段考詳解範圍：實數、絕對值、指數與常用對數（卷頭未印範圍，依題目內容）

建國中學 109 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 2 題（每題 5 分，共 10 分）、多重選擇題 3 題（每題 8 分，共 24 分）、填充題 9 格（每格 6 分，共 54 分）、非選擇題 3 小題（共 12 分）。卷面各大題各自從 1 編號，本頁改為全卷連續的第 1～17 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算；第 2 題原檔五個選項印成同一個式子，無法指認選項代號。

一、單選題（每題 5 分，共 10 分）

已知

a

是整數，若

\frac{1}{3} \leq \frac{12}{a} \leq \frac{1}{2}

，且

\frac{12}{a}

可化成有限小數，則符合條件的

a

值有幾個？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

已知

k

為正整數，若不等式

∣ x - 2∣ < lo g k

的整數解恰有

11

個，則符合條件的

k

值有幾個？（原檔的五個選項印成同一個式子，以下照原檔列出）

(1) $9 \times 1 0^{4}$
(2) $9 \times 1 0^{4}$
(3) $9 \times 1 0^{4}$
(4) $9 \times 1 0^{4}$
(5) $9 \times 1 0^{4}$

二、多重選擇題（每題 8 分，共 24 分）每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 5 分；答錯 2 個選項者，得 2 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

在實數中，關於有理數與無理數的敘述，試選出正確的選項。

(1) 若 $a$ 、 $b$ 均為有理數，則 $a - b$ 為有理數
(2) 若 $a$ 、 $b$ 均為無理數，則 $∣ a ∣ + ∣ b ∣$ 為無理數
(3) 若 $a$ 為有理數、 $b$ 為無理數，則 $a \times b$ 為無理數
(4) 若 $a - b$ 、 $a^{2} + b^{2}$ 均為有理數，則 $a \times b$ 為有理數
(5) 若 $a^{109}$ 、 $a^{116}$ 均為有理數，則 $a$ 為有理數

已知

p = (3^{50} + 3^{- 50})^{2}

且

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 5 \approx 0.6990

、

lo g 6 \approx 0.7782

，試選出正確的選項。

(1) $p > 1 0^{47}$
(2) $p$ 的整數部分有 $48$ 位數
(3) $p$ 的整數部分最高位數字是 $5$
(4) $p$ 的小數點後共有連續 $47$ 個 $0$
(5) $p$ 的小數點後第一個不為 $0$ 的數字是 $2$

若實數

a

、

b

、

c

滿足

ab c < 0

，

ab + b c + c a < 0

，

a + b + c < 0

，

a < b < c

，試選出正確的選項。

(1) $a > 0$
(2) $c > 0$
(3) $a < \frac{3 a + 2 b}{5} < b$
(4) $a + b > 0$
(5) $∣ a ∣ > ∣ c ∣$

三、填充題（每格 6 分，共 54 分）

設

a > 0

，若

a^{\frac{3}{2}} = 125

，則

a

之值為 ____。

設

x

、

y

為有理數，若

(4 + 12) x + (2 - 3) y = 10 + 27

，則數對

(x, y)

之值為 ____。

將

\frac{5}{13}

化成小數，若小數點以下第

n

位數字記做

f (n)

，則

f (1) + f (2) + \dots + f (109)

之值為 ____。

設

a

、

b

為實數，若不等式

∣ a x + 6∣ \leq b

的解為

- 2 \leq x \leq 8

，則數對

(a, b)

之值為 ____。

設

a > 0

、

x

為實數，若

a^{2 x} = 7 + 212

，則

\frac{a ^{3 x} + a ^{- 3 x}}{a ^{x} + a ^{- x}}

之值為 ____。（化為最簡）

若

x = \frac{5 + 1}{2}

，則

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}

之值為 ____。（化為最簡根式）

若

3

的小數部分為

k

(0 < k < 1)

，則

k^{2} + \frac{1}{k ^{2}} - 2 + k^{2} + \frac{1}{k ^{2}} + 2

之值為 ____。（化為最簡根式）

同學們進入高中生活已過了一個半月，不知道在這段期間，你是否比以前的自己又成長了許多？我們現在來分析一下高中三年大約有多少時間可以成長？一般來說，高中一學期大約有 21 週，扣除三次定期考後想放鬆一下的三週，只剩 18 週。假設一週 7 天，每天有 8 小時可以自己運用，則高中三年可運用的時間有

6 學期 \times 18 週 \times 7 天 \times \frac{8}{24} = 252 天。

在這 252 天中，如果你每天比昨天的自己更努力 0.01 倍，則 252 天後，你會成長為

(1.01)^{252}

倍；反過來說，如果你每天比昨天的自己退步 0.01 倍，則 252 天後，你會衰退為

(0.99)^{252}

倍。假設

lo g 1.01 = 0.0043

、

lo g 0.99 = - 0.0044

、

lo g 1.5574 = 0.1924

，請你比較看看在 252 天後，每天多努力 0.01 倍為每天退步 0.01 倍的幾倍？即

(1.01)^{252}

大約是

(0.99)^{252}

的 ____ 倍。（四捨五入取至整數位）

右圖中，已知四邊形

A B C D

為矩形，且

\overline{A B} = 2

、

\overline{A D} = 6

，過

A

點作一直線與

\overline{B C}

邊交於

P

點，且與

\overline{C D}

邊的延長線交於

Q

點。若希望

△ A B P

與

△ P QC

的面積和為最小，則此時

\overline{B P}

的長度為 ____。（化為最簡根式）

載入中...

