武陵高中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (C)。

(A) 錯誤。 反例：$f(x)=x^3$，取 $a=-1$、$c=0$、$d=\frac{1}{2}$、$b=1$。$f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上嚴格遞增，但 $f^{\prime }(x)=3x^2$，$f^{\prime }(0)=0$，不大於 $0$。

(B) 錯誤。 同樣用 $f(x)=x^3$、$c=0$：$f^{\prime }(0)=0$，但 $f^{\prime }(x)=3x^2\ge 0$，$f(x)$ 一路遞增，在 $x=0$ 沒有極值。

(C) 正確。 $f(c)$ 是極大值，表示 $c$ 附近的 $x$ 都有 $f(x)\le f(c)$。當 $h>0$ 很小時 $\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le 0$；當 $h<0$ 很小時 $\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge 0$。多項式函數在 $c$ 可微，兩邊的極限都等於 $f^{\prime }(c)$，所以 $f^{\prime }(c)\le 0$ 且 $f^{\prime }(c)\ge 0$，得 $f^{\prime }(c)=0$。

(D) 錯誤。 反例：$f(x)=x^4$、$c=0$。$f^{\prime \prime }(x)=12x^2$，$f^{\prime \prime }(0)=0$，但 $x\ne 0$ 時 $f^{\prime \prime }(x)>0$，圖形在 $x=0$ 兩側都凹向上，凹凸沒有改變，$(0,0)$ 不是反曲點。

(E) 錯誤。 極大值不一定比極小值大。反例：

$$f(x)=3x^5-30x^4+95x^3-90x^2$$

$f^{\prime }(x)=15x^4-120x^3+285x^2-180x=15x(x-1)(x-3)(x-4)$。$f^{\prime }(x)$ 的正負：$x<0$ 為正，$0<x<1$ 為負，$1<x<3$ 為正，$3<x<4$ 為負，$x>4$ 為正。所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 有極大值、在 $x=4$ 有極小值。取 $a=-1$、$c=0$、$d=4$、$b=5$，但 $f(0)=0$，而

$$f(4)=3072-7680+6080-1440=32$$

$f(c)<f(d)$。

答案 (A)(C)(D)。

由圖，$f^{\prime }(x)$ 是開口向下的拋物線，頂點 $(2,0)$ 在 $x$ 軸上，所以可設

$$f^{\prime }(x)=k(x-2{)}^2=k{x}^2-4kx+4k,k<0$$

又 $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$，比較係數：$3a=k$，$2b=-4k$，$c=4k$。

(A) 正確。 $a=\frac{k}{3}<0$。

(B) 錯誤。 $f^{\prime }(x)=k(x-2{)}^2\le 0$，只在 $x=2$ 等於 $0$，所以 $f(x)$ 是嚴格遞減函數。$-\sqrt{2}<0$，所以 $f(-\sqrt{2})>f(0)$。

(C) 正確。 $b=-2k$，$k<0$，所以 $b>0$。

(D) 正確。 $\frac{k}{3}(x-2{)}^3$ 的導函數是 $k(x-2{)}^2$，與 $f^{\prime }(x)$ 相同，而且它在 $x=2$ 的值是 $0$，所以

$$f(x)=\frac{k}{3}(x-2{)}^3+f(2)$$

（兩邊展開比較 $x^3$、$x^2$、$x$ 的係數都相同，常數項由 $x=2$ 的值決定。）於是

$$f(-5)+f(8)-2f(2)=\frac{k}{3}\left[(-7{)}^3+6^3\right]=\frac{k}{3}\cdot (-127)=-\frac{127k}{3}>0$$

所以 $f(-5)+f(8)>2f(2)$。

(E) 錯誤。 $f^{\prime \prime }(x)=2k(x-2)$，$k<0$：$x<2$ 時 $f^{\prime \prime }(x)>0$，$x>2$ 時 $f^{\prime \prime }(x)<0$，凹凸在 $x=2$ 改變，$(2,f(2))$ 是反曲點。

