段考詳解範圍：直線與圓（直線方程式、二元一次不等式、圓方程式、圓與直線的關係）

武陵高中 112 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《直線與圓》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

卷頭範圍：第一冊單元 5～7。多重選擇題 5 題（每題全對得 8 分，答錯一個選項得 5 分，答錯兩個選項得 2 分，答錯三個以上選項得 0 分，共 40 分）、填充題 10 格（依答對格數給分：1 至 10 格依序得 8、16、22、28、34、38、42、46、50、54 分）、計算題 1 題（6 分），合計 100 分。原卷各大題各自從 1 編號，本頁第 6～15 題是填充題第 1～10 題，第 16 題是計算題第 1 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多重選擇題（每題全對得 8 分，答錯一個選項得 5 分，答錯兩個選項得 2 分，答錯三個以上選項得 0 分，共 40 分）

若有一圓

C : x^{2} + y^{2} + d x + ey + f = 0

通過點

A (- 1, 0)

，已知直線

L_{1} : 2 x - y = 0

及

L_{2} : x + 2 y + 5 = 0

皆為此圓的對稱軸，假設此圓之圓心坐標為

(α, β)

，則下列敘述何者正確？

(1) $e = - 4$
(2) $f = 1$
(3) $d + e + f = 9$
(4) $α = - 1$
(5) 半徑 $r = 2$

如下圖，坐標平面上，直線

\overline{O P}

的斜率為

m_{1}

，直線

\overline{O Q}

的斜率為

m_{2}

，直線

\overline{P Q}

的方程式為

x = 1

，

∠ P O Q = 9 0^{\circ}

（

O

為原點），

M

為

\overline{P Q}

的中點，試選出正確的選項。

(1) $△ O P M$ 的面積為 $\frac{1}{2} (m_{1} - m_{2})$
(2) $△ O P Q$ 的面積為 $\frac{1}{2} 1 + m_{1}^{2} + m_{2}^{2} + m_{1}^{2} m_{2}^{2}$
(3) $∣ m_{1} ∣ > ∣ m_{2} ∣$
(4) 直線 $\overline{O M}$ 的方程式為 $2 y = (m_{1} + m_{2}) x$
(5) $1 + m_{1} m_{2} = 0$

載入中...

設

Γ : x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y = 0

為坐標平面上的圓方程式。試選出正確的選項。

(1) $Γ$ 的圓心坐標為 $(3, 4)$
(2) 若 $P (x, y)$ 為圓 $Γ$ 上一點，則 $(x - 9)^{2} + (y - 12)^{2}$ 的最大值為 $15$
(3) $Γ$ 上的點與點 $(9, 12)$ 的距離為整數的有 $20$ 個
(4) $Γ$ 上恰有兩個點在直線 $L_{1} : 4 x + 3 y + 1 = 0$ 上
(5) $Γ$ 上恰有兩個點與直線 $L_{2} : 4 x + 3 y - 39 = 0$ 的距離等於 $2$

坐標平面被三條直線

L_{1} : - x + y - 4 = 0

，

L_{2} : 3 x + 4 y + 12 = 0

，

L_{3} : 4 x + y - 4 = 0

，分成七個區域，I、II、III、IV、V 為其中五個區域，如下圖，試問下列哪些區域中的點

(x, y)

滿足不等式

(- x + y - 4) (3 x + 4 y + 12) (4 x + y - 4) \geq 0

？

(1) I
(2) II
(3) III
(4) IV
(5) V

載入中...

設坐標平面上

A (0, 3)

、

B (0, - 3)

，若直線

L : 2 x + y = k

上可以找到點

P

，滿足

∠ A P B = 9 0^{\circ}

，則實數

k

可能為下列哪一個數？

(1) $11$
(2) $9$
(3) $0$
(4) $- 6$
(5) $- 8$

二、填充題

如下圖，若定圓的半徑為

a

，圓心為

(b, c)

，則直線

a x + b y + c = 0

與直線

x - y + 1 = 0

的交點在哪一個象限？（單選）

(1) 第一象限
(2) 第二象限
(3) 第三象限
(4) 第四象限
(5) 無法確定

載入中...

