段考詳解範圍：數與式（實數與根式、絕對值、算幾不等式、指數、科學記號、常用對數）

高雄新興高中 108 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

單選題 2 題（每題 6 分，共 12 分）、多重選擇題 1 題（6 分）、填充題 10 題共 10 格（共 56 分；答對 1～10 格依序得 7、14、21、27、33、38、43、48、52、56 分）、計算題 3 題（共 26 分）；合計 100 分。本頁第 4～13 題為原卷填充第 1～10 題，第 14～16 題為原卷計算第 1～3 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題：每題 6 分、共 12 分

若設

a = 2 3^{45}

，

b = 4^{90}

，

c = 3^{135}

，試比較

a

、

b

、

c

之大小

(A) $a > b > c$
(B) $c > a > b$
(C) $b > a > c$
(D) $a > c > b$
(E) $b > c > a$

設

a

，

b \in R

，若不等式

∣ a x + 1∣ \leq b

的解為

- 7 \leq x \leq 19

，則

a + b =

(A) $1$
(B) $- \frac{7}{3}$
(C) $\frac{7}{3}$
(D) $2$
(E) $\frac{14}{3}$

二、多重選擇題：每題 6 分、共 6 分

下列何者正確？

(A) 無理數加無理數必為無理數
(B) 無理數加有理數必為無理數
(C) 有理數加有理數必為有理數
(D) 無理數乘有理數必為無理數
(E) 無理數乘無理數必為無理數

三、填充題：共 56 分

設

A (10)

，

B (20)

，

C (x)

是數線上三點，且

B

在直線

A C

上，若

\overline{A C} : \overline{B C} = 2 : 3

，求

x

（二個解）。

x =

____

設

x

為有理數，且

(x^{2} - 4) + (x^{2} - x - 6) 3 = 0

，求

x =

____。

解方程式

∣ x - 5∣ = ∣ x + 1∣

。

x =

____

化簡

(2)^{- \frac{2}{3}} \times 3 (\frac{1}{3})^{- 8} \div (36)^{2} =

____

設

a > 1

，若

a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3

，試求

a^{\frac{3}{2}} + a^{- \frac{3}{2}} =

____。

試求

(8.2 \times 1 0^{3}) \div (2 \times 1 0^{13})

為小數點後第 ____ 位不為零

設半徑

20

之半圓內接一個矩形，則此矩形其面積最大為 ____？

已知

p = lo g 2

，試求

1 0^{- p} + 10 0^{p} =

____

目前最大硬碟約為

10

TB，已知

1

= 2^{10}

GB，

1

= 2^{10}

MB，

1

= 2^{10}

KB，

1

= 2^{10}

Byte，若

10

= n

Byte，則

n

為幾位數 ____？（

1 0^{0.3010} \approx 2

）

已知：

4^{x} = 3

，求

8^{x} =

____。

四、計算題：共 26 分

設

19 + 412

的整數部分為

a

，小數部分為

b

，試求：(1)

a

，

b

之值。（4 分） (2)

\frac{13}{a + b} + \frac{4}{b}

之值。（4 分）

解不等式：

∣ x - 5∣ \leq ∣3 x - 3∣

。____（10 分）

放射性物質質量變為原來的一半所需經過的時間，稱為該物質的半衰期。假設某放射性物質原來有

x

公克，其半衰期是

t

年，此放射性物質在兩年後剩下

16

公克，而八年後剩下

2

公克，求該放射性物質原來有 ____ 公克（4 分），其半衰期又是 ____ 年（4 分）。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(D)

第 3 題(B)(C)

第 4 題

- 10

或

14

第 5 題

- 2

第 6 題

2

第 7 題

\frac{9}{2}

第 8 題

18

第 9 題

10

第 10 題

400

第 11 題

\frac{9}{2}

第 12 題

14

第 13 題

33

第 14 題(1)

a = 5

，

b = 3 - 1

；(2)

6 + 3

第 15 題

x \leq - 1

或

x \geq 2

第 16 題原來有

32

公克；半衰期

2

年

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

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01單選 1、2：化成同次方比較大小、由解的範圍反求絕對值不等式

