段考詳解範圍：隨機變數與機率分布、期望值、變異數與標準差

高雄新興高中 110 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 13 題，照原卷順序

單選題 2 題（每題 8 分，共 16 分）、多重選擇題 2 題（每題 8 分，共 16 分，答錯 1 個選項給 6 分，答錯 2 個選項給 4 分，答錯 3 個以上不給分）、填充題 9 題（每題 8 分，共 72 分）；卷面印的配分加起來是 104 分。本頁全卷連續編號：第 3、4 題是原卷多重選擇第 1、2 題，第 5～13 題是原卷填充第 1～9 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題：（每題 8 分，共 16 分）

某種彩券每張售價為

100

元，總共發行

10000

張，其中有

1

張獎金

200000

元，有

100

張獎金

1000

元，有

1000

張獎金

100

元，則買彩券

1

張，可得獎金期望值為多少元？

(A) $40$
(B) $60$
(C) $80$
(D) $100$
(E) $120$

擲一公正硬幣

10

次，若一次正面得

5

元，一次反面賠

2

元，則投

10

次後期望值為

(A) $30$ 元
(B) $20$ 元
(C) $15$ 元
(D) $12$ 元
(E) $0$ 元

二、多重選擇題：（每題 8 分，共 16 分，答錯 1 個選項給 6 分，答錯 2 個選項給 4 分，答錯 3 個以上不給分）

阿火與阿土同時射擊同一靶面一發子彈。根據以往經驗，阿火、阿土的命中率依次為

0.8

與

0.6

。已知兩人命中靶面的事件是獨立的，設

X

表命中靶面的子彈數，則

(A) $P (X = 0) = 0.08$
(B) $P (X = 1) = 0.32$
(C) $P (X = 2) = 0.48$
(D) $E (X) = 1.4$
(E) $E (X) = 0.7$

設

X

為隨機變數，且

X

的期望值

E (X) = 5

，變異數

Var (2 X - 3) = 36

，則下列敘述哪些正確？

(A) $X$ 的標準差 $σ (X) = 3$
(B) $E (2 X - 3) = 10$
(C) $Var (4 X - 1) = 144$
(D) $E (- 3 X + 7) = - 8$
(E) $Var (- 2 X + 3) = - 36$

三、填充題：（每題 8 分共 72 分）

一袋中有

2

個紅球，

3

個黑球及

4

個白球，今從袋中一次取

3

球，令

Z

表取中黑球的個數，試求：

P (Z = 3) =

____。

投擲

3

個公正的骰子，令

Y

表示點數相同的骰子個數，

P (Y = 0) =

____。

設函數

f (x)

為

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2^{- x}, a, 0, x = 1, 2, 3 x = 4 其他值

，若

f (x)

為一機率質量函數，試求

a

的值為 ____。

若刮刮樂彩券設計有

25

格，其中有一格中獎，

25

格中只能任意選刮一格，刮中中獎可得

3000

元，否則得

0

元，令

X

表得獎金的隨機變數，求

X

的期望值

=

____。

實力相等的甲、乙兩人進行比賽，規定先勝

3

場者可得獎金

80000

元，今比賽

2

場，甲均得勝，但因故停止不再比賽，試問甲應分配 ____ 元才算公平。

某次考試，一多重選擇題有 A、B、C、D、E 五個選項。給分標準為完全答對給

6

分，只答錯

1

個選項給

4

分，只答錯

2

個選項給

2

分，答錯

3

個或

3

個以上的選項得

0

分。若小明對該題的 A、B 選項已確定是應選的正確答案，但 C、D、E 三個選項根本看不懂，決定這三個選項用猜的來作答。求小明此題得分的變異數

=

____。

第 11～12 題為題組（原卷填充第 7、8 題）（第 11～12 題）　若

X

為離散型隨機變數，

X

的機率分布如下：

X 機率 - 10 0.3 - 5 0.2 0 0.2 5 0.2 10 0.1

請問

E (X^{2}) =

____。

承上題，

Var (X) =

____。

某高中三年級有忠、孝、仁、愛四班的籃球隊，擬由經抽籤決定的下列賽程進行單淘汰賽（輸一場即被淘汰）：假設忠班勝過其他任何一班的機率為

\frac{4}{5}

，孝班勝過其他任何一班的機率為

\frac{1}{5}

，仁、愛兩班的實力相當，勝負機率各為

\frac{1}{2}

。若任一場比賽皆須分出勝負，沒有和局。如果冠軍隊可獲得

6000

元獎學金，亞軍隊可獲得

4000

元獎學金，則孝班可獲得獎學金的期望值為 ____ 元。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(C)