若圓心在直線

2 x - y - 7 = 0

上的圓

Γ

與

y

軸交於兩點

A (0, - 4)

、

B (0, - 2)

，則圓

Γ

的方程式為 ____。

設

k

為實數，若方程式

k^{2} x^{2} + (2 k + 3) y^{2} - 2 k x - 3 k = 0

的圖形為一圓，求此圓的半徑為 ____。

已知直線

L

過點

(- 2, 0)

，當直線

L

與圓

x^{2} + y^{2} = 2 x

有兩個交點時，直線

L

的斜率

m

的最大可能範圍為 ____。

在坐標平面上，直線

L : 2 x + 3 y = 1

與斜率為

2

的直線

M

相交於

P

點，若直線

L

沿著

x

軸方向，向左平移

2

單位，再沿著

y

軸方向，向上平移

3

單位後，與直線

M

相交於

Q

點，則線段

\overline{P Q}

的長為 ____。

坐標平面上，已知三直線

L_{1} : y = - 4 x

，

L_{2} : y = 2 x

，

L_{3} : 2 y = m (2 x - 5)

圍成一個三角形

A B C

，若點

P (2, 3)

在

△ A B C

內部（不含邊界），則實數

m

的最大可能範圍為 ____。

坐標平面上，動直線

a x + b y + c = 0

與圓

x^{2} + y^{2} = 4

相交於

A

、

B

兩點，且

\overline{A B} = 23

，若

\overline{A B}

的中點為

P

，則所有可能的

P

點所成圖形的方程式為 ____。

△ A B C

中，過

A (2, 5)

點之高所在之直線方程式為

3 x - y - 1 = 0

，若

∠ B

之角平分線為

x + y - 5 = 0

，則

B

點坐標為 ____。

在坐標平面上，直線

L : x - y - 5 = 0

與圓

Γ

不相交，若圓

Γ

上的點與

L

之最短距離為

22

，而圓

Γ

上距離

L

最遠的點為

(0, 3)

，則圓

Γ

的方程式為 ____。

坐標平面上，過

A (- 1, 10)

、

B (6, 3)

、

C (2, 1)

三點的圓方程式為 ____。

三、計算題(6 分)

在坐標平面上，已知直線

L : m x - y - 3 m - 2 = 0

，圓

Γ : (x - 4 - 3)^{2} + (y - 2 + 2)^{2} = 4

，且圓

Γ

的圓心為

A

點，若直線

L

與圓

Γ

交於

P

、

Q

兩點，則當

△ A P Q

面積最大時，試求實數

m

之值。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)(4)(5)

第 2 題(2)(3)(4)(5)

第 3 題(1)(2)(3)

第 4 題(1)(3)

第 5 題(3)(4)

第 6 題(3)

第 7 題

(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 5

第 8 題

\frac{10}{3}

第 9 題

- \frac{2}{4} < m < \frac{2}{4}

第 10 題

\frac{5 5}{8}

第 11 題

m > 2

或

m < - 6

第 12 題

x^{2} + y^{2} = 1

第 13 題

(3, 2)

第 14 題

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 2

第 15 題

(x - 2)^{2} + (y - 6)^{2} = 25

第 16 題

m = 1

或

m = \frac{1}{7}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題：對稱軸、斜率、圓上的距離與不等式的區域

第 1 題答案 (2)(4)(5)。圓的每一條對稱軸都通過圓心，所以圓心是

L_{1}

與

L_{2}

的交點。由

L_{1}

得

y = 2 x

，代入

L_{2}

：

x + 4 x + 5 = 0

，

x = - 1

，

y = - 2

，圓心

(α, β) = (- 1, - 2)

。半徑是圓心到

A (- 1, 0)

的距離

r = 0^{2} + 2^{2} = 2

。圓的方程式

(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 4

，展開得

x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y + 1 = 0

，所以

d = 2

、

e = 4

、

f = 1

。(1) 錯誤。

e = 4

，不是

- 4

。(2) 正確。

f = 1

。(3) 錯誤。

d + e + f = 2 + 4 + 1 = 7

。(4) 正確。

α = - 1

。(5) 正確。

r = 2

。

第 2 題答案 (2)(3)(4)(5)。由圖，

P

在

x

軸上方、

Q

在

x

軸下方，

M

也在

x

軸上方。

P

、

Q

都在

x = 1

上，所以

P (1, m_{1})

、

Q (1, m_{2})

，且

m_{1} > 0 > m_{2}

，

\overline{P Q} = m_{1} - m_{2}

，

M (1, \frac{m _{1} + m _{2}}{2})

。

\overline{O P} ⊥ \overline{O Q}

，斜率相乘等於

- 1

：

m_{1} m_{2} = - 1

。(1) 錯誤。

△ O P M

以

\overline{P M} = \frac{m _{1} - m _{2}}{2}

為底，高是

O

到

x = 1

的距離

1

，面積

\frac{1}{4} (m_{1} - m_{2})

