段考詳解範圍：分布與統計（離散型隨機變數、期望值、變異數與標準差、二項分布、幾何分布）

高雄新興高中 110 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

複選題 2 題（每題 5 分，共 10 分；每題全對得 5 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個以上得 0 分）、填充題 11 題共 12 格（共 90 分，依答對格數給分：答對 1～12 格依序得 10、20、29、38、46、54、61、68、74、80、85、90 分；答案須化為最簡分數；卷面表頭印「答對題數」，共 12 欄對應 12 格），合計 100 分。本頁全卷連續編號：第 3～8 題是原卷填充第 1～6 題，第 9、10 題是填充第 7 題的 (1)(2)，第 11～14 題是填充第 8～11 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

第一大題：複選題（每題至少一個選項是正確的），每題 5 分，共 10 分（每題全對得 5 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個以上得 0 分）

對於隨機變數

X

，已知

E (X) = 3

、

Var (X) = 4

，下列何者正確？（選項 (B) 的下標卷面印作小寫

x

，依題意為隨機變數

X

）

(A) $E (X^{2}) = 13$
(B) $σ_{2 x} = 4$
(C) $E (2 X + 3) = 6$
(D) $E (5 - X) = 2$
(E) $σ_{- 2 X + 1} = - 4$

已知丟某枚銅板，期出現正面的機率為

p

，出現反面的機率為

(1 - p)

，將此枚銅板丟擲

n

次，再丟擲的過程中，出現第一次正面可得獎金

1

元，出現第二次正面時可再得獎機

2

元，出現第三次正面時再得獎金

3

元，依此類推。請問下列選項哪些正確？（卷面「期出現」「再丟擲的過程中」「獎機」依題意為「其出現」「在丟擲的過程中」「獎金」）

(A) 若 $n$ 次中共出現 $k$ 次正面，則共可獲得獎金 $\frac{1}{2} (k^{2} - k)$ 元
(B) 丟銅板第二次後，累計得獎金 $1$ 元的機率為 $2 (p - p^{2})$
(C) 總共得獎金 $2$ 元的機率為 $\frac{n ( n - 1 )}{2} p^{2} (1 - p)^{n - 2}$
(D) 總共得獎金 $\frac{1}{2} (n^{2} - n)$ 元的機率為 $n (p^{n - 1} - p^{n})$
(E) 此遊戲得到的獎金的機率分布為二項分布

第二大題：填充題，共 90 分（答對題數 1～12 依序得 10、20、29、38、46、54、61、68、74、80、85、90 分）※答案請化為最簡分數，否則不計分。

投擲一均勻的硬幣

3

次，則恰出現

2

次正面的機率為 ____。

投擲一公正的骰子

5

次，則至少出現

4

次點數大於

2

的機率為 ____。

一個二項分配

X \sim B (n, p)

中，其平均數為

60

且變異數為

36

，則序對

(n, p) =

____。

10

人玩抽球遊戲，每人從袋中（有

3

紅球和

1

白球）隨機一次抽取

2

球，觀察完顏色後再放回袋中，然後換下一個人。令

X

表示抽到

2

球皆為紅球的人數，試求：

Var (X) =

____。

一箱子中有

6

個燈泡，其中有

2

個是壞的，今從箱子中逐次一一取出試驗，取出不再放回，一直取到一個好的為止，試求取出燈泡個數的期望值為 ____。

袋中有編號

1

號至

10

號的卡片各一張，今任取一張，若取出

k

號，則可得

k (k + 1)

元，令

X

表取卡片所得的錢，求

X

的期望值為 ____ 元。

第 9～10 題為題組（原卷填充第 7 題）（第 9～10 題）　夜市中有一個遊戲方式為，一袋中裝有相同形狀大小的白球

3

顆、紅求

4

顆此外黑球、綠球、藍球各

1

顆，每次從袋中取兩球出來取後觀察顏色後放回袋中，一直重複此動作直到抽到兩顆同色球為止，令隨機變數

X

為遊戲停止時取球的次數，試求

E (X) =

____ (1) 和

Var (X) =

____ (2)。（卷面「紅求」為「紅球」之誤）

(1)

E (X) =

____

(2)

Var (X) =

____

同時投擲三粒公正的正六面體骰子一次，若三粒出現同點數可得

40

元；若三粒中恰二粒點數相同可得

20

元；若三粒點數均不同可得

1

元，則此次投擲三粒骰子所得金額的期望值為 ____ 元。

設隨機變數

X

表示擲一公正的骰子得到的點數，求

Var (X) =

____。

隨機變數

X

之機率質量函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{k}, 0, x = 1, 3, 5 其他

