段考詳解範圍：數列與函數的極限（卷頭印：第一章數列與函數的極限）；內容含數列的極限、夾擠定理、無窮等比級數、函數、函數的極限與連續、勘根定理

建國中學 110 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

多選題 3 題（每題 10 分，共 30 分；全對得 10 分，只答錯一個選項得 6 分，只答錯二個選項得 2 分，不作答或答錯三個以上選項得 0 分）、填充題 12 格（每格 5 分，共 60 分）、計算證明題 1 題（共 10 分；第 (1) 小題 2 分只看答案，第 (2) 小題 8 分必須有過程）；滿分 100 分。原卷注意事項：本份考卷中提到的數列都是指擁有無窮多項的數列。題號對照：原卷填充題題號 1～9、答案格編號 (1)～(12)，本頁一格一題編為第 4～15 題；計算證明題第 1 題本頁編為第 16 題。計算證明題的函數式卷面連續印了兩次，本頁只打一次。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

壹、多選題（共 3 題，每題 10 分）｜每題至少有一個選項是正確的，全對得 10 分，只答錯一個選項得 6 分，只答錯二個選項得 2 分，不作答或答錯三個以上(含三個)選項得 0 分。

設

⟨ a_{n} ⟩, ⟨ b_{n} ⟩, ⟨ c_{n} ⟩

為三個實數數列，試問下列哪些選項是正確的？

(1) 若對於任何正整數 $n$ 皆有 $a_{n} \times b_{n} = c_{n}$ ，而數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 和 $⟨ b_{n} ⟩$ 皆為收斂數列，則數列 $⟨ c_{n} ⟩$ 是收斂數列
(2) 若對於任何正整數 $n$ 皆有 $a_{n} \times b_{n} = c_{n}$ ，而數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 是收斂數列，數列 $⟨ b_{n} ⟩$ 是發散數列，則數列 $⟨ c_{n} ⟩$ 是發散數列
(3) 若對於任何正整數 $n$ 皆有 $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ ，而 $n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim c_{n} = 1$ ，則 $n \to \infty lim b_{n} = 1$
(4) 若對於任何正整數 $n$ 皆有 $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ ，而 $n \to \infty lim a_{n} = 1$ ， $n \to \infty lim c_{n} = 3$ ，則數列 $⟨ b_{n} ⟩$ 可能是收斂數列也可能是發散數列
(5) 若對於任何正整數 $n$ 皆有 $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ ，而數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 和 $⟨ c_{n} ⟩$ 皆為發散數列，則數列 $⟨ b_{n} ⟩$ 一定是發散數列

設實數

α

滿足

0 < α < 4

，而數列

⟨ a_{n} ⟩

滿足

a_{n} = \frac{3 + 5 \cdot α ^{n}}{3 + α ^{n}}

，其中

n

為任意正整數，試問下列哪些選項可能是數列

⟨ a_{n} ⟩

的極限值？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

設函數

f : R \to R

，函數

g : R \to R

，試問下列哪些選項是正確的？

(1) 若對於任何實數 $x$ 皆有 $f (x) = ∣ g (x) ∣$ 且 $f (x)$ 在 $x = 0$ 連續，則 $g (x)$ 在 $x = 0$ 連續
(2) 若對於任何實數 $x$ 皆有 $f (x) \cdot g (x) = 1$ 且 $f (x)$ 在 $x = 0$ 連續，則 $g (x)$ 在 $x = 0$ 連續
(3) 若 $f (x), g (x)$ 皆在 $x = 0$ 連續且定義 $h (x) = f (x) + g (x)$ ，則 $h (x)$ 在 $x = 0$ 連續
(4) 若 $f (x), g (x)$ 皆在 $x = 0$ 連續且定義 $h (x) = (f \circ g) (x)$ ，則 $h (x)$ 在 $x = 0$ 連續
(5) 若 $f (x), g (x)$ 互為反函數且 $f (3) = g (2)$ ，則 $f (2) = g (3)$

貳、填充題（共 12 格，每格 5 分）

（原卷填充第 1 題第 (1) 小題）考慮下列各小題中的數列極限，若數列的極限存在，則填入極限值，若數列的極限不存在，則填入不存在。

n \to \infty lim (\frac{n ^{2} + 8 n + 16}{n + 2} - \frac{n ^{2} - 4 n - 16}{n + 3}) =

____。

（原卷填充第 1 題第 (2) 小題）作答規定同上題。

n \to \infty lim (\frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + \dots\dots + n ^{2}}{n ^{3}}) =

____。

（原卷填充第 2 題）設

A = k = 1 \sum 14 k (k + 2)

，

B = k = 1 \sum 14 k^{3}

，將分數

\frac{A}{B}

化簡成為最簡分數

\frac{q}{p}

，其中

p, q

為互質的兩正整數，試問

p + q

的值為 ____。

（原卷填充第 3 題）設

a

和

r

皆為非零實數，已知無窮等比級數

a + a r + a r^{2} + a r^{3} + \dots

的和為

57

，無窮等比級數

a + a r^{3} + a r^{6} + a r^{9} + \dots

的和為

27

，試問實數

r

的值為 ____。

（原卷填充第 4 題）已知對於每一個正整數

n

，數列

⟨ a_{n} ⟩

滿足

2 n + 3 \leq n a_{n} \leq 2 n + 5

，試求

n \to \infty lim a_{n} =

____。

（原卷填充第 5 題）設函數

f : {x ∣ 1 \leq x \leq 6, x \in R} \to R

且

f (x) = - x^{2} + 4 x + 21

，已知函數

f (x)

