段考詳解範圍：三角函數（弧度量與扇形、三角函數的圖形、和差角與倍半角公式、正餘弦的疊合、週期現象的模型）

武陵高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 武陵高中 111 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 武陵高中 111 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題內切圓半徑要同時與兩條半徑及弧相切，選項寫的是兩倍；第 2 題正切函數的對稱中心還包含漸近線與 x 軸的交點；第 4 題範圍兩端取不到，沒有最小值；第 8 題先伸縮再平移與先平移再伸縮，平移量不同；混合題第 2 題中線是最高與最低的平均，不是出現最多次的值。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

這一章有整理好的單元冊：《三角函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

多選題 4 題（每題 8 分，錯 1 個選項得 5 分、錯 2 個得 2 分）、填充題 8 格（每格 6 分）、混合題 2 題（證明題 6 分；第 2 題多選 8 分＋6 分），合計 100 分；填充題第 1～7 題依序為本頁第 5～12 題，混合題為第 13～15 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多選題(每題 8 分，錯 1 個選項得 5 分，錯 2 個選項得 2 分，錯 3 個以上選項得 0 分)

用一條長度為 40 的繩子圍出一個扇形，當此扇形面積有最大值時，則下列敘述哪些正確？

(1) 此時扇形面積為 100
(2) 此時扇形半徑為 20
(3) 此時扇形圓心角為 $2 π$
(4) 此時扇形的弧長為 20
(5) 此時扇形的內切圓半徑為 $\frac{20 \cdot sin 1}{1 + sin 1}$

下列哪些函數圖形的對稱中心與

y = sin 2 x

圖形的對稱中心完全一樣？

(1) $y = cos x$
(2) $y = tan x$
(3) $y = cos 2 x$
(4) $y = tan 2 x$
(5) $y = cos (2 x + \frac{π}{2})$

設

0 < θ < \frac{π}{2}

，且

sin θ = \frac{1}{3}

，則下列敘述哪些正確？

(1) $cos 2 θ = \frac{7}{9}$
(2) $sin 2 θ = \frac{2 2}{9}$
(3) $cos 3 θ = \frac{10 2}{27}$
(4) $sin 3 θ = \frac{26}{27}$
(5) $sin \frac{θ}{2} - cos \frac{θ}{2} = \frac{6}{3}$

設函數

y = f (x) = sin x + cos x

，若

\frac{π}{6} < x < π

，則下列敘述哪些正確？

(1) $f (x)$ 的最大值為 $2$
(2) $f (x)$ 的最小值為 $- 2$
(3) 當 $f (x)$ 有最大值時， $x = \frac{π}{2}$
(4) 當 $f (x)$ 有最小值時， $x = π$
(5) $y = f (x)$ 可由 $y = sin x$ 的圖形經過適當的鉛直伸縮與水平平移得到

二、填充題(每格 6 分，共 48 分)

sin \frac{5 π}{3} \times cos \frac{7 π}{6} - cos \frac{11 π}{6} \times sin \frac{2 π}{3} + cos \frac{3 π}{2} \times tan \frac{π}{12} =

____。

2. 設正三角形

A B C

的邊長為

1

，分別以

A

、

B

、

C

為圓心，

1

為半徑畫出

B C

弧、

A C

弧、

A B

弧，如附圖所示。則塗色部分的面積為 ____。

載入中...

△ A B C

中，已知

sin A = \frac{1}{10}

、

cos B = - \frac{1}{5}

，則

∠ C =

____。

4. 已知

y = cos (3 x + 1)

