段考詳解範圍：第一章實數與指對數

北一女中 109 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

單選題 2 題（10 分，每題 5 分）、多選題 3 題（30 分，每個選項 2 分）、填充題 9 題（60 分，依答對題數給分）。原卷填充題編 A～I，即本頁第 6～14 題；可使用指定機型的計算機。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題（占 10 分）說明：第 1 題至第 2 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請在答案卷之指定欄位上作答。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或答案多於一個選項者，該題以零分計算。

請使用計算機找出有理數

L

為下列何值時，

1 0^{L}

最接近

109

。

(1) $1.01871$
(2) $1.01872$
(3) $1.01873$
(4) $1.01874$
(5) $1.01875$

設

a

、

b

均為實數。若

∣ a x - 3∣ \geq b

之解為

x \leq - 6

或

x \geq 4

，則在數線上圖示

∣ a x + 1∣ \leq b

，可得此區間的長度為：

(1) $7$
(2) $8$
(3) $9$
(4) $10$
(5) $11$

二、多選題（占 30 分）說明：第 3 題至第 5 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項填入答案卷之指定欄位中。各題之選項獨立判定，每答對一個選項得 2 分；所有選項均未作答者，該題以零分計算。

下列哪些選項是正確的？

(1) $(- 5)^{\frac{1}{3}} = 3 - 5$
(2) $(- 109.1014)^{0} = 1$
(3) $lo g 2 = 0.3010$
(4) $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + 2 = x + \frac{1}{x}$
(5) $∣2 x - 3∣$ 可以表示數線上點 $P (x)$ 到點 $Q (\frac{3}{2})$ 之距的兩倍

下列哪些選項是正確的？

(1) 若 $a$ 為有理數、 $b$ 為無理數，則 $\frac{109 a}{2020 b}$ 必為無理數
(2) 任兩個相異的無理數之間至少有一個無理數
(3) $\frac{399}{1610}$ 可以化為循環小數
(4) 若 $a = \frac{1 + 3}{2}$ ，則 $a + \frac{1}{2}$ 之值和 $a$ 相同
(5) 由 $\frac{( 2 x + 1 ) ^{2} + ( x + 2 ) ^{2}}{2} \geq (2 x + 1)^{2} (x + 2)^{2}$ 可知 $\frac{( 2 x + 1 ) ^{2} + ( x + 2 ) ^{2}}{2}$ 的最小值產生在 $(2 x + 1)^{2} = (x + 2)^{2}$ 時

已知

a < b

，

A (a)

、

B (b)

、

P (\frac{11 a + 4 b}{15})

、

Q (\frac{9 a + 6 b}{15})

、

R (\frac{8 a + 7 b}{14})

為數線上之點且此數線以右方為正向。試問下列哪些選項是正確的？

(1) 當 $\overline{P Q}$ 長度為 $4$ 時， $\overline{A B}$ 長度為 $30$
(2) $P$ 必在 $Q$ 的右邊
(3) $P$ 必在 $\overline{A B}$ 上
(4) $R$ 必在 $\overline{A B}$ 上
(5) $R$ 有可能和 $A$ 重合

三、填充題（占 60 分）說明：1. 第 A 至 I 題，請將正確選項填入答案卷之指定欄位中。2. 每題完全答對才給分，計分方式如下：答對 1 題得 8 分、2 題 16 分、3 題 24 分、4 題 31 分、5 題 38 分、6 題 45 分、7 題 51 分、8 題 56 分、9 題 60 分。

3 2^{- 0.2} \times 4 6^{16} + ((15 + 414)^{\frac{- 1}{2}})^{2}

之值為 ____。（答案須化為最簡）

不等式

3 x - 4 < ∣2 x - 1∣

之解為 ____。

已知

a = \frac{10}{10 + 3}

、

b = \frac{10}{10 - 3}

，則

a^{3} + b^{3}

之值為 ____。（答案須化為最簡）

已知

a > 0

且

a^{2 x} = 5 + 26

，則

\frac{a ^{3 x} + a ^{- 3 x}}{a ^{x} - a ^{- x}}

之值為 ____。（答案須化為最簡）

已知

2 1^{x} = 9

且

56 7^{y} = 81

，則

\frac{2}{x} - \frac{4}{y}

之值為 ____。（答案須化為最簡）

已知

x

為實數，若

t = 4^{x} + 4^{- x}

，

t

的最小值為

a

且此時

x

的值為

b

，則數對

(a, b)

為 ____。

把

1 0^{2.236}

當成

1 0^{5}

之近似值時，

\frac{∣1 0 ^{2.236} - 1 0 ^{5} ∣}{1 0 ^{5}}

稱為誤差比率。若以計算機算出此誤差比率的數值，會發現小數點以下第

m

位開始出現不為

0

的數字，此數字為

n

，則數對

(m, n)

