段考詳解範圍：指數函數、對數與對數律、對數函數、指數與對數函數的應用

武陵高中 114 上
高二第三次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 武陵高中 114 上 高二第三次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 武陵高中 114 上 高二第三次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題五個量要先化成同一個比較基準，再用算幾不等式與指數、對數圖形在直線 y=x 兩側排出大小；第 6 題要由兩次對稱求出 a 與 d，再從圖上讀出 c 比二分之一小，選項 (5) 要看出直線 x+y=10 本身也對稱於 y=x；選填 C 題（本頁第 9 題）把方程式化成兩個正整數相乘等於 10 再數 s；選填 H 題（本頁第 14 題）要把題目轉成 3 的次方夾在兩個整數之間。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

多選題 6 題，每題 10 分，共 60 分；選填題 8 題（第 A～H 題，即本頁第 7～14 題），每題 5 分，共 40 分；合計 100 分。卷面註明可自行判斷採用計算器為計算工具。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

多選題：第1題至第6題，每題10分，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得10分；答錯1個選項者，得6分；答錯2個選項者，得2分；答錯3個(或以上)選項者，該題以零分計算。

設

(a, b)

為對數函數

y = lo g x

圖形上的一點，請選出正確的選項。

(1) $(10 a, 10 b)$ 也是對數函數 $y = lo g x$ 圖形上的一點
(2) $(a^{10}, b^{10})$ 也是對數函數 $y = lo g x$ 圖形上的一點
(3) $(a, - b)$ 也是對數函數 $y = - lo g x$ 圖形上的一點
(4) $(10 a, 10 b)$ 也是對數函數 $y = 1 0^{x}$ 圖形上的一點
(5) $(b, a)$ 也是對數函數 $y = 1 0^{x}$ 圖形上的一點

下列式子中

a, b

皆為正數，請選出正確的選項。

(1) $lo g (ab) = (lo g a) (lo g b)$
(2) $(lo g a)^{2} = 2 lo g a$
(3) $lo g \frac{b}{a} = \frac{lo g b}{lo g a}$
(4) $- lo g a = lo g \frac{1}{a}$
(5) $lo g \frac{b}{a} = lo g (b - a)$

設

0 < b < 1 < a

，請選出正確的選項。

(1) $lo g_{a} b = \frac{lo g b}{lo g a}$
(2) $lo g_{a} b > 0$
(3) $lo g_{b} a > 0$
(4) $lo g_{b} (a - 1) > 0$
(5) $lo g_{(1 + b)} a > 0$

已知

a > b > 0

，且

p = \frac{a + b}{2}

，

q = \frac{1 0 ^{a} + 1 0 ^{b}}{2}

，

r = lo g ab

，

s = 1 0^{a} \cdot 1 0^{b}

，

t = lo g (a + b) - lo g 2

，請選出正確的選項。

(1) $p < q$
(2) $q < r$
(3) $r < t$
(4) $s < t$
(5) $q < s$

設函數

f (x) = 2^{x}

、

g (x) = 3^{x}

、

h (x) = k

，請選出正確的選項。

(1) 函數 $y = f (x)$ 之圖形為遞增圖形
(2) 函數 $y = g (x)$ 的圖形恆在函數 $y = f (x)$ 的圖形上方
(3) 函數 $y = g (x)$ 的圖形與函數 $y = h (x)$ 的圖形必有交點
(4) 方程式 $f (x) = g (x)$ 沒有實根
(5) 若函數 $y = f (x)$ 的圖形上有三點 $A, B, C$ ，其點的 $x$ 坐標分別為 $x_{A}, x_{B}, x_{C}$ 且 $x_{A} < x_{B} < x_{C}$ ，則點 $B$ 必在 $\overline{A C}$ 之下方

下圖為

f_{1} (x) = a lo g x

、

f_{2} (x) = 2^{x}

、

f_{3} (x) = c^{x}

、

f_{4} (x) = d^{x}

四個函數圖形，已知

y = f_{1} (x)

與

y = f_{2} (x)

對稱於

y = x

、

y = f_{2} (x)

與

y = f_{4} (x)