的值域為

{y ∣ m \leq y \leq M, y \in R}

，其中

M, m

為實數，試問

M + m

的值為 ____。

（原卷填充第 6 題）設函數

f : R \to R

，函數

g : R \to R

，若對於任何實數

x

皆有

(f \circ g) (x) = (g \circ f) (x) = x

，則稱

f (x)

和

g (x)

互為反函數。已知

f (x)

和

g (x)

互為反函數，

f (x) = 101 x + 2021

，

g (x) = a x + b

，其中

a, b

為實數，試問

a + b

的值為 ____。

（原卷填充第 7 題第 (1) 小題）考慮下列各小題中的函數極限，若函數的極限存在，則填入極限值，若函數的極限不存在，則就填入不存在。

x \to 2 lim (\frac{2 x + 3}{x + 1} - \frac{5 x + 6}{x + 4}) =

____。

（原卷填充第 7 題第 (2) 小題）作答規定同上題。

x \to 2 lim \frac{1}{x - 2} (\frac{x ^{4} - 16}{x - 2} - 32) =

____。

（原卷填充第 7 題第 (3) 小題）作答規定同上題。

x \to 2^{-} lim \frac{x ^{2} - 2 x + 3 x - 6}{x - 1 - [ x ]} =

____。（高斯符號

[x]

為不大於

x

的最大整數）

（原卷填充第 8 題）設函數

f : R \to R

且

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ a x + 1, x^{2} + b, - x^{3} + a, if x \geq 2 if 1 \leq x < 2 if x < 1

，其中

a, b

為實數，已知函數

f (x)

為連續函數，試問

a + b

的值為 ____。

（原卷填充第 9 題）設

f (x)

為多項式函數且次數為三次，滿足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = - 7

，

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = 10

，試問函數值

f (0)

的值為 ____。

参、計算證明題（共 10 分）｜第(1)小題只看答案，答對得 2 分，否則得 0 分；第(2)小題必須要有過程，否則不予計分

設函數

f : R \to R

且

f (x) = x^{4} \times 3^{x} - 2

，已知

f (x)

是連續函數，試回答下列各小題： (1)

f (x) = 0

的實根情況為下列哪一個選項。(單選題)（2 分） (A) 沒有實根　(B) 所有的實根皆為正實根　(C) 所有的實根皆為負實根　(D) 有正實根也有負實根 (2) 承(1)，請證明

f (x) = 0

的實根情況為何是(1)你選的那個選項。（8 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(3)(4)

第 2 題(1)(2)(5)

第 3 題(2)(3)

第 4 題

13

第 5 題

\frac{1}{3}

第 6 題

10

第 7 題

\frac{2}{3}

第 8 題

2

第 9 題

8

第 10 題

- 20

第 11 題

- \frac{1}{3}

第 12 題

24

第 13 題

1

第 14 題

0

第 15 題

8

第 16 題第 (1) 小題選 (D)；第 (2) 小題是證明題：

f (0) < 0 < f (1)

且

f (- 2) < 0 < f (- 3)

，由勘根定理得一個正實根與一個負實根，見詳解

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1 題：哪些性質成立，哪些要舉反例

1-(1)正確。兩個收斂數列的乘積仍收斂：若

n \to \infty lim a_{n} = A

、

n \to \infty lim b_{n} = B

，則

n \to \infty lim a_{n} b_{n} = A B

，這是收斂數列的運算性質。

1-(2)不正確。反例：

a_{n} = 0

（收斂）、

b_{n} = n

（發散），

c_{n} = a_{n} b_{n} = 0

是收斂數列。另一個例子是

a_{n} = \frac{1}{n}

、

b_{n} = n

，

c_{n} = 1

。

1-(3)正確。這就是夾擠定理：

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

且兩邊的極限都是

1

，中間的

⟨ b_{n} ⟩

也收斂到

1

。

1-(4)正確。兩邊的極限不同（

1

與

3

），夾擠定理用不上，兩種情形都做得出來。取

a_{n} = 1

、

c_{n} = 3

：若

b_{n} = 2

，則

⟨ b_{n} ⟩

收斂；若

b_{n} = 2 + \frac{( - 1 ) ^{n}}{2}

（在

1.5

與

2.5

之間跳動），則

1 \leq b_{n} \leq 3

仍成立，但

⟨ b_{n} ⟩

發散。

1-(5)不正確。反例：

a_{n} = (- 1)^{n} - 2

（在

- 3

與

- 1

之間跳動，發散）、

c_{n} = (- 1)^{n} + 2

（在

1

與

3

之間跳動，發散）、

b_{n} = 0

。每一項都有

a_{n} \leq 0 \leq c_{n}

，而

⟨ b_{n} ⟩

收斂到

0

。

也可以取

a_{n} = - n

、

c_{n} = n

、

b_{n} = 0

。

「收斂

\times

收斂」一定收斂；只要其中有發散數列，結論就不一定，要找反例。夾擠定理要兩邊的極限相同才能用。

02多選第 2 題：依 α 與 1 的大小分三種情形

第 2 題

α^{n}

的變化要看

α

與

1

的大小。 情形一

0 < α < 1

：

α^{n} \to 0

，所以

a_{n} \to \frac{3 + 0}{3 + 0} = 1

。 情形二

α = 1

：每一項都是

a_{n} = \frac{3 + 5}{3 + 1} = 2

，極限為

2

。 情形三

1 < α < 4

：

α^{n}

越來越大，分子分母同除以

α^{n}

得

a_{n} = \frac{\frac{3}{α ^{n}} + 5}{\frac{3}{α ^{n}} + 1}

，而

\frac{3}{α ^{n}} \to 0

，所以

a_{n} \to 5

。可能的極限值只有

1

、

2

、

5

，選 (1)(2)(5)；選項 (3) 的

3

與選項 (4) 的

4

都不會出現。

α = 1

這個分界點要單獨算，它給出選項 (2)。題目的上界

4

不影響結果，只要

α > 1

極限就是

5

。

03多選第 3 題：連續與反函數

3-(1)不正確。反例：

g (x) = {1, - 1, x \geq 0 x < 0

，則

f (x) = ∣ g (x) ∣ = 1

是常數函數，在

x = 0

連續；但

g (x)

