建國中學 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

① 用對數律把左邊併成一個對數：

$$x{\log }_{500}2+y{\log }_{500}5={\log }_{500}(2^x\cdot 5^y)=z$$

② 所以 $2^x\cdot 5^y=500^z$。而 $500=2^2\times 5^3$，$500^z=2^{2z}\cdot 5^{3z}$。

③ $x$、$y$、$z$ 都是正整數，比較 $2$ 和 $5$ 的次方：$x=2z$，$y=3z$。

④ 代入 $x+y=20$：$5z=20$，$z=4$。

答案 (3)。

① 由對數的定義：$x=10^{1.5}$，$y=10^{2.6}$。

② 所以 $x^5=10^{7.5}$，$y^3=10^{7.8}$。

③ 兩項提出 $10^{7.5}$：

$$x^5+y^3=10^{7.5}\left(1+10^{0.3}\right)$$

④ 因為 $\log 2\approx 0.3010$，$10^{0.3}\approx 2$，所以 $x^5+y^3\approx 10^{7.5}\times 3$。

⑤ 取常用對數：$\log (x^5+y^3)\approx 7.5+\log 3\approx 7.5+0.4771=7.9771$。

⑥ 五個選項中最接近 $7.9771$ 的是 $7.8$。

答案 (4)。

① 要求 $100\times 0.5^{\frac{x}{30}}<30$，即 $0.5^{\frac{x}{30}}<0.3$。

② 兩邊取常用對數（底數 $10>1$，不等號方向不變）：

$$\frac{x}{30}\log 0.5<\log 0.3$$

③ $\log 0.5=-\log 2\approx -0.3010$，$\log 0.3=\log 3-1\approx -0.5229$。

④ 兩邊同除以負數 $-0.3010$，不等號反向：$\frac{x}{30}>\frac{0.5229}{0.3010}\approx 1.737$。

⑤ 所以 $x>52.1$，最快 $53$ 分鐘後水溫低於 $30^{\circ }\text{C}$（圖中：曲線在 $x\approx 52.1$ 時與 $y=30$ 相交，之後都在下方）。

答案 (3)。

(1) 正確。 $\frac{81}{16}={\left(\frac{3}{2}\right)}^4$，所以 ${\left(\frac{81}{16}\right)}^{0.25}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{4\times \frac{1}{4}}=\frac{3}{2}$。

(2) 錯誤。 負指數是取倒數，不是變號：${\left(\frac{3}{2}\right)}^{-1}=\frac{2}{3}$。

(3) 正確。 不為 $0$ 的數的 $0$ 次方都是 $1$，$-\sqrt{2}\ne 0$，所以 $(-\sqrt{2}{)}^0=1$。

(4) 錯誤。 $3^{-{\log }_{3}5}=3^{{\log }_3\frac{1}{5}}=\frac{1}{5}$，而且 $3$ 的任何次方都大於 $0$，不可能是 $-5$。

(5) 正確。 換底：${\log }_2\sqrt{3}\cdot {\log }_{\sqrt{3}}2=\frac{\log \sqrt{3}}{\log 2}\cdot \frac{\log 2}{\log \sqrt{3}}=1$。

答案 (1)(3)(5)。

① 對數律：$f(x)={\log }_{2}a+b{\log }_{2}x$（$x>0$）。

② $f(1)={\log }_{2}a=1$，所以 $a=2$。

③ $f(4)=1+b{\log }_{2}4=1+2b=4$，所以 $b=\frac{3}{2}$，$f(x)=1+\frac{3}{2}{\log }_{2}x$。

(1) 正確。 $a=2$。

(2) 錯誤。 $b=\frac{3}{2}$。

(3) 正確。 $f(3)>3$ 即 $\frac{3}{2}{\log }_{2}3>2$，${\log }_{2}3>\frac{4}{3}$，即 $3^3>2^4$。$27>16$，成立。

(4) 錯誤。 $f(5)>5$ 即 $\frac{3}{2}{\log }_{2}5>4$，${\log }_{2}5>\frac{8}{3}$，即 $5^3>2^8$。但 $125<256$，不成立。

(5) 錯誤。 $f(6)>6$ 即 $\frac{3}{2}{\log }_{2}6>5$，${\log }_{2}6>\frac{10}{3}$，即 $6^3>2^{10}$。但 $216<1024$，不成立。

圖中：$y=f(x)$ 與 $y=x$ 交於 $(1,1)$、$(4,4)$；$x=3$ 時曲線在直線上方，$x=5$、$6$ 時在下方。

答案 (1)(3)。

① ${\log }_{4}7=\frac{{\log }_{2}7}{{\log }_{2}4}=\frac{1}{2}{\log }_{2}7$，所以第一個括號 $=\frac{1}{2}{\log }_{2}7$。

② ${\log }_{49}8=\frac{{\log }_{7}8}{{\log }_{7}49}=\frac{3{\log }_{7}2}{2}$，所以第二個括號 $={\log }_{7}2-\frac{3}{2}{\log }_{7}2=-\frac{1}{2}{\log }_{7}2$。

③ 相乘：$\frac{1}{2}{\log }_{2}7\times \left(-\frac{1}{2}{\log }_{7}2\right)=-\frac{1}{4}\times {\log }_{2}7\cdot {\log }_{7}2=-\frac{1}{4}$。

答案為 $-\frac{1}{4}$。

① 設三個對數的共同值為 $t$。由對數的定義：$a={\alpha }^t$，$b={\beta }^t$。

② 所以 $ab={\alpha }^t{\beta }^t=(\alpha \beta {)}^t$。

③ 又 ${\log }_{\sqrt[3]{\alpha \beta }}100=t$，即 $(\alpha \beta {)}^{\frac{1}{3}t}=100$。

