段考詳解範圍：數乙積分（反導函數與不定積分、微積分基本定理、定積分與面積、函數的平均值、消費者剩餘與生產者剩餘）；卷面未印範圍，依題目內容整理

武陵高中 114 上
高三第三次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

多重選擇題 2 題共 16 分；填充題共 10 格（原卷第 1～8 題，第 1、8 題各有兩小題），每格 6 分，共 60 分；計算題 2 題共 24 分。原卷各大題各自從 1 編號，本頁依序連續編為第 1～14 題（填充第 1～8 題為第 3～12 題，計算題第一、二題為第 13、14 題）。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多重選擇題(每題 8 分，錯一個選項得 5 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個以上得 0 分，共 16 分)

如圖所示，已知 A,B,C,D 四個區域的面積分別為 3,6,1,5，則下列選項哪些正確？

(1) $\int_{1}^{7} f (x) d x > 0$
(2) $\int_{1}^{4} f (x) d x = 9$
(3) $\int_{1}^{4} f (x) d x < \int_{4}^{7} f (x) d x$
(4) $\int_{1}^{7} ∣ f (x) ∣ d x = 15$
(5) $\int_{1}^{7} (∣ f (x) ∣ - f (x)) d x > 10$

載入中...

已知有一玩具廠商在販賣某公仔。該公仔在市場機制下銷售

x

隻時的需求函數為

f (x) = 5 (1 - 0.002 x)

(千元)，其函數圖形如下圖所示。設此公仔的銷售量落在

0 \sim 300

隻之間，試選出正確選項。

(1) P 點坐標為 $(200, 3)$
(2) B 點坐標為 $(500, 0)$
(3) 當定價為 3 千元時，玩具廠商的實際收入為 60 萬元。
(4) 承(3)，此批玩具(銷售量為 0~200 隻)的潛在總價值為 100 萬元。
(5) 承(3)，此批玩具(銷售量為 0~200 隻)的消費者剩餘為 40 萬元。

載入中...

二、填充題(每格 6 分，共 60 分)

填充題第 1 題（本頁第 3～4 題）（第 3～4 題）　

(1) 求不定積分：

\int (4 x^{3} - 9 x^{2} - 4 x + 2) d x =

____。

(2) 求定積分：

\int_{1}^{4} (3 x^{2} - 4 x) d x =

____。

已知

F (x)

為

f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 1

的反導函數，且

F (1) = 5

，求

F (2) =

____。

已知

\int_{1}^{4} f (x) d x = 4

，

\int_{2}^{6} f (x) d x = 7

，

\int_{1}^{6} f (x) d x = 8

，求

\int_{2}^{4} f (x) d x =

____。

某糕點舖銷售鳳梨酥，當生產

x

個時的供給函數為

S (x) = 30 + 0.2 x

，若現在每個鳳梨酥的價格是

60

元，請問此時的生產者剩餘為 ____ 元。

某日

x

時的氣溫可用以下函數表示：

f (x) = - \frac{1}{6} x^{2} + 4 x + 1

(度)，求該日從早上

6

時到中午

12

時的平均溫度為 ____ 度。

已知

f (x)

為一個領導係數為

1

的三次多項式，且在

x = 1, 5

處有極值。若

\int_{1}^{5} f (x) d x = 0

，求

f (2) =

____。

計算

\int_{- 1}^{5} ∣ ∣ x - 1 ∣ - 1 ∣ d x =

____。

填充題第 8 題（本頁第 11～12 題）（第 11～12 題）　計算

(1)

\int_{0}^{4} 16 - x^{2} d x =

____。

(2)

\int_{2}^{23} 16 - x^{2} d x =

____。

計算題(共 24 分)

已知

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 x^{2} - 4 x + 5 x - 1, x \leq 1, 1 < x \leq 3, x > 3

， (1) 試描繪函數

y = f (x)

的圖形 (5 分) (2) 求

\int_{0}^{4} f (x) d x =

____。(7 分)

某商品的需求函數為

D (x) = - x^{2} + 30 x + 1500

，供給函數為

S (x) = 10 x

。在市場均衡的狀態下，試求 (1) 均衡點的坐標(2 分) (2) 消費者剩餘(4 分) (3) 生產者剩餘(4 分) (4) 總剩餘(2 分)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(3)(4)

第 2 題(1)(2)(3)

第 3 題

x^{4} - 3 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + C

第 4 題

33

第 5 題

14

第 6 題

3

第 7 題

2250

第 8 題

23

第 9 題

11

第 10 題

6

第 11 題

4 π

第 12 題

\frac{4}{3} π

第 13 題(1) 圖形見詳解；(2)

\frac{43}{6}

第 14 題(1)

(50, 500)

；(2)

\frac{137500}{3}

；(3)

12500

；(4)

\frac{175000}{3}

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01多選第 1 題（第 1 題）：定積分是有號面積

第 1 題

答案 (1)(3)(4)。

① 區域 A、C 在 $x$ 軸下方，定積分要算成負的；B、D 在上方，算成正的：

$\int_{1}^{2} f (x) d x = - 3, \int_{2}^{4} f (x) d x = 6, \int_{4}^{5} f (x) d x = - 1, \int_{5}^{7} f (x) d x = 5$

(1) 正確。 $\int_{1}^{7} f (x) d x = - 3 + 6 - 1 + 5 = 7 > 0$ 。

(2) 錯誤。 $\int_{1}^{4} f (x) d x = - 3 + 6 = 3$ ，不是 $9$ （ $9$ 是把面積直接相加）。

(3) 正確。 左邊是 $3$ ；右邊 $\int_{4}^{7} f (x) d x = - 1 + 5 = 4$ ， $3 < 4$ 。

(4) 正確。 加了絕對值後，下方的區域翻到上方，全部算正： $3 + 6 + 1 + 5 = 15$ 。

(5) 錯誤。 由 (1)(4)， $\int_{1}^{7} (∣ f (x) ∣ - f (x)) d x = 15 - 7 = 8$ ，不大於 $10$ 。

載入中...

