段考詳解範圍：實數、絕對值、指數與常用對數（原卷未印範圍，依題目內容）

建國中學 108 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 28 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 28 題，照原卷順序

是非題 20 題（每題 2 分，共 40 分；第 16 至 20 題為題組，邏輯閘的圖排在第 16 題下方）、填充題 6 題（每題 6 分，共 36 分，答案須化為最簡的形式）、計算證明題 2 題（第 27 題 14 分、第 28 題 10 分，共 24 分）。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、是非題（佔 40 分）說明：第 1 至 20 題為是非題，每題答對得 2 分。若該題敘述正確請打「○」，錯誤請打「╳」。

0. \overline{9} = 1

。

\frac{273}{336}

可化為有限小數。

能表示成

\frac{n}{m}

的數（

m \neq = 0

且

m

、

n

為實數），就是有理數。

設

a

、

b

為實數，若

a + b 2 = 0

，則

a = b = 0

。

設

q

為有理數且

q > 0

，則

3 q (q^{2} + 3 q + 3) + 1

為有理數。

設

a

、

b

為實數，若

a + b

為有理數且

a - b

為無理數，則

a^{2} - b^{2}

為無理數。

設

a

、

b

為實數且

a < b

，則

a < \frac{a 3 + b 5}{5 + 3} < b

。

設

x

、

y

、

z

為實數，則

x > y \Leftrightarrow x z > y z

。

設

a

、

b

為實數，若

ab = ∣ ab ∣

，則

∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣

。

任何實數都可以表示成

10

的乘冪。

設

a > 0

，則

a^{\frac{2}{5}}

與

a^{\frac{5}{2}}

互為倒數。

1. 1^{\frac{4}{5}} > 1. 1^{\frac{5}{6}}

。

lo g 1 = 0

。

1 0^{3 l o g 5} > 1 0^{7 l o g 2}

。

lo g 3100 = 0. \overline{6}

。

第 16 至 20 題為題組（第 16～20 題）　說明：第 16 至 20 題為題組，請閱讀以下資料，並根據這些資料，回答第 16 至 20 題。我們在課堂上介紹過有理數，也了解到它擁有很多良好的性質（交換律、結合律、分配律、三一律、稠密性、對加減乘除的封閉性…等），但在電子工程及電腦科學領域，「布林代數」才是數位電路中的數學基礎。在電路中的訊號可分為高、低電壓訊號兩種，當兩個訊號輸入邏輯閘（電路上的某種元件）時，邏輯閘會再輸出一個訊號。此模式可用數學運算來表達，0 表示低電壓訊號，1 表示高電壓訊號，而邏輯閘則視為某種定義在 0 和 1 上面的運算，不同型式的邏輯閘代表不同運算，如下列兩個例子：（邏輯閘的圖排在第 16 題下方：上排左、上排右是這兩個例子，下排是後面三個訊號輸入的兩種接法。以下兩個表，第一個是左例，第二個是右例。）

訊號輸入 x 0011 訊號輸入 y 0101 訊號輸出 z 0001 數學運算式 x \cdot y = z 0 \cdot 0 = 0 0 \cdot 1 = 0 1 \cdot 0 = 0 1 \cdot 1 = 1

訊號輸入 x 0011 訊號輸入 y 0101 訊號輸出 z 0111 數學運算式 x + y = z 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1

上述左例的邏輯閘為「

\cdot

」運算，右例的邏輯閘為「

+

」運算。更進一步，如果有三個以上的訊號輸入，那會是什麼樣子呢？以三個訊號輸入為例：（見第 16 題下方那張圖的下排）由於一個邏輯閘僅能輸入兩個訊號，所以當有三個訊號時，就會有輸入的先後順序，即代表數學運算有先後順序。我們用「括號」描述此種先後順序，括號內必須優先運算，故上圖左為

(x \cdot y) \cdot w = z

，上圖右為

x \cdot (y \cdot w) = z

。（這裡的上圖左、上圖右，指圖的下排左、下排右。）設

a

、

b

、

c

為 0 或 1，請根據以上敘述，回答下列問題。

根據上述定義，0 和 1 在「

\cdot

」運算之下具有封閉性，即

a \cdot b

得到的結果不會出現 0 或 1 以外的數字。

載入中...