的圖形可藉由

y = cos x

的圖形先水平伸縮

a

倍、再向左平移

b

單位得到；也可藉由

y = sin x

的圖形先向左平移

c

單位、再水平伸縮

d

倍得到。設

a > 0

、

0 < b < \frac{π}{2}

、

0 < c < 2 π

、

d > 0

，則數對

(a, b, c, d) =

____。

5. 設

0 < x < π

，若

α

、

β

為

3 sin x - cos x = 3

的兩根，則

tan \frac{α + β}{2} =

____。

6. 已知

f (x) = sin^{2} x - 8 sin x cos x - 3 cos^{2} x

的最大值為

α

、最小值為

β

，則

α + β =

____。

填充第 7 題（第 11～12 題）　某天小恩自製了一個火箭玩具及其發射台。已知火箭玩具的高度為 2 公尺，發射台的高度為 1 公尺，今小恩趴在距離發射台 3 公尺的地上，觀測火箭垂直上升的過程中視角所產生的差異，試根據上述條件回答下列問題：（視角的定義為以眼睛為頂點，觀測物體兩視線所夾的角

θ

，如圖所示。）

7. (1) 若火箭尚未發射之前，小恩觀測火箭的視角為

α

；火箭發射上升 2 公尺的瞬間，小恩觀測火箭的視角為

β

，則數對

(tan α, tan β) =

____。

載入中...

(2) 根據第(1)小題所計算的結果，試比較

α

、

β

之大小：____。

三、混合題(共 20 分)

1. 設

α

、

β

皆為廣義角，試利用餘弦的差角公式

cos (α - β)

證明正弦的和角公式

sin (α + β)

。(證明題，6 分)

混合題第 2 題（第 14～15 題）　某天阿兩跟海豚刑警因為私人因素必須到龜有漁港測量海水漲落的水深紀錄。但阿兩從 0 時一路睡大頭覺到 14 時，因此下表皆為海豚刑警所記錄：

時間 (時) 水深 (公尺) 0 5.5 2 2.5 41 6 ？ 8 5.5 107 12 5.5 14 2.5

（本站補註：原卷 6 時這一格畫的是一團塗鴉，表示沒有記錄，本站以「？」表示。）已知海豚刑警在 5 時至 7 時這段時間不小心睡著，沒記錄到當日 6 時的水深。但根據以往的紀錄可知道龜有漁港的水深

(y)

與測量時間

(x)

的關係正好符合正弦函數

y = a sin (b x + c) + d

，其中

a > 0

，

b > 0

，

0 < c < 2 π

，試回答下列問題：

2. (1) 下列關於

y = a sin (b x + c) + d

的敘述，哪些是正確的？(多選題，8 分。錯 1 個選項得 5 分，錯 2 個選項得 2 分，錯 3 個以上選項得 0 分) (A) 週期

= 16

小時 (B) 基線為

y = 5.5

(2) 已知阿兩是為了在龜有漁港尋找魯夫遺留在此的大秘寶，且低潮(水深最低)時為最佳搜索時間，請先幫阿兩計算出

a, b, c, d

之值，再推算阿兩 14 時起床後，應於當日何時開始搜索大秘寶最好？(手寫題，6 分)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(4)

第 2 題(2)(5)

第 3 題(1)(3)

第 4 題(1)(5)

第 5 題

0

第 6 題

\frac{π - 3}{2}

第 7 題

\frac{π}{4}

第 8 題

(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{π + 2}{2}, \frac{1}{3})

第 9 題

- 3

第 10 題

- 2

第 11 題

(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})

第 12 題

α > β

第 13 題

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

（證明見詳解）

第 14 題(C)(D)(E)

第 15 題

a = 3

，

b = \frac{π}{6}

，

c = \frac{5 π}{6}

，

d = 4

；16 時開始搜索最好

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～4：扇形極值、對稱中心、倍角與半角、疊合

第 1 題

答案 (1)(4)。設半徑 $r$ 、弧長 $l$ ，則 $2 r + l = 40$ ， $l = 40 - 2 r$ 。面積

$A = \frac{1}{2} r l = r (20 - r) = 100 - (r - 10)^{2}$

所以 $r = 10$ 時面積最大，為 $100$ ，此時 $l = 20$ ，圓心角 $θ = \frac{l}{r} = 2$ （弧度）。

(1) 正確。最大面積為 $100$ 。

(2) 錯誤。半徑為 $10$ 。

(3) 錯誤。圓心角為 $2$ 弧度，不是 $2 π$ 。

(4) 正確。弧長為 $20$ 。

(5) 錯誤。內切圓與兩條半徑相切，圓心 $I$ 在圓心角的平分線上，平分後每一半是 $1$ 弧度。設 $I$ 到扇形圓心的距離為 $t$ 、內切圓半徑為 $ρ$ ，則 $ρ = t sin 1$ ；內切圓又與弧相切，所以 $t + ρ = 10$ 。解得 $ρ = \frac{10 sin 1}{1 + sin 1}$ ，是選項所寫的一半。