在

x = 0

的左極限是

- 1

、右極限是

1

，極限不存在，所以不連續。

3-(2)正確。由

f (x) \cdot g (x) = 1

知道每個

x

都有

f (x) \neq = 0

，而且

g (x) = \frac{1}{f ( x )}

。

f (x)

在

x = 0

連續，所以

x \to 0 lim f (x) = f (0) \neq = 0

，由極限的除法性質

x \to 0 lim g (x) = \frac{1}{f ( 0 )} = g (0)

，即

g (x)

在

x = 0

連續。

3-(3)正確。

x \to 0 lim h (x) = x \to 0 lim f (x) + x \to 0 lim g (x) = f (0) + g (0) = h (0)

。

3-(4)不正確。

h (x) = f (g (x))

在

x = 0

連續，需要的是

f

在

g (0)

這一點連續，而題目只說

f

在

0

連續。反例：

g (x) = x + 1

，

f (x) = {1, 0, x \geq 1 x < 1

。兩者都在

x = 0

連續（

f

在

0

附近恆為

0

），但

h (x) = f (x + 1) = {1, 0, x \geq 0 x < 0

在

x = 0

左極限

0

、右極限

1

，不連續。

3-(5)不正確。反例：

f (x) = x - \frac{1}{2}

，

g (x) = x + \frac{1}{2}

，兩者互為反函數（

f (g (x)) = g (f (x)) = x

）。

f (3) = \frac{5}{2} = g (2)

，條件成立；但

f (2) = \frac{3}{2}

，

g (3) = \frac{7}{2}

，兩者不相等。

若把條件改成

f (3) = 2

，才會有

g (2) = 3

；本題的條件是

f (3)

與

g (2)

這兩個函數值相等，意思不同。

絕對值連續不代表原函數連續；合成函數要看外層函數在「內層函數值」那一點是否連續。

04填充第 1、2 題（第 4～6 題）：數列的極限與求和公式

第 4 題兩個分式各自都發散，不能分開取極限，先各做除法：

\frac{n ^{2} + 8 n + 16}{n + 2} = n + 6 + \frac{4}{n + 2}

，

\frac{n ^{2} - 4 n - 16}{n + 3} = n - 7 + \frac{5}{n + 3}

。相減得

13 + \frac{4}{n + 2} - \frac{5}{n + 3}

，

n \to \infty

時後兩項都趨近

0

，極限為

13

。

也可以直接通分：分子是

(n^{2} + 8 n + 16) (n + 3) - (n^{2} - 4 n - 16) (n + 2) = 13 n^{2} + 64 n + 80

，分母是

n^{2} + 5 n + 6

，最高次項係數比為

13

。

第 5 題

1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

，所以原式

= \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 n ^{3}} = \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot (1 + \frac{1}{n}) (2 + \frac{1}{n})

，

n \to \infty

時趨近

\frac{1}{6} \times 1 \times 2 = \frac{1}{3}

。

不可以拆成

\frac{1 ^{2}}{n ^{3}} + \frac{2 ^{2}}{n ^{3}} + \dots

再說每一項都趨近

0

：項數隨

n

增加，極限的加法性質只適用於固定項數。

第 6 題把

k (k + 2)

拆成

k^{2} + 2 k

：

A = k = 1 \sum 14 k^{2} + 2 k = 1 \sum 14 k

。平方和

\frac{14 \times 15 \times 29}{6} = 1015

，

2 \times \frac{14 \times 15}{2} = 210

，所以

A = 1015 + 210 = 1225

。

B = (\frac{14 \times 15}{2})^{2} = 10 5^{2} = 11025

。

\frac{A}{B} = \frac{1225}{11025} = \frac{1}{9}

（

11025 = 1225 \times 9

），所以

q = 1

、

p = 9

，

p + q = 10

。

05填充第 3、4 題（第 7、8 題）：無窮等比級數與夾擠定理

第 7 題第一個級數首項

a

、公比

r

，收斂所以

∣ r ∣ < 1

，和為

\frac{a}{1 - r} = 57

。第二個級數首項

a

、公比

r^{3}

，和為

\frac{a}{1 - r ^{3}} = 27

。兩式相除：

\frac{1 - r ^{3}}{1 - r} = \frac{57}{27} = \frac{19}{9}

，而

1 - r^{3} = (1 - r) (1 + r + r^{2})

，所以

1 + r + r^{2} = \frac{19}{9}

，即

9 r^{2} + 9 r - 10 = 0

，

(3 r - 2) (3 r + 5) = 0

，

r = \frac{2}{3}

或

r = - \frac{5}{3}

。因為

∣ r ∣ < 1

，所以

r = \frac{2}{3}

。

r = - \frac{5}{3}

時級數發散，沒有和，要捨去。檢查：

r = \frac{2}{3}

時

a = 57 \times \frac{1}{3} = 19

，第二個級數的和

\frac{19}{1 - \frac{8}{27}} = 27

，相符。

第 8 題

n

是正整數，各邊同除以

n

：

2 + \frac{3}{n} \leq a_{n} \leq 2 + \frac{5}{n}

。

n \to \infty

時左右兩邊的極限都是

2

，由夾擠定理

n \to \infty lim a_{n} = 2

。

06填充第 5、6 題（第 9、10 題）：值域與反函數

第 9 題配方：

- x^{2} + 4 x + 21 = 25 - (x - 2)^{2}

。定義域是

1 \leq x \leq 6

：

x = 2

在範圍內，根號內的最大值是

25

；離

x = 2

最遠的端點是

x = 6

，根號內的最小值是

25 - 16 = 9

（另一端

x = 1

時是

24

）。根號內的值在

9

到

25

之間都取得到，所以

f (x)

