武陵高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (4)(5)。$\left|\overrightarrow{OP}\right|=\left|\overrightarrow{OQ}\right|=2$，設兩向量的夾角為 $\theta$，則 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=2\cdot 2\cos \theta =4\cos \theta$。

從原點出發、與直線 $L$ 夾銳角 $30^{\circ }$ 的射線共有四條：以 $L$ 的一個方向為起點量角，方向角是 $30^{\circ }$、$-30^{\circ }$、$150^{\circ }$、$210^{\circ }$。每條射線與 $\Gamma$ 恰交一點，$P$、$Q$ 是這四點中相異的兩點。任取兩條，夾角只有三種：

$30^{\circ }$ 與 $-30^{\circ }$、$150^{\circ }$ 與 $210^{\circ }$ 夾 $60^{\circ }$；$30^{\circ }$ 與 $150^{\circ }$、$-30^{\circ }$ 與 $210^{\circ }$ 夾 $120^{\circ }$；$30^{\circ }$ 與 $210^{\circ }$、$-30^{\circ }$ 與 $150^{\circ }$ 夾 $180^{\circ }$。

所以內積只可能是 $4\cos 60^{\circ }=2$、$4\cos 120^{\circ }=-2$、$4\cos 180^{\circ }=-4$。

(1) 錯誤。 $4\cos \theta =2\sqrt{3}$ 要 $\theta =30^{\circ }$，不會發生。

(2) 錯誤。 $4\cos \theta =-2\sqrt{3}$ 要 $\theta =150^{\circ }$，不會發生。

(3) 錯誤。 $4\cos \theta =0$ 要 $\theta =90^{\circ }$，不會發生。

(4) 正確。 $P$、$Q$ 在 $L$ 的同一側、分別靠近 $L$ 的兩個方向時，夾角 $120^{\circ }$，內積 $-2$。

(5) 正確。 $P$、$Q$ 對稱於原點（$\overrightarrow{OQ}=-\overrightarrow{OP}$）時，夾角 $180^{\circ }$，內積 $-4$。

答案 (2)(3)(5)。

(1) 錯誤。 $\pi$ 弧度就是 $180^{\circ }$，$\cos \pi =-1$。

(2) 正確。 $\frac{79}{5}\pi =16\pi -\frac{\pi }{5}$，與 $-\frac{\pi }{5}$ 同界，所以 $\sin \frac{79}{5}\pi =\sin \left(-\frac{\pi }{5}\right)=-\sin \frac{\pi }{5}<0$。

(3) 正確。 同界角相差 $2\pi$ 的整數倍。$2\pi \approx 6.283$，$30÷6.283\approx 4.77$，所以 $30-4\times 2\pi =30-8\pi \approx 4.867>0$，再減一次 $2\pi$ 就是負的。最小正同界角為 $30-8\pi$ 弳。

(4) 錯誤。 $\cos \frac{6}{7}\pi =\cos \left(\pi -\frac{\pi }{7}\right)=-\cos \frac{\pi }{7}$，$\sin \frac{8}{7}\pi =\sin \left(\pi +\frac{\pi }{7}\right)=-\sin \frac{\pi }{7}$。因為 $0<\frac{\pi }{7}<\frac{\pi }{4}$，$\cos \frac{\pi }{7}>\sin \frac{\pi }{7}$，兩者不相等（約 $-0.901$ 與 $-0.434$）。

(5) 正確。 由 $3<\pi <3.25$ 得 $3\pi <{\pi }^2<3.25\pi =\frac{13}{4}\pi$。所以 ${\pi }^2$ 與 ${\pi }^2-2\pi$ 同界，而 $\pi <{\pi }^2-2\pi <\frac{5}{4}\pi$，是第三象限角，而且還沒轉到 $\frac{5}{4}\pi$。這樣的角正弦、餘弦都是負的，但與負 $x$ 軸的夾角小於 $\frac{\pi }{4}$，所以 $\left|\sin {\pi }^2\right|<\left|\cos {\pi }^2\right|$，也就是 $\sin {\pi }^2>\cos {\pi }^2$。

答案 (1)(4)(5)。由圖，最大值 $9$、最小值 $-1$。$a>0$，所以振幅 $a=\frac{9-(-1)}{2}=5$，中線 $d=\frac{9+(-1)}{2}=4$。

$A$ 是最高點、$B$ 是右邊相鄰的最低點，兩者 $x$ 坐標相差半個週期：$\frac{4\pi }{9}-\frac{\pi }{9}=\frac{\pi }{3}$，週期 $=\frac{2\pi }{3}$。$b>0$，週期 $\frac{2\pi }{b}=\frac{2\pi }{3}$，所以 $b=3$。

$A$ 是最高點，$\sin \left(3\cdot \frac{\pi }{9}+c\right)=1$，即 $\frac{\pi }{3}+c=\frac{\pi }{2}+2k\pi$（$k$ 為整數），$c=\frac{\pi }{6}+2k\pi$。在 $0\le c\le 2\pi$ 內只有 $c=\frac{\pi }{6}$。代 $B$ 檢查：$3\cdot \frac{4\pi }{9}+\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi }{2}$，$f\left(\frac{4\pi }{9}\right)=5\cdot (-1)+4=-1$。

