御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：數乙第二章：多項式函數的微分（導數與導函數、切線、遞增與遞減、極值、凹凸與反曲點、最大值與最小值、邊際與估算）

武陵高中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

多重選擇題 3 題（第 1～3 題）、填充題 10 題（原卷第 1～10 題，本頁第 4～13 題）、混合題 1 題分三小題（原卷第 1 題 (1)(2)(3)，本頁第 14～16 題，依序 4 分、5 分、7 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多重選擇題：（每題 8 分，錯一個選項得 5 分，錯二個選項得 2 分，錯三個選項以上得 0 分）
1
設 f(x) 為實係數 n 次（n≥3）多項式函數，試選出正確的選項。
  1. (1) 若函數 f(x) 在 x=a 處有極值，則 f′(a)=0
  2. (2) 若 f′(a)=f′′(a)=0，則函數 f(x) 在 x=a 處不可能有極值
  3. (3) 若 f′′(a)=0，則點 (a,f(a)) 為函數 f(x) 圖形的反曲點
  4. (4) 若區間 [a,b] 內任一數 α 皆滿足 f′(α)=0，則 f(x) 在區間 [a,b] 沒有極值
  5. (5) 若 n=3 且點 (a,f(a)) 為函數 f(x) 圖形的對稱中心，則 f′′(a)=0。
2
下列關於多項式函數 f(x)=x4+4x3+2 的敘述，請選出正確的選項。
  1. (1) f(x) 在區間 [−2,3] 內為遞增函數
  2. (2) f(x) 有極小值為 −3
  3. (3) f(x) 有極大值為 2
  4. (4) f(x) 只有一個反曲點為 (0,2)
  5. (5) x>0 時，f(x) 圖形凹口向上。
3
已知 f(x) 之導函數 f′(x) 為三次多項式函數且 y=f′(x) 的圖形如下，選出正確的選項。（圖上 y=f′(x) 與 x 軸交於 x=1、3、4 三點）
  1. (1) f(−1)<f(0)
  2. (2) f(1)<f(2)
  3. (3) f(2)>f(3)
  4. (4) f(3)=f(4)
  5. (5) f(9)<f(10)。
載入中...
二、填充題：(每題 6 分，共 60 分)
4
函數 f(x)=(x−1)(x−2)2(x−3)3 在 x=1 處的導數為 ____。
5
已知生產及銷售 x 臺空氣清淨機的成本函數為 f(x)=0.0001x3−0.006x2+50x+1000（單位：美元），其中 0≤x≤1000。若以 f(x+1)−f(x)≈f′(x) 來估算，求生產及銷售第 101 臺空氣清淨機增加的成本為 ____ 美元。
6
三次函數 f(x)=2x3+3x2−12x+1 的反曲點坐標為 ____。
7
已知函數 f(x)=−3x4+2x3+6x+1，求 h→0lim​hf′(1+h)−f′(1)​= ____。
8
函數 f(x)=x2+2∣x−3∣ 之圖形在 x=2 處之切線方程式為 ____。
9
設 f(x) 為多項式，且滿足 f(x)+f′(x)=x3+x2−x+1，則 f(x)= ____。
10
小林到銀行將活期存款 20 萬元改為定期存款，年利率 1.42%，為期 6 年。行員告訴他，如果從其他銀行匯入這家銀行辦理定期存款，就可以用年利率 1.52% 計算。因為另外匯款比較麻煩，小林想估算這兩種方案的本利和在 6 年後的差異再做決定。已知年利率 r 的複利計息，6 年後的本利和為本金的 (1+r)6 倍。如果令 x=1+r，則 6 年後的本利和為本金的 x6 倍。要估算這兩種方案在 6 年後的差異，可以令 f(x)=x6，再利用 f(x+h)−f(x)=f′(x)⋅h 估算，請幫小林完成這項估算，也就是這兩種方案的本利和在 6 年後的差異為 ____ 元。（已知 (1.0142)5≈1.0730，(1.0152)5≈1.0783）（答案請四捨五入至整數位）
11
已知實係數三次函數 f(x)=x3+ax2+bx+2 在區間 [−1,3] 上為遞減函數，在區間 [−5,−1] 與 [3,7] 上為遞增函數，求 a+b 的值為 ____。
12
已知實係數三次函數 f(x)=ax3+bx2+3 在 x=−1 處的切線為 y=−x+3，則數對 (a,b) 為 ____。
13
函數 f(x)=x3+x2−x 在閉區間 [−2,1] 上的最大值為 M，最小值為 m，求 M+m= ____。
三、混合題：（共 16 分）
混合題第 1 題（本頁第 14～16 題）（第 14～16 題）　設生產 x 件產品的收入函數為 R(x)=−0.2x3−0.2x2+590x+300（千元），邊際收入函數為 R′(x)。令生產 x 件產品的成本函數為 C(x)，其中 x≥0，且固定成本 C(0)=500（千元）。若邊際成本函數 C′(x)=−0.4x+50，試回答下列問題：
14
(1) 若成本函數 C(x)=ax2+bx+c，則生產 30 件產品所需的成本為何？（單選）（4 分） (A) 1800　(B) 1810　(C) 1820　(D) 1830　(E) 1840（千元）
15
(2) 計算 R′(30) 與 C′(30) 之值，並根據所求結果說明是否應該生產第 31 件產品。（5 分）
16
(3) 若利潤函數 L(x)= 收入函數 R(x)− 成本函數 C(x)，試問生產此產品多少件可使利潤最大？又最大利潤為何？（7 分）
02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(5)
第 2 題(1)(5)
第 3 題(2)(5)
第 4 題−8
第 5 題51.8
第 6 題(−21​,215​)
第 7 題−24
第 8 題2x−y=−2
第 9 題x3−2x2+3x−2
第 10 題1288
第 11 題−12
第 12 題(1,2)
第 13 題−1
第 14 題(C)
第 15 題R′(30)=C′(30)=38，不必生產第 31 件
第 16 題生產 30 件，最大利潤 10600 千元
03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

