段考詳解範圍：第一章實數

建國中學 110 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 4 題（每題 4 分，共 16 分）、多重選擇題 3 題（每題 8 分，共 24 分）、填充題 8 題（每格 6 分，共 48 分；第 4 題的三個空格每小題 2 分）、計算題 2 題（共 12 分）。卷面每一大題各自從 1 編號，本頁改成全卷連續的第 1～17 題：第 5～7 題是多重選擇題第 1～3 題，第 8～15 題是填充題第 1～8 題，第 16、17 題是計算題第 1、2 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題（每題 4 分，共 16 分）選出最適當的選項，每題 4 分，答對得 4 分，答錯或空白得 0 分。

設

a = 5 + 7 + 11

，

b = 2 + 7 + 14

，

c = 2 + 10 + 11

，則

a

、

b

、

c

的大小關係為何？

(A) $a > b > c$
(B) $a > c > b$
(C) $b > c > a$
(D) $c > b > a$
(E) $c > a > b$

設三個相異實數

a

、

b

、

c

在數線上對應的點分別為

A

、

B

、

C

，且

a = \frac{7}{6} b - \frac{1}{6} c

，則下列的敘述中有幾個是正確的？（甲）

B

介於

A

、

C

之間；（乙）

C

在

B

的右邊；（丙）

A

、

B

、

C

必有一點在原點的右邊；（丁）

\overline{B C} = 6 \overline{A B}

；（戊）

A

在

B

、

C

的右邊

(A) 5 個
(B) 4 個
(C) 3 個
(D) 2 個
(E) 1 個

若

x

為實數，不等式

∣ x - 4∣ - ∣ x - 3∣ \leq a

恆成立，則實數

a

的範圍為何？

(A) $a > 1$
(B) $a < 1$
(C) $a \geq 1$
(D) $a \leq 1$
(E) $- 1 \leq a \leq 1$

已知芮氏地震規模（

M

）與地震釋放的能量（

E

）之間的關係為

lo g E = 4.8 + 1.5 M

，請問：地震規模

7.5

釋放的能量是地震規模

5.5

釋放能量的多少倍？（選出最接近的答案）

(A) $1.36$ 倍
(B) $3.0$ 倍
(C) $9.6$ 倍
(D) $100$ 倍
(E) $1000$ 倍

二、多重選擇題（每題 8 分，共 24 分）每題 8 分，錯一個選項得 5 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個或三個以上得 0 分。

在數線上有三點

A (a)

、

B (b)

、

P (x)

，已知

a < b

，且

2∣ x - a ∣ = 3∣ x - b ∣

，則下列哪些選項正確？

(A) $P$ 在 $\overline{A B}$ 上
(B) $\overline{P A} : \overline{P B} = 3 : 2$
(C) $5∣ x - a ∣ = 3∣ a - b ∣$
(D) $x > \frac{a + b}{2}$
(E) $x > \frac{a + 3 b}{4}$

設

a > 1

，且

a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 5

，則下列哪些選項正確？

(A) $a + a^{- 1} = 23$
(B) $a^{2} + a^{- 2} = 527$
(C) $a^{\frac{3}{2}} + a^{- \frac{3}{2}} = 110$
(D) $a^{\frac{1}{4}} + a^{- \frac{1}{4}} = \pm 7$
(E) $a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}} = \pm 21$

下列各方程式中，請選出有實數解的選項。

(A) $∣ x - 1∣ + ∣ x - 3∣ = 1$
(B) $∣ x - 1∣ + ∣ x - 3∣ = 3$
(C) $∣ x - 1∣ - ∣ x - 3∣ = 1$
(D) $∣ x - 1∣ - ∣ x - 3∣ = 2$
(E) $∣ x - 1∣ - ∣ x - 3∣ = - 3$

三、填充題（每格 6 分，共 48 分）答案均須化為最簡形式。

計算

lo g \frac{1}{10} + lo g 10010 \times lo g \frac{1}{100} + 10 0^{l o g 7}

之值為 ____。

不等式

∣ x - 2∣ - ∣ x + 3∣ + x < 0

的解為 ____。

若

0 < x < 1

，且

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + 2 - x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - 2 = 4 x - 1