(1) 正確。 $a=5$。

(2) 錯誤。 $b=3$。

(3) 錯誤。 $c=\frac{\pi }{6}$；若 $c=\frac{\pi }{3}$，$f\left(\frac{\pi }{9}\right)=5\sin \frac{2\pi }{3}+4\ne 9$。

(4) 正確。 $c=\frac{\pi }{6}$。

(5) 正確。 $d=4$。

在同一坐標平面畫出 $y=3\sin x$（週期 $2\pi$、振幅 $3$）與 $y=2\sin 2x$（週期 $\pi$、振幅 $2$），分段比較：

在 $x=0$、$\pi$、$2\pi$，兩個函數值都是 $0$，是三個交點。

$0<x<\frac{\pi }{2}$：取 $x=\frac{\pi }{6}$，$2\sin \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\approx 1.73$ 大於 $3\sin \frac{\pi }{6}=1.5$；取 $x=\frac{\pi }{4}$，$2\sin \frac{\pi }{2}=2$ 小於 $3\sin \frac{\pi }{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2.12$。所以兩圖形在 $\frac{\pi }{6}$ 與 $\frac{\pi }{4}$ 之間至少交叉一次。在 $0<x<\frac{\pi }{4}$ 兩條曲線都上升，由圖形看，$y=2\sin 2x$ 先在上方、到 $\frac{\pi }{4}$ 前被 $y=3\sin x$ 追過，只交叉一次（這一步是靠圖判斷）。從 $\frac{\pi }{4}$ 到 $\frac{\pi }{2}$，$2\sin 2x\le 2<\frac{3\sqrt{2}}{2}\le 3\sin x$，不再相交。所以這一段恰有一個交點。

$\frac{\pi }{2}<x<\pi$：$2\sin 2x<0<3\sin x$，沒有交點。

$\pi <x<\frac{3\pi }{2}$：$3\sin x<0<2\sin 2x$，沒有交點。

$\frac{3\pi }{2}<x<2\pi$：把 $x$ 換成 $2\pi -x$，兩個函數值都變號（$\sin (2\pi -x)=-\sin x$，$\sin (4\pi -2x)=-\sin 2x$），所以兩個圖形都對稱於點 $(\pi ,0)$，這一段的情形與 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 對稱，也恰有一個交點。

合計 $3+1+1=5$ 個交點。

$P$ 在以 $\overline{AB}$ 為直徑的半圓上，$\angle APB=90^{\circ }$；$P$ 也在以 $\overline{AD}$ 為直徑的半圓上，$\angle APD=90^{\circ }$。所以 $\angle BPD=180^{\circ }$，$B$、$P$、$D$ 三點共線，且 $\overline{AP}\perp \overline{BD}$。

直角 $△ABD$ 中，$\overline{AD}=\overline{BC}=6\sqrt{2}$，$\tan \angle ADB=\frac{2\sqrt{6}}{6\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\angle ADB=30^{\circ }$，所以 $\overline{AP}=\overline{AD}\sin 30^{\circ }=3\sqrt{2}$。

鋪色區域被弦 $\overline{AP}$ 分成兩個弓形：

靠 $\overline{AD}$ 這側的邊界是以 $\overline{AB}$ 為直徑的圓弧。這個圓的圓心是 $\overline{AB}$ 中點、半徑 $\sqrt{6}$，弦長 $3\sqrt{2}$。弦的一半 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ 除以半徑 $\sqrt{6}$ 得 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以弦所對的圓心角的一半是 $60^{\circ }$，圓心角 $120^{\circ }$。弓形面積 $=$ 扇形 $-$ 三角形 $=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot \frac{2\pi }{3}-\frac{1}{2}\cdot 6\cdot \sin 120^{\circ }=2\pi -\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

靠 $\overline{AB}$ 這側的邊界是以 $\overline{AD}$ 為直徑的圓弧。這個圓半徑 $3\sqrt{2}$，弦長也是 $3\sqrt{2}$，圓心與 $A$、$P$ 構成正三角形，圓心角 $60^{\circ }$。弓形面積 $=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot \frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 18=3\pi -\frac{9\sqrt{3}}{2}$。

鋪色面積 $=\left(2\pi -\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)+\left(3\pi -\frac{9\sqrt{3}}{2}\right)=5\pi -6\sqrt{3}$。所以 $k=5$、$m=-6$、$n=3$，$k+m+n=2$。

方程式的解就是直線 $y=\frac{x}{a}$ 與曲線 $y=\sin x$ 交點的 $x$ 坐標。兩個圖形都對稱於原點，$x=0$ 一定是解，其餘的解正負成對。所以「$7$ 個解」就是「恰有 $3$ 個正的解」。又 $\sin x\le 1$，正的解都滿足 $\frac{x}{a}\le 1$，即 $0<x\le a$。在 $\pi <x<2\pi$、$3\pi <x<4\pi$ 這些 $\sin x<0$ 的區段，直線在 $x$ 軸上方、曲線在下方，不會相交，所以只要看各個波峰。

