段考詳解範圍：數與式、指數與對數（實數、絕對值、算幾不等式、指數、常用對數）

武陵高中 109 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

多選題 3 題（每題 10 分，共 30 分）、填充題 8 格（每格 6 分，共 48 分）、計算題 2 題（共 16 分）、簡答題 1 題（6 分）。原卷各大題各自從 1 編號，本頁全卷連續編號：第 4～11 題是填充題第 1～8 題，第 12～13 題是計算題第 1～2 題，第 14 題是簡答題。答案已與學校公布的答案逐題核對，13 題一致；填充第 5 題（本頁第 8 題）依卷面計算，與學校印的不同，詳解有說明。

一、多選題（每題 10 分，共 30 分，每題每選項答錯扣 3 分，10 分扣完為止）

下列選項敘述正確的有？

(A) 在數線上與 $8$ 距離小於 $5$ 的整數點有 $5$ 個（ $8 \approx 2.828$ ）
(B) 若 $∣ x - 5∣ \leq 10$ ， $x$ 所代表的閉區間長度為 $10$
(C) 若 $∣ - 2 x - 5∣ \leq 10$ ， $x$ 所代表的閉區間長度為 $10$
(D) 若 $∣ x + 1∣ \geq 2$ 且 $∣ x - 5∣ \leq 10$ ， $x$ 有最小值為 $- 5$
(E) 若 $∣ x + 1∣ \leq 2$ 且 $∣ x - 5∣ \geq 10$ ， $x$ 有最小值為 $- 5$

下列選項敘述正確的有？

(A) $4 + 23 - 4 - 23$ 是有理數
(B) $3. \overline{14199}$ 是有理數
(C) $514$ 的整數部分是 $15$
(D) 已知 $a$ 、 $b$ 是實數，且 $a + b 2 = 0$ ，則 $a = b = 0$
(E) 已知 $a$ 是實數，則 $a^{2} = a$

已知

x

為實數，下列選項敘述正確的有？

(A) $3^{- x}$ 恆大於 $0$
(B) $3^{- x} + 3^{x}$ 恆大於或等於 $3$
(C) 若 $x \neq = 0$ ，則 $3^{- x} + 3^{x} > 2$
(D) 方程式 $3^{- x} + 3^{x} = 1$ 無實數解
(E) 若 $3^{- x} + 3^{x} = 3$ ，則 $3^{- 2 x} + 3^{2 x} = 9$

二、填充題（每格 6 分，共 8 格，共 48 分，無部份給分）

設

A (- 25)

、

B (9)

為數線上兩點。已知

\overline{A B}

外一點

R

滿足

\overline{A R} : \overline{B R} = 8 : 5

，求

R

的坐標＝ ____。

若

10 9^{3} - 3 \times 10 9^{2} \times 119 + 3 \times 109 \times 11 9^{2} - 11 9^{3} = a^{3}

，則實數

a =

____。

化簡

\frac{1}{1 + 1 + \frac{1}{3}} + \frac{1}{1 - 1 - \frac{1}{3}} =

____。

解不等式

1 \leq ∣ x - 7∣ < 5

。答： ____。

化簡

3^{- 1.5} \times 3 2 7^{2} \times 0. 4^{5} \div 620 =

____。

設

x

為實數，且

2∣ x + 1∣ - ∣ x - 2∣ = 8

，則

x

的所有解為 ____。

在某個生物實驗中，細菌數每隔

1

日，細菌數會增為

a

倍。已知原有細菌數為

x_{0}

個，隔了

5

日後的細菌數約為

270

個，再隔了

6

日後的細菌數約為

2430

個，那麼從原有

x_{0}

個變約為

65610

個需經過幾日？ ____。（取最接近整數）

已知

lo g N = - 3.6990

，欲估算

N

，可利用

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，方式如下：

lo g N = - 3.6990

N = 1 0^{- 3.6990} = 1 0^{- 4 + 0.3010} = 1 0^{0.3010} \times 1 0^{- 4} \approx 2 \times 1 0^{- 4} = 0.0002

今

lo g x = - 0.5229

，

lo g y = 1.4771

，請估算

x + y =

____。

三、計算題（共 16 分，須清楚條列算式，否則不予計分）

利用十分逼近法求

17

的近似值，並依無條件捨去法求至小數點後第

2

位（6 分）。

用圍籬圍一個矩形菜圃，如圖所示實線部分為圍籬，且某一邊必須留一

2

公尺長度的出口，出口不須圍圍籬。已知圍籬的總長為

38

公尺，利用算幾不等式求此菜圃的最大面積為多少平方公尺（6 分）？又此時的長

x

、寬

y

分別為多少（公尺）（各 2 分）？（未利用算幾不等式不予計分）

載入中...