第 3 題(A)(C)(D)

第 4 題(A)(C)(D)

第 5 題

\frac{1}{84}

第 6 題

\frac{5}{9}

第 7 題

\frac{1}{8}

第 8 題

120

第 9 題

70000

第 10 題

3

第 11 題

50

第 12 題

46

第 13 題

880

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：獎金與得失金額的期望值

第 1 題答案 (A)。買

1

張，拿到

200000

元的機率是

\frac{1}{10000}

，拿到

1000

元的機率是

\frac{100}{10000}

，拿到

100

元的機率是

\frac{1000}{10000}

，其餘沒有獎金。獎金的期望值是

200000 \times \frac{1}{10000} + 1000 \times \frac{100}{10000} + 100 \times \frac{1000}{10000} = 20 + 10 + 10 = 40 （元） .

題目問的是「可得獎金」的期望值，不必扣掉售價

100

元。也可以想成全部獎金

200000 + 100000 + 100000 = 400000

元平均分給

10000

張。

第 2 題答案 (C)。擲一次時，正面、反面的機率各是

\frac{1}{2}

，一次的得失金額期望值是

5 \times \frac{1}{2} + (- 2) \times \frac{1}{2} = 1.5

元。

10

次的總金額是

10

次各自金額的和，期望值也相加：

10 \times 1.5 = 15

元。

反面是「賠」

2

元，金額要記成

- 2

。

期望值是「每個可能的值乘上它的機率」再全部相加；幾個隨機變數相加，期望值也相加。

02多重選擇第 1、2 題（本頁第 3、4 題）：機率分布、一次式變換

第 3 題答案 (A)(C)(D)。阿火命中

0.8

、沒中

0.2

；阿土命中

0.6

、沒中

0.4

，兩人互相獨立，機率可以相乘。(A) ○：兩人都沒中，

P (X = 0) = 0.2 \times 0.4 = 0.08

。(B) ×：恰中一發有兩種情形，阿火中而阿土沒中是

0.8 \times 0.4 = 0.32

，阿火沒中而阿土中是

0.2 \times 0.6 = 0.12

，所以

P (X = 1) = 0.32 + 0.12 = 0.44

。(C) ○：兩人都中，

P (X = 2) = 0.8 \times 0.6 = 0.48

。(D) ○：

E (X) = 0 \times 0.08 + 1 \times 0.44 + 2 \times 0.48 = 1.4

。(E) ×：由 (D)，期望值是

1.4

，不是

0.7

。

三個機率

0.08 + 0.44 + 0.48 = 1

，可以用來檢查。選項 (B) 的

0.32

只算了兩種情形中的一種。

第 4 題答案 (A)(C)(D)。由

Var (2 X - 3) = 2^{2} Var (X) = 36

得

Var (X) = 9

。(A) ○：標準差是變異數的正平方根，

σ (X) = 9 = 3

。(B) ×：

E (2 X - 3) = 2 E (X) - 3 = 2 \times 5 - 3 = 7

。(C) ○：

Var (4 X - 1) = 4^{2} \times 9 = 144

。(D) ○：

E (- 3 X + 7) = - 3 \times 5 + 7 = - 8

。(E) ×：

Var (- 2 X + 3) = (- 2)^{2} \times 9 = 36

；變異數不會是負的。

選項 (A) 卷面印作「σX＝3」，就是

X

的標準差。

E (a X + b) = a E (X) + b

，

Var (a X + b) = a^{2} Var (X)