對稱於

y

軸，請選出正確的選項。

(1) $a > 1$
(2) $c > \frac{1}{2}$
(3) $d = \frac{1}{2}$
(4) 設 $y = f_{1} (x)$ 與 $y = f_{4} (x)$ 交於點 $P (x_{p}, y_{p})$ ，則 $x_{p} > 1$
(5) 若 $y = - x + 10$ 與 $y = f_{1} (x)$ ， $y = f_{2} (x)$ 分別交於點 $Q (x_{q}, y_{q})$ ，點 $R (x_{r}, y_{r})$ ，則 $\frac{x _{r} + x _{r}}{2} = 5$

載入中...

選填題：第 A 題至第 H 題，每題 5 分，每題皆需化至最簡且須全部答對才給分。

解方程式

4^{x + 1} - 15 \times 2^{x + 3} - 2^{8} = 0

的解

x =

____。

滿足不等式

2 lo g (x + 1) < lo g 4 + lo g (x + 4)

的整數

x

共有 ____ 個。

若

s

為整數且方程式

lo g (x - 1) + lo g (x - 1 - s) = 1

的解為整數，則

s

可能的值共有 ____ 個。

設等差數列

⟨ a_{n} ⟩

之首項

a_{1}

與公差

d

皆為正數，且

lo g a_{1}

，

lo g a_{3}

，

lo g a_{203}

依序也成等差數列，則

lo g a_{1}

，

lo g a_{3}

，

lo g a_{203}

的公差

=

____。

滿足不等式

\frac{1}{123} \leq (10)^{x} \leq 4321

的整數解

x

共有 ____ 個。

某人將

1

萬元存入銀行中，假設以年利率

100%

複利計息，每年計息

n

期（每期利率為

\frac{100}{n} %

），一年後的本利和如下表（四捨五入取至整數位）。請問如果以每分鐘計息一次，則一年後的本利和為 ____ 元。（四捨五入取至整數位）

每年計息 n 期 1 （每年計息一次） 2 （半年計息一次） 4 （每季計息一次） 12 （每月計息一次） 365 （每日計息一次） 8760 （每小時計息一次） 存款一年後的本利和（元） 200002250024414261302714627181

臺灣去年 12 月 27 日深夜 23:05 分發生芮氏規模

7.0

的地震，震央在宜蘭縣政府東方

32.3

公里處，地震深度

72.8

公里，最大震度

4

級。這起地震是 1999 年 921 大地震規模達

7.3

、2024 年 0403 花東大地震規模達

7.2

地震後，第三起芮氏規模達

7.0

的大地震，其所釋放的能量相當於

16

顆原子彈同時釋放。在計算地震大小時，地震芮氏規模

(M)

與地震震央所釋放出來的能量

(E)

的關係如下：

lo g E = 11.8 + 1.5 M

。當多顆原子彈同時釋放時，能量將會直接累加，例如：

6

顆原子彈所釋放的能量是

2

顆原子彈所釋放能量的

3

倍。由上述可知 1999 年 921 大地震所釋放的能量大約相當於 ____ 顆原子彈同時釋放。（四捨五入取至整數位）

在一個培養容器中，由實驗得知細菌的數目以指數模型成長，其數量每隔一小時會增加

2

倍（即變成原來的

3

倍）。假設一開始放入

2

個細菌，並且在第

24

小時容器內的細菌數量達到容量上限

N

。如果現在改放入

1000

個細菌，在放入後在第

k

小時～第

k + 1

小時之間容器內的細菌數量會達到

N

的數量級，則

k =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)(5)

第 2 題(4)

第 3 題(1)(5)

第 4 題(1)(3)

第 5 題(1)(5)

第 6 題(1)(3)(4)(5)（選項 (5) 依題意讀作

x_{q} + x_{r}

；照卷面字面則不選 (5)）

第 7 題

5

第 8 題

5

第 9 題

4

第 10 題

2

第 11 題

12

第 12 題

27183

第 13 題

45

第 14 題

18

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題第 1 題：對數圖形上的點經變換後落在哪個圖形

第 1 題

答案 (3)(5)。

$(a, b)$ 在 $y = lo g x$ 上，表示 $a > 0$ 且 $b = lo g a$ 。每個選項都要對圖形上每一個這樣的點成立才算對。

(1) 錯誤。 要在 $y = lo g x$ 上，須 $10 b = lo g (10 a) = 1 + lo g a = 1 + b$ ，只有 $b = \frac{1}{9}$ 時成立。例如 $(10, 1)$ 在圖形上，但 $lo g 100 = 2 \neq = 10$ ， $(100, 10)$ 不在。