四、簡答題（共 6 分）

早在 1979 年

M_{23209} = 2^{23209} - 1

被發現是梅森質數。今熊貓同學以四捨五入到小數點後第

4

位的方式求得

lo g 2

近似值為

0.3010

，並加以估算

M_{23209} = 2^{23209} - 1

的位數，方式如下

2^{23209} = (1 0^{l o g 2})^{23209} = 1 0^{23209 \times l o g 2} \approx 1 0^{23209 \times 0.3010}

= 1 0^{6985.909} = 1 0^{6985 + 0.909} \approx 8.109 \times 1 0^{6985}

估出梅森質數

M_{23209} = 2^{23209} - 1

為

6986

位數，但經查證

M_{23209} = 2^{23209} - 1

實際上是

6987

位數，與他估出的差距

1

位數。另一位同學表示：以四捨五入到小數點後第

4

位的方式只能說明

0.30095 \leq lo g 2 < 0.30105

，又

23209 \times (0.30105 - 0.30095) = 23209 \times 0.0001 = 2.3209

，因此可能產生個位數的誤差值。分析完上述意見後，說明要如何修正算法及理由。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)(D)

第 2 題(A)(B)

第 3 題(A)(C)(D)

第 4 題

\frac{197}{3}

第 5 題

- 10

第 6 題

6 + 23

第 7 題

2 < x \leq 6

或

8 \leq x < 12

第 8 題

\frac{6}{5}

（本站依卷面計算；學校公布的答案印

\frac{6}{30}

，與卷面的式子差 6 倍，見詳解）

第 9 題

- 12

或

4

第 10 題

20

第 11 題

30.3

第 12 題

4.12

第 13 題最大面積

100

平方公尺，此時

x = 10

、

y = 10

第 14 題把

lo g 2

的近似值取到小數點後第

5

位（

0.30103

）再算，誤差範圍

23209 \times 0.00001 < 1

；理由見詳解

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題：絕對值與區間、有理數的判斷、指數與算幾不等式

第 1 題答案 (C)(D)。(A) 錯：與

8

距離小於

5

就是

8 - 5 < n < 8 + 5

，約為

- 2.172 < n < 7.828

，整數

n

有

- 2, - 1, 0, \dots, 7

共

10

個。(B) 錯：

∣ x - 5∣ \leq 10

即

- 5 \leq x \leq 15

，長度是

15 - (- 5) = 20

。(C) 對：

∣ - 2 x - 5∣ = ∣2 x + 5∣

，

∣2 x + 5∣ \leq 10

即

- 10 \leq 2 x + 5 \leq 10

，

- \frac{15}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}

，長度是

\frac{5}{2} + \frac{15}{2} = 10

。(D) 對：

∣ x + 1∣ \geq 2

即

x \leq - 3

或

x \geq 1

；

∣ x - 5∣ \leq 10

即

- 5 \leq x \leq 15

；共同部分是

- 5 \leq x \leq - 3

或

1 \leq x \leq 15

，最小值是

- 5

。(E) 錯：

∣ x + 1∣ \leq 2

即

- 3 \leq x \leq 1

；

∣ x - 5∣ \geq 10

即

x \leq - 5

或

x \geq 15

；兩者沒有共同部分，沒有任何

x

符合，也就沒有最小值。

∣ x - a ∣ \leq r

的區間長度是

2 r

；

x

前面有係數時要先除掉，(C) 的長度是

\frac{2 \times 10}{2} = 10

。

第 2 題答案 (A)(B)。(A) 對：

4 + 23 = (3 + 1)^{2}

、

4 - 23 = (3 - 1)^{2}

，且

3 - 1 > 0

，所以原式

= (3 + 1) - (3 - 1) = 2

，是有理數。(B) 對：循環小數都可以化成分數，所以是有理數。(C) 錯：

514 = 350

，而

1 8^{2} = 324 < 350 < 361 = 1 9^{2}

，整數部分是

18

。(D) 錯：題目只說

a

、

b

是實數，取

a = - 2

、

b = 1

，則

a + b 2 = 0

，但

a

、

b

都不是

0

。(E) 錯：

a^{2} = ∣ a ∣

，例如

a = - 1

時

a^{2} = 1 \neq = a

。

(D) 若把條件改成「

a

、

b

是有理數」就會成立；差別就在實數與有理數這兩個字。

第 3 題答案 (A)(C)(D)。(A) 對：正數的任何實數次方都是正數，所以

3^{- x} > 0

。先看

3^{- x} + 3^{x}

的範圍：兩數都是正數，由算幾不等式

\frac{3 ^{- x} + 3 ^{x}}{2} \geq 3^{- x} \times 3^{x} = 1

所以

3^{- x} + 3^{x} \geq 2

，等號在

3^{- x} = 3^{x}

時成立，也就是

3^{2 x} = 1

、

x = 0

。(B) 錯：

x = 0

時

3^{- x} + 3^{x} = 2

，比

3

小。(C) 對：

x \neq = 0

時等號不成立，所以

3^{- x} + 3^{x} > 2

。(D) 對：

3^{- x} + 3^{x}

最小是

2

，不可能等於

1

。(E) 錯：把

3^{- x} + 3^{x} = 3

兩邊平方，

3^{- 2 x} + 2 \times 3^{- x} \times 3^{x} + 3^{2 x} = 9

，中間那一項是

2

，所以

3^{- 2 x} + 3^{2 x} = 7

。

絕對值不等式先寫成數線上的區間再比端點；兩個互為倒數的正數相加，用算幾不等式知道至少是

2

。

02填充題（本頁第 4～7 題）：分點、乘法公式、有理化與絕對值不等式

第 4 題

R

在直線

A B

上、線段

\overline{A B}

之外。因為

\overline{A R} > \overline{B R}

，

R

離

B

比較近，所以

R

在

B

的右邊。設

R

的坐標為

r

（

r > 9

），則

\overline{A R} = r + 25

、

\overline{B R} = r - 9

，

(r + 25) : (r - 9) = 8 : 5

，

5 (r + 25) = 8 (r - 9)

