段考詳解範圍：數乙第一章：數列與函數的極限（數列的極限、無窮等比級數、函數、函數的極限與連續）

武陵高中 110 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

多重選擇題 2 題（每題 8 分，共 16 分；錯一個得 5 分、錯兩個得 2 分，其他不給分）、填充題 9 題共 14 格（每格 5 分，共 70 分）、計算證明題 2 題（8 分、6 分，共 14 分）。原卷各大題各自從 1 編號，本頁改成全卷連續的第 1～19 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、多重選擇題（每題 8 分，共 16 分，錯一個得 5 分、錯兩個得 2 分，其他不給分）

下列哪些選項是正確的？

(A) $n \to \infty lim (- \frac{1}{3})^{n} = 0$
(B) $n \to \infty lim (\frac{1}{3} (- 1)^{n}) = 0$
(C) $n \to \infty lim \frac{3 ^{n} + 1}{4 ^{n} - 1} = 0$
(D) $n \to \infty lim (cos^{2} n + sin^{2} n)$ 不存在
(E) $i = 1 \sum 5 t = 15$

設

f (x)

之圖形如圖，則下列哪些正確？

(A) $f (2)$ 不存在
(B) $x \to 2 lim f (x)$ 不存在
(C) $x \to 3 lim f (x) = 5$
(D) $x \to 3 lim \frac{f ( x )}{x} = \frac{5}{3}$
(E) $f (x)$ 在 $x = 5$ 處連續

載入中...

二、填充題（每格 5 分，共 70 分）

填充題第 1 題（本頁第 3～7 題）（第 3～7 題）　求下列各極限值（若無極限值，答案請寫「不存在」）

(a)

n \to \infty lim ((\frac{1}{n} + 6) (\frac{n + 2}{2 n + 1} - 1)) =

____。

(b)

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + 3 x + 5}{2 x ^{2} + x + 3} =

____。

(c)

x \to 3 lim \frac{x ^{3} - 27}{x - 3} =

____。

(d)

x \to 1 lim (\frac{3}{x ^{2} + x - 2} - \frac{x}{x - 1}) =

____。

(e)

n \to \infty lim \frac{1 + 3 + 3 ^{2} + 3 ^{3} + \dots + 3 ^{n}}{2 ^{n} + 3 ^{n}} =

____。

一無窮等比級數的首項

a_{1} = 0. \overline{2}

，第二項

a_{2} = 0.0 \overline{4}

，則此級數的和為 ____。

若函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 5, x^{2} - ∣ x ∣, x - 4, 當 x > 9 當 - 9 \leq x \leq 9 當 x < - 9

，則

f (f (5)) =

____。

設

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

為兩實數數列，且對所有的正整數

n

，

a_{n} \leq b_{n} \leq a_{n + 1}

均成立。若已知

n \to \infty lim a_{n} = 4

，則

n \to \infty lim b_{n} =

____。

填充題第 5 題（本頁第 11～12 題）（第 11～12 題）　設

f (x) = x^{2} + 4 x - 5

，求函數

f (x)

的

(a) 定義域為 ____。

(b) 值域為 ____。

若

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x ^{2} - 1} = 2

，則數對

(a, b) =

____。

設

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} + x + 1, a x + b, 3 x + 5, 當 x \leq 1 當 1 < x \leq 2 當 x > 2

，且

f (x)

在實數上為連續函數，求數對

(a, b) =

____。

設

f (x)

為三次多項式，若

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x ^{2} - 3 x + 2} = 2

且

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x ^{2} - 3 x + 2} = 3

，則

x \to 3 lim f (x) =

____。

設

⟨ a_{n} ⟩

為一等差數列。已知

a_{2} + a_{4} + a_{6} = 186

，

a_{3} + a_{7} = 110

。令

s_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

。則極限

n \to \infty lim \frac{s _{n}}{n ^{2}} =

____。

三、計算證明題（8 分、6 分，共 14 分）

計算證明題第 1 題（本頁第 17～18 題）（第 17～18 題）　有一個面積為

32

的正方形，依以下的步驟將其分割著色。第 1 步驟：將其等分成

4

個小正方形，並將左下角的正方形塗上黑色，如第 1 圖所示。第 2 步驟：將剩下

3

個正方形再分別等分成

4

個更小的正方形，並將左下角的正方形塗上黑色，如第 2 圖所示。依照這樣的規律繼續分割著色下去，並設

S_{n}

表示在第

n

步驟後所有黑色正方形的總面積。（第 1 圖、第 2 圖、第 3 圖附在本頁第 17 題。）

(1) 求

S_{1}, S_{2}, S_{3}

的值（3 分）

載入中...

(2) 求無窮多個黑色正方形的面積總和（即

n \to \infty lim S_{n} = ?