(2) 錯誤。 $lo g a^{10} = 10 lo g a = 10 b$ ，要等於 $b^{10}$ 才行。例如 $(10, 1)$ 變成 $(1 0^{10}, 1)$ ，但 $lo g 1 0^{10} = 10 \neq = 1$ 。

(3) 正確。 以 $x = a$ 代入 $y = - lo g x$ ，得 $y = - lo g a = - b$ ，所以 $(a, - b)$ 在 $y = - lo g x$ 上。兩圖形對稱於 $x$ 軸。

(4) 錯誤。 要 $10 b = 1 0^{10 a}$ 。例如 $(1, 0)$ 變成 $(10, 0)$ ，但 $1 0^{10} \neq = 0$ 。

(5) 正確。 $b = lo g a$ 與 $a = 1 0^{b}$ 是同一件事，所以 $(b, a)$ 在 $y = 1 0^{x}$ 上。 $y = lo g x$ 與 $y = 1 0^{x}$ 的圖形對稱於直線 $y = x$ 。

載入中...

選項 (4)(5) 卷面把

y = 1 0^{x}

也稱作「對數函數」，其實

y = 1 0^{x}

是指數函數；不影響判斷。

點

(a, b)

在

y = lo g x

上 ⇔

b = lo g a

⇔

a = 1 0^{b}

；

x

、

y

互換就跑到

y = 1 0^{x}

上。

02多選題第 2 題：對數律的正確寫法

第 2 題

答案 (4)。

對數律： $lo g (ab) = lo g a + lo g b$ ， $lo g \frac{b}{a} = lo g b - lo g a$ ， $lo g a^{r} = r lo g a$ 。

(1) 錯誤。 乘積的對數是對數的和。反例 $a = b = 10$ ：左邊 $lo g 100 = 2$ ，右邊 $1 \times 1 = 1$ 。

(2) 錯誤。 $2 lo g a = lo g a^{2}$ ，不是 $(lo g a)^{2}$ 。反例 $a = 1000$ ： $(lo g 1000)^{2} = 9$ ， $2 lo g 1000 = 6$ 。

(3) 錯誤。 商的對數是對數的差。反例 $a = 10$ 、 $b = 100$ ：左邊 $lo g 10 = 1$ ，右邊 $\frac{2}{1} = 2$ 。

(4) 正確。 $lo g \frac{1}{a} = lo g 1 - lo g a = 0 - lo g a = - lo g a$ 。

(5) 錯誤。 反例 $a = 1$ 、 $b = 10$ ：左邊 $lo g 10 = 1$ ，右邊 $lo g 9 \neq = 1$ 。而且 $b \leq a$ 時 $lo g (b - a)$ 根本沒有意義。

對數把乘變加、除變減、次方變倍數；沒有「對數的積」「對數的商」這種公式。

03多選題第 3 題：底數與真數在 1 的兩側時對數的正負

第 3 題

答案 (1)(5)。

底數大於 $1$ 的對數函數遞增，底數介於 $0$ 與 $1$ 的遞減，兩者都過 $(1, 0)$ 。所以真數與底數在 $1$ 的同一側時對數為正，在兩側時為負。

(1) 正確。 換底公式： $a > 0$ 、 $a \neq = 1$ 、 $b > 0$ 時 $lo g_{a} b = \frac{lo g b}{lo g a}$ 。

(2) 錯誤。 底數 $a > 1$ ， $y = lo g_{a} x$ 遞增； $b < 1$ ，所以 $lo g_{a} b < lo g_{a} 1 = 0$ 。

(3) 錯誤。 底數 $0 < b < 1$ ， $y = lo g_{b} x$ 遞減； $a > 1$ ，所以 $lo g_{b} a < lo g_{b} 1 = 0$ 。

