段考詳解範圍：第一冊數與式（實數、絕對值、指數）

北一女中 108 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

單選題 2 題（每題 5 分，共 10 分）、多選題 2 題（每題 10 分，共 20 分）、填充題 10 題（每題 6 分，共 60 分）、計算證明題 2 題（第 1 題 3 分，第 2 題 7 分，共 10 分），合計 100 分。卷面各大題各自從 1 編號，本頁依序連續編為第 1～16 題：第 3、4 題是多選題第 1、2 題，第 5～14 題是填充題第 1～10 題，第 15、16 題是計算證明題第 1、2 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題（每題 5 分，共 10 分）

已知

a

是位於區間

(0, 10)

內的整數，且

\frac{290 + a}{140}

可以化為有限小數，則將

\frac{290 + a}{140}

化為有限小數後的值為何？

(1) $2.08$
(2) $2.09$
(3) $2.1$
(4) $2.11$
(5) $2.12$

計算

2.5 \times 1 0^{- 7} - 5 \times 1 0^{- 8}

的值為多少？

(1) $- 4.75 \times 1 0^{- 8}$
(2) $2 \times 1 0^{- 7}$
(3) $2 \times 1 0^{- 8}$
(4) $2.5 \times 1 0^{- 7}$
(5) $2.5 \times 1 0^{- 8}$

二、多選題（每題 10 分，共 20 分）

下列哪些選項中的數值存在？

(1) $(- 5)^{- 5}$
(2) $(- 5)^{\frac{1}{5}}$
(3) $(- \frac{1}{5})^{5}$
(4) $(- \frac{1}{5})^{- 5}$
(5) $(- \frac{1}{5})^{\frac{1}{5}}$

在數線上有三點

A (a)

、

B (b)

、

P (x)

，已知

a < b

，且

2∣ x - a ∣ = 3∣ x - b ∣

，試問下列選項哪些正確？

(1) $P$ 在 $\overline{A B}$ 上
(2) $\overline{P A} : \overline{P B} = 3 : 2$
(3) $5∣ x - a ∣ = 3∣ a - b ∣$
(4) $x > \frac{a + b}{2}$
(5) $x > \frac{2 a + 3 b}{4}$

三、填充題（每題 6 分，共 60 分）

計算並化簡

\frac{3 ^{5} \times 4 ^{\frac{3}{4}}}{6 ^{3}} =

____。

已知

a > 0

，且

a^{- \frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}} = 5

，則

a - a^{- 1} =

____。

在數線上，

C

、

D

兩點在

A

、

B

之間，已知

C

點坐標為

7

，

D

點坐標為

8

，且

\overline{A C} : \overline{B C} = 1 : 2

，

\overline{A D} : \overline{B D} = 3 : 2

，則

A

點坐標為 ____。

若絕對值不等式

∣2 x - a ∣ \leq b

的解為

- 7 \leq x \leq 1

，則數對

(a, b) =

____。

已知

3^{x} = 4

，

3^{y} = 8

，則

2^{\frac{y}{x}} =

____。

已知

∣ x - 3∣ \leq 4

，則

∣ x + 2∣ + ∣ x - 1∣

的最小值為 ____，最大值為 ____。

已知

n

為自然數，且

n + 2 + \frac{1}{n} - n - 2 + \frac{1}{n} < \frac{1}{9}

，則

n

的最小值為 ____。

(1)

10 + 311

的整數部份為 ____。　(2) 計算

10 + 311 + 10 - 311 =

____。

溶液的酸鹼程度常以 pH 值來衡量。當溶液中的氫離子濃度

[H^{+}] = 1 0^{- x} 莫耳／升

時，pH 值就定為

x

。若有

50

升 pH 值為

5

的甲溶液，則需與 ____ 升 pH 值為

3

的乙溶液一起混合，混合後的溶液 pH 值才會是

4

。

已知一個人的體重與該星球的重力成正比，且地球的重力為

9.8 m / sec^{2}

。天文館有一個體重器，只要站在體重器上，就可以顯示出在地球和在木星上的體重數值，若此體重器上所顯示出來的數值，其在木星上的體重為地球上體重的

x

倍，且正負誤差不超過在地球上體重的

k

倍。若

x

滿足

∣ x - 2.53∣ \leq k

，試問： (1) 木星上的重力約為 ____

m / sec^{2}

（取三位有效數字） (2) 今有一對姊弟和父母去量體重，呈現出的體重數值如下表。

地球上的體重（公斤重） 木星上的體重（公斤重） 弟 2050 姊 40102 母 50127 父 80202

依照姊弟父母量測的體重數值判斷，

k

的值至少為下列哪一個選項？____（單選） (A)

