段考詳解範圍：極限與函數（無窮等比級數、數列的極限、函數的概念、函數的極限與連續）

建國中學 110 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

填充題 18 格（每格 5 分，共 90 分）、計算證明題 1 題（共 10 分），合計 100 分。本頁把填充題每一格編成一題（第 1～18 題），計算證明題為第 19 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、填充題（每格 5 分，共 90 分）

卷面第 1 題（第 1～3 題）　試求下列無窮等比級數的和。（若不存在請在答案格中填寫「不存在」）

(1)

1 - \frac{4}{3} + \frac{16}{9} - \frac{64}{27} + \dots =

____。

(2)

3 + 2 + \frac{4}{3} + \frac{8}{9} + \dots =

____。

(3)

0. \overline{3} + 0.1 \overline{4} + \dots =

____。

卷面第 2 題（第 4～8 題）　試求下列各極限。（若極限不存在請在答案格中填寫「不存在」）

(1)

n \to \infty lim (- \frac{π}{3})^{n} =

____。

(2)

n \to \infty lim 7 =

____。

(3)

x \to 2 lim (\frac{x - 3}{x + 1} + \frac{4}{x}) =

____。

(4)

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x ^{2} - 2 x + 1} =

____。

(5)

x \to 1 lim (\frac{x - 4}{x ^{2} + x - 2} + \frac{x}{x - 1}) =

____。

卷面第 3 題（第 9～10 題）　已知兩函數

f (x) = x^{3}

與

g (x) = 3 x - 2

，試求下列各函數值。

(1)

(\frac{f}{g}) (2) =

____。

(2)

(g \circ f) (3) =

____。

（卷面第 4 題）若函數

f (x) = - x^{2} + 2 x + 3

的定義域為

[- 3, 2]

，則

f (x)

的值域為 ____。

（卷面第 5 題）一顆球自

10

公尺高的看台處自由落下，若每次反彈的高度為上次落下高度的

\frac{1}{3}

，則從此球開始落下到靜止，所經過的總路徑長為 ____ 公尺。

（卷面第 6 題）若有一組

n

筆資料的數據

X = {x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}

，其平均數為

μ

，則其標準差

σ

為 ____。（請用含有

Σ

的符號表示，完整寫對才給分）

（卷面第 7 題）請以含有高斯符號的式子表示

x

四捨五入至整數位後的結果：____。（請注意需要對於任意實數

x

皆成立）

卷面第 8 題（第 15～16 題）　「函數

f (x)

在

x = a

處連續」的定義：設

a

為函數

f (x)

定義域中的一點，若＿＿①＿＿存在，且＿＿②＿＿，則稱函數

f (x)

在

x = a

處連續。（每格完整寫對才給分）

第 ① 格。

第 ② 格。

（卷面第 9 題）請完成「夾擠定理」的敘述：若函數

f (x)

、

g (x)

與

h (x)

在包含

x = x_{0}

的開區間（可能不包括

x_{0}

）滿足：

f (x) \leq h (x) \leq g (x)

，且 ____，則

x \to x_{0} lim h (x) = A

。（完整寫對才給分）

（卷面第 10 題）若函數

f (x) = tan (x - 1)

，則

f (x)

的定義域為 ____。（完整寫對才給分）

二、計算證明題（共 10 分）

（卷面計算證明題第 1 題）請利用「勘根定理」證明：

x^{3} + 2 x^{2} - 4 = 0

至少有一個正實根。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題不存在

第 2 題

9

第 3 題

\frac{10}{17}

第 4 題不存在

第 5 題

7

第 6 題

\frac{5}{3}

第 7 題不存在

第 8 題

\frac{5}{3}

第 9 題

2

第 10 題

79

第 11 題

[- 12, 4]

第 12 題

20

第 13 題

\frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - μ)^{2}

第 14 題

[x + \frac{1}{2}]

（本卷沒有學校公布的答案；若負數規定先看絕對值再補負號，例如

- 2.5

算成

- 3

，則

x < 0

時改寫成

- [- x + \frac{1}{2}]

，見詳解）

第 15 題

x \to a lim f (x)

第 16 題

x \to a lim f (x) = f (a)