(4) 錯誤。 底數 $b < 1$ 遞減， $lo g_{b} (a - 1) > 0 = lo g_{b} 1$ 等於說 $0 < a - 1 < 1$ ，即 $1 < a < 2$ ； $a \geq 2$ 就不成立。反例 $a = 3$ 、 $b = \frac{1}{2}$ ： $lo g_{\frac{1}{2}} 2 = - 1 < 0$ 。

(5) 正確。 底數 $1 + b$ 介於 $1$ 與 $2$ ，大於 $1$ ，函數遞增； $a > 1$ ，所以 $lo g_{(1 + b)} a > lo g_{(1 + b)} 1 = 0$ 。

載入中...

判斷

lo g_{a} b

的正負：

a

、

b

在

1

的同一側為正，兩側為負。

04多選題第 4 題：算術平均、幾何平均與指數對數的大小

第 4 題

答案 (1)(3)。

① 先把五個量都用 $p$ 表示或互相比較：

$s = 1 0^{a + b} = 1 0^{\frac{a + b}{2}} = 1 0^{p}, t = lo g \frac{a + b}{2} = lo g p, r = lo g ab$

② 算幾不等式（ $a \neq = b$ ，等號不成立）： $\frac{a + b}{2} > ab$ 。對數函數 $y = lo g x$ 遞增，所以 $t = lo g p > lo g ab = r$ 。

③ 同樣 $1 0^{a} \neq = 1 0^{b}$ ： $q = \frac{1 0 ^{a} + 1 0 ^{b}}{2} > 1 0^{a} \cdot 1 0^{b} = s$ 。

④ $y = 1 0^{x}$ 的圖形在直線 $y = x$ 的上方， $y = lo g x$ 的圖形在 $y = x$ 的下方（兩者對稱於 $y = x$ ）。在 $x = p > 0$ 處由上而下是 $1 0^{p}$ 、 $p$ 、 $lo g p$ ，即 $s > p > t$ 。

⑤ 合起來： $q > s > p > t > r$ 。

(1) 正確。 $p < q$ 。

(2) 錯誤。 $q$ 最大， $q > r$ 。

(3) 正確。 由 ②， $r < t$ 。

(4) 錯誤。 由 ④， $s > t$ 。

(5) 錯誤。 由 ③， $q > s$ 。

載入中...

可用

a = 2

、

b = 1

驗證：

p = 1.5

，

q = 55

，

r = lo g 2 \approx 0.15

，

s = 1 0^{1.5} \approx 31.6

，

t = lo g 1.5 \approx 0.18

，順序相同。

幾個量混在一起比大小，先化成同一個基準（這裡是

p

），再用算幾不等式和「

1 0^{x} > x > lo g x

」排序。

05多選題第 5 題：兩個指數函數的圖形性質

第 5 題

答案 (1)(5)。

(1) 正確。 底數 $2 > 1$ ， $y = 2^{x}$ 是遞增函數。

(2) 錯誤。 $x < 0$ 時 $3^{x} < 2^{x}$ 。例如 $x = - 1$ ： $3^{- 1} = \frac{1}{3} < \frac{1}{2} = 2^{- 1}$ ， $y = g (x)$ 的圖形在下方。

(3) 錯誤。 $3^{x} > 0$ 恆成立。當 $k \leq 0$ 時，水平線 $y = k$ 與 $y = 3^{x}$ 沒有交點，例如 $k = 0$ 。

(4) 錯誤。 $x = 0$ 時 $2^{0} = 3^{0} = 1$ ， $x = 0$ 就是實根；兩圖形交於 $(0, 1)$ 。

(5) 正確。 指數函數的圖形凹口向上：圖形上任兩點 $A$ 、 $C$ 的連線段，在兩點之間都位於圖形的上方，所以 $x$ 坐標夾在中間的點 $B$ 必在 $\overline{A C}$ 之下方。

例如 $A (- 1, \frac{1}{2})$ 、 $B (1, 2)$ 、 $C (2, 4)$ ： $\overline{A C}$ 在 $x = 1$ 處的高度是 $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \times \frac{7}{2} = \frac{17}{6} > 2$ 。