）（5 分，無計算過程不給分）

已知

f (x) = (x - 16)^{2} (x - 17)^{2} + 3 x

，求證：至少有一實數

c

，使得

f (c) = 50

。（6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(C)

第 2 題(A)(B)(E)

第 3 題

- 3

第 4 題

\frac{15}{13}

第 5 題

27

第 6 題

- \frac{4}{3}

第 7 題

\frac{3}{2}

第 8 題

\frac{5}{18}

第 9 題

45

第 10 題

4

第 11 題

{x ∣ x \leq - 5

或

x \geq 1}

第 12 題

{y ∣ y \geq 0}

第 13 題

(2, - 3)

第 14 題

(8, - 5)

第 15 題

8

第 16 題

- \frac{7}{2}

第 17 題

S_{1} = 8

，

S_{2} = 14

，

S_{3} = \frac{37}{2}

第 18 題

32

第 19 題證明見詳解（關鍵：

f (16) = 48

，

f (17) = 51

，

48 < 50 < 51

，且

f

是連續函數）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題（第 1～2 題）：數列的極限、看圖判斷極限與連續

第 1 題答案 (A)(C)。(A) 對：這是公比

- \frac{1}{3}

的等比數列，公比在

- 1

與

1

之間，極限為

0

。(B) 錯：

\frac{1}{3} (- 1)^{n}

的值是

- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \dots

，在兩個數之間來回跳動，不會接近某一個定值，極限不存在。(C) 對：分子、分母同除以

4^{n}

，得

\frac{( \frac{3}{4} ) ^{n} + ( \frac{1}{4} ) ^{n}}{1 - ( \frac{1}{4} ) ^{n}}

，

n \to \infty

時趨近

\frac{0 + 0}{1 - 0} = 0

。(D) 錯：對任何

n

都有

cos^{2} n + sin^{2} n = 1

，這是每一項都是

1

的常數數列，極限存在，等於

1

。(E) 錯：卷面上求和符號的下標是

i

，被加的是

t

；

t

與

i

無關，所以是把

t

加

5

次，

i = 1 \sum 5 t = 5 t

，只有

t = 3

時才是

15

，題目沒有這個條件，等式不一定成立。

(E) 若被加的是

i

，則

i = 1 \sum 5 i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

會成立；判斷時要看清楚被加的字母與下標是不是同一個。

第 2 題答案 (A)(B)(E)。先從圖讀出：

x

從左邊接近

2

時，圖形接近空心點

(2, 5)

；

x

從右邊接近

2

時，圖形接近空心點

(2, 4)

；

x = 2

的正上方沒有實心點。

x

從左、右兩邊接近

3

時，圖形都接近空心點

(3, 3)

，而

f (3)

是上方那個單獨的實心點的高度。

x = 5

附近圖形沒有斷開，通過實心點

(5, 1)

。(A) 對：

x = 2

處只有兩個空心點，函數在

x = 2

沒有定義。(B) 對：左極限

5

、右極限

4

，不相等，極限不存在。(C) 錯：

x \to 3 lim f (x) = 3

，不是

5

。(D) 錯：分子的極限是

3

，分母的極限是

3

，所以

x \to 3 lim \frac{f ( x )}{x} = \frac{3}{3} = 1

，不是

\frac{5}{3}

。(E) 對：

x \to 5 lim f (x) = 1 = f (5)

，連續。

求極限只看「附近」的走勢，與那一點本身的函數值無關：(C)、(D) 若把

f (3)

的值當成極限值就會選錯。

極限看的是附近的走勢：左右兩邊接近同一個定值才存在，和那一點有沒有定義、函數值是多少無關。

02填充題第 1 題（第 3～7 題）：五個極限值

第 3 題兩個括號分開看。

\frac{1}{n}

趨近

0

，所以第一個括號趨近

6

。第二個括號：

\frac{n + 2}{2 n + 1}

的分子、分母同除以

n

得

\frac{1 + \frac{2}{n}}{2 + \frac{1}{n}}

，趨近

\frac{1}{2}

，所以第二個括號趨近

\frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2}

。兩個極限都存在，相乘得

6 \times (- \frac{1}{2}) = - 3

。

第 4 題

x = 2

代入分母得

8 + 2 + 3 = 13 \neq = 0

，可以直接代入：分子

4 + 6 + 5 = 15

，極限為

\frac{15}{13}

。

第 5 題

x = 3

代入，分子、分母都是

0

，先因式分解：

x^{3} - 27 = (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)

。

x \neq = 3

時約去

x - 3

得

x^{2} + 3 x + 9

，極限為

9 + 9 + 9 = 27

。

第 6 題

x

接近

1

時兩個分式的分母都接近

0

，各自都沒有極限，不能分開算，要先通分。

x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1)

