段考詳解範圍：直線與圓（直線方程式、二元一次不等式、圓方程式、圓與直線的關係）

武陵高中 111 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 武陵高中 111 上 高一第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 武陵高中 111 上 高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 2 題要排除兩線重合的 k = 1；第 3 題要列表看四個頂點代入後的正負，端點會讓頂點落在直線上；第 10、11 題數點時，相切或最近最遠的那一個值只有一點；多選第 3 題要先認出三個不等式各對應哪條邊，再讀圖上的截距與斜率。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《直線與圓》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

卷頭範圍：第一冊單元 4 直線與圓。填充題 11 格（依答對格數給分：1 至 11 格依序得 8、16、24、30、36、42、48、54、58、62、66 分）、混合題 1 題（共 10 分：(1) 3 分、(2) 7 分）、多重選擇題 3 題（每題 8 分，錯一個選項得 5 分，錯二個選項得 2 分，錯三個選項以上得 0 分），合計 100 分。原卷各大題各自從 1 編號，本頁第 12、13 題是混合題第 1 題的 (1)、(2)，第 14～16 題是多重選擇題第 1～3 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、填充題：(配分如下)

坐標平面上，已知直線

L

的斜率為

\frac{2}{3}

且

x

截距為

- 2

，求直線

L

的一般式為 ____。

坐標平面上，兩直線

L_{1} : k x + 2 y - 1 = 0

及

L_{2} : x + (k + 1) y - 1 = 0

，若

L_{1}

與

L_{2}

平行，求實數

k

的值為 ____。（只有一解）

坐標平面上，已知四邊形

A B C D

的四個頂點為

A (- 1, 3)

，

B (3, 1)

，

C (5, 4)

，

D (2, 5)

，若直線

L : y = m x - 1

與四邊形

A B C D

有交點且直線

L

的兩側各有

2

個頂點，求實數

m

的最大可能範圍為 ____。

坐標平面上，過點

P (4, 2)

且與圓

C : (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25

相切的切線方程式為 ____。（以一般式表示）

坐標平面上，將直線

L_{1} : x - 2 y = 5

鉛直下移

4

單位後得直線

L_{2}

，若直線

L_{1}

，

L_{2}

皆與圓

C

相切，則圓

C

的半徑為 ____。

坐標平面上，已知直線

L : x + 2 y + 3 = 0

與圓

C : x^{2} + y^{2} - 8 x - 1 = 0

交於

A

，

B

兩相異點，其中

A

點是格子點（

x, y

坐標皆為整數），則

A

點的坐標為 ____。

坐標平面上，已知一圓方程式為

x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + k = 0

，若一直線

3 x + 4 y - 1 = 0

與該圓沒有交點，試問實數

k

的最大可能範圍為 ____。

坐標平面上，有一圓

C

與直線

L : 6 x + 8 y + 5 = 0

交於

P

，

Q

兩點，劣弧

P Q

（弧長較短的弧）的中點

M

坐標為

(2, 1)

，今沿

\overline{P Q}

摺起劣弧

P M Q

後，發現

M

與圓

C

的圓心重合，則此圓

C

的圓心坐標為 ____。

在坐標平面上，已知圓

C

的圓心為

P (x, y)

，若點

A (0, 0)

在圓

C

的內部且點

B (8, 4)

在圓

C

的外部，則所有點

P (x, y)

所在區域的二元一次不等式為 ____。

在坐標平面上，設點

P (a, b)

為圓

C : x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y + 20 = 0

上的動點，則滿足

\frac{b - 2}{a - 1}

為整數的

P

點有 ____ 個。

在坐標平面上，已知

A (4, 0)

、

B (0, 3)

，圓

C : (x - 5)^{2} + (y - 10)^{2} = 25

上有一點

P

，且

△ A B P

面積為整數，則這樣的

P

點共有 ____ 個。

二、混合題：（共 10 分）

混合題第 1 題（第 12～13 題）　有一圓柱形觀景臺，其底部是一個圓形，某廠商承包工程，要在觀景臺底部外圍八公尺寬度的環狀區域植滿草皮（如圖(一)外形亦為圓），廠商必須知道植草皮的面積多大，以便估價，若已量得

\overline{A B} = 24

公尺，且

\overline{A B}

貼觸著觀景臺底部

M

處（即

\overline{A B}

與內圓相切於點

M

），試問：

(1) 草皮的面積為多少平方公尺？（3 分） (A)

16 π

　(B)

25 π

　(C)

64 π

　(D)

144 π

　(E)

256 π

。

載入中...