為 ____。

根據約翰霍普金斯大學的統計數據顯示：印度自 COVID-19 疫情大爆發以來，確診人數平均約每

7

日會增為

1.13

倍，2020 年 9 月間確診人數接連突破

400

萬、

500

萬、

600

萬大關，若疫情得不到控制，則依此指數增長模型，自突破

600

萬大關約 ____ 日後，確診人數將突破

1200

萬。（請寫出整數值）

1996 年登陸臺灣的賀伯是歷年來襲臺最強勁的颱風，它曾在阿里山地區

428

平方公里的範圍，於

24

小時內自山區高度差

1

公里的地方降下

1748.5

公厘的雨量，而基礎物理學計算重力位能的公式是

U = m g h

，其中

U

的單位為焦耳，

m

是雨水質量（單位：公斤），

g

是重力加速度值（以

9.8

計算），

h

是降雨的高度差（單位：公尺）。為了瞭解這

24

小時內的降雨威力有多大，可以用二次大戰落在廣島的那顆「小男孩原子彈」所產生的能量

5 \times 1 0^{14}

焦耳作對照，經計算後，阿里山地區這

24

小時降雨所受的能量約為 ____ 顆「小男孩原子彈」的能量總和。（四捨五入取至整數值）註：

1

立方公尺的水質量約

1000

公斤，

1

公厘為

0.1

公分。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(4)

第 3 題(2)(5)

第 4 題(2)(3)(4)

第 5 題(1)(3)(5)

第 6 題

18 + 22 - 7

第 7 題

x < 3

第 8 題

7400

第 9 題

\frac{9}{2} 6

第 10 題

- 3

第 11 題

(2, 0)

第 12 題

(4, 1)

第 13 題

40

第 14 題

15

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1、2：用計算機找 10 的次方、由解反推絕對值不等式

第 1 題答案 (1)。

1 0^{L} = 109

的

L

就是

lo g 109

，用計算機先按出

109 \approx 10.44031

，再按

lo g

得

L \approx 1.018713

。它落在

1.01871

和

1.01872

之間，再把這兩個選項的

1 0^{L}

按出來比：

1 0^{1.01871} \approx 10.44023

，和

109

差約

0.00008

；

1 0^{1.01872} \approx 10.44047

，差約

0.00016

。

L

越大，

1 0^{L}

越大，後面三個選項只會離得更遠，所以最接近的是

1.01871

。

題目問的是

1 0^{L}

和

109

的距離，最後要回到

1 0^{L}

的值來比，不要只看

L

的小數。

第 2 題答案 (4)。解有缺口，所以

b > 0

而且

a \neq = 0

。把

a

提出來：

∣ a x - 3∣ = ∣ a ∣ \cdot x - \frac{3}{a}

，原式就是

x - \frac{3}{a} \geq \frac{b}{∣ a ∣}

，意思是

x

到

\frac{3}{a}

的距離至少是

\frac{b}{∣ a ∣}

。對照「

x \leq - 6

或

x \geq 4

」：中心是

- 6

和

4

的中點，

\frac{3}{a} = - 1

，得

a = - 3

；中心到兩端的距離是

5

，

\frac{b}{∣ a ∣} = 5

，得

b = 15

。所以

∣ a x + 1∣ \leq b

是

∣ - 3 x + 1 ∣ \leq 15

，兩邊同除以

3

得

x - \frac{1}{3} \leq 5

，解為

- \frac{14}{3} \leq x \leq \frac{16}{3}

，區間長度是

\frac{16}{3} - (- \frac{14}{3}) = 10

。

兩個不等式的

a

、

b

相同，到中心的距離都是

\frac{b}{∣ a ∣} = 5

，把

- 3

換成

+ 1

只是移動中心，所以長度就是

2 \times 5 = 10

。

02多選 3～5：指數與對數的基本性質、實數的性質、數線上的分點

第 3 題答案 (2)(5)。(1) 錯：分數指數

a^{\frac{1}{n}}

只在底數

a > 0

時有定義，

(- 5)^{\frac{1}{3}}

沒有意義。如果硬要算，

\frac{1}{3} = \frac{2}{6}

，

(- 5)^{\frac{2}{6}}

會變成

6 (- 5)^{2} = 625

，是正數，和

3 - 5

是負數互相矛盾。(2) 對：不是

0

的數，

0

次方都是

1

。(3) 錯：

0.3010

只是

lo g 2

的近似值。如果

lo g 2

恰好等於

\frac{301}{1000}

，就有

2 = 1 0^{\frac{301}{1000}}

，兩邊同時

1000

次方得

2^{1000} = 1 0^{301}

；右邊是

5

的倍數，左邊不是，矛盾。(4) 錯：

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + 2 = (x + \frac{1}{x})^{2}

，開根號得到的是

x + \frac{1}{x}

；例如

x = - 1

時左邊是

2

，右邊是

- 2

。(5) 對：

∣2 x - 3∣ = 2 x - \frac{3}{2}

，而

x - \frac{3}{2}

就是

P (x)

到

Q (\frac{3}{2})

的距離。

(4)