；加上常數不改變變異數，係數要平方。

03填充第 1～3 題（本頁第 5～7 題）：古典機率、機率總和為 1

第 5 題袋中共

2 + 3 + 4 = 9

球，一次取

3

球有

C_{3}^{9} = 84

種等機率的取法。

Z = 3

表示取出的

3

球全是黑球，黑球恰有

3

個，只有

C_{3}^{3} = 1

種取法，所以

P (Z = 3) = \frac{1}{84}

。

第 6 題

3

個骰子共有

6^{3} = 216

種等機率的結果。

Y = 0

表示沒有任何骰子的點數相同，也就是三個點數都不同：第一個有

6

種、第二個有

5

種、第三個有

4

種，共

6 \times 5 \times 4 = 120

種。所以

P (Y = 0) = \frac{120}{216} = \frac{5}{9}

。

Y

的可能值是

0

、

2

、

3

（不會恰有

1

個骰子「相同」）：

P (Y = 3) = \frac{6}{216}

，

P (Y = 2) = \frac{90}{216}

，三者相加是

1

。

第 7 題機率質量函數在所有可能值上的機率總和是

1

：

f (1) + f (2) + f (3) + f (4) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + a = 1,

所以

a = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}

。

2^{- x}

就是

\frac{1}{2 ^{x}}

；求出的

a

介於

0

與

1

之間，符合機率的要求。

先數清楚全部等機率的結果數，再數符合條件的結果數；所有可能值的機率加起來一定是

1

。

04填充第 4～6 題（本頁第 8～10 題）：期望值的應用、得分的變異數

第 8 題

25

格中任選一格，刮中的機率是

\frac{1}{25}

，沒中的機率是

\frac{24}{25}

。

E (X) = 3000 \times \frac{1}{25} + 0 \times \frac{24}{25} = 120

（元）。

第 9 題目前甲

2

勝、乙

0

勝，先勝

3

場的人得獎金，兩人每場獲勝的機率都是

\frac{1}{2}

。如果繼續比，乙要得獎金必須接下來連勝

3

場（中間只要輸一場，甲就先到

3

勝），機率是

(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}

，所以甲得獎金的機率是

1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}

。公平的分法是照各自得獎金的期望值分：甲應分配

80000 \times \frac{7}{8} = 70000

元（乙分配

10000

元）。

不是照已經贏的場數把獎金全給甲，也不是平分，而是照「如果比完，各自得獎的機率」分。直接算甲：下一場就贏

\frac{1}{2}

，第二場才贏

\frac{1}{4}

，第三場才贏

\frac{1}{8}

，合計

\frac{7}{8}

。

第 10 題A、B 兩個選項一定答對，會不會答錯只看 C、D、E。每個選項用猜的，猜對、猜錯的機率各是

\frac{1}{2}

，三個選項共有

2^{3} = 8

種等機率的結果：全對

1

種、恰錯

1

個

3

種、恰錯

2

個

3

種、錯

3

個

1

種。設得分為

X

，機率分布表是

X 機率 6 \frac{1}{8} 4 \frac{3}{8} 2 \frac{3}{8} 0 \frac{1}{8}

期望值

E (X) = \frac{6 \times 1 + 4 \times 3 + 2 \times 3 + 0 \times 1}{8} = \frac{24}{8} = 3

。平方的期望值

E (X^{2}) = \frac{36 \times 1 + 16 \times 3 + 4 \times 3 + 0 \times 1}{8} = \frac{96}{8} = 12

。所以

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 12 - 3^{2} = 3

。

本頁把「用猜的」讀成每個選項猜對、猜錯的機率各半，而且三個選項互不影響。

求變異數的步驟：列出機率分布表，算

E (X)

與

E (X^{2})

，再用

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}

。

05填充第 7、8 題（本頁第 11、12 題）：由機率分布表求變異數

第 11 題把每個值平方後乘上機率再相加：

E (X^{2}) = 100 \times 0.3 + 25 \times 0.2 + 0 \times 0.2 + 25 \times 0.2 + 100 \times 0.1 = 30 + 5 + 0 + 5 + 10 = 50.

