段考詳解範圍：數與式、指數與對數（實數、絕對值、指數、常用對數）

武陵高中 113 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

多重選擇題 2 題（16 分，每題 8 分，錯一個選項得 5 分、錯兩個得 2 分）、填充題 14 格（72 分：前 6 格每格 4 分，後 8 格每格 6 分）、計算證明題 1 題 3 小題（12 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對

一、多重選擇題：（每題 8 分，錯一個選項得 5 分，錯兩個選項得 2 分）

請選出正確的選項。

(A) 若 $a$ 是有理數， $b$ 是無理數，則 $ab$ 必為無理數
(B) 數線上相異三點 $A (a)$ 、 $B (b)$ 、 $P (x)$ ，若 $a < b$ 且 $2 (x - b) = 3 (a - x)$ ，則 $a < x < b$
(C) 不等式 $∣2 x + 3∣ > x$ 與不等式 $(2 x + 3)^{2} > x^{2}$ 的解相同
(D) $(- 27)^{\frac{1}{3}} = 3 - 27 = - 3$
(E) $0. \overline{9} \geq 1$

令

x = 3 + 7

，

y = 3 - 7

，請選出正確的選項。

(A) $x y = 4$
(B) $x^{2} + y^{2} = 34$
(C) $x^{3} + y^{3} = 180$
(D) $x^{4} + y^{4} = 1018$
(E) $(3 + 7)^{4}$ 的整數部分為 $1015$

二、填充題：（答案均須計算出來，不得以指數型式表示）〔原卷填充題另編第 1～14 題，即本頁第 3～16 題；第一部分（填充 1～6，本頁第 3～8 題）每格 4 分，第二部分（填充 7～14，本頁第 9～16 題）每格 6 分〕

解方程式

∣ x - 2∣ = 3 x

，得

x =

____。

試求

(8)^{\frac{- 2}{3}} \times (0.25)^{- 2.5} \times 464 =

____。

若

2^{x} = 6

，

2^{y} = 3

，則

2^{2 x + 3 y - 2} =

____。

設

a = lo g 100

，

b = 1 0^{l o g 7}

，則數對

(a, b) =

____。

若已知

lo g 8.9638 = 0.9527

，則

lo g 0.089638 =

____。

武陵高中奇異鳥身上的羽毛稱為「奇異毛」，若已知

6 \times 1 0^{13}

根奇異毛的重量約為

405

克，求一根奇異毛的重量為 ____ 克。（用科學記號表示並將係數部分四捨五入取兩位有效數字）

設

3^{x} = 25

，

5^{y} = 81

，則

x y =

____。

設

a > 0

且

a^{0.7} = 32

，則

a^{0.49} =

____。

若

\frac{2}{\frac{2}{x ^{2}} - 1} + 1 = 3

，求實數

x

的值為 ____。

若

x, y

為實數並滿足

x \cdot 17 + 122 + y \cdot 3 + 22 = 10 + 72

及

2^{x} = 2^{y}

，求數對

(x, y) =

____。

數線上有兩動點

A (a)

、

B (b)

，滿足

∣ a - 3∣ \leq 1

及

∣2 b + 15∣ \leq 5

，若點

P (x)

在線段

\overline{A B}

上，且

\overline{A P} : \overline{B P} = 1 : 2

，則

x

的範圍以區間表示為 ____。

已知聯立不等式

{∣ x - 1∣ > 3 ∣ x - a ∣ \leq b

的解為

4 < x \leq 12

，則

b

的最大值為 ____。

若

x > 2

，求

\frac{( x - 1 ) ^{2}}{x - 2}

的最小值為 ____。

已知培養皿中某細菌的數量每隔

3

個小時就會變為原本的

4

倍，且每小時增長的倍數固定。若在培養皿中放入

2

個細菌開始培養，則最少需經過 ____ 小時（答案請寫整數），細菌數量才會超過

10000

個。（已知

1 0^{0.3} \approx 2

）

三、計算證明題：（共 12 分）〔原卷為第 1 題的 (1)(2)(3) 三小題，即本頁第 17～19 題〕

計算證明題第 1 題（第 17～19 題）　雙十節時小煥去武陵農場玩，去程與回程皆走相同的路線，已知單趟車程距離為

150

公里，若去程的平均時速為每小時

a

公里，回程的平均時速為每小時

b

公里，來回路程的平均時速為每小時

k

公里。試回答下列各題：

(1) 試以

a

、

b

來表示

k

。（3 分）

(2) 試證明

k \leq ab

。（6 分）

(3) 若

k = 60

，試求

a + b

的最小值，以及此時的

a

及

b

各為多少？（3 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(E)