的值域是

3 \leq y \leq 5

，

M = 5

、

m = 3

，

M + m = 8

。

定義域只到

x = 6

，根號內到不了

0

（那要

x = 7

），所以

m

不是

0

。

第 10 題

(f \circ g) (x) = 101 (a x + b) + 2021 = 101 a x + (101 b + 2021)

，要對所有

x

都等於

x

，所以

101 a = 1

且

101 b + 2021 = 0

，得

a = \frac{1}{101}

、

b = - \frac{2021}{101}

。此時

(g \circ f) (x) = \frac{101 x + 2021}{101} - \frac{2021}{101} = x

也成立。

a + b = \frac{1 - 2021}{101} = - \frac{2020}{101} = - 20

。

07填充第 7 題（第 11～13 題）：函數的極限

第 11 題兩個分式在

x = 2

的分母都不是

0

，直接代入：

\frac{7}{3} - \frac{16}{6} = \frac{7}{3} - \frac{8}{3} = - \frac{1}{3}

。

第 12 題先算括號內：

x \neq = 2

時

\frac{x ^{4} - 16}{x - 2} = (x + 2) (x^{2} + 4) = x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8

，減去

32

得

x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 24

。

x = 2

代入為

0

，所以它有因式

x - 2

：

x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 24 = (x - 2) (x^{2} + 4 x + 12)

。原式

= x \to 2 lim (x^{2} + 4 x + 12) = 4 + 8 + 12 = 24

。

第 13 題

x \to 2^{-}

時只看

1 < x < 2

。這時

[x] = 1

，分母

= x - 1 - 1 = x - 2

。又

x^{2} - 2 x = x (x - 2) < 0

，所以

x^{2} - 2 x = - x (x - 2)

，分子

= - x (x - 2) + 3 (x - 2) = (x - 2) (3 - x)

。原式

= x \to 2^{-} lim \frac{( x - 2 ) ( 3 - x )}{x - 2} = x \to 2^{-} lim (3 - x) = 1

。

x

從左邊靠近

2

時

[x]

是

1

不是

2

；絕對值裡面是負的，拿掉絕對值要變號。

代入後是

\frac{0}{0}

的極限，做法是找出分子分母共同的因式約掉；有絕對值或高斯符號時，先依

x

所在的範圍把它們寫成一般的式子。

08填充第 8、9 題（第 14、15 題）：由連續與極限決定係數

第 14 題三段各自都是多項式，只要兩個接點連續即可。在

x = 2

：左極限

4 + b

，函數值

2 a + 1

，所以

2 a + 1 = 4 + b

。在

x = 1

：左極限

- 1 + a

，函數值

1 + b

，所以

a - 1 = 1 + b

，即

a = b + 2

。代入前式：

2 b + 5 = 4 + b

，

b = - 1

，

a = 1

。

a + b = 0

。

檢查：

x = 2

處兩邊都是

3

，

x = 1

處兩邊都是

0

。

第 15 題

x \to 1

時分母

x - 1 \to 0

而極限存在，所以分子的極限

f (1) = 0

；同理

f (2) = 0

。

f (x)

是三次多項式，可設

f (x) = (x - 1) (x - 2) (p x + q)

，

p \neq = 0

。

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = (1 - 2) (p + q) = - 7

，得

p + q = 7

；

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = (2 - 1) (2 p + q) = 10

，得

2 p + q = 10

。解得

p = 3

、

q = 4

，

f (x) = (x - 1) (x - 2) (3 x + 4)

，

f (0) = (- 1) (- 2) (4) = 8

。

分母趨近

0

而極限存在，分子也必須趨近

0

；對多項式來說就是多一個因式。

09計算證明題（第 16 題）：用勘根定理找正根與負根

第 16 題第 (1) 小題 選 (D)。 第 (2) 小題 已知

f (x)

是連續函數，在任何閉區間上都可以用勘根定理。先找正根：

f (0) = 0 - 2 = - 2 < 0

，

f (1) = 1 \times 3 - 2 = 1 > 0

，

f (0) \cdot f (1) < 0

，由勘根定理，在

0

與

1

之間至少有一個實數

c

使

f (c) = 0

；

c

在

0

與

1

之間，所以

c > 0

，這是一個正實根。再找負根：

f (- 2) = 16 \times \frac{1}{9} - 2 = - \frac{2}{9} < 0

，

f (- 3) = 81 \times \frac{1}{27} - 2 = 1 > 0

，

f (- 3) \cdot f (- 2) < 0

，由勘根定理，在

- 3

與

- 2

之間至少有一個實數

d

使

f (d) = 0

；

d

在

- 3

與

- 2

之間，所以

d < 0

，這是一個負實根。所以

f (x) = 0

有正實根也有負實根，(A)、(B)、(C) 都不對，選 (D)。

負的那一邊其實不只一個根：

f (- 5) = \frac{625}{243} - 2 > 0

，

f (- 6) = \frac{1296}{729} - 2 = - \frac{2}{9} < 0

，所以

- 6

與

- 5

之間還有一個負實根。找負根時

x = - 1

、

x = - 2

的函數值都是負的，要試到

x = - 3

才變號。

勘根定理的寫法：先說函數連續，再找兩個函數值異號的點，結論是「兩點之間至少有一個實根」。要說明有正根也有負根，就在

0

的兩側各找一組。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

建國中學 110 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

建國中學 110 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 3 題選項五的條件是兩個函數值相等，不是三對應到二，用平移半單位的一次函數就能舉出反例；選項四要外層函數在內層函數值那一點連續才成立。多選第 2 題底數恰好等於一要單獨算，極限是二。填充第 5 題定義域只到六，根號內到不了零，最小值是三。填充第 7 題第三小題從左邊靠近二時高斯符號是一，絕對值裡面是負的。計算證明題的負根要試到負三才變號。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自建國中學 110 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

