段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數方程式及不等式、指數與對數的應用）

武陵高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 武陵高中 113 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 武陵高中 113 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題 x 等於 1 時底數不合，要剔除；第 4 題選項 (4) 的分界不是根號 2，可以舉出 a 稍大於根號 2 時仍有交點的例子；第 11 題兩個對數底數不同，要先換成同底，而且底數小於 1 不等號要反向；第 15 題年利率要換成月利率，再用等比級數求和。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單選題 3 題（每題 5 分）、多選題 2 題（每題 10 分，答錯一個選項扣 2 分）、填充題第一部份 A～E 共 5 題（每題 9 分）、第二部份 F～J 共 5 題（每題 4 分），合計 100 分；填充題 A～J 依序為本頁第 6～15 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題(每題 5 分，共 15 分)

梅森質數是指能表示成

2^{n} - 1

的質數，記為

M_{n}

。杜蘭特於 2024 年宣布找出了目前世界上已知的最大質數

M_{136279841} = 2^{136279841} - 1

，比 2018 年發現的最大質數

M_{82589933} = 2^{82589933} - 1

還多出了

k

位數（例如

131071

比

8191

多出了 2 位數），則

k

最接近下列何數？

(1) $136279841 - 82589933$
(2) $2^{136279841 - 82589933}$
(3) $2^{136279841} - 2^{82589933}$
(4) $(136279841 - 82589933) lo g 2$ 　四捨五入至整數位
(5) $lo g_{2} (136279841 - 82589933)$ 　四捨五入至整數位

方程式

lo g_{x} (3 x^{2} - 2 x) = lo g_{x} x^{3}

的實數解

x

一共有幾個？

(1) 1 個
(2) 2 個
(3) 3 個
(4) 0 個
(5) 以上皆非

已知直線

y = \frac{x}{10}

與

y = lo g x

的圖形有兩個交點。設

a

、

b

、

c

分別為直線

y = \frac{x}{10}

與

y = lo g (- x)

、

y = lo g ∣ - x ∣

、

y = ∣ lo g x ∣

三圖形的交點個數，則

a

、

b

、

c

三數的大小關係為？

(1) $a = b = c$
(2) $a < b = c$
(3) $a = b < c$
(4) $a < b < c$
(5) $a < c < b$

二、多選題(每題 10 分，答錯一個選項扣 2 分，未作答得 0 分，共 20 分)

假設

f (x) = (2)^{x}

，其中

x

為實數，請選出下列正確的選項。

(1) $f (4) = 4$
(2) $f (3) < 3$
(3) $y = f (x)$ 的圖形與 $y = x$ 恰交於一點
(4) 若 $a > 2$ ，則 $y = a^{x}$ 與 $y = lo g_{a} x$ 的圖形沒有交點
(5) 若 $1 < a < 2$ ，則 $y = a^{x}$ 與 $y = lo g_{a} x$ 的圖形恰交於兩點

請選出下列正確的選項。（

e \approx 2.718

）

(1) $e^{- e} > 3^{- 3}$
(2) $4^{l o g_{6} \frac{1}{2}} > 3^{l o g_{6} \frac{1}{2}}$
(3) 已知 $0 < α < β$ ，則 $lo g (α + β) > \frac{1}{2} lo g (α β) + lo g 2$
(4) 已知 $2^{α} = 3^{β}$ ，則 $α > β$
(5) 已知 $(\frac{1}{2})^{α} = α$ ， $(\frac{1}{3})^{β} = β$ ，則 $α > β$

三、填充題：第一部份(每題 9 分，共 45 分)

A. 設

x = 5^{l o g_{3} 2}

，試求

3^{l o g_{5} x} =

____。

lo g_{2} (lo g_{2} 9) - lo g_{2} (lo g_{4} 5) + lo g_{2} (lo g_{3} 25) =

____。

C. 心理學中的席克法則說明人們在面對決策時，當選項越多，需要決策的時間就越長。阿奇每天早上花在決定要穿哪球鞋出門的時間

T

符合席克法則，可用下列數學式表示：

T = 1 + lo g_{2} (n + 1)

其中

n

為阿奇的球鞋數量（單位為雙）。已知目前阿奇有兩雙球鞋，若再購入一雙新球鞋，則阿奇每天早上花在決定穿哪雙鞋的時間將會變成原來的

lo g_{a} b

倍，其中

a

、

b

皆為小於

10

的正整數。試求數對

(a, b) =

____。

D. 設

a

、

b

為正實數且

lo g_{4} a = 7

，

lo g_{8} b = 5

，則與

lo g_{2} (a + b)

之值最接近的整數為 ____。

E. 摩爾定律是指積體電路上可容納的電晶體數目每個月呈指數成長，每 18 個月便增加一倍。依據摩爾定律，至少要 ____ 個月後，積體電路上可容納的電晶體數目才會超過原來數量的 10 倍。（

lo g 2 \approx 0.3010

）

四、填充題：第二部份(每題 4 分，共 20 分)