(5) 也可以這樣看：

f (x) \geq 0

時

∣ f (x) ∣ - f (x) = 0

；

f (x) < 0

時等於

- 2 f (x)

。所以只剩 A、C 兩塊各算兩倍：

2 (3 + 1) = 8

。

定積分是有號面積：x 軸上方算正、下方算負；要算真正的面積就先加絕對值。

02多選第 2 題（第 2 題）：需求函數、實際收入與消費者剩餘

第 2 題

答案 (1)(2)(3)。 $f (x) = 5 - 0.01 x$ （千元）。

(1) 正確。 P 是價格為 $3$ 千元的點： $5 - 0.01 x = 3$ ， $x = 200$ ，P 為 $(200, 3)$ 。

(2) 正確。 B 在 $x$ 軸上： $5 - 0.01 x = 0$ ， $x = 500$ ，B 為 $(500, 0)$ 。題幹說銷售量落在 $0 \sim 300$ 隻，B 不在這一段裡；這裡 B 指需求直線與 $x$ 軸的交點，由函數式算出 $(500, 0)$ ，學校答案也判 (2) 正確。

(3) 正確。 定價 $3$ 千元時賣出 $200$ 隻，收入 $3 \times 200 = 600$ 千元，即 $60$ 萬元。

(4) 錯誤。 潛在總價值是需求曲線在 $0 \leq x \leq 200$ 下方的面積：

$\int_{0}^{200} (5 - 0.01 x) d x = [5 x - 0.005 x^{2}]_{0}^{200} = 1000 - 200 = 800$

單位是千元，即 $80$ 萬元，不是 $100$ 萬元。

(5) 錯誤。 消費者剩餘＝潛在總價值－實際收入＝ $800 - 600 = 200$ 千元，即 $20$ 萬元，不是 $40$ 萬元。

載入中...

這一段需求曲線是直線，也可以直接用圖形算：潛在總價值是上底

5

、下底

3

、高

200

的梯形，

\frac{( 5 + 3 ) \times 200}{2} = 800

；消費者剩餘是底

200

、高

2

的三角形，

\frac{200 \times 2}{2} = 200

。單位都是千元。

需求曲線下方的面積是潛在總價值，扣掉實際收入（價格乘數量的長方形）就是消費者剩餘；最後留意千元與萬元的換算。

03填充第 1～2 題（第 3～5 題）：不定積分、微積分基本定理、反導函數

第 3 題

逐項用 $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ ：

$\int (4 x^{3} - 9 x^{2} - 4 x + 2) d x = 4 \cdot \frac{x ^{4}}{4} - 9 \cdot \frac{x ^{3}}{3} - 4 \cdot \frac{x ^{2}}{2} + 2 x + C$

答案 $x^{4} - 3 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + C$ （ $C$ 為任意常數）。

檢查：對答案微分

4 x^{3} - 9 x^{2} - 4 x + 2

，回到被積函數。

第 4 題

① 找一個反導函數： $F (x) = x^{3} - 2 x^{2}$ 。

② 由微積分基本定理：

$\int_{1}^{4} (3 x^{2} - 4 x) d x = F (4) - F (1) = (64 - 32) - (1 - 2) = 32 + 1 = 33$

答案 $33$ 。

第 5 題

① $f (x)$ 的反導函數都長這樣： $F (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + x + C$ 。

② 用 $F (1) = 5$ 定常數： $2 - 2 + 1 + C = 5$ ， $C = 4$ 。

③ $F (2) = 16 - 8 + 2 + 4 = 14$ 。

答案 $14$ 。

另解：

F (2) - F (1) = \int_{1}^{2} (6 x^{2} - 4 x + 1) d x = [2 x^{3} - 2 x^{2} + x]_{1}^{2} = 10 - 1 = 9

，所以

F (2) = 5 + 9 = 14

。

不定積分要加常數 C；題目給一個函數值，就是用來定這個常數。

04填充第 3 題（第 6 題）：定積分的區間可加性

第 6 題

① 把區間畫在數線上： $[1, 6]$ 可以拆成 $[1, 2]$ 與 $[2, 6]$ 。

$\int_{1}^{2} f (x) d x = \int_{1}^{6} f (x) d x - \int_{2}^{6} f (x) d x = 8 - 7 = 1$

② $[1, 4]$ 可以拆成 $[1, 2]$ 與 $[2, 4]$ ：

$\int_{2}^{4} f (x) d x = \int_{1}^{4} f (x) d x - \int_{1}^{2} f (x) d x = 4 - 1 = 3$

答案 $3$ 。

載入中...