載入中...

a^{x}

與

b^{x}

（

1 < a < b

）在

x > 0

時

b^{x}

較大、

x < 0

時

a^{x}

較大，兩圖形只交於

(0, 1)

。

06多選題第 6 題：由對稱關係與圖形判斷底數

第 6 題

答案 (1)(3)(4)(5)（選項 (5) 依題意讀作 $\frac{x _{q} + x _{r}}{2} = 5$ ）。

① $y = f_{1} (x)$ 與 $y = 2^{x}$ 對稱於 $y = x$ ，所以 $f_{1} (x) = lo g_{2} x$ 。由換底公式 $lo g_{2} x = \frac{lo g x}{lo g 2}$ ，得 $a = \frac{1}{lo g 2} \approx 3.32$ 。

② $y = f_{4} (x)$ 與 $y = 2^{x}$ 對稱於 $y$ 軸，所以 $f_{4} (x) = 2^{- x} = (\frac{1}{2})^{x}$ ， $d = \frac{1}{2}$ 。

③ 由圖， $f_{3}$ 與 $f_{4}$ 都遞減，在 $y$ 軸左邊 $y = f_{3} (x)$ 的圖形較高。取 $x = - 1$ ： $c^{- 1} > 2$ ，即 $\frac{1}{c} > 2$ ，所以 $0 < c < \frac{1}{2}$ 。

(1) 正確。 $a = \frac{1}{lo g 2} \approx 3.32 > 1$ 。

(2) 錯誤。 由 ③， $c < \frac{1}{2}$ 。

(3) 正確。 由 ②， $d = \frac{1}{2}$ 。

(4) 正確。 $lo g_{2} x$ 遞增、 $(\frac{1}{2})^{x}$ 遞減，兩圖形只交一點。 $x = 1$ 時 $lo g_{2} 1 = 0 < \frac{1}{2}$ ； $x = 2$ 時 $lo g_{2} 2 = 1 > \frac{1}{4}$ 。所以交點的 $x_{p}$ 介於 $1$ 與 $2$ ， $x_{p} > 1$ 。

(5) 正確（依題意）。直線 $x + y = 10$ 把 $x$ 、 $y$ 互換仍是自己，對稱於 $y = x$ ； $y = lo g_{2} x$ 與 $y = 2^{x}$ 也對稱於 $y = x$ 。所以交點 $Q$ 與 $R$ 互為對稱點： $x_{q} = y_{r}$ 。

$R$ 在直線上， $x_{r} + y_{r} = 10$ ，所以 $x_{q} + x_{r} = 10$ ， $\frac{x _{q} + x _{r}}{2} = 5$ 。

載入中...

卷面印作

\frac{x _{r} + x _{r}}{2}

，照字面就是

x_{r} = 5

。但

2^{5} = 32

，而直線在

x = 5

的高度是

5

，

R

不在

x = 5

，照字面這個選項不成立，答案就是 (1)(3)(4)。兩點

Q

、

R

都有編號，本站依題意讀作

x_{q} + x_{r}

。

對

y = x

對稱＝

x

、

y

互換（指數變對數）；對

y

軸對稱＝

x

換成

- x

（底數變倒數）。

07選填題 A、B（本頁第 7、8 題）：指數方程式、對數不等式

第 7 題

① 令 $u = 2^{x}$ ， $u > 0$ 。 $4^{x + 1} = 4 \cdot (2^{x})^{2} = 4 u^{2}$ ， $2^{x + 3} = 8 u$ ， $2^{8} = 256$ 。

② 方程式變成 $4 u^{2} - 120 u - 256 = 0$ ，同除以 $4$ ： $u^{2} - 30 u - 64 = 0$ 。

③ 因式分解 $(u - 32) (u + 2) = 0$ ， $u = 32$ 或 $u = - 2$ （不合， $u > 0$ ）。

④ $2^{x} = 32 = 2^{5}$ ，所以 $x = 5$ 。

第 8 題

① 真數為正： $x + 1 > 0$ 且 $x + 4 > 0$ ，即 $x > - 1$ 。

② 原式化成 $lo g (x + 1)^{2} < lo g (4 (x + 4))$ 。常用對數遞增，所以 $(x + 1)^{2} < 4 (x + 4)$ 。

③ 展開 $x^{2} + 2 x + 1 < 4 x + 16$ ，即 $x^{2} - 2 x - 15 < 0$ ， $(x - 5) (x + 3) < 0$ ， $- 3 < x < 5$ 。

④ 與 ① 取交集： $- 1 < x < 5$ ，整數 $x = 0, 1, 2, 3, 4$ ，共 $5$ 個。

載入中...