第 2 題(C)(E)

第 3 題

\frac{1}{2}

第 4 題

322

第 5 題

243

第 6 題

(2, 7)

第 7 題

- 1.0473

第 8 題

6.8 \times 1 0^{- 12}

第 9 題

8

第 10 題

82

第 11 題

\pm (3 - 1)

第 12 題

(22, 2)

第 13 題

[- 2, 1]

第 14 題

7

第 15 題

4

第 16 題

19

第 17 題

k = \frac{2 ab}{a + b}

第 18 題見詳解（證明）

第 19 題

a + b

的最小值為

120

，此時

a = b = 60

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題：實數的性質與對稱式求值

第 1 題答案 (B)(E)。(A) 錯：取

a = 0

，則

ab = 0

是有理數。(B) 對：展開得

(2 + 3) x = 3 a + 2 b

，所以

x = \frac{3 a + 2 b}{3 + 2}

，這是分點公式的形式，

P

是線段

\overline{A B}

上滿足

\overline{A P} : \overline{P B} = 2 : 3

的內分點，故

a < x < b

。(C) 錯：

∣2 x + 3∣ > x

在

x < 0

時必成立（左邊不是負數），在

x \geq 0

時

2 x + 3 > x

也成立，所以解為所有實數；而

(2 x + 3)^{2} > x^{2}

整理成

3 x^{2} + 12 x + 9 > 0

，即

(x + 1) (x + 3) > 0

，解為

x < - 3

或

x > - 1

。兩者不同，例如

x = - 2

滿足前者但不滿足後者。(D) 錯：分數指數

a^{\frac{m}{n}}

只在底數

a > 0

時有定義，所以

(- 27)^{\frac{1}{3}}

沒有意義，不能寫成等式；

3 - 27 = - 3

本身是對的。(E) 對：

0. \overline{9} = \frac{9}{9} = 1

，所以

0. \overline{9} \geq 1

成立（等號成立）。

(2 x + 3)^{2} > x^{2}

對應的其實是

∣2 x + 3∣ > ∣ x ∣

。

第 2 題答案 (C)(E)。先算

x + y = 6

、

x y = 9 - 7 = 2

。(A) 錯：

x y = 2

。(B) 錯：

x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y = 36 - 4 = 32

。(C) 對：

x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x y (x + y) = 216 - 36 = 180

。(D) 錯：

x^{4} + y^{4} = (x^{2} + y^{2})^{2} - 2 (x y)^{2} = 1024 - 8 = 1016

。(E) 對：

(3 + 7)^{4} = x^{4} = 1016 - y^{4}

；因為

2 < 7 < 3

，所以

0 < y = 3 - 7 < 1

，得

0 < y^{4} < 1

，故

1015 < x^{4} < 1016

，整數部分是

1015

。

(E) 用的是「共軛的那一項介於

0

和

1

之間」，不必真的把

(3 + 7)^{4}

乘開。

說「必為」的敘述找一個反例就能推翻；對稱式一律先算

x + y

與

x y

。

02填充第一部分（本頁第 3～8 題）：絕對值、指數律與 log

第 3 題左邊

∣ x - 2∣ \geq 0

，所以

3 x \geq 0

，即

x \geq 0

。

x - 2 = 3 x

得

x = - 1

，不合；

x - 2 = - 3 x

得

x = \frac{1}{2}

，符合

x \geq 0

。檢查：

\frac{1}{2} - 2 = \frac{3}{2} = 3 \times \frac{1}{2}

。答案

x = \frac{1}{2}

。

解出來的值要代回檢查，

x = - 1

會使右邊為負。

第 4 題全部化成以

2

為底：

(8)^{- \frac{2}{3}} = (2^{\frac{3}{2}})^{- \frac{2}{3}} = 2^{- 1}

；

(0.25)^{- 2.5} = (2^{- 2})^{- \frac{5}{2}} = 2^{5}

；

464 = (2^{6})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{3}{2}}

。相乘得

2^{- 1 + 5 + \frac{3}{2}} = 2^{\frac{11}{2}} = 2^{5} \cdot 2 = 322

。

第 5 題

2^{2 x + 3 y - 2} = \frac{( 2 ^{x} ) ^{2} \cdot ( 2 ^{y} ) ^{3}}{2 ^{2}} = \frac{36 \times 27}{4} = 243