(2) 如圖(二)，廠商植草皮期間，因施工及放置材料工具，拉了兩條封鎖線

\overline{P A}

與

\overline{P Q}

，且此兩條直線都與觀景臺底部貼觸（即兩線與內圓相切），又

\overline{P Q}

與

\overline{A B}

垂直，且點

Q

為垂足點，求

\overline{A Q}

的長度及封鎖線

\overline{P Q}

長度。（7 分）

載入中...

三、多重選擇題：（每題 8 分，錯一個選項得 5 分，錯二個選項得 2 分，錯三個選項以上得 0 分）

下列敘述何者正確？

(1) 設 $a, b, c$ 皆為實數，且 $a, b$ 不全為零，在坐標平面上，方程式 $a x + b y + c = 0$ 的圖形是斜率為 $- \frac{a}{b}$ ，且 $y$ 截距為 $- \frac{c}{b}$ 的直線
(2) 設 $k$ 為任意實數，在坐標平面上，方程式 $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = k$ 的圖形與直線 $3 x + 4 y = 5$ 沒有交點
(3) 在坐標平面上，方程式 $(x - 2)^{2} + (y - 7)^{2} = 9$ 的圖形是一個半徑為 $9$ 的圓
(4) 在坐標平面上，方程式 $2 x^{2} + 2 y^{2} + 4 x + 6 y + 7 = 0$ 的圖形是一個以 $(- 1, - \frac{3}{2})$ 為圓心的圓
(5) 在坐標平面上，過 $A (1, 2)$ ， $B (- 1, 3)$ 兩點的圓中，最小的圓其半徑為 $\frac{5}{2}$ 。

在坐標平面上，設圓

Γ : x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 2 = 0

的圓心為

C

，已知由直線

L : 3 x - 4 y + 18 = 0

上一點

P

向圓

Γ

可作兩條切線

L_{1}

與

L_{2}

，且直線

L

恰為

L_{1}

與

L_{2}

其中一夾角的角平分線。試選出正確的選項。

(1) 直線 $L$ 與圓 $Γ$ 不相交
(2) 直線 $P C$ 與直線 $L$ 互相垂直
(3) 直線 $L_{1}$ 與直線 $L_{2}$ 互相垂直
(4) $P$ 點的坐標為 $(- 3, \frac{9}{4})$
(5) 若圓 $Γ$ 上任一點關於直線 $a x - b y - 15 = 0$ 的對稱點均仍然在圓 $Γ$ 上，則 $a + b = 15$ 。

下圖中，三角形內部（含邊）為二元一次聯立不等式

⎩ ⎨ ⎧ x + a y + b \geq 0 c x + y + d \geq 0 x + ey + f \leq 0

的圖形區域，試選出正確的選項：

(1) $a > 0$
(2) $b > 0$
(3) $c < 0$
(4) $d > - 1$
(5) $e < 1$

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

2 x - 3 y + 4 = 0

第 2 題

- 2

第 3 題

1 < m < 3

第 4 題

3 x + 4 y - 20 = 0

第 5 題

\frac{4 5}{5}

第 6 題

(5, - 4)

第 7 題

1 < k < 5

第 8 題

(- 1, - 3)

第 9 題

2 x + y < 10

第 10 題

5

第 11 題

50

第 12 題(D)

第 13 題

\overline{A Q} = 17

公尺，

\overline{P Q} = \frac{120}{7}

公尺

第 14 題(3)(5)

第 15 題(1)(2)(5)

第 16 題(2)(5)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01填充題（本頁第 1～6 題）：直線方程式、平行、兩側與切線

第 1 題

x

截距為

- 2

，表示直線過

(- 2, 0)

。點斜式：

y - 0 = \frac{2}{3} (x + 2)