區間可加性：同一個函數，相鄰區間的定積分可以相加，也可以相減拆開。

05填充第 4 題（第 7 題）：生產者剩餘

第 7 題

① 價格 $60$ 元時的供給量： $30 + 0.2 x = 60$ ， $x = 150$ 。

② 生產者剩餘是價格線 $y = 60$ 與供給曲線之間、 $0 \leq x \leq 150$ 的面積：

$\int_{0}^{150} (60 - (30 + 0.2 x)) d x = \int_{0}^{150} (30 - 0.2 x) d x = [30 x - 0.1 x^{2}]_{0}^{150}$

③ $= 4500 - 2250 = 2250$ 。

答案 $2250$ 元。

載入中...

這塊區域是直角三角形，兩股為

150

與

60 - 30 = 30

，面積

\frac{150 \times 30}{2} = 2250

，可以用來驗算。

生產者剩餘＝價格線下方、供給曲線上方的面積（從 0 積到成交量）。

06填充第 5 題（第 8 題）：函數的平均值

第 8 題

① 函數在 $[a, b]$ 上的平均值是 $\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ ，這裡 $a = 6$ 、 $b = 12$ 。

② 先算定積分：

$\int_{6}^{12} (- \frac{1}{6} x^{2} + 4 x + 1) d x = [- \frac{1}{18} x^{3} + 2 x^{2} + x]_{6}^{12}$

③ 代入上下限： $x = 12$ 時 $- 96 + 288 + 12 = 204$ ； $x = 6$ 時 $- 12 + 72 + 6 = 66$ ；相減得 $138$ 。

④ 平均溫度 $= \frac{138}{12 - 6} = 23$ 。

答案 $23$ 度。

載入中...

圖上的意思：高

23

、寬

6

的長方形面積

138

，和曲線下方

6

時到

12

時的面積相同。

平均值＝定積分除以區間長度：把曲線下的面積攤平成同樣寬的長方形，長方形的高就是平均值。

07填充第 6 題（第 9 題）：由極值與定積分條件求三次函數

第 9 題

① $f (x)$ 領導係數為 $1$ ，所以 $f^{'} (x)$ 是領導係數為 $3$ 的二次式； $x = 1, 5$ 處有極值， $f^{'} (1) = f^{'} (5) = 0$ ：

$f^{'} (x) = 3 (x - 1) (x - 5) = 3 x^{2} - 18 x + 15$

② 取反導函數： $f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + c$ 。

③ 用積分條件定 $c$ ：

$\int_{1}^{5} f (x) d x = [\frac{x ^{4}}{4} - 3 x^{3} + \frac{15}{2} x^{2} + c x]_{1}^{5} = 156 - 372 + 180 + 4 c = - 36 + 4 c$

④ $- 36 + 4 c = 0$ ， $c = 9$ ， $f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 9$ 。

⑤ $f (2) = 8 - 36 + 30 + 9 = 11$ 。

答案 $11$ 。

載入中...

更快的看法：三次函數的圖形對稱於它的對稱中心，對稱中心的

x

坐標是兩極值點的中點

x = 3

。

\int_{1}^{5} f (x) d x = 0

表示

[1, 3]

與

[3, 5]

的有號面積互相抵消，所以對稱中心在

x

軸上，

f (3) = 0

，由

27 - 81 + 45 + c = 0

也得

c = 9

。

由極值點寫出導函數，取反導函數後只剩一個常數，再用題目的積分條件把它定出來。

08填充第 7 題（第 10 題）：雙重絕對值的定積分

第 10 題

① 先拆裡面的絕對值： $x \geq 1$ 時 $∣ x - 1 ∣ - 1 = x - 2$ ； $x < 1$ 時 $∣ x - 1 ∣ - 1 = - x$ 。

② 再拆外面的絕對值，得到 $y = ∣ ∣ x - 1 ∣ - 1 ∣$ 在 $[- 1, 5]$ 上是一條折線，轉折點為

$(- 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 0), (5, 3)$

③ 函數值都不小於 $0$ ，所求就是折線下方的面積： $[- 1, 2]$ 上是三個底 $1$ 、高 $1$ 的三角形， $[2, 5]$ 上是底 $3$ 、高 $3$ 的三角形：

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{3 \times 3}{2} = \frac{3}{2} + \frac{9}{2} = 6$

答案 $6$ 。

載入中...

也可以逐段積分：

\int_{- 1}^{0} (- x) d x + \int_{0}^{1} x d x + \int_{1}^{2} (2 - x) d x + \int_{2}^{5} (x - 2) d x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = 6

。

含絕對值的定積分：先找出絕對值內為 0 的點把區間切開，畫出折線圖，用面積算最快。

09填充第 8 題（第 11、12 題）：用圓的面積算定積分

第 11 題

① $y = 16 - x^{2}$ 就是 $x^{2} + y^{2} = 16$ 、 $y \geq 0$ ，圓心在原點、半徑 $4$ 的上半圓。

② $0 \leq x \leq 4$ 的部分是第一象限的四分之一圓，函數值都不小於 $0$ ，定積分就是它的面積：

$\int_{0}^{4} 16 - x^{2} d x = \frac{1}{4} \times π \times 4^{2} = 4 π$

答案 $4 π$ 。

載入中...