。

第 6 題

a = lo g 100 = lo g 1 0^{2} = 2

。

lo g 7

的意思是「

10

的幾次方等於

7

」，所以

b = 1 0^{l o g 7} = 7

。答案

(a, b) = (2, 7)

。

第 7 題

0.089638 = 8.9638 \times 1 0^{- 2}

，所以

lo g 0.089638 = lo g 8.9638 + lo g 1 0^{- 2} = 0.9527 - 2 = - 1.0473

。

答案是

- 2 + 0.9527

，不是

- 2.9527

。

第 8 題一根的重量

= \frac{405}{6 \times 1 0 ^{13}} = 67.5 \times 1 0^{- 13} = 6.75 \times 1 0^{- 12}

克。係數

6.75

四捨五入取兩位有效數字得

6.8

，答案

6.8 \times 1 0^{- 12}

克。

03填充第二部分（本頁第 9～12 題）：指數律與根式

第 9 題把第一式兩邊都取

y

次方：

3^{x y} = 2 5^{y} = (5^{2})^{y} = (5^{y})^{2} = 8 1^{2} = 3^{8}

，所以

x y = 8

。

第 10 題

0.49 = 0.7 \times 0.7

，所以

a^{0.49} = (a^{0.7})^{0.7} = 3 2^{0.7} = (2^{5})^{0.7} = 2^{3.5} = 2^{3} \cdot 2 = 82

。

第 11 題移項得

\frac{2}{\frac{2}{x ^{2}} - 1} = 3 - 1

，所以

\frac{2}{x ^{2}} - 1 = \frac{2}{3 - 1} = \frac{2 ( 3 + 1 )}{2} = 3 + 1

，即

\frac{2}{x ^{2}} = 2 + 3

。於是

x^{2} = \frac{2}{2 + 3} = 2 (2 - 3) = 4 - 23 = (3 - 1)^{2}

，得

x = \pm (3 - 1)

。

x^{2}

開根號有正負兩個值，兩個都使分母不為

0

，都要寫。

第 12 題先化簡雙重根號：

17 + 122 = 17 + 272 = 9 + 8 = 3 + 22

；

3 + 22 = 2 + 1

。再看第二個條件：

2^{x} = 2^{\frac{x}{2}} = 2^{y}

，所以

x = 2 y

。代入第一式：

2 y (3 + 22) + y (1 + 2) = 10 + 72

，即

(7 + 52) y = 10 + 72

，

y = \frac{10 + 7 2}{7 + 5 2} = \frac{( 10 + 7 2 ) ( 7 - 5 2 )}{49 - 50} = \frac{70 - 50 2 + 49 2 - 70}{- 1} = 2

。所以

x = 22

，答案

(x, y) = (22, 2)

。

題目只說

x, y

是實數，不是有理數，所以不能直接比較「有理部分」和「

2

的係數」；要用第二個條件

x = 2 y

來解。

04填充第二部分（本頁第 13～16 題）：絕對值不等式、算幾不等式與指數成長

第 13 題

∣ a - 3∣ \leq 1

得

2 \leq a \leq 4

；

∣2 b + 15∣ \leq 5

得

- 5 \leq 2 b + 15 \leq 5

，即

- 10 \leq b \leq - 5

。

P

在

\overline{A B}

上且

\overline{A P} : \overline{B P} = 1 : 2

，由分點公式

x = \frac{2 a + b}{3}

。因為

4 \leq 2 a \leq 8

、

- 10 \leq b \leq - 5

，相加得

- 6 \leq 2 a + b \leq 3

，所以

- 2 \leq x \leq 1

；

a

與

b

各自獨立變動，中間的值都取得到。答案

[- 2, 1]