第 17 題

x \to x_{0} lim f (x) = x \to x_{0} lim g (x) = A

第 18 題所有滿足

x \neq = 1 + \frac{π}{2} + k π

（

k

為整數）的實數

x

第 19 題證明見詳解（令

f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 4

，

f (1) = - 1 < 0

、

f (2) = 12 > 0

，

1

與

2

之間有實根）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01第 1～3 題（卷面第 1 題）：無窮等比級數的和

第 1 題首項

1

，公比

r = - \frac{4}{3} \div 1 = - \frac{4}{3}

（往後檢查：

- \frac{4}{3} \times (- \frac{4}{3}) = \frac{16}{9}

，符合）。

∣ r ∣ = \frac{4}{3} > 1

，各項的絕對值越來越大，級數發散，和不存在。

不能直接套

\frac{a}{1 - r}

算出

\frac{3}{7}

：這個公式只在

∣ r ∣ < 1

時才成立。

第 2 題首項

3

，公比

r = \frac{2}{3}

（

2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}

，

\frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}

，符合）。

∣ r ∣ < 1

，級數收斂，和為

\frac{3}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{3}{\frac{1}{3}} = 9

所以和是

9

。

第 3 題先把兩項化成分數。

0. \overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

。

0.1 \overline{4} = 0.1444 \dots

，循環的只有

4

：

0.1 \overline{4} = \frac{1}{10} + \frac{4}{90} = \frac{13}{90}

。題目說這是等比級數，所以公比由前兩項決定：

r = \frac{13}{90} \div \frac{1}{3} = \frac{13}{30}

∣ r ∣ < 1

，級數收斂，和為

\frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{13}{30}} = \frac{1}{3} \times \frac{30}{17} = \frac{10}{17}

所以和是

\frac{10}{17}

。

0.1 \overline{4}

的循環節只有

4

，不是

14

；設

y = 0.1 \overline{4}

，則

100 y - 10 y = 14. \overline{4} - 1. \overline{4} = 13

，同樣得

y = \frac{13}{90}

。

無窮等比級數（首項不為

0

）先看公比：

∣ r ∣ < 1

才收斂，和為

\frac{a}{1 - r}

；

∣ r ∣ \geq 1

時和不存在。

02第 4～8 題（卷面第 2 題）：數列與函數的極限

第 4 題這是公比

- \frac{π}{3}

的等比數列。

π \approx 3.14 > 3

，所以

- \frac{π}{3} = \frac{π}{3} > 1

，各項正負交錯而且絕對值越來越大，不趨近任何定值，極限不存在。

\frac{π}{3} \approx 1.047

只比

1

大一點，但只要公比的絕對值大於

1

，等比數列就發散。

第 5 題每一項都是

7

的常數數列，極限就是

7

。

第 6 題

x = 2

時兩個分母

x + 1 = 3

、

x = 2

都不為

0

，可以直接代入：

\frac{2 - 3}{2 + 1} + \frac{4}{2} = - \frac{1}{3} + 2 = \frac{5}{3}

。

第 7 題代入

x = 1

分子、分母都是

0

，先分解：分子

x^{2} + 2 x - 3 = (x + 3) (x - 1)

，分母

x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}

。

x \neq = 1

時約去一個

x - 1

，原式

= \frac{x + 3}{x - 1}

。

x \to 1

時分子趨近

4

、分母趨近

0

：

x

從右邊靠近

1

時分母是很小的正數，函數值越來越大；從左邊靠近時分母是很小的負數，函數值越來越小。函數值不趨近任何定值，極限不存在。

約分之後還要再代一次：約完分母仍趨近

0

而分子不趨近

0

，極限就不存在。

第 8 題兩個分式在

x \to 1

時各自都沒有極限，不能分開算，先通分。

x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1)

，所以

\frac{x - 4}{( x + 2 ) ( x - 1 )} + \frac{x}{x - 1} = \frac{( x - 4 ) + x ( x + 2 )}{( x + 2 ) ( x - 1 )} = \frac{x ^{2} + 3 x - 4}{( x + 2 ) ( x - 1 )}