，兩邊乘

3

：

3 y = 2 x + 4

，移項得一般式

2 x - 3 y + 4 = 0

。

第 2 題兩直線

a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0

、

a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0

平行或重合時

a_{1} b_{2} = a_{2} b_{1}

：

k (k + 1) = 2 \times 1

，

k^{2} + k - 2 = 0

，

(k + 2) (k - 1) = 0

，

k = - 2

或

k = 1

。

k = 1

時

L_{1} : x + 2 y - 1 = 0

、

L_{2} : x + 2 y - 1 = 0

，兩線重合，不是平行，不合。

k = - 2

時

L_{1} : - 2 x + 2 y - 1 = 0

、

L_{2} : x - y - 1 = 0

，斜率都是

1

，而

L_{1}

的

y

截距

\frac{1}{2}

、

L_{2}

的

y

截距

- 1

不同，兩線平行。答：

k = - 2

。

第 3 題

令 $g (x, y) = m x - y - 1$ ，頂點在 $L$ 的哪一側看 $g$ 的正負： $g (A) = - m - 4, g (B) = 3 m - 2, g (C) = 5 m - 5, g (D) = 2 m - 6$ 四個值分別在 $m = - 4$ 、 $\frac{2}{3}$ 、 $1$ 、 $3$ 變號，分段列出正負：

$m m < - 4 - 4 < m < \frac{2}{3} \frac{2}{3} < m < 1 1 < m < 3 m > 3 g (A) + - - - - g (B) - - + + + g (C) - - - + + g (D) - - - - +$

兩側各有 $2$ 個頂點（而且沒有頂點落在 $L$ 上），只有 $1 < m < 3$ ： $B$ 、 $C$ 在一側， $A$ 、 $D$ 在另一側，此時 $L$ 必穿過四邊形，與它有交點。 $m = 1$ 或 $m = 3$ 時 $L$ 通過 $C$ 或 $D$ ，那個頂點不在任何一側，不合。答： $1 < m < 3$ 。

L

恆過點

(0, - 1)

，可以想成繞

(0, - 1)

轉動的直線：從過

C

的位置（斜率

1

）轉到過

D

的位置（斜率

3

）之間，正好把

B

、

C

與

A

、

D

分開。

第 4 題圓心

(1, - 2)

，半徑

5

。

P (4, 2)

到圓心的距離

3^{2} + 4^{2} = 5

，

P

就在圓上，切線只有一條，且與半徑垂直。半徑所在直線的斜率

\frac{2 - ( - 2 )}{4 - 1} = \frac{4}{3}

，切線斜率

- \frac{3}{4}

：

y - 2 = - \frac{3}{4} (x - 4)

，乘

4

：

4 y - 8 = - 3 x + 12

，即

3 x + 4 y - 20 = 0

。

第 5 題鉛直下移

4

單位是把

y

換成

y + 4

：

L_{2} : x - 2 (y + 4) = 5

，即

x - 2 y - 13 = 0

。

L_{1} : x - 2 y - 5 = 0

與

L_{2}

平行且不重合；圓同時和兩條平行線相切，圓夾在兩線中間，兩線的距離就是直徑：

\frac{∣ - 5 - ( - 13 ) ∣}{1 ^{2} + ( - 2 ) ^{2}} = \frac{8}{5}

半徑

= \frac{4}{5} = \frac{4 5}{5}

。

第 6 題由

L

得

x = - 2 y - 3

，代入圓：

(2 y + 3)^{2} + y^{2} + 8 (2 y + 3) - 1 = 0

，展開

4 y^{2} + 12 y + 9 + y^{2} + 16 y + 24 - 1 = 0

，即

5 y^{2} + 28 y + 32 = 0

，

(5 y + 8) (y + 4) = 0

，

y = - 4

或

y = - \frac{8}{5}

。

y = - 4

時

x = 8 - 3 = 5

，得

(5, - 4)

；

y = - \frac{8}{5}

時

x = \frac{16}{5} - 3 = \frac{1}{5}

，不是格子點。答：

A (5, - 4)

。

判斷點在直線哪一側，把點代進直線式看正負；平行要排除重合。

02填充題（本頁第 7～11 題）：不相交、摺疊、圓心範圍與整數計數

第 7 題配方：

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 5 - k

。要是圓，需

5 - k > 0

，

k < 5

。圓心

(1, 2)

到直線的距離

\frac{∣3 + 8 - 1∣}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = \frac{10}{5} = 2

。沒有交點

⟺

距離大於半徑：

2 > 5 - k

，

4 > 5 - k

，

k > 1

。合起來

1 < k < 5

。

k = 5

時圖形只剩一點

(1, 2)

，

k > 5

時沒有圖形，都不是圓，所以上界是

k < 5

。

第 8 題

M

是劣弧

P Q

的中點，圓心

O

、

M

都在弦

\overline{P Q}

的中垂線上。沿

\overline{P Q}

摺起後

M

與

O

重合，表示

O

是

M

對直線

L

的對稱點。

L

的斜率

- \frac{3}{4}

，過

M (2, 1)

