段考詳解範圍：微分（導數的定義、微分公式、二階導數、切線與一次近似、遞增遞減與極值、凹凸與反曲點、最大最小值）

武陵高中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

多選題 2 題（每題 10 分，錯 1 選項得 6 分，錯 2 選項得 2 分，錯 3 選項以上得 0 分）、選填題 I 共 5 題（每格 8 分，共 40 分）、選填題 II 共 5 題（每格 5 分，共 25 分）、計算題 2 題（依序 8 分、7 分，需要完整過程），合計 100 分。選填題 I 的 A～E 依序為本頁第 3～7 題，選填題 II 的 F～J 依序為本頁第 8～12 題，計算題第 1、2 題為本頁第 13、14 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多選題：20%(每題 10 分，錯 1 選項得 6 分，錯 2 選項得 2 分，錯 3 選項以上得 0 分)

下圖為三次函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

的圖形，

a, b, c, d

為實數，在反曲點所作的切線為水平切線，請選出正確的選項：

(1) $b > 0$
(2) $c > 0$
(3) $3 a + 2 b + c \leq 0$
(4) $6 a - 2 b > 0$
(5) $b^{2} - 3 a c = 0$

載入中...

關於多項式函數

f (x) = x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e

，

a, b, c, d, e

為實數，下列各敘述哪些正確？

(1) $f (x)$ 在 $x = 0$ 的近似直線為 $y = d x + e$
(2) $f (x)$ 在 $x = a$ 的近似直線為 $y = f^{'} (a) x + f (a)$
(3) 若 $f (a) = 0$ ， $f^{'} (a) = 0$ ，則 $f (x)$ 除以 $(x - a)^{2}$ 的餘式是 $0$
(4) 若 $(x - a)^{2}$ 是 $f (x)$ 的因式，則 $f (a) = 0$ ， $f^{'} (a) = 0$
(5) 若 $f^{'} (a) f^{''} (a) > 0$ ，則可找到一個區間 $(p, q)$ ， $a \in (p, q)$ ，使得 $f (x)$ 在區間 $(p, q)$ 為遞增函數

二. 選填題 I：請在答案卡上對應的位置劃記答案　40%(每格 8 分)

A. 多項式函數

f (x) = (x^{2} + 2 x - 5) (x^{2} - x)

，試求

f^{'} (1) =

____。

B. 函數

f (x) = \frac{3 x ^{2} - x + 1}{x ^{2}}

，試求

f^{'} (- 1) =

____。

C. 多項式函數

f (x) = (x^{2} + 2)^{4}

，試求二階導數

f^{''} (0) =

____。

D. 多項式函數

f (x) = x^{3} - 3 x - 5

，定義域為

[- 5, 2]

，試求

f (x)

的最大值為 ____。

E. 多項式函數

f (x) = x^{5} - 7 x + 7

，試求

f (0.99)

的近似值 ____。(四捨五入至小數點後第 2 位)

三. 選填題 II：請在答案卡上對應的位置劃記答案　25%(每格 5 分)

F. 函數

f (x) = x^{3} - 2 x

，以

(1, f (1))

為切點所作的切線與

x

軸交於

(a_{1}, 0)

，以

(a_{1}, f (a_{1}))

為切點所作的切線與

x

軸交於

(a_{2}, 0)

，試求

a_{2} =

____。(化簡為最簡分數)

G. 函數

f (x) = 25 - x^{2}

，利用導數的定義求

f^{'} (3) =

____。(化簡為最簡分數)

H. 已知

y = x^{3} + 4 x^{2} - 9 x - 7

與

y = x^{2} + k

的圖形有三個相異交點，試求

k

的範圍為 ____

< k <

____。

I. 函數

f (x) = x [x]

，其中

[]

為高斯符號，試求

h \to 0 lim \frac{f ( 2 - h ) - f ( 2 )}{h} =

____。

J. 多項式函數

f (x) = x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 8

，

y = f (x)

圖形上有相異兩點

P (- 1, 1)

、

Q (a, b)

，若直線

P Q

為

y = f (x)

的一條切線，

Q

為切點，試求

a =

____。

四. 計算題：15%(計算題需要完整過程，否則不計分)

1. 如圖，曲線

y^{2} = 4 x

與直線

x = 3

的內接矩形

A B C D

，

C

、

D

在直線

x = 3

上，

A

在直線

x = 3

左側，求矩形

A B C D

最大面積為多少？(8%)

載入中...