分子

x^{2} + 3 x - 4 = (x + 4) (x - 1)

。

x \neq = 1

時約去

x - 1

，原式

= \frac{x + 4}{x + 2}

，

x \to 1

時趨近

\frac{5}{3}

。

與上一題對照：同樣是代入後分母為

0

，這一題通分後

x - 1

可以完全約掉，極限存在。

代入後分母為

0

時，先分解或通分、約去公因式，再代一次；約完分母仍趨近

0

而分子不是，極限就不存在。

03第 9～11 題（卷面第 3～4 題）：函數的運算與值域

第 9 題

(\frac{f}{g}) (2) = \frac{f ( 2 )}{g ( 2 )}

。

f (2) = 2^{3} = 8

，

g (2) = 3 \times 2 - 2 = 4

，所以答案是

\frac{8}{4} = 2

。

第 10 題

(g \circ f) (3) = g (f (3))

，先做右邊的

f

：

f (3) = 3^{3} = 27

；再代進

g

：

g (27) = 3 \times 27 - 2 = 79

。

次序不能對調：

(f \circ g) (3) = f (7) = 343

，是另一個數。

第 11 題配方：

f (x) = - x^{2} + 2 x + 3 = - (x - 1)^{2} + 4

，圖形是開口向下的拋物線，頂點

(1, 4)

。頂點的

x = 1

在定義域

- 3 \leq x \leq 2

裡面，所以最大值是

f (1) = 4

。最小值在離

x = 1

較遠的端點：

x = - 3

與

1

相距

4

，

x = 2

與

1

相距

1

，所以最小值是

f (- 3) = - 9 - 6 + 3 = - 12

。二次函數的圖形連續不斷，

- 12

到

4

之間的值都取得到，值域為

[- 12, 4]

。

另一個端點

f (2) = - 4 + 4 + 3 = 3

，不是最大值也不是最小值；只代兩個端點會漏掉頂點。

二次函數在閉區間上求值域：先配方找頂點，看頂點在不在區間內，再比較兩個端點。

04第 12～14 題（卷面第 5～7 題）：反彈路徑、標準差、高斯符號

第 12 題第一次落下

10

公尺。之後每一次反彈都是「上去再下來」，同一個高度要走兩次：第一次反彈高度

\frac{10}{3}

，第二次

\frac{10}{9}

，……，是首項

\frac{10}{3}

、公比

\frac{1}{3}

的無窮等比級數，和為

\frac{\frac{10}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{10}{3} \times \frac{3}{2} = 5

總路徑長

= 10 + 2 \times 5 = 20

（公尺）。

第一段的

10

公尺只有落下、沒有上升，所以只算一次；反彈的每一段都要乘以

2

。

第 13 題標準差是「各筆資料與平均數之差的平方，取平均後再開根號」：

σ = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - μ)^{2}

其中

x_{i} - μ

是第

i

筆資料的離均差。

展開後的等價寫法

σ = \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i}^{2} - μ^{2}

也含有

Σ

，數值相同。

Σ

的足碼要寫清楚由

1

到

n

，根號要蓋住整個式子。

第 14 題想法：四捨五入到整數位，就是找最接近

x

的整數；先把

x

加上

\frac{1}{2}

，再用高斯符號取「不超過它的最大整數」。設

n

是整數，分兩種情形：小數部分不到

0.5

（要捨去）：

n \leq x < n + \frac{1}{2}

，則

n + \frac{1}{2} \leq x + \frac{1}{2} < n + 1

，所以

[x + \frac{1}{2}] = n

。小數部分滿

0.5

（要進位）：

n + \frac{1}{2} \leq x < n + 1

，則

n + 1 \leq x + \frac{1}{2} < n + \frac{3}{2}

，所以

[x + \frac{1}{2}] = n + 1

。兩種情形都對，所以答案是

[x + \frac{1}{2}]

。例：

[2.4 + 0.5] = [2.9] = 2

，

[2.5 + 0.5] = [3] = 3

，

[- 2.7 + 0.5] = [- 2.2] = - 3

。

題目特別提醒「對任意實數皆成立」。

[x + \frac{1}{2}]