。

\overline{A P} : \overline{B P} = 1 : 2

時靠近

A

，

a

的係數是

2

：

x = \frac{2 a + b}{3}

。

第 14 題

∣ x - 1∣ > 3

的解是

x < - 2

或

x > 4

；

∣ x - a ∣ \leq b

的解是

a - b \leq x \leq a + b

。兩者的共同部分要剛好是

4 < x \leq 12

，所以右端

a + b = 12

；左端

a - b

不能超過

4

（否則

4

的右邊會少一段），也不能小於

- 2

（否則會多出

x < - 2

的一段），即

- 2 \leq a - b \leq 4

。把

a = 12 - b

代入：

- 2 \leq 12 - 2 b \leq 4

，得

4 \leq b \leq 7

。

b

的最大值是

7

（此時

a = 5

，第二式的解為

- 2 \leq x \leq 12

，與第一式的共同部分正是

4 < x \leq 12

）。

a - b = - 2

可以取到：

x = - 2

本身不滿足

x < - 2

，不會多出解。

第 15 題令

t = x - 2

，則

t > 0

且

x - 1 = t + 1

。

\frac{( x - 1 ) ^{2}}{x - 2} = \frac{( t + 1 ) ^{2}}{t} = t + \frac{1}{t} + 2

。由算幾不等式

t + \frac{1}{t} \geq 2 t \cdot \frac{1}{t} = 2

，所以原式

\geq 4

；等號在

t = \frac{1}{t}

，即

t = 1

、

x = 3

時成立。最小值為

4

。

用算幾不等式要確認兩項都是正數，而且等號取得到。

第 16 題每小時增長的倍數固定，每

3

小時變成

4

倍，所以經過

t

小時後數量為

2 \times 4^{\frac{t}{3}}

。由

1 0^{0.3} \approx 2

得

4 = 2^{2} \approx 1 0^{0.6}

，所以

4^{\frac{t}{3}} \approx 1 0^{0.2 t}

。要

2 \times 4^{\frac{t}{3}} > 10000

，即

4^{\frac{t}{3}} > 5000 = \frac{1 0 ^{4}}{2} \approx 1 0^{3.7}

，得

0.2 t > 3.7

，

t > 18.5

。取整數，最少需經過

19

小時。

驗證：

18

小時時是

2 \times 4^{6} = 8192

個，還不到

10000

；

19

小時時約

1.3

萬個。

由解回推係數時，先把每個不等式各自寫成區間，再畫在數線上比對端點。

05計算證明題（本頁第 17～19 題）：平均時速與算幾不等式

第 17 題去程花的時間是

\frac{150}{a}

小時，回程花的時間是

\frac{150}{b}

小時，來回總路程是

300

公里。平均時速＝總路程÷總時間，所以

k = \frac{300}{\frac{150}{a} + \frac{150}{b}} = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2 ab}{a + b}

。

平均時速不是

\frac{a + b}{2}

；要用總路程除以總時間。

第 18 題

a

、

b

都是正數。由算幾不等式

\frac{a + b}{2} \geq ab > 0

，兩邊取倒數（正數取倒數，不等號方向相反）得

\frac{2}{a + b} \leq \frac{1}{ab}

。兩邊同乘正數

ab

：

k = \frac{2 ab}{a + b} \leq \frac{ab}{ab} = ab

，等號在

a = b

時成立。得證。另一種寫法：

(ab)^{2} - (\frac{2 ab}{a + b})^{2} = ab - \frac{4 a ^{2} b ^{2}}{( a + b ) ^{2}} = ab \cdot \frac{( a + b ) ^{2} - 4 ab}{( a + b ) ^{2}} = ab \cdot \frac{( a - b ) ^{2}}{( a + b ) ^{2}} \geq 0

，又

ab

與

\frac{2 ab}{a + b}

都是正數，所以

ab \geq \frac{2 ab}{a + b} = k

。

用「平方相減」的寫法時，最後要交代兩個數都是正數，才能由平方的大小推回原來的大小。

第 19 題由第 (2) 小題

k \leq ab

，再由算幾不等式

ab \leq \frac{a + b}{2}

，所以

\frac{a + b}{2} \geq ab \geq k = 60

，得

a + b \geq 120

。兩個等號都在

a = b

時成立；

a = b

時

k = \frac{2 a ^{2}}{2 a} = a = 60

，所以

a = b = 60

確實滿足

k = 60

。答案：

a + b

的最小值為

120

，此時

a = b = 60

。

求出下界之後，要確認等號成立的條件與

k = 60

可以同時滿足，最小值才算取得到。

來回的平均時速是兩個速度的調和平均，它不大於幾何平均，幾何平均又不大於算術平均。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

武陵高中 113 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

武陵高中 113 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多重選擇第 1 題的選項 C 兩邊平方後不等式已經變了、選項 D 負數不能當分數指數的底數；第 12 題 x 和 y 只是實數，不能直接比較有理部分與根號的係數，要先由第二個條件得到 x 是 y 的兩倍；第 14 題左端點可以取到負 2，所以 b 的最大值是 7；第 16 題每小時倍數固定，18 小時還不夠，要 19 小時。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自武陵高中 113 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式、指數與對數（實數、絕對值、指數、常用對數）