A^{2} = ∣ A ∣

，只有

A \geq 0

時才能把絕對值拿掉；這裡

x > 0

時等式才成立。

第 4 題答案 (2)(3)(4)。(1) 錯：取

a = 0

，不管

b

是哪個無理數，這個分數都是

0

，是有理數。(2) 對：設兩個無理數

p < q

，中點

m = \frac{p + q}{2}

在兩數之間。若

m

是無理數，它就是要找的數；若

m

是有理數，改取

p

和

m

的中點

\frac{p + m}{2}

，無理數加有理數再除以

2

仍是無理數，而且它也在

p

、

q

之間。(3) 對：

399 = 3 \times 7 \times 19

，

1610 = 2 \times 5 \times 7 \times 23

，約分後是

\frac{57}{230}

，分母

230 = 2 \times 5 \times 23

有

2

、

5

以外的質因數

23

，所以化成小數不會是有限小數，而是循環小數。(4) 對：

a + \frac{1}{2} = \frac{2 + 3}{2} = \frac{4 + 2 3}{4} = \frac{( 3 + 1 ) ^{2}}{4}

，開根號得

\frac{3 + 1}{2}

，正好是

a

。(5) 錯：算幾不等式本身沒有錯，但右邊

(2 x + 1)^{2} (x + 2)^{2}

會跟著

x

變，不是定值，所以等號成立的地方不一定是左邊最小的地方。直接配方：

\frac{( 2 x + 1 ) ^{2} + ( x + 2 ) ^{2}}{2} = \frac{5 x ^{2} + 8 x + 5}{2} = \frac{5}{2} (x + \frac{4}{5})^{2} + \frac{9}{10}

最小值是

\frac{9}{10}

，發生在

x = - \frac{4}{5}

。而

(2 x + 1)^{2} = (x + 2)^{2}

的解是

x = 1

或

x = - 1

，這時式子的值分別是

9

和

1

，都不是最小值。

用算幾不等式求極值，另一邊一定要是定值；(5) 的兩項相加、相乘都不是定值。

第 5 題答案 (1)(3)(5)。令

d = b - a

，

d > 0

，把每個點都寫成「從

a

出發走多少」：

P = a + \frac{4}{15} d

，

Q = a + \frac{6}{15} d

，

R = \frac{8 a + 7 ( a + d )}{14} = a + \frac{a}{14} + \frac{d}{2}

。(1) 對：

\overline{P Q} = \frac{6}{15} d - \frac{4}{15} d = \frac{2}{15} d = 4

，得

d = 30

，就是

\overline{A B} = 30

。(2) 錯：

\frac{4}{15} d < \frac{6}{15} d

，

P

在

Q

的左邊。(3) 對：

0 < \frac{4}{15} < 1

，

P

在

A

、

B

之間。(4) 錯：

R

的位置還跟

a

本身有關，例如

a = 14

、

b = 15

時

R = \frac{112 + 105}{14} = 15.5

，在

B

的右邊。(5) 對：

R

和

A

重合就是

\frac{a}{14} + \frac{d}{2} = 0

，即

a = - 7 d

；例如

a = - 7

、

b = - 6

時

R = \frac{- 56 - 42}{14} = - 7

，正好是

A

。

P

、

Q

的兩個係數相加是

1

，才是分點公式的形式；

R

的係數相加是

\frac{15}{14}

，不能直接當成

\overline{A B}

上的分點。

03填充 6～10（原卷 A～E）：分數指數、絕對值不等式、有理化、對稱式、化成同底

第 6 題前半：

3 2^{- 0.2} = (2^{5})^{- \frac{1}{5}} = 2^{- 1} = \frac{1}{2}

；

4 6^{16} = 6^{16 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2}} = 6^{2} = 36

，相乘得

18

。後半：先算指數，

\frac{- 1}{2} \times 2 = - 1

，所以後半是

15 + 414

的倒數。

15 + 414 = 15 + 256 = (8 + 7)^{2}

，所以

15 + 414 = 8 + 7

，倒數是

\frac{1}{8 + 7} = \frac{8 - 7}{8 - 7} = 22 - 7

。兩部分相加得

18 + 22 - 7

。

雙重根號要先把裡面的係數整理成

2

的樣子：

414 = 256

，再找相加是

15

、相乘是

56

的兩個數

8

和

7

。

第 7 題以

x = \frac{1}{2}

為界分兩段。

x \geq \frac{1}{2}

時

∣2 x - 1∣ = 2 x - 1

，不等式變成

3 x - 4 < 2 x - 1

，即

x < 3

，這一段的解是

\frac{1}{2} \leq x < 3

。

x < \frac{1}{2}

時

∣2 x - 1∣ = 1 - 2 x

，不等式變成

3 x - 4 < 1 - 2 x

，即

x < 1

，這一段的

x

本來就小於

\frac{1}{2}

，全部成立。兩段合起來是

x < 3

。

每一段解出來的範圍，要和那一段本身的條件取共同的部分，最後再把兩段合併。

第 8 題先有理化分母：

a = \frac{10 ( 10 - 3 )}{10 - 9} = 10 - 310

，同樣可得

b = 10 + 310

。所以

a + b = 20

，

ab = 100 - 90 = 10

。由乘法公式

a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b) = 8000 - 3 \times 10 \times 20 = 7400