(1 + 0) \cdot (0 + 0) = 1

。

「

+

」運算具有結合律

(a + b) + c = a + (b + c)

。

「

\cdot

」運算對於「

+

」運算具有左分配律

a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)

。

滿足

(a + b) \cdot (a + b) = (a \cdot a) + (a \cdot b) + (b \cdot a) + (b \cdot b)

。

二、填充題（佔 36 分）說明：第 21 至 26 題為填充題，每題答對得 6 分，答案請化為最簡的形式，否則不給分。

已知

lo g 121 = k

，則

lo g 0.00121

可以用

k

表示為 ____。

已知

∣ a x - 1∣ \leq b

的解為

- 3 \leq x \leq 1

，

a, b

為實數，試求數對

(a, b)

為 ____。

設

\frac{1}{3 - 5}

的整數部分為

a

、小數部分為

b

，試求

a^{2} + 2 ab + 3 b^{2}

之值為 ____。

設

x = 5 + 26

，試求

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}

之值為 ____。

設

a > 0

，試求

[(a^{- 3} + 8) (a^{- 3} - 8) \div (16 a^{2} + 4 + a^{- 2})] - (a^{- 2} - 2)^{2}

之值為 ____。

請閱讀以下資料，並根據這些資料回答問題： (1) 現代人在運算和記憶時，習慣使用十進位，電腦則常用二進位，一個二進位數字的每個位數只可能是 0 或 1，例如：

1101 0_{(2)}

，右下角的 (2) 顯示其為二進位數字。十進位數字 89757 可以理解成 7 個 1、5 個 10、7 個 100、9 個 1000、8 個 10000，所以

8975 7_{(10)} = 8 \cdot 1 0^{4} + 9 \cdot 1 0^{3} + 7 \cdot 1 0^{2} + 5 \cdot 1 0^{1} + 7 \cdot 1 0^{0}

。我們可以用類似的方法來理解一個二進位數字，並將二進位數字轉換為十進位數字，例如：

1101 0_{(2)}

可以理解成 0 個 1、1 個 2、0 個 4、1 個 8、1 個 16，所以轉換成十進位數字可以得到

1101 0_{(2)} = 1 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0} = 2 6_{(10)}

。 (2)

lo g 2

是一個實數，更進一步說，它是一個無理數，我們可以利用反證法證明。在實務上，我們會取

lo g 2

的近似值為

0.3010

，它是四捨五入到小數點後第四位的結果，所以最右邊的那個 0 並不是寫好玩的。 (3) 「位元」（bit）是電腦資料的最小儲存單位，一個位元可以記憶二進位數字的一個位數。在不特別將數字資料編碼或壓縮的情況下，一個

n

位數的二進位數字最少需要用

n

個位元來儲存，例如：

1101 0_{(2)}

最少需要用 5 個位元來儲存。根據以上資料，有一個十進位數字

1 0^{200}

，若要將此數字用上述方法儲存在電腦裡，則最少需要用 ____ 個位元來儲存。

三、計算證明題（佔 24 分）說明：第 27 至 28 題為計算證明題，第 27 題佔 14 分，第 28 題佔 10 分。

試以分段討論的方法，解絕對值不等式

2∣ x + 3∣ + ∣ x - 2∣ \geq 6

。（將數線分成三段來討論解的情形，用其他方法不給分。）

建中數學科團隊為慶祝建中 121 週年校慶，打算設計一款底面為長方形的四角柱水杯（無握柄），經數學老師們討論後，希望此水杯高度為 10 公分，最大容量為

360

ml（把水杯裝滿的情況下），且在杯壁厚度忽略不計的情況下，底面和側邊四個面的表面積總和要最小。試問：底面和側邊四個面的表面積總和最小是多少？此時水杯的長、寬分別是幾公分？（提示：列出表面積總和後利用算幾不等式

