段考詳解範圍：正餘弦的疊合、指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數、指數與對數的應用）

高雄新興高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 高雄新興高中 110 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 高雄新興高中 110 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題要逐一判斷實根個數，2 的 x 次方等於 x 平方加 1 在 4 與 5 之間還有第三個根，2 的負 x 次方那一式要說明負的一側沒有根；第 6 題角度範圍從三分之二 π 開始，最大值不是振幅；第 13 題卷面給的是 log1.3，實際要用 log1.5；第 16 題混合溶液要先算氫離子總量再除以總體積。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

多重選擇題 4 題（每題 6 分，共 24 分）、填充題 10 格（每格 5 分，共 50 分）、計算題 3 題共 26 分（第 1 題 (1) 3 分、(2) 5 分；第 2 題 6 分；第 3 題 (1) 3 分、(2) 4 分、(3) 5 分），合計 100 分。本頁第 5～14 題依序為原卷填充 1(1) 到填充 9，第 15～20 題為原卷計算第 1～3 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、多重選擇題(每題 6 分，錯一個選項得 4 分，錯二個選項得 2 分，錯三個或三個以上的選項得 0 分)

已知兩函數

f (x) = 1 0^{x}

與

g (x) = lo g x

，試選出正確的選項。

(A) 若 $f (a) = 3$ ，則 $g (27) = 3 a$
(B) $\frac{f ( 2020 )}{f ( 2021 )} = \frac{f ( 2021 )}{f ( 2022 )}$
(C) $g (2021) - g (2020) = g (2022) - g (2021)$
(D) 若 $P$ 、 $Q$ 為 $f (x) = 1 0^{x}$ 的圖形上兩相異點，則直線 $P Q$ 的斜率必為正數
(E) 若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 在函數 $g (x)$ 的定義域內，則 $\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} \leq f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})$

若

y = 2^{x}

之圖形為

Γ

，

y = - 2^{x + 1}

之圖形為 A，

y = 8 \cdot 2^{x} - 1

之圖形為 B，

y = \frac{1}{4} \cdot 2^{x} + 1

之圖形為 C，

y = (\frac{1}{2})^{x - 2}

之圖形為 D，

y = - \frac{1}{2} \cdot 2^{x}

的圖形為 E，試選出正確的選項。

(A) A 之圖形為 $Γ$ 之圖形對 $x$ 軸對稱，再向左平移 1 單位
(B) B 之圖形為 $Γ$ 之圖形向左平移 3 單位，向下平移 1 單位
(C) C 之圖形為 $Γ$ 之圖形向右平移 2 單位，向上平移 1 單位
(D) D 之圖形為 $Γ$ 之圖形對 $x$ 軸對稱，再向右平移 2 單位
(E) E 之圖形為 $Γ$ 之圖形對 $x$ 軸對稱，再向左平移 1 單位

函數

y = f (x) = lo g_{a} x

，

a > 1

，試選出所有正確的選項。

(A) 漸近線是 $x = 0$
(B) $f (1) > 0$
(C) 點 $(\frac{1}{a}, - 1)$ 在 $y = lo g_{a} x$ 的圖形上
(D) 若 $(h, \frac{1}{2})$ 是 $y = lo g_{a} x$ 圖形上一點，則 $h < 1$
(E) 若 $α < β$ ，則 $lo g_{a} \frac{α + β}{2} < \frac{lo g _{a} α + lo g _{a} β}{2}$

下列各方程式中，哪些恰有 2 個實根？

(A) $2^{x} = x^{2} + 1$
(B) $2^{- x} = (x + 1)^{2}$
(C) $2^{∣ x ∣} = x + 1$
(D) $lo g_{\frac{1}{2}} ∣ x ∣ = ∣ x ∣$
(E) $lo g_{2} x = x$

二、填充題(每格 5 分)

第 5、6 題為題組（原卷填充第 1 題）（第 5～6 題）　設

y = sin (\frac{π}{6} - 2 x) + cos 2 x

。

(1) 若

y = a sin (2 x + b)

，其中

a > 0

、

0 \leq b < 2 π

，求數對

(a, b) =

＿＿＿＿。

(2) 若

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

，且

y

之最大值 M 與最小值 m，求數對 (M，m)