第一個波峰（$0<x<\pi$）：$a=1$ 時直線 $y=x$ 在 $x>0$ 都在曲線上方，只有 $x=0$ 一個解；$a\ge 2$ 時直線比 $y=x$ 平，在 $0<x<\pi$ 恰交一次。

第二個波峰（$2\pi <x<3\pi$，最高點 $\left(\frac{5\pi }{2},1\right)$，$\frac{5\pi }{2}\approx 7.854$）： - $2\le a\le 6$：$a<2\pi$，正的解只會在第一個波峰，共 $3$ 個解。 - $a=7$：正的解要 $x\le 7$，而 $2\pi <x\le 7<\frac{5\pi }{2}$ 這段曲線上升，$\sin x\le \sin 7\approx 0.657$，直線卻 $\ge \frac{2\pi }{7}\approx 0.898$，碰不到，共 $3$ 個解。 - $a\ge 8$：直線在 $x=\frac{5\pi }{2}$ 的高度 $\frac{5\pi }{2a}\le \frac{5\pi }{16}\approx 0.98<1$，從曲線的最高點下方穿過，與第二個波峰交兩次，正的解至少 $3$ 個。

第三個波峰（$4\pi <x<5\pi$，最高點在 $\frac{9\pi }{2}\approx 14.137$）： - $a\le 14$：只要看 $a=14$（$a$ 更小時直線更高、範圍 $x\le a$ 更短）。正的解要 $x\le 14<\frac{9\pi }{2}$，而 $4\pi \le x\le 14$ 這段 $\sin x$ 與 $\frac{x}{14}$ 都遞增。把它切成 $[4\pi ,13.6]$、$[13.6,13.8]$、$[13.8,13.95]$、$[13.95,14]$ 四段：每段曲線的最大值（右端）$\sin 13.6\approx 0.859$、$\sin 13.8\approx 0.944$、$\sin 13.95\approx 0.983$、$\sin 14\approx 0.991$，都小於該段直線的最小值（左端）$\frac{4\pi }{14}\approx 0.898$、$\frac{13.6}{14}\approx 0.971$、$\frac{13.8}{14}\approx 0.986$、$\frac{13.95}{14}\approx 0.996$，所以碰不到。 - $a\ge 15$：直線在 $x=\frac{9\pi }{2}$ 的高度 $\frac{9\pi }{2a}\le \frac{9\pi }{30}\approx 0.94<1$，又與第三個波峰交兩次，正的解至少 $5$ 個，總共至少 $11$ 個解。

所以恰有 $7$ 個解的正整數 $a$ 是 $8,9,10,11,12,13,14$，共 $7$ 個。

$y=3\sin 2x$ 的週期是 $\pi$。$x=\frac{\pi }{4}$ 時 $2x=\frac{\pi }{2}$，$y=3$；$x=\frac{5}{4}\pi$ 時 $2x=\frac{5\pi }{2}$，$y=3$。所以這一段恰是一個完整週期：從最高點出發，中間在 $x=\frac{3}{4}\pi$ 降到最低點 $-3$，再回到最高點，兩端都碰到直線 $y=3$。所求區域就是直線 $y=3$ 與曲線之間的部分。

以 $x$ 軸為界來算。直線 $y=3$ 與 $x$ 軸在 $\frac{\pi }{4}\le x\le \frac{5}{4}\pi$ 之間是寬 $\pi$、高 $3$ 的長方形，面積 $3\pi$。所求面積 $=3\pi -$（曲線在 $x$ 軸上方的部分）$+$（曲線在 $x$ 軸下方的部分）。

曲線在 $x$ 軸上方的是 $\frac{\pi }{4}\le x\le \frac{\pi }{2}$ 與 $\pi \le x\le \frac{5}{4}\pi$ 兩段，各是半個「波峰」，合起來恰是一個完整波峰；在 $x$ 軸下方的是 $\frac{\pi }{2}\le x\le \pi$ 的一個完整「波谷」。正弦曲線的波峰與波谷形狀相同（對稱於 $(\frac{\pi }{2},0)$ 這類零點：$3\sin 2(\pi -x)=-3\sin 2x$），面積相等，一加一減互相抵消。

所以所求面積 $=3\pi$，答案格填 $3$。

設 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，則 $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$。四個坐標都在 $[0,2]$ 內，所以 $u=x_2-x_1$、$w=y_2-y_1$ 都可以是 $[-2,2]$ 中的任何數，且只能落在這個範圍。

$\vec{v}+\overrightarrow{AB}=(-1+u,4+w)$，${\left|\vec{v}+\overrightarrow{AB}\right|}^2=(u-1{)}^2+(w+4{)}^2$。兩項分開取最小：$(u-1{)}^2$ 在 $u=1$ 時為 $0$；$w+4\ge -2+4=2$，所以 $(w+4{)}^2\ge 4$，在 $w=-2$ 時等號成立。最小值為 $0+4=4$。