2. 多項式函數

f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} + 1

，求出函數圖形的反曲點座標(7%)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(3)(5)

第 2 題(1)(3)(4)

第 3 題

- 2

第 4 題

3

第 5 題

64

第 6 題

- 3

第 7 題

1.02

第 8 題

\frac{8}{5}

第 9 題

- \frac{3}{4}

第 10 題

- 12 < k < 20

第 11 題

- 1

第 12 題

- 4

第 13 題

8

第 14 題

(0, 1)

與

(- \frac{2}{3}, \frac{11}{27})

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1：由圖形與水平切線的反曲點判斷係數

第 1 題

答案 (1)(3)(5)。

由圖： $x$ 很大時圖形往下，所以 $a < 0$ ；反曲點在 $y$ 軸右側，設它的 $x$ 坐標為 $t$ ，則 $t > 0$ 。

$f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ ， $f^{''} (x) = 6 a x + 2 b$ 。反曲點滿足 $f^{''} (t) = 0$ ，得 $t = - \frac{b}{3 a}$ 。又反曲點的切線是水平線，所以 $f^{'} (t) = 0$ 。 $f^{'} (x)$ 是二次函數，對稱軸是 $x = - \frac{2 b}{6 a} = t$ ，頂點的值 $f^{'} (t) = 0$ ，所以

$f^{'} (x) = 3 a (x - t)^{2}$

(1) 正確。 $t = - \frac{b}{3 a} > 0$ 而 $a < 0$ ，所以 $b = - 3 a t > 0$ 。

(2) 錯誤。 比較 $f^{'} (x) = 3 a (x - t)^{2} = 3 a x^{2} - 6 a t x + 3 a t^{2}$ 的常數項， $c = 3 a t^{2}$ ； $a < 0$ 、 $t \neq = 0$ ，所以 $c < 0$ 。

(3) 正確。 $3 a + 2 b + c = f^{'} (1) = 3 a (1 - t)^{2}$ ， $a < 0$ 而 $(1 - t)^{2} \geq 0$ ，所以 $3 a + 2 b + c \leq 0$ 。

(4) 錯誤。 $a < 0$ 、 $b > 0$ ，所以 $6 a - 2 b < 0$ 。

(5) 正確。 $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ 寫成完全平方 $3 a (x - t)^{2}$ ，表示 $f^{'} (x) = 0$ 有重根，判別式 $(2 b)^{2} - 4 \cdot 3 a \cdot c = 4 (b^{2} - 3 a c) = 0$ ，所以 $b^{2} - 3 a c = 0$ 。

這種三次函數的導函數恆不大於

0

，所以

f (x)

一路遞減，在反曲點只是「停一下」而沒有極值。(4) 也可以看成

6 a - 2 b = - f^{''} (- 1)

：

x = - 1

在反曲點左側，那裡圖形凹向上，

f^{''} (- 1) > 0

。

02多選 2：近似直線、重根因式與遞增

第 2 題

答案 (1)(3)(4)。

(1) 正確。 $f (0) = e$ ， $f^{'} (x) = 4 x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d$ ， $f^{'} (0) = d$ 。 $x = 0$ 的近似直線就是過 $(0, e)$ 、斜率 $d$ 的切線 $y = d x + e$ 。

(2) 錯誤。 在 $x = a$ 的近似直線是 $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ ，不是 $y = f^{'} (a) x + f (a)$ 。例如 $f (x) = x^{4}$ 、 $a = 1$ ：近似直線是 $y = 4 (x - 1) + 1 = 4 x - 3$ ，而 $f^{'} (1) x + f (1) = 4 x + 1$ 。

(3) 正確。 用 $(x - a)^{2}$ 除 $f (x)$ ，餘式次數小於 $2$ ，可以寫成

$f (x) = (x - a)^{2} q (x) + r (x - a) + s$

代 $x = a$ 得 $f (a) = s = 0$ 。兩邊微分： $f^{'} (x) = 2 (x - a) q (x) + (x - a)^{2} q^{'} (x) + r$ ，代 $x = a$ 得 $f^{'} (a) = r = 0$ 。所以餘式 $r (x - a) + s = 0$ 。

(4) 正確。 設 $f (x) = (x - a)^{2} q (x)$ ，則 $f (a) = 0$ ； $f^{'} (x) = 2 (x - a) q (x) + (x - a)^{2} q^{'} (x)$ ，所以 $f^{'} (a) = 0$ 。

(5) 錯誤。 $f^{'} (a) f^{''} (a) > 0$ 也包含 $f^{'} (a) < 0$ 、 $f^{''} (a) < 0$ 的情形。例如 $f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ （ $b = - 4$ ， $c = d = e = 0$ ）、 $a = 1$ ： $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$ ， $f^{'} (1) = - 8$ ； $f^{''} (x) = 12 x^{2} - 24 x$ ， $f^{''} (1) = - 12$ ，乘積 $96 > 0$ 。但 $f^{'} (x)$ 是連續函數且 $f^{'} (1) < 0$ ，在 $1$ 附近 $f^{'} (x) < 0$ ， $f (x)$ 在包含 $1$ 的小區間上遞減，找不到包含 $1$ 而使 $f (x)$ 遞增的區間。

(5) 真正能推出「附近遞增」的條件是

f^{'} (a) > 0

（

f^{'} (x)

連續，所以在

a

附近仍大於

0

），與

f^{''} (a)

