段考詳解範圍：數列的極限、無窮級數、函數與合成函數、函數的極限、連續函數

武陵高中 110 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 武陵高中 110 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 武陵高中 110 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題選項 (D) 只有上界、沒有從下面夾住，不能把小於改成等於；第 4 題的函數只在 0 與 1 兩點連續，要分有理數與無理數兩條路看極限；第 9 題第四個數列的底數化簡後等於 1，容易誤判成發散；第 12 題要先把代不進外層函數的值排除，再求值域；第 14 題要用高斯符號的不等式把整個和夾住。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

多選題 4 題（每題 8 分，錯 1 選項得 5 分，錯 2 選項得 2 分，錯 3 選項以上得 0 分，共 32 分）、填充題 8 格（每格 6 分，共 48 分）、混合題 2 題各 2 小題（第 1 題 4 分與 8 分，第 2 題 2 分與 6 分，共 20 分）。原卷各大題各自編號，本頁改為全卷連續：多選題第 1～4 題為本頁第 1～4 題，填充題 A～H 為本頁第 5～12 題，混合題第 1 題的 (1)(2) 為本頁第 13～14 題，第 2 題的 (1)(2) 為本頁第 15～16 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多選題：32%(每題 8 分，錯 1 選項得 5 分，錯 2 選項得 2 分，錯 3 選項以上得 0 分)

函數

f (x) = \frac{x ^{3}}{∣ x ∣}

，

g (x) = x sin x

，下列函數在其定義域的敘述哪些正確？

(A) $f (x)$ 是奇函數
(B) $g (x)$ 是偶函數
(C) $f (x) \times g (x)$ 是奇函數
(D) $(f \circ g) (x)$ 是偶函數
(E) $(f \circ f) (x)$ 是偶函數

下列各敘述哪些正確？

(A) $0. \overline{3} = \frac{1}{3}$ ，且 $0. \overline{9} = 1$
(B) $0.123 + 0.010203 + 0.001002003 + \dots\dots = 0. \overline{1} + 0. \overline{02} + 0. \overline{003}$
(C) $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \dots + m 項 \frac{1}{m} + \frac{1}{m} + \dots + \frac{1}{m} + \dots$ 此無窮級數和發散
(D) 已知 $(1 + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + \dots + \frac{1}{n ^{2}}) < (1 + \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \dots + \frac{1}{( n - 1 ) \times n}) = 2 - \frac{1}{n}$ ，故 $n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2}} = n \to \infty lim (2 - \frac{1}{n}) = 2$
(E) 讓無窮級數 $n = 1 \sum \infty (\frac{2 x - 9}{x ^{2} + 1})^{n}$ 極限存在的所有 $x$ 為 ${x \in R ∣ x > 2 或 x < - 4}$

關於實數數列

⟨ a_{n} ⟩, ⟨ b_{n} ⟩, ⟨ c_{n} ⟩

下列各敘述哪些正確？

(A) 若數列 $⟨ a_{n} + 2 b_{n} ⟩$ 收斂，且數列 $⟨ 3 a_{n} - b_{n} ⟩$ 也收斂，則 $⟨ a_{n} - b_{n} ⟩$ 收斂
(B) 若數列 $⟨ a_{n} b_{n} ⟩$ 收斂，且數列 $⟨ b_{n} c_{n} ⟩$ 也收斂，則 $⟨ a_{n} c_{n} ⟩$ 收斂
(C) 若 $n \to \infty lim (a_{n} - b_{n}) = n \to \infty lim (c_{n} - a_{n}) = 0$ ，則 $n \to \infty lim (c_{n} - b_{n}) = 0$
(D) 若 $b_{n} < a_{n} < c_{n}$ ，且 $n \to \infty lim (c_{n} - b_{n}) = 0$ ，則 $n \to \infty lim (a_{n} - b_{n}) = n \to \infty lim (c_{n} - a_{n}) = 0$
(E) 若 $b_{n} < a_{n} < c_{n}$ ，且 $n \to \infty lim (c_{n} - b_{n}) = 0$ ，則 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂

關於函數

f (x) = {x, x^{2}, x \in Q x \in / Q

下列選項哪些正確？（

Q

為所有有理數集合）

(A) $x \to 1 lim f (x) = 1$
(B) $x \to 0 lim f (x) = 0$
(C) 函數 $f (x)$ 在 $x = 1$ 處連續
(D) 函數 $f (x)$ 在 $x = 0$ 處連續
(E) 函數 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 處連續