第 1 題答案 (B)。三個指數

45

、

90

、

135

都是

45

的倍數，全部化成

45

次方：

b = 4^{90} = (4^{2})^{45} = 1 6^{45}

，

c = 3^{135} = (3^{3})^{45} = 2 7^{45}

，而

a = 2 3^{45}

。底數都是正數且次方相同時，底數大的值就大。因為

27 > 23 > 16

，所以

c > a > b

。

底數不同、指數也不同時，先找指數的最大公因數，把它們化成同一個次方再比底數。

第 2 題答案 (D)。解

- 7 \leq x \leq 19

的中點是

\frac{- 7 + 19}{2} = 6

，端點到中點的距離是

13

，所以這個範圍就是

∣ x - 6∣ \leq 13

。另一方面，解是一段有界的範圍，所以

a \neq = 0

，

∣ a x + 1∣ = ∣ a ∣ x + \frac{1}{a}

，原不等式可寫成

x + \frac{1}{a} \leq \frac{b}{∣ a ∣}

。對照得

- \frac{1}{a} = 6

，所以

a = - \frac{1}{6}

；

\frac{b}{∣ a ∣} = 13

，所以

b = \frac{13}{6}

。因此

a + b = - \frac{1}{6} + \frac{13}{6} = 2

。

檢查：把

a

、

b

代回得

- \frac{x}{6} + 1 \leq \frac{13}{6}

，兩邊同乘

6

就是

∣ x - 6∣ \leq 13

，也就是

- 7 \leq x \leq 19

。這一題的

a

是負數，如果誤取

a = \frac{1}{6}

，解的中點會變成

- 6

而不是

6

。

「

x

在兩數之間」要寫成絕對值不等式時，先找中點，再找端點到中點的距離。

02多重選擇 1：有理數與無理數的運算性質

第 3 題答案 (B)(C)。(A) 錯誤。取

2

與

- 2

，兩個都是無理數，相加得

0

，是有理數。(B) 正確。設

p

是無理數、

q

是有理數。假設

p + q = r

是有理數，那麼

p = r - q

是兩個有理數相減，也是有理數，和

p

是無理數矛盾，所以

p + q

一定是無理數。(C) 正確。兩個有理數寫成分數

\frac{m}{n}

與

\frac{s}{t}

（

m

、

n

、

s

、

t

是整數，

n

、

t

不為

0

），相加得

\frac{m t + n s}{n t}

，分子分母仍是整數且分母不為

0

，所以是有理數。(D) 錯誤。有理數可以取

0

：

2 \times 0 = 0

，是有理數。(E) 錯誤。

2 \times 2 = 2

，是有理數。

(D) 若把條件改成「乘以不為

0

的有理數」就會成立。這類敘述要說明它成立需要推導，要否定只要舉一個反例。

03填充 1～3（第 4～6 題）：數線上的分點、有理數與無理數部分的比較、絕對值方程式

第 4 題

A

、

B

相距

10

。

\overline{A C} : \overline{B C} = 2 : 3

，所以

C

離

A

比較近，有兩種位置。第一種：

C

在

A

、

B

之間，把

\overline{A B}

分成

2 : 3

，

\overline{A C} = 10 \times \frac{2}{5} = 4

，

x = 10 + 4 = 14

。第二種：

C

在

A

的左邊，此時

\overline{B C} - \overline{A C} = \overline{A B} = 10

；設

\overline{A C} = 2 k

，

\overline{B C} = 3 k

，則

k = 10

，

\overline{A C} = 20

，

x = 10 - 20 = - 10

。

C

不可能在

B

的右邊，因為那樣

\overline{A C}

會比

\overline{B C}

長。所以

x = - 10

或

14

。

也可以直接列式：

3∣ x - 10∣ = 2∣ x - 20∣

，即

3 (x - 10) = 2 (x - 20)

或

3 (x - 10) = - 2 (x - 20)

，分別解得

x = - 10

、

x = 14

。

第 5 題

x

是有理數，所以

x^{2} - 4

與

x^{2} - x - 6

都是有理數。若

x^{2} - x - 6 \neq = 0

，則

3 = - \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} - x - 6}

會是有理數，矛盾；所以

x^{2} - x - 6 = 0

，代回原式得

x^{2} - 4 = 0

。由

x^{2} - 4 = 0

得

x = 2

或

- 2

；由

x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2) = 0

得

x = 3

或

- 2

。兩式要同時成立，所以

x = - 2

。

「有理數

+

有理數

\times 3 = 0

」時，兩個有理數都必須是

0

；這個結論要有「

x

為有理數」的條件才能用。

第 6 題

∣ x - 5∣

是數線上

x

到

5

的距離，

∣ x + 1∣

是

x

到

- 1

的距離。兩個距離相等，

x

就是

5

與

- 1

的中點：

x = \frac{5 + ( - 1 )}{2} = 2

。

用代數做：

x - 5 = x + 1

無解；

x - 5 = - (x + 1)