，

5 r + 125 = 8 r - 72

，

r = \frac{197}{3}

。

另一個看法：

\overline{A R} - \overline{B R} = \overline{A B} = 34

對應

8 - 5 = 3

份，一份是

\frac{34}{3}

，

\overline{B R} = \frac{170}{3}

，

r = 9 + \frac{170}{3} = \frac{197}{3}

。

第 5 題由差的立方公式

(p - q)^{3} = p^{3} - 3 p^{2} q + 3 p q^{2} - q^{3}

，取

p = 109

、

q = 119

，左式

= (109 - 119)^{3} = (- 10)^{3}

。實數的三次方相等時原數相等，所以

a = - 10

。

第 6 題第一項：

1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} = \frac{2}{3}

，所以

\frac{1}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{3}{3 + 2} = \frac{3 ( 2 - 3 )}{( 2 + 3 ) ( 2 - 3 )} = 23 - 3

第二項：

1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} = \frac{6}{3}

，所以

\frac{1}{1 - \frac{6}{3}} = \frac{3}{3 - 6} = \frac{3 ( 3 + 6 )}{( 3 - 6 ) ( 3 + 6 )} = \frac{3 ( 3 + 6 )}{3} = 3 + 6

兩項相加：

(23 - 3) + (3 + 6) = 6 + 23

。

第 7 題

∣ x - 7∣

是

x

到

7

的距離，題目要距離至少

1

、小於

5

。

∣ x - 7∣ < 5

即

2 < x < 12

；

∣ x - 7∣ \geq 1

即

x \leq 6

或

x \geq 8

。取共同部分得

2 < x \leq 6

或

8 \leq x < 12

。

兩端的等號不一樣：離

7

剛好

1

的

6

與

8

要算，離

7

剛好

5

的

2

與

12

不算。

03填充題（本頁第 8～11 題）：指數律、絕對值方程式與 log 的估計

第 8 題本站答案為

\frac{6}{5}

，學校印的是

\frac{6}{30}

；下面照卷面的式子逐步計算。三次方根蓋住

2 7^{2} \times 0. 4^{5}

。先拆開：

3 2 7^{2} = (3^{3})^{\frac{2}{3}} = 3^{2}

；

3 0. 4^{5} = 0. 4^{\frac{5}{6}} = (\frac{2}{5})^{\frac{5}{6}}

；

620 = (2^{2} \times 5)^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{1}{3}} \times 5^{\frac{1}{6}}

。把

3

、

2

、

5

的次方分別整理：

3

的次方是

- 1.5 + 2 = \frac{1}{2}

；

2

的次方是

\frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2}

；

5

的次方是

- \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = - 1

。所以原式

= 3^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{1}{2}} \times 5^{- 1} = \frac{6}{5}

。

學校公布的答案是

\frac{6}{30}

，等於

\frac{1}{5 6}

，與上面的結果差

6

倍。本站把卷面的式子放大看過，照印的式子用計算機算約為

0.4899

，與

\frac{6}{5}

相符，

\frac{6}{30}

約為

0.0816

。照卷面的式子算出

\frac{6}{5}

即與本頁算法相同。

第 9 題分界點是

x = - 1

與

x = 2

，分三段討論。(i) 當

x \geq 2

：

2 (x + 1) - (x - 2) = 8

，

x + 4 = 8

，

x = 4

，符合

x \geq 2

。(ii) 當

- 1 \leq x < 2

：

2 (x + 1) + (x - 2) = 8

，

3 x = 8

，

x = \frac{8}{3}

，不在這一段的範圍內，不合。(iii) 當

x < - 1

：

- 2 (x + 1) + (x - 2) = 8

，

- x - 4 = 8

，

x = - 12

，符合

x < - 1

。所以

x = - 12

或

x = 4

。

代回檢查：

x = 4

時

2 \times 5 - 2 = 8

；

x = - 12

時

2 \times 11 - 14 = 8

。

第 10 題第

t

日的細菌數是

x_{0} a^{t}

。隔

5

日：

x_{0} a^{5} = 270

；再隔

6

日是第

11

日：

x_{0} a^{11} = 2430

。兩式相除得

a^{6} = 9

，即

(a^{3})^{2} = 3^{2}

，因為

a > 0

，所以

a^{3} = 3

。設第

t

日變為

65610

個，

x_{0} a^{t} = 65610

，與第一式相除得

a^{t - 5} = \frac{65610}{270} = 243 = 3^{5}

。而

3^{5} = (a^{3})^{5} = a^{15}

，所以

t - 5 = 15

，

t = 20

。答案

20

日。

「再隔了 6 日」是從第 5 日起再過 6 日，也就是第 11 日，不是第 6 日。

第 11 題照題目示範的做法，把 log 值拆成「整數＋

0

到

1

之間的小數」。

lo g x = - 0.5229 = - 1 + 0.4771

，所以

x = 1 0^{- 1 + 0.4771} = 1 0^{0.4771} \times 1 0^{- 1} \approx 3 \times 1 0^{- 1} = 0.3