圓心角

2

是弧度，約為

114. 6^{\circ}

；不要把「

2

」看成

2 π

。

第 2 題

答案 (2)(5)。 $y = sin 2 x$ 的圖形與 $x$ 軸交於 $x = \frac{k π}{2}$ （ $k$ 為整數），對稱中心是這些點 $(\frac{k π}{2}, 0)$ 。

(1) 錯誤。 $y = cos x$ 的對稱中心是 $(\frac{π}{2} + k π, 0)$ ；例如原點不是它的對稱中心（ $cos 0 = 1$ ）。

(2) 正確。 $y = tan x$ 的對稱中心是它與 $x$ 軸的交點 $(k π, 0)$ ，以及漸近線 $x = \frac{π}{2} + k π$ 與 $x$ 軸的交點，合起來正好是 $(\frac{k π}{2}, 0)$ 。例如 $tan (π - x) = - tan x$ ，所以 $(\frac{π}{2}, 0)$ 是對稱中心。

(3) 錯誤。 $y = cos 2 x$ 的對稱中心是 $(\frac{π}{4} + \frac{k π}{2}, 0)$ ，原點不在其中。

(4) 錯誤。 $y = tan 2 x$ 的對稱中心是 $(\frac{k π}{4}, 0)$ ，比 $y = sin 2 x$ 多出 $(\frac{π}{4}, 0)$ 這類點，不是完全一樣。

(5) 正確。 $cos (2 x + \frac{π}{2}) = - sin 2 x$ ，圖形是 $y = sin 2 x$ 對 $x$ 軸翻轉，對稱中心不變。

正切函數的對稱中心除了零點之外，還有漸近線與

x

軸的交點。

第 3 題

答案 (1)(3)。 $θ$ 是銳角， $cos θ = 1 - \frac{1}{9} = \frac{2 2}{3}$ 。

(1) 正確。 $cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$ 。

(2) 錯誤。 $sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2 2}{3} = \frac{4 2}{9}$ 。

(3) 正確。 $cos 3 θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ = 4 \cdot \frac{16 2}{27} - 22 = \frac{64 2 - 54 2}{27} = \frac{10 2}{27}$ 。

(4) 錯誤。 $sin 3 θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ = 1 - \frac{4}{27} = \frac{23}{27}$ 。

(5) 錯誤。 $(sin \frac{θ}{2} - cos \frac{θ}{2})^{2} = 1 - 2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2} = 1 - sin θ = \frac{2}{3}$ 。又 $0 < \frac{θ}{2} < \frac{π}{4}$ ，此時 $sin \frac{θ}{2} < cos \frac{θ}{2}$ ，差是負的，所以 $sin \frac{θ}{2} - cos \frac{θ}{2} = - \frac{6}{3}$ ，正負號不對。

(5) 平方之後要回頭判斷正負號：半角落在

0

到

\frac{π}{4}

之間，餘弦比正弦大。

第 4 題

答案 (1)(5)。疊合： $f (x) = sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})$ 。由 $\frac{π}{6} < x < π$ 得 $\frac{5 π}{12} < x + \frac{π}{4} < \frac{5 π}{4}$ 。

(1) 正確。 $x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$ （即 $x = \frac{π}{4}$ ）在範圍內，此時 $f (x) = 2$ ，是最大值。

(2) 錯誤。在 $\frac{5 π}{12} < x + \frac{π}{4} < \frac{5 π}{4}$ 內， $sin (x + \frac{π}{4})$ 先增到 $1$ （在 $\frac{π}{2}$ ）再遞減，左端附近的值約 $0.97$ ，右端越接近 $\frac{5 π}{4}$ 越小，但右端點取不到，所以函數值大於 $2 sin \frac{5 π}{4} = - 1$ ，沒有最小值，更不會是 $- 2$ 。