F. 滿足不等式

lo g_{\frac{1}{10}} (x - 20) > lo g_{\frac{1}{100}} (336 - 6 x)

的整數

x

共有 ____ 個。

G. 將

y = 2^{x}

的圖形以

y

軸為基準線水平伸縮

lo g_{a} b

倍，所得圖形與

y = 6^{x}

的圖形重合，其中

a

、

b

皆為小於

10

的正整數，試求

(a, b) =

____。

H. 設

n

為正整數，若

(\frac{1}{27})^{n}

在小數點後第 4 位才開始出現不為

0

的數字，則此不為

0

的數字是 ____。（

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

I. 行政院為落實全民節電，於 103 年訂定各機關學校須達成每年節電 1% 以上之目標值，即每年用電量較前一年度減少 1% 以上。假設本校每年都恰好節電 1%，以 102 年用電量為基準，實施第一年（103 年）用電量為 102 年用電量的 99%，實施第二年（104 年）用電量為 102 年用電量的

99% \times 99% = 98.01%

，…，依此類推。則至少實施至第 ____ 年，可達成節電 20% 的目標（即該年用電量小於等於 102 年用電量的 80%）。（

lo g 8 \approx 0.9031

，

lo g 9 \approx 0.9542

，

lo g 11 \approx 1.0414

）

J. 阿奇儲蓄多年準備在今年買房，銀行評估後能給阿奇的房屋貸款年利率為 2.4%。若阿奇打算每個月的房貸支出最多為 4 萬元，並以 30 年無寬限期採本息平均攤還法還款，即每個月複利一次，每個月繳納相同的金額，分 360 個月還清。則阿奇向銀行貸款的最高金額為 ____ 萬元。（單位為萬元，答案請四捨五入至整數位）（

1.02 4^{30} \approx 2.037

，

1.02 4^{- 30} \approx 0.491

，

1.00 2^{360} \approx 2.053

，

1.00 2^{- 360} \approx 0.487

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(1)

第 3 題(2)

第 4 題(1)(2)(5)

第 5 題(1)(3)(5)

第 6 題

2

第 7 題

3

第 8 題

(6, 8)

第 9 題

16

第 10 題

60

第 11 題

11

第 12 題

(6, 2)

第 13 題

2

第 14 題

23

第 15 題

1026

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～3：位數差、對數方程式的條件、圖形交點個數

第 1 題

$2^{p}$ 不是 $10$ 的整數次方，所以 $2^{p} - 1$ 與 $2^{p}$ 的位數相同。 $2^{p}$ 的位數是 $[p lo g 2] + 1$ （ $[]$ 表示高斯符號）。所以多出的位數

$k = [136279841 lo g 2] - [82589933 lo g 2]$

而 $136279841 lo g 2 - 82589933 lo g 2 = (136279841 - 82589933) lo g 2$ 。兩個數各自去掉小數部分，差最多變動不到 $1$ ，所以 $k$ 與 $(136279841 - 82589933) lo g 2$ 相差不到 $1$ ，最接近選項 (4)。

其他選項：(1) 是 $53689908$ ，約為 $k$ 的 $3$ 倍多；(2)(3) 是位數上千萬的大數；(5) 約為 $26$ ，都差很遠。

實際算出

k = 16162272

，而

(136279841 - 82589933) lo g 2 \approx 16162272.8

，四捨五入為

16162273

，只差

1

。

第 2 題

先寫條件：底數 $x > 0$ 且 $x \neq = 1$ ；真數 $3 x^{2} - 2 x = x (3 x - 2) > 0$ ，配合 $x > 0$ 得 $x > \frac{2}{3}$ ； $x^{3} > 0$ 已成立。

在條件下兩邊同底，真數相等： $3 x^{2} - 2 x = x^{3}$ ，即 $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x = x (x - 1) (x - 2) = 0$ ， $x = 0, 1, 2$ 。 $x = 0$ 不合（底數要大於 $0$ ）， $x = 1$ 不合（底數不可為 $1$ ），只剩 $x = 2$ 。代回： $lo g_{2} 8 = lo g_{2} 8$ ，成立。共 $1$ 個解，選 (1)。

x = 1

會讓兩邊的真數都等於

1

，看起來相等，但

lo g_{1}

沒有定義。

第 3 題

直線 $y = \frac{x}{10}$ 在 $x < 0$ 時 $y < 0$ ，在 $x > 0$ 時 $y > 0$ 。

$a$ ： $y = lo g (- x)$ 只在 $x < 0$ 有圖形，令 $t = - x > 0$ ，比較 $lo g t$ 與 $- \frac{t}{10}$ ：前者隨 $t$ 遞增、後者遞減，且 $t$ 很小時 $lo g t$ 在下方、 $t = 1$ 時 $lo g 1 = 0 > - \frac{1}{10}$ ，恰交一次， $a = 1$ 。

