段考詳解範圍：複數與方程式的虛根、線性規劃，以及高一高二內容的複習（三角、指數與對數、平面向量）；卷面未印範圍，依題目內容整理

北一女中 110 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 北一女中 110 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 北一女中 110 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 8 題的選項 (4)，把等號右邊換成 2021 之後是另一個方程式，可以有三個實根，要自己造一個例子；多選第 9 題的第三象限角包含加減整圈的同界角，半角可能落在第二或第四象限，所以只有正切的正負能確定；多選第 7 題五個選項全對，平方和的最小值不在頂點而在邊的中間；填充第 16 題（卷面 E）要看出等長兩向量的和平分夾角，夾角是四十五度而不是二十二點五度。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

卷頭印的是「高三數學科文組第一次段考」。單選題 6 題（36 分）、多選題 5 題（50 分）、填充題 A～E 共 5 題（30 分），卷面合計 116 分。本頁題號全卷連續，第 12～16 題是卷面填充題 A～E。答案已與學校公布的答案逐題核對，16 題全部相同。

第壹部分：選擇題（占 86 分）　一、單選題（占 36 分）｜說明：第 1 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得 6 分；答錯、未作答，該題以零分計算。

已知複數

z = 3 + 4 i

，則

\frac{1}{z}

為下列何者？

(1) $3 - 4 i$
(2) $- 3 + 4 i$
(3) $\frac{3 - 4 i}{25}$
(4) $\frac{3 + 4 i}{25}$
(5) $\frac{- 3 - 4 i}{25}$

設

x

，

y

滿足聯立不等式

⎩ ⎨ ⎧ x \geq 0, y \geq 0 3 x + y \leq 6 x + 2 y \leq 4

，且

2 x + y

的最大值為下列何者？

(1) $\frac{20}{5}$
(2) $\frac{21}{5}$
(3) $\frac{22}{5}$
(4) $\frac{23}{5}$
(5) $\frac{24}{5}$

下列哪一個選項的數值最小？

(1) $sin 1 0^{\circ} cos 1 0^{\circ} + cos 1 0^{\circ} sin 1 0^{\circ}$
(2) $sin 3 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} - cos 3 0^{\circ} sin 2 0^{\circ}$
(3) $cos 1 0^{\circ} cos 1 0^{\circ} + sin 1 0^{\circ} sin 1 0^{\circ}$
(4) $cos 3 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} - sin 3 0^{\circ} sin 2 0^{\circ}$
(5) $cos 3 0^{\circ} tan 3 0^{\circ} + cos 6 0^{\circ} tan 6 0^{\circ}$

函數

f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{3}) - 2 sin x + 6

的最大值為下列何者？

(1) $5$
(2) $6$
(3) $7$
(4) $8$
(5) $9$

定義數列

{a_{n}}

中的一般項

a_{n}

為

lo g_{3} n

的整數部分，例如

a_{2} = 0

，

a_{5} = 1

。則此數列前

242

項的和為下列何者？

(1) $850$
(2) $851$
(3) $852$
(4) $853$
(5) $854$

兩個非零向量

u

，

v

滿足

∣2 u ∣ = ∣ v ∣ = ∣ u + v ∣

，則向量

u

與

v

夾角的餘弦值為下列何者？

(1) $\frac{1}{3}$
(2) $\frac{1}{4}$
(3) $- \frac{1}{4}$
(4) $\frac{1}{5}$
(5) $- \frac{1}{5}$

二、多選題（占 50 分）｜說明：第 7 題至第 11 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，對一個選項，得 2 分，所有選項均未作答者，該題以零分計算。

設

x

，

y

滿足聯立不等式

⎩ ⎨ ⎧ x \geq 0, y \geq 0 3 x + 2 y \leq 18 x + y \geq 2

且圖如右所示。

(1) $x^{2} + y^{2}$ 的最大值為 $81$
(2) $x^{2} + y^{2}$ 的最小值為 $2$
(3) $\frac{y}{x + 1}$ 的最大值為 $9$
(4) $\frac{y}{x + 1}$ 的最小值為 $0$
(5) $x - y$ 的最大值為 $6$

載入中...