，則

E (18 X - 10) =

____。

兩個隨機變數

X

，

Y

，其中

Y = \frac{1}{3} X + 2

，滿足

E (X) = 3

，

Var (Y) = 4

，則

E (X^{2}) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)(D)

第 2 題(B)(D)

第 3 題

\frac{3}{8}

第 4 題

\frac{112}{243}

第 5 題

(150, \frac{2}{5})

第 6 題

\frac{5}{2}

第 7 題

\frac{7}{5}

第 8 題

44

第 9 題

5

第 10 題

20

第 11 題

10

第 12 題

\frac{35}{12}

第 13 題

60

第 14 題

45

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～2 題（原卷複選 1～2）：一次變換的性質、累加獎金

第 1 題答案 (A)(B)(D)。標準差

σ_{X} = Var (X) = 2

。(A) 對：由

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}

得

E (X^{2}) = 4 + 3^{2} = 13

。(B) 對：

σ_{2 X} = ∣2∣ σ_{X} = 2 \times 2 = 4

。(C) 錯：

E (2 X + 3) = 2 E (X) + 3 = 9

，不是

6

。(D) 對：

E (5 - X) = 5 - E (X) = 2

。(E) 錯：

σ_{- 2 X + 1} = ∣ - 2∣ σ_{X} = 4

；標準差不會是負的。

E (a X + b) = a E (X) + b

，

σ_{a X + b} = ∣ a ∣ σ_{X}

：加上常數不影響標準差，乘上

a

要乘

∣ a ∣

。

第 2 題答案 (B)(D)。出現第

1, 2, \dots, k

次正面時分別得

1, 2, \dots, k

元，所以

n

次中共出現

k

次正面時，總獎金是

1 + 2 + \dots + k = \frac{k ( k + 1 )}{2}

元；而正面次數服從二項分布

B (n, p)

，恰

k

次正面的機率是

C_{k}^{n} p^{k} (1 - p)^{n - k}

。(A) 錯：總獎金是

\frac{1}{2} (k^{2} + k)

，不是

\frac{1}{2} (k^{2} - k)

；例如

k = 1

時得

1

元，選項的式子卻是

0

。(B) 對：丟兩次後累計

1

元，表示兩次中恰一次正面，機率

C_{1}^{2} p (1 - p) = 2 (p - p^{2})

。(C) 錯：總獎金只可能是

0, 1, 3, 6, 10, \dots

，沒有任何正面次數會剛好得

2

元，所以機率是

0

；選項的式子

C_{2}^{n} p^{2} (1 - p)^{n - 2}

是恰

2

次正面的機率，那時的獎金是

3

元。(D) 對：

\frac{1}{2} (n^{2} - n) = \frac{( n - 1 ) n}{2}

是恰

n - 1

次正面的獎金，機率

C_{n - 1}^{n} p^{n - 1} (1 - p) = n (p^{n - 1} - p^{n})

。(E) 錯：服從二項分布的是正面的次數；獎金的取值

0, 1, 3, 6, \dots

不是連續的整數

0, 1, 2, \dots

，不是二項分布。

n \geq 2

且

0 < p < 1

時是正數，與機率

0

不相等（只有

n = 1

這類特殊情形兩邊才都是

0

），所以不能算正確。

先分清楚服從二項分布的是正面次數，獎金只是正面次數的函數。

02第 3～6 題（原卷填充 1～4）：二項分布

第 3 題正面次數服從

B (3, \frac{1}{2})

。恰

2

次正面的機率

= C_{2}^{3} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8}

。

第 4 題點數大於

2

即

3, 4, 5, 6

，每次機率

p = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

。

5

次中出現的次數服從

B (5, \frac{2}{3})

。恰

4

次：

C_{4}^{5} (\frac{2}{3})^{4} (\frac{1}{3}) = \frac{80}{243}

；恰

5

次：

(\frac{2}{3})^{5} = \frac{32}{243}

。所求

= \frac{80 + 32}{243} = \frac{112}{243}

。

第 5 題平均數

n p = 60

，變異數

n p (1 - p) = 36

。兩式相除得

1 - p = \frac{36}{60} = \frac{3}{5}

，

p = \frac{2}{5}

；

n = \frac{60}{p} = 150

。所以

(n, p) = (150, \frac{2}{5})