$b$ ： $lo g ∣ - x ∣ = lo g ∣ x ∣$ ，圖形是 $y = lo g x$ 加上它對 $y$ 軸的對稱圖形。 $x > 0$ 的部分就是 $y = lo g x$ ，與直線交 $2$ 點（題目已給）； $x < 0$ 的部分就是 $y = lo g (- x)$ ，交 $1$ 點。 $b = 3$ 。

$c$ ： $y = ∣ lo g x ∣$ 只在 $x > 0$ 有圖形。當 $0 < x < 1$ 時 $lo g x < 0 < \frac{x}{10}$ ，所以直線與 $y = lo g x$ 的兩個交點都在 $x \geq 1$ ，那裡 $∣ lo g x ∣ = lo g x$ ，仍是這 $2$ 點。當 $0 < x < 1$ 時 $∣ lo g x ∣ = - lo g x$ 從很大遞減到接近 $0$ ，直線從接近 $0$ 遞增到 $\frac{1}{10}$ ，恰交一次。 $c = 3$ 。

所以 $a < b = c$ ，選 (2)。

y = ∣ lo g x ∣

是把

y = lo g x

在

x

軸下方的部分往上翻，翻上來的那一段會和直線再交一次。

對數方程式解完一定回頭檢查底數（正且不為

1

）與真數（正）的條件。

02多選 4～5：指數函數與反函數的交點、比大小

第 4 題

答案 (1)(2)(5)。

(1) 正確。 $f (4) = (2)^{4} = 2^{2} = 4$ 。

(2) 正確。 $f (3) = (2)^{3} = 22 = 8 < 9 = 3$ 。

(3) 錯誤。 $f (2) = 2$ 、 $f (4) = 4$ ，所以 $(2, 2)$ 、 $(4, 4)$ 都是交點，至少兩點。（ $x \leq 0$ 時 $f (x) > 0 \geq x$ ，不會再有交點；指數函數圖形凹向上，與直線最多交兩點，所以恰好兩點。）

(4) 錯誤。舉例 $a = 33$ ：因為 $(33)^{6} = 9 > 8 = (2)^{6}$ ，所以 $a > 2$ ；但 $a^{3} = 3$ ， $lo g_{a} 3 = 3$ ，點 $(3, 3)$ 同時在 $y = a^{x}$ 與 $y = lo g_{a} x$ 上，兩圖形有交點。

(5) 正確。 $a > 1$ 時兩個函數都遞增，而且互為反函數，圖形對稱於 $y = x$ 。若交點 $(p, q)$ 不在 $y = x$ 上，則 $(q, p)$ 也是交點，設 $p < q$ ，由 $y = a^{x}$ 遞增得 $q = a^{p} < a^{q} = p$ ，矛盾。所以交點都在 $y = x$ 上，只要數 $y = a^{x}$ 與 $y = x$ 的交點。令 $g (x) = a^{x} - x$ ： $g (0) = 1 > 0$ ； $1 < a < 2$ 時 $g (2) = a^{2} - 2 < 0$ ；又令 $a = 1 + h$ （ $h > 0$ ），由二項式定理，正整數 $m \geq 2$ 時 $a^{m} \geq 1 + mh + \frac{m ( m - 1 )}{2} h^{2} > \frac{m ( m - 1 )}{2} h^{2}$ ；取正整數 $m > 1 + \frac{2}{h ^{2}}$ ，則 $\frac{( m - 1 ) h ^{2}}{2} > 1$ ，所以 $a^{m} > m$ ，即 $g (m) > 0$ （這樣的 $m$ 大於 $2$ ）。所以在 $0$ 與 $2$ 之間、 $2$ 與 $m$ 之間各有一個交點； $y = a^{x}$ 的圖形凹向上，與直線最多交兩點，所以恰好兩點。

(4) 的分界不是

2

：

a = 2

時交於

(2, 2)

、

(4, 4)

兩點，

a

比

2

稍大一點時兩圖形仍然相交（例如

a = 33

），要更大才分開。

第 5 題

答案 (1)(3)(5)。

(1) 正確。 $e^{- e} > 3^{- 3}$ 等價於 $e^{e} < 3^{3}$ 。因為 $e < 3$ ， $e^{e} < 3^{e}$ ；又底數 $3 > 1$ 、 $e < 3$ ， $3^{e} < 3^{3}$ 。所以 $e^{e} < 27$ ，成立。

(2) 錯誤。指數 $t = lo g_{6} \frac{1}{2} < 0$ 。 $(\frac{4}{3})^{t}$ 的底數大於 $1$ 、指數為負，所以 $(\frac{4}{3})^{t} < 1$ ，即 $4^{t} < 3^{t}$ ，原式的不等號方向相反。