。

lo g y = 1.4771 = 1 + 0.4771

，所以

y = 1 0^{0.4771} \times 1 0^{1} \approx 3 \times 10 = 30

。

x + y \approx 30.3

。

負的 log 值不能直接看小數部分：

- 0.5229

要寫成

- 1 + 0.4771

，不是

- 0 - 0.5229

。

指數的題目把底數拆成質數的次方再整理；絕對值方程式每一段解出來都要檢查是否落在那一段。

04計算題與簡答題（本頁第 12～14 題）：十分逼近法、算幾不等式與位數估計

第 12 題先找整數：

4^{2} = 16 < 17 < 25 = 5^{2}

，所以

4 < 17 < 5

。再找小數點後第

1

位：

4. 1^{2} = 16.81 < 17 < 17.64 = 4. 2^{2}

，所以

4.1 < 17 < 4.2

。再找小數點後第

2

位：

4.1 1^{2} = 16.8921

，

4.1 2^{2} = 16.9744

，

4.1 3^{2} = 17.0569

，因為

16.9744 < 17 < 17.0569

，所以

4.12 < 17 < 4.13

。無條件捨去到小數點後第

2

位，

17 \approx 4.12

。

學校答案卷的給分：找到

4 < 17 < 5

得 1 分，

4.1 < 17 < 4.2

得 2 分，

4.12 < 17 < 4.13

並寫出

4.12

得 3 分。

第 13 題圍籬圍住四個邊，但其中一條長

x

的邊留了

2

公尺的出口，所以圍籬總長是

x + (x - 2) + 2 y = 38

，整理得

x + y = 20

。

x

、

y

都是正數，由算幾不等式

\frac{x + y}{2} \geq x y

得

x y \leq 10

，面積

x y \leq 100

。等號在

x = y

時成立，配合

x + y = 20

得

x = y = 10

（此時

x = 10 > 2

，留得出

2

公尺的出口）。所以最大面積是

100

平方公尺，此時長

x = 10

公尺、寬

y = 10

公尺。

出口那

2

公尺不用圍籬，所以是

2 x + 2 y - 2 = 38

，不是

2 x + 2 y = 38

。附圖是示意圖，沒有照面積最大時的形狀畫。學校答案卷的參考解印「等式成立時

x = y = 100

」，應為

x = y = 10

。

第 14 題問題出在哪裡。

23209 \times lo g 2

的整數部分決定位數，而

lo g 2

只取到小數點後第

4

位時，真正的值只知道在

0.30095

與

0.30105

之間，乘上

23209

之後，結果可能落在一段長

2.3209

的範圍裡。這段範圍比

1

還長，整數部分就可能差到

1

以上，位數自然不可靠。 怎麼修正。 把

lo g 2

的近似值取得更精確，四捨五入到小數點後第

5

位：

lo g 2 \approx 0.30103

，也就是

0.301025 \leq lo g 2 < 0.301035

。這時乘上

23209

之後的範圍長度是

23209 \times 0.00001 = 0.23209

，小於

1

。 重新估算。

23209 \times 0.301025 \approx 6986.489

，

23209 \times 0.301035 \approx 6986.721

，所以

23209 \times lo g 2

在

6986.489

與

6986.721

之間，整數部分確定是

6986

。於是

2^{23209} = 1 0^{6986 + 0.4 \dots}

到

1 0^{6986 + 0.7 \dots}

之間，是一個大於

1 0^{6986}

、小於

1 0^{6987}

的數，共

6987

位。

2^{23209}

的個位數字不是

0

，減

1

不會退位，所以

M_{23209} = 2^{23209} - 1

也是

6987

位數，與查證的結果相同。

學校答案卷的給分：只寫「應再精確估計

lo g 2

」給 2 分；寫出「應以四捨五入到小數點後第 5 位估計

lo g 2

，可使誤差範圍

23209 \times 0.00001 < 1

」給 6 分。誤差範圍小於

1

之後，還要像上面那樣確認兩端的整數部分相同，位數才算確定。

用近似值做乘法時，近似值的誤差也會被乘大；乘數有幾位，近似值就要多取幾位。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳考卷