對所有實數都把剛好在兩個整數正中間的數往大的那一邊進位，例如

- 2.5

會得到

[- 2] = - 2

。如果規定負數要先看絕對值再補回負號（

- 2.5

算成

- 3

），就只有

- 0.5, - 1.5, - 2.5, \dots

這些數結果不同，這時要分段寫：

x \geq 0

時為

[x + \frac{1}{2}]

，

x < 0

時為

- [- x + \frac{1}{2}]

。本卷沒有學校公布的答案，這一格採用課本常見的

[x + \frac{1}{2}]

。只寫

[x]

是無條件捨去，寫

[x] + 1

是整數以外都進位，都不對。

反彈問題把「第一段」與「之後來回的每一段」分開算；高斯符號

[x]

是不超過

x

的最大整數，負數要往左取。

05第 15～17 題（卷面第 8～9 題）：連續的定義與夾擠定理

第 15 題連續的定義有三件事：

f (a)

有定義、

x \to a lim f (x)

存在、兩者相等。題目已說

a

是定義域中的一點（

f (a)

有定義），所以第 ① 格是

x \to a lim f (x)

。

第 16 題第 ② 格是「極限值等於函數值」：

x \to a lim f (x) = f (a)

。

只寫「極限存在」不夠：例如

x \neq = 1

時

f (x) = x + 1

、

f (1) = 5

，

x \to 1 lim f (x) = 2

存在，但不等於

f (1)

，在

x = 1

不連續。

第 17 題夾擠定理：

h (x)

被

f (x)

與

g (x)

夾在中間，而且兩邊的函數在

x \to x_{0}

時趨近同一個數

A

，中間的

h (x)

也只能趨近

A

。空格是

x \to x_{0} lim f (x) = x \to x_{0} lim g (x) = A

也就是兩邊的函數在

x_{0}

的極限都存在，而且都等於

A

。

兩個極限都要存在而且都等於

A

，缺一個都不行：只寫

x \to x_{0} lim f (x) = A

時，

h (x)

只有下面被擋住，上面沒有被壓住。

06第 18～19 題（卷面第 10 題、計算證明題）：正切函數的定義域、勘根定理

第 18 題

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}

，

cos θ = 0

時沒有定義，也就是

θ = \frac{π}{2} + k π

（

k

為整數）時沒有定義，其餘的實數都有定義。這一題

θ = x - 1

，所以要排除

x - 1 = \frac{π}{2} + k π

，即

x = 1 + \frac{π}{2} + k π

。定義域是所有滿足

x \neq = 1 + \frac{π}{2} + k π

（

k

為整數）的實數

x

。用集合的寫法：

{x x \in R, x \neq = 1 + \frac{π}{2} + k π, k \in Z}

其中

R

表示全體實數，

Z

表示全體整數。

三件事都要寫到才完整：排除的是

1 + \frac{π}{2}

而不是

\frac{π}{2}

；要加上

k π

（每隔

π

就有一個）；要註明

k

為整數。這裡的

1

是弧度，不是

1^{\circ}

。

第 19 題證明　令

f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 4

。第一步：

f (x)

是多項式函數，在每一個實數都連續，所以在閉區間

[1, 2]

上連續。第二步：計算兩端的函數值。

f (1) = 1 + 2 - 4 = - 1 < 0

，

f (2) = 8 + 8 - 4 = 12 > 0

，所以

f (1) \cdot f (2) < 0

。第三步：由勘根定理，在

1

與

2

之間至少有一個實數

c

使得

f (c) = 0

。因為

1 < c < 2

，

c

是正數，所以方程式

x^{3} + 2 x^{2} - 4 = 0

至少有一個正實根。證畢。

勘根定理的兩個條件「在閉區間上連續」與「兩端函數值異號」都要寫出來。區間不一定要取

[1, 2]

：

f (0) = - 4 < 0

，取

[0, 2]