(3) 正確。右邊 $= lo g (2 α β)$ 。由算幾不等式 $α + β \geq 2 α β$ ，等號只在 $α = β$ 成立；現在 $α < β$ ，所以 $α + β > 2 α β$ ，取常用對數（遞增）得原式成立。

(4) 錯誤。取 $2^{α} = 3^{β} = 1$ ，則 $α = β = 0$ ， $α > β$ 不成立。（若 $2^{α} = 3^{β} < 1$ ，則 $α < β < 0$ ，也不成立。）

(5) 正確。 $α$ 是 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 與 $y = x$ 的交點的 $x$ 坐標， $β$ 是 $y = (\frac{1}{3})^{x}$ 與 $y = x$ 的交點的 $x$ 坐標，兩者都在 $0$ 與 $1$ 之間。 $x > 0$ 時 $(\frac{1}{3})^{x} < (\frac{1}{2})^{x}$ ，所以在 $x = β$ 處 $(\frac{1}{2})^{β} > (\frac{1}{3})^{β} = β$ ，也就是 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 在 $x = β$ 時還在直線上方；它遞減、直線遞增，要再往右才會相交，所以 $α > β$ 。

(5) 的兩個值約為

α \approx 0.64

、

β \approx 0.55

。(4) 只要舉一個反例就能說明「不一定」。

a > 1

時

y = a^{x}

與

y = lo g_{a} x

的交點都在直線

y = x

上，數交點就是數

a^{x} = x

的解。

03填充第一部份 A～E（本頁 6～10）：對數律、換底、模型與倍增

第 6 題

lo g_{5} x = lo g_{5} 5^{l o g_{3} 2} = lo g_{3} 2

，所以

3^{l o g_{5} x} = 3^{l o g_{3} 2} = 2

。

第 7 題

lo g_{2} 9 = 2 lo g_{2} 3

，

lo g_{4} 5 = \frac{1}{2} lo g_{2} 5

，

lo g_{3} 25 = 2 lo g_{3} 5

。原式

= lo g_{2} \frac{2 lo g _{2} 3 \cdot 2 lo g _{3} 5}{\frac{1}{2} lo g _{2} 5}

。由換底公式

lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 5 = lo g_{2} 5

，所以真數

= \frac{4 lo g _{2} 5}{\frac{1}{2} lo g _{2} 5} = 8

，原式

= lo g_{2} 8 = 3

。

第 8 題兩雙鞋時

T_{1} = 1 + lo g_{2} 3

；三雙鞋時

T_{2} = 1 + lo g_{2} 4 = 3

。倍數

\frac{T _{2}}{T _{1}} = \frac{3}{1 + lo g _{2} 3} = \frac{3}{lo g _{2} 6} = 3 lo g_{6} 2 = lo g_{6} 8

。所以

(a, b) = (6, 8)

。

逐一檢查小於

10

的正整數

a

、

b

，使

lo g_{a} b = lo g_{6} 8

的只有

(6, 8)

這一組。

第 9 題

a = 4^{7} = 2^{14}

，

b = 8^{5} = 2^{15}

。

a + b = 2^{14} (1 + 2) = 3 \cdot 2^{14}

，

lo g_{2} (a + b) = 14 + lo g_{2} 3

。因為

2^{1.5} = 8 < 3 < 4 = 2^{2}

，

1.5 < lo g_{2} 3 < 2

，所以

15.5 < lo g_{2} (a + b) < 16

，最接近的整數是

16

。

第 10 題

t

個月後數量是原來的

2^{\frac{t}{18}}

倍。要

2^{\frac{t}{18}} > 10

，取常用對數：

\frac{t}{18} lo g 2 > 1

，

t > \frac{18}{0.3010} \approx 59.8

。

t

取整數月，至少

60

個月。

對數連乘、連除時，先把每個對數用換底公式化成同底，常常會一路消去。

04填充第二部份 F～J（本頁 11～15）：對數不等式、伸縮、首位數字、衰退與房貸

第 11 題

真數條件： $x - 20 > 0$ 且 $336 - 6 x > 0$ ，即 $20 < x < 56$ 。

換成同底： $lo g_{\frac{1}{100}} (336 - 6 x) = \frac{lo g ( 336 - 6 x )}{- 2} = \frac{1}{2} lo g_{\frac{1}{10}} (336 - 6 x) = lo g_{\frac{1}{10}} 336 - 6 x$ 。

底數 $\frac{1}{10} < 1$ ，函數遞減，不等號反向： $x - 20 < 336 - 6 x$ 。兩邊都是正數，平方得 $x^{2} - 40 x + 400 < 336 - 6 x$ ，即 $x^{2} - 34 x + 64 < 0$ ， $(x - 2) (x - 32) < 0$ ， $2 < x < 32$ 。