設

f (x)

為三次實係數多項式，且

1 + i

為

f (x) = 0

的一根，試判斷下列敘述何者正確？

(1) $1 - i$ 為 $f (x) = 0$ 的一根
(2) $f (2 + i) = 0$
(3) $f (x) = 0$ 恰有一實根
(4) $f (x) = 2021$ 恰有一實根
(5) $f (x^{2}) = 0$ 必有實根

設

θ

為第三象限角，則下列哪些選項的敘述正確？

(1) $sin 2 θ > 0$
(2) $cos 2 θ < 0$
(3) $sin \frac{θ}{2} > 0$
(4) $cos \frac{θ}{2} < 0$
(5) $tan \frac{θ}{2} < 0$

考慮坐標平面上的一個點

P (x, y)

滿足

3^{x} = 5^{y}

，請選出正確的敘述？

(1) 點 $P$ 可能是 $(0, 0)$
(2) 點 $P$ 可能是 $(lo g 5, lo g 3)$
(3) 點 $P (x, y)$ 滿足 $x y \geq 0$
(4) 點 $P$ 的 $x$ ， $y$ 坐標可同時為正整數
(5) 所有點 $P$ 的圖形為一條斜率為正的直線

在坐標平面上，向量

u

與向量

v = (22, 1)

垂直且等長。請選出下列正確的敘述？

(1) 向量 $u$ 必為 $(1, - 22)$ 或 $(- 1, 22)$
(2) 向量 $v + u$ 與向量 $v - u$ 垂直且等長
(3) 向量 $v + u$ 與向量 $u$ 的夾角為 $4 5^{\circ}$
(4) 若向量 $w = a v + b u$ ，其中 $a$ ， $b$ 為實數，則 $∣ w ∣ = 3 a^{2} + b^{2}$
(5) 若向量 $(- 1, 0) = c v + d u$ 其中 $c$ ， $d$ 為實數，則 $c < 0$

第貳部分：填充題（占 30 分）｜說明：1. 第 A 至 E 題。2. 每題完全答對給 6 分。

A. 複數

Z

（卷面此處印作大寫，與後面的

z

是同一個數）滿足

z^{2} = 7 + 24 i

，則複數

z =

____（有兩解）。

B. 已知

ω

是

x^{2} + x + 1 = 0

的一根，則

1 + ω + ω^{2} + ω^{3} + ω^{4} + ω^{5} =

____。

△ A B C

中，

\overline{A B} = 8

，

\overline{A C} = 4

，

\overline{A D}

為

∠ B A C

的平分線，

\overline{A D} = \frac{8 3}{3}

，

\overline{D E}

垂直

\overline{A B}

於點

E

且

\overline{D E} = \frac{4 3}{3}

，則

\overline{B C} =

____。（原卷附圖的下半部沒有印出來，這裡的圖是本站重畫的示意圖，沒有照實際比例。）

載入中...

D. 已知一正數

k

，若鉛直線

x = k

與兩對數函數

y = lo g_{3} x

，

y = lo g_{3} (x + 16)

的圖形分別交於點

A

，

B

且

\overline{A B} = 3

，則

k =

____。

E. 已知兩向量

u

，

v

的長皆為

6

，且

u + v

與

u

的夾角為

22. 5^{\circ}

，則

u \cdot v =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(3)

第 3 題(2)

第 4 題(4)

第 5 題(3)

第 6 題(3)

第 7 題(1)(2)(3)(4)(5)

第 8 題(1)(3)

第 9 題(1)(5)

第 10 題(1)(2)(3)(5)

第 11 題(1)(2)(3)(4)(5)

第 12 題

\pm (4 + 3 i)

第 13 題

0

第 14 題

43

第 15 題

\frac{8}{13}

第 16 題

182

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～6 題）：複數的倒數、線性規劃、和差角、疊合、對數的整數部分、向量的夾角