。

a

、

b

是一對只差正負號的數，先求和與積，比直接各自三次方快得多。

第 9 題

a > 0

，所以

a^{x} > 0

。

(a^{x})^{2} = 5 + 26 = (3 + 2)^{2}

，得

a^{x} = 3 + 2

，

a^{- x} = \frac{1}{3 + 2} = 3 - 2

。令

p = a^{x}

、

q = a^{- x}

，則

p + q = 23

，

p - q = 22

，

pq = 1

。分子

p^{3} + q^{3} = (p + q)^{3} - 3 pq (p + q) = 243 - 63 = 183

，分母是

22

。所求為

\frac{18 3}{2 2} = \frac{9 3}{2} = \frac{9 6}{2}

。

分母是

a^{x} - a^{- x}

，不是

a^{x} + a^{- x}

，不能和分子直接約分；答案的分母要有理化。

第 10 題

2 1^{x} = 9 = 3^{2}

，兩邊同時

\frac{1}{x}

次方得

21 = 3^{\frac{2}{x}}

。

56 7^{y} = 81 = 3^{4}

，兩邊同時

\frac{1}{y}

次方得

567 = 3^{\frac{4}{y}}

。兩式相除：

3^{\frac{2}{x} - \frac{4}{y}} = \frac{21}{567} = \frac{1}{27} = 3^{- 3}

。底數相同，指數相等，所以

\frac{2}{x} - \frac{4}{y} = - 3

。

看到

\frac{2}{x}

、

\frac{4}{y}

在指數的位置，就把已知條件改寫成「

3

的幾次方」；

567 = 21 \times 27

。

04填充 11～14（原卷 F～I）：算幾不等式、誤差比率、倍增時間、單位換算

第 11 題

4^{x}

和

4^{- x}

都是正數，而且乘積

4^{x} \cdot 4^{- x} = 1

是定值。由算幾不等式

\frac{4 ^{x} + 4 ^{- x}}{2} \geq 4^{x} \cdot 4^{- x} = 1

，所以

t \geq 2

。等號成立在

4^{x} = 4^{- x}

，即

4^{2 x} = 1

，

x = 0

。所以

a = 2

、

b = 0

，數對是

(2, 0)

。

數對的順序是（最小值，此時的

x

），不要寫反。

第 12 題用計算機：

1 0^{2.236} \approx 172.18686

，

1 0^{5} \approx 172.21381

，相差約

0.02695

，除以

172.21381

得誤差比率約

0.0001565

。小數點以下第

1

、

2

、

3

位都是

0

，第

4

位開始出現不為

0

的數字

1

，所以

(m, n) = (4, 1)

。

也可以先化簡再按：誤差比率等於

1 0^{2.236 - 5} - 1

，其中

2.236 - 5 \approx - 0.00006798

，

1 0^{- 0.00006798} \approx 0.9998435

，結果相同。

第 13 題每

7

日變成

1.13

倍，經過

t

日就變成

1.1 3^{t /7}

倍。從

600

萬到

1200

萬是

2

倍，要解

1.1 3^{t /7} = 2

。用計算機：

lo g 1.13 \approx 0.05308

，即

1.13 \approx 1 0^{0.05308}

；

lo g 2 \approx 0.30103

，即

2 \approx 1 0^{0.30103}

。代進去得

1 0^{0.05308 \times t /7} = 1 0^{0.30103}

，所以

\frac{t}{7} \approx \frac{0.30103}{0.05308} \approx 5.671

，

t \approx 39.7

，約

40

日。檢查：

1.1 3^{39/7} \approx 1.976

還不到

2

，

1.1 3^{40/7} \approx 2.011

已經超過

2

。

只按整數週也能估：

1.1 3^{5} \approx 1.84

、

1.1 3^{6} \approx 2.08

，所以答案在第

35

日到第

42

日之間。

第 14 題先把單位都換成公尺與公斤。面積

428

平方公里

= 428 \times 1 0^{6}

平方公尺；雨量

1748.5

公厘

= 1.7485

公尺；高度差

h = 1000

公尺。雨水體積是

428 \times 1 0^{6} \times 1.7485 \approx 7.4836 \times 1 0^{8}

立方公尺，質量

m \approx 7.4836 \times 1 0^{11}

公斤。所以

U = m g h \approx 7.4836 \times 1 0^{11} \times 9.8 \times 1000 \approx 7.334 \times 1 0^{15}