得

2 x = 4

，

x = 2

。

04填充 4～6（第 7～9 題）：根式化成指數、分數指數的對稱式、科學記號

第 7 題全部化成

2

與

3

的次方。

(2)^{- \frac{2}{3}} = (2^{\frac{1}{2}})^{- \frac{2}{3}} = 2^{- \frac{1}{3}}

。

(\frac{1}{3})^{- 8} = 3^{8}

，所以

3 (\frac{1}{3})^{- 8} = 3^{\frac{8}{3}}

。

(36)^{2} = 6^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{2}{3}}

。原式

= 2^{- \frac{1}{3} - \frac{2}{3}} \times 3^{\frac{8}{3} - \frac{2}{3}} = 2^{- 1} \times 3^{2} = \frac{9}{2}

。

除以

6^{\frac{2}{3}}

時，

2

與

3

的指數都要減

\frac{2}{3}

。

第 8 題令

t = a^{\frac{1}{2}}

，則

a^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{t}

，條件是

t + \frac{1}{t} = 3

，所求是

t^{3} + \frac{1}{t ^{3}}

。由乘法公式

(t + \frac{1}{t})^{3} = t^{3} + \frac{1}{t ^{3}} + 3 (t + \frac{1}{t})

，所以

t^{3} + \frac{1}{t ^{3}} = 3^{3} - 3 \times 3 = 18

。

也可以先平方：

t^{2} + \frac{1}{t ^{2}} = 3^{2} - 2 = 7

，再用

t^{3} + \frac{1}{t ^{3}} = (t + \frac{1}{t}) (t^{2} - 1 + \frac{1}{t ^{2}}) = 3 \times 6 = 18