的正負無關。

03選填 I 的 A～C（本頁 3～5）：微分公式

第 3 題

由乘積的微分：

$f^{'} (x) = (2 x + 2) (x^{2} - x) + (x^{2} + 2 x - 5) (2 x - 1)$

代入 $x = 1$ ： $f^{'} (1) = 4 \cdot 0 + (- 2) \cdot 1 = - 2$ 。

第 4 題

先拆開： $f (x) = 3 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} = 3 - x^{- 1} + x^{- 2}$ （ $x \neq = 0$ ）。

$f^{'} (x) = x^{- 2} - 2 x^{- 3} = \frac{1}{x ^{2}} - \frac{2}{x ^{3}}$

代入 $x = - 1$ ： $f^{'} (- 1) = 1 - \frac{2}{- 1} = 3$ 。

也可以用商的微分：

f^{'} (x) = \frac{( 6 x - 1 ) x ^{2} - ( 3 x ^{2} - x + 1 ) \cdot 2 x}{x ^{4}} = \frac{x - 2}{x ^{3}}

，

f^{'} (- 1) = \frac{- 3}{- 1} = 3

。

第 5 題

由連鎖律 $f^{'} (x) = 4 (x^{2} + 2)^{3} \cdot 2 x = 8 x (x^{2} + 2)^{3}$ 。再用乘積的微分與連鎖律：

$f^{''} (x) = 8 (x^{2} + 2)^{3} + 8 x \cdot 3 (x^{2} + 2)^{2} \cdot 2 x = 8 (x^{2} + 2)^{3} + 48 x^{2} (x^{2} + 2)^{2}$

代入 $x = 0$ ： $f^{''} (0) = 8 \cdot 8 + 0 = 64$ 。

也可以展開看

x^{2}

項：

(x^{2} + 2)^{4} = 16 + 32 x^{2} + \dots

，

f^{''} (0)

等於

x^{2}

項係數的

2

倍，是

64

。

04選填 I 的 D（本頁 6）：閉區間上的最大值

第 6 題

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x + 1) (x - 1)$ ，在 $(- 5, 2)$ 內的臨界點是 $x = - 1$ 與 $x = 1$ 。比較臨界點與兩端點的函數值：

$f (- 5) = - 125 + 15 - 5 = - 115, f (- 1) = - 1 + 3 - 5 = - 3$

$f (1) = 1 - 3 - 5 = - 7, f (2) = 8 - 6 - 5 = - 3$

最大值為 $- 3$ （在 $x = - 1$ 與 $x = 2$ 都取到）。

閉區間上的最大值要連端點一起比，本題的端點

x = 2

剛好與極大值一樣大。

05選填 I 的 E（本頁 7）：一次近似

第 7 題

$f (1) = 1 - 7 + 7 = 1$ ， $f^{'} (x) = 5 x^{4} - 7$ ， $f^{'} (1) = - 2$ 。在 $x = 1$ 附近的一次近似為

$f (x) \approx f (1) + f^{'} (1) (x - 1) = 1 - 2 (x - 1)$

代入 $x = 0.99$ ： $f (0.99) \approx 1 - 2 \times (- 0.01) = 1.02$ 。

直接計算

f (0.99) = 0.9 9^{5} - 6.93 + 7 \approx 1.02099

，四捨五入到小數點後第 2 位也是

1.02

。

06選填 II 的 F（本頁 8）：連續兩次作切線

第 8 題

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$ 。

第一次： $f (1) = - 1$ ， $f^{'} (1) = 1$ ，切線 $y + 1 = 1 \cdot (x - 1)$ ，即 $y = x - 2$ ，與 $x$ 軸交於 $x = 2$ ，所以 $a_{1} = 2$ 。

第二次： $f (2) = 8 - 4 = 4$ ， $f^{'} (2) = 12 - 2 = 10$ ，切線 $y - 4 = 10 (x - 2)$ 。令 $y = 0$ ： $x = 2 - \frac{4}{10} = \frac{8}{5}$ ，所以 $a_{2} = \frac{8}{5}$ 。

07選填 II 的 G（本頁 9）：用定義求導數

第 9 題

$f (3) = 25 - 9 = 4$ 。由導數的定義：

$f^{'} (3) = h \to 0 lim \frac{25 - ( 3 + h ) ^{2} - 4}{h}$

分子有理化（分子分母同乘 $25 - (3 + h)^{2} + 4$ ）：

$= h \to 0 lim \frac{25 - ( 3 + h ) ^{2} - 16}{h ( 25 - ( 3 + h ) ^{2} + 4 )} = h \to 0 lim \frac{- 6 h - h ^{2}}{h ( 25 - ( 3 + h ) ^{2} + 4 )}$

$h \neq = 0$ ，約去 $h$ ：

$= h \to 0 lim \frac{- 6 - h}{25 - ( 3 + h ) ^{2} + 4} = \frac{- 6}{4 + 4} = \frac{- 3}{4}$