也可以，根落在

0

與

2

之間，同樣是正數。

勘根定理的寫法固定三步：說明函數連續、算出兩端函數值異號、下結論並指出根落在哪個區間。

同一次段考的其他學校

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建國中學 110 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題第二項的循環節只有四，不是十四，化成分數後再由前兩項求公比；第 7 題約分後分母仍趨近零，極限不存在，容易和第 8 題通分後可以完全約掉的情形弄混；第 12 題第一段落下只算一次，之後每次反彈的高度要算兩次；第 14 題要把加二分之一放在高斯符號裡面，並留意負數的情形；第 18 題要排除的點有無限多個，還要記得平移。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自建國中學 110 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：極限與函數（無窮等比級數、數列的極限、函數的概念、函數的極限與連續）

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

一、填充題（每格 5 分，共 90 分）

卷面第 1 題（第 1～3 題）　試求下列無窮等比級數的和。（若不存在請在答案格中填寫「不存在」）

(1)

1 - \frac{4}{3} + \frac{16}{9} - \frac{64}{27} + \dots =

____。

(2)

3 + 2 + \frac{4}{3} + \frac{8}{9} + \dots =

____。

(3)

0. \overline{3} + 0.1 \overline{4} + \dots =

____。

卷面第 2 題（第 4～8 題）　試求下列各極限。（若極限不存在請在答案格中填寫「不存在」）

(1)

n \to \infty lim (- \frac{π}{3})^{n} =

____。

(2)

n \to \infty lim 7 =

____。

(3)

x \to 2 lim (\frac{x - 3}{x + 1} + \frac{4}{x}) =

____。

(4)

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x ^{2} - 2 x + 1} =

____。

(5)

x \to 1 lim (\frac{x - 4}{x ^{2} + x - 2} + \frac{x}{x - 1}) =

____。

卷面第 3 題（第 9～10 題）　已知兩函數

f (x) = x^{3}

與

g (x) = 3 x - 2

，試求下列各函數值。

(1)

(\frac{f}{g}) (2) =

____。

(2)

(g \circ f) (3) =

____。

（卷面第 4 題）若函數

f (x) = - x^{2} + 2 x + 3

的定義域為

[- 3, 2]

，則

f (x)

的值域為 ____。

（卷面第 5 題）一顆球自

10

公尺高的看台處自由落下，若每次反彈的高度為上次落下高度的

\frac{1}{3}

，則從此球開始落下到靜止，所經過的總路徑長為 ____ 公尺。

（卷面第 6 題）若有一組

n

筆資料的數據

X = {x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}

，其平均數為

μ

，則其標準差

σ

為 ____。（請用含有

Σ

的符號表示，完整寫對才給分）

（卷面第 7 題）請以含有高斯符號的式子表示

x

四捨五入至整數位後的結果：____。（請注意需要對於任意實數

x

皆成立）

卷面第 8 題（第 15～16 題）　「函數

f (x)

在

x = a

處連續」的定義：設

a

為函數

f (x)

定義域中的一點，若＿＿①＿＿存在，且＿＿②＿＿，則稱函數

f (x)

在

x = a

處連續。（每格完整寫對才給分）

第 ① 格。

第 ② 格。

（卷面第 9 題）請完成「夾擠定理」的敘述：若函數

f (x)

、

g (x)

與

h (x)

在包含

x = x_{0}

的開區間（可能不包括

x_{0}

）滿足：

f (x) \leq h (x) \leq g (x)

，且 ____，則

x \to x_{0} lim h (x) = A

。（完整寫對才給分）

（卷面第 10 題）若函數

f (x) = tan (x - 1)

，則

f (x)

的定義域為 ____。（完整寫對才給分）

二、計算證明題（共 10 分）

（卷面計算證明題第 1 題）請利用「勘根定理」證明：

x^{3} + 2 x^{2} - 4 = 0

至少有一個正實根。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題不存在

第 2 題

9

第 3 題

\frac{10}{17}

第 4 題不存在

第 5 題

7

第 6 題

\frac{5}{3}

第 7 題不存在

第 8 題

\frac{5}{3}

第 9 題

2

第 10 題

79

第 11 題

[- 12, 4]

第 12 題

20

第 13 題

\frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - μ)^{2}

第 14 題

[x + \frac{1}{2}]

（本卷沒有學校公布的答案；若負數規定先看絕對值再補負號，例如

- 2.5

算成

- 3

，則

x < 0

時改寫成

- [- x + \frac{1}{2}]