=

＿＿＿＿。

2 \cdot 4^{x} - 17 \cdot 2^{x} + 8 \leq 0

之解為＿＿＿＿。

方程式

3 lo g_{x} 2 - 2 lo g_{2} x = - 1

之解為＿＿＿＿。

將

(\frac{1}{6})^{100}

表示成小數時，其在小數點後第＿＿＿＿位開始出現不為 0 的數字。

lo g_{0.5} (x^{2} - 3 x - 10) > - 3

之解為＿＿＿＿。

設

lo g 2 = a

、

lo g 3 = b

，試用

a

、

b

表示

lo g_{15} 80

的值為＿＿＿＿。

已知

a = 2^{\frac{1}{2}}

，

b = 3^{\frac{1}{3}}

，

c = 4^{\frac{1}{4}}

，

d = 5^{\frac{1}{5}}

，則

a, b, c, d

四個數之間的大小關係為＿＿＿＿。

老王的長子今年 2 歲，為預籌長子將來的教育升學基金，將手頭上的二百萬元存入銀行，年利率

3%

，試問每年複利計息一次，至少需要＿＿＿＿年，本利和才會超過三百萬元。（無條件進入到整數位）（已知

lo g 1.03 \approx 0.0128

，

lo g 1.3 \approx 0.1139

）

lo g 15 + 4 lo g 25 - \frac{2}{3} lo g 216 + 5^{l o g 30} \cdot (\frac{1}{2})^{l o g \frac{1}{3}} =

＿＿＿＿。

三、計算題(共 26 分，無計算過程不予計分)

第 15、16 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 15～16 題）　pH 值是衡量溶液酸鹼程度的標準，它的定義為：pH 值

= - lo g [H^{+}]

，其中

[H^{+}]

為氫離子的濃度（莫耳／升）。今有 pH 值分別為

2.5

與

4.5

的甲、乙兩種酸性溶液，試問：

(1) 甲溶液氫離子濃度是乙溶液氫離子濃度的多少倍？(3 分)

(2) 若將甲、乙兩種酸性溶液依體積 4 比 5 的比例混合，則混合溶液的 pH 值為何？（四捨五入至小數點後第二位）(5 分)

有一半徑 20 公尺的半圓形觀光花園，想在上面蓋一"T"字型的木橋方便遊客參觀，如圖

\overline{A B} ⊥ \overline{O M}

，試求此木橋總長

\overline{A B} + \overline{O M}

的最大值為何？此時，

\overline{O M} =

？(6 分)

載入中...

第 18～20 題為題組（原卷計算第 3 題）（第 18～20 題）　根據牛頓冷卻定律可知：如果物體的初始溫度為攝氏

a

度，當時的環境溫度為攝氏

b

度，經過

t

小時後，物體的溫度為攝氏

f (t)

度，則

f (t) = b + (a - b) \cdot 3^{- r t}

，其中

r

為與物體有關的一個常數。今有一杯咖啡用

8 8^{\circ} C

的開水沖泡，放置於

2 8^{\circ} C

的環境中，30 分鐘後，測得咖啡溫度為

4 6^{\circ} C

。試問：

(1)

3^{- r} =

？(3 分)

(2) 若咖啡用

8 8^{\circ} C

的開水沖泡後，放置於

2 8^{\circ} C

的環境中 1.5 小時，咖啡溫度約為多少度？（四捨五入到整數位）(4 分)

(3) 若咖啡用

8 8^{\circ} C

的開水沖泡後，放置於

2 8^{\circ} C

的環境中，自然靜置約幾分鐘是

5 8^{\circ} C

呢？（四捨五入到整數位）(5 分)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)(D)

第 2 題(A)(B)(C)

第 3 題(A)(C)

第 4 題(C)(D)(E)

第 5 題

(3, \frac{2 π}{3})

第 6 題

(\frac{3}{2}, - 3)

第 7 題

- 1 \leq x \leq 3

第 8 題

x = 22

或

x = \frac{1}{2}

第 9 題

78

第 10 題

- 3 < x < - 2

或

5 < x < 6

第 11 題

\frac{3 a + 1}{1 - a + b}

第 12 題

b > a = c > d

第 13 題

14

第 14 題

18

第 15 題

100

倍

第 16 題約

2.85

第 17 題最大值

205

公尺，此時

\overline{O M} = 45

公尺

第 18 題

\frac{9}{100}

第 19 題約

3 0^{\circ} C

第 20 題約

17

分鐘

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題（第 1～4 題）：指數與對數函數的性質、平移對稱、實根個數