\frac{a + b}{2} \geq ab

，並驗證等號成立的條件。）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：○＝正確、×＝錯誤（照原卷作答規定）

1○

2○

3×

4×

5○

6×

7○

8×

9○

10×

11×

12×

13○

14×

15○

16○

17×

18○

19○

20○

第 21 題

k - 5

第 22 題

(- 1, 2)

第 23 題

\frac{13 + 5}{8}

第 24 題

183

第 25 題

- 4

第 26 題

665

第 27 題

x \leq - \frac{10}{3}

或

x \geq - 2

第 28 題表面積總和最小是

276

平方公分，此時長、寬都是

6

公分

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～5 題：有理數與無理數

第 1 題○設

t = 0. \overline{9}

，則

10 t = 9. \overline{9}

，相減得

9 t = 9

，所以

t = 1

。

第 2 題○先約分：

273 = 3 \times 7 \times 13

，

336 = 2^{4} \times 3 \times 7

，所以

\frac{273}{336} = \frac{13}{16}

。最簡分數的分母

16 = 2^{4}

只有質因數 2，可以化為有限小數（

\frac{13}{16} = 0.8125

）。

要先約成最簡分數再看分母；沒約分時分母有 3 與 7，會誤判成循環小數。

第 3 題×有理數是能表示成

\frac{n}{m}

且

m

、

n

都是整數（

m \neq = 0

）的數。只要求實數不夠：取

n = 2

、

m = 1

，

\frac{n}{m} = 2

是無理數。

第 4 題×這個結論要

a

、

b

都是有理數才成立。

a

、

b

只是實數時有反例：

a = 2

、

b = - 2

，

a + b 2 = 2 - 2 = 0

，但

a

、

b

都不是 0。

第 5 題○根號裡展開：

q (q^{2} + 3 q + 3) + 1 = q^{3} + 3 q^{2} + 3 q + 1 = (q + 1)^{3}

，所以

3 q (q^{2} + 3 q + 3) + 1 = q + 1

。

q

是有理數，

q + 1

也是有理數。

「若

a + b 2 = 0

則

a = b = 0

」的前提是

a

、

b

為有理數；題目把前提放寬成實數時，先找反例。

02是非第 6～9 題：實數的運算與絕對值

第 6 題×

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

是「有理數乘以無理數」。有理數若是 0，乘積就是 0，是有理數。反例：

a = 2

、

b = - 2

，

a + b = 0

是有理數，

a - b = 22

是無理數，但

a^{2} - b^{2} = 2 - 2 = 0

是有理數。

若另外知道

a + b \neq = 0

，結論就會成立：不為 0 的有理數乘以無理數一定是無理數。

第 7 題○直接相減。中間的數減

a

：

\frac{a 3 + b 5}{5 + 3} - a = \frac{a 3 + b 5 - a 5 - a 3}{5 + 3} = \frac{5 ( b - a )}{5 + 3}

，因為

b - a > 0

，這個差是正的。

b

減中間的數：

b - \frac{a 3 + b 5}{5 + 3} = \frac{b 5 + b 3 - a 3 - b 5}{5 + 3} = \frac{3 ( b - a )}{5 + 3}