四、非選擇題（共 12 分）

第 15～17 題（卷面非選擇題第 1～3 題）（第 15～17 題）　設

x

為數線上的任意實數，試回答下列問題。

試說明

∣ x + 2∣ + ∣ x - 3∣

的幾何意義。（2 分）

承上題，試利用

∣ x + 2∣ + ∣ x - 3∣

的幾何意義，判斷並說明不等式

∣ x + 2∣ + ∣ x - 3∣ \leq 3

是否有實數解。（4 分）

試求不等式

∣ x + 2∣ + ∣ x - 3∣ \leq 7

的實數解，需將數線分成三段來討論解的情形，用其它方法不給分。（6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題

9 \times 1 0^{5}

個（原檔五個選項都印成

9 \times 1 0^{4}

，沒有相符的選項，見詳解）

第 3 題(1)(4)(5)

第 4 題(1)(2)(3)(4)

第 5 題(2)(3)(5)

第 6 題

25

第 7 題

(2, 1)

第 8 題

489

第 9 題

(- 2, 10)

第 10 題

3

第 11 題

25

第 12 題

3 + 1

第 13 題

156

第 14 題

32

第 15 題數線上的點

x

到

- 2

的距離，加上

x

到

3

的距離

第 16 題沒有實數解（距離和最小是

5

，不可能

\leq 3

）

第 17 題

- 3 \leq x \leq 4

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～2 題

第 1 題答案 (4)。

\frac{12}{a} \geq \frac{1}{3} > 0

，所以

a

是正整數。三個正數取倒數，大小順序反過來：

2 \leq \frac{a}{12} \leq 3

，即

24 \leq a \leq 36

。分數化成最簡分數後，分母的質因數只有

2

或

5

才能化成有限小數。逐一約分：

a = 24

得

\frac{1}{2}

；

a = 25

得

\frac{12}{25}

；

a = 30

得

\frac{2}{5}

；

a = 32

得

\frac{3}{8}

，這四個可以。其餘

a = 26, 27, 28, 29, 31, 33, 34, 35, 36

約分後的分母依序是

13, 9, 7, 29, 31, 11, 17, 35, 3

，都含有

2

、

5

以外的質因數，不行。共

4

個。

要先約分再看分母：

\frac{12}{30} = \frac{2}{5}

可以，

\frac{12}{36} = \frac{1}{3}

不行。

第 2 題本站計算的個數是

9 \times 1 0^{5}

。原檔五個選項都印作

9 \times 1 0^{4}

，沒有相符的選項，所以這一題無法指認選項代號。

∣ x - 2∣

是

x

到

2

的距離。整數

x

到

2

的距離只會是

0, 1, 2, \dots

：距離

0

的有

1

個（

x = 2

），距離

1, 2, 3, \dots

的各有

2

個。整數解恰有

11

個，就是距離

0

到

5

的都算（

1 + 2 \times 5 = 11

）、距離

6

的不算，所以

5 < lo g k \leq 6

。

lo g k

是「

k

是

10

的幾次方」，而

10

的次方越大數越大，所以

1 0^{5} < k \leq 1 0^{6}

。

k

是正整數，從

100001

到

1000000

，共

1000000 - 100000 = 900000 = 9 \times 1 0^{5}

個。

右端可以取等號：

lo g k = 6

時

∣ x - 2∣ < 6

的整數解是

- 3

到

7

，正好

11

個；左端不行：

lo g k = 5

時只有

9

個。

∣ x - c ∣ < r

的整數解個數只看

r

落在哪兩個整數之間；端點能不能取等號，代回去數一次。

02多選第 3 題：有理數與無理數

第 3 題答案 (1)(4)(5)。 (1) ○：有理數相減仍是有理數（兩個分數相減，通分後還是分數）。 (2) ×：反例

a = 2

、

b = 2 - 2

，兩個都是正的無理數，

∣ a ∣ + ∣ b ∣ = 2

是有理數。 (3) ×：反例

a = 0

、

b = 2

，

a \times b = 0

是有理數。 (4) ○：

(a - b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab

，所以

ab = \frac{( a ^{2} + b ^{2} ) - ( a - b ) ^{2}}{2}

。右邊是有理數經過平方、相減、除以

2

，仍是有理數。 (5) ○：

a = 0

時成立。

a \neq = 0

時，

a^{7} = \frac{a ^{116}}{a ^{109}}

是有理數；

a^{109} = (a^{7})^{15} \cdot a^{4}

，所以

a^{4} = \frac{a ^{109}}{( a ^{7} ) ^{15}}

是有理數；

a^{3} = \frac{a ^{7}}{a ^{4}}

是有理數；最後

a = \frac{a ^{4}}{a ^{3}}

是有理數。

(3) 若改成「

a

為不等於

0

的有理數」就會成立，漏掉

0

是這個選項的陷阱。(5) 的關鍵是

109

與

116

互質，用除法一路把次方降到

1

。

有理數做加減乘除（除數不為

0

）還是有理數；要否定「必為無理數」，找一個反例就夠。

03多選第 4 題：位數與最高位數字

第 4 題答案 (1)(2)(3)(4)。先展開：

p = 3^{100} + 2 \cdot 3^{50} \cdot 3^{- 50} + 3^{- 100} = 3^{100} + 2 + 3^{- 100}