，所以

\frac{3}{( x + 2 ) ( x - 1 )} - \frac{x}{x - 1} = \frac{3 - x ( x + 2 )}{( x + 2 ) ( x - 1 )} = \frac{- ( x ^{2} + 2 x - 3 )}{( x + 2 ) ( x - 1 )} = \frac{- ( x + 3 ) ( x - 1 )}{( x + 2 ) ( x - 1 )}

x \neq = 1

時約去

x - 1

得

\frac{- ( x + 3 )}{x + 2}

，極限為

\frac{- 4}{3} = - \frac{4}{3}

。

第 7 題分子是首項

1

、公比

3

的等比級數，從

3^{0}

到

3^{n}

共

n + 1

項，和為

\frac{3 ^{n + 1} - 1}{3 - 1} = \frac{3 ^{n + 1} - 1}{2}

。原式變成

\frac{3 ^{n + 1} - 1}{2 ( 2 ^{n} + 3 ^{n} )}

，分子、分母同除以

3^{n}

得

\frac{3 - ( \frac{1}{3} ) ^{n}}{2 ( ( \frac{2}{3} ) ^{n} + 1 )}

。

n \to \infty

時

(\frac{1}{3})^{n}

、

(\frac{2}{3})^{n}

都趨近

0

，極限為

\frac{3}{2}

。

分子的項數是

n + 1

不是

n

；若誤算成

n

項，會得到

\frac{1}{2}

。

代入後分母不是 0 就直接代；出現 0 分之 0 就先因式分解或通分，約去公因式再代。

03填充題第 2～4 題（第 8～10 題）：循環小數的等比級數、分段函數、夾擠定理

第 8 題先把兩項化成分數：

0. \overline{2} = \frac{2}{9}

；

0.0 \overline{4} = \frac{1}{10} \times 0. \overline{4} = \frac{1}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{2}{45}

。公比

r = \frac{2}{45} \div \frac{2}{9} = \frac{1}{5}

，在

- 1

與

1

之間，級數收斂，和為

\frac{\frac{2}{9}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{2}{9} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{18}

。

卷面上兩個循環節記號的橫線各只蓋在最後一位：

0. \overline{2} = 0.222 \dots

，

0.0 \overline{4} = 0.0444 \dots

。

第 9 題先算裡面：

5

在

- 9 \leq x \leq 9

的範圍，用第二段，

f (5) = 5^{2} - ∣5∣ = 20

。再算外面：

20 > 9

，用第一段，

f (20) = 2 \times 20 + 5 = 45

。所以

f (f (5)) = 45

。

第 10 題

a_{n + 1}

只是把數列

⟨ a_{n} ⟩

往後移一項，極限相同：

n \to \infty lim a_{n + 1} = 4

。

b_{n}

被夾在

a_{n}

與

a_{n + 1}

之間，兩邊的極限都是

4

，由夾擠定理得

n \to \infty lim b_{n} = 4

。

04填充題第 5 題（第 11～12 題）：根式函數的定義域與值域

第 11 題根號內不能是負數：

x^{2} + 4 x - 5 \geq 0

，即

(x + 5) (x - 1) \geq 0

，得

x \leq - 5

或

x \geq 1

。定義域為

{x ∣ x \leq - 5

或

x \geq 1}

。

第 12 題根號的值不會是負數，所以

f (x) \geq 0

。反過來，每一個不小於

0

的數都取得到：

x = 1

時

f (1) = 0

；

x

從

1

往右愈來愈大時，

x^{2} + 4 x - 5 = (x + 2)^{2} - 9

從

0

開始連續增加、沒有上限，開根號後也從

0

開始增加、沒有上限。所以值域為

{y ∣ y \geq 0}

。

配方得

x^{2} + 4 x - 5 = (x + 2)^{2} - 9

，最小值

- 9

出現在

x = - 2

，但

x = - 2

不在定義域內；在定義域內，根號裡面的最小值是

0

。

05填充題第 6～9 題（第 13～16 題）：反推係數、連續、三次多項式、等差數列的和

第 13 題

x \to 1

時分母

x^{2} - 1

趨近

0

，而極限存在，所以分子也必須趨近

0

：

1 + a + b = 0

，即

a = - 1 - b

。此時分子

x^{2} - (1 + b) x + b = (x - 1) (x - b)

，分母

(x - 1) (x + 1)

，約去

x - 1

得

\frac{x - b}{x + 1}

，極限為

\frac{1 - b}{2}

。令

\frac{1 - b}{2} = 2

得

b = - 3

，

a = - 1 - (- 3) = 2

。所以

(a, b) = (2, - 3)

。

分子若不趨近

0

，分式的絕對值會愈來愈大、沒有上限，極限不可能是

2

。

第 14 題三段都是多項式，各自在自己的範圍內連續，只要讓兩個接點連續。在

x = 1

：

f (1) = 1 + 1 + 1 = 3

，右極限是

a + b

，所以

a + b = 3

。在

x = 2

：

f (2) = 2 a + b

，右極限是

3 \times 2 + 5 = 11

，所以

2 a + b = 11

。兩式相減得

a = 8

，代回得

b = - 5

。所以

(a, b) = (8, - 5)

。

第 15 題分母

x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)

。

x \to 1

時分母趨近

0

而極限存在，所以

f (1) = 0

；同理

f (2) = 0

。

f (x)

是三次多項式，有因式

x - 1

與

x - 2

，可設

f (x) = (x - 1) (x - 2) (p x + q)