第 12 題

① 在圓上取 $P (2, 23)$ 、 $Q (23, 2)$ 。所求是直線 $x = 2$ 、 $x = 23$ 、 $x$ 軸與圓弧 $P Q$ 圍成的區域面積。

② $\overline{O P}$ 與 $x$ 軸的夾角是 $6 0^{\circ}$ （因為 $P$ 的坐標是 $(4 cos 6 0^{\circ}, 4 sin 6 0^{\circ})$ ）， $\overline{O Q}$ 與 $x$ 軸的夾角是 $3 0^{\circ}$ ，所以 $∠ P O Q = 3 0^{\circ}$ 。

③ 所求區域＝扇形 $O P Q$ ＋三角形 $O$ 、 $(23, 0)$ 、 $Q$ －三角形 $O$ 、 $(2, 0)$ 、 $P$ 。

④ 兩個直角三角形的面積都是 $\frac{1}{2} \times 2 \times 23 = 23$ ，正好互相抵消。

⑤ 所求＝扇形 $O P Q$ 的面積 $= π \times 4^{2} \times \frac{30}{360} = \frac{4}{3} π$ 。

答案 $\frac{4}{3} π$ 。

載入中...

被積函數是根號 r² 減 x² 時，圖形是半圓；定積分就換成扇形與三角形的面積來算。

10計算題第一題（第 13 題）：分段函數的圖形與定積分

第 13 題

(1) ① $x \leq 1$ ：水平線 $y = 2$ 。

② $1 < x \leq 3$ ： $y = x^{2} - 4 x + 5 = (x - 2)^{2} + 1$ ，開口向上的拋物線，頂點 $(2, 1)$ ，經過 $(1, 2)$ 、 $(3, 2)$ 。

③ $x > 3$ ：直線 $y = x - 1$ ，從 $(3, 2)$ 往右上，經過 $(4, 3)$ 、 $(5, 4)$ 。

④ 三段在 $x = 1$ 、 $x = 3$ 處的函數值都是 $2$ ，圖形連成一條，沒有斷開（如下圖）。

(2) 依分段把區間 $[0, 4]$ 拆成三段：

$\int_{0}^{4} f (x) d x = \int_{0}^{1} 2 d x + \int_{1}^{3} (x^{2} - 4 x + 5) d x + \int_{3}^{4} (x - 1) d x$

⑤ $\int_{0}^{1} 2 d x = 2$ 。

⑥ $\int_{1}^{3} (x^{2} - 4 x + 5) d x = [\frac{x ^{3}}{3} - 2 x^{2} + 5 x]_{1}^{3} = 6 - \frac{10}{3} = \frac{8}{3}$ 。

⑦ $\int_{3}^{4} (x - 1) d x = [\frac{x ^{2}}{2} - x]_{3}^{4} = 4 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$ 。

⑧ 合計 $2 + \frac{8}{3} + \frac{5}{2} = \frac{12 + 16 + 15}{6} = \frac{43}{6}$ 。

答案 (2) $\frac{43}{6}$ 。

載入中...

f (x)

在

[0, 4]

上都是正的，所以

\frac{43}{6}

就是圖中鋪色區域的面積。第一段是長方形

1 \times 2

、第三段是上底

2

下底

3

的梯形

\frac{5}{2}

，可以用來驗算。

分段函數的定積分：照分段點把區間切開，每段用該段的式子積分再相加。

11計算題第二題（第 14 題）：市場均衡點、消費者剩餘與生產者剩餘

第 14 題

(1) ① 均衡時需求等於供給： $- x^{2} + 30 x + 1500 = 10 x$ ，即 $x^{2} - 20 x - 1500 = 0$ 。

② $(x - 50) (x + 30) = 0$ ，數量 $x > 0$ ，所以 $x = 50$ ，價格 $S (50) = 500$ 。均衡點為 $(50, 500)$ 。

(2) ③ 消費者剩餘是需求曲線下方、均衡價格 $500$ 上方， $0 \leq x \leq 50$ 的面積：

$\int_{0}^{50} (- x^{2} + 30 x + 1500 - 500) d x = [- \frac{x ^{3}}{3} + 15 x^{2} + 1000 x]_{0}^{50}$

④ $= - \frac{125000}{3} + 37500 + 50000 = \frac{137500}{3}$ 。

(3) ⑤ 生產者剩餘是均衡價格 $500$ 下方、供給曲線上方的面積：

$\int_{0}^{50} (500 - 10 x) d x = [500 x - 5 x^{2}]_{0}^{50} = 25000 - 12500 = 12500$

(4) ⑥ 總剩餘＝消費者剩餘＋生產者剩餘 $= \frac{137500}{3} + 12500 = \frac{175000}{3}$ 。

答案 (1) $(50, 500)$ ；(2) $\frac{137500}{3}$ ；(3) $12500$ ；(4) $\frac{175000}{3}$ 。

載入中...