。(2) 正確。

△ O P Q

在

O

是直角，面積

\frac{1}{2} \overline{O P} \times \overline{O Q} = \frac{1}{2} 1 + m_{1}^{2} 1 + m_{2}^{2} = \frac{1}{2} 1 + m_{1}^{2} + m_{2}^{2} + m_{1}^{2} m_{2}^{2}

。(3) 正確。

M

在

x

軸上方，

\frac{m _{1} + m _{2}}{2} > 0

，即

m_{1} > - m_{2}

，也就是

∣ m_{1} ∣ > ∣ m_{2} ∣

。(4) 正確。 直線

O M

過原點，斜率

\frac{m _{1} + m _{2}}{2}

，方程式

y = \frac{m _{1} + m _{2}}{2} x

，即

2 y = (m_{1} + m_{2}) x

。(5) 正確。 就是

m_{1} m_{2} = - 1

。

(3) 要靠圖上

M

在

x

軸上方這件事；只用

m_{1} m_{2} = - 1

判斷不出

∣ m_{1} ∣

與

∣ m_{2} ∣

誰大。(1) 也可以用

△ O P Q

面積

\frac{1}{2} (m_{1} - m_{2})

的一半來看。

第 3 題答案 (1)(2)(3)。配方：

(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 25

，圓心

(3, 4)

，半徑

5

。(1) 正確。 (2) 正確。 所求是

P

到點

(9, 12)

的距離。圓心到

(9, 12)

的距離

6^{2} + 8^{2} = 10 > 5

，點在圓外，圓上的點到它的距離最大是

10 + 5 = 15

、最小是

10 - 5 = 5

。(3) 正確。 距離可以取

5

到

15

之間的每一個值：距離

5

與

15

各只有一點（在連心線上），距離

6, 7, \dots, 14

這

9

個整數各有兩點（以

(9, 12)

為圓心的圓與

Γ

交於兩點），共

2 + 9 \times 2 = 20

個。(4) 錯誤。 圓心到

L_{1}

的距離

\frac{∣12 + 12 + 1∣}{5} = 5

，等於半徑，

L_{1}

與

Γ

相切，只有一個交點。(5) 錯誤。 圓心到

L_{2}

的距離

\frac{∣12 + 12 - 39∣}{5} = 3

。與

L_{2}

距離為

2

的點落在兩條和

L_{2}

平行的直線上，它們到圓心的距離分別是

3 - 2 = 1

與

3 + 2 = 5

：前者與

Γ

交於兩點，後者與

Γ

相切交於一點，共

3

個點。

第 4 題答案 (1)(3)。令

f_{1} = - x + y - 4

、

f_{2} = 3 x + 4 y + 12

、

f_{3} = 4 x + y - 4

。三條直線兩兩的交點是

L_{1}

與

L_{2}

交於

(- 4, 0)

，

L_{1}

與

L_{3}

交於

(0, 4)

，

L_{2}

與

L_{3}

交於

(\frac{28}{13}, - \frac{60}{13})

；區域 III 是三條線圍成、含原點的三角形。以原點代入：

f_{1} = - 4 < 0

、

f_{2} = 12 > 0

、

f_{3} = - 4 < 0

，乘積為正，III 滿足。越過一條直線，那一個式子變號，其他兩個不變：II 與 III 只隔著

L_{1}

，

f_{1}

變正，乘積為負；IV 與 III 只隔著

L_{3}

，

f_{3}

變正，乘積為負；V 與 III 只隔著

L_{2}

，

f_{2}

變負，乘積為負；I 與 III 隔著

L_{1}

與

L_{3}

兩條（I 是頂點

(0, 4)

對面的那一角），兩個式子都變號，乘積為正。也可以代點驗證：I 取

(0, 6)

，

f_{1} = 2

、

f_{2} = 36

、

f_{3} = 2

，乘積為正；V 取

(- 2, - 3)

，

f_{1} = - 5

、

f_{2} = - 6

、

f_{3} = - 15

，乘積為負。所以 (1) 正確。 (2) 錯誤。 (3) 正確。 (4) 錯誤。 (5) 錯誤。

判斷區域時，用「越過一條線就換一次號」最快；邊界上的點乘積為

0

，也滿足

\geq 0

。

第 5 題答案 (3)(4)。

∠ A P B = 9 0^{\circ}

的點

P

都在以

\overline{A B}

為直徑的圓上（

A

、

B

兩點除外）：圓心

(0, 0)