二.填充題：48%(每格 6 分)

台灣綜藝節目「油魚遊戲」共有

7

關，每關所玩的遊戲相當公平

3

人一組每組會淘汰

1

人，當參賽者人數不為

3

的倍數時，無法湊成組的人會自動晉級下一關。依前敘述可寫出函數

f (x) = x - [\frac{x}{3}]

，如果參賽者有

200

人參加遊戲，則會有

f (200)

人晉級，繼續挑戰第二關…。問此

200

人最後挑戰

7

關成功過關的有多少人？____

f (x) = [x + 5] + [5 - x]

，

x \to 3^{+} lim f (x) = a

，

x \to 3^{-} lim f (x) = b

，

f (3) = c

，試求數對

(a, b, c) =

____

求極限

x \to 2 lim \frac{1 + 2 + x - 3}{x - 2} =

____

已知

n \to \infty lim (1 + \frac{r}{n})^{n} = e^{r}

，求

n \to \infty lim (1 + \frac{r + 1}{n + 1})^{n + 1} =

____

下列數列共有幾個極限值存在

⟨ \frac{4 n ^{2} + 7 n - 8}{4 n - 8} ⟩

、

⟨ \frac{n ^{2} + 5 n - 1}{n ^{3} - n} ⟩

、

⟨ \frac{( n + 3 ) ^{5} - ( n - 2 ) ^{5}}{n ^{4}} ⟩

、

⟨ (3 + 8 - 2)^{n} ⟩

、

⟨ \frac{2 n ^{2} + 1}{n} - \frac{2 n - 1}{n} ⟩

、

⟨ \frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + \dots + n ^{2}}{n ^{2}} ⟩

。____ 個

已知函數

f (x)

是連續函數，

x \to 1 lim \frac{f ( x ) - 3}{x - 1} = 5

與

x \to 1 lim \frac{g ( x ) - 2}{x - 1} = 2

，試求

x \to 1 lim \frac{f ( x ) g ( x ) - 2 f ( x ) + 2 f ( x ) - 6}{x - 1}

之值 ____

已知

a, b, c

為常數，

x \to 3 lim \frac{a x ^{2} + b x + c}{x ^{2} - 9} = 2

，

x \to 2 lim \frac{a x ^{2} + b x + c}{x ^{2} - 4} = - 3

，求

n \to \infty lim \frac{a ^{n + 1} + b ^{n + 1} + c ^{n + 1}}{a ^{n} + b ^{n} + c ^{n}} =

____

f (x) = x^{2} + 4 x + 3

，

f (x)

定義域是

[- 3, 2]

，

g (x) = \frac{1}{x}

，

g (x)

定義域是

{x \in R ∣ x \in [- 5, 5], x \neq = 0}

，求

(g \circ f) (x)

的值域 ____

三.混合題：20%(計算題需要完整過程，否則不計分)

1. (1)(複選題)關於高斯函數下列選項哪些正確(4 分)

(A) $x > 0$ 時 $[x] \leq x$
(B) $x < 0$ 時 $x \leq [x]$
(C) $x - 1 < [x]$
(D) $x - 1, [x]$ 有可能相等

1. (2)(計算題)試求

n \to \infty lim \frac{[ \frac{n ^{2}}{2} ] + [ \frac{n ^{2}}{2 ^{2}} ] + \dots + [ \frac{n ^{2}}{2 ^{n}} ]}{3 n ^{2}} =

____(8 分)

混合題第 2 題（本頁第 15～16 題）（第 15～16 題）　如圖所示，正三角形

△ A B C

邊長為

11

，取

\overline{A B}, \overline{B C}, \overline{C A}

上

8 : 3

的內分點，

\overline{A A_{1}} = \frac{8}{11} \overline{A B}

，

\overline{B B_{1}} = \frac{8}{11} \overline{B C}

，

\overline{C C_{1}} = \frac{8}{11} \overline{C A}

，形成

△ A_{1} B_{1} C_{1}

。再依此方法取

△ A_{1} B_{1} C_{1}

邊上

8 : 3

的內分點形成

△ A_{2} B_{2} C_{2} \dots

。稱

△ A A_{1} C_{1}

為

T_{1}

，

△ A_{1} A_{2} C_{2}

為

T_{2}

，依此類推可得

T_{3}, T_{4}, \dots\dots

(1)(填充題)求

\overline{A_{1} C_{1}} =

____(2 分)

載入中...