，求

x =

____。

已知

a

、

b

均為正實數，若

a + 2 b = 2

，求

\frac{2}{a} + \frac{1}{b}

的最小值為 ① ____，此時

a =

② ____，

b =

③ ____。（每小題 2 分）

設

x

、

y

為實數，且

∣ x + 1∣ \leq 3

，

∣2 y - 1∣ \leq 3

，若

x^{2} - 3 y

的最大值為

M

，最小值為

N

，則

M + N =

____。

設

x = \frac{1}{2} (5^{\frac{1}{3}} + 5^{- \frac{1}{3}})

，則

(x - x^{2} - 1)^{6}

之值為 ____。

已知

a

為實數，若

∣ a - 2∣ + ∣ a - 6∣ \leq ∣2 a - 8∣

恆成立，則

a

之範圍為 ____。

設

x < 0

，若

(\frac{5 + 21}{2})^{x} + (\frac{5 - 21}{2})^{x} = 5

，則

x =

____。

四、計算題（共 12 分）必須寫出合理的計算過程，只有答案沒有過程不計分。

設

a

、

b

為整數，已知

∣ a + 5∣ + 4∣ b - 3∣ = 5

，求數對

(a, b)

。（請寫出所有的解）（6 分）

如圖所示，

P QR S

為一給定的矩形，長

\overline{P Q} = 12

，寬

\overline{QR} = 3

，而

△ A B C

為等腰三角形，其中

\overline{A B} = \overline{A C}

，

P

、

Q

在

\overline{B C}

邊上，

R

、

S

分別在

\overline{C A}

、

\overline{A B}

邊上，設

\overline{QC} = x

。 (1) 在

△ A S R

中，

\overline{S R}

邊上的高為

\overline{A M}

，則

\overline{A M} =

？（以

x

表示）（1 分） (2)

△ A B C

面積

=

？（以

x

表示）（2 分） (3)

△ A B C

的面積最小值為何？（3 分）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(D)

第 3 題(C)

第 4 題(E)

第 5 題(B)(D)

第 6 題(A)(B)(C)

第 7 題(B)(C)(D)

第 8 題

\frac{3}{2}

第 9 題

x < - 5

或

- 1 < x < 5

第 10 題

\frac{1}{2}

第 11 題①

4

；②

1

；③

\frac{1}{2}

第 12 題

13

第 13 題

\frac{1}{25}

第 14 題

a \leq 2

或

a \geq 6

第 15 題

- 2

第 16 題

(a, b) = (0, 3)

、

(- 10, 3)

、

(- 4, 4)

、

(- 6, 4)

、

(- 4, 2)

、

(- 6, 2)

第 17 題(1)

\overline{A M} = \frac{18}{x}

；(2)

3 x + \frac{108}{x} + 36

；(3)