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01多選第 1 題（第 1 題）：極值與反曲點的條件

第 1 題

答案 (1)(5)。多項式函數處處可微分，下面逐項看。

(1) 正確。 若 f′(a)>0，則 a 右側附近 f(x)>f(a)、左側附近 f(x)<f(a)，f(a) 不是極值；f′(a)<0 同理。所以有極值時 f′(a)=0。

(2) 錯誤。 反例 f(x)=x4：f′(x)=4x3，f′′(x)=12x2，f′(0)=f′′(0)=0，但 f(x)≥0=f(0)，x=0 處有極小值。

(3) 錯誤。 同一個反例 f(x)=x4：f′′(0)=0，但 f′′(x)=12x2 在 x=0 兩側都大於 0，凹口都向上、沒有改變，所以 (0,0) 不是反曲點。

(4) 錯誤。 f′(x) 是多項式，圖形連續不斷；在 [a,b] 上處處不為 0，就只能一直為正或一直為負，所以 f(x) 在 [a,b] 上一直遞增或一直遞減。把 f(x) 限制在閉區間 [a,b] 上看，兩端點的函數值就是區間上的極小值與極大值，所以「沒有極值」不成立。

(5) 正確。 三次函數 f(x)=px3+qx2+rx+s（p=0）的圖形以反曲點 (−3pq​,f(−3pq​)) 為對稱中心，而且對稱中心只有這一點，所以 a=−3pq​，f′′(a)=6pa+2q=0。

f′(a)=0 與 f′′(a)=0 都只是必要條件：有極值一定 f′(a)=0，但 f′(a)=0 不一定有極值；判斷反曲點要看 f′′ 在兩側是否變號。若只把開區間內部的點當作極值點，(4) 會成立；本卷依學校答案，函數限制在閉區間時端點也算極值。
導數為 0 只是極值的必要條件，二階導數為 0 只是反曲點的必要條件，判斷時都要看兩側是否變號。

02多選第 2、3 題（第 2、3 題）：增減、極值、凹凸與導函數圖形

第 2 題

答案 (1)(5)。f′(x)=4x3+12x2=4x2(x+3)，f′′(x)=12x2+24x=12x(x+2)。

x<−3 時 f′(x)<0；x>−3 時除了 x=0 之外 f′(x)>0。所以 f(x) 在 x≤−3 遞減、在 x≥−3 遞增，x=−3 有極小值，x=0 雖然 f′(0)=0 但兩側都遞增，不是極值。