(2)(計算題)求

T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4}, \dots\dots

面積的無窮級數和(6 分)

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)(C)(D)

第 2 題(A)(B)(C)(E)

第 3 題(A)(C)(D)

第 4 題(A)(B)(C)(D)

第 5 題

12

第 6 題

(9, 9, 10)

第 7 題

\frac{3}{24}

第 8 題

e^{r + 1}

第 9 題

3

第 10 題

16

第 11 題

72

第 12 題

{x \in R ∣ x \leq - 1 或 x \geq \frac{1}{5}}

第 13 題(A)(C)

第 14 題

\frac{1}{3}

第 15 題

7

第 16 題

\frac{121 3}{12}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1：奇函數、偶函數與合成

第 1 題答案 (A)(B)(C)(D)。

f (x)

的定義域是

x \neq = 0

，

g (x)

的定義域是全體實數，兩者都對稱於原點。(A) 對：

f (- x) = \frac{( - x ) ^{3}}{∣ - x ∣} = - \frac{x ^{3}}{∣ x ∣} = - f (x)

。(B) 對：

g (- x) = (- x) sin (- x) = (- x) (- sin x) = x sin x = g (x)

。(C) 對：令

h (x) = f (x) g (x)

（

x \neq = 0

），

h (- x) = f (- x) g (- x) = - f (x) g (x) = - h (x)

。(D) 對：

(f \circ g) (x) = f (g (x))

的定義域是使

g (x) \neq = 0

的

x

；因為

g (- x) = g (x)

，這個定義域對稱於原點，而且

f (g (- x)) = f (g (x))

，是偶函數。(E) 錯：

x \neq = 0

時

f (x) \neq = 0

，所以

f \circ f

的定義域是

x \neq = 0

；

f (f (- x)) = f (- f (x)) = - f (f (x))

，是奇函數。又

f (1) = 1

，

f (f (1)) = 1

，

f (f (- 1)) = - 1

，兩者不相等，所以不是偶函數。

x > 0

時

f (x) = x^{2}

，

x < 0

時

f (x) = - x^{2}

。奇函數乘偶函數是奇函數；裡面那一層是偶函數時，合成之後一定是偶函數；奇函數合成奇函數還是奇函數。

02多選 2：循環小數與無窮級數

第 2 題答案 (A)(B)(C)(E)。(A) 對：

0. \overline{3} = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \dots = \frac{\frac{3}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{1}{3}

；

0. \overline{9} = \frac{\frac{9}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = 1

。(B) 對：左邊第

k

項可以拆成

\frac{1}{1 0 ^{k}} + \frac{2}{10 0 ^{k}} + \frac{3}{100 0 ^{k}}

（例如

0.010203 = 0.01 + 0.0002 + 0.000003

）。三個無窮等比級數都收斂，所以可以分開求和：

\frac{\frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{10}} + \frac{\frac{2}{100}}{1 - \frac{1}{100}} + \frac{\frac{3}{1000}}{1 - \frac{1}{1000}} = \frac{1}{9} + \frac{2}{99} + \frac{3}{999}

，正好是

0. \overline{1} + 0. \overline{02} + 0. \overline{003}

。(C) 對：

m

個

\frac{1}{m}

相加等於

1

，所以加到第

m

組結束時部分和等於

m

；部分和沒有上界，級數發散。(D) 錯：對每個

n \geq 2

，部分和小於

2 - \frac{1}{n}

，取極限之後只能得到

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2}} \leq 2

，不能把小於改成等於。事實上從第三項起才放大：

1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{3 ^{2}} + \dots + \frac{1}{n ^{2}} < 1 + \frac{1}{4} + (\frac{1}{2} - \frac{1}{n}) < \frac{7}{4}