。約去分母後，分式等於

p x + q

（

x \neq = 1, 2

）。由第一個極限得

p + q = 2

，由第二個極限得

2 p + q = 3

，解得

p = 1

，

q = 1

。所以

f (x) = (x - 1) (x - 2) (x + 1)

，多項式函數連續，

x \to 3 lim f (x) = f (3) = 2 \times 1 \times 4 = 8

。

第 16 題等差數列中

a_{2} + a_{6} = 2 a_{4}

，所以

3 a_{4} = 186

，

a_{4} = 62

；

a_{3} + a_{7} = 2 a_{5}

，所以

a_{5} = 55

。公差

d = 55 - 62 = - 7

，首項

a_{1} = 62 - 3 \times (- 7) = 83

。前

n

項和

s_{n} = \frac{n ( 2 \times 83 + ( n - 1 ) ( - 7 ) )}{2} = \frac{n ( 173 - 7 n )}{2}

，所以

\frac{s _{n}}{n ^{2}} = \frac{173 - 7 n}{2 n} = \frac{173}{2 n} - \frac{7}{2}

。

n \to \infty

時

\frac{173}{2 n}

趨近

0

，極限為

- \frac{7}{2}

。

s_{n}

是

n

的二次式，

n^{2}

項的係數是公差的一半，所以這個極限就是

\frac{d}{2}

。

分母趨近 0 而極限存在時，分子也要趨近 0；這個條件常用來先定出一個係數或一個因式。

06計算證明題第 1 題（第 17～18 題）：分割著色的面積

第 17 題第 1 步驟：大正方形面積

32

，分成

4

塊，每塊面積

8

，塗黑

1

塊，

S_{1} = 8

。第 2 步驟：剩下

3

塊白色正方形，每塊面積

8

，各自再分成

4

塊（每塊面積

2

）並塗黑

1

塊，新塗黑的面積是

3 \times 2 = 6

，

S_{2} = 8 + 6 = 14

。第 3 步驟：第 2 步驟後剩下

3 \times 3 = 9

塊白色正方形，每塊面積

2

，各自再分成

4

塊（每塊面積

\frac{1}{2}

）並塗黑

1

塊，新塗黑的面積是

9 \times \frac{1}{2} = \frac{9}{2}

，

S_{3} = 14 + \frac{9}{2} = \frac{37}{2}

。

第 18 題每一步驟中，白色正方形的個數變成前一步的

3

倍，每一塊的面積變成前一步的

\frac{1}{4}

，所以新塗黑的面積是前一步的

3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

倍。第

k

步驟新塗黑的面積是

8 \times (\frac{3}{4})^{k - 1}

，因此

S_{n} = 8 + 8 \cdot \frac{3}{4} + 8 \cdot (\frac{3}{4})^{2} + \dots + 8 \cdot (\frac{3}{4})^{n - 1}

這是首項

8

、公比

\frac{3}{4}

的等比級數，公比在

- 1

與

1

之間，

n \to \infty

時收斂，

n \to \infty lim S_{n} = \frac{8}{1 - \frac{3}{4}} = 32

。

也可以看白色部分：每一步驟後白色面積變成前一步的

\frac{3}{4}

，第

n

步驟後剩

32 \times (\frac{3}{4})^{n}

，趨近

0

，所以黑色面積趨近整個正方形的面積

32

。

圖形一直重複同一個規則時，先寫出前三項，找出公比，再用無窮等比級數的和。

07計算證明題第 2 題（第 19 題）：用勘根定理證明方程式有實根

第 19 題令

g (x) = f (x) - 50 = (x - 16)^{2} (x - 17)^{2} + 3 x - 50

。

g (x)

是多項式函數，在閉區間

[16, 17]

上連續。代入兩個端點：

g (16) = 0 + 48 - 50 = - 2

，

g (17) = 0 + 51 - 50 = 1

，所以

g (16) \cdot g (17) < 0

。由勘根定理，至少有一個實數

c

滿足

16 < c < 17

使得

g (c) = 0

，也就是

f (c) = 50

。得證。

選

16

與

17

是因為代入後

(x - 16)^{2} (x - 17)^{2}

這一項剛好是

0

，函數值最好算：

f (16) = 48

，

f (17) = 51

，

50

正好在兩者之間。也可以直接對

f

用中間值定理：

f

在

[16, 17]

上連續且

f (16) < 50 < f (17)

，所以在

16

與

17

之間有

c

使

f (c) = 50

。

要證明 f(c) 等於某個數 k，就把 k 移到左邊，對 f(x)−k 用勘根定理：連續、兩端異號。

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常見問題

武陵高中 110 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

武陵高中 110 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題選項 (E) 的求和符號下標是 i，被加的卻是 t，要照卷面的字母判斷；第 6 題兩個分式各自都沒有極限，要先通分；第 15 題要先由兩個極限看出三次式有兩個一次因式；第 18 題要找出每一步新塗黑的面積是前一步的四分之三。