。

3^{100} + 2

是正整數，

0 < 3^{- 100} < 1

，所以

p

的整數部分是

3^{100} + 2

，小數部分是

3^{- 100}

。

lo g 3 \approx 0.4771

表示

3 \approx 1 0^{0.4771}

，所以

3^{100} \approx 1 0^{47.71} = 1 0^{0.71} \times 1 0^{47}

。由

lo g 5 \approx 0.6990

、

lo g 6 \approx 0.7782

知

5 \approx 1 0^{0.6990}

、

6 \approx 1 0^{0.7782}

；因為

0.6990 < 0.71 < 0.7782

，所以

5 < 1 0^{0.71} < 6

，即

5 \times 1 0^{47} < 3^{100} < 6 \times 1 0^{47}

。加上

2

不會改變位數與最高位。 (1) ○：

p > 3^{100} > 5 \times 1 0^{47} > 1 0^{47}

。 (2) ○：

5 \times 1 0^{47}

到

6 \times 1 0^{47}

之間的整數是

48

位數。 (3) ○：最高位數字是

5

。 (4) ○：小數部分

3^{- 100} \approx 1 0^{- 47.71} = 1 0^{0.29} \times 1 0^{- 48}

。因為

0 < 0.29 < 0.3010

，所以

1 < 1 0^{0.29} < 2

，小數部分是

1. \dots \times 1 0^{- 48}

：小數點後第

1

位到第

47

位都是

0

，第

48

位才不是

0

。 (5) ×：承 (4)，第一個不為

0

的數字是

1

，不是

2

。

- 47.71

要拆成

- 48 + 0.29

（小數部分取正的），不能拆成

- 47 - 0.71

後直接拿

0.71

去查最高位。

把數寫成

1 0^{小數} \times 1 0^{整數}

：整數決定位數（或小數點後有幾個

0

），小數決定最高位數字。

04多選第 5 題：由正負號條件判斷大小

第 5 題答案 (2)(3)(5)。先定出三數的正負。

ab c < 0

，所以三數都不是

0

，而且負數有

1

個或

3

個。若三個都是負數，則

ab

、

b c

、

c a

都是正數，

ab + b c + c a > 0

，與條件不合。所以恰有一個負數；又

a < b < c

，負的一定是最小的

a

，即

a < 0 < b < c

。 (1) ×：

a < 0

。 (2) ○：

c > 0

。 (3) ○：

\frac{3 a + 2 b}{5} - a = \frac{2 ( b - a )}{5} > 0

，

b - \frac{3 a + 2 b}{5} = \frac{3 ( b - a )}{5} > 0

，所以它介於

a

與

b

之間。 (4) ×：

a + b + c < 0

得

a + b < - c

，而

- c < 0

，所以

a + b < 0

。 (5) ○：

a + b + c < 0

得

- a > b + c

；因為

b > 0

，

b + c > c

，所以

- a > c > 0

，即

∣ a ∣ > ∣ c ∣

。

這樣的數確實存在，例如

a = - 5

、

b = 1

、

c = 2

：

ab c = - 10

，

ab + b c + c a = - 13

，

a + b + c = - 2

。

三數乘積為負，負數是奇數個；再用其他條件排除「三個都負」。

05填充第 6～9 題

第 6 題

a^{\frac{3}{2}} = 125 = 5^{3}

。兩邊同取

\frac{2}{3}

次方：

a = (5^{3})^{\frac{2}{3}} = 5^{2} = 25

。

驗算：

2 5^{\frac{3}{2}} = (25)^{3} = 5^{3} = 125

。

第 7 題

12 = 23

、

27 = 33

，原式整理成

(4 x + 2 y) + (2 x - y) 3 = 10 + 33

。

x

、

y

是有理數，

3

是無理數，所以兩邊的有理數部分相等、

3

的係數也相等：

4 x + 2 y = 10

，

2 x - y = 3

。第一式除以

2

得

2 x + y = 5

，與第二式相加得

4 x = 8

，

x = 2

，

y = 1

。數對為

(2, 1)

。

第 8 題直式除法得

\frac{5}{13} = 0. \overline{384615}

，循環節

6

位，一節的數字和是

3 + 8 + 4 + 6 + 1 + 5 = 27

。

109 = 6 \times 18 + 1

，前

109

位是

18

個完整的循環節，再加下一節的第

1

位

3

。所求為

18 \times 27 + 3 = 489

。

第 9 題解

- 2 \leq x \leq 8

的中點是

3

、半寬是

5

，可寫成

∣ x - 3∣ \leq 5

。兩邊同乘

2

：

∣2 x - 6∣ \leq 10

，而

∣2 x - 6∣ = ∣ - 2 x + 6∣

，所以就是

∣ - 2 x + 6∣ \leq 10

。與

∣ a x + 6∣ \leq b

比較（常數項要是

+ 6

），得

a = - 2

、

b = 10

。

也可以直接想：

∣ a x + 6∣

在解的中點

x = 3

應該是

0

，所以

3 a + 6 = 0

，

a = - 2

；再代端點

x = 8

：

b = ∣ - 16 + 6∣ = 10

。

06填充第 10～12 題：乘法公式與根式

第 10 題先化簡雙重根號：找和為

7

、積為

12

的兩數，是

4

與

3

，所以

a^{2 x} = 4 + 3 = 2 + 3

。令

u = a^{x}

。立方和公式：

u^{3} + u^{- 3} = (u + u^{- 1}) (u^{2} - 1 + u^{- 2})

，所以

\frac{a ^{3 x} + a ^{- 3 x}}{a ^{x} + a ^{- x}} = a^{2 x} - 1 + a^{- 2 x}

a^{- 2 x} = \frac{1}{2 + 3} = 2 - 3

，因此所求為

(2 + 3) - 1 + (2 - 3) = 3

。

第 11 題

\frac{1}{x} = \frac{2}{5 + 1} = \frac{2 ( 5 - 1 )}{4} = \frac{5 - 1}{2}

，所以

x + \frac{1}{x} = 5

。

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 (x + \frac{1}{x}) = 55 - 35 = 25