72

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～4 題

第 1 題答案 (B)。三個數兩兩都有一項相同，把相同的項消掉再比。①

a

與

c

都有

11

，只要比

5 + 7

與

2 + 10

：平方得

12 + 235

與

12 + 220

，因為

35 > 20

，所以

a > c

。②

c

與

b

都有

2

，只要比

10 + 11

與

7 + 14

：平方得

21 + 2110

與

21 + 298

，因為

110 > 98

，所以

c > b

。合起來

a > c > b

。

兩個正數比大小可以比平方；這題每一組根號內的和都相同（

5 + 7 = 2 + 10

、

10 + 11 = 7 + 14

），平方後只剩乘積要比。

第 2 題答案 (D)。把

a = \frac{7}{6} b - \frac{1}{6} c

兩邊乘 6：

6 a = 7 b - c

，所以

b = \frac{6 a + c}{7}

。於是

b - a = \frac{c - a}{7}

，

c - b = \frac{6 ( c - a )}{7}

：兩者同號，而且後者是前者的 6 倍。這表示

B

在

A

、

C

之間，且

\overline{A B} : \overline{B C} = 1 : 6

。（甲）對。（丁）對：

\overline{B C} = 6 \overline{A B}

。（乙）不一定：取

a = 7, b = 6, c = 0

（代回

\frac{7}{6} \times 6 - 0 = 7

成立），

C

在

B

的左邊。（丙）不一定：取

a = - 8, b = - 7, c = - 1

（代回

- \frac{49}{6} + \frac{1}{6} = - 8

成立），三點都在原點左邊。（戊）不一定：取

a = 0, b = 1, c = 7

，

A

在最左邊。正確的只有甲、丁，共 2 個。

條件只決定三點的相對位置（

B

把

\overline{A C}

分成

1 : 6

），沒有決定誰在左、誰在右，也沒有決定整組點在數線上的位置。

第 3 題答案 (C)。

∣ x - 4∣ - ∣ x - 3∣

是「

x

到 4 的距離」減「

x

到 3 的距離」。分段：

x \leq 3

時為

(4 - x) - (3 - x) = 1

；

3 < x < 4

時為

(4 - x) - (x - 3) = 7 - 2 x

，介於

- 1

與

1

之間；

x \geq 4

時為

(x - 4) - (x - 3) = - 1

。所以這個式子的最大值是

1

。不等式要對所有實數

x

都成立，

a

必須不小於最大值，即

a \geq 1

。

a = 1

時不等式是

∣ x - 4∣ - ∣ x - 3∣ \leq 1

，仍然恆成立，所以要含等號。

第 4 題答案 (E)。

lo g E = k

的意思是

E = 1 0^{k}

。規模

7.5

：

lo g E_{1} = 4.8 + 1.5 \times 7.5 = 16.05

，

E_{1} = 1 0^{16.05}

。規模

5.5

：

lo g E_{2} = 4.8 + 1.5 \times 5.5 = 13.05

，

E_{2} = 1 0^{13.05}

。

\frac{E _{1}}{E _{2}} = 1 0^{16.05 - 13.05} = 1 0^{3} = 1000

倍。

「恆成立」的問題先求出式子的最大值或最小值，再和參數比。

02多重選擇第 5～7 題（卷面多重選擇題第 1～3 題）

第 5 題答案 (B)(D)。

∣ x - a ∣ = \overline{P A}

，

∣ x - b ∣ = \overline{P B}

，條件是

2 \overline{P A} = 3 \overline{P B}

，即

\overline{P A} : \overline{P B} = 3 : 2

，(B) ○。

P

離

A

比較遠，所以

P

不會在

A

的左邊，有兩種位置：①

P

在

A

、

B

之間：

x = \frac{2 a + 3 b}{5}

；②

P

在

B

的右邊：

2 (x - a) = 3 (x - b)

，

x = 3 b - 2 a

。用

a = 0, b = 5

看：

x = 3

或

x = 15

。(A) ×：

x = 15

時

P

不在

\overline{A B}

上。(C) ×：

x = 15

時左邊

5 \times 15 = 75

，右邊

3 \times 5 = 15

。(D) ○：①

\frac{2 a + 3 b}{5} - \frac{a + b}{2} = \frac{b - a}{10} > 0

；②

3 b - 2 a = b + 2 (b - a) > b > \frac{a + b}{2}

，兩種位置都成立。(E) ×：①

\frac{2 a + 3 b}{5} - \frac{a + 3 b}{4} = \frac{3 ( a - b )}{20} < 0

，例如

x = 3

而

\frac{a + 3 b}{4} = 3.75

。

距離的比是

3 : 2

時，內分點、外分點各有一個；只想到內分點就會多選 (A)(C)。

第 6 題答案 (A)(B)(C)。令

t = a^{\frac{1}{2}}

，則

t + t^{- 1} = 5

。(A) ○：平方得

a + 2 + a^{- 1} = 25

，

a + a^{- 1} = 23

。(B) ○：再平方得

a^{2} + 2 + a^{- 2} = 529

，

a^{2} + a^{- 2} = 527

。(C) ○：

t^{3} + t^{- 3} = (t + t^{- 1})^{3} - 3 (t + t^{- 1}) = 125 - 15 = 110

。(D) ×：

(a^{\frac{1}{4}} + a^{- \frac{1}{4}})^{2} = a^{\frac{1}{2}} + 2 + a^{- \frac{1}{2}} = 7