且垂直

L

的直線斜率

\frac{4}{3}

：

y - 1 = \frac{4}{3} (x - 2)

，即

4 x - 3 y - 5 = 0

。與

L : 6 x + 8 y + 5 = 0

聯立：由

4 x - 3 y - 5 = 0

得

x = \frac{3 y + 5}{4}

，代入

L

：

\frac{6 ( 3 y + 5 )}{4} + 8 y + 5 = 0

，

18 y + 30 + 32 y + 20 = 0

，

y = - 1

、

x = \frac{1}{2}

，垂足

N (\frac{1}{2}, - 1)

。

N

是

\overline{M O}

的中點，

O = (2 \times \frac{1}{2} - 2, 2 \times (- 1) - 1) = (- 1, - 3)

。圓心

(- 1, - 3)

。

檢查：

M

到

L

的距離

\frac{∣12 + 8 + 5∣}{10} = \frac{5}{2}

，所以半徑

\overline{O M} = 5

，圓心到

L

的距離

\frac{5}{2}

小於半徑，

L

確實與圓交於兩點，

M

也確實在較短的那段弧上。

第 9 題圓心

P

、半徑

r

：

A

在內部表示

\overline{P A} < r

，

B

在外部表示

\overline{P B} > r

，所以

\overline{P A} < \overline{P B}

。反過來，只要

\overline{P A} < \overline{P B}

，取

r

介於兩者之間就找得到這樣的圓。所以所求是

\overline{P A} < \overline{P B}

，也就是

\overline{P A}^{2} < \overline{P B}^{2}

：

x^{2} + y^{2} < (x - 8)^{2} + (y - 4)^{2}

展開消去

x^{2}

、

y^{2}

：

0 < - 16 x + 64 - 8 y + 16

，

16 x + 8 y < 80

，即

2 x + y < 10

。

2 x + y = 10

正是

\overline{A B}

的中垂線；所求是中垂線靠

A

的那一側（不含中垂線）。

第 10 題配方：

(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 5

，圓心

(4, 3)

，半徑

5

。

\frac{b - 2}{a - 1}

是

P

與定點

(1, 2)

連線的斜率。

(1, 2)

到圓心的距離

9 + 1 = 10 > 5

，在圓外。過

(1, 2)

、斜率

k

的直線

k x - y - k + 2 = 0

與圓有交點

⟺

圓心到它的距離不超過半徑：

\frac{∣4 k - 3 - k + 2∣}{k ^{2} + 1} \leq 5

即

(3 k - 1)^{2} \leq 5 (k^{2} + 1)

，

4 k^{2} - 6 k - 4 \leq 0

，

2 k^{2} - 3 k - 2 \leq 0

，

(2 k + 1) (k - 2) \leq 0

，

- \frac{1}{2} \leq k \leq 2

。整數

k = 0, 1, 2

。

k = 0

、

k = 1

時距離小於半徑，各交於兩點；

k = 2

時

(2 k + 1) (k - 2) = 0

，距離等於半徑，相切只有一點。共

2 + 2 + 1 = 5

個。

圓上沒有

a = 1

的點（

(1 - 4)^{2} = 9 > 5

），所以每一點的斜率都有意義。

第 11 題

\overline{A B} = 5

，直線

A B

：

\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1

，即

3 x + 4 y - 12 = 0

。圓心

(5, 10)