第 1 題

(A) 正確。 $f (a) = 1 0^{a} = 3$ ，所以 $a = lo g 3$ 。

$g (27) = lo g 27 = 3 lo g 3 = 3 a$ 。

(B) 正確。 兩邊都等於 $1 0^{- 1}$ ：

$\frac{1 0 ^{2020}}{1 0 ^{2021}} = \frac{1}{10} = \frac{1 0 ^{2021}}{1 0 ^{2022}}$

$202 1^{2} = 2020 \times 2022 + 1$ ，所以 $\frac{2021}{2020} > \frac{2022}{2021}$ ，左邊較大，不相等。

(D) 正確。 $f (x) = 1 0^{x}$ 是遞增函數：橫坐標較大的點，縱坐標也較大，連線斜率必為正。

(E) 錯誤。 由算幾不等式（ $1 0^{x_{1}}$ 、 $1 0^{x_{2}}$ 都是正數）：

$\frac{1 0 ^{x_{1}} + 1 0 ^{x_{2}}}{2} \geq 1 0^{x_{1}} \cdot 1 0^{x_{2}} = 1 0^{\frac{x _{1} + x _{2}}{2}}$

不等號方向與選項相反； $x_{1} \neq = x_{2}$ 時更是嚴格大於。例如 $x_{1} = 1$ 、 $x_{2} = 3$ ：左邊 $505$ ，右邊 $100$ 。

答案 (A)(B)(D)。

載入中...

(E) 的幾何意義：

y = 1 0^{x}

凹向上，圖形上任兩點連線的中點在圖形上方（見圖），所以「兩函數值的平均」大於「平均處的函數值」。

第 2 題

先把每個式子改寫成 $2^{□}$ 的樣子，再看平移與對稱。

(A) 正確。 $y = - 2^{x + 1}$ ： $y = 2^{x}$ 對 $x$ 軸對稱得 $y = - 2^{x}$ ，再把 $x$ 換成 $x + 1$ （向左平移 1 單位）。

(B) 正確。 $8 \cdot 2^{x} - 1 = 2^{x + 3} - 1$ ：向左平移 3 單位、向下平移 1 單位。

(D) 錯誤。 $(\frac{1}{2})^{x - 2} = 2^{- (x - 2)}$ ：是 $y = 2^{x}$ 對 $y$ 軸對稱得 $y = 2^{- x}$ ，再向右平移 2 單位；不是對 $x$ 軸對稱（ $y$ 值都是正的，不會翻到 $x$ 軸下方）。

(E) 錯誤。 $- \frac{1}{2} \cdot 2^{x} = - 2^{x - 1}$ ：對 $x$ 軸對稱後要向右平移 1 單位，不是向左。

答案 (A)(B)(C)。

載入中...

前面的係數若是

2

的次方，可以併進指數變成左右平移：

8 \cdot 2^{x} = 2^{x + 3}

、

\frac{1}{4} \cdot 2^{x} = 2^{x - 2}

、

\frac{1}{2} \cdot 2^{x} = 2^{x - 1}

。

第 3 題

(A) 正確。 定義域 $x > 0$ ， $x$ 越接近 $0$ ， $lo g_{a} x$ 越往下（ $a > 1$ ），圖形越貼近 $y$ 軸，漸近線是 $x = 0$ 。

(B) 錯誤。 $f (1) = lo g_{a} 1 = 0$ ，不是大於 $0$ 。

(D) 錯誤。 $lo g_{a} h = \frac{1}{2}$ ，所以 $h = a^{\frac{1}{2}} = a > 1$ （因為 $a > 1$ ）。

(E) 錯誤。 $α$ 、 $β$ 在定義域內，都是正數。右邊 $= lo g_{a} α β$ 。

由算幾不等式， $α < β$ 時 $\frac{α + β}{2} > α β$ ； $a > 1$ 時 $lo g_{a}$ 遞增，所以

$lo g_{a} \frac{α + β}{2} > \frac{lo g _{a} α + lo g _{a} β}{2}$

不等號方向與選項相反。

答案 (A)(C)。

載入中...