，所以這個級數的和不超過

\frac{7}{4}

，不可能等於

2

。(E) 對：這是首項與公比都是

r = \frac{2 x - 9}{x ^{2} + 1}

的無窮等比級數，收斂的條件是

∣ r ∣ < 1

，即

∣2 x - 9∣ < x^{2} + 1

。

2 x - 9 < x^{2} + 1

即

x^{2} - 2 x + 10 > 0

，

(x - 1)^{2} + 9 > 0

恆成立；

- (x^{2} + 1) < 2 x - 9

即

x^{2} + 2 x - 8 > 0

，

(x + 4) (x - 2) > 0

，

x > 2

或

x < - 4

。

(D) 是把夾擠定理用錯：只有一邊的上界，沒有從下面夾住，極限不一定等於上界的極限。(E) 的

x = \frac{9}{2}

使每一項都是

0

，級數也收斂，它已經在

x > 2

之內。

03多選 3：數列收斂的性質

第 3 題答案 (A)(C)(D)。(A) 對：令

p_{n} = a_{n} + 2 b_{n}

、

q_{n} = 3 a_{n} - b_{n}

，都收斂。解聯立得

a_{n} = \frac{p _{n} + 2 q _{n}}{7}

、

b_{n} = \frac{3 p _{n} - q _{n}}{7}

，所以

a_{n} - b_{n} = \frac{- 2 p _{n} + 3 q _{n}}{7}

，是收斂數列的倍數相加減，仍然收斂。(B) 錯：取

b_{n} = 0

、

a_{n} = n

、

c_{n} = n

，

a_{n} b_{n} = 0

、

b_{n} c_{n} = 0

都收斂，但

a_{n} c_{n} = n^{2}

發散。(C) 對：

c_{n} - b_{n} = (c_{n} - a_{n}) + (a_{n} - b_{n})

，兩個數列的極限都是

0

，相加的極限是

0 + 0 = 0

。(D) 對：由

b_{n} < a_{n} < c_{n}

得

0 < a_{n} - b_{n} < c_{n} - b_{n}

，而

n \to \infty lim (c_{n} - b_{n}) = 0

，由夾擠定理

n \to \infty lim (a_{n} - b_{n}) = 0

；再由

c_{n} - a_{n} = (c_{n} - b_{n}) - (a_{n} - b_{n})

得

n \to \infty lim (c_{n} - a_{n}) = 0 - 0 = 0

。(E) 錯：取

b_{n} = n - \frac{1}{n}

、

a_{n} = n

、

c_{n} = n + \frac{1}{n}

，

b_{n} < a_{n} < c_{n}

且

c_{n} - b_{n} = \frac{2}{n}

趨近

0

，但

⟨ a_{n} ⟩

發散。

(E) 與夾擠定理的差別：夾擠定理要求

⟨ b_{n} ⟩

與

⟨ c_{n} ⟩

各自收斂到同一個數；只知道兩者的差趨近

0

是不夠的。

04多選 4：有理數與無理數分開定義的函數

第 4 題答案 (A)(B)(C)(D)。不論

x

是有理數或無理數，

f (x)

不是

x

就是

x^{2}

，所以

f (x)

一定介於

x

與

x^{2}

之間（含兩端）。(A) 對：

x \to 1

時

x

與

x^{2}

都趨近

1

，由夾擠定理

x \to 1 lim f (x) = 1

。(B) 對：

x \to 0

時

x

與

x^{2}

都趨近

0

，同理

x \to 0 lim f (x) = 0

。(C) 對：

1

是有理數，

f (1) = 1 = x \to 1 lim f (x)

。(D) 對：

0

是有理數，

f (0) = 0 = x \to 0 lim f (x)

。(E) 錯：

x

沿著有理數趨近

- 1

時

f (x) = x

趨近

- 1

；沿著無理數趨近

- 1

時

f (x) = x^{2}

趨近

1

。兩者不同，

x \to - 1 lim f (x)

不存在，所以在

x = - 1

不連續。

只有在

x = x^{2}

的地方，也就是

x = 0

與

x = 1

，兩條規則才會接在一起，

f (x)

也只在這兩點連續。

05填充 A～B（本頁 5～6）：高斯符號

第 5 題每過一關，人數由

x

變成

f (x) = x - [\frac{x}{3}]

，連續代入

7

次。第一關：

200 - [\frac{200}{3}] = 200 - 66 = 134

。第二關：

134 - 44 = 90

。第三關：

90 - 30 = 60

。第四關：

60 - 20 = 40

。第五關：

40 - 13 = 27

。第六關：

27 - 9 = 18

。第七關：

18 - 6 = 12

。所以最後有

12

人。

人數不是

3

的倍數時要取高斯符號（例如

[\frac{40}{3}] = 13

），不能直接乘

\frac{2}{3}

。

第 6 題

x

從右邊趨近

3

時，取

3 < x < 4

：

8 < x + 5 < 9

，

[x + 5] = 8

；

1 < 5 - x < 2

，

[5 - x] = 1

；

f (x) = 9

，所以

a = 9

。

x

從左邊趨近

3

時，取

2 < x < 3

：

7 < x + 5 < 8

，

[x + 5] = 7

；

2 < 5 - x < 3

，

[5 - x] = 2

；

f (x) = 9

，所以

b = 9

。

f (3) = [8] + [2] = 10

，

c = 10

。故

(a, b, c) = (9, 9, 10)