到

A B

的距離

\frac{∣15 + 40 - 12∣}{5} = \frac{43}{5}

，大於半徑

5

，整個圓都在

A B

的同一側。圓上的點到

A B

的距離

h

從

\frac{43}{5} - 5 = \frac{18}{5}

到

\frac{43}{5} + 5 = \frac{68}{5}

。面積

= \frac{1}{2} \times 5 \times h = \frac{5}{2} h

，範圍是

9

到

34

。面積是

9

或

34

時各只有一點（最近點、最遠點）；面積是

10, 11, \dots, 33

這

24

個整數時，

h

是固定值，到

A B

距離為

h

且在圓這一側的平行線與圓交於兩點，各有兩個

P

。共

2 + 24 \times 2 = 50

個。

圓上的點到某條直線的距離，範圍是「圓心到直線的距離」加減半徑，兩端各一點、中間每個值兩點。

03混合題（本頁第 12、13 題）：觀景臺外圍的草皮與封鎖線

第 12 題答 (D)。設內圓（觀景臺底部）半徑

r

、外圓半徑

R

，圓心

O

。

\overline{A B}

切內圓於

M

，所以

\overline{O M} ⊥ \overline{A B}

，

\overline{O M} = r

，且

M

是外圓弦

\overline{A B}

的中點，

\overline{A M} = 12

。直角三角形

O M A

：

R^{2} - r^{2} = \overline{A M}^{2} = 144

。草皮面積

= π R^{2} - π r^{2} = 144 π

平方公尺。

再用環寬

R - r = 8

：

(R - r) (R + r) = 144

得

R + r = 18

，所以

R = 13

、

r = 5

，下一小題會用到。

第 13 題

由上一小題，內圓半徑 $r = 5$ 、外圓半徑 $13$ ， $\overline{A M} = \overline{M B} = 12$ 。由圖(二)， $Q$ 在 $M$ 與 $B$ 之間，內圓在 $△ A P Q$ 內部；內圓與 $\overline{A Q}$ 、 $\overline{P Q}$ 、 $\overline{P A}$ 三條線都相切，是直角三角形 $A P Q$ 的內切圓。設內圓切 $\overline{P Q}$ 於 $T$ 、切 $\overline{P A}$ 於 $S$ 。

求 AQ。 $∠ Q = 9 0^{\circ}$ ， $O M ⊥ A Q$ 、 $O T ⊥ P Q$ ， $O M QT$ 是邊長為 $5$ 的正方形， $\overline{M Q} = 5$ 。 $\overline{A Q} = \overline{A M} + \overline{M Q} = 12 + 5 = 17$ 公尺。

求 PQ。 從圓外一點到圓的兩條切線段等長： $\overline{A S} = \overline{A M} = 12$ ；設 $\overline{P S} = \overline{P T} = t$ ，則 $\overline{P Q} = t + 5$ 、 $\overline{P A} = t + 12$ 。畢氏定理： $1 7^{2} + (t + 5)^{2} = (t + 12)^{2}$ $289 + t^{2} + 10 t + 25 = t^{2} + 24 t + 144$ ， $14 t = 170$ ， $t = \frac{85}{7}$ 。 $\overline{P Q} = \frac{85}{7} + 5 = \frac{120}{7}$ 公尺。

答： $\overline{A Q} = 17$ 公尺， $\overline{P Q} = \frac{120}{7}$ 公尺。

也可以用坐標檢查：令圓心為原點，

A B

為

y = - 5

，

A (- 12, - 5)

，

P Q

為

x = 5

。過

A

的另一條切線設為

y + 5 = m (x + 12)

，由圓心到它的距離等於

5

得

m = \frac{120}{119}

，與

x = 5

交於

P (5, \frac{85}{7})

，

\overline{P Q} = \frac{85}{7} + 5 = \frac{120}{7}

。學校答案卷把 (2) 的 7 分拆成

\overline{A Q}

3 分、

\overline{P Q}

4 分。

弦切內圓時，半弦、內半徑、外半徑構成直角三角形；圓外一點的兩條切線段等長。

04多重選擇題（本頁第 14～16 題）：方程式的圖形、切線與不等式區域

第 14 題答案 (3)(5)。(1) 錯誤。 只說

a, b

不全為零，

b

可以是

0

：例如

x - 1 = 0

（

a = 1

、

b = 0

）是鉛直線，斜率不存在，

- \frac{a}{b}

沒有意義。(2) 錯誤。 方程式化為

3 x + 4 y = 12 k

，與

3 x + 4 y = 5

平行或重合；

k = \frac{5}{12}

時兩者重合，有無限多個交點。(3) 正確。 表示點

(x, y)

到

(2, 7)

的距離為

9

，圖形是圓心

(2, 7)

、半徑

9

的圓。(4) 錯誤。 同除以

2

再配方：

(x + 1)^{2} + (y + \frac{3}{2})^{2} = 1 + \frac{9}{4} - \frac{7}{2} = - \frac{1}{4} < 0

，沒有圖形，不是圓。(5) 正確。 過

A

、

B

的圓，

\overline{A B}

是它的一條弦，直徑不小於弦長，所以半徑至少

\frac{A B}{2}

；以

\overline{A B}

為直徑的圓恰好達到。

\overline{A B} = 2^{2} + 1^{2} = 5

，最小半徑

\frac{5}{2}

。

第 15 題答案 (1)(2)(5)。配方：

(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 4

，圓心

C (1, - 1)