第 4 題

把每個方程式看成兩個圖形的交點。

(A) 錯誤。 $x = 0$ （ $1 = 1$ ）與 $x = 1$ （ $2 = 2$ ）都是根。

再看 $x = 4$ ： $16 < 17$ ； $x = 5$ ： $32 > 26$ ，在 $4$ 與 $5$ 之間還有一根。至少 $3$ 個實根，不是恰 $2$ 個。

(B) 錯誤。 兩邊都不是負數，開平方後同解： $(2)^{- x} = ∣ x + 1∣$ 。

① $x > 0$ ：左邊 $< 1 < x + 1$ ，沒有根； $x = 0$ 是根。

② $- 1 \leq x < 0$ ：左邊 $> 1 > ∣ x + 1∣$ ，沒有根。

③ $x < - 1$ ：令 $t = - x > 1$ ，要解 $(2)^{t} = t - 1$ 。

$1 < t \leq 2$ 時，左邊 $> 2 > 1 \geq t - 1$ 。

$2 < t < 4$ 時，凹向上的 $y = (2)^{t}$ 在 $(0, 1)$ 、 $(2, 2)$ 兩點連線的延長線 $y = 1 + \frac{t}{2}$ 上方，而 $1 + \frac{t}{2} > t - 1$ 。

$t \geq 4$ 時，改用 $(2, 2)$ 、 $(4, 4)$ 連線的延長線 $y = t$ ：左邊 $\geq t > t - 1$ 。三段都沒有根。

恰 $1$ 個實根。

$x \geq 0$ 時解 $2^{x} = x + 1$ ： $x = 0$ 、 $x = 1$ 都是根； $y = 2^{x}$ 凹向上，直線和它最多交兩點，恰 $2$ 個實根。

(D) 正確。 兩邊只和 $∣ x ∣$ 有關，先看 $x > 0$ ： $lo g_{\frac{1}{2}} x = x$ 。

左邊遞減、右邊遞增，最多一個交點； $x = \frac{1}{2}$ 時 $1 > \frac{1}{2}$ ， $x = 1$ 時 $0 < 1$ ，在 $\frac{1}{2}$ 與 $1$ 之間恰有一根。

由對稱， $x < 0$ 也恰有一根，共 $2$ 個實根。

(E) 正確。 $x > 0$ ， $lo g_{2} x = x$ 即 $(2)^{x} = x$ 。

$x = 2$ ： $2 = 2$ ； $x = 4$ ： $4 = 4$ ，都是根。 $y = (2)^{x}$ 凹向上，直線 $y = x$ 最多交兩點，恰 $2$ 個實根。

答案 (C)(D)(E)。

載入中...

(A) 的第三根約在

x \approx 4.26

，畫圖時若只畫到

x = 3

很容易漏掉。(B) 用到「凹向上的圖形，在任一條弦的延長線外側都位於延長線上方」：若圖形在延長線外側某處落到線下，那一段弧連同原來的弦會讓圖形在那裡凹向下，與凹向上矛盾。詳解圖右半畫的就是 (B)：

y = (2)^{t}

一路在兩條延長線（虛線）上方，也就在

y = t - 1

上方。凹向上的圖形與一條直線最多交兩點；但與拋物線可以交三點以上，所以 (A) 不能用同樣的理由說「最多兩點」。

02填充題（第 5～14 題，原卷填充第 1～9 題）：疊合、指對數方程式與不等式、對數的計算與應用

第 5 題

① 和差角展開：

$sin (\frac{π}{6} - 2 x) = \frac{1}{2} cos 2 x - \frac{3}{2} sin 2 x$

② 合併： $y = - \frac{3}{2} sin 2 x + \frac{3}{2} cos 2 x$ 。

③ 振幅 $a = \frac{3}{4} + \frac{9}{4} = 3$ 。

④ $a sin (2 x + b) = a cos b sin 2 x + a sin b cos 2 x$ ，比較係數：

$cos b = \frac{- \frac{3}{2}}{3} = - \frac{1}{2}, sin b = \frac{\frac{3}{2}}{3} = \frac{3}{2}$

$b$ 在第二象限， $0 \leq b < 2 π$ ，得 $b = \frac{2 π}{3}$ 。

答案 $(3, \frac{2 π}{3})$ 。

第 6 題

由第 5 題， $y = 3 sin (2 x + \frac{2 π}{3})$ 。

① $0 \leq x \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\frac{2 π}{3} \leq 2 x + \frac{2 π}{3} \leq \frac{5 π}{3}$ 。

② 在這個範圍內， $sin$ 的最大值在左端 $\frac{2 π}{3}$ ： $\frac{3}{2}$ ；最小值在 $\frac{3 π}{2}$ ： $- 1$ 。

③ $M = 3 \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ ， $m = 3 \times (- 1) = - 3$ 。

答案 $(\frac{3}{2}, - 3)$ 。

載入中...