。

驗算：

150 \times \frac{2}{5} = 60

，

60 \times \frac{3}{5} = 36

。

第 6 題袋中

4

球任取

2

球有

C_{2}^{4} = 6

種，兩球皆紅有

C_{2}^{3} = 3

種，所以每個人抽到兩紅球的機率

p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

。每人抽完都放回，

10

人互不影響，

X

服從

B (10, \frac{1}{2})

。

Var (X) = n p (1 - p) = 10 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

。

二項分布的期望值與變異數相除就得到 1 − p，可以先求出 p 再求 n。

03第 7～8 題（原卷填充 5～6）：由機率分布求期望值

第 7 題

6

個燈泡中

4

好

2

壞，取出不放回。設取出的個數為

X

：

P (X = 1) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

；

P (X = 2) = \frac{2}{6} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{15}

（第一個壞、第二個好）；

P (X = 3) = \frac{2}{6} \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{4} = \frac{1}{15}

（前兩個都壞，剩下的全是好的）。壞的只有

2

個，最多取

3

個就停。

E (X) = 1 \times \frac{10}{15} + 2 \times \frac{4}{15} + 3 \times \frac{1}{15} = \frac{21}{15} = \frac{7}{5}

。

檢查：

\frac{10}{15} + \frac{4}{15} + \frac{1}{15} = 1

。取出不放回時每次取到好的機率會變，不是幾何分布，不能用

\frac{1}{p}

。

第 8 題每張卡片被取到的機率都是

\frac{1}{10}

，所以

E (X) = \frac{1}{10} k = 1 \sum 10 k (k + 1) = \frac{1}{10} (k = 1 \sum 10 k^{2} + k = 1 \sum 10 k) = \frac{1}{10} (385 + 55) = 44

（元）。

k = 1 \sum 10 k^{2} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385

，

k = 1 \sum 10 k = 55

。

04第 9～10 題（原卷填充 7）：幾何分布

第 9 題袋中共

3 + 4 + 1 + 1 + 1 = 10

顆球，任取兩球有

C_{2}^{10} = 45

種。兩球同色只可能是兩白或兩紅（黑、綠、藍各只有

1

顆）：

C_{2}^{3} + C_{2}^{4} = 3 + 6 = 9

種，所以每次取到同色的機率

p = \frac{9}{45} = \frac{1}{5}

。每次取後放回，各次互不影響，取到同色為止的次數

X

服從幾何分布，

E (X) = \frac{1}{p} = 5

。

第 10 題承上，

p = \frac{1}{5}

。幾何分布的變異數

Var (X) = \frac{1 - p}{p ^{2}} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{25}} = 20

。

取後放回、做到第一次成功為止，就是幾何分布：期望值是 p 的倒數。

05第 11～14 題（原卷填充 8～11）：期望值與變異數

第 11 題三粒骰子共

6^{3} = 216

種結果。三粒同點：

6

種；三粒點數均不同：

6 \times 5 \times 4 = 120

種；恰二粒相同：

216 - 6 - 120 = 90

種。期望值

= \frac{40 \times 6 + 20 \times 90 + 1 \times 120}{216} = \frac{240 + 1800 + 120}{216} = \frac{2160}{216} = 10

（元）。

恰二粒相同也可以直接數：選哪兩粒相同

C_{2}^{3} = 3

種，相同的點數

6

種，另一粒的點數

5

種，

3 \times 6 \times 5 = 90

。

第 12 題

X

取

1

到

6

的機率都是

\frac{1}{6}

。

E (X) = \frac{1 + 2 + \dots + 6}{6} = \frac{7}{2}

，

E (X^{2}) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}

。

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}

。

第 13 題機率總和為

1

：

\frac{1}{k} + \frac{3}{k} + \frac{5}{k} = \frac{9}{k} = 1

，得

k = 9

。

E (X) = 1 \times \frac{1}{9} + 3 \times \frac{3}{9} + 5 \times \frac{5}{9} = \frac{1 + 9 + 25}{9} = \frac{35}{9}

。

E (18 X - 10) = 18 E (X) - 10 = 70 - 10 = 60

。

第 14 題

Var (Y) = Var (\frac{1}{3} X + 2) = (\frac{1}{3})^{2} Var (X) = \frac{1}{9} Var (X) = 4

，所以

Var (X) = 36

。

E (X^{2}) = Var (X) + (E (X))^{2} = 36 + 9 = 45

。

變異數等於平方的期望值減去期望值的平方，三個量知道兩個就能求第三個。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