建國中學 110 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

設

⟨ a_{n} ⟩, ⟨ b_{n} ⟩, ⟨ c_{n} ⟩

為三個實數數列，試問下列哪些選項是正確的？

(1) 若對於任何正整數 $n$ 皆有 $a_{n} \times b_{n} = c_{n}$ ，而數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 和 $⟨ b_{n} ⟩$ 皆為收斂數列，則數列 $⟨ c_{n} ⟩$ 是收斂數列
(2) 若對於任何正整數 $n$ 皆有 $a_{n} \times b_{n} = c_{n}$ ，而數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 是收斂數列，數列 $⟨ b_{n} ⟩$ 是發散數列，則數列 $⟨ c_{n} ⟩$ 是發散數列
(3) 若對於任何正整數 $n$ 皆有 $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ ，而 $n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim c_{n} = 1$ ，則 $n \to \infty lim b_{n} = 1$
(4) 若對於任何正整數 $n$ 皆有 $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ ，而 $n \to \infty lim a_{n} = 1$ ， $n \to \infty lim c_{n} = 3$ ，則數列 $⟨ b_{n} ⟩$ 可能是收斂數列也可能是發散數列
(5) 若對於任何正整數 $n$ 皆有 $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ ，而數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 和 $⟨ c_{n} ⟩$ 皆為發散數列，則數列 $⟨ b_{n} ⟩$ 一定是發散數列

設實數

α

滿足

0 < α < 4

，而數列

⟨ a_{n} ⟩

滿足

a_{n} = \frac{3 + 5 \cdot α ^{n}}{3 + α ^{n}}

，其中

n

為任意正整數，試問下列哪些選項可能是數列

⟨ a_{n} ⟩

的極限值？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

設函數

f : R \to R

，函數

g : R \to R

，試問下列哪些選項是正確的？

(1) 若對於任何實數 $x$ 皆有 $f (x) = ∣ g (x) ∣$ 且 $f (x)$ 在 $x = 0$ 連續，則 $g (x)$ 在 $x = 0$ 連續
(2) 若對於任何實數 $x$ 皆有 $f (x) \cdot g (x) = 1$ 且 $f (x)$ 在 $x = 0$ 連續，則 $g (x)$ 在 $x = 0$ 連續
(3) 若 $f (x), g (x)$ 皆在 $x = 0$ 連續且定義 $h (x) = f (x) + g (x)$ ，則 $h (x)$ 在 $x = 0$ 連續
(4) 若 $f (x), g (x)$ 皆在 $x = 0$ 連續且定義 $h (x) = (f \circ g) (x)$ ，則 $h (x)$ 在 $x = 0$ 連續
(5) 若 $f (x), g (x)$ 互為反函數且 $f (3) = g (2)$ ，則 $f (2) = g (3)$

貳、填充題（共 12 格，每格 5 分）

（原卷填充第 1 題第 (1) 小題）考慮下列各小題中的數列極限，若數列的極限存在，則填入極限值，若數列的極限不存在，則填入不存在。

n \to \infty lim (\frac{n ^{2} + 8 n + 16}{n + 2} - \frac{n ^{2} - 4 n - 16}{n + 3}) =

____。

（原卷填充第 1 題第 (2) 小題）作答規定同上題。

n \to \infty lim (\frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + \dots\dots + n ^{2}}{n ^{3}}) =

____。

（原卷填充第 2 題）設

A = k = 1 \sum 14 k (k + 2)

，

B = k = 1 \sum 14 k^{3}

，將分數

\frac{A}{B}

化簡成為最簡分數

\frac{q}{p}

，其中

p, q

為互質的兩正整數，試問

p + q

的值為 ____。

（原卷填充第 3 題）設

a

和

r

皆為非零實數，已知無窮等比級數

a + a r + a r^{2} + a r^{3} + \dots

的和為

57

，無窮等比級數

a + a r^{3} + a r^{6} + a r^{9} + \dots

的和為

27

，試問實數

r

的值為 ____。

（原卷填充第 4 題）已知對於每一個正整數

n

，數列

⟨ a_{n} ⟩

滿足

2 n + 3 \leq n a_{n} \leq 2 n + 5

，試求

n \to \infty lim a_{n} =

____。

（原卷填充第 5 題）設函數

f : {x ∣ 1 \leq x \leq 6, x \in R} \to R

且

f (x) = - x^{2} + 4 x + 21

，已知函數

f (x)

的值域為

{y ∣ m \leq y \leq M, y \in R}

，其中

M, m

為實數，試問

M + m

的值為 ____。

（原卷填充第 6 題）設函數

f : R \to R

，函數

g : R \to R

，若對於任何實數

x

皆有

(f \circ g) (x) = (g \circ f) (x) = x

，則稱

f (x)

和

g (x)

互為反函數。已知

f (x)

和

g (x)