。

第 12 題

1 < 3 < 2

，所以

k = 3 - 1

。兩個根號裡都是完全平方：

k^{2} + \frac{1}{k ^{2}} - 2 = (k - \frac{1}{k})^{2}

，

k^{2} + \frac{1}{k ^{2}} + 2 = (k + \frac{1}{k})^{2}

。因為

0 < k < 1

，

\frac{1}{k} > 1 > k

，所以第一個根號開出來是

\frac{1}{k} - k

；第二個是

k + \frac{1}{k}

。兩者相加

= \frac{2}{k} = \frac{2}{3 - 1} = \frac{2 ( 3 + 1 )}{2} = 3 + 1

。

t^{2} = ∣ t ∣

：

k - \frac{1}{k}

是負的，開根號後要變號。若誤寫成

k - \frac{1}{k}

，會得到

2 k = 23 - 2

。

看到

t^{2} + \frac{1}{t ^{2}} \pm 2

就配成

(t \pm \frac{1}{t})^{2}

；開根號時先判斷括號裡的正負。

07填充第 13～14 題：對數估計與面積的最小值

第 13 題

lo g 1.01 = 0.0043

表示

1.01 = 1 0^{0.0043}

；

lo g 0.99 = - 0.0044

表示

0.99 = 1 0^{- 0.0044}

。

(1.01)^{252} = 1 0^{0.0043 \times 252} = 1 0^{1.0836}

，

(0.99)^{252} = 1 0^{- 0.0044 \times 252} = 1 0^{- 1.1088}

。相除：

\frac{( 1.01 ) ^{252}}{( 0.99 ) ^{252}} = 1 0^{1.0836 - (- 1.1088)} = 1 0^{2.1924} = 1 0^{2} \times 1 0^{0.1924}

。

lo g 1.5574 = 0.1924

表示

1 0^{0.1924} = 1.5574

，所以倍數是

100 \times 1.5574 = 155.74

，四捨五入為

156

。

是「相除」所以指數相減，減去負數要變成加：

1.0836 + 1.1088 = 2.1924

。本題照題目給的對數值作答；用計算機直接算約為

154.5

，差異來自卷面的對數值只取四位。

第 14 題設

\overline{B P} = t

（

0 < t < 6

），則

\overline{P C} = 6 - t

。

△ A B P

是直角三角形（

∠ B = 9 0^{\circ}

），面積

= \frac{1}{2} \times 2 \times t = t

。

\overline{A B}

與

\overline{QC}

平行，所以

△ A B P

與

△ QC P

相似（對頂角相等、都有直角），對應邊成比例：

\frac{QC}{A B} = \frac{P C}{B P} \Rightarrow \overline{QC} = \frac{2 ( 6 - t )}{t}

△ P QC

的面積

= \frac{1}{2} \times \overline{QC} \times \overline{P C} = \frac{( 6 - t ) ^{2}}{t} = \frac{36}{t} - 12 + t

。面積和

= 2 t + \frac{36}{t} - 12

。

2 t

與

\frac{36}{t}

都是正數，由算幾不等式

2 t + \frac{36}{t} \geq 2 2 t \cdot \frac{36}{t} = 272 = 122

等號成立在

2 t = \frac{36}{t}

，即

t^{2} = 18

，

t = 32

（約

4.24

，在

0

到

6

之間）。所以

\overline{B P} = 32

，此時面積和的最小值是

122 - 12

。

題目問的是

\overline{B P}

的長度，不是面積和的最小值。附圖是示意圖，

P

的位置不是答案的位置。

兩個正數的乘積是定值時，和的最小值出現在兩數相等的時候。

08非選擇題第 15～17 題：兩個絕對值的和

第 15 題

∣ x + 2∣ = ∣ x - (- 2) ∣

是數線上的點

x

到點

- 2

的距離，

∣ x - 3∣

是點

x

到點

3

的距離。所以

∣ x + 2∣ + ∣ x - 3∣

表示：數線上的點

x

到

- 2

與到

3

這兩點的距離和。

第 16 題沒有實數解。記

A (- 2)

、

B (3)

、

P (x)

，則

\overline{A B} = 3 - (- 2) = 5

。

P

在

A

、

B

之間（含端點）時，

\overline{P A} + \overline{P B} = \overline{A B} = 5

。

P

在

A

的左邊或

B

的右邊時，其中一段距離就已經超過

5

，所以

\overline{P A} + \overline{P B} > 5

。因此對任意實數

x

，

∣ x + 2∣ + ∣ x - 3∣ \geq 5

，不可能

\leq 3

，不等式沒有實數解。

第 17 題以

- 2

與

3

為分界，把數線分成三段。 ①

x < - 2

：

x + 2 < 0

、

x - 3 < 0

，原式成為

- (x + 2) - (x - 3) \leq 7

，即

- 2 x + 1 \leq 7

，

x \geq - 3

。這一段得

- 3 \leq x < - 2

。 ②

- 2 \leq x \leq 3

：

x + 2 \geq 0

、

x - 3 \leq 0

，原式成為

(x + 2) - (x - 3) \leq 7

，即

5 \leq 7

，恆成立。這一段得

- 2 \leq x \leq 3

。 ③

x > 3

：

x + 2 > 0

、

x - 3 > 0

，原式成為

(x + 2) + (x - 3) \leq 7

，即

2 x - 1 \leq 7

，

x \leq 4

。這一段得

3 < x \leq 4

。三段合起來，解為

- 3 \leq x \leq 4

。

每一段解出來的範圍要和那一段的前提取交集，最後三段再取聯集。用距離檢查：距離和比

5

多

2

，所以從

- 2

、

3

各往外多走

1

，得

- 3

與

4

。

∣ x - a ∣ + ∣ x - b ∣

是到兩點的距離和，最小值就是兩點的距離；要解不等式就以

a

、

b

為界分三段。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

建國中學 109 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

建國中學 109 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

最容易錯的是第 4 題（負的指數要拆成負 48 加 0.29，才能看出小數點後有 47 個 0、第一個不為 0 的數字是 1）、第 3 題（有理數乘無理數要小心有理數是 0；兩個次方都是有理數時用除法把次方降到 1）、第 14 題（用相似三角形把面積和寫成一個變數，再用算幾不等式，問的是線段長不是面積）、第 12 題（開根號要先判斷括號內的正負）。另外第 2 題原檔的五個選項印成同一個式子，本頁只給出計算的個數。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自建國中學 109 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：實數、絕對值、指數與常用對數（卷頭未印範圍，依題目內容）

