01 · 試題原卷 15 題，照原卷順序
多選題 3 題（每題 7 分，共 21 分；錯一個選項得 4 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個選項以上或未作答則得 0 分）、填充題 11 格（共 69 分，依答對格數給分，無部份給分）、簡答題 1 題（10 分）。卷頭印有參考數值：log 2 約 0.3010、log 3 約 0.4771、log 7 約 0.8451。原卷各大題各自從 1 編號，本頁全卷連續編號：第 1～3 題是多選題第 1～3 題，第 4～14 題是填充題第 1～11 題，第 15 題是簡答題第 1 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。
一、多選題（每題 7 分，共 21 分）（錯一個選項得 4 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個選項以上或未作答則得 0 分）
1
請選出下列敘述正確的選項。- (1) 3.1415926 為有理數。
- (2) 3+22−2+11 為無理數。
- (3) 若 a100、a97、a95 均為有理數，則 a 必為有理數。
- (4) 設 a,b 為有理數，且 a+b2=0，則 a=b=0。
- (5) 若 ba 為有理數，且 b 為無理數，則 a 必為 0。
2
假設 x 為實數，請選出下列敘述正確的選項。- (1) 若 x>0，則 x2+x−2+2=x+x−1。
- (2) 若 x>0，則 x2+x−2−2=x−x−1。
- (3) 若 x<0，則 2x>0。
- (4) 若 0<x<1，則 1<2x<2。
- (5) 若 x>0，則 2x+2−x 有最小值 =2。
3
假設 x>1，請選出下列敘述正確的選項。- (1) x 有可能為 100.001
- (2) logx 必為正實數。
- (3) logx 必為無理數。
- (4) 若 x 可以表示成 a×10n 的形式，其中 n 為正整數，則 x 的整數部分為 n+1 位數。
- (5) 若 x 可以表示成 a×10n 的形式，其中 n 為負整數，則 x 在小數點後第 ∣n∣ 位開始為非零數字。
二、填充題（共 69 分，答對格數與對應得分如下表，無部份給分；答案若為分數請化至最簡）答對格數 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11 格，得分依序為 9、18、27、33、39、45、51、57、61、65、69 分
4
已知 ∣x+2∣≤3 且 ∣y+5∣≤2，若 c≤3xy+3x+1≤d，且 c 為符合條件的最大整數，d 為符合條件的最小整數，則數對 (c,d)= ____。
5
假設 1.83 的小數部分為 p、15+56 的小數部分為 q、log14 的小數部分為 r，試求：q1−p1+10r= ____。 6
已知 x>1，試求 x+x−11+2 的最小值為 ____。
7
不等式 x+∣x+1∣>2∣x−2∣+3 的解為 ____。
8
2100+350 展開後為 ____ 位正整數。
9
假設 x 為實數，已知 4x=3−8，則 2x+2−x32x−8−x= ____。 10
已知 −2<x<25，且 ∣x+2∣:∣2x−5∣=2:3，則 x= ____。
11
已知 a>0，且 a−a−1=3，試求 a2−a−2= ____。
12
試比較 a=6−23、b=22−10、c=2−14 之大小：____。 13
我們常以 pH 值來表示溶液的酸鹼程度，在 25∘C 的情況下，水溶液的氫離子濃度與氫氧根離子濃度相乘都為定值，即 [H+]×[OH−]=10−14。而 pH 值的計算方法如下：pH 值 =−log[H+]，例如某杯氫離子濃度 [H+]=10−6 的溶液，其 pH 值 =−log10−6=6。若在 25∘C 的情況下，測得某水溶液的氫氧根離子 [OH−]=5×10−3，則其 pH 值介於 a 與 a+1 之間，其中 a 為整數，則 a 的值為 ____。
14
地質學家經常使用放射性定年法來確定岩層的年代，若岩脈採用某放射性元素定年，已知該元素由母元素衰變成子元素的時間為 7 億年，且母元素與子元素之質量相同。假設子元素全來自母元素的衰變，今測定某岩脈的母元素和子元素的比例為 1:7，則該岩脈的形成年代約為 ____ 億年前。
三、簡答題（共一題，10 分；須清楚說明理由，只給答案不予計分）
15