0.0003

　(B)

0.003

　(C)

0.03

　(D)

0.3

　(E)

3

四、計算證明題（第 1 題 3 分，第 2 題 7 分，共 10 分）

已知

2

為無理數，試證明

2 + 2

為無理數。

有一園藝設計師欲種植一片面積為

6000

平方公尺的矩形綠地，並且舖設一條步道環繞矩形綠地的外圍，此橫向步道的寬為

3

公尺，縱向步道的寬為

5

公尺，如圖所示。試問：　(1) 當矩形綠地長和寬各為多少公尺時，此步道面積會最小？　(2) 步道面積最小為多少平方公尺？

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(2)

第 3 題(1)(3)(4)

第 4 題(2)(4)

第 5 題

3

第 6 題

- 35

第 7 題

\frac{23}{4}

第 8 題

(- 6, 8)

第 9 題

22

第 10 題最小值

3

，最大值

15

第 11 題

325

第 12 題(1)

4

　(2)

22

第 13 題

5

第 14 題(1)

24.8

　(2) (C)

第 15 題證明見詳解

第 16 題(1) 長

100

公尺、寬

60

公尺　(2)

1260

平方公尺

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選 1、2：有限小數、科學記號

第 1 題答案 (3)。

140 = 2^{2} \times 5 \times 7

。分數要能化成有限小數，約分之後分母只能剩下質因數

2

和

5

，所以分子

290 + a

必須把

7

約掉，也就是

290 + a

是

7

的倍數。

a

是

1

到

9

的整數，

291

到

299

之中

7

的倍數只有

294 = 7 \times 42

，所以

a = 4

，

\frac{294}{140} = \frac{21}{10} = 2.1

。

區間

(0, 10)

不含兩端，

a

只能是

1, 2, \dots, 9

。

第 2 題答案 (2)。先把兩項換成同一個

10

的次方：

5 \times 1 0^{- 8} = 0.5 \times 1 0^{- 7}

，所以

2.5 \times 1 0^{- 7} - 0.5 \times 1 0^{- 7} = (2.5 - 0.5) \times 1 0^{- 7} = 2 \times 1 0^{- 7}

。

次方不同不能直接把

2.5

和

5

相減。

02多選 3、4：指數的定義、絕對值與分點

第 3 題答案 (1)(3)(4)。指數是整數時，底數只要不是

0

就有定義；指數是分數（不是整數）時，課本只對正的底數定義。 (1) 正確。 數值存在：

(- 5)^{- 5} = \frac{1}{( - 5 ) ^{5}} = - \frac{1}{3125}

。 (2) 錯誤。 指數

\frac{1}{5}

不是整數，底數

- 5

是負的，沒有定義。 (3) 正確。 數值存在：

(- \frac{1}{5})^{5} = - \frac{1}{3125}

。 (4) 正確。 數值存在：

(- \frac{1}{5})^{- 5} = (- 5)^{5} = - 3125

。 (5) 錯誤。 指數

\frac{1}{5}

不是整數，底數

- \frac{1}{5}

是負的，沒有定義。

底數是負的時候不定義分數指數，是因為

\frac{1}{5} = \frac{2}{10}

，同一個數若改用

\frac{2}{10}

來算會得到正數，兩種算法結果不同。

第 4 題答案 (2)(4)。

∣ x - a ∣

是

\overline{P A}

、

∣ x - b ∣

是

\overline{P B}

，條件就是

2 \overline{P A} = 3 \overline{P B}

。去掉絕對值有兩種情形：

2 (x - a) = - 3 (x - b)

得

x = \frac{2 a + 3 b}{5}

（

P

在

A

、

B

之間）；

2 (x - a) = 3 (x - b)

得

x = 3 b - 2 a

（

P

在

B

的右邊）。兩種都符合題目條件，選項要兩種都成立才算正確。 (1) 錯誤。

x = 3 b - 2 a

時，

x - b = 2 (b - a)

是正的，

P

在

B

的右邊，不在

\overline{A B}

上。 (2) 正確。 由

2 \overline{P A} = 3 \overline{P B}

直接得到

\overline{P A} : \overline{P B} = 3 : 2

。 (3) 錯誤。

x = 3 b - 2 a

時，

∣ x - a ∣ = 3 (b - a)

，左邊是

15 (b - a)

，右邊是

3 (b - a)