(- 10)^{2} = 100

、

(- 5)^{2} = 25

，平方後都是正的。

第 12 題先求期望值：

E (X) = (- 10) \times 0.3 + (- 5) \times 0.2 + 0 \times 0.2 + 5 \times 0.2 + 10 \times 0.1 = - 3 - 1 + 0 + 1 + 1 = - 2

。所以

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 50 - (- 2)^{2} = 46

。

要減的是期望值的平方

4

，不是期望值

- 2

。

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}

，其中

E (X^{2})

是「各個值的平方乘上機率」的總和。

06填充第 9 題（本頁第 13 題）：單淘汰賽獎學金的期望值

第 13 題由賽程圖，第一輪是忠班對孝班、仁班對愛班，兩場的勝隊再比決賽；決賽贏的是冠軍，輸的是亞軍，第一輪就輸的沒有獎學金。孝班第一輪對忠班，獲勝的機率是

\frac{1}{5}

（與忠班勝孝班的機率

\frac{4}{5}

相符）。孝班進入決賽後，對手是仁班或愛班，不論是哪一班，孝班獲勝的機率都是

\frac{1}{5}

、落敗的機率都是

\frac{4}{5}

。所以孝班得冠軍的機率

= \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{25}

；孝班得亞軍的機率

= \frac{1}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{25}

；孝班沒有獎學金的機率

= \frac{4}{5} = \frac{20}{25}

。期望值

= 6000 \times \frac{1}{25} + 4000 \times \frac{4}{25} + 0 \times \frac{20}{25} = 240 + 640 = 880

（元）。

三個機率

\frac{1}{25} + \frac{4}{25} + \frac{20}{25} = 1

。決賽對手是仁班還是愛班不影響結果，因為孝班對任何一班的勝率都是

\frac{1}{5}

。

分階段的比賽先列出每一種名次要經過哪幾場勝負，把各場的機率相乘，再用名次的獎金乘上機率相加。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

高雄新興高中 110 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 13 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 110 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題恰好命中一發有兩種情形，要把兩種的機率加起來。第 6 題點數相同的骰子個數是零，指的是三個點數全部不同。第 10 題三個選項各有猜對猜錯兩種，共八種等機率的結果，得分的變異數要先列出得分的機率分布再算。第 13 題孝班要先贏忠班才有獎學金，贏了以後決賽不論贏或輸都有獎學金，兩種都要算進期望值。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高雄新興高中 110 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：隨機變數與機率分布、期望值、變異數與標準差

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高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 13 題，照原卷順序

一、單選題：（每題 8 分，共 16 分）

某種彩券每張售價為

100

元，總共發行

10000

張，其中有

1

張獎金

200000

元，有

100

張獎金

1000

元，有

1000

張獎金

100

元，則買彩券

1

張，可得獎金期望值為多少元？

(A) $40$
(B) $60$
(C) $80$
(D) $100$
(E) $120$

擲一公正硬幣

10

次，若一次正面得

5

元，一次反面賠

2

元，則投

10

次後期望值為

(A) $30$ 元
(B) $20$ 元
(C) $15$ 元
(D) $12$ 元
(E) $0$ 元

二、多重選擇題：（每題 8 分，共 16 分，答錯 1 個選項給 6 分，答錯 2 個選項給 4 分，答錯 3 個以上不給分）

阿火與阿土同時射擊同一靶面一發子彈。根據以往經驗，阿火、阿土的命中率依次為

0.8

與

0.6

。已知兩人命中靶面的事件是獨立的，設

X

表命中靶面的子彈數，則

(A) $P (X = 0) = 0.08$
(B) $P (X = 1) = 0.32$
(C) $P (X = 2) = 0.48$
(D) $E (X) = 1.4$
(E) $E (X) = 0.7$

設

X

為隨機變數，且

X

的期望值

E (X) = 5

，變異數

Var (2 X - 3) = 36

，則下列敘述哪些正確？

(A) $X$ 的標準差 $σ (X) = 3$
(B) $E (2 X - 3) = 10$
(C) $Var (4 X - 1) = 144$
(D) $E (- 3 X + 7) = - 8$
(E) $Var (- 2 X + 3) = - 36$