(1) 正確。 在 [−2,3] 上 f′(x)≥0，只在 x=0 一點等於 0，所以遞增。

(2) 錯誤。 極小值是 f(−3)=81−108+2=−25，不是 −3。

(3) 錯誤。 f′(x) 只在 x=−3 由負變正，沒有由正變負的地方，所以沒有極大值。

(4) 錯誤。 f′′(x)=12x(x+2) 在 x=−2 與 x=0 兩側都變號，反曲點有 (−2,f(−2))=(−2,−14) 與 (0,2) 兩個。

(5) 正確。 x>0 時 f′′(x)=12x(x+2)>0，凹口向上。

第 3 題

答案 (2)(5)。由圖，f′(x) 是最高次項係數為正的三次函數，與 x 軸交於 1、3、4，所以

x<1 時 f′(x)<0，1<x<3 時 f′(x)>0，3<x<4 時 f′(x)<0，x>4 時 f′(x)>0。

也就是 f(x) 在 x≤1 遞減、在 [1,3] 遞增、在 [3,4] 遞減、在 x≥4 遞增。

(1) 錯誤。 −1<0<1，f 在這段遞減，f(−1)>f(0)。

(2) 正確。 f 在 [1,3] 遞增，f(1)<f(2)。

(3) 錯誤。 同樣在 [1,3] 遞增，f(2)<f(3)。

(4) 錯誤。 f 在 [3,4] 遞減，f(3)>f(4)，不相等。

(5) 正確。 9 與 10 都大於 4，f 遞增，f(9)<f(10)。

看導函數的圖形時，曲線在 x 軸上方的區段原函數遞增、在下方的區段原函數遞減；曲線本身的高低起伏不代表原函數的高低。
導數為 0 但兩側同號的點不是極值；導函數圖形在 x 軸上方或下方，決定原函數遞增或遞減。

03填充第 1、4、5、6、9 題（第 4、7、8、9、12 題）：導數的計算、定義與切線

第 4 題

令 g(x)=(x−2)2(x−3)3，則 f(x)=(x−1)g(x)，f′(x)=g(x)+(x−1)g′(x)。代入 x=1，第二項為 0：

f′(1)=g(1)=(1−2)2(1−3)3=1×(−8)=−8

第 7 題這個極限是函數 f′(x) 在 x=1 的導數，也就是 f′′(1)。f′(x)=−12x3+6x2+6，f′′(x)=−36x2+12x，所以 f′′(1)=−36+12=−24。
第 8 題在 x=2 附近 x−3<0，∣x−3∣=3−x，所以 f(x)=x2+2(3−x)=x2−2x+6。f(2)=4−4+6=6，f′(x)=2x−2，f′(2)=2。切線為 y−6=2(x−2)，即 y=2x+2，也就是 2x−y=−2。
第 9 題

f′(x) 的次數比 f(x) 少 1，所以 f(x)+f′(x) 的最高次項就是 f(x) 的最高次項，f(x) 是三次且首項係數為 1。設 f(x)=x3+px2+qx+r，則 f′(x)=3x2+2px+q，

f(x)+f′(x)=x3+(p+3)x2+(2p+q)x+(q+r)

比較係數：p+3=1，2p+q=−1，q+r=1，得 p=−2，q=3，r=−2。所以 f(x)=x3−2x2+3x−2。

驗算：f′(x)=3x2−4x+3，f(x)+f′(x)=x3+x2−x+1，相符。
第 12 題切點在直線上：f(−1)=−(−1)+3=4，即 −a+b+3=4，b−a=1。切線斜率 −1：f′(x)=3ax2+2bx，f′(−1)=3a−2b=−1。把 b=a+1 代入：3a−2a−2=−1，a=1，b=2。數對 (a,b)=(1,2)。
f′(1＋h)－f′(1) 除以 h 的極限是二階導數；含絕對值的函數先在該點附近去掉絕對值再微分；切線條件同時給出切點與斜率兩個方程式。