互為反函數，

f (x) = 101 x + 2021

，

g (x) = a x + b

，其中

a, b

為實數，試問

a + b

的值為 ____。

（原卷填充第 7 題第 (1) 小題）考慮下列各小題中的函數極限，若函數的極限存在，則填入極限值，若函數的極限不存在，則就填入不存在。

x \to 2 lim (\frac{2 x + 3}{x + 1} - \frac{5 x + 6}{x + 4}) =

____。

（原卷填充第 7 題第 (2) 小題）作答規定同上題。

x \to 2 lim \frac{1}{x - 2} (\frac{x ^{4} - 16}{x - 2} - 32) =

____。

（原卷填充第 7 題第 (3) 小題）作答規定同上題。

x \to 2^{-} lim \frac{x ^{2} - 2 x + 3 x - 6}{x - 1 - [ x ]} =

____。（高斯符號

[x]

為不大於

x

的最大整數）

（原卷填充第 8 題）設函數

f : R \to R

且

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ a x + 1, x^{2} + b, - x^{3} + a, if x \geq 2 if 1 \leq x < 2 if x < 1

，其中

a, b

為實數，已知函數

f (x)

為連續函數，試問

a + b

的值為 ____。

（原卷填充第 9 題）設

f (x)

為多項式函數且次數為三次，滿足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = - 7

，

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = 10

，試問函數值

f (0)

的值為 ____。

参、計算證明題（共 10 分）｜第(1)小題只看答案，答對得 2 分，否則得 0 分；第(2)小題必須要有過程，否則不予計分

設函數

f : R \to R

且

f (x) = x^{4} \times 3^{x} - 2

，已知

f (x)

是連續函數，試回答下列各小題： (1)

f (x) = 0

f (x) = 0

的實根情況為何是(1)你選的那個選項。（8 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(3)(4)

第 2 題(1)(2)(5)

第 3 題(2)(3)

第 4 題

13

第 5 題

\frac{1}{3}

第 6 題

10

第 7 題

\frac{2}{3}

第 8 題

2

第 9 題

8

第 10 題

- 20

第 11 題

- \frac{1}{3}

第 12 題

24

第 13 題

1

第 14 題

0

第 15 題

8

第 16 題第 (1) 小題選 (D)；第 (2) 小題是證明題：

f (0) < 0 < f (1)

且

f (- 2) < 0 < f (- 3)

，由勘根定理得一個正實根與一個負實根，見詳解

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1 題：哪些性質成立，哪些要舉反例

1-(1)正確。兩個收斂數列的乘積仍收斂：若

n \to \infty lim a_{n} = A

、

n \to \infty lim b_{n} = B

，則

n \to \infty lim a_{n} b_{n} = A B

，這是收斂數列的運算性質。

1-(2)不正確。反例：

a_{n} = 0

（收斂）、

b_{n} = n

（發散），

c_{n} = a_{n} b_{n} = 0

是收斂數列。另一個例子是

a_{n} = \frac{1}{n}

、

b_{n} = n

，

c_{n} = 1

。

1-(3)正確。這就是夾擠定理：

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

且兩邊的極限都是

1

，中間的

⟨ b_{n} ⟩

也收斂到

1

。

1-(4)正確。兩邊的極限不同（

1

與

3

），夾擠定理用不上，兩種情形都做得出來。取

a_{n} = 1

、

c_{n} = 3

：若

b_{n} = 2

，則

⟨ b_{n} ⟩

收斂；若

b_{n} = 2 + \frac{( - 1 ) ^{n}}{2}

（在

1.5

與

2.5

之間跳動），則

1 \leq b_{n} \leq 3

仍成立，但

⟨ b_{n} ⟩

發散。

1-(5)不正確。反例：

a_{n} = (- 1)^{n} - 2

（在

- 3

與

- 1

之間跳動，發散）、

c_{n} = (- 1)^{n} + 2

（在

1

與

3

之間跳動，發散）、

b_{n} = 0

。每一項都有

a_{n} \leq 0 \leq c_{n}

，而

⟨ b_{n} ⟩

收斂到

0

。

也可以取

a_{n} = - n

、

c_{n} = n

、

b_{n} = 0

。

「收斂

\times

收斂」一定收斂；只要其中有發散數列，結論就不一定，要找反例。夾擠定理要兩邊的極限相同才能用。

02多選第 2 題：依 α 與 1 的大小分三種情形

第 2 題

α^{n}

的變化要看

α

與

1

的大小。 情形一

0 < α < 1

：

α^{n} \to 0

，所以

a_{n} \to \frac{3 + 0}{3 + 0} = 1

。 情形二

α = 1

：每一項都是

a_{n} = \frac{3 + 5}{3 + 1} = 2

，極限為

2

。 情形三

1 < α < 4

：

α^{n}

越來越大，分子分母同除以

α^{n}

得

a_{n} = \frac{\frac{3}{α ^{n}} + 5}{\frac{3}{α ^{n}} + 1}

，而

\frac{3}{α ^{n}} \to 0

，所以

a_{n} \to 5

。可能的極限值只有

1

、

2

、

5

，選 (1)(2)(5)；選項 (3) 的

3

與選項 (4) 的

4

都不會出現。

α = 1

這個分界點要單獨算，它給出選項 (2)。題目的上界

4

不影響結果，只要

α > 1

極限就是

5

。

03多選第 3 題：連續與反函數

3-(1)不正確。反例：

g (x) = {1, - 1, x \geq 0 x < 0

，則

f (x) = ∣ g (x) ∣ = 1

是常數函數，在

x = 0

連續；但

g (x)

在

x = 0

的左極限是

- 1

、右極限是

1

，極限不存在，所以不連續。

3-(2)正確。由

f (x) \cdot g (x) = 1

知道每個

x

都有

f (x) \neq = 0

，而且

g (x) = \frac{1}{f ( x )}

。

f (x)