，不相等。這個式子只有

P

在

A

、

B

之間時才成立。 (4) 正確。 第一種：

\frac{2 a + 3 b}{5} - \frac{a + b}{2} = \frac{b - a}{10}

是正的。第二種：

x = 3 b - 2 a

比

b

大，而

b

比

\frac{a + b}{2}

大。兩種都成立。 (5) 錯誤。 取

a = 0

、

b = 5

，第一種的

x = 3

，而

\frac{2 a + 3 b}{4} = \frac{15}{4}

，

3

比

\frac{15}{4}

小。

題目沒有說

P

在

A

、

B

之間，外分點

x = 3 b - 2 a

也要考慮。

03填充 5～9：指數律、對稱式、分點、絕對值不等式

第 5 題全部換成分數指數：

3^{5} = 3^{\frac{5}{2}}

，

4^{\frac{3}{4}} = (2^{2})^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{3}{2}}

，

6^{3} = 6^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} \times 3^{\frac{3}{2}}

。所以原式

= \frac{3 ^{\frac{5}{2}} \times 2 ^{\frac{3}{2}}}{2 ^{\frac{3}{2}} \times 3 ^{\frac{3}{2}}} = 3^{\frac{5}{2} - \frac{3}{2}} = 3

。

第 6 題令

t = a^{\frac{1}{2}}

（

t

是正數），條件是

\frac{1}{t} - t = 5

，所求是

a - a^{- 1} = t^{2} - \frac{1}{t ^{2}} = (t - \frac{1}{t}) (t + \frac{1}{t})

。先求

t + \frac{1}{t}

：

(t + \frac{1}{t})^{2} = (\frac{1}{t} - t)^{2} + 4 = 5 + 4 = 9

，而

t + \frac{1}{t}

是正的，所以

t + \frac{1}{t} = 3

。又

t - \frac{1}{t} = - 5

，所以

a - a^{- 1} = (- 5) \times 3 = - 35

。

條件是

a^{- \frac{1}{2}}

減

a^{\frac{1}{2}}

，所求是

a

減

a^{- 1}

，順序相反，答案是負的。

第 7 題設

\overline{A B}

的長是

L

。

\overline{A C} : \overline{B C} = 1 : 2

，所以

\overline{A C} = \frac{1}{3} L

；

\overline{A D} : \overline{B D} = 3 : 2

，所以

\overline{A D} = \frac{3}{5} L

。

C

、

D

都在

A

、

B

之間，

\overline{C D} = \overline{A D} - \overline{A C} = \frac{3}{5} L - \frac{1}{3} L = \frac{4}{15} L

，而

\overline{C D} = 8 - 7 = 1

，由此算出

L = \frac{15}{4}

、

\overline{A C} = \frac{5}{4}

兩個長度。

C

比

D

靠近

A

，而

C

的坐標比

D

小，所以

A

在

C

的左邊，由

7 - \frac{5}{4} = \frac{23}{4}

得到

A

點坐標。

檢查：

B

的坐標是

\frac{23}{4} + \frac{15}{4} = \frac{19}{2}

，

\overline{B C} = \frac{5}{2}

是

\overline{A C}

的

2

倍。

第 8 題有解，所以

b \geq 0

。

∣2 x - a ∣ \leq b

就是

- b \leq 2 x - a \leq b

，即

\frac{a - b}{2} \leq x \leq \frac{a + b}{2}

。和

- 7 \leq x \leq 1

比較：

a - b = - 14

，

a + b = 2

，相加得

a = - 6

，再得

b = 8

。所以

(a, b) = (- 6, 8)