常見問題

武陵高中 109 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

武陵高中 109 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題選項 E 兩個條件沒有共同的解，所以談不上最小值；第 2 題選項 D 只說 a、b 是實數，取 a 等於負根號 2、b 等於 1 就是反例；第 8 題照卷面的式子算是 5 分之根號 6，與學校印的答案不同，詳解有說明；第 10 題再隔 6 日是第 11 日；第 13 題出口那 2 公尺不用圍籬，周長要少算 2；第 14 題要說出誤差被 23209 放大成 2 以上，所以近似值要多取一位。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自武陵高中 109 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式、指數與對數（實數、絕對值、算幾不等式、指數、常用對數）

武陵高中 109 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

一、多選題（每題 10 分，共 30 分，每題每選項答錯扣 3 分，10 分扣完為止）

下列選項敘述正確的有？

(A) 在數線上與 $8$ 距離小於 $5$ 的整數點有 $5$ 個（ $8 \approx 2.828$ ）
(B) 若 $∣ x - 5∣ \leq 10$ ， $x$ 所代表的閉區間長度為 $10$
(C) 若 $∣ - 2 x - 5∣ \leq 10$ ， $x$ 所代表的閉區間長度為 $10$
(D) 若 $∣ x + 1∣ \geq 2$ 且 $∣ x - 5∣ \leq 10$ ， $x$ 有最小值為 $- 5$
(E) 若 $∣ x + 1∣ \leq 2$ 且 $∣ x - 5∣ \geq 10$ ， $x$ 有最小值為 $- 5$

下列選項敘述正確的有？

(A) $4 + 23 - 4 - 23$ 是有理數
(B) $3. \overline{14199}$ 是有理數
(C) $514$ 的整數部分是 $15$
(D) 已知 $a$ 、 $b$ 是實數，且 $a + b 2 = 0$ ，則 $a = b = 0$
(E) 已知 $a$ 是實數，則 $a^{2} = a$

已知

x

為實數，下列選項敘述正確的有？

(A) $3^{- x}$ 恆大於 $0$
(B) $3^{- x} + 3^{x}$ 恆大於或等於 $3$
(C) 若 $x \neq = 0$ ，則 $3^{- x} + 3^{x} > 2$
(D) 方程式 $3^{- x} + 3^{x} = 1$ 無實數解
(E) 若 $3^{- x} + 3^{x} = 3$ ，則 $3^{- 2 x} + 3^{2 x} = 9$

二、填充題（每格 6 分，共 8 格，共 48 分，無部份給分）

設

A (- 25)

、

B (9)

為數線上兩點。已知

\overline{A B}

外一點

R

滿足

\overline{A R} : \overline{B R} = 8 : 5

，求

R

的坐標＝ ____。

若

10 9^{3} - 3 \times 10 9^{2} \times 119 + 3 \times 109 \times 11 9^{2} - 11 9^{3} = a^{3}

，則實數

a =

____。

化簡

\frac{1}{1 + 1 + \frac{1}{3}} + \frac{1}{1 - 1 - \frac{1}{3}} =

____。

解不等式

1 \leq ∣ x - 7∣ < 5

。答： ____。

化簡

3^{- 1.5} \times 3 2 7^{2} \times 0. 4^{5} \div 620 =

____。

設

x

為實數，且

2∣ x + 1∣ - ∣ x - 2∣ = 8

，則

x

的所有解為 ____。

在某個生物實驗中，細菌數每隔

1

日，細菌數會增為

a

倍。已知原有細菌數為

x_{0}

個，隔了

5

日後的細菌數約為

270

個，再隔了

6

日後的細菌數約為

2430

個，那麼從原有

x_{0}

個變約為

65610

個需經過幾日？ ____。（取最接近整數）

已知

lo g N = - 3.6990

，欲估算

N

，可利用

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，方式如下：

lo g N = - 3.6990

N = 1 0^{- 3.6990} = 1 0^{- 4 + 0.3010} = 1 0^{0.3010} \times 1 0^{- 4} \approx 2 \times 1 0^{- 4} = 0.0002

今

lo g x = - 0.5229

，

lo g y = 1.4771

，請估算

x + y =

____。

三、計算題（共 16 分，須清楚條列算式，否則不予計分）

利用十分逼近法求

17

的近似值，並依無條件捨去法求至小數點後第

2

位（6 分）。

用圍籬圍一個矩形菜圃，如圖所示實線部分為圍籬，且某一邊必須留一

2

公尺長度的出口，出口不須圍圍籬。已知圍籬的總長為

38

公尺，利用算幾不等式求此菜圃的最大面積為多少平方公尺（6 分）？又此時的長

x

、寬

y

分別為多少（公尺）（各 2 分）？（未利用算幾不等式不予計分）

載入中...