。

左右極限相等，所以

x \to 3 lim f (x) = 9

存在，但不等於

f (3) = 10

，

f (x)

在

x = 3

不連續。

06填充 C～D（本頁 7～8）：有理化、已知極限的代換

第 7 題直接代

x = 2

會得到

\frac{0}{0}

。分子分母同乘

1 + 2 + x + 3

：分子變成

(1 + 2 + x) - 3 = 2 + x - 2

。再同乘

2 + x + 2

：分子變成

(2 + x) - 4 = x - 2

，與分母的

x - 2

約去。所以原式

= \frac{1}{( 2 + x + 2 ) ( 1 + 2 + x + 3 )}

（

x \neq = 2

）。

x \to 2

時，

2 + x + 2

趨近

4

，

1 + 2 + x + 3

趨近

23

，極限為

\frac{1}{4 \cdot 2 3} = \frac{1}{8 3} = \frac{3}{24}

。

第 8 題題目給的式子對任何常數

r

都成立，把其中的常數換成

r + 1

：

m \to \infty lim (1 + \frac{r + 1}{m})^{m} = e^{r + 1}

。令

m = n + 1

，

n \to \infty

時

m \to \infty

，而

(1 + \frac{r + 1}{n + 1})^{n + 1}

就是上面那個數列的第

n + 1

項。同一個收斂數列從第二項看起，極限不變，所以所求為

e^{r + 1}

。

07填充 E（本頁 9）：六個數列的收斂與發散

第 9 題逐一判斷。第一個：分子分母同除以

n

，得

\frac{4 n + 7 - \frac{8}{n}}{4 - \frac{8}{n}}

，分母趨近

4

，分子越來越大、沒有上界，發散。第二個：分子分母同除以

n^{3}

，得

\frac{\frac{1}{n} + \frac{5}{n ^{2}} - \frac{1}{n ^{3}}}{1 - \frac{1}{n ^{2}}}

，趨近

\frac{0}{1} = 0

，收斂。第三個：

(n + 3)^{5} = n^{5} + 15 n^{4} + \dots

，

(n - 2)^{5} = n^{5} - 10 n^{4} + \dots

，相減後

n^{5}

消去，最高次項是

25 n^{4}

，其餘各項次數不超過

3

；除以

n^{4}

後趨近

25

，收斂。第四個：

3 + 8 = 3 + 22 = (2 + 1)^{2}

，所以

3 + 8 - 2 = 1

，每一項都是

1

，收斂到

1

。第五個：

\frac{2 n ^{2} + 1}{n} - \frac{2 n - 1}{n} = \frac{2 n ^{2} - 2 n + 2}{n} = 2 n - 2 + \frac{2}{n}

，沒有上界，發散。第六個：

\frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + \dots + n ^{2}}{n ^{2}} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 n ^{2}} = \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 n}

，分子是二次、分母是一次，沒有上界，發散。收斂的是第二、三、四個，共

3

個。

第四個的底數看起來不是整數，化簡雙重根號後其實等於

1

；若底數的絕對值大於

1

就會發散，所以一定要先化簡。第六個的分母是

n^{2}

不是

n^{3}

。

08填充 F～G（本頁 10～11）：由已知極限反推

第 10 題先求

f (x)

、

g (x)

在

x \to 1

的極限：

f (x) - 3 = \frac{f ( x ) - 3}{x - 1} \cdot (x - 1)

，兩個因式的極限是

5

與

0

，所以

x \to 1 lim (f (x) - 3) = 0

，即

x \to 1 lim f (x) = 3

；同理

x \to 1 lim g (x) = 2

。分子照卷面的寫法分組：

f (x) g (x) - 2 f (x) + 2 f (x) - 6 = f (x) (g (x) - 2) + 2 (f (x) - 3)

。所以原式

= f (x) \cdot \frac{g ( x ) - 2}{x - 1} + 2 \cdot \frac{f ( x ) - 3}{x - 1}

，

x \to 1

時趨近

3 \cdot 2 + 2 \cdot 5 = 16

。

分子的

- 2 f (x) + 2 f (x)