(3) 錯誤。最大值發生在 $x = \frac{π}{4}$ ；而 $f (\frac{π}{2}) = 1$ 。

(4) 錯誤。沒有最小值；而且 $x = π$ 不在範圍內。

(5) 正確。把 $y = sin x$ 的圖形鉛直伸縮 $2$ 倍得 $y = 2 sin x$ ，再向左平移 $\frac{π}{4}$ 單位得 $y = 2 sin (x + \frac{π}{4}) = f (x)$ 。

限制範圍的兩端都是不等號（取不到），要檢查最大值、最小值是否真的取得到。

a sin x + b cos x

先疊合成

r sin (x + ϕ)

，再看

x + ϕ

的範圍，極值與取得的位置都從這個範圍判斷。

02填充 1～7（本頁 5～12）：三角函數值、圓弧面積、和差角、伸縮平移、疊合、視角

第 5 題

sin \frac{5 π}{3} = - \frac{3}{2}

，

cos \frac{7 π}{6} = - \frac{3}{2}

，乘積為

\frac{3}{4}

；

cos \frac{11 π}{6} = \frac{3}{2}

，

sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}

，乘積為

\frac{3}{4}

；

cos \frac{3 π}{2} = 0

，最後一項為

0

。所以原式

= \frac{3}{4} - \frac{3}{4} + 0 = 0

。

tan \frac{π}{12}

不必算，因為它乘上

cos \frac{3 π}{2} = 0

。

第 6 題

塗色部分＝正三角形 $A B C$ ＋三個弓形。每個弓形＝以 $1$ 為半徑、圓心角 $\frac{π}{3}$ 的扇形－正三角形：

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} \cdot \frac{π}{3} - \frac{3}{4} = \frac{π}{6} - \frac{3}{4}$

所以面積 $= \frac{3}{4} + 3 (\frac{π}{6} - \frac{3}{4}) = \frac{π}{2} - \frac{3}{2} = \frac{π - 3}{2}$ 。

也可以看成三個扇形相加，再扣掉多算的兩次正三角形：

3 \cdot \frac{π}{6} - 2 \cdot \frac{3}{4}

。

第 7 題

$cos B = - \frac{1}{5} < 0$ ， $B$ 是鈍角，所以 $A$ 是銳角。 $cos A = 1 - \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$ ， $sin B = 1 - \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$ 。

$C = π - (A + B)$ ，

$cos C = - cos (A + B) = - (cos A cos B - sin A sin B) = - (- \frac{3}{50} - \frac{2}{50}) = \frac{5}{50} = \frac{1}{2}$

而 $0 < C < π$ ，所以 $∠ C = \frac{π}{4}$ （即 $4 5^{\circ}$ ）。

三角形中已有一個鈍角，其餘兩角都是銳角，所以

cos A

取正。

第 8 題

$cos (3 x + 1) = cos (3 (x + \frac{1}{3}))$ 。

第一種： $y = cos x$ 水平伸縮 $a$ 倍得 $y = cos \frac{x}{a}$ ，再向左平移 $b$ 得 $y = cos \frac{x + b}{a}$ 。要等於 $cos (3 x + 1)$ ， $\frac{1}{a} = 3$ ， $a = \frac{1}{3}$ ； $\frac{b}{a} = 3 b$ 與 $1$ 只能差 $2 π$ 的整數倍，又 $0 < b < \frac{π}{2}$ ，得 $b = \frac{1}{3}$ 。

第二種： $y = sin x$ 向左平移 $c$ 得 $y = sin (x + c)$ ，再水平伸縮 $d$ 倍得 $y = sin (\frac{x}{d} + c)$ 。而 $cos (3 x + 1) = sin (3 x + 1 + \frac{π}{2})$ ，所以 $\frac{1}{d} = 3$ ， $d = \frac{1}{3}$ ； $c$ 與 $1 + \frac{π}{2}$ 只能差 $2 π$ 的整數倍，又 $0 < c < 2 π$ ，得 $c = 1 + \frac{π}{2} = \frac{π + 2}{2}$ 。