。

第 9 題數字與

10

的次方分開算：

8.2 \div 2 = 4.1

，

1 0^{3} \div 1 0^{13} = 1 0^{- 10}

，所以原式

= 4.1 \times 1 0^{- 10}

。

1 0^{- 10}

是小數點後第

10

位才出現

1

的數，

4.1 \times 1 0^{- 10} = 0.00000000041

，小數點後前

9

位都是

0

，第

10

位是

4

。所以是小數點後第

10

位不為零。

科學記號

k \times 1 0^{- n}

（

1 \leq k < 10

，

n

是正整數）的數，在小數點後第

n

位開始不為

0

。

根式的乘除先全部化成分數指數，再把同底數的指數相加減。

05填充 7、8（第 10、11 題）：算幾不等式求最大面積、對數的定義

第 10 題半圓內接矩形是指一邊在直徑上、另兩個頂點在半圓弧上的矩形，圖形對圓心左右對稱。設矩形在直徑上的邊長是

2 x

，高是

y

（

x > 0

，

y > 0

）。弧上的頂點到圓心的距離是半徑

20

，由畢氏定理

x^{2} + y^{2} = 2 0^{2} = 400

。矩形面積是

2 x y

。

x^{2}

與

y^{2}

都是正數，由算幾不等式

\frac{x ^{2} + y ^{2}}{2} \geq x^{2} y^{2} = x y

，所以

2 x y \leq x^{2} + y^{2} = 400

。等號在

x^{2} = y^{2}

，即

x = y = 102

時成立。所以面積最大為

400

。

面積最大時矩形的長是

202

（約

28.28

）、高是

102

（約

14.14

），長是高的

2

倍，不是正方形。

第 11 題

p = lo g 2

的意思是

1 0^{p} = 2

。所以

1 0^{- p} = \frac{1}{1 0 ^{p}} = \frac{1}{2}

，

10 0^{p} = (1 0^{2})^{p} = (1 0^{p})^{2} = 2^{2} = 4

。相加得

\frac{1}{2} + 4 = \frac{9}{2}

。

不需要知道

lo g 2

的近似值，只用「

lo g 2

是

10

的幾次方等於

2

的那個次方」這個定義。

用算幾不等式求極值時，先找出「和是定值」的兩個正數，最後要確認等號成立的條件做得到。

06填充 9、10（第 12、13 題）：用 10 的次方估計位數、指數律

第 12 題一層一層換算：

1

= 2^{10}

= 2^{20}

= 2^{30}

= 2^{40}

Byte，所以

n = 10 \times 2^{40}

。用題目給的

2 \approx 1 0^{0.3010}

：

2^{40} \approx (1 0^{0.3010})^{40} = 1 0^{12.04}

，

n \approx 10 \times 1 0^{12.04} = 1 0^{13.04}

。因為

1 0^{13} < n < 1 0^{14}

，而

1 0^{13}

是

14

位數、

1 0^{14}

是

15

位數，所以

n

是

14

位數。

實際的值是

2^{40} = 1099511627776

（

13

位數），乘以

10

後是

14

位數，和估計一致。

1 0^{k}

是

k + 1

位數，別少算一位。

第 13 題

4^{x} = (2^{2})^{x} = (2^{x})^{2} = 3

，而

2^{x} > 0

，所以

2^{x} = 3

。於是

8^{x} = (2^{3})^{x} = (2^{x})^{3} = (3)^{3} = 33

。

也可以寫成

8^{x} = (4^{x})^{\frac{3}{2}} = 3^{\frac{3}{2}} = 33

。

07計算 1（第 14 題）：雙重根號與整數、小數部分

第 14 題(1) 先把內層根號前面的係數變成

2

：

412 = 2 \times 212 = 248

，所以

19 + 412 = 19 + 248

。和是

19

、積是

48

的兩數是

16

和

3

，所以它等於

16 + 3 = 4 + 3

。因為

1 < 3 < 2

，所以

5 < 4 + 3 < 6

，整數部分

a = 5

，小數部分

b = (4 + 3) - 5 = 3 - 1

。 (2)

a + b

就是原數

4 + 3

。分別有理化：

\frac{13}{4 + 3} = \frac{13 ( 4 - 3 )}{16 - 3} = 4 - 3

。

\frac{4}{3 - 1} = \frac{4 ( 3 + 1 )}{3 - 1} = 23 + 2

。相加得

(4 - 3) + (23 + 2) = 6 + 3

。

檢查：

(4 + 3)^{2} = 16 + 83 + 3 = 19 + 83

，而

412 = 83

，相符。小數部分是「原數減去整數部分」，一定在

0

與

1

之間；

3 - 1

約

0.732

。

化簡雙重根號時，先把內層根號前的係數整理成

2

，再找和與積。

08計算 2（第 15 題）：分段解絕對值不等式

第 15 題

x - 5

在

x = 5

變號，

3 x - 3

在

x = 1

變號，以

1

和

5

為分界分三段討論。第一段

x < 1

：

∣ x - 5∣ = 5 - x

，

∣3 x - 3∣ = 3 - 3 x

，不等式變成

5 - x \leq 3 - 3 x

，

2 x \leq - 2

，

x \leq - 1

；和

x < 1

取共同部分得

x \leq - 1

。第二段

1 \leq x < 5

：

∣ x - 5∣ = 5 - x

，

∣3 x - 3∣ = 3 x - 3

，不等式變成

5 - x \leq 3 x - 3

，

4 x \geq 8

，

x \geq 2

；和

1 \leq x < 5

取共同部分得

2 \leq x < 5

。第三段

x \geq 5

：

∣ x - 5∣ = x - 5

，

∣3 x - 3∣ = 3 x - 3

，不等式變成

x - 5 \leq 3 x - 3

，

2 x \geq - 2

，

x \geq - 1

；和

x \geq 5

取共同部分得

x \geq 5

。三段合起來：

2 \leq x < 5

與

x \geq 5

接成

x \geq 2

，所以解是

x \leq - 1

或

x \geq 2

。

每一段解出來的範圍都要和那一段的前提取共同部分。可以代幾個數檢查：

x = - 1

時

6 \leq 6

成立；

x = 0

時

5 \leq 3

不成立；

x = 2

時

3 \leq 3

成立；

x = 6

時

1 \leq 15

成立。

09計算 3（第 16 題）：半衰期

第 16 題從第

2

年到第

8

年經過

6

年，質量從

16

公克變成

2

公克，是原來的

\frac{2}{16} = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}

，也就是這

6

年裡剛好經過

3

個半衰期，所以半衰期

t = 6 \div 3 = 2

年。半衰期是

2

年，所以最初的兩年剛好是

1

個半衰期，質量剩下一半：

\frac{x}{2} = 16

，

x = 32

。所以原來有

32

公克，半衰期是

2

年。

檢查：

32

公克每

2

年減半，第

2

、

4

、

6

、

8

年依序是

16

、

8

、

4

、

2

公克，和題目相符。列式的寫法是

x (\frac{1}{2})^{\frac{2}{t}} = 16

與

x (\frac{1}{2})^{\frac{8}{t}} = 2

，兩式相除得

(\frac{1}{2})^{\frac{6}{t}} = \frac{1}{8}

。

半衰期的題目先看「經過多久、變成幾分之幾」，把幾分之幾寫成二分之一的次方，就知道經過了幾個半衰期。

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單選第 2 題的 a 是負數，要從解的中點反推，不能只看端點距離；填充第 1 題（本頁第 4 題）有內分與外分兩個解，容易漏掉在 A 左邊的那一個；填充第 7 題（本頁第 10 題）面積最大的內接矩形不是正方形，和為定值的是兩個平方；計算第 1 題（本頁第 14 題）要先把內層根號前的 4 整理成 2 才能化簡。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自高雄新興高中 108 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數與根式、絕對值、算幾不等式、指數、科學記號、常用對數）