焦耳。除以一顆的能量：

\frac{7.334 \times 1 0 ^{15}}{5 \times 1 0 ^{14}} \approx 14.67

，四捨五入取至整數是

15

顆。

1

平方公里是

1000 \times 1000 = 1 0^{6}

平方公尺，不是

1000

平方公尺；

1

公厘

= 0.001

公尺。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

北一女中 109 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 109 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要由解的缺口反推出 a 是負數、第 3 題選項 (1) 負數不能當分數指數的底數、第 4 題選項 (5) 算幾不等式另一邊不是定值時等號成立不代表最小、第 5 題的 R 不是分點公式的形式，以及第 14 題（原卷填充 I）的單位換算。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

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題目取自北一女中 109 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：第一章實數與指對數

北一女中 109 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

請使用計算機找出有理數

L

為下列何值時，

1 0^{L}

最接近

109

。

(1) $1.01871$
(2) $1.01872$
(3) $1.01873$
(4) $1.01874$
(5) $1.01875$

設

a

、

b

均為實數。若

∣ a x - 3∣ \geq b

之解為

x \leq - 6

或

x \geq 4

，則在數線上圖示

∣ a x + 1∣ \leq b

，可得此區間的長度為：

(1) $7$
(2) $8$
(3) $9$
(4) $10$
(5) $11$

下列哪些選項是正確的？

(1) $(- 5)^{\frac{1}{3}} = 3 - 5$
(2) $(- 109.1014)^{0} = 1$
(3) $lo g 2 = 0.3010$
(4) $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + 2 = x + \frac{1}{x}$
(5) $∣2 x - 3∣$ 可以表示數線上點 $P (x)$ 到點 $Q (\frac{3}{2})$ 之距的兩倍

下列哪些選項是正確的？

(1) 若 $a$ 為有理數、 $b$ 為無理數，則 $\frac{109 a}{2020 b}$ 必為無理數
(2) 任兩個相異的無理數之間至少有一個無理數
(3) $\frac{399}{1610}$ 可以化為循環小數
(4) 若 $a = \frac{1 + 3}{2}$ ，則 $a + \frac{1}{2}$ 之值和 $a$ 相同
(5) 由 $\frac{( 2 x + 1 ) ^{2} + ( x + 2 ) ^{2}}{2} \geq (2 x + 1)^{2} (x + 2)^{2}$ 可知 $\frac{( 2 x + 1 ) ^{2} + ( x + 2 ) ^{2}}{2}$ 的最小值產生在 $(2 x + 1)^{2} = (x + 2)^{2}$ 時

已知

a < b

，

A (a)

、

B (b)

、

P (\frac{11 a + 4 b}{15})

、

Q (\frac{9 a + 6 b}{15})

、

R (\frac{8 a + 7 b}{14})

為數線上之點且此數線以右方為正向。試問下列哪些選項是正確的？

(1) 當 $\overline{P Q}$ 長度為 $4$ 時， $\overline{A B}$ 長度為 $30$
(2) $P$ 必在 $Q$ 的右邊
(3) $P$ 必在 $\overline{A B}$ 上
(4) $R$ 必在 $\overline{A B}$ 上
(5) $R$ 有可能和 $A$ 重合

3 2^{- 0.2} \times 4 6^{16} + ((15 + 414)^{\frac{- 1}{2}})^{2}

之值為 ____。（答案須化為最簡）

不等式

3 x - 4 < ∣2 x - 1∣

之解為 ____。

已知

a = \frac{10}{10 + 3}

、

b = \frac{10}{10 - 3}

，則

a^{3} + b^{3}

之值為 ____。（答案須化為最簡）

已知

a > 0

且

a^{2 x} = 5 + 26

，則

\frac{a ^{3 x} + a ^{- 3 x}}{a ^{x} - a ^{- x}}

之值為 ____。（答案須化為最簡）

已知

2 1^{x} = 9

且

56 7^{y} = 81

，則

\frac{2}{x} - \frac{4}{y}

之值為 ____。（答案須化為最簡）

已知

x

為實數，若

t = 4^{x} + 4^{- x}

，

t

的最小值為

a

且此時

x

的值為

b

，則數對

(a, b)

為 ____。

把

1 0^{2.236}

當成

1 0^{5}

之近似值時，

\frac{∣1 0 ^{2.236} - 1 0 ^{5} ∣}{1 0 ^{5}}

稱為誤差比率。若以計算機算出此誤差比率的數值，會發現小數點以下第

m

位開始出現不為

0

的數字，此數字為

n

，則數對

(m, n)

為 ____。

根據約翰霍普金斯大學的統計數據顯示：印度自 COVID-19 疫情大爆發以來，確診人數平均約每

7

日會增為

1.13

倍，2020 年 9 月間確診人數接連突破

400

萬、

500

萬、

600

萬大關，若疫情得不到控制，則依此指數增長模型，自突破

600

萬大關約 ____ 日後，確診人數將突破

1200

萬。（請寫出整數值）

1996 年登陸臺灣的賀伯是歷年來襲臺最強勁的颱風，它曾在阿里山地區

428

平方公里的範圍，於

24

小時內自山區高度差

1

公里的地方降下

1748.5

公厘的雨量，而基礎物理學計算重力位能的公式是

U = m g h

，其中

U

的單位為焦耳，

m

是雨水質量（單位：公斤），

g

是重力加速度值（以

9.8

計算），

h

是降雨的高度差（單位：公尺）。為了瞭解這

24

小時內的降雨威力有多大，可以用二次大戰落在廣島的那顆「小男孩原子彈」所產生的能量

5 \times 1 0^{14}

焦耳作對照，經計算後，阿里山地區這

24

小時降雨所受的能量約為 ____ 顆「小男孩原子彈」的能量總和。（四捨五入取至整數值）註：

1

立方公尺的水質量約

1000

公斤，

1

公厘為

0.1

公分。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(4)