武陵高中 113 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

一、多重選擇題：（每題 8 分，錯一個選項得 5 分，錯兩個選項得 2 分）

請選出正確的選項。

(A) 若 $a$ 是有理數， $b$ 是無理數，則 $ab$ 必為無理數
(B) 數線上相異三點 $A (a)$ 、 $B (b)$ 、 $P (x)$ ，若 $a < b$ 且 $2 (x - b) = 3 (a - x)$ ，則 $a < x < b$
(C) 不等式 $∣2 x + 3∣ > x$ 與不等式 $(2 x + 3)^{2} > x^{2}$ 的解相同
(D) $(- 27)^{\frac{1}{3}} = 3 - 27 = - 3$
(E) $0. \overline{9} \geq 1$

令

x = 3 + 7

，

y = 3 - 7

，請選出正確的選項。

(A) $x y = 4$
(B) $x^{2} + y^{2} = 34$
(C) $x^{3} + y^{3} = 180$
(D) $x^{4} + y^{4} = 1018$
(E) $(3 + 7)^{4}$ 的整數部分為 $1015$

解方程式

∣ x - 2∣ = 3 x

，得

x =

____。

試求

(8)^{\frac{- 2}{3}} \times (0.25)^{- 2.5} \times 464 =

____。

若

2^{x} = 6

，

2^{y} = 3

，則

2^{2 x + 3 y - 2} =

____。

設

a = lo g 100

，

b = 1 0^{l o g 7}

，則數對

(a, b) =

____。

若已知

lo g 8.9638 = 0.9527

，則

lo g 0.089638 =

____。

武陵高中奇異鳥身上的羽毛稱為「奇異毛」，若已知

6 \times 1 0^{13}

根奇異毛的重量約為

405

克，求一根奇異毛的重量為 ____ 克。（用科學記號表示並將係數部分四捨五入取兩位有效數字）

設

3^{x} = 25

，

5^{y} = 81

，則

x y =

____。

設

a > 0

且

a^{0.7} = 32

，則

a^{0.49} =

____。

若

\frac{2}{\frac{2}{x ^{2}} - 1} + 1 = 3

，求實數

x

的值為 ____。

若

x, y

為實數並滿足

x \cdot 17 + 122 + y \cdot 3 + 22 = 10 + 72

及

2^{x} = 2^{y}

，求數對

(x, y) =

____。

數線上有兩動點

A (a)

、

B (b)

，滿足

∣ a - 3∣ \leq 1

及

∣2 b + 15∣ \leq 5

，若點

P (x)

在線段

\overline{A B}

上，且

\overline{A P} : \overline{B P} = 1 : 2

，則

x

的範圍以區間表示為 ____。

已知聯立不等式

{∣ x - 1∣ > 3 ∣ x - a ∣ \leq b

的解為

4 < x \leq 12

，則

b

的最大值為 ____。

若

x > 2

，求

\frac{( x - 1 ) ^{2}}{x - 2}

的最小值為 ____。

已知培養皿中某細菌的數量每隔

3

個小時就會變為原本的

4

倍，且每小時增長的倍數固定。若在培養皿中放入

2

個細菌開始培養，則最少需經過 ____ 小時（答案請寫整數），細菌數量才會超過

10000

個。（已知

1 0^{0.3} \approx 2

）

三、計算證明題：（共 12 分）〔原卷為第 1 題的 (1)(2)(3) 三小題，即本頁第 17～19 題〕

計算證明題第 1 題（第 17～19 題）　雙十節時小煥去武陵農場玩，去程與回程皆走相同的路線，已知單趟車程距離為

150

公里，若去程的平均時速為每小時

a

公里，回程的平均時速為每小時

b

公里，來回路程的平均時速為每小時

k

公里。試回答下列各題：

(1) 試以

a

、

b

來表示

k

。（3 分）

(2) 試證明

k \leq ab

。（6 分）

(3) 若

k = 60

，試求

a + b

的最小值，以及此時的

a

及

b

各為多少？（3 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(E)

第 2 題(C)(E)

第 3 題

\frac{1}{2}

第 4 題

322

第 5 題

243

第 6 題

(2, 7)

第 7 題

- 1.0473

第 8 題

6.8 \times 1 0^{- 12}

第 9 題

8

第 10 題

82

第 11 題

\pm (3 - 1)

第 12 題

(22, 2)

第 13 題

[- 2, 1]