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常見問題

高雄新興高中 110 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 110 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題的獎金是累加的，出現 k 次正面共得 1 加到 k 元，所以總獎金只可能是 0、1、3、6 這類數，不可能剛好 2 元。第 7 題是取出不放回，最多取三個就一定拿到好的，不能套幾何分布的公式。第 9、10 題要先算出一次取兩球同色的機率，再用幾何分布的期望值與變異數。第 14 題要先由 Y 的變異數反推 X 的變異數，再加上期望值的平方。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高雄新興高中 110 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：分布與統計（離散型隨機變數、期望值、變異數與標準差、二項分布、幾何分布）

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

對於隨機變數

X

，已知

E (X) = 3

、

Var (X) = 4

，下列何者正確？（選項 (B) 的下標卷面印作小寫

x

，依題意為隨機變數

X

）

(A) $E (X^{2}) = 13$
(B) $σ_{2 x} = 4$
(C) $E (2 X + 3) = 6$
(D) $E (5 - X) = 2$
(E) $σ_{- 2 X + 1} = - 4$

已知丟某枚銅板，期出現正面的機率為

p

，出現反面的機率為

(1 - p)

，將此枚銅板丟擲

n

次，再丟擲的過程中，出現第一次正面可得獎金

1

元，出現第二次正面時可再得獎機

2

元，出現第三次正面時再得獎金

3

元，依此類推。請問下列選項哪些正確？（卷面「期出現」「再丟擲的過程中」「獎機」依題意為「其出現」「在丟擲的過程中」「獎金」）

(A) 若 $n$ 次中共出現 $k$ 次正面，則共可獲得獎金 $\frac{1}{2} (k^{2} - k)$ 元
(B) 丟銅板第二次後，累計得獎金 $1$ 元的機率為 $2 (p - p^{2})$
(C) 總共得獎金 $2$ 元的機率為 $\frac{n ( n - 1 )}{2} p^{2} (1 - p)^{n - 2}$
(D) 總共得獎金 $\frac{1}{2} (n^{2} - n)$ 元的機率為 $n (p^{n - 1} - p^{n})$
(E) 此遊戲得到的獎金的機率分布為二項分布

第二大題：填充題，共 90 分（答對題數 1～12 依序得 10、20、29、38、46、54、61、68、74、80、85、90 分）※答案請化為最簡分數，否則不計分。

投擲一均勻的硬幣

3

次，則恰出現

2

次正面的機率為 ____。

投擲一公正的骰子

5

次，則至少出現

4

次點數大於

2

的機率為 ____。

一個二項分配

X \sim B (n, p)

中，其平均數為

60

且變異數為

36

，則序對

(n, p) =

____。

10

人玩抽球遊戲，每人從袋中（有

3

紅球和

1

白球）隨機一次抽取

2

球，觀察完顏色後再放回袋中，然後換下一個人。令

X

表示抽到

2

球皆為紅球的人數，試求：

Var (X) =

____。

一箱子中有

6

個燈泡，其中有

2

個是壞的，今從箱子中逐次一一取出試驗，取出不再放回，一直取到一個好的為止，試求取出燈泡個數的期望值為 ____。

袋中有編號

1

號至

10

號的卡片各一張，今任取一張，若取出

k

號，則可得

k (k + 1)

元，令

X

表取卡片所得的錢，求

X

的期望值為 ____ 元。

第 9～10 題為題組（原卷填充第 7 題）（第 9～10 題）　夜市中有一個遊戲方式為，一袋中裝有相同形狀大小的白球

3

顆、紅求

4

顆此外黑球、綠球、藍球各

1

顆，每次從袋中取兩球出來取後觀察顏色後放回袋中，一直重複此動作直到抽到兩顆同色球為止，令隨機變數

X

為遊戲停止時取球的次數，試求

E (X) =

____ (1) 和

Var (X) =

____ (2)。（卷面「紅求」為「紅球」之誤）

(1)

E (X) =

____

(2)

Var (X) =

____

同時投擲三粒公正的正六面體骰子一次，若三粒出現同點數可得

40

元；若三粒中恰二粒點數相同可得

20

元；若三粒點數均不同可得

1

元，則此次投擲三粒骰子所得金額的期望值為 ____ 元。

設隨機變數

X

表示擲一公正的骰子得到的點數，求

Var (X) =

____。

隨機變數

X

之機率質量函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{k}, 0, x = 1, 3, 5 其他