建國中學 109 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

一、單選題（每題 5 分，共 10 分）

已知

a

是整數，若

\frac{1}{3} \leq \frac{12}{a} \leq \frac{1}{2}

，且

\frac{12}{a}

可化成有限小數，則符合條件的

a

值有幾個？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

已知

k

為正整數，若不等式

∣ x - 2∣ < lo g k

的整數解恰有

11

個，則符合條件的

k

值有幾個？（原檔的五個選項印成同一個式子，以下照原檔列出）

(1) $9 \times 1 0^{4}$
(2) $9 \times 1 0^{4}$
(3) $9 \times 1 0^{4}$
(4) $9 \times 1 0^{4}$
(5) $9 \times 1 0^{4}$

在實數中，關於有理數與無理數的敘述，試選出正確的選項。

(1) 若 $a$ 、 $b$ 均為有理數，則 $a - b$ 為有理數
(2) 若 $a$ 、 $b$ 均為無理數，則 $∣ a ∣ + ∣ b ∣$ 為無理數
(3) 若 $a$ 為有理數、 $b$ 為無理數，則 $a \times b$ 為無理數
(4) 若 $a - b$ 、 $a^{2} + b^{2}$ 均為有理數，則 $a \times b$ 為有理數
(5) 若 $a^{109}$ 、 $a^{116}$ 均為有理數，則 $a$ 為有理數

已知

p = (3^{50} + 3^{- 50})^{2}

且

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 5 \approx 0.6990

、

lo g 6 \approx 0.7782

，試選出正確的選項。

(1) $p > 1 0^{47}$
(2) $p$ 的整數部分有 $48$ 位數
(3) $p$ 的整數部分最高位數字是 $5$
(4) $p$ 的小數點後共有連續 $47$ 個 $0$
(5) $p$ 的小數點後第一個不為 $0$ 的數字是 $2$

若實數

a

、

b

、

c

滿足

ab c < 0

，

ab + b c + c a < 0

，

a + b + c < 0

，

a < b < c

，試選出正確的選項。

(1) $a > 0$
(2) $c > 0$
(3) $a < \frac{3 a + 2 b}{5} < b$
(4) $a + b > 0$
(5) $∣ a ∣ > ∣ c ∣$

三、填充題（每格 6 分，共 54 分）

設

a > 0

，若

a^{\frac{3}{2}} = 125

，則

a

之值為 ____。

設

x

、

y

為有理數，若

(4 + 12) x + (2 - 3) y = 10 + 27

，則數對

(x, y)

之值為 ____。

將

\frac{5}{13}

化成小數，若小數點以下第

n

位數字記做

f (n)

，則

f (1) + f (2) + \dots + f (109)

之值為 ____。

設

a

、

b

為實數，若不等式

∣ a x + 6∣ \leq b

的解為

- 2 \leq x \leq 8

，則數對

(a, b)

之值為 ____。

設

a > 0

、

x

為實數，若

a^{2 x} = 7 + 212

，則

\frac{a ^{3 x} + a ^{- 3 x}}{a ^{x} + a ^{- x}}

之值為 ____。（化為最簡）

若

x = \frac{5 + 1}{2}

，則

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}

之值為 ____。（化為最簡根式）

若

3

的小數部分為

k

(0 < k < 1)

，則

k^{2} + \frac{1}{k ^{2}} - 2 + k^{2} + \frac{1}{k ^{2}} + 2

之值為 ____。（化為最簡根式）

6 學期 \times 18 週 \times 7 天 \times \frac{8}{24} = 252 天。

在這 252 天中，如果你每天比昨天的自己更努力 0.01 倍，則 252 天後，你會成長為

(1.01)^{252}

倍；反過來說，如果你每天比昨天的自己退步 0.01 倍，則 252 天後，你會衰退為

(0.99)^{252}

倍。假設

lo g 1.01 = 0.0043

、

lo g 0.99 = - 0.0044

、

lo g 1.5574 = 0.1924

，請你比較看看在 252 天後，每天多努力 0.01 倍為每天退步 0.01 倍的幾倍？即

(1.01)^{252}

大約是

(0.99)^{252}

的 ____ 倍。（四捨五入取至整數位）

右圖中，已知四邊形

A B C D

為矩形，且

\overline{A B} = 2

、

\overline{A D} = 6

，過

A

點作一直線與

\overline{B C}

邊交於

P

點，且與

\overline{C D}

邊的延長線交於

Q

點。若希望

△ A B P

與

△ P QC

的面積和為最小，則此時

\overline{B P}

的長度為 ____。（化為最簡根式）

載入中...