第 3 題(2)(5)

第 4 題(2)(3)(4)

第 5 題(1)(3)(5)

第 6 題

18 + 22 - 7

第 7 題

x < 3

第 8 題

7400

第 9 題

\frac{9}{2} 6

第 10 題

- 3

第 11 題

(2, 0)

第 12 題

(4, 1)

第 13 題

40

第 14 題

15

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1、2：用計算機找 10 的次方、由解反推絕對值不等式

第 1 題答案 (1)。

1 0^{L} = 109

的

L

就是

lo g 109

，用計算機先按出

109 \approx 10.44031

，再按

lo g

得

L \approx 1.018713

。它落在

1.01871

和

1.01872

之間，再把這兩個選項的

1 0^{L}

按出來比：

1 0^{1.01871} \approx 10.44023

，和

109

差約

0.00008

；

1 0^{1.01872} \approx 10.44047

，差約

0.00016

。

L

越大，

1 0^{L}

越大，後面三個選項只會離得更遠，所以最接近的是

1.01871

。

題目問的是

1 0^{L}

和

109

的距離，最後要回到

1 0^{L}

的值來比，不要只看

L

的小數。

第 2 題答案 (4)。解有缺口，所以

b > 0

而且

a \neq = 0

。把

a

提出來：

∣ a x - 3∣ = ∣ a ∣ \cdot x - \frac{3}{a}

，原式就是

x - \frac{3}{a} \geq \frac{b}{∣ a ∣}

，意思是

x

到

\frac{3}{a}

的距離至少是

\frac{b}{∣ a ∣}

。對照「

x \leq - 6

或

x \geq 4

」：中心是

- 6

和

4

的中點，

\frac{3}{a} = - 1

，得

a = - 3

；中心到兩端的距離是

5

，

\frac{b}{∣ a ∣} = 5

，得

b = 15

。所以

∣ a x + 1∣ \leq b

是

∣ - 3 x + 1 ∣ \leq 15

，兩邊同除以

3

得

x - \frac{1}{3} \leq 5

，解為

- \frac{14}{3} \leq x \leq \frac{16}{3}

，區間長度是

\frac{16}{3} - (- \frac{14}{3}) = 10

。

兩個不等式的

a

、

b

相同，到中心的距離都是

\frac{b}{∣ a ∣} = 5

，把

- 3

換成

+ 1

只是移動中心，所以長度就是

2 \times 5 = 10

。

02多選 3～5：指數與對數的基本性質、實數的性質、數線上的分點

第 3 題答案 (2)(5)。(1) 錯：分數指數

a^{\frac{1}{n}}

只在底數

a > 0

時有定義，

(- 5)^{\frac{1}{3}}

沒有意義。如果硬要算，

\frac{1}{3} = \frac{2}{6}

，

(- 5)^{\frac{2}{6}}

會變成

6 (- 5)^{2} = 625

，是正數，和

3 - 5

是負數互相矛盾。(2) 對：不是

0

的數，

0

次方都是

1

。(3) 錯：

0.3010

只是

lo g 2

的近似值。如果

lo g 2

恰好等於

\frac{301}{1000}

，就有

2 = 1 0^{\frac{301}{1000}}

，兩邊同時

1000

次方得

2^{1000} = 1 0^{301}

；右邊是

5

的倍數，左邊不是，矛盾。(4) 錯：

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + 2 = (x + \frac{1}{x})^{2}

，開根號得到的是

x + \frac{1}{x}

；例如

x = - 1

時左邊是

2

，右邊是

- 2

。(5) 對：

∣2 x - 3∣ = 2 x - \frac{3}{2}

，而

x - \frac{3}{2}

就是

P (x)

到

Q (\frac{3}{2})

的距離。

(4)