有一道數學題目如下：「已知不等式 ∣ax−2∣≤b 的解為 −4≤x≤10，試問數對 (a,b) 為何？」
而學生小明的解法如下：
步驟一：將 ∣ax−2∣≤b 拆絕對值，得到 −b≤ax−2≤b。
步驟二：將不等式一同 +2，得到 2−b≤ax≤2+b。
步驟三：將不等式一同 ÷a，得到 a2−b≤x≤a2+b。
步驟四：將步驟三求出的解對照題目的條件 −4≤x≤10，得到聯立方程式：
⎩⎨⎧a2−b=−4a2+b=10
步驟五：將聯立方程式移項並整理，解出 a=32，b=314。
學生小明的答案雖然是正確的，但這種解法在某些題目會出現問題，試問：在沒有計算錯誤的前提下，此種解法在哪一步驟會出問題？為什麼？ 第 1 題(1)(3)(4)
第 2 題(1)(3)(4)
第 3 題(1)(2)
第 4 題(−17,91)
第 6 題5
第 7 題x>23
第 8 題31
第 10 題74
第 12 題b>a>c
第 13 題11
第 14 題21
第 15 題步驟三會出問題：無法確定 a 的正負；若 a<0，同除以 a 後不等號要反向，應得 a2−b≥x≥a2+b（理由見詳解）
03 · 勾錯題號勾出錯的題號，看錯在哪幾章
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免費註冊 04 · 逐題詳解每一題，錯在哪一步
看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。
01多選題：有理數與無理數、指數的大小、常用對數
第 1 題答案 (1)(3)(4)。(1) 對：3.1415926 是有限小數，等於 1000000031415926，是有理數（它不是圓周率，只是一個七位小數）。(2) 錯：3+22=(2+1)2，所以 3+22=2+1；又 2+11=(2+1)(2−1)2−1=2−1。兩者相減得 (2+1)−(2−1)=2，是有理數。(3) 對：若 a=0 當然是有理數。若 a=0，則 a3=a97a100 與 a2=a95a97 都是兩個不為 0 的有理數相除，仍是有理數；再相除一次，a=a2a3 也是有理數。(4) 對：若 b=0，則 2=−ba 是有理數，與 2 是無理數矛盾，所以 b=0，代回得 a=0。(5) 錯：取 a=b=2，則 ba=1 是有理數、b 是無理數，但 a=0。 (5) 若再加上「a 是有理數」這個條件，結論才會成立；題目沒有這個條件，a 可以是無理數。
第 2 題答案 (1)(3)(4)。(1) 對：x2+x−2+2=(x+x−1)2，而 x>0 時 x+x−1>0，所以開根號後就是 x+x−1。(2) 錯：x2+x−2−2=(x−x−1)2，開根號得 x−x−1；當 0<x<1 時 x−x−1<0，例如 x=21，左邊 =41+4−2=23，右邊 =21−2=−23，不相等。(3) 對：2 的任何實數次方都是正數（例如 2−3=81>0）。(4) 對：底數 2>1，指數愈大值愈大，由 0<x<1 得 20<2x<21，即 1<2x<2。(5) 錯：2x 與 2−x 都是正數，由算幾不等式 2x+2−x≥22x⋅2−x=2，但等號要在 2x=2−x 也就是 x=0 時才成立；題目限定 x>0，所以 2x+2−x 永遠大於 2，取不到 2，2 不是它的最小值。 (5) 用算幾不等式求極值，一定要檢查等號成立的條件是否落在題目允許的範圍內。
第 3 題答案 (1)(2)。(1) 對：指數 0.001>0，所以 100.001>100=1，符合 x>1。(2) 對：設 logx=k，即 x=10k；若 k≤0 則 10k≤100=1，與 x>1 不合，所以 logx>0。(3) 錯：取 x=10，logx=1 是有理數。(4) 錯：題目沒有限制 1≤a<10。例如 x=5=0.5×101，n=1，但 x 的整數部分只有 1 位，不是 2 位。(5) 錯：同樣沒有限制 a 的範圍。例如 x=30=300×10−1，n=−1，但 x 是整數，小數點後沒有非零數字。
(4)(5) 的敘述要在科學記號（1≤a<10）之下才有機會成立；而且 1≤a<10、n 為負整數時 a×10n<1，與 x>1 不合，所以 (5) 在科學記號的讀法下也談不上正確。
「必為…」的敘述找一個反例就能推翻；看到 a×10n 先確認有沒有 1≤a<10 這個條件。
02填充題第 1～4 題（本頁第 4～7 題）：絕對值的範圍、小數部分、算幾不等式