，也是正的。所以中間的數比

a

大、比

b

小。

第 8 題×不等式兩邊同乘一個數，只有乘正數時方向不變。

z < 0

時方向相反，

z = 0

時兩邊都變成 0。反例：

x = 2

、

y = 1

、

z = - 1

，

x > y

成立，但

x z = - 2

、

y z = - 1

，

x z > y z

不成立。

第 9 題○

ab = ∣ ab ∣

表示

ab \geq 0

。比較兩邊的平方：

∣ a + b ∣^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

，

(∣ a ∣ + ∣ b ∣)^{2} = a^{2} + 2∣ ab ∣ + b^{2}

，因為

ab = ∣ ab ∣

，兩個平方相等；而

∣ a + b ∣

與

∣ a ∣ + ∣ b ∣

都不是負數，所以

∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣

。

ab \geq 0

就是

a

、

b

同號或其中有 0，這正是

∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣

的等號成立條件。

要證一個數夾在兩數之間，分別和兩端相減、看差的正負。

03是非第 10～15 題：指數與常用對數

第 10 題×不論

x

是哪一個實數，

1 0^{x}

都是正數，所以 0 與負數（例如

- 1

）不能表示成 10 的乘冪。只有正實數才都可以表示成 10 的乘冪。

第 11 題×互為倒數是指乘積為 1。

a^{\frac{2}{5}} \cdot a^{\frac{5}{2}} = a^{\frac{2}{5} + \frac{5}{2}} = a^{\frac{29}{10}}

，只有

a = 1

時才等於 1。反例：

a = 2^{10}

，

a^{\frac{2}{5}} = 2^{4} = 16

，

a^{\frac{5}{2}} = 2^{25}

，乘積不是 1。

a^{\frac{2}{5}}

的倒數是

a^{- \frac{2}{5}}

：指數差一個負號，不是把分數上下顛倒。

第 12 題×底數

1.1 > 1

時，指數愈大，值愈大。

\frac{4}{5} = \frac{24}{30}

，

\frac{5}{6} = \frac{25}{30}

，所以

\frac{4}{5} < \frac{5}{6}

，

1. 1^{\frac{4}{5}} < 1. 1^{\frac{5}{6}}

，題目的不等號方向反了。

第 13 題○

lo g 1

是「1 是 10 的幾次方」。

1 0^{0} = 1

，所以

lo g 1 = 0

。

第 14 題×

1 0^{l o g 5} = 5

、

1 0^{l o g 2} = 2

（

lo g

的定義）。用指數律：

1 0^{3 l o g 5} = (1 0^{l o g 5})^{3} = 5^{3} = 125

，

1 0^{7 l o g 2} = (1 0^{l o g 2})^{7} = 2^{7} = 128

。

125 < 128

，所以左邊比較小。

第 15 題○

3100 = (1 0^{2})^{\frac{1}{3}} = 1 0^{\frac{2}{3}}

，所以

lo g 3100 = \frac{2}{3} = 0. \overline{6}

。

lo g a

就是「

a

是 10 的幾次方」，所以

1 0^{l o g a} = a

；遇到

1 0^{k l o g a}

先改寫成

(1 0^{l o g a})^{k} = a^{k}

。

04是非第 16～20 題：邏輯閘的兩種運算

第 16 題○「

\cdot

」運算的表只有四列：

0 \cdot 0 = 0

、

0 \cdot 1 = 0

、

1 \cdot 0 = 0

、

1 \cdot 1 = 1

，結果都是 0 或 1，沒有別的數字，所以具有封閉性。

第 17 題×括號先算：

1 + 0 = 1

，

0 + 0 = 0

，所以

(1 + 0) \cdot (0 + 0) = 1 \cdot 0 = 0

，不是 1。

第 18 題○由「

+

」運算的表：兩個輸入只要有一個是 1，結果就是 1；兩個都是 0，結果才是 0。所以

(a + b) + c

與

a + (b + c)