四、簡答題（共 6 分）

早在 1979 年

M_{23209} = 2^{23209} - 1

被發現是梅森質數。今熊貓同學以四捨五入到小數點後第

4

位的方式求得

lo g 2

近似值為

0.3010

，並加以估算

M_{23209} = 2^{23209} - 1

的位數，方式如下

2^{23209} = (1 0^{l o g 2})^{23209} = 1 0^{23209 \times l o g 2} \approx 1 0^{23209 \times 0.3010}

= 1 0^{6985.909} = 1 0^{6985 + 0.909} \approx 8.109 \times 1 0^{6985}

估出梅森質數

M_{23209} = 2^{23209} - 1

為

6986

位數，但經查證

M_{23209} = 2^{23209} - 1

實際上是

6987

位數，與他估出的差距

1

位數。另一位同學表示：以四捨五入到小數點後第

4

位的方式只能說明

0.30095 \leq lo g 2 < 0.30105

，又

23209 \times (0.30105 - 0.30095) = 23209 \times 0.0001 = 2.3209

，因此可能產生個位數的誤差值。分析完上述意見後，說明要如何修正算法及理由。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)(D)

第 2 題(A)(B)

第 3 題(A)(C)(D)

第 4 題

\frac{197}{3}

第 5 題

- 10

第 6 題

6 + 23

第 7 題

2 < x \leq 6

或

8 \leq x < 12

第 8 題

\frac{6}{5}

（本站依卷面計算；學校公布的答案印

\frac{6}{30}

，與卷面的式子差 6 倍，見詳解）

第 9 題

- 12

或

4

第 10 題

20

第 11 題

30.3

第 12 題

4.12

第 13 題最大面積

100

平方公尺，此時

x = 10

、

y = 10

第 14 題把

lo g 2

的近似值取到小數點後第

5

位（

0.30103

）再算，誤差範圍

23209 \times 0.00001 < 1

；理由見詳解

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題：絕對值與區間、有理數的判斷、指數與算幾不等式

第 1 題答案 (C)(D)。(A) 錯：與

8

距離小於

5

就是

8 - 5 < n < 8 + 5

，約為

- 2.172 < n < 7.828

，整數

n

有

- 2, - 1, 0, \dots, 7

共

10

個。(B) 錯：

∣ x - 5∣ \leq 10

即

- 5 \leq x \leq 15

，長度是

15 - (- 5) = 20

。(C) 對：

∣ - 2 x - 5∣ = ∣2 x + 5∣

，

∣2 x + 5∣ \leq 10

即

- 10 \leq 2 x + 5 \leq 10

，

- \frac{15}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}

，長度是

\frac{5}{2} + \frac{15}{2} = 10

。(D) 對：

∣ x + 1∣ \geq 2

即

x \leq - 3

或

x \geq 1

；

∣ x - 5∣ \leq 10

即

- 5 \leq x \leq 15

；共同部分是

- 5 \leq x \leq - 3

或

1 \leq x \leq 15

，最小值是

- 5

。(E) 錯：

∣ x + 1∣ \leq 2

即

- 3 \leq x \leq 1

；

∣ x - 5∣ \geq 10

即

x \leq - 5

或

x \geq 15

；兩者沒有共同部分，沒有任何

x

符合，也就沒有最小值。

∣ x - a ∣ \leq r

的區間長度是

2 r

；

x

前面有係數時要先除掉，(C) 的長度是

\frac{2 \times 10}{2} = 10

。

第 2 題答案 (A)(B)。(A) 對：

4 + 23 = (3 + 1)^{2}

、

4 - 23 = (3 - 1)^{2}

，且

3 - 1 > 0

，所以原式

= (3 + 1) - (3 - 1) = 2

，是有理數。(B) 對：循環小數都可以化成分數，所以是有理數。(C) 錯：

514 = 350

，而

1 8^{2} = 324 < 350 < 361 = 1 9^{2}

，整數部分是

18

。(D) 錯：題目只說

a

、

b

是實數，取

a = - 2

、

b = 1

，則

a + b 2 = 0

，但

a

、

b

都不是

0

。(E) 錯：

a^{2} = ∣ a ∣

，例如

a = - 1

時

a^{2} = 1 \neq = a

。

(D) 若把條件改成「

a

、

b

是有理數」就會成立；差別就在實數與有理數這兩個字。

第 3 題答案 (A)(C)(D)。(A) 對：正數的任何實數次方都是正數，所以

3^{- x} > 0

。先看

3^{- x} + 3^{x}

的範圍：兩數都是正數，由算幾不等式

\frac{3 ^{- x} + 3 ^{x}}{2} \geq 3^{- x} \times 3^{x} = 1

所以

3^{- x} + 3^{x} \geq 2

，等號在

3^{- x} = 3^{x}

時成立，也就是

3^{2 x} = 1

、

x = 0

。(B) 錯：

x = 0

時

3^{- x} + 3^{x} = 2

，比

3

小。(C) 對：

x \neq = 0

時等號不成立，所以

3^{- x} + 3^{x} > 2

。(D) 對：

3^{- x} + 3^{x}

最小是

2

，不可能等於

1

。(E) 錯：把

3^{- x} + 3^{x} = 3

兩邊平方，

3^{- 2 x} + 2 \times 3^{- x} \times 3^{x} + 3^{2 x} = 9

，中間那一項是

2

，所以

3^{- 2 x} + 3^{2 x} = 7

。

絕對值不等式先寫成數線上的區間再比端點；兩個互為倒數的正數相加，用算幾不等式知道至少是

2

。

02填充題（本頁第 4～7 題）：分點、乘法公式、有理化與絕對值不等式

第 4 題

R

在直線

A B

上、線段

\overline{A B}

之外。因為

\overline{A R} > \overline{B R}

，

R

離

B

比較近，所以

R

在

B

的右邊。設

R

的坐標為

r

（

r > 9

），則

\overline{A R} = r + 25

、

\overline{B R} = r - 9

，

(r + 25) : (r - 9) = 8 : 5

，

5 (r + 25) = 8 (r - 9)