，見詳解）

第 15 題

x \to a lim f (x)

第 16 題

x \to a lim f (x) = f (a)

第 17 題

x \to x_{0} lim f (x) = x \to x_{0} lim g (x) = A

第 18 題所有滿足

x \neq = 1 + \frac{π}{2} + k π

（

k

為整數）的實數

x

第 19 題證明見詳解（令

f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 4

，

f (1) = - 1 < 0

、

f (2) = 12 > 0

，

1

與

2

之間有實根）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～3 題（卷面第 1 題）：無窮等比級數的和

第 1 題首項

1

，公比

r = - \frac{4}{3} \div 1 = - \frac{4}{3}

（往後檢查：

- \frac{4}{3} \times (- \frac{4}{3}) = \frac{16}{9}

，符合）。

∣ r ∣ = \frac{4}{3} > 1

，各項的絕對值越來越大，級數發散，和不存在。

不能直接套

\frac{a}{1 - r}

算出

\frac{3}{7}

：這個公式只在

∣ r ∣ < 1

時才成立。

第 2 題首項

3

，公比

r = \frac{2}{3}

（

2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}

，

\frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}

，符合）。

∣ r ∣ < 1

，級數收斂，和為

\frac{3}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{3}{\frac{1}{3}} = 9

所以和是

9

。

第 3 題先把兩項化成分數。

0. \overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

。

0.1 \overline{4} = 0.1444 \dots

，循環的只有

4

：

0.1 \overline{4} = \frac{1}{10} + \frac{4}{90} = \frac{13}{90}

。題目說這是等比級數，所以公比由前兩項決定：

r = \frac{13}{90} \div \frac{1}{3} = \frac{13}{30}

∣ r ∣ < 1

，級數收斂，和為

\frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{13}{30}} = \frac{1}{3} \times \frac{30}{17} = \frac{10}{17}

所以和是

\frac{10}{17}

。

0.1 \overline{4}

的循環節只有

4

，不是

14

；設

y = 0.1 \overline{4}

，則

100 y - 10 y = 14. \overline{4} - 1. \overline{4} = 13

，同樣得

y = \frac{13}{90}

。

無窮等比級數（首項不為

0

）先看公比：

∣ r ∣ < 1

才收斂，和為

\frac{a}{1 - r}

；

∣ r ∣ \geq 1

時和不存在。

02第 4～8 題（卷面第 2 題）：數列與函數的極限

第 4 題這是公比

- \frac{π}{3}

的等比數列。

π \approx 3.14 > 3

，所以

- \frac{π}{3} = \frac{π}{3} > 1

，各項正負交錯而且絕對值越來越大，不趨近任何定值，極限不存在。

\frac{π}{3} \approx 1.047

只比

1

大一點，但只要公比的絕對值大於

1

，等比數列就發散。

第 5 題每一項都是

7

的常數數列，極限就是

7

。

第 6 題

x = 2

時兩個分母

x + 1 = 3

、

x = 2

都不為

0

，可以直接代入：

\frac{2 - 3}{2 + 1} + \frac{4}{2} = - \frac{1}{3} + 2 = \frac{5}{3}

。

第 7 題代入

x = 1

分子、分母都是

0

，先分解：分子

x^{2} + 2 x - 3 = (x + 3) (x - 1)

，分母

x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}

。

x \neq = 1

時約去一個

x - 1

，原式

= \frac{x + 3}{x - 1}

。

x \to 1

時分子趨近

4

、分母趨近

0

：

x

從右邊靠近

1

時分母是很小的正數，函數值越來越大；從左邊靠近時分母是很小的負數，函數值越來越小。函數值不趨近任何定值，極限不存在。

約分之後還要再代一次：約完分母仍趨近

0

而分子不趨近

0

，極限就不存在。

第 8 題兩個分式在

x \to 1

時各自都沒有極限，不能分開算，先通分。

x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1)

，所以

\frac{x - 4}{( x + 2 ) ( x - 1 )} + \frac{x}{x - 1} = \frac{( x - 4 ) + x ( x + 2 )}{( x + 2 ) ( x - 1 )} = \frac{x ^{2} + 3 x - 4}{( x + 2 ) ( x - 1 )}