第 4 題由 ∣x+2∣≤3 得 −5≤x≤1；由 ∣y+5∣≤2 得 −7≤y≤−3。把式子整理成 3xy+3x+1=3x(y+1)+1，其中 −6≤y+1≤−2。令 u=−(y+1)，則 2≤u≤6，式子成為 1−3xu。因為 u 是正數：當 0≤x≤1 時 0≤xu≤6；當 −5≤x<0 時 −30≤xu<0。所以 −30≤xu≤6，得 1−18≤1−3xu≤1+90，即 −17≤3xy+3x+1≤91。兩端都取得到：x=1、y=−7 時為 −17；x=−5、y=−7 時為 91。要讓 c≤ 式子 ≤d 對所有情形都成立，c 最大取 −17，d 最小取 91，所以 (c,d)=(−17,91)。
兩個範圍相乘時，有一個範圍跨過 0，要分正負討論，四組端點乘積都要算，或分正負討論，不能只挑其中兩組。
第 5 題（一）循環節只有 3：1.83=1.8333⋯。令 t=0.83，則 10t=8.3、100t=83.3，相減得 90t=75，t=65，所以 p=65。（二）15+56=15+214=(14+1)2，所以 15+56=14+1。由 32<14<42 知 3<14<4，故 4<14+1<5，整數部分是 4，q=14+1−4=14−3。（三）10<14<100，所以 1<log14<2，r=log14−1，10r=1010log14=1014=57。（四）q1=14−31=14−914+3=514+3，p1=56。所求 =514+3−56+57=514+4。 第 6 題x>1 時 x−1>0。把式子改寫成 (x−1)+x−11+3，由算幾不等式 (x−1)+x−11≥2(x−1)⋅x−11=2，等號在 x−1=x−11 即 x=2 時成立（符合 x>1）。所以最小值為 2+3=5。 先把 x 湊成 (x−1)+1，兩項相乘才會是定值。
第 7 題分界點是 x=−1 與 x=2，分三段討論。(i) 當 x≥2：x+(x+1)>2(x−2)+3，即 2x+1>2x−1，恆成立，所以 x≥2 都是解。(ii) 當 −1≤x<2：x+(x+1)>2(2−x)+3，即 2x+1>7−2x，x>23，得 23<x<2。(iii) 當 x<−1：x−(x+1)>2(2−x)+3，即 −1>7−2x，x>4，與 x<−1 沒有共同部分，無解。三段合起來，解為 x>23。
每一段解出的範圍要先和那一段的前提取共同部分，最後再把各段合起來。
絕對值的題目先找分界點、畫在數線上，再一段一段處理。
03填充題第 5～9 題（本頁第 8～12 題）：位數、指數律與根式比大小
第 8 題由 log2≈0.3010 知 2≈100.3010，所以 2100≈1030.10=100.10×1030；因為 1<100.10<100.3010≈2，所以 1030<2100<2×1030，2100 是 31 位數。由 log3≈0.4771 知 350≈1023.855<1024，350 只有 24 位。相加後 1030<2100+350<2×1030+1024<1031，所以仍是 31 位正整數。
兩數相加要確認不會進位到下一位：2100 的最高位數字是 1，加上一個 24 位數不會讓位數改變。
第 9 題先化簡：3−8=3−22=(2−1)2，所以 4x=2−1。令 t=2x（t>0），則 t2=4x=2−1。所求 =t+t−1t5−t−3，分子分母同乘 t3 得 t4+t2t8−1=t2(t2+1)(t4+1)(t2+1)(t2−1)=t2(t4+1)(t2−1)。代入 t2=2−1、t4=(2−1)2=3−22：分子 =(4−22)(2−2)=42−8−4+42=82−12。除以 2−1 相當於乘以 2+1（因為 (2−1)(2+1)=1）：(82−12)(2+1)=16+82−122−12=4−42。 32x=(2x)5、8−x=(2x)−3；全部換成 t=2x 之後只需要 t2 的值，不必求出 x。
第 10 題在 −2<x<25 的範圍內，x+2>0 且 2x−5<0，所以 ∣x+2∣=x+2、∣2x−5∣=5−2x。比例式成為 (x+2):(5−2x)=2:3，內項乘積等於外項乘積：3(x+2)=2(5−2x)，3x+6=10−4x，x=74，在 −2 與 25 之間，符合。
第 11 題(a+a−1)2=(a−a−1)2+4=9+4=13，而 a>0 時 a+a−1>0，所以 a+a−1=13。由平方差公式 a2−a−2=(a+a−1)(a−a−1)=13×3=313。 第 12 題把係數收進根號：a=6−12、b=8−10、c=4−14，三個都是負數。比較它們的相反數（都是正數）的平方：(12−6)2=18−272，(10−8)2=18−280，(14−4)2=18−256。因為 80>72>56，所以 18−280<18−272<18−256，即 10−8<12−6<14−4，也就是 −b<−a<−c。同乘 −1 不等號反向，得 b>a>c。 三組根號內的數相加都是 18，平方後只差交叉項，所以用平方來比。負數比大小時，離 0 愈遠的愈小。