可以用連鎖律核對：

f^{'} (x) = \frac{- 2 x}{2 25 - x ^{2}} = \frac{- x}{25 - x ^{2}}

，

f^{'} (3) = \frac{- 3}{4}

。題目要求用定義，計算過程要寫極限。

08選填 II 的 H（本頁 10）：交點個數與極值

第 10 題

兩圖形的交點滿足 $x^{3} + 4 x^{2} - 9 x - 7 = x^{2} + k$ ，即

$x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 7 = k$

令 $g (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 7$ ，有三個相異交點等於水平線 $y = k$ 與 $y = g (x)$ 的圖形有三個交點。

$g^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x - 9 = 3 (x + 3) (x - 1)$ ： $x < - 3$ 時 $g^{'} (x) > 0$ ， $- 3 < x < 1$ 時 $g^{'} (x) < 0$ ， $x > 1$ 時 $g^{'} (x) > 0$ 。所以極大值 $g (- 3) = - 27 + 27 + 27 - 7 = 20$ ，極小值 $g (1) = 1 + 3 - 9 - 7 = - 12$ 。

$g (x)$ 先遞增到 $20$ 、再遞減到 $- 12$ 、再遞增，水平線 $y = k$ 要與它交三次，必須介於極小值與極大值之間： $- 12 < k < 20$ 。

k = 20

或

k = - 12

時水平線與圖形相切，只有兩個相異交點，所以兩端都不能取等號。

09選填 II 的 I（本頁 11）：含高斯符號的函數

第 11 題

$1 < 2 < 2$ 。當 $∣ h ∣$ 很小（例如 $∣ h ∣ < 0.4$ ）時， $2 - h$ 也在 $1$ 與 $2$ 之間， $[2 - h] = 1$ ，所以

$f (2 - h) = 2 - h, f (2) = 2 \cdot 1 = 2$

$\frac{f ( 2 - h ) - f ( 2 )}{h} = \frac{( 2 - h ) - 2}{h} = - 1$

$h \to 0$ 時極限為 $- 1$ 。

在

1 \leq x < 2

這段

f (x) = x

，

f^{'} (2) = 1

；題目的式子是

h

前面帶負號的定義式，等於

- f^{'} (2) = - 1

。

10選填 II 的 J（本頁 12）：切於 Q 而通過 P 的切線

第 12 題

$f (- 1) = - 1 + 9 - 15 + 8 = 1$ ，所以 $P$ 在圖形上。 $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 18 x + 15 = 3 (x + 1) (x + 5)$ 。

以 $Q (a, f (a))$ 為切點的切線是 $y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$ ，它通過 $P (- 1, 1)$ ：

$f (a) - f (- 1) = f^{'} (a) (a + 1)$

左邊因式分解： $f (x) - 1 = x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 7 = (x + 1) (x^{2} + 8 x + 7) = (x + 1)^{2} (x + 7)$ ，所以

$(a + 1)^{2} (a + 7) = 3 (a + 1) (a + 5) (a + 1)$

$P$ 、 $Q$ 相異， $a \neq = - 1$ ，兩邊約去 $(a + 1)^{2}$ ： $a + 7 = 3 a + 15$ ， $a = - 4$ 。

驗算：

f (- 4) = - 64 + 144 - 60 + 8 = 28

，

f^{'} (- 4) = 3 \cdot (- 3) \cdot 1 = - 9

，過

Q (- 4, 28)

的切線

y = - 9 x - 8

，代

x = - 1

得

y = 1

，確實通過

P

。

11計算題第 1 題（本頁 13）：拋物線內接矩形的最大面積

第 13 題

由圖， $A$ 、 $D$ 在 $x$ 軸上方， $B$ 、 $C$ 在 $x$ 軸下方。設 $A (x, 2 x)$ ， $0 < x < 3$ （ $A$ 在第一象限、在直線 $x = 3$ 左側），由對稱性 $B (x, - 2 x)$ ， $D (3, 2 x)$ ， $C (3, - 2 x)$ 。

矩形 $A B C D$ 的面積 $S = \overline{A D} \times \overline{A B} = (3 - x) \cdot 4 x$ 。

$S > 0$ ， $S$ 最大時 $S^{2}$ 也最大。令

$g (x) = S^{2} = 16 x (3 - x)^{2} = 16 (x^{3} - 6 x^{2} + 9 x), 0 < x < 3$

$g^{'} (x) = 16 (3 x^{2} - 12 x + 9) = 48 (x - 1) (x - 3)$

$0 < x < 1$ 時 $g^{'} (x) > 0$ ， $g (x)$ 遞增； $1 < x < 3$ 時 $g^{'} (x) < 0$ ， $g (x)$ 遞減。所以 $x = 1$ 時 $g (x)$ 有最大值 $g (1) = 16 \cdot 1 \cdot 4 = 64$ 。