，

5 r + 125 = 8 r - 72

，

r = \frac{197}{3}

。

另一個看法：

\overline{A R} - \overline{B R} = \overline{A B} = 34

對應

8 - 5 = 3

份，一份是

\frac{34}{3}

，

\overline{B R} = \frac{170}{3}

，

r = 9 + \frac{170}{3} = \frac{197}{3}

。

第 5 題由差的立方公式

(p - q)^{3} = p^{3} - 3 p^{2} q + 3 p q^{2} - q^{3}

，取

p = 109

、

q = 119

，左式

= (109 - 119)^{3} = (- 10)^{3}

。實數的三次方相等時原數相等，所以

a = - 10

。

第 6 題第一項：

1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} = \frac{2}{3}

，所以

\frac{1}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{3}{3 + 2} = \frac{3 ( 2 - 3 )}{( 2 + 3 ) ( 2 - 3 )} = 23 - 3

第二項：

1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} = \frac{6}{3}

，所以

\frac{1}{1 - \frac{6}{3}} = \frac{3}{3 - 6} = \frac{3 ( 3 + 6 )}{( 3 - 6 ) ( 3 + 6 )} = \frac{3 ( 3 + 6 )}{3} = 3 + 6

兩項相加：

(23 - 3) + (3 + 6) = 6 + 23

。

第 7 題

∣ x - 7∣

是

x

到

7

的距離，題目要距離至少

1

、小於

5

。

∣ x - 7∣ < 5

即

2 < x < 12

；

∣ x - 7∣ \geq 1

即

x \leq 6

或

x \geq 8

。取共同部分得

2 < x \leq 6

或

8 \leq x < 12

。

兩端的等號不一樣：離

7

剛好

1

的

6

與

8

要算，離

7

剛好

5

的

2

與

12

不算。

03填充題（本頁第 8～11 題）：指數律、絕對值方程式與 log 的估計

第 8 題本站答案為

\frac{6}{5}

，學校印的是

\frac{6}{30}

；下面照卷面的式子逐步計算。三次方根蓋住

2 7^{2} \times 0. 4^{5}

。先拆開：

3 2 7^{2} = (3^{3})^{\frac{2}{3}} = 3^{2}

；

3 0. 4^{5} = 0. 4^{\frac{5}{6}} = (\frac{2}{5})^{\frac{5}{6}}

；

620 = (2^{2} \times 5)^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{1}{3}} \times 5^{\frac{1}{6}}

。把

3

、

2

、

5

的次方分別整理：

3

的次方是

- 1.5 + 2 = \frac{1}{2}

；

2

的次方是

\frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2}

；

5

的次方是

- \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = - 1

。所以原式

= 3^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{1}{2}} \times 5^{- 1} = \frac{6}{5}

。

學校公布的答案是

\frac{6}{30}

，等於

\frac{1}{5 6}

，與上面的結果差

6

倍。本站把卷面的式子放大看過，照印的式子用計算機算約為

0.4899

，與

\frac{6}{5}

相符，

\frac{6}{30}

約為

0.0816

。照卷面的式子算出

\frac{6}{5}

即與本頁算法相同。

第 9 題分界點是

x = - 1

與

x = 2

，分三段討論。(i) 當

x \geq 2

：

2 (x + 1) - (x - 2) = 8

，

x + 4 = 8

，

x = 4

，符合

x \geq 2

。(ii) 當

- 1 \leq x < 2

：

2 (x + 1) + (x - 2) = 8

，

3 x = 8

，

x = \frac{8}{3}

，不在這一段的範圍內，不合。(iii) 當

x < - 1

：

- 2 (x + 1) + (x - 2) = 8

，

- x - 4 = 8

，

x = - 12

，符合

x < - 1

。所以

x = - 12

或

x = 4

。

代回檢查：

x = 4

時

2 \times 5 - 2 = 8

；

x = - 12

時

2 \times 11 - 14 = 8

。

第 10 題第

t

日的細菌數是

x_{0} a^{t}

。隔

5

日：

x_{0} a^{5} = 270

；再隔

6

日是第

11

日：

x_{0} a^{11} = 2430

。兩式相除得

a^{6} = 9

，即

(a^{3})^{2} = 3^{2}

，因為

a > 0

，所以

a^{3} = 3

。設第

t

日變為

65610

個，

x_{0} a^{t} = 65610

，與第一式相除得

a^{t - 5} = \frac{65610}{270} = 243 = 3^{5}

。而

3^{5} = (a^{3})^{5} = a^{15}

，所以

t - 5 = 15

，

t = 20

。答案

20

日。

「再隔了 6 日」是從第 5 日起再過 6 日，也就是第 11 日，不是第 6 日。

第 11 題照題目示範的做法，把 log 值拆成「整數＋

0

到

1

之間的小數」。

lo g x = - 0.5229 = - 1 + 0.4771

，所以

x = 1 0^{- 1 + 0.4771} = 1 0^{0.4771} \times 1 0^{- 1} \approx 3 \times 1 0^{- 1} = 0.3