高雄新興高中 108 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

一、單選題：每題 6 分、共 12 分

若設

a = 2 3^{45}

，

b = 4^{90}

，

c = 3^{135}

，試比較

a

、

b

、

c

之大小

(A) $a > b > c$
(B) $c > a > b$
(C) $b > a > c$
(D) $a > c > b$
(E) $b > c > a$

設

a

，

b \in R

，若不等式

∣ a x + 1∣ \leq b

的解為

- 7 \leq x \leq 19

，則

a + b =

(A) $1$
(B) $- \frac{7}{3}$
(C) $\frac{7}{3}$
(D) $2$
(E) $\frac{14}{3}$

二、多重選擇題：每題 6 分、共 6 分

下列何者正確？

(A) 無理數加無理數必為無理數
(B) 無理數加有理數必為無理數
(C) 有理數加有理數必為有理數
(D) 無理數乘有理數必為無理數
(E) 無理數乘無理數必為無理數

三、填充題：共 56 分

設

A (10)

，

B (20)

，

C (x)

是數線上三點，且

B

在直線

A C

上，若

\overline{A C} : \overline{B C} = 2 : 3

，求

x

（二個解）。

x =

____

設

x

為有理數，且

(x^{2} - 4) + (x^{2} - x - 6) 3 = 0

，求

x =

____。

解方程式

∣ x - 5∣ = ∣ x + 1∣

。

x =

____

化簡

(2)^{- \frac{2}{3}} \times 3 (\frac{1}{3})^{- 8} \div (36)^{2} =

____

設

a > 1

，若

a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3

，試求

a^{\frac{3}{2}} + a^{- \frac{3}{2}} =

____。

試求

(8.2 \times 1 0^{3}) \div (2 \times 1 0^{13})

為小數點後第 ____ 位不為零

設半徑

20

之半圓內接一個矩形，則此矩形其面積最大為 ____？

已知

p = lo g 2

，試求

1 0^{- p} + 10 0^{p} =

____

目前最大硬碟約為

10

TB，已知

1

= 2^{10}

GB，

1

= 2^{10}

MB，

1

= 2^{10}

KB，

1

= 2^{10}

Byte，若

10

= n

Byte，則

n

為幾位數 ____？（

1 0^{0.3010} \approx 2

）

已知：

4^{x} = 3

，求

8^{x} =

____。

四、計算題：共 26 分

設

19 + 412

的整數部分為

a

，小數部分為

b

，試求：(1)

a

，

b

之值。（4 分） (2)

\frac{13}{a + b} + \frac{4}{b}

之值。（4 分）

解不等式：

∣ x - 5∣ \leq ∣3 x - 3∣

。____（10 分）

放射性物質質量變為原來的一半所需經過的時間，稱為該物質的半衰期。假設某放射性物質原來有

x

公克，其半衰期是

t

年，此放射性物質在兩年後剩下

16

公克，而八年後剩下

2

公克，求該放射性物質原來有 ____ 公克（4 分），其半衰期又是 ____ 年（4 分）。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(D)

第 3 題(B)(C)

第 4 題

- 10

或

14

第 5 題

- 2

第 6 題

2

第 7 題

\frac{9}{2}

第 8 題

18

第 9 題

10

第 10 題

400

第 11 題

\frac{9}{2}

第 12 題

14

第 13 題

33

第 14 題(1)

a = 5

，

b = 3 - 1

；(2)