矩形 $A B C D$ 的最大面積為 $64 = 8$ （此時 $A (1, 2)$ ）。

學校答案卷的給分：令函數（含各種不同令法）並寫出定義域 3 分，算出最大值的過程與答案 5 分。

12計算題第 2 題（本頁 14）：反曲點

第 14 題

$f^{'} (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2}$ ，

$f^{''} (x) = 36 x^{2} + 24 x = 12 x (3 x + 2)$

$f^{''} (x) = 0$ 的解為 $x = - \frac{2}{3}$ 與 $x = 0$ 。 $f^{''} (x)$ 的正負：

$x < - \frac{2}{3}$ 時 $f^{''} (x) > 0$ ，凹向上； $- \frac{2}{3} < x < 0$ 時 $f^{''} (x) < 0$ ，凹向下； $x > 0$ 時 $f^{''} (x) > 0$ ，凹向上。

凹向在 $x = - \frac{2}{3}$ 與 $x = 0$ 都改變，兩處都是反曲點。

$f (0) = 1, f (- \frac{2}{3}) = 3 \cdot \frac{16}{81} + 4 \cdot (- \frac{8}{27}) + 1 = \frac{48}{81} - \frac{96}{81} + 1 = \frac{11}{27}$

反曲點為 $(0, 1)$ 與 $(- \frac{2}{3}, \frac{11}{27})$ 。

只寫

f^{''} (x) = 0

的解還不夠，要確認

f^{''} (x)

在那裡變號。

(0, 1)

這個點的切線斜率

f^{'} (0) = 0

，是水平切線的反曲點。

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武陵高中 113 上高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 1 題要由反曲點的切線水平看出導函數是完全平方，再判斷各係數的正負；多選第 2 題要分清楚近似直線的正確寫法，並舉出導數與二階導數同為負的反例；第 10 題要把交點個數化成水平線與三次函數的交點，再看極大值與極小值；第 12 題切點不是 P，要設切點並約去重複的因式。

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御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：微分（導數的定義、微分公式、二階導數、切線與一次近似、遞增遞減與極值、凹凸與反曲點、最大最小值）

武陵高中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

一、多選題：20%(每題 10 分，錯 1 選項得 6 分，錯 2 選項得 2 分，錯 3 選項以上得 0 分)

下圖為三次函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

的圖形，

a, b, c, d

為實數，在反曲點所作的切線為水平切線，請選出正確的選項：

(1) $b > 0$
(2) $c > 0$
(3) $3 a + 2 b + c \leq 0$
(4) $6 a - 2 b > 0$
(5) $b^{2} - 3 a c = 0$

載入中...

關於多項式函數

f (x) = x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e

，

a, b, c, d, e

為實數，下列各敘述哪些正確？

(1) $f (x)$ 在 $x = 0$ 的近似直線為 $y = d x + e$
(2) $f (x)$ 在 $x = a$ 的近似直線為 $y = f^{'} (a) x + f (a)$
(3) 若 $f (a) = 0$ ， $f^{'} (a) = 0$ ，則 $f (x)$ 除以 $(x - a)^{2}$ 的餘式是 $0$
(4) 若 $(x - a)^{2}$ 是 $f (x)$ 的因式，則 $f (a) = 0$ ， $f^{'} (a) = 0$
(5) 若 $f^{'} (a) f^{''} (a) > 0$ ，則可找到一個區間 $(p, q)$ ， $a \in (p, q)$ ，使得 $f (x)$ 在區間 $(p, q)$ 為遞增函數

二. 選填題 I：請在答案卡上對應的位置劃記答案　40%(每格 8 分)

A. 多項式函數

f (x) = (x^{2} + 2 x - 5) (x^{2} - x)

，試求

f^{'} (1) =

____。

B. 函數

f (x) = \frac{3 x ^{2} - x + 1}{x ^{2}}

，試求

f^{'} (- 1) =

____。

C. 多項式函數

f (x) = (x^{2} + 2)^{4}

，試求二階導數

f^{''} (0) =

____。

D. 多項式函數

f (x) = x^{3} - 3 x - 5

，定義域為

[- 5, 2]

，試求

f (x)

的最大值為 ____。

E. 多項式函數

f (x) = x^{5} - 7 x + 7

，試求

f (0.99)

的近似值 ____。(四捨五入至小數點後第 2 位)

三. 選填題 II：請在答案卡上對應的位置劃記答案　25%(每格 5 分)

F. 函數

f (x) = x^{3} - 2 x

，以

(1, f (1))

為切點所作的切線與

x

軸交於

(a_{1}, 0)

，以

(a_{1}, f (a_{1}))

為切點所作的切線與

x

軸交於

(a_{2}, 0)

，試求

a_{2} =

____。(化簡為最簡分數)

G. 函數

f (x) = 25 - x^{2}

，利用導數的定義求

f^{'} (3) =

____。(化簡為最簡分數)

H. 已知

y = x^{3} + 4 x^{2} - 9 x - 7

與

y = x^{2} + k

的圖形有三個相異交點，試求

k

的範圍為 ____

< k <

____。

I. 函數

f (x) = x [x]

