下翻一次。

(1) 錯誤。 $n=10$。

(2) 錯誤。 $\cos x_1=\cos (\alpha -5\pi )=-\cos \alpha =-\frac{4}{5}$。

(3) 正確。 相鄰兩解差 $\pi$，$x_2-x_1=\pi$。

(4) 錯誤。 $f(x)$ 在 $x_1$ 與 $x_2$ 之間沒有零點，正負號不變，所以 ${\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx\ne 0$。$[x_2,x_3]$ 上的圖形是 $[x_1,x_2]$ 上的圖形往右移 $\pi$ 再上下翻，所以

$${\int }_{x_2}^{x_3}f(x)dx=-{\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx$$

一個數等於自己的相反數只有 $0$，而它不是 $0$，所以兩者不相等。

(5) 正確。 同理 $[\pi ,2\pi ]$ 上的圖形是 $[0,\pi ]$ 上的圖形右移 $\pi$ 再翻，${\int }_{\pi }^{2\pi }f(x)dx=-{\int }_0^{\pi }f(x)dx$，相加為 $0$。

答案 (2)(3)(4)。

① $y=f(x)$ 與 $x$ 軸相切於 $(2,0)$，$x=2$ 是二重根：$f(x)=3(x-2{)}^2=3x^2-12x+12$。

② $F(x)={\int }_2^{x}3(t-2{)}^{2}dt=[(t-2{)}^3{]}_2^x=(x-2{)}^3$。

③ 由除法關係 $(F(x){)}^2=p(x)f(x)+F(x)$：

$$p(x)=\frac{(x-2{)}^6-(x-2{)}^3}{3(x-2{)}^2}=\frac{(x-2{)}^4-(x-2)}{3}$$

（餘式 $F(x)$ 是三次，次數小於除式 $p(x)$ 的四次，符合除法原理。）

(1) 錯誤。 $f^{\prime }(x)=6x-12$，$f^{\prime }(0)=-12$。

(2) 正確。 $f(0)=12$。

(3) 正確。 $p(x)$ 的最高次項是 $\frac{1}{3}{x}^4$，$\mathrm{deg}p(x)=4$。

(4) 正確。 令 $u=x-2$，$p(x)=\frac{u(u^3-1)}{3}=\frac{u(u-1)(u^2+u+1)}{3}$，而 $u^2+u+1>0$，所以 $p(x)\le 0⟺0\le u\le 1⟺2\le x\le 3$。

(5) 錯誤。 在 $[-2,0]$ 上 $u=x-2<0$，$u^4>0$ 且 $-u>0$，所以 $p(x)>0$，積分大於 $0$。實際上

$${\int }_{-2}^{0}p(x)dx=\frac{1}{3}{\left[\frac{(x-2{)}^5}{5}-\frac{(x-2{)}^2}{2}\right]}_{-2}^0=\frac{1022}{15}$$

答案 (4)(5)。

$k$ 是 $1$～$5$ 各機率 $\frac{1}{5}$。

(1) 錯誤。 與 $x$ 軸相切要有重根，$k=1$ 或 $k=2$，機率 $\frac{2}{5}$。

(2) 錯誤。 $f(x)=x^3-(3+k)x^2+\cdots$，$f^{\prime \prime }(x)=6x-2(3+k)$，反曲點 $s=\frac{3+k}{3}$。$1\le s\le 2$ 即 $0\le k\le 3$，$k=1,2,3$，機率 $\frac{3}{5}$。

(3) 錯誤。 在 $[1,2]$ 上 $(x-1{)}^2\ge 0$、$x-2\le 0$，被積函數不大於 $0$：

$${\int }_1^2(x-1{)}^2(x-2)dx={\left[\frac{(x-1{)}^4}{4}-\frac{(x-1{)}^3}{3}\right]}_1^2=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{12}$$

面積 $A$ 一定是正的，不可能等於負數，所以照卷面字面，這件事對 $k=1,\dots ,5$ 都不成立，機率是 $0$，判錯。

對照 $k=1$：$f(x)=(x-1{)}^2(x-2)$，曲線只在 $[1,2]$ 與 $x$ 軸圍出封閉區域，而且在 $x$ 軸下方，所以

$$A=-{\int }_1^2(x-1{)}^2(x-2)dx=\frac{1}{12}$$

也就是說，$k=1$ 時面積是 $\frac{1}{12}$，正好是這個積分的相反數，不是它本身。

就算把積分取絕對值、看成「$A=\frac{1}{12}$」，$k=2$ 時 $f(x)=(x-1)(x-2{)}^2$ 在 $[1,2]$ 圍出的面積也是 $\frac{1}{12}$，機率會是 $\frac{2}{5}$，同樣不是 $\frac{1}{5}$。

(4) 正確。 展開後逐項積分：

$${\int }_1^3(x-1)(x-2)dx={\left[\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x\right]}_1^3=\frac{2}{3}$$

$${\int }_1^{3}x(x-1)(x-2)dx={\left[\frac{x^4}{4}-x^3+x^2\right]}_1^3=2$$

所以 $B=2-\frac{2}{3}k=\frac{2(3-k)}{3}$。$B>0$ 即 $k<3$，$k=1,2$，機率 $\frac{2}{5}$。

(5) 正確。 $k=1,2,3,4,5$ 時 $B$ 依序為 $\frac{4}{3},\frac{2}{3},0,-\frac{2}{3},-\frac{4}{3}$，期望值 $\frac{1}{5}\left(\frac{4}{3}+\frac{2}{3}+0-\frac{2}{3}-\frac{4}{3}\right)=0$。