。

也可以把

- 7 \leq x \leq 1

寫成

∣ x + 3∣ \leq 4

，兩邊乘

2

得

∣2 x + 6∣ \leq 8

。

第 9 題由

3^{x} = 4

，兩邊同時

\frac{y}{x}

次方：

4^{\frac{y}{x}} = (3^{x})^{\frac{y}{x}} = 3^{y} = 8

。而

4^{\frac{y}{x}} = (2^{\frac{y}{x}})^{2}

，所以

(2^{\frac{y}{x}})^{2} = 8

；

2^{\frac{y}{x}}

是正數，所以

2^{\frac{y}{x}} = 8 = 22

。

3^{x} = 4

不等於

1

，所以

x \neq = 0

，

\frac{y}{x}

有意義。

04填充 10～14：距離和、根號化簡、雙重根號、pH 值、誤差範圍

第 10 題

∣ x - 3∣ \leq 4

就是

- 1 \leq x \leq 7

。

∣ x + 2∣ + ∣ x - 1∣

是數線上

x

到

- 2

與到

1

的距離和。

- 1 \leq x \leq 1

時，

x

在

- 2

和

1

之間，距離和恆為

1 - (- 2) = 3

，這是最小值。

1 \leq x \leq 7

時，

∣ x + 2∣ + ∣ x - 1∣ = (x + 2) + (x - 1) = 2 x + 1

，此時

2 x + 1 \geq 3

，不會比

3

小，而且

x

愈大值愈大，所以最大值

15

發生在右端點

x = 7

。

要先解出

x

的範圍；最大值發生在離

- 2

和

1

最遠的端點

x = 7

。

第 11 題

n + 2 + \frac{1}{n} = (n + \frac{1}{n})^{2}

，

n - 2 + \frac{1}{n} = (n - \frac{1}{n})^{2}

。

n

是自然數，

n \geq 1 \geq \frac{1}{n}

，所以兩個根號分別是

n + \frac{1}{n}

與

n - \frac{1}{n}

，相減得

\frac{2}{n}

。

\frac{2}{n} < \frac{1}{9}

即

n > 18

，

n > 324

，所以

n

的最小值是

325

。

n = 324

時相減恰好等於

\frac{1}{9}

，不符合「小於」。

第 12 題(1)

311 = 99

，而

81 < 99 < 100

，所以

9 < 311 < 10

，

19 < 10 + 311 < 20

。又

16 < 19

、

20 < 25

，所以

4 < 10 + 311 < 5

，整數部分是

4

。 (2) 令

S = 10 + 311 + 10 - 311

，

S

是正數。

S^{2} = (10 + 311) + (10 - 311) + 2 (10 + 311) (10 - 311) = 20 + 2 100 - 99 = 22

，所以

S = 22

。

10 - 311 = 10 - 99

是正數，第二個根號有意義。用計算器檢查：

10 + 311 \approx 4.467

。

第 13 題氫離子的量＝濃度×體積。甲溶液濃度

1 0^{- 5}

，

50

升共有

50 \times 1 0^{- 5}

莫耳；設乙溶液

V

升，濃度

1 0^{- 3}

，共有

V \times 1 0^{- 3}

莫耳。混合後體積

50 + V

升，濃度要是

1 0^{- 4}

：

50 \times 1 0^{- 5} + V \times 1 0^{- 3} = (50 + V) \times 1 0^{- 4}

。兩邊同乘

1 0^{5}

：

50 + 100 V = 500 + 10 V

，

90 V = 450

，

V = 5

。

pH 值不能直接平均：

50

升和

50

升混合不會得到 pH 值

4

。

第 14 題(1) 體重與重力成正比，木星上的體重約為地球上的

2.53

倍，所以木星上的重力約為

9.8 \times 2.53 = 24.794

，取三位有效數字是

24.8

。 (2) 四個人的

x

（木星上的體重÷地球上的體重）分別是：弟

\frac{50}{20} = 2.5

、姊

\frac{102}{40} = 2.55

、母

\frac{127}{50} = 2.54

、父

\frac{202}{80} = 2.525

。

∣ x - 2.53∣

分別是

0.03

、

0.02

、

0.01

、

0.005

。四個都要滿足

∣ x - 2.53∣ \leq k

，

k

至少要是其中最大的

0.03

，選 (C)。

k

要蓋住四個人當中誤差最大的那一個，不是取平均。

05計算證明題 15、16：反證法、算幾不等式

第 15 題用反證法。假設

2 + 2

是有理數，設

2 + 2 = k

，

k

為有理數。兩邊平方：

2 + 2 = k^{2}

，所以

2 = k^{2} - 2

。有理數相乘、相減的結果還是有理數，所以

k^{2} - 2

是有理數，也就是

2

是有理數，這和已知「

2

為無理數」矛盾。所以假設不成立，

2 + 2

為無理數。

反證法的三步：先假設結論不成立、推出和已知矛盾、所以原結論成立。

第 16 題設矩形綠地長

x

公尺、寬

y

公尺，

x y = 6000

。左右兩條縱向步道各寬

5

公尺，上下兩條橫向步道各寬

3

公尺，所以連步道在內的大矩形長

x + 10

、寬

y + 6

。步道面積

= (x + 10) (y + 6) - x y = 6 x + 10 y + 60

。

6 x

與

10 y

都是正數，由算幾不等式

\frac{6 x + 10 y}{2} \geq 6 x \cdot 10 y = 60 \times 6000 = 360000 = 600

，所以

6 x + 10 y \geq 1200

，步道面積至少是

1200 + 60 = 1260

。等號成立在

6 x = 10 y = 600

，即

x = 100

、

y = 60

（此時

x y = 6000

，符合）。 (1) 綠地長

100

公尺、寬

60

公尺時步道面積最小。(2) 最小面積是

1260

平方公尺。

步道的四個轉角也算在內，用大矩形減綠地最不容易漏；等號成立的條件要寫出來並檢查。

同一次段考的其他學校

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北一女中 108 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題負的底數配上分數指數沒有定義、第 4 題要連外分點一起考慮、第 6 題所求與條件的相減順序相反所以答案是負的、第 11 題兩個根號內都要配成完全平方，以及第 13 題混合後的酸鹼值要用氫離子的量來算。詳解逐題寫在本頁。