第 14 題

7

第 15 題

4

第 16 題

19

第 17 題

k = \frac{2 ab}{a + b}

第 18 題見詳解（證明）

第 19 題

a + b

的最小值為

120

，此時

a = b = 60

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題：實數的性質與對稱式求值

第 1 題答案 (B)(E)。(A) 錯：取

a = 0

，則

ab = 0

是有理數。(B) 對：展開得

(2 + 3) x = 3 a + 2 b

，所以

x = \frac{3 a + 2 b}{3 + 2}

，這是分點公式的形式，

P

是線段

\overline{A B}

上滿足

\overline{A P} : \overline{P B} = 2 : 3

的內分點，故

a < x < b

。(C) 錯：

∣2 x + 3∣ > x

在

x < 0

時必成立（左邊不是負數），在

x \geq 0

時

2 x + 3 > x

也成立，所以解為所有實數；而

(2 x + 3)^{2} > x^{2}

整理成

3 x^{2} + 12 x + 9 > 0

，即

(x + 1) (x + 3) > 0

，解為

x < - 3

或

x > - 1

。兩者不同，例如

x = - 2

滿足前者但不滿足後者。(D) 錯：分數指數

a^{\frac{m}{n}}

只在底數

a > 0

時有定義，所以

(- 27)^{\frac{1}{3}}

沒有意義，不能寫成等式；

3 - 27 = - 3

本身是對的。(E) 對：

0. \overline{9} = \frac{9}{9} = 1

，所以

0. \overline{9} \geq 1

成立（等號成立）。

(2 x + 3)^{2} > x^{2}

對應的其實是

∣2 x + 3∣ > ∣ x ∣

。

第 2 題答案 (C)(E)。先算

x + y = 6

、

x y = 9 - 7 = 2

。(A) 錯：

x y = 2

。(B) 錯：

x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y = 36 - 4 = 32

。(C) 對：

x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x y (x + y) = 216 - 36 = 180

。(D) 錯：

x^{4} + y^{4} = (x^{2} + y^{2})^{2} - 2 (x y)^{2} = 1024 - 8 = 1016

。(E) 對：

(3 + 7)^{4} = x^{4} = 1016 - y^{4}

；因為

2 < 7 < 3

，所以

0 < y = 3 - 7 < 1

，得

0 < y^{4} < 1

，故

1015 < x^{4} < 1016

，整數部分是

1015

。

(E) 用的是「共軛的那一項介於

0

和

1

之間」，不必真的把

(3 + 7)^{4}

乘開。

說「必為」的敘述找一個反例就能推翻；對稱式一律先算

x + y

與

x y

。

02填充第一部分（本頁第 3～8 題）：絕對值、指數律與 log

第 3 題左邊

∣ x - 2∣ \geq 0

，所以

3 x \geq 0

，即

x \geq 0

。

x - 2 = 3 x

得

x = - 1

，不合；

x - 2 = - 3 x

得

x = \frac{1}{2}

，符合

x \geq 0

。檢查：

\frac{1}{2} - 2 = \frac{3}{2} = 3 \times \frac{1}{2}

。答案

x = \frac{1}{2}

。

解出來的值要代回檢查，

x = - 1

會使右邊為負。

第 4 題全部化成以

2

為底：

(8)^{- \frac{2}{3}} = (2^{\frac{3}{2}})^{- \frac{2}{3}} = 2^{- 1}

；

(0.25)^{- 2.5} = (2^{- 2})^{- \frac{5}{2}} = 2^{5}

；

464 = (2^{6})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{3}{2}}

。相乘得

2^{- 1 + 5 + \frac{3}{2}} = 2^{\frac{11}{2}} = 2^{5} \cdot 2 = 322

。

第 5 題

2^{2 x + 3 y - 2} = \frac{( 2 ^{x} ) ^{2} \cdot ( 2 ^{y} ) ^{3}}{2 ^{2}} = \frac{36 \times 27}{4} = 243

。

第 6 題

a = lo g 100 = lo g 1 0^{2} = 2

。

lo g 7

的意思是「

10

的幾次方等於

7

」，所以

b = 1 0^{l o g 7} = 7

。答案

(a, b) = (2, 7)

。

第 7 題

0.089638 = 8.9638 \times 1 0^{- 2}

，所以

lo g 0.089638 = lo g 8.9638 + lo g 1 0^{- 2} = 0.9527 - 2 = - 1.0473

。

答案是

- 2 + 0.9527

，不是

- 2.9527

。

第 8 題一根的重量

= \frac{405}{6 \times 1 0 ^{13}} = 67.5 \times 1 0^{- 13} = 6.75 \times 1 0^{- 12}