，則

E (18 X - 10) =

____。

兩個隨機變數

X

，

Y

，其中

Y = \frac{1}{3} X + 2

，滿足

E (X) = 3

，

Var (Y) = 4

，則

E (X^{2}) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)(D)

第 2 題(B)(D)

第 3 題

\frac{3}{8}

第 4 題

\frac{112}{243}

第 5 題

(150, \frac{2}{5})

第 6 題

\frac{5}{2}

第 7 題

\frac{7}{5}

第 8 題

44

第 9 題

5

第 10 題

20

第 11 題

10

第 12 題

\frac{35}{12}

第 13 題

60

第 14 題

45

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～2 題（原卷複選 1～2）：一次變換的性質、累加獎金

第 1 題答案 (A)(B)(D)。標準差

σ_{X} = Var (X) = 2

。(A) 對：由

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}

得

E (X^{2}) = 4 + 3^{2} = 13

。(B) 對：

σ_{2 X} = ∣2∣ σ_{X} = 2 \times 2 = 4

。(C) 錯：

E (2 X + 3) = 2 E (X) + 3 = 9

，不是

6

。(D) 對：

E (5 - X) = 5 - E (X) = 2

。(E) 錯：

σ_{- 2 X + 1} = ∣ - 2∣ σ_{X} = 4

；標準差不會是負的。

E (a X + b) = a E (X) + b

，

σ_{a X + b} = ∣ a ∣ σ_{X}

：加上常數不影響標準差，乘上

a

要乘

∣ a ∣

。

第 2 題答案 (B)(D)。出現第

1, 2, \dots, k

次正面時分別得

1, 2, \dots, k

元，所以

n

次中共出現

k

次正面時，總獎金是

1 + 2 + \dots + k = \frac{k ( k + 1 )}{2}

元；而正面次數服從二項分布

B (n, p)

，恰

k

次正面的機率是

C_{k}^{n} p^{k} (1 - p)^{n - k}

。(A) 錯：總獎金是

\frac{1}{2} (k^{2} + k)

，不是

\frac{1}{2} (k^{2} - k)

；例如

k = 1

時得

1

元，選項的式子卻是

0

。(B) 對：丟兩次後累計

1

元，表示兩次中恰一次正面，機率

C_{1}^{2} p (1 - p) = 2 (p - p^{2})

。(C) 錯：總獎金只可能是

0, 1, 3, 6, 10, \dots

，沒有任何正面次數會剛好得

2

元，所以機率是

0

；選項的式子

C_{2}^{n} p^{2} (1 - p)^{n - 2}

是恰

2

次正面的機率，那時的獎金是

3

元。(D) 對：

\frac{1}{2} (n^{2} - n) = \frac{( n - 1 ) n}{2}

是恰

n - 1

次正面的獎金，機率

C_{n - 1}^{n} p^{n - 1} (1 - p) = n (p^{n - 1} - p^{n})

。(E) 錯：服從二項分布的是正面的次數；獎金的取值

0, 1, 3, 6, \dots

不是連續的整數

0, 1, 2, \dots

，不是二項分布。

n \geq 2

且

0 < p < 1

時是正數，與機率

0

不相等（只有

n = 1

這類特殊情形兩邊才都是

0

），所以不能算正確。

先分清楚服從二項分布的是正面次數，獎金只是正面次數的函數。

02第 3～6 題（原卷填充 1～4）：二項分布

第 3 題正面次數服從

B (3, \frac{1}{2})

。恰

2

次正面的機率

= C_{2}^{3} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8}

。

第 4 題點數大於

2

即

3, 4, 5, 6

，每次機率

p = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

。

5

次中出現的次數服從

B (5, \frac{2}{3})

。恰

4

次：

C_{4}^{5} (\frac{2}{3})^{4} (\frac{1}{3}) = \frac{80}{243}

；恰

5

次：

(\frac{2}{3})^{5} = \frac{32}{243}

。所求

= \frac{80 + 32}{243} = \frac{112}{243}

。

第 5 題平均數

n p = 60

，變異數

n p (1 - p) = 36

。兩式相除得

1 - p = \frac{36}{60} = \frac{3}{5}

，

p = \frac{2}{5}

；

n = \frac{60}{p} = 150

。所以

(n, p) = (150, \frac{2}{5})