A^{2} = ∣ A ∣

，只有

A \geq 0

時才能把絕對值拿掉；這裡

x > 0

時等式才成立。

第 4 題答案 (2)(3)(4)。(1) 錯：取

a = 0

，不管

b

是哪個無理數，這個分數都是

0

，是有理數。(2) 對：設兩個無理數

p < q

，中點

m = \frac{p + q}{2}

在兩數之間。若

m

是無理數，它就是要找的數；若

m

是有理數，改取

p

和

m

的中點

\frac{p + m}{2}

，無理數加有理數再除以

2

仍是無理數，而且它也在

p

、

q

之間。(3) 對：

399 = 3 \times 7 \times 19

，

1610 = 2 \times 5 \times 7 \times 23

，約分後是

\frac{57}{230}

，分母

230 = 2 \times 5 \times 23

有

2

、

5

以外的質因數

23

，所以化成小數不會是有限小數，而是循環小數。(4) 對：

a + \frac{1}{2} = \frac{2 + 3}{2} = \frac{4 + 2 3}{4} = \frac{( 3 + 1 ) ^{2}}{4}

，開根號得

\frac{3 + 1}{2}

，正好是

a

。(5) 錯：算幾不等式本身沒有錯，但右邊

(2 x + 1)^{2} (x + 2)^{2}

會跟著

x

變，不是定值，所以等號成立的地方不一定是左邊最小的地方。直接配方：

\frac{( 2 x + 1 ) ^{2} + ( x + 2 ) ^{2}}{2} = \frac{5 x ^{2} + 8 x + 5}{2} = \frac{5}{2} (x + \frac{4}{5})^{2} + \frac{9}{10}

最小值是

\frac{9}{10}

，發生在

x = - \frac{4}{5}

。而

(2 x + 1)^{2} = (x + 2)^{2}

的解是

x = 1

或

x = - 1

，這時式子的值分別是

9

和

1

，都不是最小值。

用算幾不等式求極值，另一邊一定要是定值；(5) 的兩項相加、相乘都不是定值。

第 5 題答案 (1)(3)(5)。令

d = b - a

，

d > 0

，把每個點都寫成「從

a

出發走多少」：

P = a + \frac{4}{15} d

，

Q = a + \frac{6}{15} d

，

R = \frac{8 a + 7 ( a + d )}{14} = a + \frac{a}{14} + \frac{d}{2}

。(1) 對：

\overline{P Q} = \frac{6}{15} d - \frac{4}{15} d = \frac{2}{15} d = 4

，得

d = 30

，就是

\overline{A B} = 30

。(2) 錯：

\frac{4}{15} d < \frac{6}{15} d

，

P

在

Q

的左邊。(3) 對：

0 < \frac{4}{15} < 1

，

P

在

A

、

B

之間。(4) 錯：

R

的位置還跟

a

本身有關，例如

a = 14

、

b = 15

時

R = \frac{112 + 105}{14} = 15.5

，在

B

的右邊。(5) 對：

R

和

A

重合就是

\frac{a}{14} + \frac{d}{2} = 0

，即

a = - 7 d

；例如

a = - 7

、

b = - 6

時

R = \frac{- 56 - 42}{14} = - 7

，正好是

A

。

P

、

Q

的兩個係數相加是

1

，才是分點公式的形式；

R

的係數相加是

\frac{15}{14}

，不能直接當成

\overline{A B}

上的分點。

03填充 6～10（原卷 A～E）：分數指數、絕對值不等式、有理化、對稱式、化成同底

第 6 題前半：

3 2^{- 0.2} = (2^{5})^{- \frac{1}{5}} = 2^{- 1} = \frac{1}{2}

；

4 6^{16} = 6^{16 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2}} = 6^{2} = 36

，相乘得

18

。後半：先算指數，

\frac{- 1}{2} \times 2 = - 1

，所以後半是

15 + 414

的倒數。

15 + 414 = 15 + 256 = (8 + 7)^{2}

，所以

15 + 414 = 8 + 7

，倒數是

\frac{1}{8 + 7} = \frac{8 - 7}{8 - 7} = 22 - 7

。兩部分相加得

18 + 22 - 7

。

雙重根號要先把裡面的係數整理成

2

的樣子：

414 = 256

，再找相加是

15

、相乘是

56

的兩個數

8

和

7

。

第 7 題以

x = \frac{1}{2}

為界分兩段。

x \geq \frac{1}{2}

時

∣2 x - 1∣ = 2 x - 1

，不等式變成

3 x - 4 < 2 x - 1

，即

x < 3

，這一段的解是

\frac{1}{2} \leq x < 3

。

x < \frac{1}{2}

時

∣2 x - 1∣ = 1 - 2 x

，不等式變成

3 x - 4 < 1 - 2 x

，即

x < 1

，這一段的

x

本來就小於

\frac{1}{2}

，全部成立。兩段合起來是

x < 3

。

每一段解出來的範圍，要和那一段本身的條件取共同的部分，最後再把兩段合併。

第 8 題先有理化分母：

a = \frac{10 ( 10 - 3 )}{10 - 9} = 10 - 310

，同樣可得

b = 10 + 310

。所以

a + b = 20

，

ab = 100 - 90 = 10

。由乘法公式

a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b) = 8000 - 3 \times 10 \times 20 = 7400