總剩餘也等於需求曲線與供給曲線之間的面積：

\int_{0}^{50} (- x^{2} + 20 x + 1500) d x = - \frac{125000}{3} + 25000 + 75000 = \frac{175000}{3}

，與相加的結果相同。

先解需求＝供給得均衡點；消費者剩餘在價格線上方、生產者剩餘在價格線下方，兩者相加就是兩條曲線之間的面積。

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多選第 1 題要分清楚定積分是有號面積，x 軸下方的區域要算成負的，加了絕對值才全部算正；多選第 2 題潛在總價值是需求曲線下方的梯形面積，消費者剩餘要再扣掉實際收入，單位千元換成萬元也容易錯；填充第 6 題要先由兩個極值點寫出導函數，再用積分條件定出常數項；填充第 8 題第 2 小題要看出所求是圓的一部分，拆成扇形與兩個三角形。

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題目取自武陵高中 114 學年度上學期高三第三次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

武陵高中 114 上
高三第三次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

一、多重選擇題(每題 8 分，錯一個選項得 5 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個以上得 0 分，共 16 分)

如圖所示，已知 A,B,C,D 四個區域的面積分別為 3,6,1,5，則下列選項哪些正確？

(1) $\int_{1}^{7} f (x) d x > 0$
(2) $\int_{1}^{4} f (x) d x = 9$
(3) $\int_{1}^{4} f (x) d x < \int_{4}^{7} f (x) d x$
(4) $\int_{1}^{7} ∣ f (x) ∣ d x = 15$
(5) $\int_{1}^{7} (∣ f (x) ∣ - f (x)) d x > 10$

載入中...

已知有一玩具廠商在販賣某公仔。該公仔在市場機制下銷售

x

隻時的需求函數為

f (x) = 5 (1 - 0.002 x)

(千元)，其函數圖形如下圖所示。設此公仔的銷售量落在

0 \sim 300

隻之間，試選出正確選項。

(1) P 點坐標為 $(200, 3)$
(2) B 點坐標為 $(500, 0)$
(3) 當定價為 3 千元時，玩具廠商的實際收入為 60 萬元。
(4) 承(3)，此批玩具(銷售量為 0~200 隻)的潛在總價值為 100 萬元。
(5) 承(3)，此批玩具(銷售量為 0~200 隻)的消費者剩餘為 40 萬元。

載入中...

二、填充題(每格 6 分，共 60 分)

填充題第 1 題（本頁第 3～4 題）（第 3～4 題）　

(1) 求不定積分：

\int (4 x^{3} - 9 x^{2} - 4 x + 2) d x =

____。

(2) 求定積分：

\int_{1}^{4} (3 x^{2} - 4 x) d x =

____。

已知

F (x)

為

f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 1

的反導函數，且

F (1) = 5

，求

F (2) =

____。

已知

\int_{1}^{4} f (x) d x = 4

，

\int_{2}^{6} f (x) d x = 7

，

\int_{1}^{6} f (x) d x = 8

，求

\int_{2}^{4} f (x) d x =

____。

某糕點舖銷售鳳梨酥，當生產

x

個時的供給函數為

S (x) = 30 + 0.2 x

，若現在每個鳳梨酥的價格是

60

元，請問此時的生產者剩餘為 ____ 元。

某日

x

時的氣溫可用以下函數表示：

f (x) = - \frac{1}{6} x^{2} + 4 x + 1

(度)，求該日從早上

6

時到中午

12

時的平均溫度為 ____ 度。

已知

f (x)

為一個領導係數為

1

的三次多項式，且在

x = 1, 5

處有極值。若

\int_{1}^{5} f (x) d x = 0

，求

f (2) =

____。

計算

\int_{- 1}^{5} ∣ ∣ x - 1 ∣ - 1 ∣ d x =

____。

填充題第 8 題（本頁第 11～12 題）（第 11～12 題）　計算

(1)

\int_{0}^{4} 16 - x^{2} d x =

____。

(2)

\int_{2}^{23} 16 - x^{2} d x =

____。

計算題(共 24 分)

已知

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 x^{2} - 4 x + 5 x - 1, x \leq 1, 1 < x \leq 3, x > 3

， (1) 試描繪函數

y = f (x)

的圖形 (5 分) (2) 求

\int_{0}^{4} f (x) d x =

____。(7 分)

某商品的需求函數為

D (x) = - x^{2} + 30 x + 1500

，供給函數為

S (x) = 10 x

。在市場均衡的狀態下，試求 (1) 均衡點的坐標(2 分) (2) 消費者剩餘(4 分) (3) 生產者剩餘(4 分) (4) 總剩餘(2 分)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(3)(4)

第 2 題(1)(2)(3)

第 3 題

x^{4} - 3 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + C

第 4 題

33

第 5 題

14

第 6 題

3

第 7 題

2250

第 8 題

23

第 9 題

11

第 10 題

6

第 11 題

4 π

第 12 題

\frac{4}{3} π

第 13 題(1) 圖形見詳解；(2)

\frac{43}{6}

第 14 題(1)

(50, 500)

；(2)

\frac{137500}{3}

；(3)

12500

；(4)

\frac{175000}{3}

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

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01多選第 1 題（第 1 題）：定積分是有號面積

第 1 題

答案 (1)(3)(4)。

① 區域 A、C 在 $x$ 軸下方，定積分要算成負的；B、D 在上方，算成正的：

$\int_{1}^{2} f (x) d x = - 3, \int_{2}^{4} f (x) d x = 6, \int_{4}^{5} f (x) d x = - 1, \int_{5}^{7} f (x) d x = 5$

(1) 正確。 $\int_{1}^{7} f (x) d x = - 3 + 6 - 1 + 5 = 7 > 0$ 。

(2) 錯誤。 $\int_{1}^{4} f (x) d x = - 3 + 6 = 3$ ，不是 $9$ （ $9$ 是把面積直接相加）。

(3) 正確。 左邊是 $3$ ；右邊 $\int_{4}^{7} f (x) d x = - 1 + 5 = 4$ ， $3 < 4$ 。

(4) 正確。 加了絕對值後，下方的區域翻到上方，全部算正： $3 + 6 + 1 + 5 = 15$ 。

(5) 錯誤。 由 (1)(4)， $\int_{1}^{7} (∣ f (x) ∣ - f (x)) d x = 15 - 7 = 8$ ，不大於 $10$ 。

載入中...