與 $20 < x < 56$ 取交集： $20 < x < 32$ ，整數 $x = 21, 22, \dots, 31$ ，共 $11$ 個。

兩個底數不同，要先換成同底；底數小於

1

時不等號要反向。

第 12 題以

y

軸為基準線水平伸縮

k

倍，就是把每一點的

x

坐標乘以

k

，圖形變成

y = 2^{\frac{x}{k}} = (2^{\frac{1}{k}})^{x}

。要與

y = 6^{x}

重合，須

2^{\frac{1}{k}} = 6

，

\frac{1}{k} = lo g_{2} 6

，

k = \frac{1}{lo g _{2} 6} = lo g_{6} 2

。所以

(a, b) = (6, 2)

。

6^{x}

比

2^{x}

長得快，圖形是被水平壓縮，倍數

lo g_{6} 2

小於

1

。

第 13 題

$(\frac{1}{27})^{n} = 3^{- \frac{3 n}{2}}$ ， $lo g 3^{- \frac{3 n}{2}} = - \frac{3 n}{2} \times 0.4771 = - 0.71565 n$ 。

小數點後第 $4$ 位才出現不為 $0$ 的數字，表示 $1 0^{- 4} \leq 3^{- \frac{3 n}{2}} < 1 0^{- 3}$ ，即 $- 4 \leq - 0.71565 n < - 3$ ， $4.19 < n \leq 5.59$ （約）， $n = 5$ 。

此時 $lo g 3^{- 7.5} = - 3.57825 = - 4 + 0.42175$ 。因為 $lo g 2 \approx 0.3010 < 0.42175 < 0.4771 \approx lo g 3$ ，所以 $3^{- 7.5} = 1 0^{- 4} \times 1 0^{0.42175}$ ，而 $2 < 1 0^{0.42175} < 3$ ，第一個不為 $0$ 的數字是 $2$ 。

實際上

3^{- 7.5} \approx 0.000264

，小數點後第

4

位是

2

。

第 14 題

實施第 $n$ 年的用電量是基準的 $0.9 9^{n}$ 倍。要 $0.9 9^{n} \leq 0.8$ ，取常用對數： $n lo g 0.99 \leq lo g 0.8$ 。

$lo g 0.99 = lo g \frac{9 \times 11}{100} = 0.9542 + 1.0414 - 2 = - 0.0044$ ； $lo g 0.8 = lo g 8 - 1 = - 0.0969$ 。

$- 0.0044 n \leq - 0.0969$ ， $n \geq \frac{0.0969}{0.0044} \approx 22.02$ ，所以至少實施至第 $23$ 年。

除以負數

lo g 0.99

時不等號要反向。直接計算

0.9 9^{22} \approx 0.8016

還沒到

80%

，

0.9 9^{23} \approx 0.7936

才達到。

第 15 題

月利率 $r = \frac{2.4%}{12} = 0.2%$ ，每月本利和乘以 $1.002$ 。設貸款 $P$ 萬元，每月繳 $4$ 萬元，第 $360$ 個月繳完時剛好還清。把所有金額都折算到第 $360$ 個月：

$P \times 1.00 2^{360} = 4 (1.00 2^{359} + 1.00 2^{358} + \dots + 1.002 + 1) = 4 \times \frac{1.00 2 ^{360} - 1}{0.002}$

所以 $P = \frac{4}{0.002} \times (1 - 1.00 2^{- 360}) = 2000 \times (1 - 0.487) = 2000 \times 0.513 = 1026$ （萬元）。

年利率要先換成月利率

0.2%

，題目給的

1.02 4^{30}

那兩個值用不到。若用

1.00 2^{360} \approx 2.053

算

\frac{2000 \times 1.053}{2.053} \approx 1025.8

，四捨五入也是

1026

。

本息平均攤還：把貸款與每一期的還款都折算到同一個時間點，兩邊相等，右邊是等比級數。

這一章的單元冊

每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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常見問題

武陵高中 113 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

武陵高中 113 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題 x 等於 1 時底數不合，要剔除；第 4 題選項 (4) 的分界不是根號 2，可以舉出 a 稍大於根號 2 時仍有交點的例子；第 11 題兩個對數底數不同，要先換成同底，而且底數小於 1 不等號要反向；第 15 題年利率要換成月利率，再用等比級數求和。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自武陵高中 113 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數方程式及不等式、指數與對數的應用）

武陵高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

一、單選題(每題 5 分，共 15 分)

梅森質數是指能表示成

2^{n} - 1

的質數，記為

M_{n}

。杜蘭特於 2024 年宣布找出了目前世界上已知的最大質數

M_{136279841} = 2^{136279841} - 1

，比 2018 年發現的最大質數

M_{82589933} = 2^{82589933} - 1

還多出了

k

位數（例如

131071

比

8191

多出了 2 位數），則

k

最接近下列何數？

(1) $136279841 - 82589933$
(2) $2^{136279841 - 82589933}$
(3) $2^{136279841} - 2^{82589933}$
(4) $(136279841 - 82589933) lo g 2$ 　四捨五入至整數位
(5) $lo g_{2} (136279841 - 82589933)$ 　四捨五入至整數位