$P(4,-3)$ 代入：$4^2-4\cdot 4+1=1\ne -3$，$P$ 不在拋物線上。設切點 $(t,t^2-4t+1)$，$y^{\prime }=2x-4$，切線為

$$y=(2t-4)(x-t)+t^2-4t+1$$

切線通過 $P(4,-3)$：

$$-3=(2t-4)(4-t)+t^2-4t+1=-t^2+8t-15$$

整理得 $t^2-8t+12=0$，$(t-2)(t-6)=0$，$t=2$ 或 $t=6$。

$t=2$：斜率 $0$，切點 $(2,-3)$，切線 $y=-3$。

$t=6$：斜率 $8$，切點 $(6,13)$，切線 $y-13=8(x-6)$，即 $y=8x-35$。

令 $g(x)=\frac{(x+2{)}^3(x+4{)}^2}{3(2x-1{)}^2(12-x{)}^3}$，則 $f(x)=(x-5)g(x)$，$f(5)=0$。由導數的定義：

$$f^{\prime }(5)=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{f(x)-f(5)}{x-5}=\underset{x\to 5}{\lim }g(x)=g(5)$$

（$g(x)$ 的分母在 $x=5$ 不為 $0$，$g(x)$ 在 $x=5$ 連續。）

$$g(5)=\frac{7^3\cdot 9^2}{3\cdot 9^2\cdot 7^3}=\frac{1}{3}$$

令 $t=-h$，$h\to 0$ 時 $t\to 0$：

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(3-h)-f(3)}{h}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(3+t)-f(3)}{-t}=-f^{\prime }(3)$$

由連鎖律 $f^{\prime }(x)=2\left(x^3-2x^2-7\right)\left(3x^2-4x\right)$。$x=3$ 時 $x^3-2x^2-7=27-18-7=2$，$3x^2-4x=27-12=15$，所以 $f^{\prime }(3)=2\cdot 2\cdot 15=60$。

所求 $=-60$。

兩圖形的交點滿足 $x^3+\frac{3}{2}{x}^2+x+k=7x-7$，即

$$k=-x^3-\frac{3}{2}{x}^2+6x-7$$

令 $g(x)=-x^3-\frac{3}{2}{x}^2+6x-7$，三個相異交點等於水平線 $y=k$ 與 $y=g(x)$ 的圖形有三個交點。

$g^{\prime }(x)=-3x^2-3x+6=-3(x+2)(x-1)$：$x<-2$ 時 $g^{\prime }(x)<0$，$-2<x<1$ 時 $g^{\prime }(x)>0$，$x>1$ 時 $g^{\prime }(x)<0$。

極小值 $g(-2)=8-6-12-7=-17$，極大值 $g(1)=-1-\frac{3}{2}+6-7=-\frac{7}{2}$。

$g(x)$ 先遞減到 $-17$、再遞增到 $-\frac{7}{2}$、再遞減，水平線要與它交三次，必須 $-17<k<-\frac{7}{2}$。

$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2(3a+2)x+12a$。

若 $a=0$，$f(x)=2x^2+8$ 不是遞減函數。若 $a>0$，$x$ 很大時 $f^{\prime }(x)>0$，不行。所以 $a<0$，且 $f^{\prime }(x)\le 0$ 對所有 $x$ 成立，判別式不大於 $0$：

$$\frac{D}{4}=(3a+2{)}^2-3a\cdot 12a=(3a+2{)}^2-(6a{)}^2=(2-3a)(9a+2)\le 0$$

$a<0$ 時 $2-3a>0$，所以 $9a+2\le 0$，$a\le -\frac{2}{9}$。

等號 $a=-\frac{2}{9}$ 時 $f^{\prime }(x)=-\frac{2}{3}{x}^2+\frac{8}{3}x-\frac{8}{3}=-\frac{2}{3}(x-2{)}^2$，只在 $x=2$ 等於 $0$，其餘都小於 $0$，$f(x)$ 仍是嚴格遞減函數，所以等號可以取。

答案 $a\le -\frac{2}{9}$。

令 $g(x)=x^{2}f(2)-2f(x^2)$，則 $g(\sqrt{2})=2f(2)-2f(2)=0$，所以

$$\underset{x\to \sqrt{2}}{\lim }\frac{x^{2}f(2)-2f(x^2)}{x-\sqrt{2}}=\underset{x\to \sqrt{2}}{\lim }\frac{g(x)-g(\sqrt{2})}{x-\sqrt{2}}=g^{\prime }(\sqrt{2})$$