克。係數

6.75

四捨五入取兩位有效數字得

6.8

，答案

6.8 \times 1 0^{- 12}

克。

03填充第二部分（本頁第 9～12 題）：指數律與根式

第 9 題把第一式兩邊都取

y

次方：

3^{x y} = 2 5^{y} = (5^{2})^{y} = (5^{y})^{2} = 8 1^{2} = 3^{8}

，所以

x y = 8

。

第 10 題

0.49 = 0.7 \times 0.7

，所以

a^{0.49} = (a^{0.7})^{0.7} = 3 2^{0.7} = (2^{5})^{0.7} = 2^{3.5} = 2^{3} \cdot 2 = 82

。

第 11 題移項得

\frac{2}{\frac{2}{x ^{2}} - 1} = 3 - 1

，所以

\frac{2}{x ^{2}} - 1 = \frac{2}{3 - 1} = \frac{2 ( 3 + 1 )}{2} = 3 + 1

，即

\frac{2}{x ^{2}} = 2 + 3

。於是

x^{2} = \frac{2}{2 + 3} = 2 (2 - 3) = 4 - 23 = (3 - 1)^{2}

，得

x = \pm (3 - 1)

。

x^{2}

開根號有正負兩個值，兩個都使分母不為

0

，都要寫。

第 12 題先化簡雙重根號：

17 + 122 = 17 + 272 = 9 + 8 = 3 + 22

；

3 + 22 = 2 + 1

。再看第二個條件：

2^{x} = 2^{\frac{x}{2}} = 2^{y}

，所以

x = 2 y

。代入第一式：

2 y (3 + 22) + y (1 + 2) = 10 + 72

，即

(7 + 52) y = 10 + 72

，

y = \frac{10 + 7 2}{7 + 5 2} = \frac{( 10 + 7 2 ) ( 7 - 5 2 )}{49 - 50} = \frac{70 - 50 2 + 49 2 - 70}{- 1} = 2

。所以

x = 22

，答案

(x, y) = (22, 2)

。

題目只說

x, y

是實數，不是有理數，所以不能直接比較「有理部分」和「

2

的係數」；要用第二個條件

x = 2 y

來解。

04填充第二部分（本頁第 13～16 題）：絕對值不等式、算幾不等式與指數成長

第 13 題

∣ a - 3∣ \leq 1

得

2 \leq a \leq 4

；

∣2 b + 15∣ \leq 5

得

- 5 \leq 2 b + 15 \leq 5

，即

- 10 \leq b \leq - 5

。

P

在

\overline{A B}

上且

\overline{A P} : \overline{B P} = 1 : 2

，由分點公式

x = \frac{2 a + b}{3}

。因為

4 \leq 2 a \leq 8

、

- 10 \leq b \leq - 5

，相加得

- 6 \leq 2 a + b \leq 3

，所以

- 2 \leq x \leq 1

；

a

與

b

各自獨立變動，中間的值都取得到。答案

[- 2, 1]