最大值不是振幅

3

：角度範圍從

\frac{2 π}{3}

開始，碰不到

\frac{π}{2}

。最小值發生在

2 x + \frac{2 π}{3} = \frac{3 π}{2}

，即

x = \frac{5 π}{12}

。

第 7 題

① 令 $t = 2^{x} > 0$ ， $4^{x} = t^{2}$ ：

$2 t^{2} - 17 t + 8 \leq 0$

② 因式分解 $(2 t - 1) (t - 8) \leq 0$ ，得 $\frac{1}{2} \leq t \leq 8$ 。

③ $2^{- 1} \leq 2^{x} \leq 2^{3}$ ，底數 $2 > 1$ ，不等號方向不變： $- 1 \leq x \leq 3$ 。

答案 $- 1 \leq x \leq 3$ 。

載入中...

第 8 題

① 底數條件： $x > 0$ 且 $x \neq = 1$ 。

② 令 $u = lo g_{2} x$ ，則 $lo g_{x} 2 = \frac{1}{u}$ （ $u \neq = 0$ ）：

$\frac{3}{u} - 2 u = - 1$

③ 兩邊乘 $u$ 整理： $2 u^{2} - u - 3 = 0$ ， $(2 u - 3) (u + 1) = 0$ ， $u = \frac{3}{2}$ 或 $u = - 1$ 。

④ $x = 2^{\frac{3}{2}} = 22$ 或 $x = 2^{- 1} = \frac{1}{2}$ ，都符合底數條件。

答案 $x = 22$ 或 $x = \frac{1}{2}$ 。

第 9 題

① 取常用對數（卷面未附，用常見近似值 $lo g 2 \approx 0.3010$ 、 $lo g 3 \approx 0.4771$ ）：

$lo g (\frac{1}{6})^{100} = - 100 lo g 6 \approx - 100 \times 0.7781 = - 77.81$

② $- 77.81 = - 78 + 0.19$ ，所以 $(\frac{1}{6})^{100} = 1 0^{0.19} \times 1 0^{- 78}$ ，而 $1 < 1 0^{0.19} < 10$ 。

③ 也就是「 $1$ 到 $10$ 之間的數」乘 $1 0^{- 78}$ ，首位非零數字在小數點後第 $78$ 位。

答案 $78$ 。

首數取「不大於

- 77.81

的最大整數」

- 78

，不是

- 77

。

1 0^{0.19} \approx 1.5

，所以這個數字是

1

。

第 10 題

① 真數條件： $x^{2} - 3 x - 10 > 0$ ，即 $(x + 2) (x - 5) > 0$ ， $x < - 2$ 或 $x > 5$ 。

② $- 3 = lo g_{0.5} 8$ 。底數 $0.5 < 1$ ，函數遞減，不等號反向：

$x^{2} - 3 x - 10 < 8$

③ $x^{2} - 3 x - 18 < 0$ ， $(x + 3) (x - 6) < 0$ ， $- 3 < x < 6$ 。

④ 兩者取交集（見數線）： $- 3 < x < - 2$ 或 $5 < x < 6$ 。

答案 $- 3 < x < - 2$ 或 $5 < x < 6$ 。

載入中...

第 11 題

① 換底： $lo g_{15} 80 = \frac{lo g 80}{lo g 15}$ 。

② 分子： $lo g 80 = lo g (2^{3} \times 10) = 3 a + 1$ 。

③ 分母： $lo g 15 = lo g 3 + lo g 5 = b + (1 - a)$ ，其中 $lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - a$ 。

$lo g_{15} 80 = \frac{3 a + 1}{1 - a + b}$

答案 $\frac{3 a + 1}{1 - a + b}$ 。

第 12 題

① $c = 4^{\frac{1}{4}} = (2^{2})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = a$ 。

② 比 $a$ 、 $b$ ：同時 $6$ 次方， $a^{6} = 2^{3} = 8$ ， $b^{6} = 3^{2} = 9$ ，所以 $b > a$ 。

③ 比 $a$ 、 $d$ ：同時 $10$ 次方， $a^{10} = 2^{5} = 32$ ， $d^{10} = 5^{2} = 25$ ，所以 $a > d$ 。