第 1 題答案 (3)。分子、分母同乘

z

的共軛複數

3 - 4 i

：

\frac{1}{z} = \frac{1}{3 + 4 i} = \frac{3 - 4 i}{( 3 + 4 i ) ( 3 - 4 i )} = \frac{3 - 4 i}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = \frac{3 - 4 i}{25}

(a + bi) (a - bi) = a^{2} + b^{2}

，分母變成實數。選項 (1) 只是共軛複數，少除以

25

。

第 2 題答案 (3)。先求可行解區域的頂點。兩條斜線

3 x + y = 6

與

x + 2 y = 4

的交點：由第一式

y = 6 - 3 x

，代入第二式得

x + 12 - 6 x = 4

，

x = \frac{8}{5}

，

y = \frac{6}{5}

。區域是四邊形，頂點為

(0, 0)

、

(2, 0)

、

(\frac{8}{5}, \frac{6}{5})

、

(0, 2)

。一次式的最大值發生在頂點，逐點代入

2 x + y

：

(0, 0)

得

0

；

(2, 0)

得

4

；

(\frac{8}{5}, \frac{6}{5})

得

\frac{16}{5} + \frac{6}{5} = \frac{22}{5}

；

(0, 2)

得

2

。最大值為

\frac{22}{5}

。

3 x + y = 6

與兩軸交於

(2, 0)

、

(0, 6)

，

x + 2 y = 4

與兩軸交於

(4, 0)

、

(0, 2)

；兩個條件都要滿足，所以在

x

軸上只到

(2, 0)

、在

y

軸上只到

(0, 2)

。選項 (1) 的

\frac{20}{5} = 4

是只代

(2, 0)

的結果。

第 3 題答案 (2)。把每個選項用和差角公式合起來： (1)

sin 1 0^{\circ} cos 1 0^{\circ} + cos 1 0^{\circ} sin 1 0^{\circ} = sin (1 0^{\circ} + 1 0^{\circ}) = sin 2 0^{\circ}

。 (2)

sin 3 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} - cos 3 0^{\circ} sin 2 0^{\circ} = sin (3 0^{\circ} - 2 0^{\circ}) = sin 1 0^{\circ}

。 (3)

cos 1 0^{\circ} cos 1 0^{\circ} + sin 1 0^{\circ} sin 1 0^{\circ} = cos (1 0^{\circ} - 1 0^{\circ}) = cos 0^{\circ} = 1

。 (4)

cos 3 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} - sin 3 0^{\circ} sin 2 0^{\circ} = cos (3 0^{\circ} + 2 0^{\circ}) = cos 5 0^{\circ} = sin 4 0^{\circ}

。 (5)

cos θ tan θ = sin θ

，所以是

sin 3 0^{\circ} + sin 6 0^{\circ} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}

，比

1

大。

0^{\circ}

到

9 0^{\circ}

之間角度愈大正弦值愈大，

sin 1 0^{\circ} < sin 2 0^{\circ} < sin 4 0^{\circ} < 1

，最小的是 (2)。

(4) 把

cos 5 0^{\circ}

換成

sin 4 0^{\circ}

，就能和其他選項用同一個函數比較。

第 4 題答案 (4)。用和角公式展開：

2 sin (x + \frac{π}{3}) = 2 (sin x cos \frac{π}{3} + cos x sin \frac{π}{3}) = sin x + 3 cos x

。所以

f (x) = sin x + 3 cos x - 2 sin x + 6 = - sin x + 3 cos x + 6

- sin x + 3 cos x

疊合後的振幅是

(- 1)^{2} + (3)^{2} = 2

，它的最大值是

2

，所以

f (x)

的最大值是

2 + 6 = 8

。

實際疊合：

- sin x + 3 cos x = 2 (sin x cos \frac{2 π}{3} + cos x sin \frac{2 π}{3}) = 2 sin (x + \frac{2 π}{3})

，

x = - \frac{π}{6}

時取到

2

。不能把

2 sin (x + \frac{π}{3})