，其中

[]

為高斯符號，試求

h \to 0 lim \frac{f ( 2 - h ) - f ( 2 )}{h} =

____。

J. 多項式函數

f (x) = x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 8

，

y = f (x)

圖形上有相異兩點

P (- 1, 1)

、

Q (a, b)

，若直線

P Q

為

y = f (x)

的一條切線，

Q

為切點，試求

a =

____。

四. 計算題：15%(計算題需要完整過程，否則不計分)

1. 如圖，曲線

y^{2} = 4 x

與直線

x = 3

的內接矩形

A B C D

，

C

、

D

在直線

x = 3

上，

A

在直線

x = 3

左側，求矩形

A B C D

最大面積為多少？(8%)

載入中...

2. 多項式函數

f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} + 1

，求出函數圖形的反曲點座標(7%)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(3)(5)

第 2 題(1)(3)(4)

第 3 題

- 2

第 4 題

3

第 5 題

64

第 6 題

- 3

第 7 題

1.02

第 8 題

\frac{8}{5}

第 9 題

- \frac{3}{4}

第 10 題

- 12 < k < 20

第 11 題

- 1

第 12 題

- 4

第 13 題

8

第 14 題

(0, 1)

與

(- \frac{2}{3}, \frac{11}{27})

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1：由圖形與水平切線的反曲點判斷係數

第 1 題

答案 (1)(3)(5)。

由圖： $x$ 很大時圖形往下，所以 $a < 0$ ；反曲點在 $y$ 軸右側，設它的 $x$ 坐標為 $t$ ，則 $t > 0$ 。

$f^{'} (x) = 3 a (x - t)^{2}$

(1) 正確。 $t = - \frac{b}{3 a} > 0$ 而 $a < 0$ ，所以 $b = - 3 a t > 0$ 。

(2) 錯誤。 比較 $f^{'} (x) = 3 a (x - t)^{2} = 3 a x^{2} - 6 a t x + 3 a t^{2}$ 的常數項， $c = 3 a t^{2}$ ； $a < 0$ 、 $t \neq = 0$ ，所以 $c < 0$ 。

(3) 正確。 $3 a + 2 b + c = f^{'} (1) = 3 a (1 - t)^{2}$ ， $a < 0$ 而 $(1 - t)^{2} \geq 0$ ，所以 $3 a + 2 b + c \leq 0$ 。

(4) 錯誤。 $a < 0$ 、 $b > 0$ ，所以 $6 a - 2 b < 0$ 。

這種三次函數的導函數恆不大於

0

，所以

f (x)

一路遞減，在反曲點只是「停一下」而沒有極值。(4) 也可以看成

6 a - 2 b = - f^{''} (- 1)

：

x = - 1

在反曲點左側，那裡圖形凹向上，

f^{''} (- 1) > 0

。

02多選 2：近似直線、重根因式與遞增

第 2 題

答案 (1)(3)(4)。

(1) 正確。 $f (0) = e$ ， $f^{'} (x) = 4 x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d$ ， $f^{'} (0) = d$ 。 $x = 0$ 的近似直線就是過 $(0, e)$ 、斜率 $d$ 的切線 $y = d x + e$ 。

(3) 正確。 用 $(x - a)^{2}$ 除 $f (x)$ ，餘式次數小於 $2$ ，可以寫成

$f (x) = (x - a)^{2} q (x) + r (x - a) + s$

代 $x = a$ 得 $f (a) = s = 0$ 。兩邊微分： $f^{'} (x) = 2 (x - a) q (x) + (x - a)^{2} q^{'} (x) + r$ ，代 $x = a$ 得 $f^{'} (a) = r = 0$ 。所以餘式 $r (x - a) + s = 0$ 。

(4) 正確。 設 $f (x) = (x - a)^{2} q (x)$ ，則 $f (a) = 0$ ； $f^{'} (x) = 2 (x - a) q (x) + (x - a)^{2} q^{'} (x)$ ，所以 $f^{'} (a) = 0$ 。

(5) 真正能推出「附近遞增」的條件是

f^{'} (a) > 0

（

f^{'} (x)

連續，所以在

a

附近仍大於

0

），與

f^{''} (a)

的正負無關。

03選填 I 的 A～C（本頁 3～5）：微分公式

第 3 題

由乘積的微分：

$f^{'} (x) = (2 x + 2) (x^{2} - x) + (x^{2} + 2 x - 5) (2 x - 1)$

代入 $x = 1$ ： $f^{'} (1) = 4 \cdot 0 + (- 2) \cdot 1 = - 2$ 。

第 4 題

先拆開： $f (x) = 3 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} = 3 - x^{- 1} + x^{- 2}$ （ $x \neq = 0$ ）。