、半徑

3

，即

x^{2} + y^{2} = 9

。直線

L

上找得到這樣的點，就是

L

與此圓有交點（而且交點不是

A

或

B

）。圓心到

L

的距離

\frac{∣ k ∣}{5} \leq 3

，得

∣ k ∣ \leq 35

。

35 = 45

，介於

6

與

7

之間。(1) 錯誤。

11 > 45

。(2) 錯誤。

9 > 45

。(3) 正確。

k = 0

時

L : y = - 2 x

過圓心，交圓於兩點，且都不在

y

軸上。(4) 正確。

∣ - 6∣ = 6 < 45

，交於兩點；

A

、

B

代入

2 x + y

得

3

、

- 3

，都不是

- 6

，所以交點不是

A

、

B

。(5) 錯誤。

∣ - 8∣ = 8 > 45

。

卷面題幹寫「哪一個數」，但這題在多重選擇題大題中，選項 (3) 與 (4) 都符合。

圓上的點到某條線或某個點的距離，先算圓心到它的距離，再加減半徑。

02填充題（本頁第 6～10 題）：圓的方程式、相交條件與平移

第 6 題答案 (3)。由圖：圓心在第二象限，

b < 0

、

c > 0

；圓與

x

軸交於兩點，圓心到

x

軸的距離小於半徑，

c < a

；圓與

y

軸不相交，圓心到

y

軸的距離大於半徑，

a < - b

。合起來

0 < c < a < - b

。由

x - y + 1 = 0

得

y = x + 1

，代入

a x + b y + c = 0

：

(a + b) x + b + c = 0

，

x = - \frac{b + c}{a + b}

。因為

a < - b

，

a + b < 0

；又

c < a < - b

，

b + c < 0

，所以

x = - \frac{b + c}{a + b} < 0

。

y = x + 1 = \frac{a - c}{a + b}

，分子

a - c > 0

、分母

a + b < 0

，

y < 0

。交點在第三象限。

第 7 題弦

\overline{A B}

的中垂線通過圓心。

\overline{A B}

在

y

軸上，中點

(0, - 3)

，中垂線是

y = - 3

。代入

2 x - y - 7 = 0

：

2 x + 3 - 7 = 0

，

x = 2

，圓心

(2, - 3)

。半徑平方

= (2 - 0)^{2} + (- 3 + 4)^{2} = 5

。圓

Γ

：

(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 5

。

展開成一般式是

x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 8 = 0

。

第 8 題圖形是圓，

x^{2}

與

y^{2}

的係數要相等且不為

0

：

k^{2} = 2 k + 3

，

k^{2} - 2 k - 3 = 0

，

(k - 3) (k + 1) = 0

，

k = 3

或

k = - 1

。

k = - 1

時方程式為

x^{2} + y^{2} + 2 x + 3 = 0

，配方得

(x + 1)^{2} + y^{2} = - 2

，沒有圖形，不合。

k = 3

時為

9 x^{2} + 9 y^{2} - 6 x - 9 = 0

，同除以

9

：

x^{2} + y^{2} - \frac{2}{3} x - 1 = 0

，配方得

(x - \frac{1}{3})^{2} + y^{2} = \frac{10}{9}

，半徑

\frac{10}{3}

。

第 9 題圓

x^{2} + y^{2} = 2 x

配方為

(x - 1)^{2} + y^{2} = 1

，圓心

(1, 0)

、半徑

1

。過

(- 2, 0)

的鉛直線

x = - 2

與圓不相交（斜率也不存在），所以設

L : y = m (x + 2)

，即

m x - y + 2 m = 0

。兩個交點

⟺

圓心到

L

的距離小於半徑：

\frac{∣ m + 2 m ∣}{m ^{2} + 1} < 1

，

9 m^{2} < m^{2} + 1

，

m^{2} < \frac{1}{8}

，得

- \frac{2}{4} < m < \frac{2}{4}

。

第 10 題

L

向左平移

2

、向上平移

3

，是把

x

換成

x + 2

、

y

換成

y - 3

：

2 (x + 2) + 3 (y - 3) = 1

，即

L^{'} : 2 x + 3 y = 6

，與

L

平行。

M

的斜率為

2

，沿

M

從

P

走到

Q

，可寫成

Q = P + (t, 2 t)