，而

a^{\frac{1}{4}}

、

a^{- \frac{1}{4}}

都是正數，和只能是

7

，不會是

- 7

。(E) ×：

(a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}})^{2} = a - 2 + a^{- 1} = 21

；因為

a > 1

，

a^{\frac{1}{2}} > 1 > a^{- \frac{1}{2}}

，差是正的，只能是

21

。

(D)(E) 的數值部分是對的，錯在正負號：題目給

a > 1

，兩個式子的值都只有一個，寫成

\pm

就不正確。

第 7 題答案 (B)(C)(D)。

∣ x - 1∣ + ∣ x - 3∣

是

x

到 1 與到 3 的距離和：

x

在 1、3 之間時等於 2，在外面時大於 2，而且可以任意大，所以它的範圍是「大於等於 2」。(A) ×：1 小於 2，無解。(B) ○：例如

x = \frac{7}{2}

，

\frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 3

。

∣ x - 1∣ - ∣ x - 3∣

分段：

x \leq 1

時為

- 2

；

1 < x < 3

時為

2 x - 4

，介於

- 2

與

2

之間；

x \geq 3

時為

2

。所以它的範圍是

- 2

到

2

。(C) ○：

2 x - 4 = 1

，

x = \frac{5}{2}

。(D) ○：

x \geq 3

的數都是解。(E) ×：

- 3

不在

- 2

到

2

之間，無解。

到兩個定點的距離和有最小值（兩點的距離），距離差則夾在正負「兩點的距離」之間。

03填充第 8～11 題（卷面填充題第 1～4 題）

第 8 題

lo g

就是「10 的幾次方」。

\frac{1}{10} = 1 0^{- \frac{1}{2}}

，所以

lo g \frac{1}{10} = - \frac{1}{2}

；

10010 = 1 0^{2} \cdot 1 0^{\frac{1}{2}} = 1 0^{\frac{5}{2}}

，所以

lo g 10010 = \frac{5}{2}

；

lo g \frac{1}{100} = - 2

。最後一項：

10 0^{l o g 7} = (1 0^{2})^{l o g 7} = (1 0^{l o g 7})^{2} = (7)^{2} = 7

。先乘後加：

- \frac{1}{2} + \frac{5}{2} \times (- 2) + 7 = - \frac{1}{2} - 5 + 7 = \frac{3}{2}