方程式

lo g_{x} (3 x^{2} - 2 x) = lo g_{x} x^{3}

的實數解

x

一共有幾個？

(1) 1 個
(2) 2 個
(3) 3 個
(4) 0 個
(5) 以上皆非

已知直線

y = \frac{x}{10}

與

y = lo g x

的圖形有兩個交點。設

a

、

b

、

c

分別為直線

y = \frac{x}{10}

與

y = lo g (- x)

、

y = lo g ∣ - x ∣

、

y = ∣ lo g x ∣

三圖形的交點個數，則

a

、

b

、

c

三數的大小關係為？

(1) $a = b = c$
(2) $a < b = c$
(3) $a = b < c$
(4) $a < b < c$
(5) $a < c < b$

二、多選題(每題 10 分，答錯一個選項扣 2 分，未作答得 0 分，共 20 分)

假設

f (x) = (2)^{x}

，其中

x

為實數，請選出下列正確的選項。

(1) $f (4) = 4$
(2) $f (3) < 3$
(3) $y = f (x)$ 的圖形與 $y = x$ 恰交於一點
(4) 若 $a > 2$ ，則 $y = a^{x}$ 與 $y = lo g_{a} x$ 的圖形沒有交點
(5) 若 $1 < a < 2$ ，則 $y = a^{x}$ 與 $y = lo g_{a} x$ 的圖形恰交於兩點

請選出下列正確的選項。（

e \approx 2.718

）

(1) $e^{- e} > 3^{- 3}$
(2) $4^{l o g_{6} \frac{1}{2}} > 3^{l o g_{6} \frac{1}{2}}$
(3) 已知 $0 < α < β$ ，則 $lo g (α + β) > \frac{1}{2} lo g (α β) + lo g 2$
(4) 已知 $2^{α} = 3^{β}$ ，則 $α > β$
(5) 已知 $(\frac{1}{2})^{α} = α$ ， $(\frac{1}{3})^{β} = β$ ，則 $α > β$

三、填充題：第一部份(每題 9 分，共 45 分)

A. 設

x = 5^{l o g_{3} 2}

，試求

3^{l o g_{5} x} =

____。

lo g_{2} (lo g_{2} 9) - lo g_{2} (lo g_{4} 5) + lo g_{2} (lo g_{3} 25) =

____。

C. 心理學中的席克法則說明人們在面對決策時，當選項越多，需要決策的時間就越長。阿奇每天早上花在決定要穿哪球鞋出門的時間

T

符合席克法則，可用下列數學式表示：

T = 1 + lo g_{2} (n + 1)

其中

n

為阿奇的球鞋數量（單位為雙）。已知目前阿奇有兩雙球鞋，若再購入一雙新球鞋，則阿奇每天早上花在決定穿哪雙鞋的時間將會變成原來的

lo g_{a} b

倍，其中

a

、

b

皆為小於

10

的正整數。試求數對

(a, b) =

____。

D. 設

a

、

b

為正實數且

lo g_{4} a = 7

，

lo g_{8} b = 5

，則與

lo g_{2} (a + b)

之值最接近的整數為 ____。

lo g 2 \approx 0.3010

）

四、填充題：第二部份(每題 4 分，共 20 分)

F. 滿足不等式

lo g_{\frac{1}{10}} (x - 20) > lo g_{\frac{1}{100}} (336 - 6 x)

的整數

x

共有 ____ 個。

G. 將

y = 2^{x}

的圖形以

y

軸為基準線水平伸縮

lo g_{a} b

倍，所得圖形與

y = 6^{x}

的圖形重合，其中

a

、

b

皆為小於

10

的正整數，試求

(a, b) =

____。

H. 設

n

為正整數，若

(\frac{1}{27})^{n}

在小數點後第 4 位才開始出現不為

0

的數字，則此不為

0

的數字是 ____。（

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

99% \times 99% = 98.01%

，…，依此類推。則至少實施至第 ____ 年，可達成節電 20% 的目標（即該年用電量小於等於 102 年用電量的 80%）。（

lo g 8 \approx 0.9031

，

lo g 9 \approx 0.9542

，

lo g 11 \approx 1.0414

）

1.02 4^{30} \approx 2.037

，

1.02 4^{- 30} \approx 0.491

，

1.00 2^{360} \approx 2.053

，

1.00 2^{- 360} \approx 0.487

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(1)

第 3 題(2)

第 4 題(1)(2)(5)

第 5 題(1)(3)(5)

第 6 題

2

第 7 題

3

第 8 題

(6, 8)

第 9 題

16

第 10 題

60

第 11 題

11

第 12 題

(6, 2)