與

- 2 sin x

各自取最大值相加，兩者不會同時達到最大。

第 5 題答案 (3)。

a_{n} = k

的意思是

k \leq lo g_{3} n < k + 1

，也就是

3^{k} \leq n < 3^{k + 1}

。把

n = 1

到

242

分段（

242 = 3^{5} - 1

，剛好分完）：

n = 1, 2

：

a_{n} = 0

，共

2

項；

n = 3

到

8

：

a_{n} = 1

，共

6

項；

n = 9

到

26

：

a_{n} = 2

，共

18

項；

n = 27

到

80

：

a_{n} = 3

，共

54

項；

n = 81

到

242

：

a_{n} = 4

，共

162

項。總和

= 0 \times 2 + 1 \times 6 + 2 \times 18 + 3 \times 54 + 4 \times 162 = 6 + 36 + 162 + 648 = 852

。

每一段的項數是

3^{k + 1} - 3^{k} = 2 \times 3^{k}

。檢查：

2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242

，項數沒有漏。

第 6 題答案 (3)。設

∣ u ∣ = t

（

t > 0

），則

∣ v ∣ = ∣2 u ∣ = 2 t

，

∣ u + v ∣ = 2 t

。把最後一個條件平方：

∣ u + v ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} + 2 u \cdot v + ∣ v ∣^{2} ⟹ 4 t^{2} = t^{2} + 2 u \cdot v + 4 t^{2},

得

u \cdot v = - \frac{t ^{2}}{2}

。夾角的餘弦值為

\frac{u \cdot v}{∣ u ∣∣ v ∣} = \frac{- \frac{t ^{2}}{2}}{t \times 2 t} = - \frac{1}{4}

。

看到向量和的長度，就平方展開，內積會出現在中間那一項。內積是負的，夾角是鈍角。

長得像和差角公式右邊的式子先合起來再比大小；向量的長度條件先平方。

02多選題（第 7～11 題）：可行解區域、三次方程式的根、象限角、指數等式、垂直等長的向量

第 7 題答案 (1)(2)(3)(4)(5)。可行解區域是四邊形，頂點為

(2, 0)

、

(6, 0)

、

(0, 9)

、

(0, 2)

。 (1) 對：

x^{2} + y^{2}

是點

(x, y)

到原點距離的平方。區域內

0 \leq x \leq 6

且

0 \leq y \leq 9 - \frac{3}{2} x

，所以

x^{2} + y^{2} \leq x^{2} + (9 - \frac{3}{2} x)^{2}

；右邊是開口向上的二次函數，在

0 \leq x \leq 6

的最大值在端點，

x = 0

時是

81

、

x = 6

時是

36

。所以最大值是

81

，在

(0, 9)

。 (2) 對：原點不在區域內，區域在直線

x + y = 2

的右上側，離原點最近的點是原點到這條直線的垂足

(1, 1)

，它在邊界線段上。最小值是

1^{2} + 1^{2} = 2

。 (3) 對：區域內

y \leq 9 - \frac{3}{2} x \leq 9

，而

x + 1 \geq 1

，所以

\frac{y}{x + 1} \leq \frac{9}{1} = 9

；點

(0, 9)

剛好取到

9

。 (4) 對：區域內

y \geq 0

、

x + 1 > 0

，所以

\frac{y}{x + 1} \geq 0

；

x

軸上的點（例如

(2, 0)

）取到

0

。 (5) 對：一次式的極值在頂點，四個頂點代入

x - y

依序得

2

、

6

、

- 9

、

- 2

，最大值是

6

。

\frac{y}{x + 1}

是點

(x, y)

與定點

(- 1, 0)

連線的斜率：從

(- 1, 0)

看出去，最陡的是連到

(0, 9)

的線（斜率

9

），最平的是沿著

x

軸（斜率

0

）。(2) 若只代頂點會得到

4

，但最近的點在邊的中間、不在頂點。

第 8 題答案 (1)(3)。實係數多項式方程式的虛根成對，所以

1 - i

也是根。這兩個根對應的因式是

(x - 1 - i) (x - 1 + i) = x^{2} - 2 x + 2

，三次式可寫成

f (x) = a (x^{2} - 2 x + 2) (x - r)