。

1 0^{l o g k} = k

是

lo g

的定義；乘法要先算，不要把前兩項先加起來。

第 9 題分界點是

- 3

與

2

。①

x \geq 2

：

(x - 2) - (x + 3) + x = x - 5 < 0

，

x < 5

，這一段得

2 \leq x < 5

。②

- 3 \leq x < 2

：

(2 - x) - (x + 3) + x = - x - 1 < 0

，

x > - 1

，這一段得

- 1 < x < 2

。③

x < - 3

：

(2 - x) + (x + 3) + x = x + 5 < 0

，

x < - 5

。合起來：

x < - 5

或

- 1 < x < 5

。

檢查端點：

x = - 5

代入得

7 - 2 - 5 = 0

，不小於 0，不含；

x = 5

代入得

3 - 8 + 5 = 0

，不含；

x = - 1

代入得

3 - 2 - 1 = 0

，不含。

第 10 題

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + 2 = (x + \frac{1}{x})^{2}

，

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - 2 = (x - \frac{1}{x})^{2}

。開根號要加絕對值：

x + \frac{1}{x} - x - \frac{1}{x}

。因為

0 < x < 1

，

\frac{1}{x} > 1 > x

，所以

x + \frac{1}{x} > 0

、

x - \frac{1}{x} < 0

，左式

= (x + \frac{1}{x}) - (\frac{1}{x} - x) = 2 x

。方程式變成

2 x = 4 x - 1

，

x = \frac{1}{2}

，在

0 < x < 1

內。

驗算：

x = \frac{1}{2}

時左式

= \frac{5}{2} - \frac{3}{2} = 1

，右式

= 4 \times \frac{1}{2} - 1 = 1

。

第 11 題把

\frac{2}{a} + \frac{1}{b}

乘上

a + 2 b

（等於 2）：

(\frac{2}{a} + \frac{1}{b}) (a + 2 b) = 2 + \frac{4 b}{a} + \frac{a}{b} + 2 = 4 + \frac{4 b}{a} + \frac{a}{b}

。

\frac{4 b}{a}

、

\frac{a}{b}

都是正數，由算幾不等式

\frac{4 b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2 \frac{4 b}{a} \cdot \frac{a}{b} = 4

，所以

2 (\frac{2}{a} + \frac{1}{b}) \geq 8

，

\frac{2}{a} + \frac{1}{b} \geq 4

。等號成立在

\frac{4 b}{a} = \frac{a}{b}

，即

a^{2} = 4 b^{2}

，

a = 2 b

；配合

a + 2 b = 2

得

a = 1

，

b = \frac{1}{2}

。所以最小值是

4

，此時

a = 1

、

b = \frac{1}{2}

。

驗算：

\frac{2}{1} + \frac{1}{1/2} = 2 + 2 = 4

。

條件是「和為定值」而所求是倒數的和時，把兩式相乘，展開後會出現互為倒數的兩項，就能用算幾不等式。

04填充第 12～15 題（卷面填充題第 5～8 題）

第 12 題

∣ x + 1∣ \leq 3

即

- 3 \leq x + 1 \leq 3

，

- 4 \leq x \leq 2

。

∣2 y - 1∣ \leq 3

即

- 3 \leq 2 y - 1 \leq 3

，

- 1 \leq y \leq 2

。

x

、

y

各自獨立。

x

在

- 4

到

2

之間（包含 0），所以

0 \leq x^{2} \leq 16

；

- 6 \leq - 3 y \leq 3

。最大值

M = 16 + 3 = 19

（

x = - 4, y = - 1

），最小值

N = 0 - 6 = - 6

（

x = 0, y = 2

）。

M + N = 13

。

x^{2}

的最小值是 0 不是

2^{2} = 4

：範圍跨過 0 時，平方的最小值在

x = 0

。

第 13 題令

u = 5^{\frac{1}{3}}

，則

x = \frac{1}{2} (u + u^{- 1})

。

x^{2} - 1 = \frac{1}{4} (u^{2} + 2 + u^{- 2}) - 1 = \frac{1}{4} (u^{2} - 2 + u^{- 2}) = [\frac{1}{2} (u - u^{- 1})]^{2}

。因為

u > 1 > u^{- 1}

，

u - u^{- 1} > 0

，所以

x^{2} - 1 = \frac{1}{2} (u - u^{- 1})