三、填充題：（每題 8 分共 72 分）

一袋中有

2

個紅球，

3

個黑球及

4

個白球，今從袋中一次取

3

球，令

Z

表取中黑球的個數，試求：

P (Z = 3) =

____。

投擲

3

個公正的骰子，令

Y

表示點數相同的骰子個數，

P (Y = 0) =

____。

設函數

f (x)

為

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2^{- x}, a, 0, x = 1, 2, 3 x = 4 其他值

，若

f (x)

為一機率質量函數，試求

a

的值為 ____。

若刮刮樂彩券設計有

25

格，其中有一格中獎，

25

格中只能任意選刮一格，刮中中獎可得

3000

元，否則得

0

元，令

X

表得獎金的隨機變數，求

X

的期望值

=

____。

實力相等的甲、乙兩人進行比賽，規定先勝

3

場者可得獎金

80000

元，今比賽

2

場，甲均得勝，但因故停止不再比賽，試問甲應分配 ____ 元才算公平。

某次考試，一多重選擇題有 A、B、C、D、E 五個選項。給分標準為完全答對給

6

分，只答錯

1

個選項給

4

分，只答錯

2

個選項給

2

分，答錯

3

個或

3

個以上的選項得

0

分。若小明對該題的 A、B 選項已確定是應選的正確答案，但 C、D、E 三個選項根本看不懂，決定這三個選項用猜的來作答。求小明此題得分的變異數

=

____。

第 11～12 題為題組（原卷填充第 7、8 題）（第 11～12 題）　若

X

為離散型隨機變數，

X

的機率分布如下：

X 機率 - 10 0.3 - 5 0.2 0 0.2 5 0.2 10 0.1

請問

E (X^{2}) =

____。

承上題，

Var (X) =

____。

某高中三年級有忠、孝、仁、愛四班的籃球隊，擬由經抽籤決定的下列賽程進行單淘汰賽（輸一場即被淘汰）：假設忠班勝過其他任何一班的機率為

\frac{4}{5}

，孝班勝過其他任何一班的機率為

\frac{1}{5}

，仁、愛兩班的實力相當，勝負機率各為

\frac{1}{2}

。若任一場比賽皆須分出勝負，沒有和局。如果冠軍隊可獲得

6000

元獎學金，亞軍隊可獲得

4000

元獎學金，則孝班可獲得獎學金的期望值為 ____ 元。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(C)

第 3 題(A)(C)(D)

第 4 題(A)(C)(D)

第 5 題

\frac{1}{84}

第 6 題

\frac{5}{9}

第 7 題

\frac{1}{8}

第 8 題

120

第 9 題

70000

第 10 題

3

第 11 題

50

第 12 題

46

第 13 題

880

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：獎金與得失金額的期望值

第 1 題答案 (A)。買

1

張，拿到

200000

元的機率是

\frac{1}{10000}

，拿到

1000

元的機率是

\frac{100}{10000}

，拿到

100

元的機率是

\frac{1000}{10000}

，其餘沒有獎金。獎金的期望值是

200000 \times \frac{1}{10000} + 1000 \times \frac{100}{10000} + 100 \times \frac{1000}{10000} = 20 + 10 + 10 = 40 （元） .