6 + 3

第 15 題

x \leq - 1

或

x \geq 2

第 16 題原來有

32

公克；半衰期

2

年

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1、2：化成同次方比較大小、由解的範圍反求絕對值不等式

第 1 題答案 (B)。三個指數

45

、

90

、

135

都是

45

的倍數，全部化成

45

次方：

b = 4^{90} = (4^{2})^{45} = 1 6^{45}

，

c = 3^{135} = (3^{3})^{45} = 2 7^{45}

，而

a = 2 3^{45}

。底數都是正數且次方相同時，底數大的值就大。因為

27 > 23 > 16

，所以

c > a > b

。

底數不同、指數也不同時，先找指數的最大公因數，把它們化成同一個次方再比底數。

第 2 題答案 (D)。解

- 7 \leq x \leq 19

的中點是

\frac{- 7 + 19}{2} = 6

，端點到中點的距離是

13

，所以這個範圍就是

∣ x - 6∣ \leq 13

。另一方面，解是一段有界的範圍，所以

a \neq = 0

，

∣ a x + 1∣ = ∣ a ∣ x + \frac{1}{a}

，原不等式可寫成

x + \frac{1}{a} \leq \frac{b}{∣ a ∣}

。對照得

- \frac{1}{a} = 6

，所以

a = - \frac{1}{6}

；

\frac{b}{∣ a ∣} = 13

，所以

b = \frac{13}{6}

。因此

a + b = - \frac{1}{6} + \frac{13}{6} = 2

。

檢查：把

a

、

b

代回得

- \frac{x}{6} + 1 \leq \frac{13}{6}

，兩邊同乘

6

就是

∣ x - 6∣ \leq 13

，也就是

- 7 \leq x \leq 19

。這一題的

a

是負數，如果誤取

a = \frac{1}{6}

，解的中點會變成

- 6

而不是

6

。

「

x

在兩數之間」要寫成絕對值不等式時，先找中點，再找端點到中點的距離。

02多重選擇 1：有理數與無理數的運算性質

第 3 題答案 (B)(C)。(A) 錯誤。取

2

與

- 2

，兩個都是無理數，相加得

0

，是有理數。(B) 正確。設

p

是無理數、

q

是有理數。假設

p + q = r

是有理數，那麼

p = r - q

是兩個有理數相減，也是有理數，和

p

是無理數矛盾，所以

p + q

一定是無理數。(C) 正確。兩個有理數寫成分數

\frac{m}{n}

與

\frac{s}{t}

（

m

、

n

、

s

、

t

是整數，

n

、

t

不為

0

），相加得

\frac{m t + n s}{n t}

，分子分母仍是整數且分母不為

0

，所以是有理數。(D) 錯誤。有理數可以取

0

：

2 \times 0 = 0

，是有理數。(E) 錯誤。

2 \times 2 = 2

，是有理數。

(D) 若把條件改成「乘以不為

0

的有理數」就會成立。這類敘述要說明它成立需要推導，要否定只要舉一個反例。

03填充 1～3（第 4～6 題）：數線上的分點、有理數與無理數部分的比較、絕對值方程式

第 4 題

A

、

B

相距

10

。

\overline{A C} : \overline{B C} = 2 : 3

，所以

C

離

A

比較近，有兩種位置。第一種：

C

在

A

、

B

之間，把

\overline{A B}

分成

2 : 3

，

\overline{A C} = 10 \times \frac{2}{5} = 4

，

x = 10 + 4 = 14

。第二種：

C

在

A

的左邊，此時

\overline{B C} - \overline{A C} = \overline{A B} = 10

；設

\overline{A C} = 2 k

，

\overline{B C} = 3 k

，則

k = 10

，

\overline{A C} = 20

，

x = 10 - 20 = - 10

。

C

不可能在

B

的右邊，因為那樣

\overline{A C}

會比

\overline{B C}

長。所以

x = - 10

或

14

。

也可以直接列式：

3∣ x - 10∣ = 2∣ x - 20∣

，即

3 (x - 10) = 2 (x - 20)

或

3 (x - 10) = - 2 (x - 20)

，分別解得

x = - 10

、

x = 14

。

第 5 題

x

是有理數，所以

x^{2} - 4

與

x^{2} - x - 6

都是有理數。若

x^{2} - x - 6 \neq = 0

，則

3 = - \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} - x - 6}

會是有理數，矛盾；所以

x^{2} - x - 6 = 0

，代回原式得

x^{2} - 4 = 0

。由

x^{2} - 4 = 0

得

x = 2

或

- 2

；由

x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2) = 0

得

x = 3

或

- 2

。兩式要同時成立，所以

x = - 2

。

「有理數

+

有理數

\times 3 = 0

」時，兩個有理數都必須是

0

；這個結論要有「

x

為有理數」的條件才能用。

第 6 題

∣ x - 5∣

是數線上

x

到

5

的距離，

∣ x + 1∣

是

x

到

- 1

的距離。兩個距離相等，

x

就是

5

與

- 1

的中點：

x = \frac{5 + ( - 1 )}{2} = 2

。

用代數做：

x - 5 = x + 1

無解；

x - 5 = - (x + 1)

得

2 x = 4

，

x = 2

。

04填充 4～6（第 7～9 題）：根式化成指數、分數指數的對稱式、科學記號

第 7 題全部化成

2

與

3

的次方。

(2)^{- \frac{2}{3}} = (2^{\frac{1}{2}})^{- \frac{2}{3}} = 2^{- \frac{1}{3}}

。

(\frac{1}{3})^{- 8} = 3^{8}

，所以

3 (\frac{1}{3})^{- 8} = 3^{\frac{8}{3}}

。

(36)^{2} = 6^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{2}{3}}

。原式

= 2^{- \frac{1}{3} - \frac{2}{3}} \times 3^{\frac{8}{3} - \frac{2}{3}} = 2^{- 1} \times 3^{2} = \frac{9}{2}