指數的式子先統一成同一個底數；根式比大小先看正負，再比平方。
04填充題第 10～11 題（本頁第 13～14 題）：pH 值與半衰期
第 13 題由 [H+]×[OH−]=10−14 得 [H+]=5×10−310−14=51×10−11=2×10−12。因為 10−12<2×10−12<10−11，所以 −12<log[H+]<−11，pH 值 =−log[H+] 介於 11 與 12 之間，a=11。
用卷頭給的 log2≈0.3010：2×10−12≈100.3010×10−12=10−11.699，pH 值約 11.699。
第 14 題題目的意思是：每經過 7 億年，母元素有一半衰變成子元素（此時母元素與子元素質量相同），也就是半衰期為 7 億年。岩脈形成時只有母元素；現在母元素：子元素 =1:7，表示母元素剩下原來的 1+71=81=(21)3，共經過 3 個半衰期，3×7=21 億年。
比例 1:7 是母元素比子元素，母元素佔全部的 81，不是 71。
05簡答題（本頁第 15 題）：同除以一個不知道正負的數
第 15 題步驟三會出問題。不等式兩邊同除以一個數時，除以正數不等號方向不變，除以負數不等號要反向，除數也不能是 0。題目沒有說 a 的正負，步驟三直接寫成 a2−b≤x≤a2+b，等於默認了 a>0。若 a<0，由 2−b≤ax≤2+b 同除以 a 應得 a2−b≥x≥a2+b，即 a2+b≤x≤a2−b，左右兩個端點和小明寫的剛好對調。（若 a=0，原式成為 2≤b，與 x 無關，解不會是一段有界的範圍。）完整的做法要分情形：(i) a>0 時照小明的步驟得 a=32、b=314；(ii) a<0 時要解 a2+b=−4、a2−b=10，兩式相加得 a4=6，a=32，與 a<0 矛盾，沒有解。所以這一題的答案剛好只有 a>0 那一組，小明才會答對。
舉一個會出錯的題目：把解改成
−10≤x≤4。照小明的做法解
a2−b=−10、
a2+b=4，得
a=−32、
b=−314，但
b<0 時
∣ax−2∣≤b 根本無解；正確答案是
a=−32、
b=314（此時
−32x−2≤314 即
∣x+3∣≤7，解為
−10≤x≤4）。
不等式同乘、同除一個含未知數的式子之前，先問它是正、是負、還是 0。
同一次段考的其他學校
同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。
你們學校的段考卷也想要詳解？
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上傳考卷常見問題
武陵高中 110 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？
本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。
武陵高中 110 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？
多選第 2 題的選項 5，算幾不等式的等號要在 x 等於 0 才成立，題目限定 x 大於 0，所以沒有最小值；多選第 3 題的選項 4 與 5 沒有限制 a 介於 1 和 10 之間，不能當成科學記號；填充第 1 題 x 的範圍跨過 0，要分正負討論才能得到負 17 到 91；填充第 6 題要把 32 與 8 都換成 2 的次方再約分；簡答題要說出同除以 a 時不知道 a 的正負。詳解逐題寫在本頁。
我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？
可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。
這份段考卷可以下載列印嗎？
可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。
題目取自武陵高中 110 學年度上學期 高一第一次段考 數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。