題目問的是「可得獎金」的期望值，不必扣掉售價

100

元。也可以想成全部獎金

200000 + 100000 + 100000 = 400000

元平均分給

10000

張。

第 2 題答案 (C)。擲一次時，正面、反面的機率各是

\frac{1}{2}

，一次的得失金額期望值是

5 \times \frac{1}{2} + (- 2) \times \frac{1}{2} = 1.5

元。

10

次的總金額是

10

次各自金額的和，期望值也相加：

10 \times 1.5 = 15

元。

反面是「賠」

2

元，金額要記成

- 2

。

期望值是「每個可能的值乘上它的機率」再全部相加；幾個隨機變數相加，期望值也相加。

02多重選擇第 1、2 題（本頁第 3、4 題）：機率分布、一次式變換

第 3 題答案 (A)(C)(D)。阿火命中

0.8

、沒中

0.2

；阿土命中

0.6

、沒中

0.4

，兩人互相獨立，機率可以相乘。(A) ○：兩人都沒中，

P (X = 0) = 0.2 \times 0.4 = 0.08

。(B) ×：恰中一發有兩種情形，阿火中而阿土沒中是

0.8 \times 0.4 = 0.32

，阿火沒中而阿土中是

0.2 \times 0.6 = 0.12

，所以

P (X = 1) = 0.32 + 0.12 = 0.44

。(C) ○：兩人都中，

P (X = 2) = 0.8 \times 0.6 = 0.48

。(D) ○：

E (X) = 0 \times 0.08 + 1 \times 0.44 + 2 \times 0.48 = 1.4

。(E) ×：由 (D)，期望值是

1.4

，不是

0.7

。

三個機率

0.08 + 0.44 + 0.48 = 1

，可以用來檢查。選項 (B) 的

0.32

只算了兩種情形中的一種。

第 4 題答案 (A)(C)(D)。由

Var (2 X - 3) = 2^{2} Var (X) = 36

得

Var (X) = 9

。(A) ○：標準差是變異數的正平方根，

σ (X) = 9 = 3

。(B) ×：

E (2 X - 3) = 2 E (X) - 3 = 2 \times 5 - 3 = 7

。(C) ○：

Var (4 X - 1) = 4^{2} \times 9 = 144

。(D) ○：

E (- 3 X + 7) = - 3 \times 5 + 7 = - 8

。(E) ×：

Var (- 2 X + 3) = (- 2)^{2} \times 9 = 36

；變異數不會是負的。

選項 (A) 卷面印作「σX＝3」，就是

X

的標準差。

E (a X + b) = a E (X) + b

，

Var (a X + b) = a^{2} Var (X)

；加上常數不改變變異數，係數要平方。

03填充第 1～3 題（本頁第 5～7 題）：古典機率、機率總和為 1

第 5 題袋中共

2 + 3 + 4 = 9

球，一次取

3

球有

C_{3}^{9} = 84

種等機率的取法。

Z = 3

表示取出的

3

球全是黑球，黑球恰有

3

個，只有

C_{3}^{3} = 1

種取法，所以

P (Z = 3) = \frac{1}{84}

。

第 6 題

3

個骰子共有

6^{3} = 216

種等機率的結果。

Y = 0

表示沒有任何骰子的點數相同，也就是三個點數都不同：第一個有

6

種、第二個有

5

種、第三個有

4

種，共

6 \times 5 \times 4 = 120

種。所以

P (Y = 0) = \frac{120}{216} = \frac{5}{9}

。

Y

的可能值是

0

、

2

、

3

（不會恰有

1

個骰子「相同」）：

P (Y = 3) = \frac{6}{216}

，

P (Y = 2) = \frac{90}{216}

，三者相加是

1

。

第 7 題機率質量函數在所有可能值上的機率總和是

1

：

f (1) + f (2) + f (3) + f (4) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + a = 1,