分子

x^{2} + 3 x - 4 = (x + 4) (x - 1)

。

x \neq = 1

時約去

x - 1

，原式

= \frac{x + 4}{x + 2}

，

x \to 1

時趨近

\frac{5}{3}

。

與上一題對照：同樣是代入後分母為

0

，這一題通分後

x - 1

可以完全約掉，極限存在。

代入後分母為

0

時，先分解或通分、約去公因式，再代一次；約完分母仍趨近

0

而分子不是，極限就不存在。

03第 9～11 題（卷面第 3～4 題）：函數的運算與值域

第 9 題

(\frac{f}{g}) (2) = \frac{f ( 2 )}{g ( 2 )}

。

f (2) = 2^{3} = 8

，

g (2) = 3 \times 2 - 2 = 4

，所以答案是

\frac{8}{4} = 2

。

第 10 題

(g \circ f) (3) = g (f (3))

，先做右邊的

f

：

f (3) = 3^{3} = 27

；再代進

g

：

g (27) = 3 \times 27 - 2 = 79

。

次序不能對調：

(f \circ g) (3) = f (7) = 343

，是另一個數。

第 11 題配方：

f (x) = - x^{2} + 2 x + 3 = - (x - 1)^{2} + 4

，圖形是開口向下的拋物線，頂點

(1, 4)

。頂點的

x = 1

在定義域

- 3 \leq x \leq 2

裡面，所以最大值是

f (1) = 4

。最小值在離

x = 1

較遠的端點：

x = - 3

與

1

相距

4

，

x = 2

與

1

相距

1

，所以最小值是

f (- 3) = - 9 - 6 + 3 = - 12

。二次函數的圖形連續不斷，

- 12

到

4

之間的值都取得到，值域為

[- 12, 4]

。

另一個端點

f (2) = - 4 + 4 + 3 = 3

，不是最大值也不是最小值；只代兩個端點會漏掉頂點。

二次函數在閉區間上求值域：先配方找頂點，看頂點在不在區間內，再比較兩個端點。

04第 12～14 題（卷面第 5～7 題）：反彈路徑、標準差、高斯符號

第 12 題第一次落下

10

公尺。之後每一次反彈都是「上去再下來」，同一個高度要走兩次：第一次反彈高度

\frac{10}{3}

，第二次

\frac{10}{9}

，……，是首項

\frac{10}{3}

、公比

\frac{1}{3}

的無窮等比級數，和為

\frac{\frac{10}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{10}{3} \times \frac{3}{2} = 5

總路徑長

= 10 + 2 \times 5 = 20

（公尺）。

第一段的

10

公尺只有落下、沒有上升，所以只算一次；反彈的每一段都要乘以

2

。

第 13 題標準差是「各筆資料與平均數之差的平方，取平均後再開根號」：

σ = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - μ)^{2}

其中

x_{i} - μ

是第

i

筆資料的離均差。

展開後的等價寫法

σ = \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i}^{2} - μ^{2}

也含有

Σ

，數值相同。

Σ

的足碼要寫清楚由

1

到

n

，根號要蓋住整個式子。

第 14 題想法：四捨五入到整數位，就是找最接近

x

的整數；先把

x

加上

\frac{1}{2}

，再用高斯符號取「不超過它的最大整數」。設

n

是整數，分兩種情形：小數部分不到

0.5

（要捨去）：

n \leq x < n + \frac{1}{2}

，則

n + \frac{1}{2} \leq x + \frac{1}{2} < n + 1

，所以

[x + \frac{1}{2}] = n

。小數部分滿

0.5

（要進位）：

n + \frac{1}{2} \leq x < n + 1

，則

n + 1 \leq x + \frac{1}{2} < n + \frac{3}{2}

，所以

[x + \frac{1}{2}] = n + 1

。兩種情形都對，所以答案是

[x + \frac{1}{2}]

。例：

[2.4 + 0.5] = [2.9] = 2

，

[2.5 + 0.5] = [3] = 3

，

[- 2.7 + 0.5] = [- 2.2] = - 3

。

題目特別提醒「對任意實數皆成立」。

[x + \frac{1}{2}]