。

P

在

L

上，

2 x + 3 y

的值是

1

；走到

Q

時，

2 x + 3 y

增加

2 t + 3 \times 2 t = 8 t

，要變成

6

，所以

8 t = 5

，

t = \frac{5}{8}

。

\overline{P Q} = t^{2} + (2 t)^{2} = 5 t = \frac{5 5}{8}

。

P

的位置會隨

M

不同而不同，但

\overline{P Q}

的長度不變。例如取

M : y = 2 x

，

P (\frac{1}{8}, \frac{1}{4})

、

Q (\frac{3}{4}, \frac{3}{2})

，距離也是

\frac{5 5}{8}

。

直線與圓的交點個數，比較圓心到直線的距離與半徑就好。

03填充題（本頁第 11～15 題）：三角形內部、中點軌跡、對稱點與過三點的圓

第 11 題三角形的頂點：

O = L_{1} \cap L_{2} = (0, 0)

；

A = L_{1} \cap L_{3}

，由

2 (- 4 x) = m (2 x - 5)

得

A

的

x

坐標

\frac{5 m}{2 m + 8}

；

B = L_{2} \cap L_{3}

，由

2 (2 x) = m (2 x - 5)

得

B

的

x

坐標

\frac{5 m}{2 m - 4}

（

m \neq = - 4

、

m \neq = 2

，否則有兩線平行）。

P

在三角形內部，就是

P

對每一邊都和對面的頂點在同一側。(i) 邊

A B

（

L_{3}

）與頂點

O

：令

g_{3} = 2 y - 2 m x + 5 m

，

g_{3} (O) = 5 m

、

g_{3} (P) = 6 + m

，同號：

5 m (m + 6) > 0

，

m > 0

或

m < - 6

。(ii) 邊

O A

（

L_{1}

）與頂點

B

：令

g_{1} = y + 4 x

，

g_{1} (P) = 11 > 0

；

B

在

y = 2 x

上，

g_{1} (B) = 6 \times \frac{5 m}{2 m - 4}

，要大於

0

：

\frac{m}{m - 2} > 0

，

m > 2

或

m < 0

。(iii) 邊

O B

（

L_{2}

）與頂點

A

：令

g_{2} = y - 2 x

，

g_{2} (P) = - 1 < 0

；

A

在

y = - 4 x

上，

g_{2} (A) = - 6 \times \frac{5 m}{2 m + 8}

，要小於

0

：

\frac{m}{m + 4} > 0

，

m > 0

或

m < - 4

。三個條件的共同部分：

m > 2

或

m < - 6

。

只檢查

P

與

O

在

L_{3}

同側會得到

m > 0

或

m < - 6

，多出

0 < m \leq 2

：例如

m = 1

時

L_{3}

和

L_{2}

交在第三象限，三角形不包含

P

。

第 12 題圓

x^{2} + y^{2} = 4

的圓心

O

、半徑

2

。弦

\overline{A B}

的中點

P

滿足

\overline{O P} ⊥ \overline{A B}

，

\overline{A P} = 3

。在直角三角形

O P A

中，

\overline{O P} = 2^{2} - (3)^{2} = 1

。所以

P

到原點的距離恆為

1

；反過來，單位圓上每一點

P

，過

P

作

\overline{O P}

的垂線都能截出長

23

的弦。所求圖形為

x^{2} + y^{2} = 1

。

第 13 題

A

不在角平分線

x + y - 5 = 0

上（

2 + 5 - 5 \neq = 0

）。

A

對

∠ B

的角平分線作對稱點

A^{'}

，

A^{'}

會落在直線

B C

上。對

x + y = 5

的對稱點是把

(x, y)

換成

(5 - y, 5 - x)

，所以

A^{'} = (0, 3)

。（檢查：

\overline{A A^{'}}

的中點

(1, 4)

在

x + y = 5

上，

\overline{A A^{'}}

斜率

1

與角平分線斜率

- 1

垂直。）過

A

的高

3 x - y - 1 = 0

斜率為

3

，與

B C

垂直，

B C

斜率為

- \frac{1}{3}

。

B C

過

(0, 3)

：

y = - \frac{1}{3} x + 3

，即

x + 3 y - 9 = 0

。

B

是

B C

與角平分線的交點：

x + y = 5

、

x + 3 y = 9

，相減得

2 y = 4

，

y = 2

、

x = 3

。

B (3, 2)

。

過

A

的高與

B C

垂直，不是與

A B

垂直；它只用來決定

B C

的斜率。

第 14 題

(0, 3)