。

除以

6^{\frac{2}{3}}

時，

2

與

3

的指數都要減

\frac{2}{3}

。

第 8 題令

t = a^{\frac{1}{2}}

，則

a^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{t}

，條件是

t + \frac{1}{t} = 3

，所求是

t^{3} + \frac{1}{t ^{3}}

。由乘法公式

(t + \frac{1}{t})^{3} = t^{3} + \frac{1}{t ^{3}} + 3 (t + \frac{1}{t})

，所以

t^{3} + \frac{1}{t ^{3}} = 3^{3} - 3 \times 3 = 18

。

也可以先平方：

t^{2} + \frac{1}{t ^{2}} = 3^{2} - 2 = 7

，再用

t^{3} + \frac{1}{t ^{3}} = (t + \frac{1}{t}) (t^{2} - 1 + \frac{1}{t ^{2}}) = 3 \times 6 = 18

。

第 9 題數字與

10

的次方分開算：

8.2 \div 2 = 4.1

，

1 0^{3} \div 1 0^{13} = 1 0^{- 10}

，所以原式

= 4.1 \times 1 0^{- 10}

。

1 0^{- 10}

是小數點後第

10

位才出現

1

的數，

4.1 \times 1 0^{- 10} = 0.00000000041

，小數點後前

9

位都是

0

，第

10

位是

4

。所以是小數點後第

10

位不為零。

科學記號

k \times 1 0^{- n}

（

1 \leq k < 10

，

n

是正整數）的數，在小數點後第

n

位開始不為

0

。

根式的乘除先全部化成分數指數，再把同底數的指數相加減。

05填充 7、8（第 10、11 題）：算幾不等式求最大面積、對數的定義

第 10 題半圓內接矩形是指一邊在直徑上、另兩個頂點在半圓弧上的矩形，圖形對圓心左右對稱。設矩形在直徑上的邊長是

2 x

，高是

y

（

x > 0

，

y > 0

）。弧上的頂點到圓心的距離是半徑

20

，由畢氏定理

x^{2} + y^{2} = 2 0^{2} = 400

。矩形面積是

2 x y

。

x^{2}

與

y^{2}

都是正數，由算幾不等式

\frac{x ^{2} + y ^{2}}{2} \geq x^{2} y^{2} = x y

，所以

2 x y \leq x^{2} + y^{2} = 400

。等號在

x^{2} = y^{2}

，即

x = y = 102

時成立。所以面積最大為

400

。

面積最大時矩形的長是

202

（約

28.28

）、高是

102

（約

14.14

），長是高的

2

倍，不是正方形。

第 11 題

p = lo g 2

的意思是

1 0^{p} = 2

。所以

1 0^{- p} = \frac{1}{1 0 ^{p}} = \frac{1}{2}

，

10 0^{p} = (1 0^{2})^{p} = (1 0^{p})^{2} = 2^{2} = 4

。相加得

\frac{1}{2} + 4 = \frac{9}{2}

。

不需要知道

lo g 2

的近似值，只用「

lo g 2

是

10

的幾次方等於

2

的那個次方」這個定義。

用算幾不等式求極值時，先找出「和是定值」的兩個正數，最後要確認等號成立的條件做得到。

06填充 9、10（第 12、13 題）：用 10 的次方估計位數、指數律

第 12 題一層一層換算：

1

= 2^{10}

= 2^{20}

= 2^{30}

= 2^{40}

Byte，所以

n = 10 \times 2^{40}

。用題目給的

2 \approx 1 0^{0.3010}

：

2^{40} \approx (1 0^{0.3010})^{40} = 1 0^{12.04}

，

n \approx 10 \times 1 0^{12.04} = 1 0^{13.04}

。因為

1 0^{13} < n < 1 0^{14}

，而

1 0^{13}

是

14

位數、

1 0^{14}

是

15

位數，所以

n

是

14

位數。

實際的值是

2^{40} = 1099511627776

（

13

位數），乘以

10

後是

14

位數，和估計一致。

1 0^{k}

是

k + 1

位數，別少算一位。

第 13 題

4^{x} = (2^{2})^{x} = (2^{x})^{2} = 3

，而

2^{x} > 0

，所以

2^{x} = 3

。於是

8^{x} = (2^{3})^{x} = (2^{x})^{3} = (3)^{3} = 33

。

也可以寫成

8^{x} = (4^{x})^{\frac{3}{2}} = 3^{\frac{3}{2}} = 33

。

07計算 1（第 14 題）：雙重根號與整數、小數部分

第 14 題(1) 先把內層根號前面的係數變成

2

：

412 = 2 \times 212 = 248

，所以

19 + 412 = 19 + 248

。和是

19

、積是

48

的兩數是

16

和

3

，所以它等於

16 + 3 = 4 + 3

。因為

1 < 3 < 2

，所以

5 < 4 + 3 < 6

，整數部分

a = 5

，小數部分

b = (4 + 3) - 5 = 3 - 1

。 (2)