都是「

a

、

b

、

c

中只要有一個 1 就得 1，三個都是 0 才得 0」，兩邊在 8 種情形下都相等。

例如

a = 1, b = 0, c = 0

：左邊

(1 + 0) + 0 = 1 + 0 = 1

，右邊

1 + (0 + 0) = 1 + 0 = 1

。

第 19 題○由「

\cdot

」運算的表：

0 \cdot y = 0

，

1 \cdot y = y

。分

a

的兩種情形：

a = 0

時，左邊

0 \cdot (b + c) = 0

，右邊

(0 \cdot b) + (0 \cdot c) = 0 + 0 = 0

。

a = 1

時，左邊

1 \cdot (b + c) = b + c

，右邊

(1 \cdot b) + (1 \cdot c) = b + c

。兩種情形都相等，所以左分配律成立。

第 20 題○先看左邊：由表

0 \cdot 0 = 0

、

1 \cdot 1 = 1

，同一個數自己做「

\cdot

」還是自己，所以左邊

= a + b

。右邊同理

a \cdot a = a

、

b \cdot b = b

，逐組檢查：

a = b = 0

：左邊

(a + b) \cdot (a + b) = 0 \cdot 0 = 0

，右邊

0 + 0 + 0 + 0 = 0

。

a = 0, b = 1

：左邊

(a + b) \cdot (a + b) = 1 \cdot 1 = 1

，右邊

0 + 0 + 0 + 1 = 1

。

a = 1, b = 0

：左邊

(a + b) \cdot (a + b) = 1 \cdot 1 = 1

，右邊

1 + 0 + 0 + 0 = 1

。

a = b = 1

：左邊

(a + b) \cdot (a + b) = 1 \cdot 1 = 1

，右邊

1 + 1 + 1 + 1 = 1

。四組都相等。

右邊四項連加沒有加括號；因為第 18 題的結合律成立，先加哪兩項結果都一樣。這裡

1 + 1 = 1

，和一般數字的加法不同，要照題目給的表算。

新定義的運算只有 0 與 1 兩個值，性質成不成立可以把所有情形列出來逐一檢查。

05填充第 21～22 題

第 21 題

lo g 121 = k

表示

121 = 1 0^{k}

。而

0.00121 = 121 \times 1 0^{- 5} = 1 0^{k} \times 1 0^{- 5} = 1 0^{k - 5}

，所以

lo g 0.00121 = k - 5

。

小數點從

121

往左移 5 位才是

0.00121

，所以是

1 0^{- 5}

，不是

1 0^{- 3}

。

第 22 題

∣ a x - 1∣ \leq b

即

- b \leq a x - 1 \leq b

，

1 - b \leq a x \leq 1 + b

。解是一段有限的範圍，所以

a \neq = 0

。若

a > 0

：解為

\frac{1 - b}{a} \leq x \leq \frac{1 + b}{a}

，對照得

1 - b = - 3 a

、

1 + b = a

，相加得

2 = - 2 a

，

a = - 1

，與

a > 0

不合。若

a < 0

：同除以負數，不等號反向，解為

\frac{1 + b}{a} \leq x \leq \frac{1 - b}{a}

，對照得

1 + b = - 3 a

、

1 - b = a

，相加得

2 = - 2 a

，

a = - 1

，

b = 2

。所以

(a, b) = (- 1, 2)

。

驗算：

∣ - x - 1∣ \leq 2

即

∣ x + 1∣ \leq 2

，

- 2 \leq x + 1 \leq 2

，

- 3 \leq x \leq 1

，正確。也可以用「解的中點

- 1

使

a x - 1 = 0

」直接得

a = - 1

。

06填充第 23～25 題：根式與指數的化簡

第 23 題有理化：

\frac{1}{3 - 5} = \frac{3 + 5}{( 3 - 5 ) ( 3 + 5 )} = \frac{3 + 5}{4}

。因為

2 < 5 < 3

，所以

\frac{5}{4} < \frac{3 + 5}{4} < \frac{6}{4}

，整數部分

a = 1

，小數部分

b = \frac{3 + 5}{4} - 1 = \frac{5 - 1}{4}

。把所求拆成

a^{2} + 2 ab + 3 b^{2} = (a + b)^{2} + 2 b^{2}

，其中

a + b

就是原數

\frac{3 + 5}{4}

：

(a + b)^{2} = \frac{14 + 6 5}{16}

，

2 b^{2} = \frac{2 ( 6 - 2 5 )}{16} = \frac{12 - 4 5}{16}

，相加得

\frac{26 + 2 5}{16} = \frac{13 + 5}{8}

。

第 24 題找和為 5、積為 6 的兩數：3 與 2，所以

x = 5 + 26 = 3 + 2

，

\frac{1}{x} = \frac{1}{3 + 2} = 3 - 2

，

x + \frac{1}{x} = 23

。由

(x + \frac{1}{x})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} + 3 (x + \frac{1}{x})