。

a

、

b

是一對只差正負號的數，先求和與積，比直接各自三次方快得多。

第 9 題

a > 0

，所以

a^{x} > 0

。

(a^{x})^{2} = 5 + 26 = (3 + 2)^{2}

，得

a^{x} = 3 + 2

，

a^{- x} = \frac{1}{3 + 2} = 3 - 2

。令

p = a^{x}

、

q = a^{- x}

，則

p + q = 23

，

p - q = 22

，

pq = 1

。分子

p^{3} + q^{3} = (p + q)^{3} - 3 pq (p + q) = 243 - 63 = 183

，分母是

22

。所求為

\frac{18 3}{2 2} = \frac{9 3}{2} = \frac{9 6}{2}

。

分母是

a^{x} - a^{- x}

，不是

a^{x} + a^{- x}

，不能和分子直接約分；答案的分母要有理化。

第 10 題

2 1^{x} = 9 = 3^{2}

，兩邊同時

\frac{1}{x}

次方得

21 = 3^{\frac{2}{x}}

。

56 7^{y} = 81 = 3^{4}

，兩邊同時

\frac{1}{y}

次方得

567 = 3^{\frac{4}{y}}

。兩式相除：

3^{\frac{2}{x} - \frac{4}{y}} = \frac{21}{567} = \frac{1}{27} = 3^{- 3}

。底數相同，指數相等，所以

\frac{2}{x} - \frac{4}{y} = - 3

。

看到

\frac{2}{x}

、

\frac{4}{y}

在指數的位置，就把已知條件改寫成「

3

的幾次方」；

567 = 21 \times 27

。

04填充 11～14（原卷 F～I）：算幾不等式、誤差比率、倍增時間、單位換算

第 11 題

4^{x}

和

4^{- x}

都是正數，而且乘積

4^{x} \cdot 4^{- x} = 1

是定值。由算幾不等式

\frac{4 ^{x} + 4 ^{- x}}{2} \geq 4^{x} \cdot 4^{- x} = 1

，所以

t \geq 2

。等號成立在

4^{x} = 4^{- x}

，即

4^{2 x} = 1

，

x = 0

。所以

a = 2

、

b = 0

，數對是

(2, 0)

。

數對的順序是（最小值，此時的

x

），不要寫反。

第 12 題用計算機：

1 0^{2.236} \approx 172.18686

，

1 0^{5} \approx 172.21381

，相差約

0.02695

，除以

172.21381

得誤差比率約

0.0001565

。小數點以下第

1

、

2

、

3

位都是

0

，第

4

位開始出現不為

0

的數字

1

，所以

(m, n) = (4, 1)

。

也可以先化簡再按：誤差比率等於

1 0^{2.236 - 5} - 1

，其中

2.236 - 5 \approx - 0.00006798

，

1 0^{- 0.00006798} \approx 0.9998435

，結果相同。

第 13 題每

7

日變成

1.13

倍，經過

t

日就變成

1.1 3^{t /7}

倍。從

600

萬到

1200

萬是

2

倍，要解

1.1 3^{t /7} = 2

。用計算機：

lo g 1.13 \approx 0.05308

，即

1.13 \approx 1 0^{0.05308}

；

lo g 2 \approx 0.30103

，即

2 \approx 1 0^{0.30103}

。代進去得

1 0^{0.05308 \times t /7} = 1 0^{0.30103}

，所以

\frac{t}{7} \approx \frac{0.30103}{0.05308} \approx 5.671

，

t \approx 39.7

，約

40

日。檢查：

1.1 3^{39/7} \approx 1.976

還不到

2

，

1.1 3^{40/7} \approx 2.011

已經超過

2

。

只按整數週也能估：

1.1 3^{5} \approx 1.84

、

1.1 3^{6} \approx 2.08

，所以答案在第

35

日到第

42

日之間。

第 14 題先把單位都換成公尺與公斤。面積

428

平方公里

= 428 \times 1 0^{6}

平方公尺；雨量

1748.5

公厘

= 1.7485

公尺；高度差

h = 1000

公尺。雨水體積是

428 \times 1 0^{6} \times 1.7485 \approx 7.4836 \times 1 0^{8}

立方公尺，質量

m \approx 7.4836 \times 1 0^{11}

公斤。所以

U = m g h \approx 7.4836 \times 1 0^{11} \times 9.8 \times 1000 \approx 7.334 \times 1 0^{15}

焦耳。除以一顆的能量：

\frac{7.334 \times 1 0 ^{15}}{5 \times 1 0 ^{14}} \approx 14.67

，四捨五入取至整數是

15

顆。

1

平方公里是

1000 \times 1000 = 1 0^{6}

平方公尺，不是

1000

平方公尺；

1

公厘

= 0.001

公尺。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

北一女中 109 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 109 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自北一女中 109 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

北一女中 109 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 14 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1、2：用計算機找 10 的次方、由解反推絕對值不等式

02多選 3～5：指數與對數的基本性質、實數的性質、數線上的分點

03填充 6～10（原卷 A～E）：分數指數、絕對值不等式、有理化、對稱式、化成同底

04填充 11～14（原卷 F～I）：算幾不等式、誤差比率、倍增時間、單位換算

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北一女中 109 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

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北一女中 109 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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高一第一次段考
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