a + b

就是原數

4 + 3

。分別有理化：

\frac{13}{4 + 3} = \frac{13 ( 4 - 3 )}{16 - 3} = 4 - 3

。

\frac{4}{3 - 1} = \frac{4 ( 3 + 1 )}{3 - 1} = 23 + 2

。相加得

(4 - 3) + (23 + 2) = 6 + 3

。

檢查：

(4 + 3)^{2} = 16 + 83 + 3 = 19 + 83

，而

412 = 83

，相符。小數部分是「原數減去整數部分」，一定在

0

與

1

之間；

3 - 1

約

0.732

。

化簡雙重根號時，先把內層根號前的係數整理成

2

，再找和與積。

08計算 2（第 15 題）：分段解絕對值不等式

第 15 題

x - 5

在

x = 5

變號，

3 x - 3

在

x = 1

變號，以

1

和

5

為分界分三段討論。第一段

x < 1

：

∣ x - 5∣ = 5 - x

，

∣3 x - 3∣ = 3 - 3 x

，不等式變成

5 - x \leq 3 - 3 x

，

2 x \leq - 2

，

x \leq - 1

；和

x < 1

取共同部分得

x \leq - 1

。第二段

1 \leq x < 5

：

∣ x - 5∣ = 5 - x

，

∣3 x - 3∣ = 3 x - 3

，不等式變成

5 - x \leq 3 x - 3

，

4 x \geq 8

，

x \geq 2

；和

1 \leq x < 5

取共同部分得

2 \leq x < 5

。第三段

x \geq 5

：

∣ x - 5∣ = x - 5

，

∣3 x - 3∣ = 3 x - 3

，不等式變成

x - 5 \leq 3 x - 3

，

2 x \geq - 2

，

x \geq - 1

；和

x \geq 5

取共同部分得

x \geq 5

。三段合起來：

2 \leq x < 5

與

x \geq 5

接成

x \geq 2

，所以解是

x \leq - 1

或

x \geq 2

。

每一段解出來的範圍都要和那一段的前提取共同部分。可以代幾個數檢查：

x = - 1

時

6 \leq 6

成立；

x = 0

時

5 \leq 3

不成立；

x = 2

時

3 \leq 3

成立；

x = 6

時

1 \leq 15

成立。

09計算 3（第 16 題）：半衰期

第 16 題從第

2

年到第

8

年經過

6

年，質量從

16

公克變成

2

公克，是原來的

\frac{2}{16} = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}

，也就是這

6

年裡剛好經過

3

個半衰期，所以半衰期

t = 6 \div 3 = 2

年。半衰期是

2

年，所以最初的兩年剛好是

1

個半衰期，質量剩下一半：

\frac{x}{2} = 16

，

x = 32

。所以原來有

32

公克，半衰期是

2

年。

檢查：

32

公克每

2

年減半，第

2

、

4

、

6

、

8

年依序是

16

、

8

、

4

、

2

公克，和題目相符。列式的寫法是

x (\frac{1}{2})^{\frac{2}{t}} = 16

與

x (\frac{1}{2})^{\frac{8}{t}} = 2

，兩式相除得

(\frac{1}{2})^{\frac{6}{t}} = \frac{1}{8}

。

半衰期的題目先看「經過多久、變成幾分之幾」，把幾分之幾寫成二分之一的次方，就知道經過了幾個半衰期。

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高雄新興高中 108 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

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高雄新興高中 108 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高雄新興高中 108 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高雄新興高中 108 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 16 題，照原卷順序

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每一題，錯在哪一步

01單選 1、2：化成同次方比較大小、由解的範圍反求絕對值不等式

02多重選擇 1：有理數與無理數的運算性質

03填充 1～3（第 4～6 題）：數線上的分點、有理數與無理數部分的比較、絕對值方程式

04填充 4～6（第 7～9 題）：根式化成指數、分數指數的對稱式、科學記號

05填充 7、8（第 10、11 題）：算幾不等式求最大面積、對數的定義

06填充 9、10（第 12、13 題）：用 10 的次方估計位數、指數律

07計算 1（第 14 題）：雙重根號與整數、小數部分

08計算 2（第 15 題）：分段解絕對值不等式

09計算 3（第 16 題）：半衰期

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高雄新興高中 108 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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高一第一次段考
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