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御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：第一冊數與式（實數、絕對值、指數）

北一女中 108 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

一、單選題（每題 5 分，共 10 分）

已知

a

是位於區間

(0, 10)

內的整數，且

\frac{290 + a}{140}

可以化為有限小數，則將

\frac{290 + a}{140}

化為有限小數後的值為何？

(1) $2.08$
(2) $2.09$
(3) $2.1$
(4) $2.11$
(5) $2.12$

計算

2.5 \times 1 0^{- 7} - 5 \times 1 0^{- 8}

的值為多少？

(1) $- 4.75 \times 1 0^{- 8}$
(2) $2 \times 1 0^{- 7}$
(3) $2 \times 1 0^{- 8}$
(4) $2.5 \times 1 0^{- 7}$
(5) $2.5 \times 1 0^{- 8}$

二、多選題（每題 10 分，共 20 分）

下列哪些選項中的數值存在？

(1) $(- 5)^{- 5}$
(2) $(- 5)^{\frac{1}{5}}$
(3) $(- \frac{1}{5})^{5}$
(4) $(- \frac{1}{5})^{- 5}$
(5) $(- \frac{1}{5})^{\frac{1}{5}}$

在數線上有三點

A (a)

、

B (b)

、

P (x)

，已知

a < b

，且

2∣ x - a ∣ = 3∣ x - b ∣

，試問下列選項哪些正確？

(1) $P$ 在 $\overline{A B}$ 上
(2) $\overline{P A} : \overline{P B} = 3 : 2$
(3) $5∣ x - a ∣ = 3∣ a - b ∣$
(4) $x > \frac{a + b}{2}$
(5) $x > \frac{2 a + 3 b}{4}$

三、填充題（每題 6 分，共 60 分）

計算並化簡

\frac{3 ^{5} \times 4 ^{\frac{3}{4}}}{6 ^{3}} =

____。

已知

a > 0

，且

a^{- \frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}} = 5

，則

a - a^{- 1} =

____。

在數線上，

C

、

D

兩點在

A

、

B

之間，已知

C

點坐標為

7

，

D

點坐標為

8

，且

\overline{A C} : \overline{B C} = 1 : 2

，

\overline{A D} : \overline{B D} = 3 : 2

，則

A

點坐標為 ____。

若絕對值不等式

∣2 x - a ∣ \leq b

的解為

- 7 \leq x \leq 1

，則數對

(a, b) =

____。

已知

3^{x} = 4

，

3^{y} = 8

，則

2^{\frac{y}{x}} =

____。

已知

∣ x - 3∣ \leq 4

，則

∣ x + 2∣ + ∣ x - 1∣

的最小值為 ____，最大值為 ____。

已知

n

為自然數，且

n + 2 + \frac{1}{n} - n - 2 + \frac{1}{n} < \frac{1}{9}

，則

n

的最小值為 ____。

(1)

10 + 311

的整數部份為 ____。　(2) 計算

10 + 311 + 10 - 311 =

____。

溶液的酸鹼程度常以 pH 值來衡量。當溶液中的氫離子濃度

[H^{+}] = 1 0^{- x} 莫耳／升

時，pH 值就定為

x

。若有

50

升 pH 值為

5

的甲溶液，則需與 ____ 升 pH 值為

3

的乙溶液一起混合，混合後的溶液 pH 值才會是

4

。

已知一個人的體重與該星球的重力成正比，且地球的重力為

9.8 m / sec^{2}

x

倍，且正負誤差不超過在地球上體重的

k

倍。若

x

滿足

∣ x - 2.53∣ \leq k

，試問： (1) 木星上的重力約為 ____

m / sec^{2}

（取三位有效數字） (2) 今有一對姊弟和父母去量體重，呈現出的體重數值如下表。

地球上的體重（公斤重） 木星上的體重（公斤重） 弟 2050 姊 40102 母 50127 父 80202

依照姊弟父母量測的體重數值判斷，

k

的值至少為下列哪一個選項？____（單選） (A)

0.0003

　(B)

0.003

　(C)

0.03

　(D)

0.3

　(E)

3

四、計算證明題（第 1 題 3 分，第 2 題 7 分，共 10 分）

已知

2

為無理數，試證明

2 + 2

為無理數。

有一園藝設計師欲種植一片面積為

6000

平方公尺的矩形綠地，並且舖設一條步道環繞矩形綠地的外圍，此橫向步道的寬為

3

公尺，縱向步道的寬為

5

公尺，如圖所示。試問：　(1) 當矩形綠地長和寬各為多少公尺時，此步道面積會最小？　(2) 步道面積最小為多少平方公尺？

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(2)