對所有實數都把剛好在兩個整數正中間的數往大的那一邊進位，例如

- 2.5

會得到

[- 2] = - 2

。如果規定負數要先看絕對值再補回負號（

- 2.5

算成

- 3

），就只有

- 0.5, - 1.5, - 2.5, \dots

這些數結果不同，這時要分段寫：

x \geq 0

時為

[x + \frac{1}{2}]

，

x < 0

時為

- [- x + \frac{1}{2}]

。本卷沒有學校公布的答案，這一格採用課本常見的

[x + \frac{1}{2}]

。只寫

[x]

是無條件捨去，寫

[x] + 1

是整數以外都進位，都不對。

反彈問題把「第一段」與「之後來回的每一段」分開算；高斯符號

[x]

是不超過

x

的最大整數，負數要往左取。

05第 15～17 題（卷面第 8～9 題）：連續的定義與夾擠定理

第 15 題連續的定義有三件事：

f (a)

有定義、

x \to a lim f (x)

存在、兩者相等。題目已說

a

是定義域中的一點（

f (a)

有定義），所以第 ① 格是

x \to a lim f (x)

。

第 16 題第 ② 格是「極限值等於函數值」：

x \to a lim f (x) = f (a)

。

只寫「極限存在」不夠：例如

x \neq = 1

時

f (x) = x + 1

、

f (1) = 5

，

x \to 1 lim f (x) = 2

存在，但不等於

f (1)

，在

x = 1

不連續。

第 17 題夾擠定理：

h (x)

被

f (x)

與

g (x)

夾在中間，而且兩邊的函數在

x \to x_{0}

時趨近同一個數

A

，中間的

h (x)

也只能趨近

A

。空格是

x \to x_{0} lim f (x) = x \to x_{0} lim g (x) = A

也就是兩邊的函數在

x_{0}

的極限都存在，而且都等於

A

。

兩個極限都要存在而且都等於

A

，缺一個都不行：只寫

x \to x_{0} lim f (x) = A

時，

h (x)

只有下面被擋住，上面沒有被壓住。

06第 18～19 題（卷面第 10 題、計算證明題）：正切函數的定義域、勘根定理

第 18 題

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}

，

cos θ = 0

時沒有定義，也就是

θ = \frac{π}{2} + k π

（

k

為整數）時沒有定義，其餘的實數都有定義。這一題

θ = x - 1

，所以要排除

x - 1 = \frac{π}{2} + k π

，即

x = 1 + \frac{π}{2} + k π

。定義域是所有滿足

x \neq = 1 + \frac{π}{2} + k π

（

k

為整數）的實數

x

。用集合的寫法：

{x x \in R, x \neq = 1 + \frac{π}{2} + k π, k \in Z}

其中

R

表示全體實數，

Z

表示全體整數。

三件事都要寫到才完整：排除的是

1 + \frac{π}{2}

而不是

\frac{π}{2}

；要加上

k π

（每隔

π

就有一個）；要註明

k

為整數。這裡的

1

是弧度，不是

1^{\circ}

。

第 19 題證明　令

f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 4

。第一步：

f (x)

是多項式函數，在每一個實數都連續，所以在閉區間

[1, 2]

上連續。第二步：計算兩端的函數值。

f (1) = 1 + 2 - 4 = - 1 < 0

，

f (2) = 8 + 8 - 4 = 12 > 0

，所以

f (1) \cdot f (2) < 0

。第三步：由勘根定理，在

1

與

2

之間至少有一個實數

c

使得

f (c) = 0

。因為

1 < c < 2

，

c

是正數，所以方程式

x^{3} + 2 x^{2} - 4 = 0

至少有一個正實根。證畢。

勘根定理的兩個條件「在閉區間上連續」與「兩端函數值異號」都要寫出來。區間不一定要取

[1, 2]

：

f (0) = - 4 < 0

，取

[0, 2]

也可以，根落在

0

與

2

之間，同樣是正數。

勘根定理的寫法固定三步：說明函數連續、算出兩端函數值異號、下結論並指出根落在哪個區間。

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