在

x = 0

連續，所以

x \to 0 lim f (x) = f (0) \neq = 0

，由極限的除法性質

x \to 0 lim g (x) = \frac{1}{f ( 0 )} = g (0)

，即

g (x)

在

x = 0

連續。

3-(3)正確。

x \to 0 lim h (x) = x \to 0 lim f (x) + x \to 0 lim g (x) = f (0) + g (0) = h (0)

。

3-(4)不正確。

h (x) = f (g (x))

在

x = 0

連續，需要的是

f

在

g (0)

這一點連續，而題目只說

f

在

0

連續。反例：

g (x) = x + 1

，

f (x) = {1, 0, x \geq 1 x < 1

。兩者都在

x = 0

連續（

f

在

0

附近恆為

0

），但

h (x) = f (x + 1) = {1, 0, x \geq 0 x < 0

在

x = 0

左極限

0

、右極限

1

，不連續。

3-(5)不正確。反例：

f (x) = x - \frac{1}{2}

，

g (x) = x + \frac{1}{2}

，兩者互為反函數（

f (g (x)) = g (f (x)) = x

）。

f (3) = \frac{5}{2} = g (2)

，條件成立；但

f (2) = \frac{3}{2}

，

g (3) = \frac{7}{2}

，兩者不相等。

若把條件改成

f (3) = 2

，才會有

g (2) = 3

；本題的條件是

f (3)

與

g (2)

這兩個函數值相等，意思不同。

絕對值連續不代表原函數連續；合成函數要看外層函數在「內層函數值」那一點是否連續。

04填充第 1、2 題（第 4～6 題）：數列的極限與求和公式

第 4 題兩個分式各自都發散，不能分開取極限，先各做除法：

\frac{n ^{2} + 8 n + 16}{n + 2} = n + 6 + \frac{4}{n + 2}

，

\frac{n ^{2} - 4 n - 16}{n + 3} = n - 7 + \frac{5}{n + 3}

。相減得

13 + \frac{4}{n + 2} - \frac{5}{n + 3}

，

n \to \infty

時後兩項都趨近

0

，極限為

13

。

也可以直接通分：分子是

(n^{2} + 8 n + 16) (n + 3) - (n^{2} - 4 n - 16) (n + 2) = 13 n^{2} + 64 n + 80

，分母是

n^{2} + 5 n + 6

，最高次項係數比為

13

。

第 5 題

1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

，所以原式

= \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 n ^{3}} = \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot (1 + \frac{1}{n}) (2 + \frac{1}{n})

，

n \to \infty

時趨近

\frac{1}{6} \times 1 \times 2 = \frac{1}{3}

。

不可以拆成

\frac{1 ^{2}}{n ^{3}} + \frac{2 ^{2}}{n ^{3}} + \dots

再說每一項都趨近

0

：項數隨

n

增加，極限的加法性質只適用於固定項數。

第 6 題把

k (k + 2)

拆成

k^{2} + 2 k

：

A = k = 1 \sum 14 k^{2} + 2 k = 1 \sum 14 k

。平方和

\frac{14 \times 15 \times 29}{6} = 1015

，

2 \times \frac{14 \times 15}{2} = 210

，所以

A = 1015 + 210 = 1225

。

B = (\frac{14 \times 15}{2})^{2} = 10 5^{2} = 11025

。

\frac{A}{B} = \frac{1225}{11025} = \frac{1}{9}

（

11025 = 1225 \times 9

），所以

q = 1

、

p = 9

，

p + q = 10

。

05填充第 3、4 題（第 7、8 題）：無窮等比級數與夾擠定理

第 7 題第一個級數首項

a

、公比

r

，收斂所以

∣ r ∣ < 1

，和為

\frac{a}{1 - r} = 57

。第二個級數首項

a

、公比

r^{3}

，和為

\frac{a}{1 - r ^{3}} = 27

。兩式相除：

\frac{1 - r ^{3}}{1 - r} = \frac{57}{27} = \frac{19}{9}

，而

1 - r^{3} = (1 - r) (1 + r + r^{2})

，所以

1 + r + r^{2} = \frac{19}{9}

，即

9 r^{2} + 9 r - 10 = 0

，

(3 r - 2) (3 r + 5) = 0

，

r = \frac{2}{3}

或

r = - \frac{5}{3}

。因為

∣ r ∣ < 1

，所以

r = \frac{2}{3}

。

r = - \frac{5}{3}

時級數發散，沒有和，要捨去。檢查：

r = \frac{2}{3}

時

a = 57 \times \frac{1}{3} = 19

，第二個級數的和

\frac{19}{1 - \frac{8}{27}} = 27

，相符。

第 8 題

n

是正整數，各邊同除以

n

：

2 + \frac{3}{n} \leq a_{n} \leq 2 + \frac{5}{n}

。

n \to \infty

時左右兩邊的極限都是

2

，由夾擠定理

n \to \infty lim a_{n} = 2

。

06填充第 5、6 題（第 9、10 題）：值域與反函數

第 9 題配方：

- x^{2} + 4 x + 21 = 25 - (x - 2)^{2}

。定義域是

1 \leq x \leq 6

：

x = 2

在範圍內，根號內的最大值是

25

；離

x = 2

最遠的端點是

x = 6

，根號內的最小值是

25 - 16 = 9

（另一端

x = 1

時是

24

）。根號內的值在

9

到

25

之間都取得到，所以

f (x)

的值域是

3 \leq y \leq 5

，

M = 5

、

m = 3

，

M + m = 8

。

定義域只到

x = 6

，根號內到不了

0

（那要

x = 7

），所以

m

不是

0

。

第 10 題

(f \circ g) (x) = 101 (a x + b) + 2021 = 101 a x + (101 b + 2021)