④ 都是正數，次方比大小與原數比大小一致。

答案 $b > a = c > d$ 。

近似值：

a = c \approx 1.414

，

b \approx 1.442

，

d \approx 1.380

。

第 13 題

① 設存 $n$ 年，本利和 $200 \times 1.0 3^{n}$ 萬元，要

$200 \times 1.0 3^{n} > 300, 1.0 3^{n} > 1.5$

② 取常用對數： $n lo g 1.03 > lo g 1.5 = lo g 3 - lo g 2 \approx 0.4771 - 0.3010 = 0.1761$ 。

③ $n > \frac{0.1761}{0.0128} \approx 13.76$ ， $n$ 取整數，至少 $14$ 年。

答案 $14$ 。

卷面附的是

lo g 1.3 \approx 0.1139

，但本利和要從

200

萬變成

300

萬，是

1.5

倍，題意要用的是

lo g 1.5

，疑為卷面印誤；照印出來的題目算，答案是

14

（若誤用

lo g 1.3

會得到

9

，那是本利和超過

260

萬所需的年數）。

lo g 1.5

要自己用

lo g 2

、

lo g 3

算。「長子今年 2 歲」也與計算無關。代回檢查：

1.0 3^{13} \approx 1.469 < 1.5

，

1.0 3^{14} \approx 1.513 > 1.5

。

第 14 題

前三項與後兩項分開算。

① $4 lo g 25 = lo g (25)^{4} = lo g 400$ 。

② $\frac{2}{3} lo g 216 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} lo g 216 = \frac{1}{3} lo g 6^{3} = lo g 6$ 。

③ 前三項： $lo g \frac{15 \times 400}{6} = lo g 1000 = 3$ 。

④ $(\frac{1}{2})^{l o g \frac{1}{3}} = 2^{- l o g \frac{1}{3}} = 2^{l o g 3}$ ； $5^{l o g 30} = 5^{1 + l o g 3} = 5 \cdot 5^{l o g 3}$ 。

⑤ 後兩項： $5 \cdot 5^{l o g 3} \cdot 2^{l o g 3} = 5 \cdot 1 0^{l o g 3} = 5 \times 3 = 15$ 。

⑥ 合計 $3 + 15 = 18$ 。

答案 $18$ 。

關鍵是

5^{p} \cdot 2^{p} = 1 0^{p}

與

1 0^{l o g 3} = 3

。

指對數不等式先寫真數或代換後的範圍，再看底數大於或小於 1 決定不等號方向；含 a 的 log b 次方的式子，湊成 10 的 log 次方就能化簡。

03計算題（第 15～20 題，原卷計算第 1～3 題）：pH 值、疊合求最大值、冷卻定律

第 15 題

① 由定義 $[H^{+}] = 1 0^{- pH}$ 。

② 甲： $1 0^{- 2.5}$ ；乙： $1 0^{- 4.5}$ 。

$\frac{1 0 ^{- 2.5}}{1 0 ^{- 4.5}} = 1 0^{2} = 100$

答：甲溶液氫離子濃度是乙溶液的 $100$ 倍。

第 16 題

① 設甲取 $4 V$ 升、乙取 $5 V$ 升，氫離子總量：

$4 V \cdot 1 0^{- 2.5} + 5 V \cdot 1 0^{- 4.5} = V \cdot 1 0^{- 4.5} (400 + 5) = 405 V \cdot 1 0^{- 4.5}$

② 混合後體積 $9 V$ ，濃度 $\frac{405}{9} \times 1 0^{- 4.5} = 45 \times 1 0^{- 4.5}$ 。

③ pH $= - lo g (45 \times 1 0^{- 4.5}) = 4.5 - lo g 45$ 。

④ $lo g 45 = lo g \frac{90}{2} = 2 lo g 3 + 1 - lo g 2 \approx 0.9542 + 1 - 0.3010 = 1.6532$ 。

⑤ pH $\approx 4.5 - 1.6532 = 2.8468$ ，四捨五入為 $2.85$ 。

答：約 $2.85$ 。

混合後的濃度是「氫離子總量除以總體積」，不是把兩個 pH 值依

4 : 5

加權平均（那樣會得到約

3.61

，是錯的）。

第 17 題

① 連 $\overline{O B} = 20$ ，設 $\overline{O B}$ 與直徑的夾角為 $θ$ （ $0 < θ < \frac{π}{2}$ ）。

② $\overline{A B}$ 平行直徑、 $\overline{O M} ⊥ \overline{A B}$ ， $M$ 是 $\overline{A B}$ 中點：