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題目取自武陵高中 110 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：數乙第一章：數列與函數的極限（數列的極限、無窮等比級數、函數、函數的極限與連續）

武陵高中 110 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

一、多重選擇題（每題 8 分，共 16 分，錯一個得 5 分、錯兩個得 2 分，其他不給分）

下列哪些選項是正確的？

(A) $n \to \infty lim (- \frac{1}{3})^{n} = 0$
(B) $n \to \infty lim (\frac{1}{3} (- 1)^{n}) = 0$
(C) $n \to \infty lim \frac{3 ^{n} + 1}{4 ^{n} - 1} = 0$
(D) $n \to \infty lim (cos^{2} n + sin^{2} n)$ 不存在
(E) $i = 1 \sum 5 t = 15$

設

f (x)

之圖形如圖，則下列哪些正確？

(A) $f (2)$ 不存在
(B) $x \to 2 lim f (x)$ 不存在
(C) $x \to 3 lim f (x) = 5$
(D) $x \to 3 lim \frac{f ( x )}{x} = \frac{5}{3}$
(E) $f (x)$ 在 $x = 5$ 處連續

載入中...

二、填充題（每格 5 分，共 70 分）

填充題第 1 題（本頁第 3～7 題）（第 3～7 題）　求下列各極限值（若無極限值，答案請寫「不存在」）

(a)

n \to \infty lim ((\frac{1}{n} + 6) (\frac{n + 2}{2 n + 1} - 1)) =

____。

(b)

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + 3 x + 5}{2 x ^{2} + x + 3} =

____。

(c)

x \to 3 lim \frac{x ^{3} - 27}{x - 3} =

____。

(d)

x \to 1 lim (\frac{3}{x ^{2} + x - 2} - \frac{x}{x - 1}) =

____。

(e)

n \to \infty lim \frac{1 + 3 + 3 ^{2} + 3 ^{3} + \dots + 3 ^{n}}{2 ^{n} + 3 ^{n}} =

____。

一無窮等比級數的首項

a_{1} = 0. \overline{2}

，第二項

a_{2} = 0.0 \overline{4}

，則此級數的和為 ____。

若函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 5, x^{2} - ∣ x ∣, x - 4, 當 x > 9 當 - 9 \leq x \leq 9 當 x < - 9

，則

f (f (5)) =

____。

設

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

為兩實數數列，且對所有的正整數

n

，

a_{n} \leq b_{n} \leq a_{n + 1}

均成立。若已知

n \to \infty lim a_{n} = 4

，則

n \to \infty lim b_{n} =

____。

填充題第 5 題（本頁第 11～12 題）（第 11～12 題）　設

f (x) = x^{2} + 4 x - 5

，求函數

f (x)

的

(a) 定義域為 ____。

(b) 值域為 ____。

若

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x ^{2} - 1} = 2

，則數對

(a, b) =

____。

設

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} + x + 1, a x + b, 3 x + 5, 當 x \leq 1 當 1 < x \leq 2 當 x > 2

，且

f (x)

在實數上為連續函數，求數對

(a, b) =

____。

設

f (x)

為三次多項式，若

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x ^{2} - 3 x + 2} = 2

且

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x ^{2} - 3 x + 2} = 3

，則

x \to 3 lim f (x) =

____。

設

⟨ a_{n} ⟩

為一等差數列。已知

a_{2} + a_{4} + a_{6} = 186

，

a_{3} + a_{7} = 110

。令

s_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

。則極限

n \to \infty lim \frac{s _{n}}{n ^{2}} =

____。

三、計算證明題（8 分、6 分，共 14 分）

計算證明題第 1 題（本頁第 17～18 題）（第 17～18 題）　有一個面積為

32

的正方形，依以下的步驟將其分割著色。第 1 步驟：將其等分成

4

個小正方形，並將左下角的正方形塗上黑色，如第 1 圖所示。第 2 步驟：將剩下

3

個正方形再分別等分成

4

個更小的正方形，並將左下角的正方形塗上黑色，如第 2 圖所示。依照這樣的規律繼續分割著色下去，並設

S_{n}

表示在第

n

步驟後所有黑色正方形的總面積。（第 1 圖、第 2 圖、第 3 圖附在本頁第 17 題。）

(1) 求

S_{1}, S_{2}, S_{3}

的值（3 分）

載入中...

(2) 求無窮多個黑色正方形的面積總和（即

n \to \infty lim S_{n} = ?