(5) 也可以這樣看：

f (x) \geq 0

時

∣ f (x) ∣ - f (x) = 0

；

f (x) < 0

時等於

- 2 f (x)

。所以只剩 A、C 兩塊各算兩倍：

2 (3 + 1) = 8

。

定積分是有號面積：x 軸上方算正、下方算負；要算真正的面積就先加絕對值。

02多選第 2 題（第 2 題）：需求函數、實際收入與消費者剩餘

第 2 題

答案 (1)(2)(3)。 $f (x) = 5 - 0.01 x$ （千元）。

(1) 正確。 P 是價格為 $3$ 千元的點： $5 - 0.01 x = 3$ ， $x = 200$ ，P 為 $(200, 3)$ 。

(3) 正確。 定價 $3$ 千元時賣出 $200$ 隻，收入 $3 \times 200 = 600$ 千元，即 $60$ 萬元。

(4) 錯誤。 潛在總價值是需求曲線在 $0 \leq x \leq 200$ 下方的面積：

$\int_{0}^{200} (5 - 0.01 x) d x = [5 x - 0.005 x^{2}]_{0}^{200} = 1000 - 200 = 800$

單位是千元，即 $80$ 萬元，不是 $100$ 萬元。

(5) 錯誤。 消費者剩餘＝潛在總價值－實際收入＝ $800 - 600 = 200$ 千元，即 $20$ 萬元，不是 $40$ 萬元。

載入中...

這一段需求曲線是直線，也可以直接用圖形算：潛在總價值是上底

5

、下底

3

、高

200

的梯形，

\frac{( 5 + 3 ) \times 200}{2} = 800

；消費者剩餘是底

200

、高

2

的三角形，

\frac{200 \times 2}{2} = 200

。單位都是千元。

需求曲線下方的面積是潛在總價值，扣掉實際收入（價格乘數量的長方形）就是消費者剩餘；最後留意千元與萬元的換算。

03填充第 1～2 題（第 3～5 題）：不定積分、微積分基本定理、反導函數

第 3 題

逐項用 $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ ：

$\int (4 x^{3} - 9 x^{2} - 4 x + 2) d x = 4 \cdot \frac{x ^{4}}{4} - 9 \cdot \frac{x ^{3}}{3} - 4 \cdot \frac{x ^{2}}{2} + 2 x + C$

答案 $x^{4} - 3 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + C$ （ $C$ 為任意常數）。

檢查：對答案微分

4 x^{3} - 9 x^{2} - 4 x + 2

，回到被積函數。

第 4 題

① 找一個反導函數： $F (x) = x^{3} - 2 x^{2}$ 。

② 由微積分基本定理：

$\int_{1}^{4} (3 x^{2} - 4 x) d x = F (4) - F (1) = (64 - 32) - (1 - 2) = 32 + 1 = 33$

答案 $33$ 。

第 5 題

① $f (x)$ 的反導函數都長這樣： $F (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + x + C$ 。

② 用 $F (1) = 5$ 定常數： $2 - 2 + 1 + C = 5$ ， $C = 4$ 。

③ $F (2) = 16 - 8 + 2 + 4 = 14$ 。

答案 $14$ 。

另解：

F (2) - F (1) = \int_{1}^{2} (6 x^{2} - 4 x + 1) d x = [2 x^{3} - 2 x^{2} + x]_{1}^{2} = 10 - 1 = 9

，所以

F (2) = 5 + 9 = 14

。

不定積分要加常數 C；題目給一個函數值，就是用來定這個常數。

04填充第 3 題（第 6 題）：定積分的區間可加性

第 6 題

① 把區間畫在數線上： $[1, 6]$ 可以拆成 $[1, 2]$ 與 $[2, 6]$ 。

$\int_{1}^{2} f (x) d x = \int_{1}^{6} f (x) d x - \int_{2}^{6} f (x) d x = 8 - 7 = 1$

② $[1, 4]$ 可以拆成 $[1, 2]$ 與 $[2, 4]$ ：

$\int_{2}^{4} f (x) d x = \int_{1}^{4} f (x) d x - \int_{1}^{2} f (x) d x = 4 - 1 = 3$

答案 $3$ 。

載入中...

區間可加性：同一個函數，相鄰區間的定積分可以相加，也可以相減拆開。

05填充第 4 題（第 7 題）：生產者剩餘

第 7 題

① 價格 $60$ 元時的供給量： $30 + 0.2 x = 60$ ， $x = 150$ 。

② 生產者剩餘是價格線 $y = 60$ 與供給曲線之間、 $0 \leq x \leq 150$ 的面積：

$\int_{0}^{150} (60 - (30 + 0.2 x)) d x = \int_{0}^{150} (30 - 0.2 x) d x = [30 x - 0.1 x^{2}]_{0}^{150}$

③ $= 4500 - 2250 = 2250$ 。

答案 $2250$ 元。

載入中...