，

a \neq = 0

，

a

、

r

都是實數。 (1) 對：虛根成對。 (2) 錯：

f (x) = 0

的三個根是

1 + i

、

1 - i

、

r

，

2 + i

不是實數、也不是

1 \pm i

，所以

f (2 + i) \neq = 0

。 (3) 對：三個根裡

1 \pm i

是虛根，剩下的

r

是實根，恰有一個。 (4) 錯：

f (x) = 2021

可能有三個實根。例如

f (x) = 202.1 (x^{2} - 2 x + 2) (x + 3) = 202.1 (x^{3} + x^{2} - 4 x + 6)

，則

f (x) = 2021

就是

x^{3} + x^{2} - 4 x + 6 = 10

，即

x^{3} + x^{2} - 4 x - 4 = 0

，

(x + 1) (x + 2) (x - 2) = 0

，有

- 1

、

- 2

、

2

三個實根。 (5) 錯：

f (x^{2}) = 0

表示

x^{2}

等於

1 + i

、

1 - i

或

r

。

x

是實數時

x^{2}

是不小於

0

的實數，所以只可能

x^{2} = r

；當

r < 0

（例如上面的例子

r = - 3

）時沒有實根。

(4) 的題目只規定

f (x) = 0

的根，把右邊換成

2021

以後是另一個方程式

f (x) - 2021 = 0

，它的根沒有被限制。三次實係數方程式至少有一個實根，但可以有三個。

第 9 題答案 (1)(5)。第三象限角可寫成

18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k < θ < 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k

（

k

是整數）。 (1) 對：

36 0^{\circ} + 72 0^{\circ} k < 2 θ < 54 0^{\circ} + 72 0^{\circ} k

，

2 θ

的終邊與

0^{\circ}

到

18 0^{\circ}

之間的角相同，在第一、二象限或

y

軸正向上，正弦值為正。 (2) 錯：

θ = 20 0^{\circ}

時

2 θ = 40 0^{\circ}

，

cos 40 0^{\circ} = cos 4 0^{\circ} > 0

。半角：

9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} k < \frac{θ}{2} < 13 5^{\circ} + 18 0^{\circ} k

。

k

是偶數時

\frac{θ}{2}

在第二象限，

k

是奇數時在第四象限。 (3) 錯：

θ = 56 0^{\circ}

（與

20 0^{\circ}

同界，是第三象限角）時

\frac{θ}{2} = 28 0^{\circ}

在第四象限，

sin 28 0^{\circ} < 0

。 (4) 錯：同一個例子，

cos 28 0^{\circ} > 0

。 (5) 對：第二象限與第四象限的正切值都是負的。

第三象限角不限於

18 0^{\circ}

到

27 0^{\circ}

，加減整數個

36 0^{\circ}

的同界角都算；

2 θ

不受影響，但

\frac{θ}{2}

會差

18 0^{\circ}

，正弦、餘弦變號，正切不變。

第 10 題答案 (1)(2)(3)(5)。兩邊取常用對數：

x lo g 3 = y lo g 5

，即

y = \frac{lo g 3}{lo g 5} x

。 (1) 對：

3^{0} = 5^{0} = 1

。 (2) 對：

x = lo g 5

、

y = lo g 3

代入，

x lo g 3 = lo g 5 \times lo g 3

，

y lo g 5 = lo g 3 \times lo g 5

，兩邊相等。 (3) 對：

x y = \frac{lo g 3}{lo g 5} x^{2}

，而

lo g 3 > 0

、

lo g 5 > 0

、

x^{2} \geq 0

，所以

x y \geq 0

。 (4) 錯：

x

、

y

都是正整數時，

3^{x}

是

3

的倍數，

5^{y}

的質因數只有

5

、不是

3

的倍數，兩者不可能相等。 (5) 對：

y = \frac{lo g 3}{lo g 5} x

是通過原點的直線，斜率

\frac{lo g 3}{lo g 5} > 0

。

斜率

\frac{lo g 3}{lo g 5} = lo g_{5} 3

是無理數，所以這條直線除了原點以外不通過任何

x

、

y

坐標都是整數的點，這就是 (4) 不成立的另一種看法。

第 11 題答案 (1)(2)(3)(4)(5)。

∣ v ∣ = (22)^{2} + 1^{2} = 3

，所以

∣ u ∣ = 3

，且

u \cdot v = 0

。 (1) 對：設

u = (p, q)