）（5 分，無計算過程不給分）

已知

f (x) = (x - 16)^{2} (x - 17)^{2} + 3 x

，求證：至少有一實數

c

，使得

f (c) = 50

。（6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(C)

第 2 題(A)(B)(E)

第 3 題

- 3

第 4 題

\frac{15}{13}

第 5 題

27

第 6 題

- \frac{4}{3}

第 7 題

\frac{3}{2}

第 8 題

\frac{5}{18}

第 9 題

45

第 10 題

4

第 11 題

{x ∣ x \leq - 5

或

x \geq 1}

第 12 題

{y ∣ y \geq 0}

第 13 題

(2, - 3)

第 14 題

(8, - 5)

第 15 題

8

第 16 題

- \frac{7}{2}

第 17 題

S_{1} = 8

，

S_{2} = 14

，

S_{3} = \frac{37}{2}

第 18 題

32

第 19 題證明見詳解（關鍵：

f (16) = 48

，

f (17) = 51

，

48 < 50 < 51

，且

f

是連續函數）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題（第 1～2 題）：數列的極限、看圖判斷極限與連續

第 1 題答案 (A)(C)。(A) 對：這是公比

- \frac{1}{3}

的等比數列，公比在

- 1

與

1

之間，極限為

0

。(B) 錯：

\frac{1}{3} (- 1)^{n}

的值是

- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \dots

，在兩個數之間來回跳動，不會接近某一個定值，極限不存在。(C) 對：分子、分母同除以

4^{n}

，得

\frac{( \frac{3}{4} ) ^{n} + ( \frac{1}{4} ) ^{n}}{1 - ( \frac{1}{4} ) ^{n}}

，

n \to \infty

時趨近

\frac{0 + 0}{1 - 0} = 0

。(D) 錯：對任何

n

都有

cos^{2} n + sin^{2} n = 1

，這是每一項都是

1

的常數數列，極限存在，等於

1

。(E) 錯：卷面上求和符號的下標是

i

，被加的是

t

；

t

與

i

無關，所以是把

t

加

5

次，

i = 1 \sum 5 t = 5 t

，只有

t = 3

時才是

15

，題目沒有這個條件，等式不一定成立。

(E) 若被加的是

i

，則

i = 1 \sum 5 i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

會成立；判斷時要看清楚被加的字母與下標是不是同一個。

第 2 題答案 (A)(B)(E)。先從圖讀出：

x

從左邊接近

2

時，圖形接近空心點

(2, 5)

；

x

從右邊接近

2

時，圖形接近空心點

(2, 4)

；

x = 2

的正上方沒有實心點。

x

從左、右兩邊接近

3

時，圖形都接近空心點

(3, 3)

，而

f (3)

是上方那個單獨的實心點的高度。

x = 5

附近圖形沒有斷開，通過實心點

(5, 1)

。(A) 對：

x = 2

處只有兩個空心點，函數在

x = 2

沒有定義。(B) 對：左極限

5

、右極限

4

，不相等，極限不存在。(C) 錯：

x \to 3 lim f (x) = 3

，不是

5

。(D) 錯：分子的極限是

3

，分母的極限是

3

，所以

x \to 3 lim \frac{f ( x )}{x} = \frac{3}{3} = 1

，不是

\frac{5}{3}

。(E) 對：

x \to 5 lim f (x) = 1 = f (5)

，連續。

求極限只看「附近」的走勢，與那一點本身的函數值無關：(C)、(D) 若把

f (3)

的值當成極限值就會選錯。

極限看的是附近的走勢：左右兩邊接近同一個定值才存在，和那一點有沒有定義、函數值是多少無關。

02填充題第 1 題（第 3～7 題）：五個極限值

第 3 題兩個括號分開看。

\frac{1}{n}

趨近

0

，所以第一個括號趨近

6

。第二個括號：

\frac{n + 2}{2 n + 1}

的分子、分母同除以

n

得

\frac{1 + \frac{2}{n}}{2 + \frac{1}{n}}

，趨近

\frac{1}{2}

，所以第二個括號趨近

\frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2}

。兩個極限都存在，相乘得

6 \times (- \frac{1}{2}) = - 3

。

第 4 題

x = 2

代入分母得

8 + 2 + 3 = 13 \neq = 0

，可以直接代入：分子

4 + 6 + 5 = 15

，極限為

\frac{15}{13}

。

第 5 題

x = 3

代入，分子、分母都是

0

，先因式分解：

x^{3} - 27 = (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)

。

x \neq = 3

時約去

x - 3

得

x^{2} + 3 x + 9

，極限為

9 + 9 + 9 = 27

。

第 6 題

x

接近

1

時兩個分式的分母都接近

0

，各自都沒有極限，不能分開算，要先通分。

x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1)

，所以

\frac{3}{( x + 2 ) ( x - 1 )} - \frac{x}{x - 1} = \frac{3 - x ( x + 2 )}{( x + 2 ) ( x - 1 )} = \frac{- ( x ^{2} + 2 x - 3 )}{( x + 2 ) ( x - 1 )} = \frac{- ( x + 3 ) ( x - 1 )}{( x + 2 ) ( x - 1 )}