所以 $(a, b, c, d) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{π + 2}{2}, \frac{1}{3})$ 。

先伸縮再平移時，平移量直接加在

x

上（

b = \frac{1}{3}

）；先平移再伸縮時，平移量留在括號裡不被除（

c

沒有除以

3

）。

第 9 題

疊合： $3 sin x - cos x = 2 sin (x - \frac{π}{6}) = 3$ ，即 $sin (x - \frac{π}{6}) = \frac{3}{2}$ 。

由 $0 < x < π$ 得 $- \frac{π}{6} < x - \frac{π}{6} < \frac{5 π}{6}$ ，所以 $x - \frac{π}{6} = \frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ ，兩根為 $\frac{π}{2}$ 、 $\frac{5 π}{6}$ 。

$\frac{α + β}{2} = \frac{2 π}{3}$ ， $tan \frac{2 π}{3} = - 3$ 。

代回檢查：

x = \frac{π}{2}

時左邊

= 3

；

x = \frac{5 π}{6}

時左邊

= \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3

。

第 10 題

用倍角公式降次： $sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ ， $cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$ ， $sin x cos x = \frac{sin 2 x}{2}$ 。

$f (x) = \frac{1 - cos 2 x}{2} - 4 sin 2 x - \frac{3 + 3 cos 2 x}{2} = - 1 - 4 sin 2 x - 2 cos 2 x$

疊合： $4 sin 2 x + 2 cos 2 x$ 的最大值 $4^{2} + 2^{2} = 25$ 、最小值 $- 25$ ，所以 $α = - 1 + 25$ ， $β = - 1 - 25$ ， $α + β = - 2$ 。

最大值與最小值對稱於中線

y = - 1

，所以兩者相加就是

2 \times (- 1)

。

第 11 題

以小恩的眼睛為原點、地面為水平方向。發射台頂端離地 $1$ 公尺、與眼睛水平距離 $3$ 公尺。

發射前：火箭底端高 $1$ 、頂端高 $3$ 。兩條視線與地面的夾角的正切分別為 $\frac{1}{3}$ 與 $\frac{3}{3} = 1$ ，

$tan α = \frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{2}$

上升 $2$ 公尺時：火箭底端高 $3$ 、頂端高 $5$ ，兩條視線的正切為 $1$ 與 $\frac{5}{3}$ ，

$tan β = \frac{\frac{5}{3} - 1}{1 + \frac{5}{3} \cdot 1} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{3}} = \frac{1}{4}$

所以 $(tan α, tan β) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ 。

視角是兩條視線仰角的差，用正切的差角公式

tan (x - y) = \frac{tan x - tan y}{1 + tan x tan y}

。

第 12 題

α

、

β

都是銳角（

0

到

\frac{π}{2}

之間），在這個範圍內正切值越大角越大。

tan α = \frac{1}{2} > \frac{1}{4} = tan β

，所以

α > β

。

火箭升得越高、離得越遠，同樣 2 公尺長的火箭看起來的視角越小。

視角題把兩條視線各自的仰角寫成正切，再用正切的差角公式相減。

03混合題 1～2（本頁 13～15）：證明正弦和角公式、水深的正弦模型

第 13 題

利用 $sin θ = cos (\frac{π}{2} - θ)$ 、 $cos θ = sin (\frac{π}{2} - θ)$ （對任意廣義角 $θ$ 都成立）與餘弦的差角公式 $cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin y$ ：

$sin (α + β) = cos (\frac{π}{2} - (α + β)) = cos ((\frac{π}{2} - α) - β) = cos (\frac{π}{2} - α) cos β + sin (\frac{π}{2} - α) sin β = sin α cos β + cos α sin β$

得證。

關鍵是把

\frac{π}{2} - (α + β)

