武陵高中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答 ×。$x\ge 1$ 時 $f(x)=x-1$，$x<1$ 時 $f(x)=1-x$，$f(1)=0$。

右極限：$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{h}{h}=1$；左極限：$\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{-h}{h}=-1$。

左右極限不相等，所以 $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ 不存在，$f^{\prime }(1)$ 不存在，不是「等於 $1$ 或 $-1$」。

答 ○。在 $x=0$ 附近（$x<1$）$f(x)=1-x$，所以

$$f^{\prime }(0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h)-f(0)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(1-h)-1}{h}=-1$$

（$h$ 很接近 $0$ 時 $h<1$，可以用 $f(h)=1-h$。）

答 ○。產生第 $10$ 件產品所增加的成本是 $C(10)-C(9)$。由導數的意義，$h$ 很小時 $C(9+h)-C(9)\approx C^{\prime }(9)\cdot h$，取 $h=1$ 得

$$C(10)-C(9)\approx C^{\prime }(9)$$

這就是邊際成本 $C^{\prime }(9)$ 的意義。

答案 (2)(4)。$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$，$f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b$。

(1) 錯誤。 由圖，$x$ 愈往右，$f(x)$ 往下無限延伸，所以最高次項係數 $a<0$。

(2) 正確。 圖形在 $y$ 軸附近凹口向上，到 $y$ 軸右側的平緩處才轉成凹口向下，所以反曲點的 $x$ 坐標 $-\frac{b}{3a}>0$。又 $a<0$，得 $b>0$。（也可以看 $f^{\prime \prime }(0)=2b$：$x=0$ 處凹口向上，$f^{\prime \prime }(0)>0$。）

(3) 錯誤。 $f(x)$ 嚴格遞減，所以對所有 $x$ 都有 $f^{\prime }(x)\le 0$。$f^{\prime }(x)$ 是開口向下的二次函數，而且函數值都不大於 $0$，所以判別式 $(2b{)}^2-4\cdot 3a\cdot c\le 0$，即 $b^2\le 3ac$。由 (2) $b>0$，得 $3ac\ge b^2>0$，而 $a<0$，所以 $c<0$。

(4) 正確。 $d=f(0)$ 是圖形與 $y$ 軸交點的縱坐標，由圖交點在原點上方，$d>0$。

(5) 錯誤。 由 (3) 的推導，$b^2-3ac\le 0$，不會大於 $0$。

答案 (1)(2)。$f^{\prime }(x)=3x^2+2bx+c$。由圖，A、B 是極值發生處，橫坐標分別是 $-2$ 與 $3$，所以 $f^{\prime }(-2)=f^{\prime }(3)=0$，即 $-2$、$3$ 是 $3x^2+2bx+c=0$ 的兩根：

$$f^{\prime }(x)=3(x+2)(x-3)=3x^2-3x-18$$

比較係數得 $b=-\frac{3}{2}$，$c=-18$。注意 $x^2+\frac{2}{3}bx+\frac{c}{3}$ 正好是 $\frac{1}{3}{f}^{\prime }(x)$，所以

$$g(x)={\log }_2((x+2)(x-3))={\log }_2(x^2-x-6)$$

真數要大於 $0$：$(x+2)(x-3)>0$，定義域是 $x<-2$ 或 $x>3$。$y={\log }_{2}u$ 是遞增函數，所以 $g(x)$ 遞減的地方，就是在定義域內 $u=x^2-x-6$ 遞減的地方。$u$ 的頂點在 $x=\frac{1}{2}$，$x\le \frac{1}{2}$ 時遞減、$x\ge \frac{1}{2}$ 時遞增，和定義域取交集：$g(x)$ 在 $x<-2$ 嚴格遞減，在 $x>3$ 嚴格遞增。