x \neq = 1

時約去

x - 1

得

\frac{- ( x + 3 )}{x + 2}

，極限為

\frac{- 4}{3} = - \frac{4}{3}

。

第 7 題分子是首項

1

、公比

3

的等比級數，從

3^{0}

到

3^{n}

共

n + 1

項，和為

\frac{3 ^{n + 1} - 1}{3 - 1} = \frac{3 ^{n + 1} - 1}{2}

。原式變成

\frac{3 ^{n + 1} - 1}{2 ( 2 ^{n} + 3 ^{n} )}

，分子、分母同除以

3^{n}

得

\frac{3 - ( \frac{1}{3} ) ^{n}}{2 ( ( \frac{2}{3} ) ^{n} + 1 )}

。

n \to \infty

時

(\frac{1}{3})^{n}

、

(\frac{2}{3})^{n}

都趨近

0

，極限為

\frac{3}{2}

。

分子的項數是

n + 1

不是

n

；若誤算成

n

項，會得到

\frac{1}{2}

。

代入後分母不是 0 就直接代；出現 0 分之 0 就先因式分解或通分，約去公因式再代。

03填充題第 2～4 題（第 8～10 題）：循環小數的等比級數、分段函數、夾擠定理

第 8 題先把兩項化成分數：

0. \overline{2} = \frac{2}{9}

；

0.0 \overline{4} = \frac{1}{10} \times 0. \overline{4} = \frac{1}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{2}{45}

。公比

r = \frac{2}{45} \div \frac{2}{9} = \frac{1}{5}

，在

- 1

與

1

之間，級數收斂，和為

\frac{\frac{2}{9}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{2}{9} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{18}

。

卷面上兩個循環節記號的橫線各只蓋在最後一位：

0. \overline{2} = 0.222 \dots

，

0.0 \overline{4} = 0.0444 \dots

。

第 9 題先算裡面：

5

在

- 9 \leq x \leq 9

的範圍，用第二段，

f (5) = 5^{2} - ∣5∣ = 20

。再算外面：

20 > 9

，用第一段，

f (20) = 2 \times 20 + 5 = 45

。所以

f (f (5)) = 45

。

第 10 題

a_{n + 1}

只是把數列

⟨ a_{n} ⟩

往後移一項，極限相同：

n \to \infty lim a_{n + 1} = 4

。

b_{n}

被夾在

a_{n}

與

a_{n + 1}

之間，兩邊的極限都是

4

，由夾擠定理得

n \to \infty lim b_{n} = 4

。

04填充題第 5 題（第 11～12 題）：根式函數的定義域與值域

第 11 題根號內不能是負數：

x^{2} + 4 x - 5 \geq 0

，即

(x + 5) (x - 1) \geq 0

，得

x \leq - 5

或

x \geq 1

。定義域為

{x ∣ x \leq - 5

或

x \geq 1}

。

第 12 題根號的值不會是負數，所以

f (x) \geq 0

。反過來，每一個不小於

0

的數都取得到：

x = 1

時

f (1) = 0

；

x

從

1

往右愈來愈大時，

x^{2} + 4 x - 5 = (x + 2)^{2} - 9

從

0

開始連續增加、沒有上限，開根號後也從

0

開始增加、沒有上限。所以值域為

{y ∣ y \geq 0}

。

配方得

x^{2} + 4 x - 5 = (x + 2)^{2} - 9

，最小值

- 9

出現在

x = - 2

，但

x = - 2

不在定義域內；在定義域內，根號裡面的最小值是

0

。

05填充題第 6～9 題（第 13～16 題）：反推係數、連續、三次多項式、等差數列的和

第 13 題

x \to 1

時分母

x^{2} - 1

趨近

0

，而極限存在，所以分子也必須趨近

0

：

1 + a + b = 0

，即

a = - 1 - b

。此時分子

x^{2} - (1 + b) x + b = (x - 1) (x - b)

，分母

(x - 1) (x + 1)

，約去

x - 1

得

\frac{x - b}{x + 1}

，極限為

\frac{1 - b}{2}

。令

\frac{1 - b}{2} = 2

得

b = - 3

，

a = - 1 - (- 3) = 2

。所以

(a, b) = (2, - 3)

。

分子若不趨近

0

，分式的絕對值會愈來愈大、沒有上限，極限不可能是

2

。

第 14 題三段都是多項式，各自在自己的範圍內連續，只要讓兩個接點連續。在

x = 1

：

f (1) = 1 + 1 + 1 = 3

，右極限是

a + b

，所以

a + b = 3

。在

x = 2

：

f (2) = 2 a + b

，右極限是

3 \times 2 + 5 = 11

，所以

2 a + b = 11

。兩式相減得

a = 8

，代回得

b = - 5

。所以

(a, b) = (8, - 5)

。

第 15 題分母

x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)

。

x \to 1

時分母趨近

0

而極限存在，所以

f (1) = 0

；同理

f (2) = 0

。

f (x)

是三次多項式，有因式

x - 1

與

x - 2

，可設

f (x) = (x - 1) (x - 2) (p x + q)

。約去分母後，分式等於

p x + q

（

x \neq = 1, 2

）。由第一個極限得

p + q = 2

，由第二個極限得

2 p + q = 3

，解得

p = 1

，

q = 1

。所以

f (x) = (x - 1) (x - 2) (x + 1)