合起來是

0

，分子其實就是

f (x) g (x) - 6

；卷面先減再加同一項，是為了湊出兩個已知的極限。

第 11 題

x \to 3

時分母

x^{2} - 9

趨近

0

而極限存在，所以分子也要趨近

0

：

9 a + 3 b + c = 0

。同理由第二個極限得

4 a + 2 b + c = 0

。所以

x = 3

與

x = 2

都使

a x^{2} + b x + c = 0

。若

a = 0

，由這兩式得

b = c = 0

，分子恆為

0

，極限是

0

，不合；故

a \neq = 0

，

a x^{2} + b x + c = a (x - 3) (x - 2)

。第一個極限：

\frac{a ( x - 3 ) ( x - 2 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{a ( x - 2 )}{x + 3}

趨近

\frac{a}{6} = 2

，

a = 12

。檢查第二個極限：

\frac{a ( x - 3 ) ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{a ( x - 3 )}{x + 2}

趨近

- \frac{a}{4} = - 3

，符合。展開

12 (x - 3) (x - 2) = 12 x^{2} - 60 x + 72

，所以

a = 12

、

b = - 60

、

c = 72

。所求的分子分母同除以

7 2^{n}

：

\frac{12 ( \frac{12}{72} ) ^{n} - 60 ( \frac{- 60}{72} ) ^{n} + 72}{( \frac{12}{72} ) ^{n} + ( \frac{- 60}{72} ) ^{n} + 1}

，其中

(\frac{1}{6})^{n}

與

(- \frac{5}{6})^{n}

都趨近

0

，極限為

\frac{72}{1} = 72

。

三個底數裡絕對值最大的是

72

，同除以

7 2^{n}

之後其餘兩項都趨近

0

，極限就是

72

。

b = - 60

是負的，但

∣ - 60∣ < 72

，不影響結果。

09填充 H（本頁 12）：合成函數的值域

第 12 題

f (x) = (x + 2)^{2} - 1

，在

- 3 \leq x \leq 2

上，最小值是

f (- 2) = - 1

，最大值是

f (2) = 15

，而且

- 1

到

15

之間的每個值都取得到，所以

f (x)

的值域是

[- 1, 15]

。

(g \circ f) (x) = g (f (x))

要有意義，

f (x)

必須落在

g

的定義域內：

- 5 \leq f (x) \leq 5

且

f (x) \neq = 0

。所以能代進

g

的值是

y = f (x)

滿足

- 1 \leq y < 0

或

0 < y \leq 5

。

- 1 \leq y < 0

時

\frac{1}{y} \leq - 1

，而且所有不大於

- 1

的數都取得到；

0 < y \leq 5

時

\frac{1}{y} \geq \frac{1}{5}

，而且所有不小於

\frac{1}{5}

的數都取得到。故值域為

{x \in R ∣ x \leq - 1 或 x \geq \frac{1}{5}}

。

f (x)

的值超過

5

的那些

x

（以及使

f (x) = 0

的

x = - 3

、

x = - 1

）不在

g \circ f

的定義域內，要先排除；若沒有排除，會誤把

\frac{1}{15}

當成邊界。

10混合題第 1 題（本頁 13～14）：高斯符號與夾擠定理

第 13 題答案 (A)(C)。

[x]

是不超過

x

的最大整數，所以對任何實數

x

都有

[x] \leq x < [x] + 1

。(A) 對：

[x] \leq x

對所有實數都成立，

x > 0

時當然成立。(B) 錯：取

x = - 0.5

，

[x] = - 1

，

x \leq [x]

不成立。(C) 對：由

x < [x] + 1

移項得

x - 1 < [x]

。(D) 錯：由 (C)，

x - 1

一定小於

[x]

，不可能相等。

第 14 題對每個

k = 1, 2, \dots, n

，由

x - 1 < [x] \leq x

得

\frac{n ^{2}}{2 ^{k}} - 1 < [\frac{n ^{2}}{2 ^{k}}] \leq \frac{n ^{2}}{2 ^{k}}

。把

k = 1

到

n

的式子相加，並用

\frac{1}{2} + \frac{1}{2 ^{2}} + \dots + \frac{1}{2 ^{n}} = 1 - \frac{1}{2 ^{n}}

：

n^{2} (1 - \frac{1}{2 ^{n}}) - n < [\frac{n ^{2}}{2}] + [\frac{n ^{2}}{2 ^{2}}] + \dots + [\frac{n ^{2}}{2 ^{n}}] \leq n^{2} (1 - \frac{1}{2 ^{n}})