(1) 正確。 $(-\infty ,-5]$ 整段在 $x<-2$ 內。

(2) 正確。 $[-5,-3]$ 整段在 $x<-2$ 內。

(3) 錯誤。 $[-3,1]$ 含有 $-2\le x\le 1$ 這一段，例如 $x=0$ 時真數 $-6<0$，$g(0)$ 沒有定義。

(4) 錯誤。 $[1,3]$ 上真數都 $\le 0$，$g(x)$ 在這整段都沒有定義。

(5) 錯誤。 $g(3)$ 沒有定義（真數為 $0$），而且 $x>3$ 時 $g(x)$ 嚴格遞增。

分母 $x-1\to 0$ 而極限存在，分子也必須趨近 $0$：

$$f(1)=\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{x-1}\cdot (x-1)=3\cdot 0=0$$

（多項式函數連續，所以 $f(1)={\lim }_{x\to 1}f(x)$。）於是

$$f^{\prime }(1)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{x-1}=3$$

由上題 $f(1)=0$、$f^{\prime }(1)=3$。令 $k=-h$，$h\to 0$ 時 $k\to 0$：

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(1-h)}{8h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(1-h)-f(1)}{-h}\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)=-\frac{1}{8}\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f(1+k)-f(1)}{k}=-\frac{1}{8}{f}^{\prime }(1)=-\frac{3}{8}$$

$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+3$，在 $x=1$ 的切線斜率為 $f^{\prime }(1)=3a+3$。直線 $x+6y=3$ 的斜率為 $-\frac{1}{6}$。兩直線垂直，斜率相乘為 $-1$：

$$(3a+3)\cdot \left(-\frac{1}{6}\right)=-1\Rightarrow 3a+3=6\Rightarrow a=1$$

切線斜率 $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-2{)}^2-3\ge -3$，在 $x=2$ 時最小，最小斜率為 $-3$。

切點 $(2,f(2))$，$f(2)=8-24+18+3=5$。切線 $y-5=-3(x-2)$，整理成一般式：$3x+y-11=0$。

$f^{\prime }(x)=-3x^2+48x+108=-3(x^2-16x-36)=-3(x-18)(x+2)$。

產量 $x\ge 0$：$0\le x<18$ 時 $f^{\prime }(x)>0$，收入遞增；$x>18$ 時 $f^{\prime }(x)<0$，收入遞減。所以 $x=18$ 時收入最大，產量為 $18$ 件。

$f(x)$ 是三次函數，$a\ne 0$。$f^{\prime }(x)=3a{x}^2-6x+(a+2)$。

三次函數嚴格遞減，必須 $f^{\prime }(x)\le 0$ 對所有 $x$ 成立（等號最多在一點成立），所以 $f^{\prime }(x)$ 開口向下、判別式不大於 $0$：

$$a<0,(-6{)}^2-4\cdot 3a(a+2)\le 0$$

第二式化為 $36-12a^2-24a\le 0$，即 $a^2+2a-3\ge 0$，$(a+3)(a-1)\ge 0$，得 $a\le -3$ 或 $a\ge 1$。與 $a<0$ 取交集：$a\le -3$。

設 $f(x)=p{x}^3+q{x}^2+rx+s$（$p\ne 0$），$f^{\prime }(x)=3p{x}^2+2qx+r$，$f^{\prime \prime }(x)=6px+2q$。

反曲點的橫坐標 $-1$：$f^{\prime \prime }(-1)=-6p+2q=0$，$q=3p$。

$x=-3$ 有極小值：$f^{\prime }(-3)=27p-6q+r=27p-18p+r=0$，$r=-9p$。

代入兩個函數值： $f(-1)=-p+q-r+s=-p+3p+9p+s=11p+s=-8$， $f(-3)=-27p+9q-3r+s=-27p+27p+27p+s=27p+s=-24$。

兩式相減 $16p=-16$，$p=-1$，$s=3$，$q=-3$，$r=9$。所以 $f(x)=-x^3-3x^2+9x+3$，

$$f(1)=-1-3+9+3=8$$

$f^{\prime }(x)=3x^2-1$。設切點為 $(t,t^3-t)$，切線為

$$y=(3t^2-1)(x-t)+t^3-t=(3t^2-1)x-2t^3$$

切線過 $(1,b)$：$b=3t^2-1-2t^3$。三次函數圖形上不同的切點給出不同的切線，所以「可作三條切線」等於「$-2t^3+3t^2-1=b$ 有三個相異實根 $t$」。