。

lo g y = 1.4771 = 1 + 0.4771

，所以

y = 1 0^{0.4771} \times 1 0^{1} \approx 3 \times 10 = 30

。

x + y \approx 30.3

。

負的 log 值不能直接看小數部分：

- 0.5229

要寫成

- 1 + 0.4771

，不是

- 0 - 0.5229

。

指數的題目把底數拆成質數的次方再整理；絕對值方程式每一段解出來都要檢查是否落在那一段。

04計算題與簡答題（本頁第 12～14 題）：十分逼近法、算幾不等式與位數估計

第 12 題先找整數：

4^{2} = 16 < 17 < 25 = 5^{2}

，所以

4 < 17 < 5

。再找小數點後第

1

位：

4. 1^{2} = 16.81 < 17 < 17.64 = 4. 2^{2}

，所以

4.1 < 17 < 4.2

。再找小數點後第

2

位：

4.1 1^{2} = 16.8921

，

4.1 2^{2} = 16.9744

，

4.1 3^{2} = 17.0569

，因為

16.9744 < 17 < 17.0569

，所以

4.12 < 17 < 4.13

。無條件捨去到小數點後第

2

位，

17 \approx 4.12

。

學校答案卷的給分：找到

4 < 17 < 5

得 1 分，

4.1 < 17 < 4.2

得 2 分，

4.12 < 17 < 4.13

並寫出

4.12

得 3 分。

第 13 題圍籬圍住四個邊，但其中一條長

x

的邊留了

2

公尺的出口，所以圍籬總長是

x + (x - 2) + 2 y = 38

，整理得

x + y = 20

。

x

、

y

都是正數，由算幾不等式

\frac{x + y}{2} \geq x y

得

x y \leq 10

，面積

x y \leq 100

。等號在

x = y

時成立，配合

x + y = 20

得

x = y = 10

（此時

x = 10 > 2

，留得出

2

公尺的出口）。所以最大面積是

100

平方公尺，此時長

x = 10

公尺、寬

y = 10

公尺。

出口那

2

公尺不用圍籬，所以是

2 x + 2 y - 2 = 38

，不是

2 x + 2 y = 38

。附圖是示意圖，沒有照面積最大時的形狀畫。學校答案卷的參考解印「等式成立時

x = y = 100

」，應為

x = y = 10

。

第 14 題問題出在哪裡。

23209 \times lo g 2

的整數部分決定位數，而

lo g 2

只取到小數點後第

4

位時，真正的值只知道在

0.30095

與

0.30105

之間，乘上

23209

之後，結果可能落在一段長

2.3209

的範圍裡。這段範圍比

1

還長，整數部分就可能差到

1

以上，位數自然不可靠。 怎麼修正。 把

lo g 2

的近似值取得更精確，四捨五入到小數點後第

5

位：

lo g 2 \approx 0.30103

，也就是

0.301025 \leq lo g 2 < 0.301035

。這時乘上

23209

之後的範圍長度是

23209 \times 0.00001 = 0.23209

，小於

1

。 重新估算。

23209 \times 0.301025 \approx 6986.489

，

23209 \times 0.301035 \approx 6986.721

，所以

23209 \times lo g 2

在

6986.489

與

6986.721

之間，整數部分確定是

6986

。於是

2^{23209} = 1 0^{6986 + 0.4 \dots}

到

1 0^{6986 + 0.7 \dots}

之間，是一個大於

1 0^{6986}

、小於

1 0^{6987}

的數，共

6987

位。

2^{23209}

的個位數字不是

0

，減

1

不會退位，所以

M_{23209} = 2^{23209} - 1

也是

6987

位數，與查證的結果相同。

學校答案卷的給分：只寫「應再精確估計

lo g 2

」給 2 分；寫出「應以四捨五入到小數點後第 5 位估計

lo g 2

，可使誤差範圍

23209 \times 0.00001 < 1

」給 6 分。誤差範圍小於

1

之後，還要像上面那樣確認兩端的整數部分相同，位數才算確定。

用近似值做乘法時，近似值的誤差也會被乘大；乘數有幾位，近似值就要多取幾位。

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同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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題目取自武陵高中 109 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

武陵高中 109 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

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01多選題：絕對值與區間、有理數的判斷、指數與算幾不等式

02填充題（本頁第 4～7 題）：分點、乘法公式、有理化與絕對值不等式

03填充題（本頁第 8～11 題）：指數律、絕對值方程式與 log 的估計

04計算題與簡答題（本頁第 12～14 題）：十分逼近法、算幾不等式與位數估計

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高一第一次段考
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