第 3 題(1)(3)(4)

第 4 題(2)(4)

第 5 題

3

第 6 題

- 35

第 7 題

\frac{23}{4}

第 8 題

(- 6, 8)

第 9 題

22

第 10 題最小值

3

，最大值

15

第 11 題

325

第 12 題(1)

4

　(2)

22

第 13 題

5

第 14 題(1)

24.8

　(2) (C)

第 15 題證明見詳解

第 16 題(1) 長

100

公尺、寬

60

公尺　(2)

1260

平方公尺

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選 1、2：有限小數、科學記號

第 1 題答案 (3)。

140 = 2^{2} \times 5 \times 7

。分數要能化成有限小數，約分之後分母只能剩下質因數

2

和

5

，所以分子

290 + a

必須把

7

約掉，也就是

290 + a

是

7

的倍數。

a

是

1

到

9

的整數，

291

到

299

之中

7

的倍數只有

294 = 7 \times 42

，所以

a = 4

，

\frac{294}{140} = \frac{21}{10} = 2.1

。

區間

(0, 10)

不含兩端，

a

只能是

1, 2, \dots, 9

。

第 2 題答案 (2)。先把兩項換成同一個

10

的次方：

5 \times 1 0^{- 8} = 0.5 \times 1 0^{- 7}

，所以

2.5 \times 1 0^{- 7} - 0.5 \times 1 0^{- 7} = (2.5 - 0.5) \times 1 0^{- 7} = 2 \times 1 0^{- 7}

。

次方不同不能直接把

2.5

和

5

相減。

02多選 3、4：指數的定義、絕對值與分點

第 3 題答案 (1)(3)(4)。指數是整數時，底數只要不是

0

就有定義；指數是分數（不是整數）時，課本只對正的底數定義。 (1) 正確。 數值存在：

(- 5)^{- 5} = \frac{1}{( - 5 ) ^{5}} = - \frac{1}{3125}

。 (2) 錯誤。 指數

\frac{1}{5}

不是整數，底數

- 5

是負的，沒有定義。 (3) 正確。 數值存在：

(- \frac{1}{5})^{5} = - \frac{1}{3125}

。 (4) 正確。 數值存在：

(- \frac{1}{5})^{- 5} = (- 5)^{5} = - 3125

。 (5) 錯誤。 指數

\frac{1}{5}

不是整數，底數

- \frac{1}{5}

是負的，沒有定義。

底數是負的時候不定義分數指數，是因為

\frac{1}{5} = \frac{2}{10}

，同一個數若改用

\frac{2}{10}

來算會得到正數，兩種算法結果不同。

第 4 題答案 (2)(4)。

∣ x - a ∣

是

\overline{P A}

、

∣ x - b ∣

是

\overline{P B}

，條件就是

2 \overline{P A} = 3 \overline{P B}

。去掉絕對值有兩種情形：

2 (x - a) = - 3 (x - b)

得

x = \frac{2 a + 3 b}{5}

（

P

在

A

、

B

之間）；

2 (x - a) = 3 (x - b)

得

x = 3 b - 2 a

（

P

在

B

的右邊）。兩種都符合題目條件，選項要兩種都成立才算正確。 (1) 錯誤。

x = 3 b - 2 a

時，

x - b = 2 (b - a)

是正的，

P

在

B

的右邊，不在

\overline{A B}

上。 (2) 正確。 由

2 \overline{P A} = 3 \overline{P B}

直接得到

\overline{P A} : \overline{P B} = 3 : 2

。 (3) 錯誤。

x = 3 b - 2 a

時，

∣ x - a ∣ = 3 (b - a)

，左邊是

15 (b - a)

，右邊是

3 (b - a)

，不相等。這個式子只有

P

在

A

、

B

之間時才成立。 (4) 正確。 第一種：

\frac{2 a + 3 b}{5} - \frac{a + b}{2} = \frac{b - a}{10}

是正的。第二種：

x = 3 b - 2 a

比

b

大，而

b

比

\frac{a + b}{2}

大。兩種都成立。 (5) 錯誤。 取

a = 0

、

b = 5

，第一種的

x = 3

，而

\frac{2 a + 3 b}{4} = \frac{15}{4}

，

3

比

\frac{15}{4}

小。

題目沒有說

P

在

A

、

B

之間，外分點

x = 3 b - 2 a

也要考慮。

03填充 5～9：指數律、對稱式、分點、絕對值不等式

第 5 題全部換成分數指數：

3^{5} = 3^{\frac{5}{2}}

，

4^{\frac{3}{4}} = (2^{2})^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{3}{2}}