令 $h(t)=-2t^3+3t^2-1$，$h^{\prime }(t)=-6t^2+6t=-6t(t-1)$：$h$ 在 $t=0$ 有極小值 $h(0)=-1$，在 $t=1$ 有極大值 $h(1)=0$。水平線 $y=b$ 與 $y=h(t)$ 的圖形交於三點，必須介於極小值與極大值之間：

$$-1<b<0$$

$f^{\prime }(x)=-4x^3+12x^2=-4x^2(x-3)$。在 $[-1,4]$ 上：

$-1\le x<3$ 時，除了 $x=0$ 一點之外 $f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 在 $[-1,3]$ 遞增；$3<x\le 4$ 時 $f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 在 $[3,4]$ 遞減。

$x=0$ 雖然 $f^{\prime }(0)=0$，但兩側都遞增，不是極值。$x=3$ 左增右減，有極大值 $f(3)=-81+108=27$。

函數限制在閉區間 $[-1,4]$ 上，兩端點也要看：$x=-1$ 右側附近 $f(x)$ 遞增，$f(-1)=-1-4=-5$ 比附近的函數值都小，是極小值；$x=4$ 左側附近 $f(x)$ 遞減，$f(4)=-256+256=0$ 比附近的函數值都小，也是極小值。

所以極大值 $27$，極小值 $-5$ 與 $0$。

$f^{\prime \prime }(x)=-12x^2+24x=-12x(x-2)$。

$x<0$ 時 $f^{\prime \prime }(x)<0$（凹口向下），$0<x<2$ 時 $f^{\prime \prime }(x)>0$（凹口向上），$x>2$ 時 $f^{\prime \prime }(x)<0$（凹口向下）。$f^{\prime \prime }(x)$ 在 $x=0$ 與 $x=2$ 兩側都變號，所以反曲點為

$$(0,f(0))=(0,0),(2,f(2))=(2,-16+32)=(2,16)$$

把前兩小題整理成表：

$$\begin{array}{cccccccccc}x& -1& & 0& & 2& & 3& & 4\\ f^{\prime }(x)& +& +& 0& +& +& +& 0& -& -\\ f^{\prime \prime }(x)& -& -& 0& +& 0& -& -& -& -\\ f(x)& -5& \nearrow & 0& \nearrow & 16& \nearrow & 27& \searrow & 0\end{array}$$

圖形從 $(-1,-5)$ 出發，凹口向下上升到原點（反曲點，切線水平）；在 $0<x<2$ 凹口向上上升到 $(2,16)$（反曲點）；在 $2<x<3$ 凹口向下上升到極大點 $(3,27)$；再凹口向下下降到端點 $(4,0)$。圖上標出極值點 $(-1,-5)$、$(3,27)$、$(4,0)$ 與反曲點 $(0,0)$、$(2,16)$，如附圖（縱軸與橫軸的單位長不同）。

設直圓柱的高為 $H$。過圓錐的軸作截面，得到高 $10$、底 $3$ 的直角三角形；圓柱上底的邊緣落在圓錐的母線上。由相似三角形，圓柱上底以上的小圓錐與原圓錐相似：

$$\frac{10-H}{10}=\frac{x}{3}\Rightarrow H=10\left(1-\frac{x}{3}\right)$$

所以 $f(x)=\pi x^{2}H=10\pi x^2\left(1-\frac{x}{3}\right)$。圓柱要真的存在，底半徑與高都要大於 $0$：$x>0$ 且 $1-\frac{x}{3}>0$，所以 $0<x<3$。

$f(x)=10\pi x^2-\frac{10\pi }{3}{x}^3$，$f^{\prime }(x)=20\pi x-10\pi x^2=10\pi x(2-x)$。

在 $0<x<3$ 上：$0<x<2$ 時 $f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 遞增；$2<x<3$ 時 $f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 遞減。所以 $x=2$ 時體積最大：

$$f(2)=10\pi \cdot 4\cdot \left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{40\pi }{3}$$

最大體積為 $\frac{40\pi }{3}$，此時直圓柱的底半徑 $x=2$。