指數方程式看到

4^{x}

與

2^{x}

就換元；對數不等式先寫真數為正，最後一定要取交集。

08選填題 C、D（本頁第 9、10 題）：對數方程式的整數解、對數成等差

第 9 題

① 真數為正： $x - 1 > 0$ 且 $x - 1 - s > 0$ 。

② 合併： $lo g ((x - 1) (x - 1 - s)) = 1$ ，所以 $(x - 1) (x - 1 - s) = 10$ 。

③ $x$ 、 $s$ 都是整數，令 $m = x - 1$ 、 $n = x - 1 - s$ ，兩者都是正整數，且 $mn = 10$ ， $s = m - n$ 。

④ $(m, n) = (1, 10)$ 、 $(2, 5)$ 、 $(5, 2)$ 、 $(10, 1)$ ，對應 $s = - 9$ 、 $- 3$ 、 $3$ 、 $9$ 。

⑤ 反過來，這四個 $s$ 各有整數解 $x = m + 1$ ，例如 $s = 3$ 時 $x = 6$ ： $lo g 5 + lo g 2 = lo g 10 = 1$ 。所以 $s$ 共有 $4$ 個可能的值。

對一個固定的

s

，

m

滿足

m^{2} - s m - 10 = 0

，兩根相乘是

- 10

，只有一個正根，所以方程式只有一個解；要它是整數，

m

就得是

10

的正因數，不會漏掉其他

s

。

第 10 題

① $a_{3} = a_{1} + 2 d$ ， $a_{203} = a_{1} + 202 d$ 。

② $lo g a_{1}$ 、 $lo g a_{3}$ 、 $lo g a_{203}$ 成等差： $2 lo g a_{3} = lo g a_{1} + lo g a_{203}$ ，即 $a_{3}^{2} = a_{1} a_{203}$ 。

③ 代入： $(a_{1} + 2 d)^{2} = a_{1} (a_{1} + 202 d)$ ，展開得 $4 a_{1} d + 4 d^{2} = 202 a_{1} d$ ，即 $4 d^{2} = 198 a_{1} d$ 。

④ $d > 0$ ，同除以 $4 d$ ： $d = \frac{99}{2} a_{1}$ 。所以 $a_{3} = a_{1} + 99 a_{1} = 100 a_{1}$ 。

⑤ 公差 $= lo g a_{3} - lo g a_{1} = lo g \frac{a _{3}}{a _{1}} = lo g 100 = 2$ 。

驗證：

a_{203} = a_{1} + 202 \times \frac{99}{2} a_{1} = 10000 a_{1}

，三項的對數依序差

2

、

2

。

對數方程式化成「兩個正整數相乘等於

10

」就能數；對數成等差等於真數成等比。

09選填題 E（本頁第 11 題）：指數不等式的整數解個數

第 11 題

① $(10)^{x} = 1 0^{\frac{x}{2}}$ ，底數 $10 > 1$ ，函數遞增， $x$ 越大值越大。

② 左邊界： $x = - 4$ 時 $1 0^{- 2} = \frac{1}{100} \geq \frac{1}{123}$ 成立； $x = - 5$ 時 $1 0^{- 2.5} = \frac{1}{100 10} \approx \frac{1}{316} < \frac{1}{123}$ ，不成立。

③ 右邊界： $x = 7$ 時 $1 0^{3.5} = 100010 \approx 3162 \leq 4321$ 成立； $x = 8$ 時 $1 0^{4} = 10000 > 4321$ ，不成立。

④ 整數解是 $- 4 \leq x \leq 7$ ，共 $7 - (- 4) + 1 = 12$ 個。

載入中...