所以

a = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}

。

2^{- x}

就是

\frac{1}{2 ^{x}}

；求出的

a

介於

0

與

1

之間，符合機率的要求。

先數清楚全部等機率的結果數，再數符合條件的結果數；所有可能值的機率加起來一定是

1

。

04填充第 4～6 題（本頁第 8～10 題）：期望值的應用、得分的變異數

第 8 題

25

格中任選一格，刮中的機率是

\frac{1}{25}

，沒中的機率是

\frac{24}{25}

。

E (X) = 3000 \times \frac{1}{25} + 0 \times \frac{24}{25} = 120

（元）。

第 9 題目前甲

2

勝、乙

0

勝，先勝

3

場的人得獎金，兩人每場獲勝的機率都是

\frac{1}{2}

。如果繼續比，乙要得獎金必須接下來連勝

3

場（中間只要輸一場，甲就先到

3

勝），機率是

(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}

，所以甲得獎金的機率是

1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}

。公平的分法是照各自得獎金的期望值分：甲應分配

80000 \times \frac{7}{8} = 70000

元（乙分配

10000

元）。

不是照已經贏的場數把獎金全給甲，也不是平分，而是照「如果比完，各自得獎的機率」分。直接算甲：下一場就贏

\frac{1}{2}

，第二場才贏

\frac{1}{4}

，第三場才贏

\frac{1}{8}

，合計

\frac{7}{8}

。

第 10 題A、B 兩個選項一定答對，會不會答錯只看 C、D、E。每個選項用猜的，猜對、猜錯的機率各是

\frac{1}{2}

，三個選項共有

2^{3} = 8

種等機率的結果：全對

1

種、恰錯

1

個

3

種、恰錯

2

個

3

種、錯

3

個

1

種。設得分為

X

，機率分布表是

X 機率 6 \frac{1}{8} 4 \frac{3}{8} 2 \frac{3}{8} 0 \frac{1}{8}

期望值

E (X) = \frac{6 \times 1 + 4 \times 3 + 2 \times 3 + 0 \times 1}{8} = \frac{24}{8} = 3

。平方的期望值

E (X^{2}) = \frac{36 \times 1 + 16 \times 3 + 4 \times 3 + 0 \times 1}{8} = \frac{96}{8} = 12

。所以

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 12 - 3^{2} = 3

。

本頁把「用猜的」讀成每個選項猜對、猜錯的機率各半，而且三個選項互不影響。

求變異數的步驟：列出機率分布表，算

E (X)

與

E (X^{2})

，再用

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}

。

05填充第 7、8 題（本頁第 11、12 題）：由機率分布表求變異數

第 11 題把每個值平方後乘上機率再相加：

E (X^{2}) = 100 \times 0.3 + 25 \times 0.2 + 0 \times 0.2 + 25 \times 0.2 + 100 \times 0.1 = 30 + 5 + 0 + 5 + 10 = 50.

(- 10)^{2} = 100

、

(- 5)^{2} = 25

，平方後都是正的。

第 12 題先求期望值：

E (X) = (- 10) \times 0.3 + (- 5) \times 0.2 + 0 \times 0.2 + 5 \times 0.2 + 10 \times 0.1 = - 3 - 1 + 0 + 1 + 1 = - 2

。所以

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 50 - (- 2)^{2} = 46

。

要減的是期望值的平方

4

，不是期望值

- 2

。

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}

，其中

E (X^{2})

是「各個值的平方乘上機率」的總和。

06填充第 9 題（本頁第 13 題）：單淘汰賽獎學金的期望值

\frac{1}{5}

（與忠班勝孝班的機率

\frac{4}{5}

相符）。孝班進入決賽後，對手是仁班或愛班，不論是哪一班，孝班獲勝的機率都是

\frac{1}{5}

、落敗的機率都是

\frac{4}{5}

。所以孝班得冠軍的機率

= \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{25}

；孝班得亞軍的機率

= \frac{1}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{25}

；孝班沒有獎學金的機率

= \frac{4}{5} = \frac{20}{25}

。期望值

= 6000 \times \frac{1}{25} + 4000 \times \frac{4}{25} + 0 \times \frac{20}{25} = 240 + 640 = 880

（元）。

三個機率

\frac{1}{25} + \frac{4}{25} + \frac{20}{25} = 1

。決賽對手是仁班還是愛班不影響結果，因為孝班對任何一班的勝率都是

\frac{1}{5}

。

分階段的比賽先列出每一種名次要經過哪幾場勝負，把各場的機率相乘，再用名次的獎金乘上機率相加。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高雄新興高中 110 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高雄新興高中 110 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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04填充第 4～6 題（本頁第 8～10 題）：期望值的應用、得分的變異數

05填充第 7、8 題（本頁第 11、12 題）：由機率分布表求變異數

06填充第 9 題（本頁第 13 題）：單淘汰賽獎學金的期望值

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