，半徑

2

。(1) 正確。

C

到

L

的距離

\frac{∣3 + 4 + 18∣}{5} = 5 > 2

。(2) 正確。 從

P

作的兩條切線對稱於直線

P C

，所以

L_{1}

、

L_{2}

兩個夾角的角平分線，一條是

P C

，另一條是過

P

且垂直

P C

的直線。

L

過

P

；若

L

是

P C

，

L

要過

C

，但

3 - 4 \times (- 1) + 18 = 25 \neq = 0

，

C

不在

L

上。所以

L

是另一條，

P C ⊥ L

。(3) 錯誤。 由 (2)，

P

是

C

到

L

的垂足，

\overline{P C} = 5

。若

L_{1} ⊥ L_{2}

，

P

、兩切點與

C

圍成邊長

2

的正方形，

\overline{P C}

應為

22

，不是

5

。(4) 錯誤。 由 (2)，

P

是

C

到

L

的垂足。

L

的斜率

\frac{3}{4}

，過

C (1, - 1)

垂直

L

的直線斜率

- \frac{4}{3}

：

y + 1 = - \frac{4}{3} (x - 1)

，即

4 x + 3 y - 1 = 0

。與

3 x - 4 y + 18 = 0

聯立：前式乘

4

、後式乘

3

相加，

25 x + 50 = 0

，

x = - 2

，代回得

y = 3

，

P (- 2, 3)

。

(- 3, \frac{9}{4})

雖在

L

上，但不是垂足。(5) 正確。 圓上每一點的對稱點都還在圓上，表示圓對這條直線對稱，直線必過圓心（不過圓心的話，圓心的對稱點是另一點，對稱後的圓圓心不同）。

C (1, - 1)

代入：

a + b - 15 = 0

，

a + b = 15

。

第 16 題

答案 (2)(5)。先認清每個不等式對應哪條邊。 $c x + y + d \geq 0$ 即 $y \geq - c x - d$ ，區域在那條線的上方； $x + a y + b \geq 0$ 即 $x \geq - a y - b$ ，區域在那條線的右方； $x + ey + f \leq 0$ ，區域在那條線的左方。圖中三角形只在「斜率為負、較平緩的那條線」的上方（在另外兩條線的下方），所以 $c x + y + d = 0$ 是較平緩的那條；剩下兩條中，三角形在「斜率為正的那條線」的右方、在「斜率為負、較陡的那條線」的左方，所以 $x + a y + b = 0$ 是斜率為正的線， $x + ey + f = 0$ 是較陡的線。

斜率為正的線 $x + a y + b = 0$ ：斜率 $- \frac{1}{a} > 0$ ，所以 $a < 0$ ；它與 $x$ 軸交在原點左側， $x$ 截距 $- b < 0$ ，所以 $b > 0$ 。較平緩的線 $c x + y + d = 0$ ：斜率 $- c < 0$ ，所以 $c > 0$ ；它與 $y$ 軸交在刻度 $1$ 的上方， $y$ 截距 $- d > 1$ ，所以 $d < - 1$ 。較陡的線 $x + ey + f = 0$ ：斜率 $- \frac{1}{e}$ 為負且比 $- 1$ 更陡（ $x$ 每增加 $1$ ， $y$ 下降超過 $1$ ），即 $- \frac{1}{e} < - 1$ ，所以 $0 < e < 1$ 。

(1) 錯誤。 (2) 正確。 (3) 錯誤。 (4) 錯誤。 (5) 正確。

(4)、(5) 要讀圖上的刻度：平緩的線在

y

軸上的截距高於

1

，較陡的線斜率比

- 1

陡。

不等式

x + a y + b \geq 0

看左右、

c x + y + d \geq 0

看上下，先配對再由斜率與截距判斷係數正負。

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填充第 2 題要排除兩線重合的 k = 1；第 3 題要列表看四個頂點代入後的正負，端點會讓頂點落在直線上；第 10、11 題數點時，相切或最近最遠的那一個值只有一點；多選第 3 題要先認出三個不等式各對應哪條邊，再讀圖上的截距與斜率。詳解逐題寫在本頁。

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02填充題（本頁第 7～11 題）：不相交、摺疊、圓心範圍與整數計數

03混合題（本頁第 12、13 題）：觀景臺外圍的草皮與封鎖線

04多重選擇題（本頁第 14～16 題）：方程式的圖形、切線與不等式區域

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