也可以兩邊取常用對數：

- lo g 123 \leq \frac{x}{2} \leq lo g 4321

，即

- 4.18 \dots \leq x \leq 7.27 \dots

，結果相同。

指數不等式的整數解，只要在邊界附近代兩個整數比大小。

10選填題 F、G、H（本頁第 12～14 題）：複利、地震規模、細菌成長

第 12 題

① 一年有 $365 \times 24 \times 60 = 525600$ 分鐘，每分鐘計息一次就是 $n = 525600$ ，每期利率 $\frac{1}{525600}$ 。

② 本利和 $= 10000 (1 + \frac{1}{525600})^{525600}$ 。

③ 用計算器算得約 $27182.79$ 元，四捨五入為 $27183$ 元。

表中的本利和隨

n

增大而增加，但增加得越來越慢，會逼近

10000 e \approx 27182.82

元（

e \approx 2.71828

）。

第 13 題

① 設規模 $7.0$ 的地震能量 $E_{1}$ ，921 大地震（規模 $7.3$ ）能量 $E_{2}$ 。

② $lo g E_{2} - lo g E_{1} = (11.8 + 1.5 \times 7.3) - (11.8 + 1.5 \times 7.0) = 1.5 \times 0.3 = 0.45$ 。

③ 所以 $\frac{E _{2}}{E _{1}} = 1 0^{0.45} \approx 2.818$ 。

④ $E_{1}$ 相當於 $16$ 顆原子彈，能量直接累加， $E_{2}$ 相當於 $16 \times 2.818 \approx 45.09$ 顆，四捨五入為 $45$ 顆。

第 14 題

① 每小時變成 $3$ 倍。放入 $2$ 個， $24$ 小時後達到上限： $N = 2 \cdot 3^{24}$ 。

② 改放 $1000$ 個， $t$ 小時後有 $1000 \cdot 3^{t}$ 個。達到 $N$ ： $1000 \cdot 3^{t} = 2 \cdot 3^{24}$ ，即 $3^{24 - t} = 500$ 。

③ $3^{5} = 243 < 500 < 729 = 3^{6}$ ，所以 $5 < 24 - t < 6$ ， $18 < t < 19$ 。

④ 細菌數量在第 $18$ 小時～第 $19$ 小時之間達到 $N$ ， $k = 18$ 。

卷面寫「達到

N

的數量級」，本站讀作細菌數量達到

N

（也就是

1000 \cdot 3^{t} = N

），這也是不用對數就能算出

k

的讀法。取對數算也可以：

t = 24 - lo g_{3} 500 = 24 - \frac{lo g 500}{lo g 3} \approx 18.34

。

指數模型的應用：把「倍數」寫成次方，相除後只剩差的部分要算。

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同樣是高二第三次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

武陵高中 114 上高二第三次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題五個量要先化成同一個比較基準，再用算幾不等式與指數、對數圖形在直線 y=x 兩側排出大小；第 6 題要由兩次對稱求出 a 與 d，再從圖上讀出 c 比二分之一小，選項 (5) 要看出直線 x+y=10 本身也對稱於 y=x；選填 C 題（本頁第 9 題）把方程式化成兩個正整數相乘等於 10 再數 s；選填 H 題（本頁第 14 題）要把題目轉成 3 的次方夾在兩個整數之間。詳解逐題寫在本頁。

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武陵高中 114 上高二第三次段考數學試題、答案與詳解

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04多選題第 4 題：算術平均、幾何平均與指數對數的大小

05多選題第 5 題：兩個指數函數的圖形性質

06多選題第 6 題：由對稱關係與圖形判斷底數

07選填題 A、B（本頁第 7、8 題）：指數方程式、對數不等式

08選填題 C、D（本頁第 9、10 題）：對數方程式的整數解、對數成等差

09選填題 E（本頁第 11 題）：指數不等式的整數解個數

10選填題 F、G、H（本頁第 12～14 題）：複利、地震規模、細菌成長

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武陵高中 114 上
高二第三次段考
數學試題、答案與詳解

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