拆成

(\frac{π}{2} - α) - β

，才能套用差角公式。

第 14 題

答案 (C)(D)(E)。表中最低水深 $1$ （4 時）、最高水深 $7$ （10 時），中間 $8$ 時、 $12$ 時、 $0$ 時都是 $5.5$ ， $2$ 時、 $14$ 時都是 $2.5$ ，數據以 $4$ 時與 $10$ 時為低潮、高潮來回對稱。所以振幅 $a = \frac{7 - 1}{2} = 3$ ，中線 $y = d = \frac{7 + 1}{2} = 4$ ；把 $4$ 時看成低潮、 $10$ 時看成相鄰的高潮（水深在兩者之間單調變化），半個週期是 $10 - 4 = 6$ ，週期取 $12$ 小時。

(A) 錯誤。週期為 $12$ 小時。

(B) 錯誤。基線為 $y = 4$ 。

(D) 正確。最深水深為 $d + a = 7$ 公尺。

(E) 正確。 $6$ 時與 $2$ 時對稱於低潮的 $4$ 時，所以水深相同，為 $2.5$ 公尺。（也可以用第 (2) 小題的式子： $3 sin (π + \frac{5 π}{6}) + 4 = 3 \cdot (- \frac{1}{2}) + 4 = 2.5$ 。）

中線（基線）是最高與最低的平均

4

，不是出現最多次的

5.5

。

第 15 題

由第 (1) 小題： $a = 3$ ， $d = 4$ ，週期 $12$ 小時，所以 $\frac{2 π}{b} = 12$ ， $b = \frac{π}{6}$ 。

4 時水深最低，此時 $sin (4 b + c) = - 1$ ： $\frac{4 π}{6} + c = \frac{3 π}{2} + 2 k π$ ， $c = \frac{5 π}{6} + 2 k π$ ；又 $0 < c < 2 π$ ，得 $c = \frac{5 π}{6}$ 。

所以 $y = 3 sin (\frac{π}{6} x + \frac{5 π}{6}) + 4$ 。代回檢查： $x = 10$ 時 $3 sin \frac{5 π}{2} + 4 = 7$ ； $x = 0$ 時 $3 sin \frac{5 π}{6} + 4 = 5.5$ ； $x = 14$ 時 $3 sin \frac{19 π}{6} + 4 = 2.5$ ，與表相符。

低潮每 $12$ 小時出現一次：4 時、16 時、…。阿兩 14 時起床後，下一次低潮在 $4 + 12 = 16$ 時，所以應於當日 16 時開始搜索最好。

表中只有每 2 小時一筆紀錄，光看數據

b

並不唯一：例如

b = \frac{7 π}{6}

、

c = \frac{5 π}{6}

也通過表中每一點（週期變成

\frac{12}{7}

小時，一天漲落十幾次，不合潮汐的實情）。本題取 4 時的最低點與 10 時的最高點為相鄰的低潮與高潮，也就是最小的

b = \frac{π}{6}

（週期 12 小時），學校答案也是這樣取。

由數據求

y = a sin (b x + c) + d

：振幅、中線看最高最低，週期看相鄰的高潮與低潮，最後用一個極值點定出

c

。

這一章的單元冊

每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《三角函數》單元冊 08・高二上（數A）

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

武陵高中 111 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

武陵高中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題內切圓半徑要同時與兩條半徑及弧相切，選項寫的是兩倍；第 2 題正切函數的對稱中心還包含漸近線與 x 軸的交點；第 4 題範圍兩端取不到，沒有最小值；第 8 題先伸縮再平移與先平移再伸縮，平移量不同；混合題第 2 題中線是最高與最低的平均，不是出現最多次的值。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自武陵高中 111 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

武陵高中 111 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 15 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多選 1～4：扇形極值、對稱中心、倍角與半角、疊合

02填充 1～7（本頁 5～12）：三角函數值、圓弧面積、和差角、伸縮平移、疊合、視角

03混合題 1～2（本頁 13～15）：證明正弦和角公式、水深的正弦模型

這一章的單元冊

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

武陵高中 111 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

武陵高中 111 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

武陵高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

武陵高中 111 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

武陵高中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？