，

6^{3} = 6^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} \times 3^{\frac{3}{2}}

。所以原式

= \frac{3 ^{\frac{5}{2}} \times 2 ^{\frac{3}{2}}}{2 ^{\frac{3}{2}} \times 3 ^{\frac{3}{2}}} = 3^{\frac{5}{2} - \frac{3}{2}} = 3

。

第 6 題令

t = a^{\frac{1}{2}}

（

t

是正數），條件是

\frac{1}{t} - t = 5

，所求是

a - a^{- 1} = t^{2} - \frac{1}{t ^{2}} = (t - \frac{1}{t}) (t + \frac{1}{t})

。先求

t + \frac{1}{t}

：

(t + \frac{1}{t})^{2} = (\frac{1}{t} - t)^{2} + 4 = 5 + 4 = 9

，而

t + \frac{1}{t}

是正的，所以

t + \frac{1}{t} = 3

。又

t - \frac{1}{t} = - 5

，所以

a - a^{- 1} = (- 5) \times 3 = - 35

。

條件是

a^{- \frac{1}{2}}

減

a^{\frac{1}{2}}

，所求是

a

減

a^{- 1}

，順序相反，答案是負的。

第 7 題設

\overline{A B}

的長是

L

。

\overline{A C} : \overline{B C} = 1 : 2

，所以

\overline{A C} = \frac{1}{3} L

；

\overline{A D} : \overline{B D} = 3 : 2

，所以

\overline{A D} = \frac{3}{5} L

。

C

、

D

都在

A

、

B

之間，

\overline{C D} = \overline{A D} - \overline{A C} = \frac{3}{5} L - \frac{1}{3} L = \frac{4}{15} L

，而

\overline{C D} = 8 - 7 = 1

，由此算出

L = \frac{15}{4}

、

\overline{A C} = \frac{5}{4}

兩個長度。

C

比

D

靠近

A

，而

C

的坐標比

D

小，所以

A

在

C

的左邊，由

7 - \frac{5}{4} = \frac{23}{4}

得到

A

點坐標。

檢查：

B

的坐標是

\frac{23}{4} + \frac{15}{4} = \frac{19}{2}

，

\overline{B C} = \frac{5}{2}

是

\overline{A C}

的

2

倍。

第 8 題有解，所以

b \geq 0

。

∣2 x - a ∣ \leq b

就是

- b \leq 2 x - a \leq b

，即

\frac{a - b}{2} \leq x \leq \frac{a + b}{2}

。和

- 7 \leq x \leq 1

比較：

a - b = - 14

，

a + b = 2

，相加得

a = - 6

，再得

b = 8

。所以

(a, b) = (- 6, 8)

。

也可以把

- 7 \leq x \leq 1

寫成

∣ x + 3∣ \leq 4

，兩邊乘

2

得

∣2 x + 6∣ \leq 8

。

第 9 題由

3^{x} = 4

，兩邊同時

\frac{y}{x}

次方：

4^{\frac{y}{x}} = (3^{x})^{\frac{y}{x}} = 3^{y} = 8

。而

4^{\frac{y}{x}} = (2^{\frac{y}{x}})^{2}

，所以

(2^{\frac{y}{x}})^{2} = 8

；

2^{\frac{y}{x}}

是正數，所以

2^{\frac{y}{x}} = 8 = 22

。

3^{x} = 4

不等於

1

，所以

x \neq = 0

，

\frac{y}{x}

有意義。

04填充 10～14：距離和、根號化簡、雙重根號、pH 值、誤差範圍

第 10 題

∣ x - 3∣ \leq 4

就是

- 1 \leq x \leq 7

。

∣ x + 2∣ + ∣ x - 1∣

是數線上

x

到

- 2

與到

1

的距離和。

- 1 \leq x \leq 1

時，

x

在

- 2

和

1

之間，距離和恆為

1 - (- 2) = 3

，這是最小值。

1 \leq x \leq 7

時，

∣ x + 2∣ + ∣ x - 1∣ = (x + 2) + (x - 1) = 2 x + 1

，此時

2 x + 1 \geq 3

，不會比

3

小，而且

x

愈大值愈大，所以最大值

15

發生在右端點

x = 7

。

要先解出

x

的範圍；最大值發生在離

- 2

和

1

最遠的端點

x = 7

。

第 11 題

n + 2 + \frac{1}{n} = (n + \frac{1}{n})^{2}

，

n - 2 + \frac{1}{n} = (n - \frac{1}{n})^{2}

。

n

是自然數，

n \geq 1 \geq \frac{1}{n}

，所以兩個根號分別是

n + \frac{1}{n}

與

n - \frac{1}{n}

，相減得

\frac{2}{n}

。

\frac{2}{n} < \frac{1}{9}

即

n > 18

，

n > 324

，所以

n

的最小值是

325

。

n = 324

時相減恰好等於

\frac{1}{9}

，不符合「小於」。

第 12 題(1)