$\overline{O M} = 20 sin θ, \overline{A B} = 2 \times 20 cos θ = 40 cos θ$

③ 總長 $L = 40 cos θ + 20 sin θ$ 。

④ 疊合： $L = 205 sin (θ + φ)$ ，其中 $cos φ = \frac{1}{5}$ 、 $sin φ = \frac{2}{5}$ （ $φ$ 是銳角）。

⑤ $θ + φ = \frac{π}{2}$ 時 $L$ 最大 $= 205$ ；此時 $θ = \frac{π}{2} - φ$ ，在 $0$ 與 $\frac{π}{2}$ 之間，可以取到。

⑥ 這時 $sin θ = cos φ = \frac{1}{5}$ ， $\overline{O M} = 20 \times \frac{1}{5} = 45$ 。

答：最大值 $205$ 公尺，此時 $\overline{O M} = 45$ 公尺。

載入中...

205 \approx 44.7

公尺，

45 \approx 8.9

公尺；此時

\overline{A B} = 40 \times \frac{2}{5} = 165 \approx 35.8

公尺。

M

是

\overline{A B}

中點，因為圓心到弦的垂足是弦的中點。

第 18 題

① $a = 88$ ， $b = 28$ ： $f (t) = 28 + 60 \cdot 3^{- r t}$ 。

② 30 分鐘 $= \frac{1}{2}$ 小時， $f (\frac{1}{2}) = 46$ ：

$28 + 60 \cdot 3^{- \frac{r}{2}} = 46, 3^{- \frac{r}{2}} = \frac{18}{60} = 0.3$

③ 兩邊平方： $3^{- r} = 0. 3^{2} = 0.09$ 。

答： $3^{- r} = \frac{9}{100}$ 。

第 19 題

① $3^{- 1.5 r} = (3^{- \frac{r}{2}})^{3} = 0. 3^{3} = 0.027$ 。

② $f (1.5) = 28 + 60 \times 0.027 = 28 + 1.62 = 29.62$ 。

③ 四捨五入到整數位： $30$ 。

答：約 $3 0^{\circ} C$ 。

第 20 題

① 設經過 $s$ 分鐘， $t = \frac{s}{60}$ 小時； $3^{- r t} = (3^{- \frac{r}{2}})^{\frac{s}{30}} = 0. 3^{\frac{s}{30}}$ 。

② $28 + 60 \cdot 0. 3^{\frac{s}{30}} = 58$ ，得 $0. 3^{\frac{s}{30}} = \frac{1}{2}$ 。

③ 取常用對數： $\frac{s}{30} lo g 0.3 = lo g \frac{1}{2}$ ， $lo g 0.3 = lo g 3 - 1 \approx - 0.5229$ ， $lo g \frac{1}{2} = - lo g 2 \approx - 0.3010$ 。

$\frac{s}{30} = \frac{0.3010}{0.5229} \approx 0.5756, s \approx 17.27$

④ 四捨五入到整數位： $17$ 。

答：約 $17$ 分鐘。

載入中...

5 8^{\circ} C

恰好是溫差從

60

降到

30

，也就是溫差「減半」的時間。用

3^{- r} = 0.09

算也可以：

0.0 9^{t} = \frac{1}{2}

，

t lo g 0.09 = - lo g 2

，

t \approx \frac{0.3010}{1.0458} \approx 0.2878

小時，乘 60 得約

17.27

分鐘。

應用題先把題意寫成指數式，未知的常數用觀測值求出「每一段時間乘上的倍數」，之後的問題都用這個倍數的次方表示；求時間時兩邊取常用對數。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 110 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題要逐一判斷實根個數，2 的 x 次方等於 x 平方加 1 在 4 與 5 之間還有第三個根，2 的負 x 次方那一式要說明負的一側沒有根；第 6 題角度範圍從三分之二 π 開始，最大值不是振幅；第 13 題卷面給的是 log1.3，實際要用 log1.5；第 16 題混合溶液要先算氫離子總量再除以總體積。

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題目取自高雄新興高中 110 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

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01多重選擇題（第 1～4 題）：指數與對數函數的性質、平移對稱、實根個數

02填充題（第 5～14 題，原卷填充第 1～9 題）：疊合、指對數方程式與不等式、對數的計算與應用

03計算題（第 15～20 題，原卷計算第 1～3 題）：pH 值、疊合求最大值、冷卻定律

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高雄新興高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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