④ 兩邊三次方：$(\alpha \beta {)}^t=100^3=10^6$。

答案為 $10^6$。

① 向左移 $10$ 單位：$g(x)={\log }_9(x+10)$。

② 兩圖形都要與 $x=k$ 相交，需 $k>0$。此時 $k+10>k$，$g(k)>f(k)$，$B$ 在 $A$ 的正上方（見圖）。

③ $\overline{AB}=g(k)-f(k)={\log }_9\frac{k+10}{k}=2$。

④ 所以 $\frac{k+10}{k}=9^2=81$，$k+10=81k$，$k=\frac{10}{80}=\frac{1}{8}$。

答案為 $\frac{1}{8}$。

① $\alpha$ 是 $y=2^x$ 與 $y=8-x$ 交點 $P$ 的橫坐標，$\beta$ 是 $y={\log }_{2}x$ 與 $y=8-x$ 交點 $Q$ 的橫坐標（見圖）。

② $y=2^x$ 與 $y={\log }_{2}x$ 的圖形對稱於直線 $y=x$；直線 $y=8-x$ 與 $y=x$ 垂直，把 $x$、$y$ 互換後仍是 $y=8-x$，也對稱於 $y=x$。

③ 所以 $P(\alpha ,8-\alpha )$ 對 $y=x$ 的對稱點 $(8-\alpha ,\alpha )$ 同時在 $y={\log }_{2}x$ 與 $y=8-x$ 上，它就是 $Q$。得 $\beta =8-\alpha$，即 $\alpha +\beta =8$。

④ 由兩個方程式：$2^{\alpha }=8-\alpha$，${\log }_2\beta =8-\beta$。

⑤ 相加：$2^{\alpha }+{\log }_2\beta =16-(\alpha +\beta )=16-8=8$。

⑥ 所以 $\frac{2^{\alpha }+{\log }_2\beta }{2}=\frac{8}{2}=4$。

答案為 $4$。

① 設實際面積為 $S$ 時，看到的面積為 $c\cdot S^{0.7}$（$c$ 為常數）。

② 大國實際面積是小國的 $243$ 倍，看到的面積的比：

$$a=\frac{c(243S{)}^{0.7}}{c{S}^{0.7}}=243^{0.7}$$

③ $243=3^5$，所以 $a=3^{5\times 0.7}=3^{3.5}=3^3\cdot 3^{\frac{1}{2}}=27\sqrt{3}$。

答案為 $27\sqrt{3}$。

① 設距離 $10$ 公尺處的強度為 $I_1$，則 $95=10(\log I_1+12)$。

② 強度與距離平方成反比，距離變為 $10$ 倍，強度變為 $\frac{1}{100}$：$I_2=\frac{I_1}{100}$。

③ $\log I_2=\log I_1-2$，所以

$$10(\log I_2+12)=10(\log I_1+12)-20=95-20=75$$

答案為 $75$。

① 規模 $7.3$ 與 $5.8$ 的能量比：

$$\frac{I_{7.3}}{I_{5.8}}=\frac{10^{7.5}}{10^{6.0}}=10^{1.5}=10\sqrt{10}$$

② 估計 $\sqrt{10}$：$3.16^2=9.9856<10$，$3.17^2=10.0489>10$，所以 $3.16<\sqrt{10}<3.17$。

③ 因此 $31.6<10\sqrt{10}<31.7$，四捨五入到整數為 $32$。

答案為 $32$。

① 年利率 $1\%$、每年一期、共 $7$ 期，本利和為 $200\times (1.01{)}^7$ 萬元。

② 用 (2) 附的 $(1.01{)}^7\approx 1.072$：$200\times 1.072=214.4$ 萬元。

③ 五個選項中最接近的是 $215$ 萬元。

答案 (B)。

① 兩筆存款都在 $117$ 年 $11$ 月 $30$ 日到期（見圖）：$200$ 萬元存 $7$ 期，$M$ 元從 $113$ 年存到 $117$ 年，只有 $4$ 期。

② 第一筆領回：$200\times (1.01{)}^7\approx 200\times 1.072=214.4$ 萬元。

③ 第二筆領回：$M\times (1.02{)}^4\approx 1.082M$ 元。

④ 以萬元為單位，設 $M$ 元為 $m$ 萬元。總金額超過 $250$ 萬元：$214.4+1.082m>250$，即 $1.082m>35.6$。

⑤ $m>\frac{35.6}{1.082}\approx 32.90$，即 $M$ 要超過約 $329,020$ 元。

⑥ 千位以下無條件進位取至萬元：$M$ 至少 $330,000$ 元，即 $33$ 萬元。

答案為 $33$ 萬元。

① 開始散佈 $4$ 天後有 $80\%$ 看過：$100(1-2^{-4k})=80$，所以 $2^{-4k}=\frac{1}{5}$。

② 開始散佈 $n$ 天後，沒看過的比例是 $2^{-kn}={\left(2^{-4k}\right)}^{\frac{n}{4}}={\left(\frac{1}{5}\right)}^{\frac{n}{4}}$。

③ 超過 $99\%$ 看過，就是沒看過的比例小於 $1\%$：

$${\left(\frac{1}{5}\right)}^{\frac{n}{4}}<\frac{1}{100}$$

④ 兩邊取倒數，不等號反向：$5^{\frac{n}{4}}>100$。

⑤ 兩邊四次方（兩邊都是正數）：$5^n>100^4=10^8$。

⑥ $5^{11}=48828125<10^8$，$5^{12}=244140625>10^8$；$5^n$ 隨 $n$ 遞增，所以 $n\ge 12$（圖中：$5^{\frac{n}{4}}$ 在 $n=11$ 時約 $83.6$，$n=12$ 時是 $125$）。

答案為 $12$。