這塊區域是直角三角形，兩股為

150

與

60 - 30 = 30

，面積

\frac{150 \times 30}{2} = 2250

，可以用來驗算。

生產者剩餘＝價格線下方、供給曲線上方的面積（從 0 積到成交量）。

06填充第 5 題（第 8 題）：函數的平均值

第 8 題

① 函數在 $[a, b]$ 上的平均值是 $\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ ，這裡 $a = 6$ 、 $b = 12$ 。

② 先算定積分：

$\int_{6}^{12} (- \frac{1}{6} x^{2} + 4 x + 1) d x = [- \frac{1}{18} x^{3} + 2 x^{2} + x]_{6}^{12}$

③ 代入上下限： $x = 12$ 時 $- 96 + 288 + 12 = 204$ ； $x = 6$ 時 $- 12 + 72 + 6 = 66$ ；相減得 $138$ 。

④ 平均溫度 $= \frac{138}{12 - 6} = 23$ 。

答案 $23$ 度。

載入中...

圖上的意思：高

23

、寬

6

的長方形面積

138

，和曲線下方

6

時到

12

時的面積相同。

平均值＝定積分除以區間長度：把曲線下的面積攤平成同樣寬的長方形，長方形的高就是平均值。

07填充第 6 題（第 9 題）：由極值與定積分條件求三次函數

第 9 題

① $f (x)$ 領導係數為 $1$ ，所以 $f^{'} (x)$ 是領導係數為 $3$ 的二次式； $x = 1, 5$ 處有極值， $f^{'} (1) = f^{'} (5) = 0$ ：

$f^{'} (x) = 3 (x - 1) (x - 5) = 3 x^{2} - 18 x + 15$

② 取反導函數： $f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + c$ 。

③ 用積分條件定 $c$ ：

$\int_{1}^{5} f (x) d x = [\frac{x ^{4}}{4} - 3 x^{3} + \frac{15}{2} x^{2} + c x]_{1}^{5} = 156 - 372 + 180 + 4 c = - 36 + 4 c$

④ $- 36 + 4 c = 0$ ， $c = 9$ ， $f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 9$ 。

⑤ $f (2) = 8 - 36 + 30 + 9 = 11$ 。

答案 $11$ 。

載入中...

更快的看法：三次函數的圖形對稱於它的對稱中心，對稱中心的

x

坐標是兩極值點的中點

x = 3

。

\int_{1}^{5} f (x) d x = 0

表示

[1, 3]

與

[3, 5]

的有號面積互相抵消，所以對稱中心在

x

軸上，

f (3) = 0

，由

27 - 81 + 45 + c = 0

也得

c = 9

。

由極值點寫出導函數，取反導函數後只剩一個常數，再用題目的積分條件把它定出來。

08填充第 7 題（第 10 題）：雙重絕對值的定積分

第 10 題

① 先拆裡面的絕對值： $x \geq 1$ 時 $∣ x - 1 ∣ - 1 = x - 2$ ； $x < 1$ 時 $∣ x - 1 ∣ - 1 = - x$ 。

② 再拆外面的絕對值，得到 $y = ∣ ∣ x - 1 ∣ - 1 ∣$ 在 $[- 1, 5]$ 上是一條折線，轉折點為

$(- 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 0), (5, 3)$

③ 函數值都不小於 $0$ ，所求就是折線下方的面積： $[- 1, 2]$ 上是三個底 $1$ 、高 $1$ 的三角形， $[2, 5]$ 上是底 $3$ 、高 $3$ 的三角形：

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{3 \times 3}{2} = \frac{3}{2} + \frac{9}{2} = 6$

答案 $6$ 。

載入中...

也可以逐段積分：

\int_{- 1}^{0} (- x) d x + \int_{0}^{1} x d x + \int_{1}^{2} (2 - x) d x + \int_{2}^{5} (x - 2) d x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = 6

。

含絕對值的定積分：先找出絕對值內為 0 的點把區間切開，畫出折線圖，用面積算最快。

09填充第 8 題（第 11、12 題）：用圓的面積算定積分

第 11 題

① $y = 16 - x^{2}$ 就是 $x^{2} + y^{2} = 16$ 、 $y \geq 0$ ，圓心在原點、半徑 $4$ 的上半圓。

② $0 \leq x \leq 4$ 的部分是第一象限的四分之一圓，函數值都不小於 $0$ ，定積分就是它的面積：

$\int_{0}^{4} 16 - x^{2} d x = \frac{1}{4} \times π \times 4^{2} = 4 π$

答案 $4 π$ 。

載入中...

第 12 題

① 在圓上取 $P (2, 23)$ 、 $Q (23, 2)$ 。所求是直線 $x = 2$ 、 $x = 23$ 、 $x$ 軸與圓弧 $P Q$ 圍成的區域面積。

③ 所求區域＝扇形 $O P Q$ ＋三角形 $O$ 、 $(23, 0)$ 、 $Q$ －三角形 $O$ 、 $(2, 0)$ 、 $P$ 。

④ 兩個直角三角形的面積都是 $\frac{1}{2} \times 2 \times 23 = 23$ ，正好互相抵消。

⑤ 所求＝扇形 $O P Q$ 的面積 $= π \times 4^{2} \times \frac{30}{360} = \frac{4}{3} π$ 。

答案 $\frac{4}{3} π$ 。

載入中...