04填充第 2、7 題（第 5、10 題）：以導數估算變化量

第 5 題

生產第 101 臺增加的成本是 f(101)−f(100)≈f′(100)。f′(x)=0.0003x2−0.012x+50，

f′(100)=0.0003×10000−0.012×100+50=3−1.2+50=51.8

約增加 51.8 美元。

實際的增加量 f(101)−f(100)=51.8241 美元，與估算很接近。
第 10 題

兩種方案的本利和分別是 200000×(1.0142)6 與 200000×(1.0152)6 元。取 x=1.0142、h=1.0152−1.0142=0.001，f(x)=x6，f′(x)=6x5：

f(1.0152)−f(1.0142)≈f′(1.0142)×0.001=6×(1.0142)5×0.001≈6×1.0730×0.001=0.006438

差異約為 200000×0.006438=1287.6，四捨五入得 1288 元。

若改從 x=1.0152 往回估（h=−0.001），會得到 200000×6×1.0783×0.001≈1294 元；實際的差異約為 1290.8 元，兩種估算都很接近。學校答案是從年利率 1.42% 出發的 1288。
f(x＋h)－f(x) 約等於 f′(x)·h：先認清起點 x 與增量 h，再代導函數。

05填充第 3、8、10 題（第 6、11、13 題）：反曲點、增減區間與最大最小值

第 6 題

f′(x)=6x2+6x−12，f′′(x)=12x+6。f′′(x)=0 得 x=−21​，而且 f′′ 在兩側由負變正，所以是反曲點。

f(−21​)=2⋅(−81​)+3⋅41​+6+1=−41​+43​+7=215​

反曲點為 (−21​,215​)。

第 11 題

f′(x)=3x2+2ax+b。f(x) 在 [−5,−1] 遞增、在 [−1,3] 遞減，f′(x) 在 x=−1 兩側由正變負，又 f′ 連續，所以 f′(−1)=0；同理 f′(3)=0。−1、3 是 3x2+2ax+b=0 的兩根：

3x2+2ax+b=3(x+1)(x−3)=3x2−6x−9

得 a=−3，b=−9，a+b=−12。

第 13 題

f′(x)=3x2+2x−1=(3x−1)(x+1)，在 [−2,1] 內的臨界點為 x=−1 與 x=31​。比較臨界點與端點的函數值：

f(−2)=−8+4+2=−2，f(−1)=−1+1+1=1，f(31​)=271​+91​−31​=−275​，f(1)=1+1−1=1。

最大值 M=1，最小值 m=−2，M+m=−1。

閉區間上的最大值與最小值，要把導數為 0 的點和兩個端點的函數值一起比較。

06混合題（第 14～16 題）：成本、收入與利潤

第 14 題

答案 (C)。C(x)=ax2+bx+c，C′(x)=2ax+b=−0.4x+50，所以 a=−0.2，b=50；又 C(0)=c=500。

C(x)=−0.2x2+50x+500,C(30)=−0.2×900+1500+500=1820

生產 30 件的成本為 1820 千元。

第 15 題

R′(x)=−0.6x2−0.4x+590，

R′(30)=−0.6×900−12+590=38,C′(30)=−0.4×30+50=38

R′(30)=C′(30)=38：多生產第 31 件，收入約增加 38 千元，成本也約增加 38 千元，利潤幾乎不會增加，所以不必生產第 31 件。

再往後看：利潤 L(x)=R(x)−C(x) 的導數 L′(x)=R′(x)−C′(x) 在 x>30 時小於 0（見下一小題），多生產反而使利潤減少。學校答案的說明是多做第 31 件所花的成本與所得的收入相同，而且還有機器耗損與人力，所以不必生產。
第 16 題

L(x)=R(x)−C(x)=(−0.2x3−0.2x2+590x+300)−(−0.2x2+50x+500)=−0.2x3+540x−200。

L′(x)=−0.6x2+540=−0.6(x2−900)=−0.6(x−30)(x+30)。在 x≥0 中，0≤x<30 時 L′(x)>0，x>30 時 L′(x)<0，所以 L(x) 先增後減，x=30 時利潤最大：

L(30)=−0.2×27000+540×30−200=−5400+16200−200=10600

生產 30 件時有最大利潤 10600 千元。

由邊際成本與固定成本可以還原成本函數；邊際收入等於邊際成本的地方，正是利潤由增轉減的地方。

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多選第 1 題要分清楚一階、二階導數為 0 只是必要條件，選項 (4) 要記得函數限制在閉區間時端點也算極值；多選第 2 題 x 等於 0 時導數為 0 卻不是極值，反曲點有兩個；填充第 7 題要選對估算的起點與增量；混合題要先由邊際成本與固定成本還原成本函數，再求利潤的最大值。

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