四、非選擇題（共 12 分）

第 15～17 題（卷面非選擇題第 1～3 題）（第 15～17 題）　設

x

為數線上的任意實數，試回答下列問題。

試說明

∣ x + 2∣ + ∣ x - 3∣

的幾何意義。（2 分）

承上題，試利用

∣ x + 2∣ + ∣ x - 3∣

的幾何意義，判斷並說明不等式

∣ x + 2∣ + ∣ x - 3∣ \leq 3

是否有實數解。（4 分）

試求不等式

∣ x + 2∣ + ∣ x - 3∣ \leq 7

的實數解，需將數線分成三段來討論解的情形，用其它方法不給分。（6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題

9 \times 1 0^{5}

個（原檔五個選項都印成

9 \times 1 0^{4}

，沒有相符的選項，見詳解）

第 3 題(1)(4)(5)

第 4 題(1)(2)(3)(4)

第 5 題(2)(3)(5)

第 6 題

25

第 7 題

(2, 1)

第 8 題

489

第 9 題

(- 2, 10)

第 10 題

3

第 11 題

25

第 12 題

3 + 1

第 13 題

156

第 14 題

32

第 15 題數線上的點

x

到

- 2

的距離，加上

x

到

3

的距離

第 16 題沒有實數解（距離和最小是

5

，不可能

\leq 3

）

第 17 題

- 3 \leq x \leq 4

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～2 題

第 1 題答案 (4)。

\frac{12}{a} \geq \frac{1}{3} > 0

，所以

a

是正整數。三個正數取倒數，大小順序反過來：

2 \leq \frac{a}{12} \leq 3

，即

24 \leq a \leq 36

。分數化成最簡分數後，分母的質因數只有

2

或

5

才能化成有限小數。逐一約分：

a = 24

得

\frac{1}{2}

；

a = 25

得

\frac{12}{25}

；

a = 30

得

\frac{2}{5}

；

a = 32

得

\frac{3}{8}

，這四個可以。其餘

a = 26, 27, 28, 29, 31, 33, 34, 35, 36

約分後的分母依序是

13, 9, 7, 29, 31, 11, 17, 35, 3

，都含有

2

、

5

以外的質因數，不行。共

4

個。

要先約分再看分母：

\frac{12}{30} = \frac{2}{5}

可以，

\frac{12}{36} = \frac{1}{3}

不行。

第 2 題本站計算的個數是

9 \times 1 0^{5}

。原檔五個選項都印作

9 \times 1 0^{4}

，沒有相符的選項，所以這一題無法指認選項代號。

∣ x - 2∣

是

x

到

2

的距離。整數

x

到

2

的距離只會是

0, 1, 2, \dots

：距離

0

的有

1

個（

x = 2

），距離

1, 2, 3, \dots

的各有

2

個。整數解恰有

11

個，就是距離

0

到

5

的都算（

1 + 2 \times 5 = 11

）、距離

6

的不算，所以

5 < lo g k \leq 6

。

lo g k

是「

k

是

10

的幾次方」，而

10

的次方越大數越大，所以

1 0^{5} < k \leq 1 0^{6}

。

k

是正整數，從

100001

到

1000000

，共

1000000 - 100000 = 900000 = 9 \times 1 0^{5}

個。

右端可以取等號：

lo g k = 6

時

∣ x - 2∣ < 6

的整數解是

- 3

到

7

，正好

11

個；左端不行：

lo g k = 5

時只有

9

個。

∣ x - c ∣ < r

的整數解個數只看

r

落在哪兩個整數之間；端點能不能取等號，代回去數一次。

02多選第 3 題：有理數與無理數

第 3 題答案 (1)(4)(5)。 (1) ○：有理數相減仍是有理數（兩個分數相減，通分後還是分數）。 (2) ×：反例

a = 2

、

b = 2 - 2

，兩個都是正的無理數，

∣ a ∣ + ∣ b ∣ = 2

是有理數。 (3) ×：反例

a = 0

、

b = 2

，

a \times b = 0

是有理數。 (4) ○：

(a - b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab

，所以

ab = \frac{( a ^{2} + b ^{2} ) - ( a - b ) ^{2}}{2}

。右邊是有理數經過平方、相減、除以

2

，仍是有理數。 (5) ○：

a = 0

時成立。

a \neq = 0

時，

a^{7} = \frac{a ^{116}}{a ^{109}}

是有理數；

a^{109} = (a^{7})^{15} \cdot a^{4}

，所以

a^{4} = \frac{a ^{109}}{( a ^{7} ) ^{15}}

是有理數；

a^{3} = \frac{a ^{7}}{a ^{4}}

是有理數；最後

a = \frac{a ^{4}}{a ^{3}}

是有理數。

(3) 若改成「

a

為不等於

0

的有理數」就會成立，漏掉

0

是這個選項的陷阱。(5) 的關鍵是

109

與

116

互質，用除法一路把次方降到

1

。

有理數做加減乘除（除數不為

0

）還是有理數；要否定「必為無理數」，找一個反例就夠。

03多選第 4 題：位數與最高位數字

第 4 題答案 (1)(2)(3)(4)。先展開：

p = 3^{100} + 2 \cdot 3^{50} \cdot 3^{- 50} + 3^{- 100} = 3^{100} + 2 + 3^{- 100}