被積函數是根號 r² 減 x² 時，圖形是半圓；定積分就換成扇形與三角形的面積來算。

10計算題第一題（第 13 題）：分段函數的圖形與定積分

第 13 題

(1) ① $x \leq 1$ ：水平線 $y = 2$ 。

② $1 < x \leq 3$ ： $y = x^{2} - 4 x + 5 = (x - 2)^{2} + 1$ ，開口向上的拋物線，頂點 $(2, 1)$ ，經過 $(1, 2)$ 、 $(3, 2)$ 。

③ $x > 3$ ：直線 $y = x - 1$ ，從 $(3, 2)$ 往右上，經過 $(4, 3)$ 、 $(5, 4)$ 。

④ 三段在 $x = 1$ 、 $x = 3$ 處的函數值都是 $2$ ，圖形連成一條，沒有斷開（如下圖）。

(2) 依分段把區間 $[0, 4]$ 拆成三段：

$\int_{0}^{4} f (x) d x = \int_{0}^{1} 2 d x + \int_{1}^{3} (x^{2} - 4 x + 5) d x + \int_{3}^{4} (x - 1) d x$

⑤ $\int_{0}^{1} 2 d x = 2$ 。

⑥ $\int_{1}^{3} (x^{2} - 4 x + 5) d x = [\frac{x ^{3}}{3} - 2 x^{2} + 5 x]_{1}^{3} = 6 - \frac{10}{3} = \frac{8}{3}$ 。

⑦ $\int_{3}^{4} (x - 1) d x = [\frac{x ^{2}}{2} - x]_{3}^{4} = 4 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$ 。

⑧ 合計 $2 + \frac{8}{3} + \frac{5}{2} = \frac{12 + 16 + 15}{6} = \frac{43}{6}$ 。

答案 (2) $\frac{43}{6}$ 。

載入中...

f (x)

在

[0, 4]

上都是正的，所以

\frac{43}{6}

就是圖中鋪色區域的面積。第一段是長方形

1 \times 2

、第三段是上底

2

下底

3

的梯形

\frac{5}{2}

，可以用來驗算。

分段函數的定積分：照分段點把區間切開，每段用該段的式子積分再相加。

11計算題第二題（第 14 題）：市場均衡點、消費者剩餘與生產者剩餘

第 14 題

(1) ① 均衡時需求等於供給： $- x^{2} + 30 x + 1500 = 10 x$ ，即 $x^{2} - 20 x - 1500 = 0$ 。

② $(x - 50) (x + 30) = 0$ ，數量 $x > 0$ ，所以 $x = 50$ ，價格 $S (50) = 500$ 。均衡點為 $(50, 500)$ 。

(2) ③ 消費者剩餘是需求曲線下方、均衡價格 $500$ 上方， $0 \leq x \leq 50$ 的面積：

$\int_{0}^{50} (- x^{2} + 30 x + 1500 - 500) d x = [- \frac{x ^{3}}{3} + 15 x^{2} + 1000 x]_{0}^{50}$

④ $= - \frac{125000}{3} + 37500 + 50000 = \frac{137500}{3}$ 。

(3) ⑤ 生產者剩餘是均衡價格 $500$ 下方、供給曲線上方的面積：

$\int_{0}^{50} (500 - 10 x) d x = [500 x - 5 x^{2}]_{0}^{50} = 25000 - 12500 = 12500$

(4) ⑥ 總剩餘＝消費者剩餘＋生產者剩餘 $= \frac{137500}{3} + 12500 = \frac{175000}{3}$ 。

答案 (1) $(50, 500)$ ；(2) $\frac{137500}{3}$ ；(3) $12500$ ；(4) $\frac{175000}{3}$ 。

載入中...

總剩餘也等於需求曲線與供給曲線之間的面積：

\int_{0}^{50} (- x^{2} + 20 x + 1500) d x = - \frac{125000}{3} + 25000 + 75000 = \frac{175000}{3}

，與相加的結果相同。

先解需求＝供給得均衡點；消費者剩餘在價格線上方、生產者剩餘在價格線下方，兩者相加就是兩條曲線之間的面積。

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02多選第 2 題（第 2 題）：需求函數、實際收入與消費者剩餘

03填充第 1～2 題（第 3～5 題）：不定積分、微積分基本定理、反導函數

04填充第 3 題（第 6 題）：定積分的區間可加性

05填充第 4 題（第 7 題）：生產者剩餘

06填充第 5 題（第 8 題）：函數的平均值

07填充第 6 題（第 9 題）：由極值與定積分條件求三次函數

08填充第 7 題（第 10 題）：雙重絕對值的定積分

09填充第 8 題（第 11、12 題）：用圓的面積算定積分

10計算題第一題（第 13 題）：分段函數的圖形與定積分

11計算題第二題（第 14 題）：市場均衡點、消費者剩餘與生產者剩餘

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常見問題

武陵高中 114 上 高三第三次段考數學的答案在哪裡？

武陵高中 114 上 高三第三次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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武陵高中 114 上高三第三次段考數學試題、答案與詳解

原卷 14 題，照原卷順序

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武陵高中 114 上
高三第三次段考
數學試題、答案與詳解

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