。同除以

3 n^{2}

：左邊是

\frac{1}{3} (1 - \frac{1}{2 ^{n}}) - \frac{1}{3 n}

，右邊是

\frac{1}{3} (1 - \frac{1}{2 ^{n}})

。

n \to \infty

時

\frac{1}{2 ^{n}}

與

\frac{1}{3 n}

都趨近

0

，左右兩邊的極限都是

\frac{1}{3}

，由夾擠定理，所求極限為

\frac{1}{3}

。

(1) 的選項 (A)(C) 合起來就是

x - 1 < [x] \leq x

，正好是這一小題夾擠用的不等式。每一項最多少算

1

，

n

項共少算不到

n

，除以

3 n^{2}

之後不影響極限。

11混合題第 2 題（本頁 15～16）：內分點三角形與無窮等比級數

第 15 題

\overline{A A_{1}} = \frac{8}{11} \times 11 = 8

。

\overline{C C_{1}} = 8

，所以

\overline{A C_{1}} = 11 - 8 = 3

。在

△ A A_{1} C_{1}

中，

∠ A = 6 0^{\circ}

，由餘弦定理

\overline{A_{1} C_{1}}^{2} = 8^{2} + 3^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot cos 6 0^{\circ} = 64 + 9 - 24 = 49

，

\overline{A_{1} C_{1}} = 7

。

第 16 題

T_{1} = △ A A_{1} C_{1}

的面積是

\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 \cdot sin 6 0^{\circ} = 63

。同樣的算法，

△ B B_{1} A_{1}

、

△ C C_{1} B_{1}

也都是兩邊

8

、

3

夾

6 0^{\circ}

，所以

\overline{A_{1} B_{1}} = \overline{B_{1} C_{1}} = \overline{C_{1} A_{1}} = 7

，

△ A_{1} B_{1} C_{1}

是邊長

7

的正三角形。

T_{2} = △ A_{1} A_{2} C_{2}

在正三角形

A_{1} B_{1} C_{1}

中的位置，和

T_{1}

在正三角形

A B C

中的位置相同（兩邊分別是邊長的

\frac{8}{11}

與

\frac{3}{11}

，夾角

6 0^{\circ}

），所以

T_{2}

與

T_{1}

相似，邊長比等於兩個正三角形的邊長比

\frac{7}{11}

，面積比是

(\frac{7}{11})^{2} = \frac{49}{121}

。以後每一層都一樣，

T_{1}, T_{2}, T_{3}, \dots

的面積成等比數列，首項

63

，公比

\frac{49}{121}

。公比的絕對值小於

1

，級數收斂，和為

\frac{6 3}{1 - \frac{49}{121}} = 63 \cdot \frac{121}{72} = \frac{121 3}{12}

。

另一個看法：每一層的三個角落三角形面積相等，所以

T_{1}

是「

△ A B C

的面積減去

△ A_{1} B_{1} C_{1}

的面積」的三分之一，

T_{2}

是下一層差的三分之一，依此類推。加到第

n

項是

\frac{1}{3} (△ A B C 的面積 - △ A_{n} B_{n} C_{n} 的面積)

，而最裡面的三角形面積趨近

0

，所以和是

\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot 1 1^{2} = \frac{121 3}{12}

，結果相同。

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武陵高中 110 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題選項 (D) 只有上界、沒有從下面夾住，不能把小於改成等於；第 4 題的函數只在 0 與 1 兩點連續，要分有理數與無理數兩條路看極限；第 9 題第四個數列的底數化簡後等於 1，容易誤判成發散；第 12 題要先把代不進外層函數的值排除，再求值域；第 14 題要用高斯符號的不等式把整個和夾住。

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04多選 4：有理數與無理數分開定義的函數

05填充 A～B（本頁 5～6）：高斯符號

06填充 C～D（本頁 7～8）：有理化、已知極限的代換

07填充 E（本頁 9）：六個數列的收斂與發散

08填充 F～G（本頁 10～11）：由已知極限反推

09填充 H（本頁 12）：合成函數的值域

10混合題第 1 題（本頁 13～14）：高斯符號與夾擠定理

11混合題第 2 題（本頁 15～16）：內分點三角形與無窮等比級數

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