。

3^{100} + 2

是正整數，

0 < 3^{- 100} < 1

，所以

p

的整數部分是

3^{100} + 2

，小數部分是

3^{- 100}

。

lo g 3 \approx 0.4771

表示

3 \approx 1 0^{0.4771}

，所以

3^{100} \approx 1 0^{47.71} = 1 0^{0.71} \times 1 0^{47}

。由

lo g 5 \approx 0.6990

、

lo g 6 \approx 0.7782

知

5 \approx 1 0^{0.6990}

、

6 \approx 1 0^{0.7782}

；因為

0.6990 < 0.71 < 0.7782

，所以

5 < 1 0^{0.71} < 6

，即

5 \times 1 0^{47} < 3^{100} < 6 \times 1 0^{47}

。加上

2

不會改變位數與最高位。 (1) ○：

p > 3^{100} > 5 \times 1 0^{47} > 1 0^{47}

。 (2) ○：

5 \times 1 0^{47}

到

6 \times 1 0^{47}

之間的整數是

48

位數。 (3) ○：最高位數字是

5

。 (4) ○：小數部分

3^{- 100} \approx 1 0^{- 47.71} = 1 0^{0.29} \times 1 0^{- 48}

。因為

0 < 0.29 < 0.3010

，所以

1 < 1 0^{0.29} < 2

，小數部分是

1. \dots \times 1 0^{- 48}

：小數點後第

1

位到第

47

位都是

0

，第

48

位才不是

0

。 (5) ×：承 (4)，第一個不為

0

的數字是

1

，不是

2

。

- 47.71

要拆成

- 48 + 0.29

（小數部分取正的），不能拆成

- 47 - 0.71

後直接拿

0.71

去查最高位。

把數寫成

1 0^{小數} \times 1 0^{整數}

：整數決定位數（或小數點後有幾個

0

），小數決定最高位數字。

04多選第 5 題：由正負號條件判斷大小

第 5 題答案 (2)(3)(5)。先定出三數的正負。

ab c < 0

，所以三數都不是

0

，而且負數有

1

個或

3

個。若三個都是負數，則

ab

、

b c

、

c a

都是正數，

ab + b c + c a > 0

，與條件不合。所以恰有一個負數；又

a < b < c

，負的一定是最小的

a

，即

a < 0 < b < c

。 (1) ×：

a < 0

。 (2) ○：

c > 0

。 (3) ○：

\frac{3 a + 2 b}{5} - a = \frac{2 ( b - a )}{5} > 0

，

b - \frac{3 a + 2 b}{5} = \frac{3 ( b - a )}{5} > 0

，所以它介於

a

與

b

之間。 (4) ×：

a + b + c < 0

得

a + b < - c

，而

- c < 0

，所以

a + b < 0

。 (5) ○：

a + b + c < 0

得

- a > b + c

；因為

b > 0

，

b + c > c

，所以

- a > c > 0

，即

∣ a ∣ > ∣ c ∣

。

這樣的數確實存在，例如

a = - 5

、

b = 1

、

c = 2

：

ab c = - 10

，

ab + b c + c a = - 13

，

a + b + c = - 2

。

三數乘積為負，負數是奇數個；再用其他條件排除「三個都負」。

05填充第 6～9 題

第 6 題

a^{\frac{3}{2}} = 125 = 5^{3}

。兩邊同取

\frac{2}{3}

次方：

a = (5^{3})^{\frac{2}{3}} = 5^{2} = 25

。

驗算：

2 5^{\frac{3}{2}} = (25)^{3} = 5^{3} = 125

。

第 7 題

12 = 23

、

27 = 33

，原式整理成

(4 x + 2 y) + (2 x - y) 3 = 10 + 33

。

x

、

y

是有理數，

3

是無理數，所以兩邊的有理數部分相等、

3

的係數也相等：

4 x + 2 y = 10

，

2 x - y = 3

。第一式除以

2

得

2 x + y = 5

，與第二式相加得

4 x = 8

，

x = 2

，

y = 1

。數對為

(2, 1)

。

第 8 題直式除法得

\frac{5}{13} = 0. \overline{384615}

，循環節

6

位，一節的數字和是

3 + 8 + 4 + 6 + 1 + 5 = 27

。

109 = 6 \times 18 + 1

，前

109

位是

18

個完整的循環節，再加下一節的第

1

位

3

。所求為

18 \times 27 + 3 = 489

。

第 9 題解

- 2 \leq x \leq 8

的中點是

3

、半寬是

5

，可寫成

∣ x - 3∣ \leq 5

。兩邊同乘

2

：

∣2 x - 6∣ \leq 10

，而

∣2 x - 6∣ = ∣ - 2 x + 6∣

，所以就是

∣ - 2 x + 6∣ \leq 10

。與

∣ a x + 6∣ \leq b

比較（常數項要是

+ 6

），得

a = - 2

、

b = 10

。

也可以直接想：

∣ a x + 6∣

在解的中點

x = 3

應該是

0

，所以

3 a + 6 = 0

，

a = - 2

；再代端點

x = 8

：

b = ∣ - 16 + 6∣ = 10

。

06填充第 10～12 題：乘法公式與根式

第 10 題先化簡雙重根號：找和為

7

、積為

12

的兩數，是

4

與

3

，所以

a^{2 x} = 4 + 3 = 2 + 3

。令

u = a^{x}

。立方和公式：

u^{3} + u^{- 3} = (u + u^{- 1}) (u^{2} - 1 + u^{- 2})

，所以

\frac{a ^{3 x} + a ^{- 3 x}}{a ^{x} + a ^{- x}} = a^{2 x} - 1 + a^{- 2 x}

a^{- 2 x} = \frac{1}{2 + 3} = 2 - 3

，因此所求為

(2 + 3) - 1 + (2 - 3) = 3

。

第 11 題

\frac{1}{x} = \frac{2}{5 + 1} = \frac{2 ( 5 - 1 )}{4} = \frac{5 - 1}{2}

，所以

x + \frac{1}{x} = 5

。

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 (x + \frac{1}{x}) = 55 - 35 = 25