，垂直得

22 p + q = 0

，即

q = - 22 p

；等長得

p^{2} + q^{2} = 9

，代入

p^{2} + 8 p^{2} = 9

，

p = \pm 1

。所以

u = (1, - 22)

或

(- 1, 22)

。 (2) 對：

(v + u) \cdot (v - u) = ∣ v ∣^{2} - ∣ u ∣^{2} = 9 - 9 = 0

，垂直；

∣ v \pm u ∣^{2} = ∣ v ∣^{2} \pm 2 u \cdot v + ∣ u ∣^{2} = 9 + 0 + 9 = 18

，兩者長度都是

32

。 (3) 對：

(v + u) \cdot u = v \cdot u + ∣ u ∣^{2} = 9

，夾角的餘弦值為

\frac{9}{3 2 \times 3} = \frac{1}{2}

，夾角是

4 5^{\circ}

。 (4) 對：

∣ w ∣^{2} = a^{2} ∣ v ∣^{2} + 2 ab v \cdot u + b^{2} ∣ u ∣^{2} = 9 a^{2} + 9 b^{2}

，所以

∣ w ∣ = 3 a^{2} + b^{2}

。 (5) 對：等式兩邊同時與

v

作內積，

(- 1, 0) \cdot (22, 1) = c ∣ v ∣^{2} + d u \cdot v

，即

- 22 = 9 c

，

c = - \frac{2 2}{9} < 0

。

(2)～(5) 只用到「垂直且等長」，不必分

u

是哪一個。

v

、

u

是正方形的兩鄰邊，

v + u

與

v - u

是兩條對角線，所以互相垂直、等長，而且對角線與邊夾

4 5^{\circ}

。

「恰有」「必」這類敘述，想不出理由時就動手造一個符合題目條件的例子來試。

03填充題 A～E（第 12～16 題）：複數的平方根、根的次方和、三角形、對數函數、內積

第 12 題設

z = a + bi

（

a

、

b

是實數），

z^{2} = (a^{2} - b^{2}) + 2 abi = 7 + 24 i

，比較實部與虛部：

a^{2} - b^{2} = 7

，

2 ab = 24

。又

∣ z ∣^{2} = ∣ z^{2} ∣ = 7^{2} + 2 4^{2} = 25

，即

a^{2} + b^{2} = 25

。與

a^{2} - b^{2} = 7

相加、相減得

a^{2} = 16

、

b^{2} = 9

。由

ab = 12 > 0

知

a

、

b

同號，所以

(a, b) = (4, 3)

或

(- 4, - 3)

，

z = \pm (4 + 3 i)

。

不用絕對值也可以：

b = \frac{12}{a}

代入

a^{2} - b^{2} = 7

得

a^{4} - 7 a^{2} - 144 = 0

，

(a^{2} - 16) (a^{2} + 9) = 0

，

a^{2} = 16

。驗算：

(4 + 3 i)^{2} = 16 - 9 + 24 i = 7 + 24 i

。

第 13 題

ω^{2} + ω + 1 = 0

。兩邊同乘

ω - 1

：

(ω - 1) (ω^{2} + ω + 1) = ω^{3} - 1 = 0

，所以

ω^{3} = 1

。於是

1 + ω + ω^{2} + ω^{3} + ω^{4} + ω^{5} = (1 + ω + ω^{2}) + ω^{3} (1 + ω + ω^{2}) = 0 + 1 \times 0 = 0