，多項式函數連續，

x \to 3 lim f (x) = f (3) = 2 \times 1 \times 4 = 8

。

第 16 題等差數列中

a_{2} + a_{6} = 2 a_{4}

，所以

3 a_{4} = 186

，

a_{4} = 62

；

a_{3} + a_{7} = 2 a_{5}

，所以

a_{5} = 55

。公差

d = 55 - 62 = - 7

，首項

a_{1} = 62 - 3 \times (- 7) = 83

。前

n

項和

s_{n} = \frac{n ( 2 \times 83 + ( n - 1 ) ( - 7 ) )}{2} = \frac{n ( 173 - 7 n )}{2}

，所以

\frac{s _{n}}{n ^{2}} = \frac{173 - 7 n}{2 n} = \frac{173}{2 n} - \frac{7}{2}

。

n \to \infty

時

\frac{173}{2 n}

趨近

0

，極限為

- \frac{7}{2}

。

s_{n}

是

n

的二次式，

n^{2}

項的係數是公差的一半，所以這個極限就是

\frac{d}{2}

。

分母趨近 0 而極限存在時，分子也要趨近 0；這個條件常用來先定出一個係數或一個因式。

06計算證明題第 1 題（第 17～18 題）：分割著色的面積

第 17 題第 1 步驟：大正方形面積

32

，分成

4

塊，每塊面積

8

，塗黑

1

塊，

S_{1} = 8

。第 2 步驟：剩下

3

塊白色正方形，每塊面積

8

，各自再分成

4

塊（每塊面積

2

）並塗黑

1

塊，新塗黑的面積是

3 \times 2 = 6

，

S_{2} = 8 + 6 = 14

。第 3 步驟：第 2 步驟後剩下

3 \times 3 = 9

塊白色正方形，每塊面積

2

，各自再分成

4

塊（每塊面積

\frac{1}{2}

）並塗黑

1

塊，新塗黑的面積是

9 \times \frac{1}{2} = \frac{9}{2}

，

S_{3} = 14 + \frac{9}{2} = \frac{37}{2}

。

第 18 題每一步驟中，白色正方形的個數變成前一步的

3

倍，每一塊的面積變成前一步的

\frac{1}{4}

，所以新塗黑的面積是前一步的

3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

倍。第

k

步驟新塗黑的面積是

8 \times (\frac{3}{4})^{k - 1}

，因此

S_{n} = 8 + 8 \cdot \frac{3}{4} + 8 \cdot (\frac{3}{4})^{2} + \dots + 8 \cdot (\frac{3}{4})^{n - 1}

這是首項

8

、公比

\frac{3}{4}

的等比級數，公比在

- 1

與

1

之間，

n \to \infty

時收斂，

n \to \infty lim S_{n} = \frac{8}{1 - \frac{3}{4}} = 32

。

也可以看白色部分：每一步驟後白色面積變成前一步的

\frac{3}{4}

，第

n

步驟後剩

32 \times (\frac{3}{4})^{n}

，趨近

0

，所以黑色面積趨近整個正方形的面積

32

。

圖形一直重複同一個規則時，先寫出前三項，找出公比，再用無窮等比級數的和。

07計算證明題第 2 題（第 19 題）：用勘根定理證明方程式有實根

第 19 題令

g (x) = f (x) - 50 = (x - 16)^{2} (x - 17)^{2} + 3 x - 50

。

g (x)

是多項式函數，在閉區間

[16, 17]

上連續。代入兩個端點：

g (16) = 0 + 48 - 50 = - 2

，

g (17) = 0 + 51 - 50 = 1

，所以

g (16) \cdot g (17) < 0

。由勘根定理，至少有一個實數

c

滿足

16 < c < 17

使得

g (c) = 0

，也就是

f (c) = 50

。得證。

選

16

與

17

是因為代入後

(x - 16)^{2} (x - 17)^{2}

這一項剛好是

0

，函數值最好算：

f (16) = 48

，

f (17) = 51

，

50

正好在兩者之間。也可以直接對

f

用中間值定理：

f

在

[16, 17]

上連續且

f (16) < 50 < f (17)

，所以在

16

與

17

之間有

c

使

f (c) = 50

。

要證明 f(c) 等於某個數 k，就把 k 移到左邊，對 f(x)−k 用勘根定理：連續、兩端異號。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

武陵高中 110 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

武陵高中 110 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自武陵高中 110 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

武陵高中 110 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 19 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

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對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多重選擇題（第 1～2 題）：數列的極限、看圖判斷極限與連續

02填充題第 1 題（第 3～7 題）：五個極限值

03填充題第 2～4 題（第 8～10 題）：循環小數的等比級數、分段函數、夾擠定理

04填充題第 5 題（第 11～12 題）：根式函數的定義域與值域

05填充題第 6～9 題（第 13～16 題）：反推係數、連續、三次多項式、等差數列的和

06計算證明題第 1 題（第 17～18 題）：分割著色的面積

07計算證明題第 2 題（第 19 題）：用勘根定理證明方程式有實根

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武陵高中 110 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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