。

第 12 題

1 < 3 < 2

，所以

k = 3 - 1

。兩個根號裡都是完全平方：

k^{2} + \frac{1}{k ^{2}} - 2 = (k - \frac{1}{k})^{2}

，

k^{2} + \frac{1}{k ^{2}} + 2 = (k + \frac{1}{k})^{2}

。因為

0 < k < 1

，

\frac{1}{k} > 1 > k

，所以第一個根號開出來是

\frac{1}{k} - k

；第二個是

k + \frac{1}{k}

。兩者相加

= \frac{2}{k} = \frac{2}{3 - 1} = \frac{2 ( 3 + 1 )}{2} = 3 + 1

。

t^{2} = ∣ t ∣

：

k - \frac{1}{k}

是負的，開根號後要變號。若誤寫成

k - \frac{1}{k}

，會得到

2 k = 23 - 2

。

看到

t^{2} + \frac{1}{t ^{2}} \pm 2

就配成

(t \pm \frac{1}{t})^{2}

；開根號時先判斷括號裡的正負。

07填充第 13～14 題：對數估計與面積的最小值

第 13 題

lo g 1.01 = 0.0043

表示

1.01 = 1 0^{0.0043}

；

lo g 0.99 = - 0.0044

表示

0.99 = 1 0^{- 0.0044}

。

(1.01)^{252} = 1 0^{0.0043 \times 252} = 1 0^{1.0836}

，

(0.99)^{252} = 1 0^{- 0.0044 \times 252} = 1 0^{- 1.1088}

。相除：

\frac{( 1.01 ) ^{252}}{( 0.99 ) ^{252}} = 1 0^{1.0836 - (- 1.1088)} = 1 0^{2.1924} = 1 0^{2} \times 1 0^{0.1924}

。

lo g 1.5574 = 0.1924

表示

1 0^{0.1924} = 1.5574

，所以倍數是

100 \times 1.5574 = 155.74

，四捨五入為

156

。

是「相除」所以指數相減，減去負數要變成加：

1.0836 + 1.1088 = 2.1924

。本題照題目給的對數值作答；用計算機直接算約為

154.5

，差異來自卷面的對數值只取四位。

第 14 題設

\overline{B P} = t

（

0 < t < 6

），則

\overline{P C} = 6 - t

。

△ A B P

是直角三角形（

∠ B = 9 0^{\circ}

），面積

= \frac{1}{2} \times 2 \times t = t

。

\overline{A B}

與

\overline{QC}

平行，所以

△ A B P

與

△ QC P

相似（對頂角相等、都有直角），對應邊成比例：

\frac{QC}{A B} = \frac{P C}{B P} \Rightarrow \overline{QC} = \frac{2 ( 6 - t )}{t}

△ P QC

的面積

= \frac{1}{2} \times \overline{QC} \times \overline{P C} = \frac{( 6 - t ) ^{2}}{t} = \frac{36}{t} - 12 + t

。面積和

= 2 t + \frac{36}{t} - 12

。

2 t

與

\frac{36}{t}

都是正數，由算幾不等式

2 t + \frac{36}{t} \geq 2 2 t \cdot \frac{36}{t} = 272 = 122

等號成立在

2 t = \frac{36}{t}

，即

t^{2} = 18

，

t = 32

（約

4.24

，在

0

到

6

之間）。所以

\overline{B P} = 32

，此時面積和的最小值是

122 - 12

。

題目問的是

\overline{B P}

的長度，不是面積和的最小值。附圖是示意圖，

P

的位置不是答案的位置。

兩個正數的乘積是定值時，和的最小值出現在兩數相等的時候。

08非選擇題第 15～17 題：兩個絕對值的和

第 15 題

∣ x + 2∣ = ∣ x - (- 2) ∣

是數線上的點

x

到點

- 2

的距離，

∣ x - 3∣

是點

x

到點

3

的距離。所以

∣ x + 2∣ + ∣ x - 3∣

表示：數線上的點

x

到

- 2

與到

3

這兩點的距離和。

第 16 題沒有實數解。記

A (- 2)

、

B (3)

、

P (x)

，則

\overline{A B} = 3 - (- 2) = 5

。

P

在

A

、

B

之間（含端點）時，

\overline{P A} + \overline{P B} = \overline{A B} = 5

。

P

在

A

的左邊或

B

的右邊時，其中一段距離就已經超過

5

，所以

\overline{P A} + \overline{P B} > 5

。因此對任意實數

x

，

∣ x + 2∣ + ∣ x - 3∣ \geq 5

，不可能

\leq 3

，不等式沒有實數解。

第 17 題以

- 2

與

3

為分界，把數線分成三段。 ①

x < - 2

：

x + 2 < 0

、

x - 3 < 0

，原式成為

- (x + 2) - (x - 3) \leq 7

，即

- 2 x + 1 \leq 7

，

x \geq - 3

。這一段得

- 3 \leq x < - 2

。 ②

- 2 \leq x \leq 3

：

x + 2 \geq 0

、

x - 3 \leq 0

，原式成為

(x + 2) - (x - 3) \leq 7

，即

5 \leq 7

，恆成立。這一段得

- 2 \leq x \leq 3

。 ③

x > 3

：

x + 2 > 0

、

x - 3 > 0

，原式成為

(x + 2) + (x - 3) \leq 7

，即

2 x - 1 \leq 7

，

x \leq 4

。這一段得

3 < x \leq 4

。三段合起來，解為

- 3 \leq x \leq 4

。

每一段解出來的範圍要和那一段的前提取交集，最後三段再取聯集。用距離檢查：距離和比

5

多

2

，所以從

- 2

、

3

各往外多走

1

，得

- 3

與

4

。

∣ x - a ∣ + ∣ x - b ∣

是到兩點的距離和，最小值就是兩點的距離；要解不等式就以

a

、

b

為界分三段。

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