由連鎖律，$f(x^2)$ 的導函數是 $f^{\prime }(x^2)\cdot 2x$，所以

$$g^{\prime }(x)=2xf(2)-4x{f}^{\prime }(x^2)$$

代 $x=\sqrt{2}$（$x^2=2$）：

$$g^{\prime }(\sqrt{2})=2\sqrt{2}\cdot (-1)-4\sqrt{2}\cdot (-3)=-2\sqrt{2}+12\sqrt{2}=10\sqrt{2}$$

(1) $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{(x^2-1)(3x+1)}=1$：分母是三次式。若 $a\ne 0$，分子次數較高，極限不存在，所以 $a=0$。這時分子分母同除以 $x^3$，極限為 $\frac{b}{3}=1$，$b=3$。

(2) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}$ 存在而分母趨近 $0$，分子也要趨近 $0$：$f(0)=e=0$。

所以 $f(x)=3x^3+c{x}^2+dx$。

(3) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{x-1}=2$，分母趨近 $0$，所以 $f(1)=0$；這時

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f^{\prime }(1)=2$$

$f(1)=3+c+d=0$；$f^{\prime }(x)=9x^2+2cx+d$，$f^{\prime }(1)=9+2c+d=2$。兩式相減得 $c+6=2$，$c=-4$，$d=1$。

$f(x)=3x^3-4x^2+x$，$f(2)=24-16+2=10$。

直線 $L$ 過 $A(0,2)$ 與 $B(3,-7)$，斜率 $\frac{-7-2}{3-0}=-3$，$L:y=-3x+2$。

$f(x)-(-3x+2)$ 是三次多項式，$\Gamma$ 與 $L$ 在 $x=0$ 相切（$x=0$ 是二重根），又在 $x=3$ 相交，所以

$$f(x)-(-3x+2)=a{x}^2(x-3)$$

$C(2,7)$ 在 $\Gamma$ 上：$7-(-6+2)=a\cdot 4\cdot (-1)$，$11=-4a$，$a=-\frac{11}{4}$。

所求 $a+b+c+d=f(1)=-3+2+a\cdot 1\cdot (-2)=-1+\frac{11}{2}=\frac{9}{2}$。

除式 $(x-2{)}^2$ 是二次式，設

$$f(x)=(x-2{)}^{2}q(x)+r(x-2)+s$$

代 $x=2$：$f(2)=s$。兩邊微分：$f^{\prime }(x)=2(x-2)q(x)+(x-2{)}^2{q}^{\prime }(x)+r$，代 $x=2$：$f^{\prime }(2)=r$。所以餘式為 $f^{\prime }(2)(x-2)+f(2)$。

令 $g(x)=x^3-2x^2-1$，$g(2)=8-8-1=-1$，$g^{\prime }(x)=3x^2-4x$，$g^{\prime }(2)=4$。

$f(2)=(-1{)}^{20}=1$；由連鎖律 $f^{\prime }(x)=20g(x{)}^{19}{g}^{\prime }(x)$，$f^{\prime }(2)=20\cdot (-1{)}^{19}\cdot 4=-80$。

餘式 $=-80(x-2)+1=-80x+161$。

由圖，截去的鳶形在 $H$ 處是直角（摺線與紙板的邊平行，盒壁是長方形）。設 $\overline{AH}=x$（$0<x<6$），鳶形的另一個頂點記為 $P$（內部小正三角形的頂點）。$\overline{AP}$ 平分 $60^{\circ }$ 的 $\angle A$，$\angle HAP=30^{\circ }$，所以紙盒高度

$$h=\overline{HP}=x\tan 30^{\circ }=\frac{x}{\sqrt{3}}$$

底面是內部的小正三角形，每邊扣掉兩端各 $x$，邊長 $12-2x$。容積

$$V=\frac{\sqrt{3}}{4}(12-2x{)}^2\cdot \frac{x}{\sqrt{3}}=x(6-x{)}^2$$

$$V^{\prime }=(6-x{)}^2-2x(6-x)=(6-x)(6-3x)=3(6-x)(2-x)$$

$0<x<2$ 時 $V^{\prime }>0$，$2<x<6$ 時 $V^{\prime }<0$，所以 $x=2$ 時容積最大（$V=32$ 立方公分），此時高度

$$h=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\text{公分}$$

$f^{\prime }(x)=12x^3-24x^2=12x^2(x-2)$，在 $\left(-1,\frac{8}{3}\right)$ 內 $f^{\prime }(x)=0$ 的點是 $x=0$ 與 $x=2$。