。

驗算：

150 \times \frac{2}{5} = 60

，

60 \times \frac{3}{5} = 36

。

第 6 題袋中

4

球任取

2

球有

C_{2}^{4} = 6

種，兩球皆紅有

C_{2}^{3} = 3

種，所以每個人抽到兩紅球的機率

p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

。每人抽完都放回，

10

人互不影響，

X

服從

B (10, \frac{1}{2})

。

Var (X) = n p (1 - p) = 10 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

。

二項分布的期望值與變異數相除就得到 1 − p，可以先求出 p 再求 n。

03第 7～8 題（原卷填充 5～6）：由機率分布求期望值

第 7 題

6

個燈泡中

4

好

2

壞，取出不放回。設取出的個數為

X

：

P (X = 1) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

；

P (X = 2) = \frac{2}{6} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{15}

（第一個壞、第二個好）；

P (X = 3) = \frac{2}{6} \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{4} = \frac{1}{15}

（前兩個都壞，剩下的全是好的）。壞的只有

2

個，最多取

3

個就停。

E (X) = 1 \times \frac{10}{15} + 2 \times \frac{4}{15} + 3 \times \frac{1}{15} = \frac{21}{15} = \frac{7}{5}

。

檢查：

\frac{10}{15} + \frac{4}{15} + \frac{1}{15} = 1

。取出不放回時每次取到好的機率會變，不是幾何分布，不能用

\frac{1}{p}

。

第 8 題每張卡片被取到的機率都是

\frac{1}{10}

，所以

E (X) = \frac{1}{10} k = 1 \sum 10 k (k + 1) = \frac{1}{10} (k = 1 \sum 10 k^{2} + k = 1 \sum 10 k) = \frac{1}{10} (385 + 55) = 44

（元）。

k = 1 \sum 10 k^{2} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385

，

k = 1 \sum 10 k = 55

。

04第 9～10 題（原卷填充 7）：幾何分布

第 9 題袋中共

3 + 4 + 1 + 1 + 1 = 10

顆球，任取兩球有

C_{2}^{10} = 45

種。兩球同色只可能是兩白或兩紅（黑、綠、藍各只有

1

顆）：

C_{2}^{3} + C_{2}^{4} = 3 + 6 = 9

種，所以每次取到同色的機率

p = \frac{9}{45} = \frac{1}{5}

。每次取後放回，各次互不影響，取到同色為止的次數

X

服從幾何分布，

E (X) = \frac{1}{p} = 5

。

第 10 題承上，

p = \frac{1}{5}

。幾何分布的變異數

Var (X) = \frac{1 - p}{p ^{2}} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{25}} = 20

。

取後放回、做到第一次成功為止，就是幾何分布：期望值是 p 的倒數。

05第 11～14 題（原卷填充 8～11）：期望值與變異數

第 11 題三粒骰子共

6^{3} = 216

種結果。三粒同點：

6

種；三粒點數均不同：

6 \times 5 \times 4 = 120

種；恰二粒相同：

216 - 6 - 120 = 90

種。期望值

= \frac{40 \times 6 + 20 \times 90 + 1 \times 120}{216} = \frac{240 + 1800 + 120}{216} = \frac{2160}{216} = 10

（元）。

恰二粒相同也可以直接數：選哪兩粒相同

C_{2}^{3} = 3

種，相同的點數

6

種，另一粒的點數

5

種，

3 \times 6 \times 5 = 90

。

第 12 題

X

取

1

到

6

的機率都是

\frac{1}{6}

。

E (X) = \frac{1 + 2 + \dots + 6}{6} = \frac{7}{2}

，

E (X^{2}) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}

。

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}

。

第 13 題機率總和為

1

：

\frac{1}{k} + \frac{3}{k} + \frac{5}{k} = \frac{9}{k} = 1

，得

k = 9

。

E (X) = 1 \times \frac{1}{9} + 3 \times \frac{3}{9} + 5 \times \frac{5}{9} = \frac{1 + 9 + 25}{9} = \frac{35}{9}

。

E (18 X - 10) = 18 E (X) - 10 = 70 - 10 = 60

。

第 14 題

Var (Y) = Var (\frac{1}{3} X + 2) = (\frac{1}{3})^{2} Var (X) = \frac{1}{9} Var (X) = 4

，所以

Var (X) = 36

。

E (X^{2}) = Var (X) + (E (X))^{2} = 36 + 9 = 45

。

變異數等於平方的期望值減去期望值的平方，三個量知道兩個就能求第三個。

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