，要對所有

x

都等於

x

，所以

101 a = 1

且

101 b + 2021 = 0

，得

a = \frac{1}{101}

、

b = - \frac{2021}{101}

。此時

(g \circ f) (x) = \frac{101 x + 2021}{101} - \frac{2021}{101} = x

也成立。

a + b = \frac{1 - 2021}{101} = - \frac{2020}{101} = - 20

。

07填充第 7 題（第 11～13 題）：函數的極限

第 11 題兩個分式在

x = 2

的分母都不是

0

，直接代入：

\frac{7}{3} - \frac{16}{6} = \frac{7}{3} - \frac{8}{3} = - \frac{1}{3}

。

第 12 題先算括號內：

x \neq = 2

時

\frac{x ^{4} - 16}{x - 2} = (x + 2) (x^{2} + 4) = x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8

，減去

32

得

x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 24

。

x = 2

代入為

0

，所以它有因式

x - 2

：

x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 24 = (x - 2) (x^{2} + 4 x + 12)

。原式

= x \to 2 lim (x^{2} + 4 x + 12) = 4 + 8 + 12 = 24

。

第 13 題

x \to 2^{-}

時只看

1 < x < 2

。這時

[x] = 1

，分母

= x - 1 - 1 = x - 2

。又

x^{2} - 2 x = x (x - 2) < 0

，所以

x^{2} - 2 x = - x (x - 2)

，分子

= - x (x - 2) + 3 (x - 2) = (x - 2) (3 - x)

。原式

= x \to 2^{-} lim \frac{( x - 2 ) ( 3 - x )}{x - 2} = x \to 2^{-} lim (3 - x) = 1

。

x

從左邊靠近

2

時

[x]

是

1

不是

2

；絕對值裡面是負的，拿掉絕對值要變號。

代入後是

\frac{0}{0}

的極限，做法是找出分子分母共同的因式約掉；有絕對值或高斯符號時，先依

x

所在的範圍把它們寫成一般的式子。

08填充第 8、9 題（第 14、15 題）：由連續與極限決定係數

第 14 題三段各自都是多項式，只要兩個接點連續即可。在

x = 2

：左極限

4 + b

，函數值

2 a + 1

，所以

2 a + 1 = 4 + b

。在

x = 1

：左極限

- 1 + a

，函數值

1 + b

，所以

a - 1 = 1 + b

，即

a = b + 2

。代入前式：

2 b + 5 = 4 + b

，

b = - 1

，

a = 1

。

a + b = 0

。

檢查：

x = 2

處兩邊都是

3

，

x = 1

處兩邊都是

0

。

第 15 題

x \to 1

時分母

x - 1 \to 0

而極限存在，所以分子的極限

f (1) = 0

；同理

f (2) = 0

。

f (x)

是三次多項式，可設

f (x) = (x - 1) (x - 2) (p x + q)

，

p \neq = 0

。

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = (1 - 2) (p + q) = - 7

，得

p + q = 7

；

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = (2 - 1) (2 p + q) = 10

，得

2 p + q = 10

。解得

p = 3

、

q = 4

，

f (x) = (x - 1) (x - 2) (3 x + 4)

，

f (0) = (- 1) (- 2) (4) = 8

。

分母趨近

0

而極限存在，分子也必須趨近

0

；對多項式來說就是多一個因式。

09計算證明題（第 16 題）：用勘根定理找正根與負根

第 16 題第 (1) 小題 選 (D)。 第 (2) 小題 已知

f (x)

是連續函數，在任何閉區間上都可以用勘根定理。先找正根：

f (0) = 0 - 2 = - 2 < 0

，

f (1) = 1 \times 3 - 2 = 1 > 0

，

f (0) \cdot f (1) < 0

，由勘根定理，在

0

與

1

之間至少有一個實數

c

使

f (c) = 0

；

c

在

0

與

1

之間，所以

c > 0

，這是一個正實根。再找負根：

f (- 2) = 16 \times \frac{1}{9} - 2 = - \frac{2}{9} < 0

，

f (- 3) = 81 \times \frac{1}{27} - 2 = 1 > 0

，

f (- 3) \cdot f (- 2) < 0

，由勘根定理，在

- 3

與

- 2

之間至少有一個實數

d

使

f (d) = 0

；

d

在

- 3

與

- 2

之間，所以

d < 0

，這是一個負實根。所以

f (x) = 0

有正實根也有負實根，(A)、(B)、(C) 都不對，選 (D)。

負的那一邊其實不只一個根：

f (- 5) = \frac{625}{243} - 2 > 0

，

f (- 6) = \frac{1296}{729} - 2 = - \frac{2}{9} < 0

，所以

- 6

與

- 5

之間還有一個負實根。找負根時

x = - 1

、

x = - 2

的函數值都是負的，要試到

x = - 3

才變號。

勘根定理的寫法：先說函數連續，再找兩個函數值異號的點，結論是「兩點之間至少有一個實根」。要說明有正根也有負根，就在

0

的兩側各找一組。

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03多選第 3 題：連續與反函數

04填充第 1、2 題（第 4～6 題）：數列的極限與求和公式

05填充第 3、4 題（第 7、8 題）：無窮等比級數與夾擠定理

06填充第 5、6 題（第 9、10 題）：值域與反函數

07填充第 7 題（第 11～13 題）：函數的極限

08填充第 8、9 題（第 14、15 題）：由連續與極限決定係數

09計算證明題（第 16 題）：用勘根定理找正根與負根

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高三第一次段考
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