第 13 題

2

第 14 題

23

第 15 題

1026

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～3：位數差、對數方程式的條件、圖形交點個數

第 1 題

$2^{p}$ 不是 $10$ 的整數次方，所以 $2^{p} - 1$ 與 $2^{p}$ 的位數相同。 $2^{p}$ 的位數是 $[p lo g 2] + 1$ （ $[]$ 表示高斯符號）。所以多出的位數

$k = [136279841 lo g 2] - [82589933 lo g 2]$

其他選項：(1) 是 $53689908$ ，約為 $k$ 的 $3$ 倍多；(2)(3) 是位數上千萬的大數；(5) 約為 $26$ ，都差很遠。

實際算出

k = 16162272

，而

(136279841 - 82589933) lo g 2 \approx 16162272.8

，四捨五入為

16162273

，只差

1

。

第 2 題

先寫條件：底數 $x > 0$ 且 $x \neq = 1$ ；真數 $3 x^{2} - 2 x = x (3 x - 2) > 0$ ，配合 $x > 0$ 得 $x > \frac{2}{3}$ ； $x^{3} > 0$ 已成立。

x = 1

會讓兩邊的真數都等於

1

，看起來相等，但

lo g_{1}

沒有定義。

第 3 題

直線 $y = \frac{x}{10}$ 在 $x < 0$ 時 $y < 0$ ，在 $x > 0$ 時 $y > 0$ 。

所以 $a < b = c$ ，選 (2)。

y = ∣ lo g x ∣

是把

y = lo g x

在

x

軸下方的部分往上翻，翻上來的那一段會和直線再交一次。

對數方程式解完一定回頭檢查底數（正且不為

1

）與真數（正）的條件。

02多選 4～5：指數函數與反函數的交點、比大小

第 4 題

答案 (1)(2)(5)。

(1) 正確。 $f (4) = (2)^{4} = 2^{2} = 4$ 。

(2) 正確。 $f (3) = (2)^{3} = 22 = 8 < 9 = 3$ 。

(4) 的分界不是

2

：

a = 2

時交於

(2, 2)

、

(4, 4)

兩點，

a

比

2

稍大一點時兩圖形仍然相交（例如

a = 33

），要更大才分開。

第 5 題

答案 (1)(3)(5)。

(1) 正確。 $e^{- e} > 3^{- 3}$ 等價於 $e^{e} < 3^{3}$ 。因為 $e < 3$ ， $e^{e} < 3^{e}$ ；又底數 $3 > 1$ 、 $e < 3$ ， $3^{e} < 3^{3}$ 。所以 $e^{e} < 27$ ，成立。

(4) 錯誤。取 $2^{α} = 3^{β} = 1$ ，則 $α = β = 0$ ， $α > β$ 不成立。（若 $2^{α} = 3^{β} < 1$ ，則 $α < β < 0$ ，也不成立。）

(5) 的兩個值約為

α \approx 0.64

、

β \approx 0.55

。(4) 只要舉一個反例就能說明「不一定」。

a > 1

時

y = a^{x}

與

y = lo g_{a} x

的交點都在直線

y = x

上，數交點就是數

a^{x} = x

的解。

03填充第一部份 A～E（本頁 6～10）：對數律、換底、模型與倍增

第 6 題

lo g_{5} x = lo g_{5} 5^{l o g_{3} 2} = lo g_{3} 2

，所以

3^{l o g_{5} x} = 3^{l o g_{3} 2} = 2

。

第 7 題

lo g_{2} 9 = 2 lo g_{2} 3

，

lo g_{4} 5 = \frac{1}{2} lo g_{2} 5

，

lo g_{3} 25 = 2 lo g_{3} 5

。原式

= lo g_{2} \frac{2 lo g _{2} 3 \cdot 2 lo g _{3} 5}{\frac{1}{2} lo g _{2} 5}

。由換底公式

lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 5 = lo g_{2} 5

，所以真數

= \frac{4 lo g _{2} 5}{\frac{1}{2} lo g _{2} 5} = 8

，原式

= lo g_{2} 8 = 3

。

第 8 題兩雙鞋時

T_{1} = 1 + lo g_{2} 3

；三雙鞋時

T_{2} = 1 + lo g_{2} 4 = 3

。倍數

\frac{T _{2}}{T _{1}} = \frac{3}{1 + lo g _{2} 3} = \frac{3}{lo g _{2} 6} = 3 lo g_{6} 2 = lo g_{6} 8

。所以

(a, b) = (6, 8)

。

逐一檢查小於

10

的正整數

a

、

b

，使

lo g_{a} b = lo g_{6} 8

的只有

(6, 8)