。於是

x - x^{2} - 1 = u^{- 1} = 5^{- \frac{1}{3}}

，六次方為

5^{- 2} = \frac{1}{25}

。

第 14 題分界點是

2

、

4

、

6

，而右邊

∣2 a - 8∣ = 2∣ a - 4∣

。①

a \leq 2

：左邊

(2 - a) + (6 - a) = 8 - 2 a

，右邊

8 - 2 a

，相等，成立。②

2 < a < 6

：左邊

(a - 2) + (6 - a) = 4

；右邊

2∣ a - 4∣

，因為

a

到 4 的距離小於 2，右邊小於 4，不成立。③

a \geq 6

：左邊

(a - 2) + (a - 6) = 2 a - 8

，右邊

2 a - 8

，相等，成立。所以

a \leq 2

或

a \geq 6

。

題目寫「恆成立」，但式子裡只有

a

一個未知數，這裡當作「求使不等式成立的

a

」來解。

a = 2

、

a = 6

時兩邊都是 4，要含等號。

第 15 題令

A = \frac{5 + 21}{2}

，

B = \frac{5 - 21}{2}

。

A B = \frac{25 - 21}{4} = 1

，所以

B = \frac{1}{A}

。令

t = (A)^{x}

（

t > 0

），原式變成

t + \frac{1}{t} = 5

，即

t^{2} - 5 t + 1 = 0

，

t = \frac{5 \pm 21}{2}

，也就是

t = A

或

t = B = A^{- 1}

。

t = A = (A)^{2}

時

x = 2

；

t = A^{- 1} = (A)^{- 2}

時

x = - 2

。題目給

x < 0

，所以

x = - 2

。

驗算：

x = - 2

時原式

= \frac{1}{A} + \frac{1}{B} = B + A = 5

。

兩個底數相乘等於 1 時，把其中一個的

x

次方設成

t

，另一個就是

\frac{1}{t}

。

05計算第 16～17 題（卷面計算題第 1～2 題）

第 16 題

∣ a + 5∣

、

∣ b - 3∣

都是不小於 0 的整數。

4∣ b - 3∣ \leq 5

，所以

∣ b - 3∣ = 0

或

1

。①

∣ b - 3∣ = 0

：

b = 3

，

∣ a + 5∣ = 5

，

a + 5 = \pm 5

，

a = 0

或

- 10

。②

∣ b - 3∣ = 1

：

b = 4

或

2

，

∣ a + 5∣ = 5 - 4 = 1

，

a + 5 = \pm 1

，

a = - 4

或

- 6

。所以

(a, b) = (0, 3)

、

(- 10, 3)

、

(- 4, 4)

、

(- 6, 4)

、

(- 4, 2)

、

(- 6, 2)

，共 6 組。

∣ b - 3∣ \geq 2

時

4∣ b - 3∣ \geq 8 > 5

，

∣ a + 5∣

會是負的，不可能。第 ② 類

a

有兩個、

b

有兩個，要配成四組。

第 17 題(1)

\overline{S R}

平行

\overline{B C}

，所以

∠ A S R = ∠ B = ∠ C = ∠ A R S

，

△ A S R

也是等腰三角形，高

\overline{A M}

平分底邊，

\overline{M R} = \frac{1}{2} \overline{S R} = 6

。直角三角形

A M R

與

R QC

中，

∠ A R M = ∠ C

，所以兩個三角形相似：

\frac{A M}{M R} = \frac{R Q}{QC}

，

\frac{A M}{6} = \frac{3}{x}

，

\overline{A M} = \frac{18}{x}

。 (2) 直角三角形

S P B

與

R QC

中，

∠ B = ∠ C

、

\overline{S P} = \overline{R Q} = 3

，兩者全等，所以

\overline{B P} = \overline{QC} = x

，

\overline{B C} = 12 + 2 x

。

A

到

\overline{B C}

的高是

\overline{A M} + 3 = \frac{18}{x} + 3

。面積

= \frac{1}{2} (12 + 2 x) (\frac{18}{x} + 3) = (6 + x) (\frac{18}{x} + 3) = \frac{108}{x} + 18 + 18 + 3 x = 3 x + \frac{108}{x} + 36

。 (3)

x > 0

，

3 x

與

\frac{108}{x}

都是正數，由算幾不等式

3 x + \frac{108}{x} \geq 2 3 x \cdot \frac{108}{x} = 2324 = 36

，所以面積

\geq 36 + 36 = 72

。等號成立在

3 x = \frac{108}{x}

，即

x^{2} = 36

，

x = 6

。面積的最小值是

72

（此時

\overline{QC} = 6

）。

驗算：

x = 6

時

\overline{B C} = 24

，高

= 3 + 3 = 6

，面積

= \frac{1}{2} \times 24 \times 6 = 72

。用算幾不等式求最小值，一定要寫出等號成立的

x

，確認真的取得到。

面積寫成

x

的式子後，若出現「

x

的倍數」加「

x

分之幾」，兩項相乘是定值，就用算幾不等式求最小值。

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