$12x^2\ge 0$，所以 $f^{\prime }(x)$ 的正負由 $x-2$ 決定：$-1<x<2$（$x\ne 0$）時 $f^{\prime }(x)<0$，$2<x<\frac{8}{3}$ 時 $f^{\prime }(x)>0$。$f(x)$ 在 $[-1,2]$ 上遞減、在 $\left[2,\frac{8}{3}\right]$ 上遞增；$x=0$ 兩側都遞減，不是極值點。

$$f(-1)=3+8+2=13,f(2)=48-64+2=-14$$

$$f\left(\frac{8}{3}\right)=3\cdot \frac{4096}{81}-8\cdot \frac{512}{27}+2=\frac{4096}{27}-\frac{4096}{27}+2=2$$

左端點 $x=-1$ 右側的函數值都比 $13$ 小，右端點 $x=\frac{8}{3}$ 左側附近的函數值都比 $2$ 小，所以兩端點都是極大值；$x=2$ 是極小值。

極大值為 $13$ 與 $2$，極小值為 $-14$。

$f^{\prime \prime }(x)=36x^2-48x=12x(3x-4)$，$f^{\prime \prime }(x)=0$ 的解為 $x=0$ 與 $x=\frac{4}{3}$，都在定義域內部。

$-1<x<0$ 時 $f^{\prime \prime }(x)>0$，凹向上；$0<x<\frac{4}{3}$ 時 $f^{\prime \prime }(x)<0$，凹向下；$\frac{4}{3}<x<\frac{8}{3}$ 時 $f^{\prime \prime }(x)>0$，凹向上。兩處凹凸都改變，都是反曲點。

$$f(0)=2,f\left(\frac{4}{3}\right)=3\cdot \frac{256}{81}-8\cdot \frac{64}{27}+2=\frac{256}{27}-\frac{512}{27}+\frac{54}{27}=-\frac{202}{27}$$

反曲點為 $(0,2)$ 與 $\left(\frac{4}{3},-\frac{202}{27}\right)$。

整理 (1)(2) 的結果：

$$\begin{array}{cccccc}x& -1& 0& \frac{4}{3}& 2& \frac{8}{3}\\ f(x)& 13& 2& -\frac{202}{27}& -14& 2\end{array}$$

$[-1,0]$：遞減、凹向上；$\left[0,\frac{4}{3}\right]$：遞減、凹向下；$\left[\frac{4}{3},2\right]$：遞減、凹向上；$\left[2,\frac{8}{3}\right]$：遞增、凹向上。

從 $(-1,13)$ 往下畫到 $(0,2)$，在 $(0,2)$ 切線水平、由凹向上轉成凹向下；續降經過反曲點 $\left(\frac{4}{3},-\frac{202}{27}\right)$ 轉回凹向上，降到最低點 $(2,-14)$，再往上升到 $\left(\frac{8}{3},2\right)$ 為止。附圖的縱向刻度比橫向小（題目的方格紙也不是 $1:1$）。

$\frac{\pi }{6}\approx 0.52$，$\frac{\pi }{4}\approx 0.79$，$\frac{\pi }{3}\approx 1.05$，三個數都在 $0$ 與 $\frac{4}{3}$ 之間。由 (2)，$y=f(x)$ 在 $\left[0,\frac{4}{3}\right]$ 上凹向下，圖形上任兩點連成的線段在這兩點之間都落在圖形的下方。

取 $P\left(\frac{\pi }{6},f\left(\frac{\pi }{6}\right)\right)$、$Q\left(\frac{\pi }{3},f\left(\frac{\pi }{3}\right)\right)$，$\overline{PQ}$ 的中點是

$$\left(\frac{\pi }{4},\frac{f\left(\frac{\pi }{6}\right)+f\left(\frac{\pi }{3}\right)}{2}\right)=\left(\frac{\pi }{4},\frac{A}{2}\right)$$

它在圖形上點 $\left(\frac{\pi }{4},f\left(\frac{\pi }{4}\right)\right)$ 的下方，所以 $\frac{A}{2}<f\left(\frac{\pi }{4}\right)$，即 $A<2f\left(\frac{\pi }{4}\right)=B$。