。

\overline{A P} : \overline{B P} = 1 : 2

時靠近

A

，

a

的係數是

2

：

x = \frac{2 a + b}{3}

。

第 14 題

∣ x - 1∣ > 3

的解是

x < - 2

或

x > 4

；

∣ x - a ∣ \leq b

的解是

a - b \leq x \leq a + b

。兩者的共同部分要剛好是

4 < x \leq 12

，所以右端

a + b = 12

；左端

a - b

不能超過

4

（否則

4

的右邊會少一段），也不能小於

- 2

（否則會多出

x < - 2

的一段），即

- 2 \leq a - b \leq 4

。把

a = 12 - b

代入：

- 2 \leq 12 - 2 b \leq 4

，得

4 \leq b \leq 7

。

b

的最大值是

7

（此時

a = 5

，第二式的解為

- 2 \leq x \leq 12

，與第一式的共同部分正是

4 < x \leq 12

）。

a - b = - 2

可以取到：

x = - 2

本身不滿足

x < - 2

，不會多出解。

第 15 題令

t = x - 2

，則

t > 0

且

x - 1 = t + 1

。

\frac{( x - 1 ) ^{2}}{x - 2} = \frac{( t + 1 ) ^{2}}{t} = t + \frac{1}{t} + 2

。由算幾不等式

t + \frac{1}{t} \geq 2 t \cdot \frac{1}{t} = 2

，所以原式

\geq 4

；等號在

t = \frac{1}{t}

，即

t = 1

、

x = 3

時成立。最小值為

4

。

用算幾不等式要確認兩項都是正數，而且等號取得到。

第 16 題每小時增長的倍數固定，每

3

小時變成

4

倍，所以經過

t

小時後數量為

2 \times 4^{\frac{t}{3}}

。由

1 0^{0.3} \approx 2

得

4 = 2^{2} \approx 1 0^{0.6}

，所以

4^{\frac{t}{3}} \approx 1 0^{0.2 t}

。要

2 \times 4^{\frac{t}{3}} > 10000

，即

4^{\frac{t}{3}} > 5000 = \frac{1 0 ^{4}}{2} \approx 1 0^{3.7}

，得

0.2 t > 3.7

，

t > 18.5

。取整數，最少需經過

19

小時。

驗證：

18

小時時是

2 \times 4^{6} = 8192

個，還不到

10000

；

19

小時時約

1.3

萬個。

由解回推係數時，先把每個不等式各自寫成區間，再畫在數線上比對端點。

05計算證明題（本頁第 17～19 題）：平均時速與算幾不等式

第 17 題去程花的時間是

\frac{150}{a}

小時，回程花的時間是

\frac{150}{b}

小時，來回總路程是

300

公里。平均時速＝總路程÷總時間，所以

k = \frac{300}{\frac{150}{a} + \frac{150}{b}} = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2 ab}{a + b}

。

平均時速不是

\frac{a + b}{2}

；要用總路程除以總時間。

第 18 題

a

、

b

都是正數。由算幾不等式

\frac{a + b}{2} \geq ab > 0

，兩邊取倒數（正數取倒數，不等號方向相反）得

\frac{2}{a + b} \leq \frac{1}{ab}

。兩邊同乘正數

ab

：

k = \frac{2 ab}{a + b} \leq \frac{ab}{ab} = ab

，等號在

a = b

時成立。得證。另一種寫法：

(ab)^{2} - (\frac{2 ab}{a + b})^{2} = ab - \frac{4 a ^{2} b ^{2}}{( a + b ) ^{2}} = ab \cdot \frac{( a + b ) ^{2} - 4 ab}{( a + b ) ^{2}} = ab \cdot \frac{( a - b ) ^{2}}{( a + b ) ^{2}} \geq 0

，又

ab

與

\frac{2 ab}{a + b}

都是正數，所以

ab \geq \frac{2 ab}{a + b} = k

。

用「平方相減」的寫法時，最後要交代兩個數都是正數，才能由平方的大小推回原來的大小。

第 19 題由第 (2) 小題

k \leq ab

，再由算幾不等式

ab \leq \frac{a + b}{2}

，所以

\frac{a + b}{2} \geq ab \geq k = 60

，得

a + b \geq 120

。兩個等號都在

a = b

時成立；

a = b

時

k = \frac{2 a ^{2}}{2 a} = a = 60

，所以

a = b = 60

確實滿足

k = 60

。答案：

a + b

的最小值為

120

，此時

a = b = 60

。

求出下界之後，要確認等號成立的條件與

k = 60

可以同時滿足，最小值才算取得到。

來回的平均時速是兩個速度的調和平均，它不大於幾何平均，幾何平均又不大於算術平均。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

武陵高中 113 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

武陵高中 113 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自武陵高中 113 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

武陵高中 113 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 19 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多重選擇題：實數的性質與對稱式求值

02填充第一部分（本頁第 3～8 題）：絕對值、指數律與 log

03填充第二部分（本頁第 9～12 題）：指數律與根式

04填充第二部分（本頁第 13～16 題）：絕對值不等式、算幾不等式與指數成長

05計算證明題（本頁第 17～19 題）：平均時速與算幾不等式

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

武陵高中 113 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

武陵高中 113 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

武陵高中 113 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 19 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多重選擇題：實數的性質與對稱式求值

02填充第一部分（本頁第 3～8 題）：絕對值、指數律與 log

03填充第二部分（本頁第 9～12 題）：指數律與根式

04填充第二部分（本頁第 13～16 題）：絕對值不等式、算幾不等式與指數成長

05計算證明題（本頁第 17～19 題）：平均時速與算幾不等式

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

武陵高中 113 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

武陵高中 113 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

武陵高中 113 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

武陵高中 113 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

武陵高中 113 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

武陵高中 113 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

武陵高中 113 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

武陵高中 113 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？