311 = 99

，而

81 < 99 < 100

，所以

9 < 311 < 10

，

19 < 10 + 311 < 20

。又

16 < 19

、

20 < 25

，所以

4 < 10 + 311 < 5

，整數部分是

4

。 (2) 令

S = 10 + 311 + 10 - 311

，

S

是正數。

S^{2} = (10 + 311) + (10 - 311) + 2 (10 + 311) (10 - 311) = 20 + 2 100 - 99 = 22

，所以

S = 22

。

10 - 311 = 10 - 99

是正數，第二個根號有意義。用計算器檢查：

10 + 311 \approx 4.467

。

第 13 題氫離子的量＝濃度×體積。甲溶液濃度

1 0^{- 5}

，

50

升共有

50 \times 1 0^{- 5}

莫耳；設乙溶液

V

升，濃度

1 0^{- 3}

，共有

V \times 1 0^{- 3}

莫耳。混合後體積

50 + V

升，濃度要是

1 0^{- 4}

：

50 \times 1 0^{- 5} + V \times 1 0^{- 3} = (50 + V) \times 1 0^{- 4}

。兩邊同乘

1 0^{5}

：

50 + 100 V = 500 + 10 V

，

90 V = 450

，

V = 5

。

pH 值不能直接平均：

50

升和

50

升混合不會得到 pH 值

4

。

第 14 題(1) 體重與重力成正比，木星上的體重約為地球上的

2.53

倍，所以木星上的重力約為

9.8 \times 2.53 = 24.794

，取三位有效數字是

24.8

。 (2) 四個人的

x

（木星上的體重÷地球上的體重）分別是：弟

\frac{50}{20} = 2.5

、姊

\frac{102}{40} = 2.55

、母

\frac{127}{50} = 2.54

、父

\frac{202}{80} = 2.525

。

∣ x - 2.53∣

分別是

0.03

、

0.02

、

0.01

、

0.005

。四個都要滿足

∣ x - 2.53∣ \leq k

，

k

至少要是其中最大的

0.03

，選 (C)。

k

要蓋住四個人當中誤差最大的那一個，不是取平均。

05計算證明題 15、16：反證法、算幾不等式

第 15 題用反證法。假設

2 + 2

是有理數，設

2 + 2 = k

，

k

為有理數。兩邊平方：

2 + 2 = k^{2}

，所以

2 = k^{2} - 2

。有理數相乘、相減的結果還是有理數，所以

k^{2} - 2

是有理數，也就是

2

是有理數，這和已知「

2

為無理數」矛盾。所以假設不成立，

2 + 2

為無理數。

反證法的三步：先假設結論不成立、推出和已知矛盾、所以原結論成立。

第 16 題設矩形綠地長

x

公尺、寬

y

公尺，

x y = 6000

。左右兩條縱向步道各寬

5

公尺，上下兩條橫向步道各寬

3

公尺，所以連步道在內的大矩形長

x + 10

、寬

y + 6

。步道面積

= (x + 10) (y + 6) - x y = 6 x + 10 y + 60

。

6 x

與

10 y

都是正數，由算幾不等式

\frac{6 x + 10 y}{2} \geq 6 x \cdot 10 y = 60 \times 6000 = 360000 = 600

，所以

6 x + 10 y \geq 1200

，步道面積至少是

1200 + 60 = 1260

。等號成立在

6 x = 10 y = 600

，即

x = 100

、

y = 60

（此時

x y = 6000

，符合）。 (1) 綠地長

100

公尺、寬

60

公尺時步道面積最小。(2) 最小面積是

1260

平方公尺。

步道的四個轉角也算在內，用大矩形減綠地最不容易漏；等號成立的條件要寫出來並檢查。

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02多選 3、4：指數的定義、絕對值與分點

03填充 5～9：指數律、對稱式、分點、絕對值不等式

04填充 10～14：距離和、根號化簡、雙重根號、pH 值、誤差範圍

05計算證明題 15、16：反證法、算幾不等式

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01單選 1、2：有限小數、科學記號

02多選 3、4：指數的定義、絕對值與分點

03填充 5～9：指數律、對稱式、分點、絕對值不等式

04填充 10～14：距離和、根號化簡、雙重根號、pH 值、誤差範圍

05計算證明題 15、16：反證法、算幾不等式

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常見問題

北一女中 108 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

北一女中 108 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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北一女中 108 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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