，得

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (23)^{3} - 3 \times 23 = 243 - 63 = 183

。

第 25 題令

t = a^{- 2}

（

a > 0

，所以

t > 0

），則

a^{- 6} = t^{3}

，

a^{2} = \frac{1}{t}

。前兩個括號相乘：

(a^{- 3} + 8) (a^{- 3} - 8) = a^{- 6} - 64 = t^{3} - 4^{3} = (t - 4) (t^{2} + 4 t + 16)

。除數：

16 a^{2} + 4 + a^{- 2} = \frac{16}{t} + 4 + t = \frac{t ^{2} + 4 t + 16}{t}

。相除：

(t - 4) (t^{2} + 4 t + 16) \times \frac{t}{t ^{2} + 4 t + 16} = t (t - 4) = t^{2} - 4 t

。最後減去

(a^{- 2} - 2)^{2} = (t - 2)^{2} = t^{2} - 4 t + 4

，得

(t^{2} - 4 t) - (t^{2} - 4 t + 4) = - 4

。

結果與

a

無關。可以代

a = 1

檢查：

[9 \times (- 7) \div 21] - (1 - 2)^{2} = - 3 - 1 = - 4

。

式子裡同時有

a^{- 2}

、

a^{- 6}

、

a^{2}

時，把

a^{- 2}

當成一個量，就變成一般的乘法公式。

07填充第 26 題：10 的 200 次方要幾個位元

第 26 題先看二進位的位數怎麼算。

n

位的二進位數字，最小是

1

後面

n - 1

個 0，也就是

2^{n - 1}

；最大比

2^{n}

小 1。所以一個正整數

N

是

n

位的二進位數字，就是

2^{n - 1} \leq N < 2^{n}

。（例如

26

：

2^{4} \leq 26 < 2^{5}

，是 5 位。）現在要找

n

使得

2^{n - 1} \leq 1 0^{200} < 2^{n}

。由

lo g

的定義

2 = 1 0^{l o g 2}

，所以

2^{m} = 1 0^{m l o g 2}

。底數 10 大於 1，指數愈大值愈大，所以

2^{m}

與

1 0^{200}

比大小，就是

m lo g 2

與

200

比大小。

lo g 2 \approx 0.3010

是四捨五入到小數點後第四位的結果，所以

0.30095 \leq lo g 2 < 0.30105

。

m = 664

：

664 lo g 2 < 664 \times 0.30105 = 199.8972 < 200

，所以

2^{664} < 1 0^{200}

。

m = 665

：

665 lo g 2 \geq 665 \times 0.30095 = 200.13175 > 200

，所以

2^{665} > 1 0^{200}

。因此

2^{664} \leq 1 0^{200} < 2^{665}

，

1 0^{200}

是

665

位的二進位數字，最少需要

665

個位元。

用近似值直接除：

200 \div 0.3010 \approx 664.45

，

m

最大取到 664，位數是

664 + 1 = 665

，不是 664。資料 (2) 強調 0.3010 的最後一位有意義，就是讓我們可以確定四捨五入的誤差不會改變這個結果。

N

的二進位位數是

n

，等於說

2^{n - 1} \leq N < 2^{n}

；位數比「最大的次方」多 1。

08計算第 27 題：分三段解絕對值不等式

第 27 題兩個絕對值在

x = - 3

與

x = 2

變號，把數線分成三段。 第一段

x < - 3

：

∣ x + 3∣ = - (x + 3)