也可以直接用

ω^{3} = 1

把

ω^{4}

換成

ω

、

ω^{5}

換成

ω^{2}

，原式

= 2 (1 + ω + ω^{2}) = 0

。

第 14 題（附圖是本站重畫的示意圖：原卷的圖只印出上半部，看得到

C

、

D

兩點與

4

、

\frac{8 3}{3}

、

\frac{4 3}{3}

三個長度標示。）直角三角形

A D E

中，

∠ A E D = 9 0^{\circ}

，

sin ∠ D A E = \frac{D E}{A D} = \frac{4 3}{3} \div \frac{8 3}{3} = \frac{1}{2}

，

∠ D A E

是銳角，所以

∠ D A E = 3 0^{\circ}

。

\overline{A D}

平分

∠ B A C

，故

∠ B A C = 6 0^{\circ}

。在

△ A B C

用餘弦定理：

\overline{B C}^{2} = 8^{2} + 4^{2} - 2 \times 8 \times 4 \times cos 6 0^{\circ} = 64 + 16 - 32 = 48

，

\overline{B C} = 43

。

檢查題目的數字彼此相容：

D

在

\overline{B C}

上時，

△ A B D

與

△ A C D

的面積和

= \frac{1}{2} \times 8 \times \overline{A D} \times sin 3 0^{\circ} + \frac{1}{2} \times 4 \times \overline{A D} \times sin 3 0^{\circ} = 3 \overline{A D}

，等於

△ A B C

的面積

\frac{1}{2} \times 8 \times 4 \times sin 6 0^{\circ} = 83

，得

\overline{A D} = \frac{8 3}{3}

，與題目給的相同。另外

\overline{B C}^{2} + \overline{A C}^{2} = 48 + 16 = 64 = \overline{A B}^{2}

，這個三角形的

∠ C

是直角。

第 15 題

A (k, lo g_{3} k)

、

B (k, lo g_{3} (k + 16))

在同一條鉛直線上，距離是

y

坐標的差。因為

k + 16 > k > 0

，

lo g_{3} (k + 16) > lo g_{3} k

，所以

\overline{A B} = lo g_{3} (k + 16) - lo g_{3} k = lo g_{3} \frac{k + 16}{k} = 3

於是

\frac{k + 16}{k} = 3^{3} = 27

，

k + 16 = 27 k

，

k = \frac{16}{26} = \frac{8}{13}

。

檢查：

k = \frac{8}{13}

時

k + 16 = \frac{216}{13}

，

\frac{216}{13} \div \frac{8}{13} = 27

。兩個圖形左右相差

16

，但題目問的是鉛直方向的距離，要用對數相減。

第 16 題

∣ u ∣ = ∣ v ∣ = 6

，以

u

、

v

為鄰邊的平行四邊形是菱形，

u + v

是它的對角線，平分

u

與

v

的夾角。所以

u

與

v

的夾角是

2 \times 22. 5^{\circ} = 4 5^{\circ}

，

u \cdot v = 6 \times 6 \times cos 4 5^{\circ} = 182

用計算確認對角線平分夾角：

(u + v) \cdot u = 36 + u \cdot v

，

(u + v) \cdot v = u \cdot v + 36

，兩個內積相等，而

∣ u ∣ = ∣ v ∣

，所以

u + v

與

u

、與

v

的夾角相同。

題目給的角是半個角或給的長度能湊成直角三角形時，先把真正要用的那個角找出來，再套餘弦定理或內積的定義。

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同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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多選第 8 題的選項 (4)，把等號右邊換成 2021 之後是另一個方程式，可以有三個實根，要自己造一個例子；多選第 9 題的第三象限角包含加減整圈的同界角，半角可能落在第二或第四象限，所以只有正切的正負能確定；多選第 7 題五個選項全對，平方和的最小值不在頂點而在邊的中間；填充第 16 題（卷面 E）要看出等長兩向量的和平分夾角，夾角是四十五度而不是二十二點五度。詳解逐題寫在本頁。

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北一女中 110 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題（第 1～6 題）：複數的倒數、線性規劃、和差角、疊合、對數的整數部分、向量的夾角

02多選題（第 7～11 題）：可行解區域、三次方程式的根、象限角、指數等式、垂直等長的向量

03填充題 A～E（第 12～16 題）：複數的平方根、根的次方和、三角形、對數函數、內積

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