到

L

的距離

\frac{∣0 - 3 - 5∣}{2} = 42

。圓上的點到

L

的最遠距離與最短距離相差一條直徑：

2 r = 42 - 22 = 22

，

r = 2

。最遠點、圓心、最近點都在過

(0, 3)

且垂直

L

的直線上，圓心在

(0, 3)

往

L

的方向距離

2

處。

L

的斜率

1

，垂線斜率

- 1

，往

L

走的方向是

(1, - 1)

，長度

2

正好是

(1, - 1)

本身，所以圓心

(1, 2)

。檢查：圓心到

L

的距離

\frac{∣1 - 2 - 5∣}{2} = 32

，減去半徑得

22

。圓

Γ

：

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 2

。

第 15 題設圓心

(h, k)

，到三點等距。由到

A

、

B

等距：

(h + 1)^{2} + (k - 10)^{2} = (h - 6)^{2} + (k - 3)^{2}

，化簡得

14 h - 14 k = - 56

，

h - k = - 4

。由到

B

、

C

等距：

(h - 6)^{2} + (k - 3)^{2} = (h - 2)^{2} + (k - 1)^{2}

，化簡得

- 8 h - 4 k = - 40

，

2 h + k = 10

。解得

h = 2

、

k = 6

。半徑平方

= (2 - 2)^{2} + (6 - 1)^{2} = 25

。圓方程式

(x - 2)^{2} + (y - 6)^{2} = 25

。檢查

A

：

9 + 16 = 25

；

B

：

16 + 9 = 25

。

展開成一般式是

x^{2} + y^{2} - 4 x - 12 y + 15 = 0

。

點在三角形內部，要對三條邊都檢查「和對面的頂點同一側」，少檢查一條就會多出不合的範圍。

04計算題（本頁第 16 題）：三角形面積最大時的斜率

第 16 題圓心

A (4 + 3, 2 - 2)

，半徑

2

。設

A

到

L

的距離為

d

（

0 \leq d < 2

時才有兩個交點）。弦

\overline{P Q}

的一半是

4 - d^{2}

，所以

△ A P Q

的面積

= \frac{1}{2} \times 2 4 - d^{2} \times d = d^{2} (4 - d^{2})

。由算幾不等式，

d^{2}

與

4 - d^{2}

都不是負數，

\frac{d ^{2} + ( 4 - d ^{2} )}{2} \geq d^{2} (4 - d^{2})

，即面積

\leq 2

，等號在

d^{2} = 4 - d^{2}

，也就是

d = 2

時成立。接著算

d

：

d = \frac{m ( 4 + 3 ) - ( 2 - 2 ) - 3 m - 2}{m ^{2} + 1} = \frac{∣4 m - 2∣}{m ^{2} + 1}

令它等於

2

：

(4 m - 2)^{2} = 2 (m^{2} + 1)

，

16 m^{2} - 16 m + 4 = 2 m^{2} + 2

，

14 m^{2} - 16 m + 2 = 0

，

7 m^{2} - 8 m + 1 = 0

，

(m - 1) (7 m - 1) = 0

，

m = 1

或

m = \frac{1}{7}

。此時

d = 2 < 2

，直線確實與圓交於兩點。答：

m = 1

或

m = \frac{1}{7}

。

L

可寫成

y + 2 = m (x - 3)

，是過定點

(3, - 2)

的直線；把

A

代入時

3

與

2

會消掉。面積最大時

∠ P A Q = 9 0^{\circ}

。

弦和圓心圍成的三角形，面積寫成圓心到弦的距離

d

的式子，再用算幾不等式找極大。

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每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《直線與圓》單元冊 02・高一上

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武陵高中 112 上高一第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

武陵高中 112 上高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多重選擇第 2 題的選項 3 要從圖上 M 在 x 軸上方判斷；第 3 題的選項 5 要把距離 1 與距離 5 兩條平行線都算進來，共三個點；第 5 題題幹寫哪一個數，但有兩個選項符合；本頁第 11 題要對三角形三條邊都檢查，只看 P 與原點同側會多出不合的範圍；計算題有兩個答案。詳解逐題寫在本頁。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自武陵高中 112 學年度上學期高一第二次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

武陵高中 112 上高一第二次段考數學試題、答案與詳解

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01多重選擇題：對稱軸、斜率、圓上的距離與不等式的區域

02填充題（本頁第 6～10 題）：圓的方程式、相交條件與平移

03填充題（本頁第 11～15 題）：三角形內部、中點軌跡、對稱點與過三點的圓

04計算題（本頁第 16 題）：三角形面積最大時的斜率

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武陵高中 112 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

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