$f^{'} (x) = x^{- 2} - 2 x^{- 3} = \frac{1}{x ^{2}} - \frac{2}{x ^{3}}$

代入 $x = - 1$ ： $f^{'} (- 1) = 1 - \frac{2}{- 1} = 3$ 。

也可以用商的微分：

f^{'} (x) = \frac{( 6 x - 1 ) x ^{2} - ( 3 x ^{2} - x + 1 ) \cdot 2 x}{x ^{4}} = \frac{x - 2}{x ^{3}}

，

f^{'} (- 1) = \frac{- 3}{- 1} = 3

。

第 5 題

由連鎖律 $f^{'} (x) = 4 (x^{2} + 2)^{3} \cdot 2 x = 8 x (x^{2} + 2)^{3}$ 。再用乘積的微分與連鎖律：

$f^{''} (x) = 8 (x^{2} + 2)^{3} + 8 x \cdot 3 (x^{2} + 2)^{2} \cdot 2 x = 8 (x^{2} + 2)^{3} + 48 x^{2} (x^{2} + 2)^{2}$

代入 $x = 0$ ： $f^{''} (0) = 8 \cdot 8 + 0 = 64$ 。

也可以展開看

x^{2}

項：

(x^{2} + 2)^{4} = 16 + 32 x^{2} + \dots

，

f^{''} (0)

等於

x^{2}

項係數的

2

倍，是

64

。

04選填 I 的 D（本頁 6）：閉區間上的最大值

第 6 題

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x + 1) (x - 1)$ ，在 $(- 5, 2)$ 內的臨界點是 $x = - 1$ 與 $x = 1$ 。比較臨界點與兩端點的函數值：

$f (- 5) = - 125 + 15 - 5 = - 115, f (- 1) = - 1 + 3 - 5 = - 3$

$f (1) = 1 - 3 - 5 = - 7, f (2) = 8 - 6 - 5 = - 3$

最大值為 $- 3$ （在 $x = - 1$ 與 $x = 2$ 都取到）。

閉區間上的最大值要連端點一起比，本題的端點

x = 2

剛好與極大值一樣大。

05選填 I 的 E（本頁 7）：一次近似

第 7 題

$f (1) = 1 - 7 + 7 = 1$ ， $f^{'} (x) = 5 x^{4} - 7$ ， $f^{'} (1) = - 2$ 。在 $x = 1$ 附近的一次近似為

$f (x) \approx f (1) + f^{'} (1) (x - 1) = 1 - 2 (x - 1)$

代入 $x = 0.99$ ： $f (0.99) \approx 1 - 2 \times (- 0.01) = 1.02$ 。

直接計算

f (0.99) = 0.9 9^{5} - 6.93 + 7 \approx 1.02099

，四捨五入到小數點後第 2 位也是

1.02

。

06選填 II 的 F（本頁 8）：連續兩次作切線

第 8 題

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$ 。

第一次： $f (1) = - 1$ ， $f^{'} (1) = 1$ ，切線 $y + 1 = 1 \cdot (x - 1)$ ，即 $y = x - 2$ ，與 $x$ 軸交於 $x = 2$ ，所以 $a_{1} = 2$ 。

第二次： $f (2) = 8 - 4 = 4$ ， $f^{'} (2) = 12 - 2 = 10$ ，切線 $y - 4 = 10 (x - 2)$ 。令 $y = 0$ ： $x = 2 - \frac{4}{10} = \frac{8}{5}$ ，所以 $a_{2} = \frac{8}{5}$ 。

07選填 II 的 G（本頁 9）：用定義求導數

第 9 題

$f (3) = 25 - 9 = 4$ 。由導數的定義：

$f^{'} (3) = h \to 0 lim \frac{25 - ( 3 + h ) ^{2} - 4}{h}$

分子有理化（分子分母同乘 $25 - (3 + h)^{2} + 4$ ）：

$= h \to 0 lim \frac{25 - ( 3 + h ) ^{2} - 16}{h ( 25 - ( 3 + h ) ^{2} + 4 )} = h \to 0 lim \frac{- 6 h - h ^{2}}{h ( 25 - ( 3 + h ) ^{2} + 4 )}$

$h \neq = 0$ ，約去 $h$ ：

$= h \to 0 lim \frac{- 6 - h}{25 - ( 3 + h ) ^{2} + 4} = \frac{- 6}{4 + 4} = \frac{- 3}{4}$

可以用連鎖律核對：

f^{'} (x) = \frac{- 2 x}{2 25 - x ^{2}} = \frac{- x}{25 - x ^{2}}

，

f^{'} (3) = \frac{- 3}{4}

。題目要求用定義，計算過程要寫極限。

08選填 II 的 H（本頁 10）：交點個數與極值

第 10 題

兩圖形的交點滿足 $x^{3} + 4 x^{2} - 9 x - 7 = x^{2} + k$ ，即

$x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 7 = k$

令 $g (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 7$ ，有三個相異交點等於水平線 $y = k$ 與 $y = g (x)$ 的圖形有三個交點。