，

∣ x - 2∣ = - (x - 2)

。原式變成

- 2 (x + 3) - (x - 2) \geq 6

，即

- 3 x - 4 \geq 6

，

x \leq - \frac{10}{3}

。與

x < - 3

取共同部分，得

x \leq - \frac{10}{3}

。 第二段

- 3 \leq x < 2

：

∣ x + 3∣ = x + 3

，

∣ x - 2∣ = - (x - 2)

。原式變成

2 (x + 3) - (x - 2) \geq 6

，即

x + 8 \geq 6

，

x \geq - 2

。與

- 3 \leq x < 2

取共同部分，得

- 2 \leq x < 2

。 第三段

x \geq 2

：

∣ x + 3∣ = x + 3

，

∣ x - 2∣ = x - 2

。原式變成

2 (x + 3) + (x - 2) \geq 6

，即

3 x + 4 \geq 6

，

x \geq \frac{2}{3}

。與

x \geq 2

取共同部分，得

x \geq 2

。三段的解合起來：

x \leq - \frac{10}{3}

或

x \geq - 2

。

每一段解出來都要和那一段的範圍取共同部分；第二段與第三段在

x = 2

接起來，合成

x \geq - 2

。端點檢查：

x = - 2

時左邊

2 + 4 = 6

，

x = - \frac{10}{3}

時左邊

\frac{2}{3} + \frac{16}{3} = 6

，都要含。

分段討論三步：找出變號的點、每段去掉絕對值解一次、和該段範圍取共同部分後再全部合起來。

09計算第 28 題：水杯的表面積

第 28 題設底面的長、寬分別是

x

、

y

公分（

x > 0

、

y > 0

）。1 ml 是 1 立方公分，容量

=

底面積

\times

高，所以

10 x y = 360

，

x y = 36

。底面積是

x y

；四個側面是兩個

10 \times x

與兩個

10 \times y

的長方形。表面積總和

S = x y + 20 x + 20 y = 36 + 20 (x + y)

。

x

、

y

都是正數，由算幾不等式

\frac{x + y}{2} \geq x y = 36 = 6

，所以

x + y \geq 12

，

S \geq 36 + 20 \times 12 = 276

。等號成立在

x = y

；配合

x y = 36

得

x = y = 6

，此時

S = 36 + 20 \times 12 = 276

，確實取得到。所以表面積總和最小是

276

平方公分，此時長、寬都是

6

公分。

水杯沒有蓋子，只算一個底面與四個側面。算幾不等式只說

S

不會小於 276，還要驗證等號成立時的

x

、

y

真的存在，才能說最小值是 276。底面長、寬相等時是正方形，正方形也是長方形的一種，符合題目的條件。

兩個正數的乘積是定值時，和的最小值出現在兩數相等的時候。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

建國中學 108 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 28 題的答案，是非題 20 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

建國中學 108 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

最容易錯的是第 26 題（位數要比能取到的最大次方多 1，答案是 665 不是 664）、第 6 題（有理數那一項可能是 0，乘積就變成有理數）、第 22 題（要討論 a 的正負，a 是負數時不等號反向）、第 20 題（這裡 1 加 1 等於 1，要照題目給的表算），以及第 2 題（先約分再看分母）。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自建國中學 108 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

建國中學 108 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 28 題，照原卷順序

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每一題，錯在哪一步

01是非第 1～5 題：有理數與無理數

02是非第 6～9 題：實數的運算與絕對值

03是非第 10～15 題：指數與常用對數

04是非第 16～20 題：邏輯閘的兩種運算

05填充第 21～22 題

06填充第 23～25 題：根式與指數的化簡

07填充第 26 題：10 的 200 次方要幾個位元

08計算第 27 題：分三段解絕對值不等式

09計算第 28 題：水杯的表面積

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常見問題

建國中學 108 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

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建國中學 108 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

建國中學 108 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

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