這一組。

第 9 題

a = 4^{7} = 2^{14}

，

b = 8^{5} = 2^{15}

。

a + b = 2^{14} (1 + 2) = 3 \cdot 2^{14}

，

lo g_{2} (a + b) = 14 + lo g_{2} 3

。因為

2^{1.5} = 8 < 3 < 4 = 2^{2}

，

1.5 < lo g_{2} 3 < 2

，所以

15.5 < lo g_{2} (a + b) < 16

，最接近的整數是

16

。

第 10 題

t

個月後數量是原來的

2^{\frac{t}{18}}

倍。要

2^{\frac{t}{18}} > 10

，取常用對數：

\frac{t}{18} lo g 2 > 1

，

t > \frac{18}{0.3010} \approx 59.8

。

t

取整數月，至少

60

個月。

對數連乘、連除時，先把每個對數用換底公式化成同底，常常會一路消去。

04填充第二部份 F～J（本頁 11～15）：對數不等式、伸縮、首位數字、衰退與房貸

第 11 題

真數條件： $x - 20 > 0$ 且 $336 - 6 x > 0$ ，即 $20 < x < 56$ 。

換成同底： $lo g_{\frac{1}{100}} (336 - 6 x) = \frac{lo g ( 336 - 6 x )}{- 2} = \frac{1}{2} lo g_{\frac{1}{10}} (336 - 6 x) = lo g_{\frac{1}{10}} 336 - 6 x$ 。

與 $20 < x < 56$ 取交集： $20 < x < 32$ ，整數 $x = 21, 22, \dots, 31$ ，共 $11$ 個。

兩個底數不同，要先換成同底；底數小於

1

時不等號要反向。

第 12 題以

y

軸為基準線水平伸縮

k

倍，就是把每一點的

x

坐標乘以

k

，圖形變成

y = 2^{\frac{x}{k}} = (2^{\frac{1}{k}})^{x}

。要與

y = 6^{x}

重合，須

2^{\frac{1}{k}} = 6

，

\frac{1}{k} = lo g_{2} 6

，

k = \frac{1}{lo g _{2} 6} = lo g_{6} 2

。所以

(a, b) = (6, 2)

。

6^{x}

比

2^{x}

長得快，圖形是被水平壓縮，倍數

lo g_{6} 2

小於

1

。

第 13 題

$(\frac{1}{27})^{n} = 3^{- \frac{3 n}{2}}$ ， $lo g 3^{- \frac{3 n}{2}} = - \frac{3 n}{2} \times 0.4771 = - 0.71565 n$ 。

小數點後第 $4$ 位才出現不為 $0$ 的數字，表示 $1 0^{- 4} \leq 3^{- \frac{3 n}{2}} < 1 0^{- 3}$ ，即 $- 4 \leq - 0.71565 n < - 3$ ， $4.19 < n \leq 5.59$ （約）， $n = 5$ 。

實際上

3^{- 7.5} \approx 0.000264

，小數點後第

4

位是

2

。

第 14 題

實施第 $n$ 年的用電量是基準的 $0.9 9^{n}$ 倍。要 $0.9 9^{n} \leq 0.8$ ，取常用對數： $n lo g 0.99 \leq lo g 0.8$ 。

$lo g 0.99 = lo g \frac{9 \times 11}{100} = 0.9542 + 1.0414 - 2 = - 0.0044$ ； $lo g 0.8 = lo g 8 - 1 = - 0.0969$ 。

$- 0.0044 n \leq - 0.0969$ ， $n \geq \frac{0.0969}{0.0044} \approx 22.02$ ，所以至少實施至第 $23$ 年。

除以負數

lo g 0.99

時不等號要反向。直接計算

0.9 9^{22} \approx 0.8016

還沒到

80%

，

0.9 9^{23} \approx 0.7936

才達到。

第 15 題

$P \times 1.00 2^{360} = 4 (1.00 2^{359} + 1.00 2^{358} + \dots + 1.002 + 1) = 4 \times \frac{1.00 2 ^{360} - 1}{0.002}$

所以 $P = \frac{4}{0.002} \times (1 - 1.00 2^{- 360}) = 2000 \times (1 - 0.487) = 2000 \times 0.513 = 1026$ （萬元）。

年利率要先換成月利率

0.2%

，題目給的

1.02 4^{30}

那兩個值用不到。若用

1.00 2^{360} \approx 2.053

算

\frac{2000 \times 1.053}{2.053} \approx 1025.8

，四捨五入也是

1026

。

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每一題，錯在哪一步

01單選 1～3：位數差、對數方程式的條件、圖形交點個數

02多選 4～5：指數函數與反函數的交點、比大小

03填充第一部份 A～E（本頁 6～10）：對數律、換底、模型與倍增

04填充第二部份 F～J（本頁 11～15）：對數不等式、伸縮、首位數字、衰退與房貸

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01單選 1～3：位數差、對數方程式的條件、圖形交點個數

02多選 4～5：指數函數與反函數的交點、比大小

03填充第一部份 A～E（本頁 6～10）：對數律、換底、模型與倍增

04填充第二部份 F～J（本頁 11～15）：對數不等式、伸縮、首位數字、衰退與房貸

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武陵高中 113 上
高二第二次段考
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