$g (x)$ 先遞增到 $20$ 、再遞減到 $- 12$ 、再遞增，水平線 $y = k$ 要與它交三次，必須介於極小值與極大值之間： $- 12 < k < 20$ 。

k = 20

或

k = - 12

時水平線與圖形相切，只有兩個相異交點，所以兩端都不能取等號。

09選填 II 的 I（本頁 11）：含高斯符號的函數

第 11 題

$1 < 2 < 2$ 。當 $∣ h ∣$ 很小（例如 $∣ h ∣ < 0.4$ ）時， $2 - h$ 也在 $1$ 與 $2$ 之間， $[2 - h] = 1$ ，所以

$f (2 - h) = 2 - h, f (2) = 2 \cdot 1 = 2$

$\frac{f ( 2 - h ) - f ( 2 )}{h} = \frac{( 2 - h ) - 2}{h} = - 1$

$h \to 0$ 時極限為 $- 1$ 。

在

1 \leq x < 2

這段

f (x) = x

，

f^{'} (2) = 1

；題目的式子是

h

前面帶負號的定義式，等於

- f^{'} (2) = - 1

。

10選填 II 的 J（本頁 12）：切於 Q 而通過 P 的切線

第 12 題

$f (- 1) = - 1 + 9 - 15 + 8 = 1$ ，所以 $P$ 在圖形上。 $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 18 x + 15 = 3 (x + 1) (x + 5)$ 。

以 $Q (a, f (a))$ 為切點的切線是 $y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$ ，它通過 $P (- 1, 1)$ ：

$f (a) - f (- 1) = f^{'} (a) (a + 1)$

左邊因式分解： $f (x) - 1 = x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 7 = (x + 1) (x^{2} + 8 x + 7) = (x + 1)^{2} (x + 7)$ ，所以

$(a + 1)^{2} (a + 7) = 3 (a + 1) (a + 5) (a + 1)$

$P$ 、 $Q$ 相異， $a \neq = - 1$ ，兩邊約去 $(a + 1)^{2}$ ： $a + 7 = 3 a + 15$ ， $a = - 4$ 。

驗算：

f (- 4) = - 64 + 144 - 60 + 8 = 28

，

f^{'} (- 4) = 3 \cdot (- 3) \cdot 1 = - 9

，過

Q (- 4, 28)

的切線

y = - 9 x - 8

，代

x = - 1

得

y = 1

，確實通過

P

。

11計算題第 1 題（本頁 13）：拋物線內接矩形的最大面積

第 13 題

矩形 $A B C D$ 的面積 $S = \overline{A D} \times \overline{A B} = (3 - x) \cdot 4 x$ 。

$S > 0$ ， $S$ 最大時 $S^{2}$ 也最大。令

$g (x) = S^{2} = 16 x (3 - x)^{2} = 16 (x^{3} - 6 x^{2} + 9 x), 0 < x < 3$

$g^{'} (x) = 16 (3 x^{2} - 12 x + 9) = 48 (x - 1) (x - 3)$

$0 < x < 1$ 時 $g^{'} (x) > 0$ ， $g (x)$ 遞增； $1 < x < 3$ 時 $g^{'} (x) < 0$ ， $g (x)$ 遞減。所以 $x = 1$ 時 $g (x)$ 有最大值 $g (1) = 16 \cdot 1 \cdot 4 = 64$ 。

矩形 $A B C D$ 的最大面積為 $64 = 8$ （此時 $A (1, 2)$ ）。

學校答案卷的給分：令函數（含各種不同令法）並寫出定義域 3 分，算出最大值的過程與答案 5 分。

12計算題第 2 題（本頁 14）：反曲點

第 14 題

$f^{'} (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2}$ ，

$f^{''} (x) = 36 x^{2} + 24 x = 12 x (3 x + 2)$

$f^{''} (x) = 0$ 的解為 $x = - \frac{2}{3}$ 與 $x = 0$ 。 $f^{''} (x)$ 的正負：

$x < - \frac{2}{3}$ 時 $f^{''} (x) > 0$ ，凹向上； $- \frac{2}{3} < x < 0$ 時 $f^{''} (x) < 0$ ，凹向下； $x > 0$ 時 $f^{''} (x) > 0$ ，凹向上。

凹向在 $x = - \frac{2}{3}$ 與 $x = 0$ 都改變，兩處都是反曲點。

$f (0) = 1, f (- \frac{2}{3}) = 3 \cdot \frac{16}{81} + 4 \cdot (- \frac{8}{27}) + 1 = \frac{48}{81} - \frac{96}{81} + 1 = \frac{11}{27}$

反曲點為 $(0, 1)$ 與 $(- \frac{2}{3}, \frac{11}{27})$ 。

只寫

f^{''} (x) = 0

的解還不夠，要確認

f^{''} (x)

在那裡變號。

(0, 1)

這個點的切線斜率

f^{'} (0) = 0

，是水平切線的反曲點。

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武陵高中 113 上 高三第二次段考數學的答案在哪裡？

武陵高中 113 上 高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

武陵高中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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